Dérivation des équations fluides

Dérivation des équations fluides
Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément.
1. Continuité
3
dx
2
dx
1
dx
Nombre de particules quittant le volume à travers la surface S (le terme « quittant » fait référence
au fait que la normale au cube dans la direction x1 en x1+dx1 est orientée vers l’extérieur, i.e. les x1 positifs)
1
V
S
32111 )( dxdxdxxVn 
3211 )( dxdxxVn 
Nombre de particules pénétrant dans le volume en x1 (en x1 la normale
au cube est orientée vers les x négatifs)
Si l’on suppose qu’il n’y a pas de gain ou de perte
321113211
3)()( dxdxdxxVndxdxxVndx
t
n
+contribution des autres faces
)( 
i
ii
Vn
xt
n
donc
ou
Snu
t
n ).(
Ionisations et
recombinaisons
n
n

2. Impulsion
Forces macroscopiques
)( BuEnqF
Flux dans la direction d’impulsion dirigée dans la direction
1
x
2
x
Nombre de particules par unité de surface et par unité de temps passant à travers une surface x=cte
fois l’impulsion dans la direction
2
x
21 mVnV 
En sommant sur les directions:
)()()( 32
3
22
2
12
1
VVmn
x
VVmn
x
VVmn
x
On définit le tenseur de pression par:
 ))((jjiiij uVuVmnP
Le flux dans la direction i d’impulsion dans la direction j est donc:
jiij umnuP 
En combinant
mSuPBuEnquu
t
u
mn 
.)()).((
mSuuumnPBuEnq
t
mnu  ).(.)( )(
En utilisant l’équation de conservation de la masse: Note: Si P est isotrope:
pP .

Equation d’état
Forme la plus simple
Cnp
γ=1 : cas isotherme quand la compression est lente par rapport à la conduction
thermique
γ=5/3 : cas adiabatique quand la compression est rapide mais suffisamment lente
pour que l’énergie puisse être échangée par collision entre les trois degrés
de liberté.
Si la compression est rapide par rapport à la conduction et aux collisions:
Il faut tenir compte de l’anisotropie. On verra qu’alors:
0)( 
nB
p
dt
d
0)( 3
2
// 
nBp dt
d

Equations bi-fluides:
Les équations de continuité s’appliquent séparément pour chaque fluide
mais il faut tenir compte dans l’équation pour l’impulsion des collisions entre
particules différentes. Le taux auquel l’impulsion par unité de volume est gagné
par l’espèce α du aux collisions avec l’espèce β s’écrit:
)( uunmR 
où est appelé fréquence de collision
R
Il faut donc rajouter dans l’équation pour l’espèce αun terme de la forme
On doit avoir
RR 
RPBuEqnuu
t
u
nm .)()).((

Equations mono-fluide
On définit
/)(et eeeiiieeii umnumnumnmn 
On obtient alors:
PBjEuu
t
u
u
t
).(
0) .(
où
eeeiiieeii uqnuqnjqnqn  et
La pression P désigne ici la somme des pressions des ions et des électrons calculées avec la déviation
entre la vitesse des particules et la vitesse barycentrique du fluide global u (et non la vitesse de chaque
fluide pris séparément).