Dérivation des équations fluides

Dérivation des équations fluides
Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément.
1. Continuité
S
Nombre de particules quittant le volume à travers la surface S (le terme « quittant » fait référence
au fait que la normale au cube dans la direction x1 en x1+dx1 est orientée vers l’extérieur, i.e. les x1 positifs)
n  V1  ( x1  dx1 )dx2dx3
V1
dx3
Nombre de particules pénétrant dans le volume en x1 (en x1 la normale
au cube est orientée vers les x négatifs)
n
n  V1  ( x1 )dx2dx3
n
dx2
dx1
Si l’on suppose qu’il n’y a pas de gain ou de perte
n 3
dx  n  V1  ( x1 )dx2dx3  n  V1  ( x1  dx1 )dx2dx3
t
donc
n

   (n  Vi )
t
i xi
ou
+contribution des autres faces
n
 .(nu )  S
t
Ionisations et
recombinaisons
2. Impulsion
F  nq( E  u  B )
Forces macroscopiques
Flux dans la direction
x1
d’impulsion dirigée dans la direction
Nombre de particules par unité de surface et par unité de temps passant à travers une surface x=cte
fois l’impulsion dans la direction
2
x
En sommant sur les directions:

nV1  mV2



(mn  V2V1 ) 
(mn  V2V2 ) 
(mn  V2V3 )
x1
x2
x3
On définit le tenseur de pression par:
Le flux dans la direction i d’impulsion dans la direction j est donc:
En combinant
x2
Pij  mn  (Vi  ui )(V j  u j ) 
Pij  mnui u j
(mnu)
 nq( E  u  B )  .P  .(mnuu )  mSu
t
Note: Si P est isotrope:
En utilisant l’équation de conservation de la masse:
mn(
u
 (u.)u )  nq( E  u  B )  .P  mSu
t
.P  p
Equation d’état
Forme la plus simple
p  Cn
γ=1 : cas isotherme quand la compression est lente par rapport à la conduction
thermique
γ=5/3 : cas adiabatique quand la compression est rapide mais suffisamment lente
pour que l’énergie puisse être échangée par collision entre les trois degrés
de liberté.
Si la compression est rapide par rapport à la conduction et aux collisions:
Il faut tenir compte de l’anisotropie. On verra qu’alors:
d p
( )0
dt nB
d p// B 2
( 3 )0
dt n
Equations bi-fluides:
Les équations de continuité s’appliquent séparément pour chaque fluide
mais il faut tenir compte dans l’équation pour l’impulsion des collisions entre
particules différentes. Le taux auquel l’impulsion par unité de volume est gagné
par l’espèce α du aux collisions avec l’espèce β s’écrit:
R  m n  (u  u )
où
 
est appelé fréquence de collision
Il faut donc rajouter dans l’équation pour l’espèce α un terme de la forme
On doit avoir
m n (
R   R
 R
u
 (u .)u )  n q ( E  u  B )  .P   R
t

Equations mono-fluide
On définit
  ni mi  neme et u  (ni mi ui  nemeue ) / 
On obtient alors:
où

 .(  u )  0
t
u
 (  u.u )  E  j  B   P
t
  ni qi  ne qe et j  ni qiui  ne qeue
La pression P désigne ici la somme des pressions des ions et des électrons calculées avec la déviation
entre la vitesse des particules et la vitesse barycentrique du fluide global u (et non la vitesse de chaque
fluide pris séparément).
Approximations supplémentaires conduisant
aux équations de la MHD
Quatre étapes:
c  E
 t
1
1. Lentes variations temporelles:
négliger le courant de déplacement
u
u

 [ E ]  [ ][ B ]  hypothèse  1
c
c


2. Neutralité de charge:
Mais
  Zeni  ene  0
j  Zeni ui  eneue  eneu'e  0
Dans le soleil: ne  10 cm
23
3. Loi d’Ohm:
3
L  2  10 cm
10
où
B  10 G
3
u'e  ue  ui
u'e 
cB
 1012 cms 1
4en e L
dans le référentiel des ions, les électrons, supposés froids, obéissent à
du'e
  u'e

me
  e E 
 B   me cu'e  termes inertiels
dt
c


Négliger l’inertie des électrons (pas de contribution des mouvements de gyration aux courants)
Supposer que le champ magnétique n’a pas de gradient à petite échelle.
 eE   me cu'e  0  j  eneu'e  E 
ne e2
 
me c
4. Passage du référentiel des ions au référentiel du laboratoire
Transformation de Galilée:
j  j
Transformation de Lorentz:
B  B
E  E 
D’où:
Equation de Faraday:
On a:
u  ui
ui
B
c
1
ui
c
ui
E  j  B 
B  B

c
4
c
B
   u  B       B 
t
Terme de diffusion
c2
c 2 c


4  pe2
est la résistivité.
Rm 
uL

est le nombre de Reynolds magnétique
Force exercée sur le fluide:
La force de Lorentz moyenne sur la collection d’ions et d’électrons s’écrit
u
u




f L  Zeni  E  i  B   ene  E  e  B 
c
c




En utilisant la condition de neutralité:
2

B
j
 B
1
BB  1  B 2  . BB 
fL   B 
B 
c
4
4
8
 4 8
Tension magnétique
Paramètre β:

Pression magnétique
P
Energie interne du plasma

PB Energie magnétique du champ

I


Théorème du champ gelé
Dans le cas où le terme diffusif est négligeable:
B
   u  B   0
t
A(t )
dl
dl
udt
A

C
Flux du champ magnétique à travers la surface A:
 (t ) 
A(t  dt )
 B( x, t )nˆd
A( t )
(t  dt )  (t ) 
 B( x, t  dt )nˆd   B( x, t )nˆd   B( x, t )nˆd   B( x, t )nˆd
A( t  dt )
A( t dt )
En utilisant l’équation de divergence nulle :
A( t  dt )
A( t )
.B  0
on obtient
 B( x, t )nˆd   B( x, t )nˆd   B( x, t )nˆd  0
A( t  dt )
A( t )
B
nˆd   B( x, t )nˆd  O(dt 2 )
t
A

(t  dt )  (t )  dt 
Donc:
et
d
0
dt





 B.nˆd   B.(udt  dl )    (u  B).dl dt      (u  B)d dt

C
C
A
Caractère gelé du champ:
Soient P et Q deux éléments de plasma initiallement
situés sur une ligne de champ à l’intersection de deux
surfaces magnétiques S1 et S2. Le flux magnétique
sur ces deux surfaces est nul et le reste. Ces deux
surfaces restent donc des surfaces magnétiques et
leur intersection reste donc sur une ligne de champ.
Le champ est gelé dans le plasma
S1
Q
P
Autre forme de l’équation d’induction:
En combinant avec l’équation de continuité:
DB
 B.  u  B .u 
Dt
D B B 
    . u
Dt      
Autre démonstration:
M2
L
M1
Montrer que si initialement
L  M1M 2
B
L(t  0)  B(r, t  0)  0
alors L reste parallèle à B
d
dB dL
( L(t )  B( r, t ))  L 

B
dt
dt dt
dL
 V ( M 2 )  V ( M 1 )  ( L.)V
dt
dB
   (V  B )  (V .) B  ( B.)V  B(.V )
dt
d ( L  B)
 L  ( B.)V  L  B(.V )  B  ( L.)V  0
dt
Nul par hypothèse
Conservation de l’énergie totale (pression isotrope, MHD idéale):
W  (
u
2
2
2
B
p


)d 3 x
  1 8
En présence de diffusion, l’effet Joule conduit à
une dissipation d’énergie égale à
4
j.E   2 j
c
2
Références:
Solar Magneto-hydrodynamics, E.R. Priest, D. Reidel Publishing Company, 1984
Physique des plasmas (1 et 2), J.L. Delcroix, A. Bers, Savoirs Actuels,
InterEditions, CNRS Editions, 1994
Introduction to Plasma Theory, D.R. Nicholson, Krieger Publishing Company, 1992.
Basic Space Plasma Physics, W. Baumjohann et R.A. Treumann, Imperial
College Press, 2004.
Principles of magnetohydrodynamics, H. Goedbloed et S. Poedts, Cambridge
University Press, 2004
The Physics of Plasmas, TJM Boyd et J.J. Sanderson, Cambridge
University Press, 2003
Physique des plasmas, J.M. Rax, Cours License, Master, Dunod, 2005
The Physics of Astrophysics, vol II, Gas Dynamics, F.H. Shu, University
Science Books, 1992
Nonlinear magneto-hydrodynamics, D. Biskamp, Cambridge University Press, 1993