1 Espaces de probabilité - Institut Camille Jordan

ISFA Semestre automne 2016-2017
Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique
Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/
Troisième séance
Espaces de probabilité
Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse v[email protected]on1.fr.
1 Espaces de probabilité
1.1 Espaces de probabilité finis
Espace de probabilité L’idée derrière un espace de probabilité est la suivante : c’est l’ensemble de
toutes les réalisations possibles d’une expérience aléatoire. On note souvent Ωles espaces de probabilité.
Exemples :
1. Dans le cas du lancer d’un dé, Ω = {1,· · · ,6}.
2. Dans le cas du lancer d’un dé et du lancer d’une pièce de monnaie, Ω = {1,· · · ,6}×{p, f}i.e. Ω
est l’ensemble des couples (i, p)et (i, f)pour i∈ {1,· · · ,6}(bien sûr, pveut dire “pile” et fveut
dire “face”).
Événement Dans le cas des espaces de probabilité finis, un événement est un sous-ensemble de Ω.
Exemple : Pour le lancer d’un dé et d’une pièce, notons Al’événement suivant “la valeur du dé est paire
et la pièce est tombée sur face”. Aest le sous-ensemble suivant de Ω:
A={(i, f) : i∈ {2,4,6}} ,
i.e. Aest l’ensemble des couples (i, f)pour i∈ {2,4,6}.
Probabilité Si pour tout ω∈Ωon connaît la probabilité que ωsoit le résultat des expériences (on
va noter pωcette probabilité), alors on peut définir une probabilité sur Ωqu’on va noter P. Avant de
définir P, notons que pour que nos définitions aient un sens probabiliste on doit avoir : (i) pω∈[0,1]
pour tout ω∈Ωet (ii) Pω∈Ωpω= 1 .
Définissons maintenant P. C’est une fonction qui va de l’ensemble des événements vers [0,1]. Dans le cas
des espaces finis, on a vu qu’un événement est un sous-ensemble de Ω. Autrement dit, l’ensemble des
événements est l’ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, ce qu’on appelle l’ensemble des parties de Ω
et qu’on note P(Ω).Pest définie ainsi :
P:P(Ω) −→ [0,1]
ω7−→ P[A] = Pω∈Apω
Exercice 1. Montrer que, si Aet Bsont disjoints, alors P[A∪B] = P[A] + P[B].
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1.2 Espaces de probabilité plus généraux
On a vu qu’il y avait une façon naturelle de définir ce que sont un espace de probabilité, un événement
et une probabilité. Cependant, on s’est retreint au cas où notre expérience n’a qu’un nombre fini de
réalisations possibles (en fait, cela marche aussi pour dénombrable mais on ne s’entendra pas sur cela
ici). Mais cela pose un problème quand, par exemple, on est dans les cas suivants : modélisation d’une
marche aléatoire infinie, modélisation d’un temps d’attente...
On pourrait toujours définir Ωcomme l’espace des réalisations mais il serait beaucoup trop gros pour
qu’on puisse définir la probabilité de tous les sous-ensembles de Ω. On va alors devoir définir une tribu.
Il faudra voir les éléments d’une tribu comme tous les sous-ensembles de Ωdont on peut mesurer
la probabilité.
Une tribu est ainsi un sous-ensemble de P(Ω) pour un certain ensemble Ω(qui est tellement compli-
qué qu’on le décrit très rarement mais cela ne pose pas de problème 1). Une tribu est souvent
notée Fet on demande que Fait certaines propriétés naturelles, à savoir :
1. Ω∈ F (i.e. l’espace entier est un événement - c’est ce qu’on appelle l’événement certain).
2. Si A∈ F, alors Ac∈ F.
3. Si A1, A2, ... sont dans F, alors S+∞
i=1 Aiest aussi dans F.
Exercice 2. Déduire des propriétés ci-dessus la propriété suivante : Si A∈ F alors P[Ac]=1−P[A].
En déduire aussi que, si A, B ∈ F, alors :
1. A∩B∈ F,
2. P[A∪B] = P[A] + P[B]−P[A∩B].
Maintenant, on va pouvoir définir ce qu’est une probabilité (on dit parfois “mesure de probabilité” au
lieu de “probabilité”) : Soit Ωun ensemble et soit Fune tribu sur Ω(i.e. Fest un sous-ensemble de
P(Ω) qui vérifie les propriétés 1,2et 3ci-dessus). Une probabilité Pest une fonction :
P:P(Ω) −→ [0,1] ,
A7−→ P[A]
qui vérifie les deux propriétés naturelles suivantes :
1. P[Ω] = 1 ,
2. Si A1, A2,· · · sont des événements disjoints alors :
P"+∞
[
i=1
Ai#=
+∞
X
i=1
P[Ai].
Un espace de probabilité est un triplet (Ω,F,P)comme ci-dessus.
1. Attention, ceci est très important : il n’est pas nécessaire de savoir à quoi ressemble l’espace de probabilité sous-jacent
pour appliquer les règles classiques des probabilités. Il faut même savoir oublier l’espace de probabilité car il est souvent
trop compliqué.
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1.3 Variable aléatoire
On peut maintenant définir ce qu’est une variable aléatoire : Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité
et soit Eun ensemble muni d’une tribu E(Eest ainsi un sous-ensemble de P(E)qui vérifie les trois
propriétés des tribus énoncées plus haut).
Définition 1 Une variable aléatoire Xà valeurs dans Eest une fonction :
X: Ω −→ E
ω7−→ X(ω)
telle que, pour tout A∈ E,ona:
{X∈A}∈F,
où {X∈A}est la notation probabiliste pour X−1(A).
On peut maintenant définir ce qu’est la loi d’une variable aléatoire.
Définition 2 Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans E. La loi de Xest la probabilité sur Enotée
PXet définie par :
PX:E −→ [0,1]
A7−→ PX[A] = P[X∈A]
Quand on parle d’une variable réelle X, on demande que E=Ret que Esoit la tribu Borélienne, on
renvoie au cours pour la définition de cette tribu.
1.4 Mesures
La notion de mesure est une généralisation de la notion de probabilité. Des mesures, comme la mesure
de Lebesgue, sont souvent utilisées pour définir des probabilités. On renvoie au cours pour la définition
de la mesure de Lebesgue.
2 Convergence de variables aléatoires réelles
Continuons à réviser les notions de convergence de variables aléatoires. On peut par exemple faire
l’Exercice 3de la feuille de la deuxième séance.
3 Bonus : Développements limités
Dans cette section, on fait des rappels rapides sur les développements limités.
Soient fet gdeux fonctions de Rdans R(ou C) et soit y∈R. On dit que “fest un petit o de gen y”,
noté f=oy(g), si fest bien plus petite que gen ydans le sens suivant : il existe une fonction qui tend
vers 0en yet telle que :
f(x) = (x)g(x).
Ci-dessous, quand y= 0, on note o(g)au lieu de oy(g).
Ces notations sont des notations utiles pour approximer des fonctions classiques par des polynômes. En
probabilité, c’est particulièrement utile quand on veut approximer la fonction exponentielle qui apparaît
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dans les fonctions caractéristiques. Voilà quelques exemples de ce qu’on appelle développements limités
de fonctions classiques à l’ordre 2en 0(cela veut dire qu’on approxime au voisinage de 0des fonctions
classiques par des polynômes de degré au plus 2) :
ex= 1 + x+x2
2+o(x2),
ln(1 + x) = x−x2
2+o(x2),
1
1−x= 1 + x+x2+o(x2).
Par exemple, pour l’exponentielle, cela veut dire qu’on peut approximer expar 1 + x+x2
2et que l’erreur
au voisinage de x= 0 sera bien plus petite que x2.z
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