Indécomposabilité critique des digraphes et applications

Indécomposabilité critique des digraphes
et applications
Mohamed Yahia Sayar 1
1. Faculté des Sciences de Sfax, Département de Mathématiques, BP 802, 3018
Sfax, Tunisie. Adresse électronique : sayar− [email protected]
Table des matières
1 Introduction
4
1.1
Digraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Digraphe indécomposable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Digraphe critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Digraphe partiellement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5
Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Support critique
25
2.1
Propriétés des digraphes critiques
. . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2
Preuve du théorème 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3 Tournois partiellement critiques
56
3.1
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.2
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.3
Les premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.4
Caractérisation des tournois partiellement critiques . . . . . .
74
4 Applications
95
1
4.1
Une nouvelle preuve de [14] pour les tournois . . . . . . . . . .
95
4.2
Support partiellement critique d’un tournoi . . . . . . . . . . .
98
Bibliographie
110
Index
113
2
Table des figures
1.1
Le tournoi critique T2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2
Le tournoi critique U2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
Le tournoi critique V2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4
L’ordre partiel critique Q2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
L’ordre partiel critique R2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6
Le digraphe symétrique critique G2n . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.7
Le digraphe critique H2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1
Digraphe symétrique indécomposable tel que ∣σC (D)∣ = 2 . . .
54
2.2
Tournoi indécomposable à six sommets tel que ∣σC (T )∣ ≥ 3. . .
55
3.1
Exemple de tournoi partiellement critique. . . . . . . . . . . .
68
4.1
Tournoi indécomposable tel que ∣σTp [X] (T )∣ = 2. . . . . . . . . . 101
3
Chapitre 1
Introduction
1.1
Digraphe
Un digraphe (ou graphe dirigé) D = (S, A) est constitué d’un ensemble
fini et non vide S de sommets et d’un ensemble A de couples de sommets
distincts, appelés arcs. A chaque partie non vide X de S est associé le sousdigraphe D[X] = (X, (X × X) ∩ A) de D induit par X. Étant donnée une
partie stricte X de S, D[S ∖ X] est aussi noté D − X. De plus, pour x ∈ S,
D − {x} est noté D − x. De même, pour toute partie B de A, le digraphe
(S, A ∖ B) est noté D − B.
Étant donné un ensemble non vide S, (S, ∅) est le digraphe vide sur S
tandis que (S, (S × S) ∖ {(x, x); x ∈ S}) est le digraphe complet. Étant donné
un digraphe D = (S, A), considérons une partition P de S. Le graphe D est
multiparti par P lorsque pour tout M ∈ P , D[M ] est vide. On dit que D est
biparti si ∣P ∣= 2.
4
Soient D = (S, A) et D′ = (S ′ , A′ ) deux digraphes. Un isomorphisme de
D sur D′ est une bijection f de S sur S ′ telle que
pour tous x, y ∈ S, (x, y) ∈ A ⇐⇒ (f (x), f (y)) ∈ A′ .
Lorsqu’il existe un isomorphisme entre D et D′ , on dit que D et D′ sont
isomorphes, ce qui est noté D ≃ D′ . Un isomorphisme de D sur lui-même
est un automorphisme de D. L’ensemble des automorphismes de D est noté
Aut(D). On dit qu’un digraphe D′ s’abrite dans un digraphe D lorsque D′
est isomorphe à un sous-digraphe de D.
Soit D = (S, A) un digraphe. On définit sur S les relations d’équivalence
C et F de la façon suivante.
Connexité. Pour tous x, y ∈ S, x Cy si x = y ou s’il existe une suite x0 =
x, . . . , xn = y ∈ S de sommets de D telle que
pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}, A ∩ {(xi , xi+1 ), (xi+1 , xi )} ≠ ∅.
Les classes d’équivalence de C sont appeleés les composantes connexes
de D. Le nombre des composantes connexes de D est noté c(D). Le
digraphe D est connexe lorsque c(D) = 1. Un sommet x de D est isolé
lorsque {x} est une composante connexe de D.
Forte connexité. Pour tous x, y ∈ S, xFy si x = y ou x ≠ y et il existe deux
suites x = x0 , . . . , xm = y et y = y0 , . . . , yn = x d’élements de S telles que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪pour tout i ∈ {0, . . . , m − 1}, (xi , xi+1 ) ∈ A,
⎨
⎪
⎪
⎪
pour tout j ∈ {0, . . . , n − 1}, (yj , yj+1 ) ∈ A.
⎪
⎪
⎩
5
Les classes d’équivalences de F sont appeleés les composantes fortement
connexes de D.
Nous utilisons les notations suivantes. Étant donné un digraphe D =
(S, A), considérons des sommets distincts x et y de D :
● x Ð→ y signifie que (x, y) ∈ A et (y, x) ∉ A ;
● x ←→ y signifie que (x, y) ∈ A et (y, x) ∈ A ;
● x⋯y signifie que (x, y) ∉ A et (y, x) ∉ A.
De plus, étant donnés une partie stricte Y de S et un élément x de S ∖ Y ,
nous utilisons aussi les notations suivantes.
● x Ð→ Y signifie que x Ð→ y pour tout y ∈ Y ;
● Y Ð→ x signifie que y Ð→ x pour tout y ∈ Y ;
● x ←→ Y signifie que x ←→ y pour tout y ∈ Y ;
● x⋯Y signifie que x⋯y pour tout y ∈ Y ;
Étant données des parties disjointes X et Y de S,
● X Ð→ Y signifie que x Ð→ Y pour tout x ∈ X ;
● X ←→ Y signifie que x ←→ Y pour tout x ∈ X ;
● X⋯Y signifie que x⋯Y pour tout x ∈ X.
Enfin, étant donné un sommet x de D, on pose
⎧
⎪
⎪
+
⎪
⎪
⎪dD (x) = ∣{y ∈ S ∖ {x}; x Ð→ y}∣,
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪d−D (x) = ∣{y ∈ S ∖ {x}; y Ð→ x}∣.
⎪
⎩
A chaque digraphe D = (S, A), on associe son dual D⋆ = (S, A⋆ ), son complémentaire
←
→
←
→
D = (S, A) et son symétrisé D = (S, A ) définis sur S comme suit :
● pour tous x, y ∈ S, (x, y) ∈ A⋆ si (y, x) ∈ A ;
6
● pour tous x ≠ y ∈ S, (x, y) ∈ A si (x, y) ∉ A ;
←
→
● pour tous x ≠ y ∈ S, (x, y) ∈ A lorsque (x, y) ∈ A ou (y, x) ∈ A.
←
→
Un digraphe D = (S, A) est symétrique lorsque D = D ou encore lorsque
D = D⋆ . Dans la suite, les digraphes symétriques seront notés G, H... Considérons un digraphe symétrique G. Étant donné un sommet x de S, le voisinage VG (x) de x dans G est l’ensemble des y ∈ S tels que (x, y), (y, x) ∈ A.
Le degré dG (x) de x dans G est le cardinal de VG (x). Autrement dit, dG (x) =
d−G (x) = d+G (x). Ainsi, un sommet x de G est isolé lorsque dG (x) = 0.
Un digraphe D = (S, A) est transitif lorsque pour tous x, y, z ∈ S, on a :
(x, y) ∈ A, (y, z) ∈ A Ô⇒ (x, z) ∈ A.
Un digraphe transitif est encore appelé ordre partiel .
Un digraphe D = (S, A) est un tournoi lorsque pour tous x ≠ y ∈ S, on a :
(x, y) ∈ A si et seulement si (y, x) ∉ A. Un ordre total est un tournoi transitif.
Soit T = (S, A) un ordre total. Étant donnés x, y ∈ S, x Ð→ y signifie que
x < y modulo T . Étant donné un ensemble non vide S d’entiers naturels,
l’ordre total usuel sur S est noté OS , et O{0,...,n−1} est noté On , où n ≥ 1.
1.2
Digraphe indécomposable
Soit D = (S, A) un digraphe. Une partie I de S est un intervalle [2, 11,
14, 19] (ou un module [21] ou un clan [8, 9]) de D lorsque pour tous a, b ∈ I
7
et x ∈ S ∖ I, on a :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(a, x) ∈ A ⇐⇒ (b, x) ∈ A,
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪(x, a) ∈ A ⇐⇒ (x, b) ∈ A.
⎪
⎩
Par exemple, ∅, {x}, où x ∈ S, et S sont des intervalles de D appelés intervalles triviaux . On peut d’ores et déjà observer que D, D⋆ et D ont les
mêmes intervalles.
Un digraphe est indécomposable [2, 14, 19] (ou premier[21, 3] ou primitif
[10, 8, 9]) si tous ses intervalles sont triviaux ; sinon, il est décomposable.
Par exemple, le 3-cycle T3 défini sur {0, 1, 2} par 0 Ð→ 1 Ð→ 2 Ð→ 0 est
indécomposable. Remarquons aussi qu’un tournoi ayant un ou deux sommets est indécomposable. Par contre, un ordre total ayant au moins trois
sommets est décomposable puisque la paire constituée de ses deux premiers
éléments forme un intervalle non trivial. De même, les deux diamants δ =
({0, 1, 2, 3}, {(0, 1), (1, 2), (2, 0)} ∪ {(3, 0), (3, 1), (3, 2)}) et δ ⋆ sont décomposables puisque {0, 1, 2} est un intervalle non trivial de δ et de δ ⋆ . Le sommet
3 est le centre de δ et de δ ⋆ .
Étant donné un digraphe D, on a : D, D⋆ et D sont tous trois décomposables
ou indécomposables car ils ont les mêmes intervalles.
La notion d’intervalle généralise la notion usuelle d’intervalle pour un
ordre total. D’ailleurs, les intervalles d’un digraphe ont les mêmes propriétés
que ceux d’un ordre total.
Proposition 1.1. Soit D = (S, A) un digraphe.
(i) Étant donné un sous ensemble W de S, si I est un intervalle de D,
8
alors I ∩ W est un intervalle du sous-digraphe induit D(W ).
(ii) Si I et J sont deux intervalles de D, alors I ∩ J est un intervalle de D.
(iii) Si I et J sont deux intervalles de D et si I ∩ J ≠ ∅, alors I ∪ J est un
intervalle de D.
(v) Si I et J sont deux intervalles de D tels que I ∖ J ≠ ∅, alors J ∖ I est
un intervalle de D.
Dans la suite, nous présentons les principaux résultats concernant l’existence de sous-digraphes indécomposables dans un digraphe indécomposable.
Nous commençons par l’existence de sous-digraphes indécomposables ayant
trois ou quatre sommets.
Proposition 1.2 (Sumner [20]). Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable
avec ∣S∣ ≥ 3. Il existe X ⊆ S telle que ∣X∣ = 3 ou 4 et D[X] est indécomposable.
A présent, nous allons construire des sous-digraphes indécomposables de
cardinal supérieur.
Soit D = (S, A) un digraphe. Étant donnée une partie stricte X de S telle
que ∣X∣ ≥ 3 et D[X] est indécomposable, on considère les sous-ensembles
suivants de S ∖ X.
● Ext(X) est l’ensemble des x ∈ S∖X tels que D[X∪{x}] est indécomposable.
● ⟨X⟩ est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que X est un intervalle de D[X ∪
{x}].
● Pour tout u ∈ X, X(u) est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que {u, x} est
un intervalle de D[X ∪ {x}].
9
La famille {Ext(X), ⟨X⟩} ∪ {X(u); u ∈ X} est appelée la partition externe et
notée pD[X] .
Lemme 1.3 (Ehrenfeucht et Rozenberg [8]). Soit D = (S, A) un digraphe.
Considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et D[X] est indécomposable. La famille pD[X] constitue une partition de S ∖ X. De plus :
1. étant donnés x ∈ ⟨X⟩ et y ∈ S ∖ (X ∪ ⟨X⟩), si D[X ∪ {x, y}] est
décomposable, alors X ∪ {y} est un intervalle de D[X ∪ {x, y}] ;
2. étant donnés x ∈ X(u), où u ∈ X, et y ∈ S ∖(X ∪X(u)), si D[X ∪{x, y}]
est décomposable, alors {x, u} est un intervalle de D[X ∪ {x, y}] ;
3. étant donnés x ≠ y ∈ Ext(X), si D[X ∪ {x, y}] est décomposable, alors
{x, y} est un intervalle de D[X ∪ {x, y}].
Le lemme 1.3 permet d’établir le résultat suivant.
Proposition 1.4 (Ehrenfeucht and Rozenberg [8]). Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable. Considérons une partie X de S telle que ∣X∣ ≥ 3,
∣S ∖ X∣ ≥ 2 et D[X] est indécomposable. Il existe a ≠ b ∈ S ∖ X tels que
D[X ∪ {a, b}] est indécomposable.
Soit D = (S, A) un digraphe. Considérons une partie X de S telle que
∣X∣ ≥ 3, ∣S ∖ X∣ ≥ 2 et D[X] est indécomposable. La proposition 1.4 nous
conduit à associer au sous-digraphe D[X] le digraphe (symétrique) externe
GD[X] = (S ∖ X, AD[X] ) défini comme suit. Pour tous x ≠ y ∈ S ∖ X,
(x, y) ∈ AD[X] si D[X ∪ {x, y}] est indécomposable.
10
Remarque 1. Étant donné un digraphe D = (S, A), considérons une partie
stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et D[X] est indécomposable. Pour tous
x ≠ y ∈ S ∖ X, on a :
● si x, y ∈ ⟨X⟩, alors X est un intervalle de D[X ∪ {x, y}] ;
● si x, y ∈ X(u), où u ∈ X, alors {u, x, y} est un intervalle de D[X∪{x, y}].
Par conséquent, pour tout M ∈ pD[X] ∖ {Ext(X)}, GD[X] [M ] est vide. En
d’autres termes, si Ext(X) = ∅, alors GD[X] est multiparti par pD[X] .
Le résultat suivant est une conséquence des propositions 1.2 et 1.4.
Corollaire 1.5 (Ehrenfeucht and Rozenberg [8]). Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥ 5. Il existe x, y ∈ S tels que D − {x, y} est
indécomposable.
1.3
Digraphe critique
Dans le corollaire 1.5, on peut avoir x = y. Ceci nous conduit à étudier
l’indécomposabilité des sous-digraphes obtenus en enlevant un seul sommet
à un digraphe indécomposable. Disons qu’un sommet x d’un digraphe indécomposable D = (S, A) est critique lorsque D − x est décomposable. Un
digraphe indécomposable est critique lorsque tout ses sommets sont critiques.
Afin de présenter la caractérisation des digraphes critiques, nous utilisons
les digraphes suivants. Pour chaque entier n ≥ 2, on définit sur {0, . . . , 2n}
les tournois T2n+1 , U2n+1 et V2n+1 comme suit :
11
⎧
⎪
⎪
⎪
T2n+1 [{0, . . . , n}] = On+1 ;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪T2n+1 [{n + 1, . . . , 2n}] = O{n+1,...,2n} ;
(voir la figure 1.1) ⎨
⎪
⎪
⎪
pour 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ k ≤ i et i + 1 ≤ j ≤ n,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
j Ð→ i + n + 1 et i + n + 1 Ð→ k dans T2n+1 .
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
U2n+1 [{0, . . . , n}] = On+1 ;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⋆
⎪
⎪
⎪U2n+1 [{n + 1, . . . , 2n}] = (O{n+1,...,2n} ) ;
(voir la figure 1.2) ⎨
⎪
⎪
⎪
pour 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ k ≤ i et i + 1 ≤ j ≤ n,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
j Ð→ i + n + 1 et i + n + 1 Ð→ k dans U2n+1 .
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
V2n+1 − 2n = O2n ;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(voir la figure 1.3) ⎨pour 0 ≤ i ≤ n − 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2n Ð→ 2i et 2i + 1 Ð→ 2n dans V2n+1 .
⎪
⎪
⎩
Pour chaque entier n ≥ 2, on considère les ordres partiels suivants :
⎧
⎪
⎪
⎪
Q2n = ({0, . . . , 2n − 1}, {(2i, 2j + 1); 0 ≤ i ≤ j ≤ n − 1})
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(voir la figure 1.4) ;
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
R2n = O2n − {(2i, 2j + 1); 0 ≤ i ≤ j ≤ n − 1}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(voir la figure 1.5).
⎪
⎩
12
n+1 . . .
-
k
I
@Q
@Q
@ QQ
0
1 .
.
. . . i+n+1. . .
k
Q
I
@Q
Q
@
Q
@
Q
. i
- i+1 . .
j
j
-
. . . 2n
+
. n−1
1
@
I
@
@
- n
*
Figure 1.1 – Le tournoi critique T2n+1 .
n+1 . . . k
I
@Q
@Q
@ QQ
0
1 .
. . . i+n+1. . . . . i
k
Q
I
@Q
@ Q
@ QQ
- i+1 . .
. . . 2n
+
. n−1
1
@
I
@
@
- n
*
Figure 1.2 – Le tournoi critique U2n+1 .
←Ð→
←→
Posons alors G2n = Q2n (voir la figure 1.6). Clairement, R2n = G2n .
Enfin, pour chaque entier n ≥ 2, on considère le digraphe
H2n+1 = O2n+1 − {(2i, 2j); 0 ≤ i < j ≤ n} (voir la figure 1.7).
Nous introduisons aussi les familles suivantes de digraphes :
● G = {G2n ; n ≥ 2} et G = {G2n ; n ≥ 2} ;
● H = {H2n+1 ; n ≥ 2} et H = {H 2n+1 ; n ≥ 2} ;
● Q = {Q2n ; n ≥ 2} et Q = {Q2n ; n ≥ 2} ;
13
0
iP
2n P
HH PPP
3 ]
J
P
H
J
HH PPP
PP
J
H
PP
HH
J
P
j
H
- 1 . . . 2i
- 2i+1 . . . 2n − 2
- 2n − 1
1
*
Figure 1.3 – Le tournoi critique V2n+1 .
1 . . 3
.
.
.
2n − 1
*
6
6
6
*
0 . . 2
.
.
.
2n − 2
Figure 1.4 – L’ordre partiel critique Q2n .
● R = {R2n ; n ≥ 2} et R = {R2n ; n ≥ 2} ;
● T = {T2n+1 ; n ≥ 2}, U = {U2n+1 ; n ≥ 2} et V = {V2n+1 ; n ≥ 2}.
Théorème 1.6 (Schmerl, Trotter [19]). A l’isomorphie près, les digraphes
critiques, ayant au moins 4 sommets, sont les éléments des familles G, G, H,
H, Q, Q, R, R, T , U ou V.
Suite à ce théorème, on associe à chaque digraphe critique D = (S, A),
avec ∣S∣ ≥ 4, une étiquette ε(D) = g, ḡ, h, h̄, q, q̄, r, r̄, t, u ou v selon que D est
isomorphe à un élément de G, G, H, H, Q, Q, R, R, T , U ou de V.
Considérons un ordre partiel D = (S, A) indécomposable et critique. Par
le théorème 1.6, D est isomorphe à Q2n ou à R2n , où n = ∣S∣/2. Par suite,
14
2n − 2
2n − 1
H
Y
HH
HH 6I
H
2n − 3
]
J
J
J
6
J
4
J
i
P
6 PPP J
PP
J
2
3
I
@
iP @
P
6 PP@ 6
P@
P
6
0
1
Figure 1.5 – L’ordre partiel critique R2n .
←
→
←Ð→
←→
D est isomorphe à Q2n = G2n ou à R2n = G2n . Par conséquent, si un ordre
←
→
partiel D est indécomposable et critique, alors le digraphe symétrique D est
indécomposable et critique. Ceci résulte aussi du théorème suivant.
Théorème 1.7 (Gallai [12, 15]). Pour tout ordre partiel D, D est indécompo←
→
sable si et seulement si D est indécomposable.
Suite à la caractérisation des digraphes critiques, Shmerl et Trotter[19]
ont obtenu l’amélioration suivante du corollaire 1.5.
Théorème 1.8 (Schmerl, Trotter [19]). Étant donné un digraphe indécomposable D = (S, A) tel que ∣S∣ ≥ 7, il existe x ≠ y ∈ S tels que D − {x, y} est
indécomposable.
Comme tout tournoi à quatre sommets est décomposable, la valeur 7 de
ce théorème est optimale. Le théorème 1.8 a conduit Ille [13] à introduire
15
' $
' $
-1
0
Y
.I
.
.
2iY
.
.
.
2n − 2 .
.
.
j
- 2i + 1
.
.
.
j
-R 2n − 1
& %
& %
Figure 1.6 – Le digraphe symétrique critique G2n .
le digraphe d’indécomposabilité. Étant donné un digraphe indécomposable
D = (S, A), le digraphe d’indécomposabilité Ind(D) est défini sur S de la
façon suivante. Pour tous x ≠ y ∈ S, (x, y) est un arc de Ind(D) si D−{x, y} est
indécomposable. Le théorème 1.8 s’énonce donc ainsi : le digraphe d’indécomposabilité d’un digraphe indécomposable ayant au moins 7 sommets n’est pas
vide.
Le théorème suivant permet de localiser les arcs d’un digraphe d’indécomposabilité.
Théorème 1.9 (Ille [14]). Étant donné un digraphe indécomposable D =
(S, A), considérons X ⊆ S tel que ∣X∣ ≥ 3 et D[X] est indécomposable. Si
∣S ∖X∣ ≥ 6, alors il existe x ≠ y ∈ S ∖X tels que D −{x, y} est indécomposable.
16
2n
i
P
k
.Q
Q PPP
2n − 1
. QQ *
2n − 2 QQ 6I
k
Q
. Q
Q
Q 2n − 3
.
>
. 6
]
J
4P
iP
P
PPJ
.
J
. :P
3
2P
iP
>
PP
I 6
@
.
P@
P
. :1
0 Figure 1.7 – Le digraphe critique H2n+1 .
Le résultat suivant améliore la proposition 1.2.
Proposition 1.10 (Cournier, Ille [4]). Étant donné un digraphe indécomposable D = (S, A) tel que ∣S∣ ≥ 5. Pour tout x ∈ S, il existe X ⊆ S vérifiant
∣X∣ = 4 ou 5, x ∈ X et D[X] est indécomposable.
Il découle alors du théorème 1.9 :
Corollaire 1.11. Étant donné un digraphe indécomposable D = (S, A) tel
que ∣S∣ ≥ 11. Pour tout x ∈ S, Il existe y ≠ z ∈ S ∖ {x} tels que D − {y, z} est
indécomposable.
Ainsi, le digraphe d’indécomposabilité admet des arcs ne passant pas par
un sommet donné.
17
1.4
Digraphe partiellement critique
Étant donné un digraphe D = (S, A), considérons une partie X de S.
Le digraphe D est X-critique si tous les élements de X sont des sommets
critiques de D. Ainsi, un digraphe indécomposable D = (S, A) est critique
s’il est S-critique. Un digraphe indécomposable D = (S, A) est partiellement
critique [6, 7] s’il existe une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, D[X] est
indécomposable et D est (S ∖X)-critique.
Étant donné un digraphe D = (S, A), considérons une partie stricte X de
S telle que ∣X∣ ≥ 3 et D[X] est indécomposable. Afin d’étudier les digraphes
partiellement critiques, nous affinons la partition pD[X] de la façon suivante.
L’élément ⟨X⟩ de pD[X] est subdivisé comme suit :
● X − est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que x Ð→ X ;
● X + est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que x ←Ð X ;
● X 0 est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que x⋯X ;
● X 1 est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que x ←→ X.
De même, pour tout u ∈ X, on subdivise X(u) comme suit :
● X − (u) est l’ensemble des x ∈ X(u) tels que x Ð→ u ;
● X + (u) est l’ensemble des x ∈ X(u) tels que x ←Ð u ;
● X 0 (u) est l’ensemble des x ∈ X(u) tels que x⋯u ;
● X 1 (u) est l’ensemble des x ∈ X(u) tels que x ←→ u.
On obtient ainsi des familles plus fines que pD[X] :
● qD[X] = {Ext(X)} ∪ {X − , X + } ∪ {X − (u), X + (u)}u∈X ;
−
● qD[X]
= {X − } ∪ {X − (u)}u∈X ;
18
+
● qD[X]
= {X + } ∪ {X + (u)}u∈X
● rD[X] = {Ext(X)} ∪ {X 0 , X 1 } ∪ {X 0 (u), X 1 (u)}u∈X ;
0
● rD[X]
= {X 0 } ∪ {X 0 (u)}u∈X ;
1
● rD[X]
= {X 1 } ∪ {X 1 (u)}u∈X .
Breiner, Deogun et Ille [2] ont caractérisé les digraphes symétriques partiellement critiques en deux étapes. Tout d’abord, ils dégagent une propriété
héréditaire via les composantes connexes du digraphe externe.
Théorème 1.12 (Breiner, Deogun et Ille [2]). Étant donné un digraphe
symétrique H = (S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 4
et H[X] est indécomposable. Le digraphe H est indécomposable et (S ∖X)critique si et seulement si les assertions suivantes sont satisfaites
H1 : les partitions pH[X] et rH[X] coı̈ncident ;
0
1
H2 : pour tout M ∈ rH[X]
, H[M ] est vide, et pour tout M ∈ rH[X]
, H[M ]
est complet ;
H3 : pour toute composante connexe C de GH[X] , H[X∪C] est indécomposable
et C-critique.
Ils considèrent ensuite le cas où le digraphe externe est connexe.
Théorème 1.13 (Breiner, Deogun et Ille [2]). Étant donné un digraphe
symétrique H = (S, A), considérons une partie X de S telle que ∣X∣ ≥ 4,
∣S ∖ X∣ ≥ 3 et H[X] est indécomposable. Supposons que GH[X] est connexe.
Le digraphe H est indécomposable et (S ∖X)-critique si et seulement si les
assertions suivantes sont satisfaites
19
K1 : Ext(X) = ∅ ;
K2 : les partitions pH[X] et rH[X] coı̈ncident ;
0
1
K3 : pour tout M ∈ rH[X]
, H[M ] est vide, et pour tout M ∈ rH[X]
, H[M ]
est complet ;
K4 : le graphe GH[X] est critique et biparti par pH[X] .
Dans le chapitre 3, en adoptant la même approche pour étudier les tournois partiellement critiques, nous obtenons les deux résultats suivants.
Théorème 1.14 (Sayar [16, 18]). Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable.
Le tournoi T est indécomposable et (S ∖ X)-critique si et seulement si les
assertions suivantes sont satisfaites
H1 : si X − ≠ ∅ et X + ≠ ∅, alors X − Ð→ X + . De même, pour tout u ∈ X, si
X − (u) ≠ ∅ et X + (u) ≠ ∅, alors X − (u) Ð→ X + (u) ;
H2 : pour toute composante connexe C de GT [X] , il existe des éléments distincts MC et NC de qT [X] tels que GT [X] [C] est biparti par {MC , NC } ;
H3 : pour toute composante connexe C de GT [X] , T [X ∪C] est indécomposable et C-critique.
Théorème 1.15 (Sayar [16, 18]). Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, ∣S ∖X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Supposons que GT [X] est connexe. Le tournoi T est indécomposable et
(S ∖X)-critique si et seulement si Ext(X) = ∅ et il existe un isomorphisme
20
f de G2n sur GT [X] tel que pT [X] = qT [X] = {f ({0, . . . , 2n − 2}), f ({1, . . . , 2n −
1})} et satisfaisant
K1 : si {f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} = X − ou X + (u), où u ∈ X, alors
T [{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)})] = f (2n − 2) < f (2n − 4) < ⋯ < f (0) ;
K2 : si {f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} = X + ou X − (u), où u ∈ X, alors
T [{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)}] = f (0) < f (2) < ⋯ < f (2n − 2) ;
K3 : si {f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} = X − ou X + (u), où u ∈ X, alors
T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)}] = f (1) < f (3) < ⋯ < f (2n − 1) ;
K4 : si {f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} = X + ou X − (u), où u ∈ X, alors
T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)}] = f (2n − 1) < f (2n − 3) < ⋯ < f (1).
A la différence des digraphes symétriques, nous obtenons une seconde
caractérisation des tournois partiellement critiques.
Théorème 1.16 (Sayar [18]). Étant donné un tournoi indécomposable T =
(S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est
indécomposable. Le tournoi T est (S∖X)-critique si et seulement si T [X ∪Y ]
est décomposable pour tout Y ⊆ S ∖X tel que ∣Y ∣ = 1 ou 3.
1.5
Support
Dans le chapitre 2, nous introduisons et nous étudions la notion du
support critique d’un digraphe. Étant donné un digraphe indécomposable
D = (S, A), avec ∣S ∣≥ 2, le support de D est l’ensemble σ(D) des sommets x
de D tels que D − x est indécomposable. Autrement dit, le support de D est
21
l’ensemble des sommets non critiques de D. Un digraphe indécomposable est
donc critique lorsque son support est vide. Le support critique d’un digraphe
D est l’ensemble σC (D) des éléments x de σ(D) tels que σ(D − x) = ∅,
c’est-à-dire, D − x est critique.
Nous poursuivons l’étude du digraphe d’indécomposabilité avec la question suivante. Étant donné un digraphe indécomposable et non critique D,
existe-t-il un arc du digraphe d’indécomposabilité contenant un sommet du
support ? D’une façon équivalente, est-ce-que σC (D) est une partie stricte de
σ(D) ? Boudabbous et Ille [1] ont apporté une réponse positive en minorant
la taille du support.
Théorème 1.17 (Boudabbous, Ille [1]). Considérons un digraphe indécomposable D = (S, A) tel que ∣S∣ ≥ 7. Si ∣σ(D)∣ ≥ 2, alors σC (D) ⊊ σ(D).
Le digraphe d’indécomposabilité contient donc des arcs passant par le
support lorsque ce dernier contient au moins deux sommets. Une autre alternative consiste à majorer la taille du support critique. Au chapitre 2, nous
démontrons les deux résultats suivants.
Proposition 1.18 (Sayar [17]). Pour tout tournoi indécomposable T = (S, A),
avec ∣S∣ ≥ 7, ∣σc (T )∣ ≤ 1.
Théorème 1.19 (Sayar [17]). Pour tout digraphe indécomposable D = (S, A),
avec ∣S∣ ≥ 7, on a ∣σC (D)∣ ≤ 2.
Suite à notre étude des tournois partiellement critiques, nous introduisons la notion intermédiaire de support dite support partiellement critique.
22
Étant donné un digraphe indécomposable D = (S, A), considérons une partie
stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et D[X] est indécomposable. Le support
p
partiellement critique de D relativement à D[X] est la famille σD[X]
(D) des
x ∈ S ∖ X tels que D − x est indécomposable et ((S ∖ {x})∖X)-critique.
Dans le chapitre 4, nous montrons en utilisant le théorème 1.16 que le
support partiellement critique d’un tournoi indécomposable contient au plus
trois sommets.
Lemme 1.20 (Sayar [18]). Soit T = (S, A) un tournoi indécomposable. Pour
tout X ⊊ S tel que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable, ∣σTp [X] (T )∣ ≤ 3.
Le résultat suivant est important pour décrire les tournois indécomposables
dont le support partiellement critique contient deux ou trois sommets.
Proposition 1.21 (Sayar [18]). Étant donné un tournoi indécomposable T =
(S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est
indécomposable. Si ∣σTp [X] (T )∣ = 2 ou 3, alors {α} ∈ qT [X] pour tout α ∈
σTp [X] (T ).
Enfin, nous caractérisons les tournois indécomposables ayant un support
partiellement critique contenant au moins deux sommets.
Théorème 1.22 (Sayar [18]). Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, T [X] est indécomposable
et Ext(X) = ∅. Étant donnés α ≠ β ∈ S ∖ X, T est indécomposable et α, β ∈
σTp [X] (T ) si et seulement s’il existe γ ∈ (S ∖ X) ∖ {α, β} satisfaisant
● {α}, {β}, {γ} ∈ qT [X] ;
23
● {α, β, γ} est une composante connexe de GT [X] ;
● (α, γ) ∈ AT [X] et (β, γ) ∈ AT [X] ;
● T − {α, β, γ} est indécomposable et ((S ∖ {α, β, γ})∖X)-critique.
Comme conséquence de ce théorème, on obtient la carctérisation suivante
des tournois indécomposables dont le support contient trois sommets.
Corollaire 1.23 (Sayar [18]). Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, T [X] est indécomposable
et Ext(X) = ∅. Étant donnés des éléments distincts α, β, γ de S ∖ X, T
est indécomposable et σTp [X] (T ) = {α, β, γ} si et seulement si les assertions
suivantes sont satisfaites
● {α}, {β}, {γ} ∈ qT [X] ;
● {α, β, γ} est une composante connexe de GT [X] ;
● GT [X] [{α, β, γ}] est complet ;
● T − {α, β, γ} est indécomposable et ((S ∖ {α, β, γ})∖X)-critique.
24
Chapitre 2
Support critique d’un digraphe
indécomposable
Étant donné un digraphe indécomposable D = (S, A), avec ∣ S ∣≥ 2, rappelons que le support de D est l’ensemble σ(D) des sommets x de D tels
que D − x est indécomposable. Son support critique σC (D) est l’ensemble
des x ∈ σ(D) tels que D − x est critique. Il découle du théorème 1.6 que pour
chaque x ∈ σC (D), D − x est isomorphe à un élément de G, G, H, H, Q, Q,
R, R, T , U ou de V, ou encore, ε(D − x) = g, ḡ, h, h̄, q, q̄, r, r̄, t, u ou v.
Dans ce chapitre, on établit le résultat suivant.
Théorème 2.1. Pour tout digraphe indécomposable D = (S, A), avec ∣S∣ ≥ 7,
on a ∣σC (D)∣ ≤ 2.
Plus précisément, étant donné un digraphe indécomposable D = (S, A),
on montre que ∣σC (D)∣ ≤ 1 ou que ∣σC (D)∣ ≤ 2 suivant qu’il existe x ∈ σC (D)
25
tel que ε(D − x) = g, ḡ, h, h̄, q, q̄, r, r̄, t, u ou v.
2.1
Propriétés des digraphes critiques
Les propriétés suivantes des digraphes critiques découlent facilement de
leurs définitions.
Remarque 2 (Propriétés du tournoi T2n+1 ). Étant donné n ≥ 3, T2n+1
satisfait les assertions suivantes.
(i) Pour tous i ≠ j ∈ Z/(2n + 1)Z, i Ð→ j s’il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que
j ≡ i + k mod (2n + 1).
(ii) La permutation de Z/(2n + 1)Z, définie par i ↦ i + 1, est un automorphisme de T2n+1 . Par suite, pour tout i ∈ Z/(2n + 1)Z, d+T2n+1 (i) =
d−T2n+1 (i) = n.
(iii) Pour tout i ∈ Z/(2n + 1)Z, T2n+1 − {i, i + n} et T2n+1 − {i, i + n + 1} sont
isomorphes à T2n−1 .
Remarque 3 (Propriétés du tournoi U2n+1 ). Étant donné n ≥ 3, U2n+1
satisfait les assertions suivantes.
(i) Pour tout i ∈ {0, . . . , n}, d−U2n+1 (i) = n et i n’est le centre d’aucun diamant dans U2n+1 .
(ii) Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, d−U2n+1 (n + i) = 2n − 2i + 1. De plus, pour tous
i ∈ {1, . . . , n} et j ∈ {0, . . . , 2n} ∖ {n + i}, n + i est centre d’un diamant
de U2n+1 − j.
26
(iii) Pour tout i ∈ {n + 1, . . . , 2n}, U2n+1 − {i − n − 1, i} et U2n+1 − {i − n, i}
sont isomorphes à U2n−1 .
Remarque 4 (Propriétés du tournoi V2n+1 ). Étant donné n ≥ 3, V2n+1
satisfait les assertions suivantes.
(i) Pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}, d−V2n+1 (2i) = d−V2n+1 (2i + 1) = 2i + 1 et
d−V2n+1 (2n) = n.
(ii) Pour tous i ≠ j ∈ {0, . . . , 2n−1}, V2n+1 −{i, j} abrite un 3-cycle contenant
2n.
(iii) Pour tout tournoi indécomposable T défini sur {0, . . . , 2n}, si T − 2n =
O2n , alors T = V2n+1 .
Remarque 5 (Propriétés du digraphe symétrique G2n ). Étant donné
n ≥ 3, G2n satisfait les assertions suivantes.
(i) Pour tous i ∈ {0, . . . , n − 1}, dG2n (2i) = n − i et dG2n (2i + 1) = i + 1.
(ii) G2n est biparti par {{2i; 0 ≤ i ≤ n − 1}, {2i + 1; 0 ≤ i ≤ n − 1}}.
(iii) Aut(G2n ) = {Id{0,...,2n−1} , φ2n }, où φ2n est la permutation de {0, . . . , 2n−
1} qui échange i et (2n − 1) − i pour i ∈ {0, . . . , 2n − 1}.
(iv) Pour tout j ∈ {0, . . . , 2n − 1}, G2n − j admet un unique intervalle non
trivial Ij determiné par :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
I0 = {2, . . . , 2n − 1},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨I2n−1 = {0, . . . , 2n − 3},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Ij = {j − 1, j + 1} pour 1 ≤ j ≤ 2n − 2.
⎪
⎪
⎩
27
(v) Pour tout i ∈ {0, . . . , 2n − 2}, G2n − {i, i + 1} est isomorphe à G2n−2 .
Remarque 6 (Propriétés du digraphe H2n+1 ). Étant donné n ≥ 2, H2n+1
satisfait les assertions suivantes.
(i) H2n+1 [{2i; 0 ≤ i ≤ n}] est vide et H2n+1 [{2i + 1; 0 ≤ i ≤ n − 1}] =
O{2i+1;0≤i≤n−1} .
(ii) Pour tout i ∈ {0, . . . , 2n}, i est pair si et seulement s’il existe X ⊆
{0, . . . , 2n} tel que i ∈ X, ∣X∣ ≥ 3 et H2n+1 [X] est vide.
(iii) Pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n}, d−H2n+1 (2i) = i et pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n−1},
d−H2n+1 (2i + 1) = 2i + 1.
(iv) Pour tout j ∈ {0, . . . , 2n}, H2n+1 − j admet un unique intervalle non
trivial Ij determiné par :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
I0 = {2, . . . , 2n},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨I2n = {0, . . . , 2n − 1},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Ij = {j − 1, j + 1} pour 1 ≤ j ≤ 2n − 1.
⎪
⎪
⎩
(v) La permutation φ2n+1 de {0, . . . , 2n}, qui échange i et 2n − i pour tout
i ∈ {0, . . . , 2n}, est un isomorphisme de H2n+1 sur (H2n+1 )⋆ .
(vi) Lorsque n ≥ 3, H2n+1 − {i, i + 1} est isomorphe à H2n−1 pour tout i ∈
{0, . . . , 2n − 1}.
Remarque 7 (Propriétés de l’ordre partiel R2n ). Étant donné n ≥ 3,
R2n satisfait les assertions suivantes.
28
(i) Pour tout i ∈ {0, . . . , n−1}, d−R2n (2i) = 2i, d+R2n (2i) = n−i−1, d−R2n (2i+1) =
i et d+R2n (2i + 1) = 2(n − i − 1). Par suite, pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}, on
a:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
∣{j ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {2i} ∶ j⋯2i}∣ =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
(2n − 1) − (d−R2n (2i) + d+R2n (2i)) = n − i,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∣{j ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {2i + 1} ∶ j⋯2i + 1}∣ = i + 1.
⎪
⎪
⎩
(ii) La permutation φ2n de {0, . . . , 2n − 1}, qui échange i et (2n − 1) − i pour
i ∈ {0, . . . , 2n − 1}, est un isomorphisme de R2n sur (R2n )⋆ .
Nous concluons ce paragraphe par le résultat suivant qui découle du théorème 1.6.
Corollaire 2.2. Étant donnés des digraphes critiques D = (S, A) et D′ =
(S ′ , A′ ) tels que ∣S∣ ≥ 5 et ∣S ′ ∣ ≥ 5, si D et D′ sont comparables par l’abritement, alors ε(D) = ε(D′ ).
2.2
Preuve du théorème 2.1
L’observation suivante permet de raisonner au complémentaire près et au
dual près.
Observation 1. Pour tout digraphe D = (S, A), D, D⋆ et D ont les mêmes
intervalles. Par suite, si l’un de ces trois digraphes est indécomposable, alors
les deux autres le sont aussi. Il s’ensuit que si D est indécomposable, alors
σ(D) = σ(D⋆ ) = σ(D) et σC (D) = σC (D⋆ ) = σC (D).
29
En utilisant le théorème 1.7, on vérifie que la dernière assertion de la
remarque 5 est aussi satisfaite par Q2n et R2n .
Observation 2. Étant donné n ≥ 4, considérons i ∈ {0, . . . , 2n − 2}. On a
←ÐÐÐÐÐÐÐÐ→ ←Ð→
Q2n − {i, i + 1} = Q2n − {i, i + 1} = G2n − {i, i + 1}. Par la remarque 5.(v),
G2n − {i, i + 1} est indécomposable et critique. Il découle du théorème 1.7
que l’ordre partiel Q2n − {i, i + 1} est aussi indécomposable et critique. Par le
théorème 1.6, Q2n − {i, i + 1} est isomorphe à Q2n−2 ou à R2n−2 . Comme n ≥ 4,
O3 s’abrite dans R2n−2 . Mais, puisque O3 ne s’abrite pas dans Q2n − {i, i + 1},
←ÐÐÐÐÐÐÐÐ→
Q2n − {i, i + 1} ≃ Q2n−2 . Concernant R2n , on obtient que R2n − {i, i + 1} =
←→
R2n −{i, i+1} = G2n −{i, i+1}. De même, par la remarque 5.(v), G2n −{i, i+1}
est indécomposable et critique. Par l’observation précédente, G2n − {i, i + 1} =
G2n − {i, i + 1} est indécomposable et critique. Il découle alors du théorème
1.7 et du théorème 1.6 que R2n − {i, i + 1} est isomorphe à Q2n−2 ou à R2n−2 .
Puisque O3 s’abrite dans R2n − {i, i + 1} et ne s’abrite pas dans Q2n−2 , R2n −
{i, i + 1} ≃ R2n−2 .
Par commodité, nous sommes amenés à considérer le support critique
d’un digraphe décomposable.
Observation 3. On peut définir les notions de support et de support critique pour les digraphes décomposables. Le théorème 2.1 s’étend alors facilement aux digraphes décomposables. En effet, étant donné un digraphe
décomposable G = (S, A) tel que ∣S∣ ≥ 5, considérons α ∈ S tel que G − α est
un digraphe critique. Comme G est décomposable, G admet un intervalle non
trivial I. Puisque I ∖{α} est un intervalle de G−α, ou bien I = S ∖{α} ou bien
30
il existe β ∈ S ∖ {α} tel que I = {α, β}. Dans le premier cas, S ∖ {α, x} est un
intervalle non trivial de G − x pour tout x ∈ S ∖ {α}. Par suite, σC (G) = {α}.
Dans le second cas, {α, β} est un intervalle de G − x pour tout x ∈ S ∖ {α, β}.
Par conséquent, σC (G) ⊆ {α, β}. Comme {α, β} est un intervalle de G, l’application qui laisse fixes les éléments de S ∖ {α, β} et qui envoie α sur β est
un isomorphisme de G − α sur G − β. Il s’ensuit que σC (G) = {α, β}.
Nous poursuivons avec un résultat basique dans l’étude des supports critiques.
Proposition 2.3. Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥ 7.
Pour tous α, β ∈ σC (D), on a ε(D − α) = ε(D − β).
Preuve. Considérons des éléments distincts α et β de σC (D). Supposons
tout d’abord que ∣S∣ = 7. Par le théorème 1.6, D − α et D − β sont isomorphes
à G6 , G6 , Q6 , Q6 , R6 ou R6 . Par l’observation 1, on peut supposer que D − α
est isomorphe à G6 , Q6 ou R6 . Si D − α est isomorphe à G6 ou Q6 , alors
D − {α, β} admet un sous-digraphe vide sur 3 sommets. Il s’ensuit que D − β
est isomorphe à G6 ou Q6 . De plus, si D − α ≃ G6 , alors D − {α, β} est
symétrique, alors que si D − α ≃ Q6 , alors D − {α, β} ne l’est pas. Comme
on a les mêmes implications en remplaçant D − α par D − β, on obtient que
D − α ≃ D − β. Par contre, si D − α ≃ R6 , alors D − {α, β} contient un ordre
total sur 3 sommets et un sous-digraphe vide sur 2 sommets. Nécessairement,
D − β ≃ R6 .
A présent, supposons par l’absurde que ε(D−α) ≠ ε(D−β) lorsque ∣S∣ ≥ 8.
En échangeant α et β, on peut supposer que ε(D − α) ≠ v. En outre, par
31
l’observation 1, on peut supposer que ε(D − α) = g, h, q, r, t ou u. Il découle
alors des remarques 1.(iii), 2.(iii), 4.(v) et 5.(vi) et de l’observation 2 qu’il
existe γ ∈ S ∖ {α, β} tel que D − {α, β, γ} est un digraphe critique tel que
ε(D − {α, β, γ}) = ε(D − α). Or, d’après le corollaire 2.2, ε(D − {α, β, γ}) =
ε(D − β). ◻
Les lemmes et propositions ci-dessous précisent le théorème 2.1.
Lemme 2.4. Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥ 7. S’il
existe α ∈ S tel que D − α ≃ T2n+1 , alors ∣σC (D)∣ ≤ 1.
Preuve. Supposons par l’absurde que ∣σC (D)∣ ≥ 2 et considérons β ∈ σC (D)∖
{α}. Il découle de la proposition 2.3 que D−α ≃ D−β. Soit f un isomorphisme
de T2n+1 sur D − α et soit g un isomorphisme de T2n+1 sur D − β. Par la
remarque 2.(ii), on peut supposer que β = f (0). Dans D − α, on a
f ({n + 1, . . . , 2n}) Ð→ f (0) Ð→ f ({1, . . . , n}).
Par la remarque 2.(ii), d−D−α (f (i)) = d+D−α (f (i)) = n pour tout i ∈ {0, . . . , 2n}.
Par suite, pour tout j ∈ {1, . . . , n}, d−D−{α,f (0)} (f (j)) = n − 1 et pour tout
k ∈ {n + 1, . . . , 2n}, d+D−{α,f (0)} (f (k)) = n − 1. Par la remarque 2.(ii), comme g
est un isomorphisme de T2n+1 sur D − f (0), d−D−f (0) (g(i)) = d+D−f (0) (g(i)) = n
pour tout i ∈ {0, . . . , 2n}. Il s’ensuit que
f ({n + 1, . . . , 2n}) Ð→ α Ð→ f ({1, . . . , n}).
Par conséquent,
f ({n + 1, . . . , 2n}) Ð→ {f (0), α} Ð→ f ({1, . . . , n})
32
et donc {α, f (0)} serait un intervalle non trivial de D. ◻
Lemme 2.5. Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥ 7. S’il
existe α ∈ S tel que D − α ≃ U2n+1 , alors ∣σC (D)∣ ≤ 1.
Preuve. Supposons par l’absurde que ∣σC (D)∣ ≥ 2 et considérons β ∈ σC (D)∖
{α}. Par la proposition 2.3, D − α ≃ D − β. Soit f un isomorphisme de U2n+1
sur D − α et soit g un isomorphisme de U2n+1 sur D − β. Il découle des deux
premières assertions de la remarque 3 que {f (n + j); 1 ≤ j ≤ n} est l’ensemble
des centres de diamants de D − α et que {g(n + j); 1 ≤ j ≤ n} est l’ensemble
des centres de diamants de D − β. Deux cas se présentent alors :
ou bien β ∈ {f (i); 0 ≤ i ≤ n}
ou bien β ∈ {f (n + j); 1 ≤ j ≤ n}.
1. Supposons qu’il existe i ∈ {0, . . . , n} tel que β = f (i). Par la remarque
3.(ii), f (n+j) est un centre de diamants de D−{α, f (i)} pour 1 ≤ j ≤ n.
Par ce qui précède,
{f (n + j); 1 ≤ j ≤ n} = {g(n + j); 1 ≤ j ≤ n}.
Or,
⎧
⎪
⎪
⋆
⎪
⎪
⎪(D − α) [{f (n + j); 1 ≤ j ≤ n}] = f (n + 1) < . . . < f (2n)
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪(D − f (i))⋆ [{g(n + j); 1 ≤ j ≤ n}] = g(n + 1) < . . . < g(2n).
⎪
⎩
Il s’ensuit que g(n + j) = f (n + j) pour tout 1 ≤ j ≤ n. De plus, par
la remarque 3.(i), d−D−α (f (j)) = n pour tout j ∈ {0, . . . , n}. On obtient
33
donc que pour tout j ∈ {1, . . . , i − 1}, d−D−{α,f (i)} (f (j)) = n et pour
tout j ∈ {i + 1, . . . , n}, d−D−{α,f (i)} (f (j)) = n − 1. Comme pour tout
j ∈ {0, . . . , n}, d−D−f (i) (g(j)) = n, on obtient que
{f (k); 0 ≤ k ≤ i − 1} Ð→ α Ð→ {f (k); i + 1 ≤ k ≤ n}.
Ainsi, f et g coı̈ncident sur S ∖ {α, f (i)} et g(i) = α. En conséquence,
{α, f (i)} serait un intervalle non trivial de D.
2. Supposons qu’il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que β = f (n+i). Par la remarque
3.(ii),
({f (n + j); 1 ≤ j ≤ n} ∖ {f (n + i)}) ⊆ {g(n + j); 1 ≤ j ≤ n}.
Montrons que α ∈ {g(n + j); 1 ≤ j ≤ n}.
Sinon, il existe l ∈ {0, . . . , n} tel que α = g(l). Il existe alors p ∈
{0, . . . , n} tel que f (p) ∈ {g(n + j); 1 ≤ j ≤ n}. Par la remarque 3.(ii),
f (p) serait le centre d’un diamant de (D − f (n + i)) − α et donc de
D − α ; ce qui contredit la remarque 3.(i) puisque p ∈ {0, . . . , n}.
Ainsi,
α ∈ {g(n + j); 1 ≤ j ≤ n}
et donc
{f (j); 0 ≤ j ≤ n} = {g(j); 0 ≤ j ≤ n}.
Comme
⎧
⎪
⎪
⋆
⎪
⎪
⎪(D − α) [{f (j); 0 ≤ j ≤ n}] = f (0) < . . . < f (n)
⎨
⎪
⎪
⎪
(D − f (n + i))⋆ [{g(j); 0 ≤ j ≤ n}] = g(0) < . . . < g(n),
⎪
⎪
⎩
34
f et g coı̈ncident sur {0, . . . , n}.
Par ailleurs, par la remarque 3.(ii),
d−D−α (f (n + j)) est impair pour tout j ∈ {1, . . . , n}.
Or,
⎧
⎪
⎪
−
−
⎪
⎪
⎪dD−{α,f (n+i)} (f (n + j)) = dD−α (f (n + j)) − 1 pour j ∈ {1, . . . , i − 1}
⎨
⎪
⎪
⎪
d−
(f (n + j)) = d−D−α (f (n + j)) pour j ∈ {i + 1, . . . , n}.
⎪
⎪
⎩ D−{α,f (n+i)}
Puisque d−D−f (n+i) (g(n + j)) est aussi impair pour tout j ∈ {1, . . . , n}, on
obtient que
{f (n + j); 1 ≤ j ≤ i − 1} ←Ð α ←Ð {f (n + j); i + 1 ≤ j ≤ n}.
Par conséquent,
{f (n + j); 1 ≤ j ≤ i − 1} ←Ð {α, f (n + i)} ←Ð {f (n + j); i + 1 ≤ j ≤ n}.
Enfin, comme f et g coı̈ncident sur {0, . . . , n}, {α, f (n + i)} serait un
intervalle non trivial de D.
◻
Lemme 2.6. Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥ 7. S’il
existe α ∈ S tel que D − α ≃ V2n+1 , alors ∣σC (D)∣ ≤ 1.
Preuve. Supposons par l’absurde que ∣σC (D)∣ ≥ 2 et considérons β ∈ σC (D)∖
{α}. Par la proposition 2.3, D − α ≃ D − β. Soit f un isomorphisme de V2n+1
35
sur D − α et soit g un isomorphisme de V2n+1 sur D − β. Il découle de la
remarque 4.(iii) que si β = f (2n), alors g(2n) = α et f (i) = g(i) pour tout
i ∈ {0, . . . , 2n − 1}. Par suite, {α, f (2n)} serait un intervalle non trivial de D.
Ainsi, il existe i ∈ {0, . . . , 2n − 1} tel que β = f (i).
Montrons à présent que g(2n) = f (2n).
Sinon, il existe j ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {i} tel que g(2n) = f (j). D’après
la remarque 4.(ii), (D − α) − {f (i), f (j)} abrite un 3-cycle et donc
D − {β, g(2n)} ne serait pas un ordre total. Ainsi, g(2n) = f (2n).
Par la remarque 4.(i),
d−D−α (f (j)) est impair pour tout j ∈ {0, . . . , 2n − 1}.
Or,
⎧
⎪
⎪
−
−
⎪
⎪
⎪dD−{α,f (i)} (f (j)) = dD−α (f (j)) pour j ∈ {0, . . . , i − 1}
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪d−D−{α,f (i)} (f (j)) = d−D−α (f (j)) − 1 pour j ∈ {i + 1, . . . , 2n − 1}.
⎪
⎩
Puisque d−D−f (i) (g(j)) est aussi impair pour tout j ∈ {0, . . . , 2n−1}, on obtient
que
{f (j); 0 ≤ j ≤ i − 1} Ð→ α Ð→ {f (j); i + 1 ≤ j ≤ 2n − 1}.
Par conséquent,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪g(i) = α,
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪f ({0, . . . , i − 1}) Ð→ {α, f (i)} Ð→ f ({i + 1, . . . , 2n − 1}),
⎪
⎩
et donc {α, f (i)} serait un intervalle non trivial de D. ◻
La proposition suivante est une conséquence immédiate des trois lemmes
précédents.
36
Proposition 2.7. Considérons un digraphe indécomposable D = (S, A) tel
que ∣S∣ ≥ 7. S’il existe x ∈ S tel que D − x est un tournoi critique, alors
∣σC (D)∣ ≤ 1.
Lemme 2.8. Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥ 7. S’il
existe α ∈ S tel que D − α ≃ G2n , alors ∣σC (D)∣ ≤ 2.
Preuve. Supposons que ∣σC (D)∣ ≥ 2 et considérons β ∈ σC (D) ∖ {α}. Par la
proposition 2.3, D − α ≃ D − β. Il existe donc un isomorphisme f de G2n sur
D − α et un isomorphisme g de G2n sur D − β. Distinguons alors les quatre
cas suivants.
Supposons que β = f (0). Comme D − f (0) est indécomposable et comme
f (1)⋯S ∖{α, f (0)}, α ←→ f (1). Par la remarque 5.(iii), la permutation
φ2n de {0, . . . , 2n−1} qui échange i et (2n−1)−i est un automorphisme
de G2n . Par suite, quitte à considérer l’isomorphisme g ○ φ2n de G2n sur
D − β au lieu de g, on peut supposer que f (1) ∈ {g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}
et donc que α ∈ {g(2i); 0 ≤ i ≤ n − 1}. Comme f (1)⋯S ∖ {α, f (0)} et
α ←→ f (1), dD−f (0) (f (1)) = 1. Par la remarque 5.(i), f (1) = g(1) ou
g(2n − 2). De plus, comme f (1) ∈ {g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}, g(1) = f (1)
et donc g(0) = α.
Supposons par l’absurde que f (2) ∈ {g(2i); 0 ≤ i ≤ n − 1}.
Puisque f (2) ←→ {f (3), f (5), . . . , f (2n − 1)} dans D − α,
{f (3), f (5), . . . , f (2n − 1)} ⊆ {g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}
37
et donc
{g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1} = {f (2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}.
Il s’ensuit que
{g(2i); 1 ≤ i ≤ n − 1} = {α} ∪ {f (2), f (4), . . . , f (2n − 2)}.
On obtient alors
{f (2), f (4), . . . , f (2n − 2)}⋯{α, f (0)} ←→ {f (2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}.
Ainsi, {α, f (0)} serait un intervalle non trivial de D.
Par conséquent, f (2) ∈ {g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}.
Comme f (2) ←→ {f (2i + 1); 1 ≤ i ≤ n − 1}, on a
{g(2i); 0 ≤ i ≤ n − 1} = {α} ∪ {f (2i + 1); 1 ≤ i ≤ n − 1}
et donc
{g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1} = {f (1)} ∪ {f (2i); 1 ≤ i ≤ n − 1}.
On obtient donc que
{f (2j + 1); 1 ≤ j ≤ n − 1}⋯α ←→ {f (1)} ∪ {f (2j); 1 ≤ j ≤ n − 1}
lorsque f (0) ∈ σC (D).
Supposons que β = f (2n − 1). Par la remarque 5.(iii), on peut considérer
l’isomorphisme f ○ φ2n de G2n sur D − α au lieu de f . On obtient que
β = (f ○ φ2n )(0). Par ce qui précède,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪{(f ○ φ2n )(2j + 1); 1 ≤ j ≤ n − 1}⋯α,
⎨
⎪
⎪
⎪
α ←→ {(f ○ φ2n )(1)} ∪ {(f ○ φ2n )(2j); 1 ≤ j ≤ n − 1},
⎪
⎪
⎩
38
c’est-à-dire,
{f (2j); 0 ≤ j ≤ n − 2}⋯α ←→ {f (2n − 2)} ∪ {f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 2}.
Supposons qu’il existe i ∈ {1, . . . , n − 1} tel que β = f (2i). Comme
f (0) ←→ {f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)},
on peut supposer, quitte à échanger g ○ φ2n et g, que
{g(2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1} = {f (2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}
et que
{g(2i); 0 ≤ i ≤ n − 1} = ({f (2j), 0 ≤ j ≤ n − 1} ∖ {f (2i)}) ∪ {α}.
Par la remarque 5.(i), dD−α (f (2j + 1)) = j + 1 pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1.
Considérons 0 ≤ j ≤ i − 1. Puisque f (2i)⋯f (2j + 1),
dD−{α,f (2i)} (f (2j + 1)) = j + 1.
Par suite, dD−f (2i) (f (2j + 1)) = j + 1 ou j + 2. Il découle de la remarque
5.(i) que
f (2j + 1) = g(2j + 1) ou g(2(j + 1) + 1).
A présent, considérons i ≤ j ≤ n − 1. Comme f (2i) ←→ f (2j + 1),
dD−{α,f (2i)} (f (2j + 1)) = j.
Par suite, dD−f (2i) (f (2j + 1)) = j ou j + 1. Par la remarque 5.(i),
f (2j + 1) = g(2(j − 1) + 1) ou g(2j + 1).
39
Il s’ensuit que
{g(2(i − 1) + 1), g(2i + 1)} = {f (2(i − 1) + 1), f (2i + 1)}.
(2.1)
On en déduit alors que
⎧
⎪
⎪
⎪
{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ i − 2} =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ i − 2},
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
{g(2j + 1); i + 1 ≤ j ≤ n − 1} =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{f (2j + 1); i + 1 ≤ j ≤ n − 1}.
⎪
⎩
(2.2)
En outre, par la remarque 5.(iv), {f (2(i − 1) + 1), f (2i + 1)} est un
intervalle de D −{α, f (2i)} et {g(2(i−1)+1), g(2i+1)} est un intervalle
de D −{f (2i), g(2i)}. Comme D −f (2i) est indécomposable, on obtient
par (2.1) que g(2i) = α.
Par (2.2), on a
{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ i − 2}⋯α ←→ {f (2j + 1); i + 1 ≤ j ≤ n − 1}.
Rappelons que {f (2i − 1), f (2i + 1)} est un intervalle de D − {α, f (2i)}
par la remarque 5.(iv). Comme D − f (2i) est indécomposable,
ou bien f (2i − 1)⋯α ←→ f (2i + 1)
ou bien f (2i + 1) . . . α ←→ f (2i − 1).
Dans le premier cas, {α, f (2i)} serait un intervalle non trivial de D car
D[{f (2j); 0 ≤ j ≤ n − 1}] et D[({f (2j), 0 ≤ j ≤ n − 1} ∖ {f (2i)}) ∪ {α}]
sont vides.
40
En conclusion, s’il existe i ∈ {1, . . . , n − 1} tel que f (2i) ∈ σC (D), alors
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
{f (2j); j ∈ {0, . . . , n − 1} ∖ {i}}⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ i − 2} ∪ {f (2i + 1)}⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{f (2j + 1); i + 1 ≤ j ≤ n − 1} ∪ {f (2i − 1)} ←→ α.
⎪
⎪
⎩
Supposons qu’il existe i ∈ {0, . . . , n − 2} tel que β = f (2i + 1). Par la remarque 5.(iii), on peut considérer l’isomorphisme f ○ φ2n de G2n sur
D − α au lieu de f . On obtient que β = (f ○ φ2n )(2(n − i − 1)), où
1 ≤ n − i − 1 ≤ n − 1. Par ce qui précède,
⎧
⎪
⎪
⎪
{(f ○ φ2n )(2j); j ∈ {0, . . . , n − 1} ∖ {n − i − 1}}⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{(f ○ φ2n )(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − i − 3}⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨(f ○ φ2n )(2(n − i − 1) + 1)⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{(f ○ φ2n )(2j + 1); n − i ≤ j ≤ n − 1} ←→ α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(f ○ φ2n )(2(n − i − 1) − 1) ←→ α,
⎪
⎪
⎩
c’est-à-dire,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
{f (2j + 1); j ∈ {0, . . . , n − 1} ∖ {i}}⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨{f (2j); i + 2 ≤ j ≤ n − 1} ∪ {f (2i)}⋯α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{f (2j); 0 ≤ j ≤ i − 1} ∪ {f (2(i + 1))} ←→ α.
⎪
⎪
⎩
Nous concluons en comparant les quatre cas ci-dessus lorsque ∣σC (D)∣ ≥ 2.
On considère à nouveau un élément α de σC (D) et un isomorphisme f de
G2n sur D − α. Nous distinguons les trois cas suivants.
41
Supposons que f (0) ∈ σC (D). On a
α ←→ {f (1)} ∪ {f (2j); 1 ≤ j ≤ n − 1}.
En particulier, comme α ←→ f (2),
f (2n − 1) ∈/ σC (D)
et, comme α ←→ f (4),
f (1) ∈/ σC (D).
De plus, pour tout i ∈ {1, . . . , n − 1}, il existe j ∈ {1, . . . , n − 1} ∖ {i} car
∣S∣ ≥ 7 et donc n ≥ 3. Puisque α ←→ f (2j),
f (2i) ∈/ σC (D).
Enfin, comme α ←→ f (1),
f (2i + 1) ∈/ σC (D) pour 1 ≤ i ≤ n − 2.
Par conséquent,
f (0) ∈ σC (D) Ô⇒ σC (D) = {α, f (0)}.
Supposons que f (2n − 1) ∈ σC (D). En considérant f ○ φ2n au lieu de f , on
obtient que (f ○ φ2n )(0) ∈ σC (D). Par ce qui précède,
σC (D) = {α, (f ○ φ2n )(0)} = {α, f (2n − 1)}.
Supposons que f (0), f (2n − 1) ∈/ σC (D). Quitte à échanger f ○φ2n et f , on
peut supposer qu’il existe
i ∈ {1, . . . , n − 1} tel que f (2i) ∈ σC (D).
42
Remarquons que pour tout k ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {2i}, si α ←→ f (k),
alors k est impair. Il s’ensuit que
f (2j + 1) ∈/ σC (D) pour 0 ≤ j ≤ n − 2.
Par conséquent, si f (0), f (2n − 1) ∈/ σC (D) et si σC (D) ∩ {f (2i); 1 ≤ i ≤
n − 1} ≠ ∅, alors σC (D) ⊆ {f (2i); 1 ≤ i ≤ n − 1}.
Enfin, pour tout i ∈ {1, . . . , n−1}, si f (2i) ∈ σC (D), alors f (2i+1)⋯α. De
plus, pour tout i ∈ {1, . . . , n−2}, si f (2i) ∈ σC (D), alors α ←→ f (2i+3).
Il s’ensuit que pour tout i ∈ {1, . . . , n − 2},
f (2i) ∈ σC (D) Ô⇒ f (2i′ ) ∈/ σC (D) pour i < i′ ≤ n − 1.
En conséquence,
∣σC (D) ∩ {f (2i); 1 ≤ i ≤ n − 1}∣ ≤ 1.
◻
Proposition 2.9. Considérons un digraphe indécomposable D = (S, A) tel
que ∣S∣ ≥ 7. S’il existe α ∈ S tel que D − α est isomorphe à G2n , G2n , Q2n ,
Q2n , R2n ou R2n , alors ∣σC (D)∣ ≤ 2.
Preuve. Par le lemme 2.8, ∣σC (D)∣ ≤ 2 lorsque D − α ≃ G2n . De plus, par
l’observation 1, D est aussi indécomposable et σC (D) = σC (D). On peut donc
supposer que D − α est isomorphe à Q2n ou à R2n . Supposons tout d’abord
que D − α ≃ Q2n . Par la proposition 2.3, D − β ≃ Q2n pour tout β ∈ σC (D).
←ÐÐÐ→ ←
→
←Ð→
Par suite, pour tout β ∈ σC (D), (D − β) = D − β est isomorphe à Q2n = G2n .
43
←
→
←
→
Ainsi, σC (D) ⊆ σC ( D). Si D est décomposable, alors l’observation 3 permet
←
→
de conclure. Si D est indécomposable, alors il suffit d’appliquer le lemme 2.8
←
→
car D − α ≃ G2n . On procède d’une façon analogue lorsque D − α ≃ R2n . En
effet, par la proposition 2.3, D − β ≃ R2n pour tout β ∈ σC (D). Par suite,
←
→
←
→
←→
pour tout β ∈ σC (D), D − β est isomorphe à R2n = G2n et donc D − β est
←
→
isomorphe à G2n . Ainsi, σC (D) ⊆ σC ( D). On conclut comme précédemment
←
→
suivant que D est décomposable ou pas. ◻
En fait, dans la proposition précédente, on a ∣σC (D)∣ ≤ 1 lorsque D − α
est isomorphe à R2n ou à R2n .
Proposition 2.10. Considérons un digraphe indécomposable D = (S, A) tel
que ∣S∣ ≥ 7. S’il existe α ∈ S tel que D − α est isomorphe à R2n ou à R2n ,
alors ∣σC (D)∣ ≤ 1.
Preuve. Par l’observation 1, on peut supposer en considérant D au lieu de
D que D − α ≃ R2n . Supposons par l’absurde que ∣σC (D)∣ ≥ 2 et considérons
β ∈ σC (D) ∖ {α}. Par la proposition 2.3, D − β ≃ R2n . Soit f un isomorphisme
de R2n sur D − α et soit g un isomorphisme de R2n sur D − β. Clairement, f
est un isomorphisme de (R2n )⋆ sur (D − α)⋆ = D⋆ − α. Par la remarque 7.(ii),
la permutation φ2n de {0, . . . , 2n − 1}, qui échange i et (2n − 1) − i pour
i ∈ {0, . . . , 2n − 1}, est un isomorphisme de R2n sur (R2n )⋆ . Par suite, f ○ φ2n
est un isomorphisme de R2n sur D⋆ − α. De plus, par l’observation 1, D⋆ est
aussi indécomposable et σC (D⋆ ) = σC (D). Ainsi, en considérant D⋆ au lieu
de D et f ○ φ2n au lieu de f , on peut supposer qu’il existe i ∈ {0, . . . , n − 1} tel
44
que β = f (2i). On va montrer que {α, f (2i)} serait un intervalle non trivial
de D. Distinguons les deux cas suivants.
Supposons que β = f (0). Comme f (1) Ð→ {f (j); 2 ≤ j ≤ 2n − 1} et comme
D − f (0) est indécomposable, d+D−f (0) (f (1)) = 2n − 2. Puisque g un
isomorphisme de R2n sur D − f (0), il découle de la remarque 7.(i) que
d+D−f (0) (g(j)) < 2n − 2 pour tout j ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {1}. Par suite,
g(1) = f (1).
Comme f (1) Ð→ {f (j); 2 ≤ j ≤ 2n − 1} et comme g(0)⋯g(1) Ð→
{g(j); 2 ≤ j ≤ 2n − 1}, on obtient que
g(0) = α.
A présent, montrons que g(2n − 1) = f (2n − 1).
Par la remarque 7.(i), d+D−α (f (2n − 1)) = 0. Puisque f (0)⋯f (2n − 1),
d+D−{α,f (0)} (f (2n − 1)) = 0. Enfin, comme α = g(0), on a ou bien
α⋯f (2n − 1) ou bien α Ð→ f (2n − 1). Ainsi, d+D−f (0) (f (2n − 1)) =
0. Puisque g un isomorphisme de R2n sur D − f (0), il découle de
la remarque 7.(i) que f (2n − 1) = g(2n − 2) ou g(2n − 1). Par la
remarque 7.(i), d−D−α (f (2n − 1)) = n − 1. Comme f (0)⋯f (2n − 1),
d−D−{α,f (0)} (f (2n − 1)) = n − 1 et donc d−D−f (0) (f (2n − 1)) = n − 1 ou n.
Puisque d−D−f (0) (g(2n − 2)) = 2n − 2 > n, on en déduit que
f (2n − 1) = g(2n − 1).
45
Finalement, comme
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪f (2n − 1)⋯{f (2j); 1 ≤ j ≤ n − 1}
⎨
⎪
⎪
⎪
g(2n − 1)⋯{g(2j); 0 ≤ j ≤ n − 1},
⎪
⎪
⎩
on obtient que
{g(2j); 0 ≤ j ≤ n − 1} = {α} ∪ {f (2j); 1 ≤ j ≤ n − 1}
et donc
{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1} = {f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}.
Par suite,
{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}⋯α Ð→ {f (2j); 1 ≤ j ≤ n − 1}
et {α, f (0)} serait un intervalle non trivial de D.
Supposons que β = f (2i), où i ∈ {1, . . . , n − 1}. On a
f (0)⋯{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}.
Or, il résulte de la remarque 7.(i) que pour tout j ∈ {0, . . . , 2n − 1},
∣{k ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {j} ∶ g(k)⋯g(j)}∣ ≤ n. Par suite, étant donné
j ∈ {0, . . . , 2n − 1}, on a :
∣{k ∈ {0, . . . , 2n − 1} ∖ {j} ∶ g(k)⋯g(j)}∣ = n ⇐⇒ j = 0 ou 2n − 1.
Ainsi,
f (0) = g(0) ou g(2n − 1).
46
Mais, par la remarque 7.(i), d−D−α (f (0)) = 0. Puisque f (0) Ð→ f (2i),
d−D−{α,f (2i)} (f (0)) = 0. Ainsi, d−D−f (2i) (f (0)) = 0 ou 1. Il découle alors de
la remarque 7.(i) que
f (0) ∈ {g(0), g(1), g(3)}.
Comme 2n − 1 > 3, on obtient que
g(0) = f (0).
Puisque
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪f (0)⋯{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}
⎨
⎪
⎪
⎪
g(0)⋯{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1},
⎪
⎪
⎩
on a
{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1} = {f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}
et donc
{g(2j); 0 ≤ j ≤ n − 1} = {α} ∪ {f (2j); j ∈ {0, . . . , n − 1} ∖ {i}}.
Enfin, par la remarque 7.(i), d+D−α (f (2j + 1)) = 2(n − j − 1) pour tout
0 ≤ j ≤ n − 1. Par suite,
⎧
⎪
⎪
⎪
pour tout 0 ≤ j ≤ i − 1, f (2j + 1) Ð→ f (2i) Ô⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
d+D−{α,f (2i)} (f (2j + 1)) = 2(n − j − 1) − 1,
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
pour tout i ≤ j ≤ n − 1, f (2i)⋯f (2j + 1) Ô⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
d+D−{α,f (2i)} (f (2j + 1)) = 2(n − j − 1).
⎪
⎩
47
Or, par la remarque 7.(i), d+D−f (2i) (g(2j + 1)) est pair pour tout 0 ≤ j ≤
n − 1. Il s’ensuit que
{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ i − 1} Ð→ α⋯{f (2j + 1); i ≤ j ≤ n − 1}
et donc
{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ i − 1} Ð→ {α, f (2i)}⋯{f (2j + 1); i ≤ j ≤ n − 1}.
Pour montrer que {α, f (2i)} serait un intervalle de D, il suffit donc de
vérifier que
{f (2j); 0 ≤ j ≤ i − 1} Ð→ α Ð→ {f (2j); i + 1 ≤ j ≤ i − 1}.
(2.3)
Par la remarque 7.(i),
d−D−α (f (2j)) = 2j pour toutj ∈ {0, . . . , n − 1} ∖ {i}.
Mais, puisque
{f (2j); 0 ≤ j ≤ i − 1} Ð→ f (2i) Ð→ {f (2j); i + 1 ≤ j ≤ n − 1},
on obtient que
⎧
⎪
⎪
−
⎪
⎪
⎪dD−{α,f (2i)} (f (2j)) = 2j pour tout 0 ≤ j ≤ i − 1,
⎨
⎪
⎪
⎪
d−
(f (2j)) = 2j − 1 pour tout i + 1 ≤ j ≤ n − 1.
⎪
⎪
⎩ D−{α,f (2i)}
Or, par la remarque 7.(i), d−D−f (2i) (g(2j)) est pair pour tout 0 ≤ j ≤ n−1.
Par conséquent, (2.3) est satisfait.
◻
48
Proposition 2.11. Soit D = (S, A) un digraphe indécomposable tel que ∣S∣ ≥
7. S’il existe α ∈ S tel que D − α est isomorphe à H2n+1 ou à H2n+1 , alors
∣σC (D)∣ ≤ 2.
Preuve. Par l’observation 1, on peut supposer que D−α ≃ H2n+1 . Supposons
que ∣σC (D)∣ ≥ 2 et considérons β ∈ σC (D) ∖ {α}. Par la proposition 2.3,
D − β ≃ H2n+1 . Soit f un isomorphisme de H2n+1 sur D − α et soit g un
isomorphisme de H2n+1 sur D − β.
Tout d’abord, montrons que
β ∈ {f (2i + 1); 0 ≤ i ≤ n − 1}.
Sinon,
il existe i ∈ {0, . . . , n} tel que β = f (2i).
Pour tous k ∈ {0, . . . , n − 1} et x ∈ S ∖ {α, f (2k + 1)}, on a x Ð→ f (2k + 1)
ou f (2k + 1) Ð→ x. Par la remarque 6.(ii), pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1},
f (2k + 1) ∈/ {g(2j); 0 ≤ j ≤ n}. Il s’ensuit que
{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1} = {f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}
et donc que
{g(2j); 0 ≤ j ≤ n} = {f (2j); j ∈ {0, . . . , n} ∖ {i}} ∪ {α}.
Comme
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(D − α)[{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}] = f (1) < f (3) < ⋯ < f (2n − 1)
⎨
⎪
⎪
⎪
(D − f (2i)[{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}] = g(1) < g(3) < ⋯ < g(2n − 1),
⎪
⎪
⎩
49
on obtient que
g(2j + 1) = f (2j + 1) pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1.
Nous distinguons les trois cas suivants pour obtenir une contradiction.
Supposons que β = f (0). On en déduit que g(0) = α car
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
f (1) Ð→ {f (l); 2 ≤ l ≤ 2n},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨g(1) = f (1),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
g(0) Ð→ g(1).
⎪
⎪
⎩
Ainsi,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪{f (2j); j ∈ {1, . . . , n}}⋯{f (0), α}
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪{f (0), α} Ð→ {f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1},
⎪
⎩
et donc {f (0), α} serait un intervalle non trivial de G.
Supposons que β = f (2n). En considérant D⋆ au lieu de D, on en déduit
{f (2n), α} serait un intervalle non trivial de D. En effet, f est aussi
un isomorphisme de (H2n+1 )⋆ sur D⋆ − α. Par la remarque 6.(v), la
permutation φ2n+1 de {0, . . . , 2n}, qui échange i et 2n − i pour tout i ∈
{0, . . . , 2n}, est un isomorphisme de H2n+1 sur (H2n+1 )⋆ . Ainsi, f ○φ2n+1
est un isomorphisme de H2n+1 sur D⋆ − α. Puisque β = f (2n) = (f ○
φ2n+1 )(0), il découle de ce qui précède que {(f ○ φ2n+1 )(0), α} serait un
intervalle non trivial de D⋆ et donc de D par l’observation 1.
Supposons que β = f (2i), où 1 ≤ i ≤ n − 1. Par la remarque 6.(iv), {f ( 2i−
1), f (2i + 1)} est un intervalle de (D − α) − f (2i) et {g(2i − 1), g(2i + 1)}
50
est un intervalle de (D − f (2i)) − g(2i). Puisque {f (2i − 1), f (2i + 1)} =
{g(2i−1), g(2i+1)} et puisque D −f (2i) est indécomposable, g(2i) = α.
Comme g(2j + 1) = f (2j + 1) pour tout 0 ≤ j ≤ n − 1, {f (2i), α} est un
intervalle de D[{f (2i), α} ∪ {f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}]. Finalement,
puisque D[{f (2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}] et D[{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1}]
sont vides, {f (2i), α} serait un intervalle non trivial de D.
Par conséquent, il existe 0 ≤ i ≤ n − 1 tel que β = f (2i + 1).
Comme D[{f (2j); 0 ≤ j ≤ n}] est un sous-digraphe vide de D − f (2i + 1),
il découle de la remarque 6.(ii) que
{f (2j); 0 ≤ j ≤ n} ⊆ {g(2j); 0 ≤ j ≤ n}.
Ainsi,
{g(2j); 0 ≤ j ≤ n} = {f (2j); 0 ≤ j ≤ n}
et donc
{g(2j + 1); 0 ≤ j ≤ n − 1} = {α} ∪ {f (2j + 1); j ∈ {0, . . . , n − 1} ∖ {i}}.
Par la remarque 6.(iii),
d−D−α (f (2j)) = j pour tout 0 ≤ j ≤ n.
Considérons 0 ≤ j ≤ i. Puisque f (2j) Ð→ f (2i + 1),
d−D−{α,f (2i+1)} (f (2j)) = j.
51
Par suite, d−D−f (2i+1) (f (2j)) = j ou j + 1. Il découle alors de la remarque 6.(iii)
que
f (2j) = g(2j) ou g(2(j + 1)).
A présent, considérons i + 1 ≤ j ≤ n. Puisque f (2i + 1) Ð→ f (2j),
d−D−{α,f (2i+1)} (f (2j)) = j − 1.
Par suite, d−D−f (2i+1) (f (2j)) = j − 1 ou j. Il découle alors de la remarque 6.(iii)
que
f (2j) = g(2(j − 1)) ou g(2j).
Il s’ensuit que
{g(2i), g(2(i + 1))} = {f (2i), f (2(i + 1))}.
On en déduit alors que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪{g(2j); 0 ≤ j ≤ i − 1} = {f (2j); 0 ≤ j ≤ i − 1},
⎨
⎪
⎪
⎪
{g(2j); i + 2 ≤ j ≤ n} = {f (2j); i + 2 ≤ j ≤ n}.
⎪
⎪
⎩
(2.4)
En outre, par la remarque 6.(iv), {f (2i), f (2(i + 1))} est un intervalle de
D − {α, f (2i + 1)} et {g(2i), g(2(i + 1))} est un intervalle de D − {g(2i +
1), f (2i + 1)}. Comme {g(2i), g(2(i + 1))} = {f (2i), f (2(i + 1))} et comme
D − f (2i + 1) est indécomposable, on obtient que
g(2i + 1) = α.
Par (2.4), on a
{f (2j); 0 ≤ j ≤ i − 1} Ð→ α Ð→ {f (2j); i + 2 ≤ j ≤ n}.
52
Par suite, si f (2i) Ð→ α Ð→ f (2(i+1)), alors {α, f (2i+1)} serait un intervalle
non trivial de D. Par conséquent, f (2(i + 1)) Ð→ α Ð→ f (2i). On obtient
donc
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪{f (2j); 0 ≤ j ≤ i − 1} ∪ {f (2(i + 1))} Ð→ α,
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪{f (2j); i + 2 ≤ j ≤ n} ∪ {f (2i)} ←Ð α.
⎪
⎩
Finalement, supposons par l’absurde que ∣σC (D)∣ ≥ 3. Par ce qui précède,
σC (D)∖{α} ⊆ {f (2i+1); 0 ≤ i ≤ n−1}. Ainsi, il existerait i < i′ ∈ {0, . . . , n−1}
tels que f (2i + 1), f (2i′ + 1) ∈ σC (D). Puisque f (2i + 1) ∈ σC (D), on a α Ð→
f (2i) mais, puisque f (2i′ + 1) ∈ σC (D) et i < i′ , on devrait avoir f (2i) Ð→ α.
◻
Le théorème 2.1 découle directement des propositions 2.7, 2.9 et 2.11.
Comme l’indique l’exemple ci-dessous, il existe des digraphes indécomposables
dont le support critique est une paire. La majoration de la taille du support
critique proposée dans le théorème 2.1 est donc optimale.
Étant donné n ≥ 3, considérons le digraphe symétrique D défini sur
{0, . . . , 2n} par
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
D − 2n = G2n ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(voir la figure 2.1) ⎨{2j + 1; 1 ≤ j ≤ n − 1}⋯2n,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{1} ∪ {2i; 1 ≤ i ≤ n − 1} ←→ 2n.
⎪
⎪
⎩
Comme on l’a remarqué dans l’observation 3, si D admet un intervalle
non trivial I, alors ou bien I = {0, . . . , 2n−1} ou bien il existe i ∈ {0, . . . , 2n−1}
tel que I = {i, 2n}. Puisque 3⋯2n ←→ 0, {0, . . . , 2n − 1} n’est pas un intervalle
53
*1
6
2n Y
. . 3
.
.
.
6
*
?
?
j
0 . . 2 .
.
2n − 1
*
6
.
2n − 2
?
Figure 2.1 – σC (D) = {0, 2n}.
de D. A présent, supposons qu’il existe i ∈ {0, . . . , 2n − 1} tel que I = {i, 2n}.
Comme dD (2n) = n+1, dD−2n (i) = n ou n+1. Puisque D −2n = G2n , il découle
de la remarque 5.(i) que i = 0 ou 2n − 1. Or, {0, 2n} n’est pas un intervalle de
D parce que 0⋯2 ←→ 2n, et {2n − 1, 2n} n’est pas un intervalle de D parce
que 2n − 1⋯1 ←→ 2n. Il s’ensuit que D est indécomposable. Enfin, comme
D −2n = G2n , 2n ∈ σC (D). De plus, la fonction {0, . . . , 2n−1} Ð→ {1, . . . , 2n},
définie par 2n − 2 ↦ 1, 2n − 1 ↦ 2n et i ↦ i + 2 pour 0 ≤ i ≤ 2n − 3, réalise un
isomorphisme de G2n sur D−0. Par suite, comme ∣σC (D)∣ ≤ 2 par le théorème
2.1, on obtient que σC (D) = {0, 2n}.
Enfin, notons que le théorème 2.1 n’est plus valable pour les digraphes
ayant six sommets. Le seuil utilisé dans le théorème 2.1 est donc aussi optimal. Considérons le tournoi T défini sur {0, 1, 2, 3, 4, 5} par
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪T − 5 = V5 ,
(voir la figure 2.2) ⎨
⎪
⎪
⎪
3 Ð→ 5 Ð→ {0, 1, 2, 4}.
⎪
⎪
⎩
54
5
I
?
4
I
6
?
0
?
-1
R ?
2
-3
Figure 2.2 – {0, 2, 5} ⊆ σC (D).
La fonction {0, . . . , 4} Ð→ {1, . . . , 5} définie par
0
1
2
3
4
↧
↧
↧
↧
↧
5
1
4
2
3
est un isomorphisme de V5 sur T − 0.
De plus, la fonction {0, . . . , 4} Ð→ {0, 1, 3, 4, 5} définie par
0
1
2
3
4
↧
↧
↧
↧
↧
0
1
3
4
5
est un isomorphisme de U5 sur T − 2. Ainsi, {0, 2, 5} ⊆ σC (D) et il découle de
l’observation 3 que T est indécomposable.
55
Chapitre 3
Tournois partiellement critiques
Un tournoi indécomposable T = (S, A) est partiellement critique [6, 7] s’il
existe une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, T [X] est indécomposable
et T est (S ∖X)-critique.
Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie stricte X de
S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Afin d’étudier les tournois
partiellement critiques, nous affinons la partition pT [X] de la façon suivante.
L’élément ⟨X⟩ de pT [X] est subdivisé comme suit :
● X − est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que x Ð→ X ;
● X + est l’ensemble des x ∈ S ∖ X tels que x ←Ð X.
De même, pour tout u ∈ X, on subdivise X(u) comme suit :
● X − (u) est l’ensemble des x ∈ X(u) tels que x Ð→ u ;
● X + (u) est l’ensemble des x ∈ X(u) tels que x ←Ð u.
On obtient ainsi les sous-familles suivantes de pT [X] :
● qT [X] = {Ext(X)} ∪ {X − , X + } ∪ {X − (u), X + (u)}u∈X ;
56
● qT− [X] = {X − } ∪ {X − (u)}u∈X ;
● qT+ [X] = {X + } ∪ {X + (u)}u∈X .
Comme il est indiqué au chapitre 1, l’objet de ce chapitre est de démontrer
les théorèmes 1.14 et 1.15.
3.1
Préliminaires
Dans le cas des digraphes symétriques, le théorème 1.8 devient :
Théorème 3.1 (Schmerl and Trotter [19]). Étant donné un digraphe symétrique et indécomposable G = (S, A) tel que ∣S∣ ≥ 4, G est critique si et
seulement G est isomorphe à G2n ou G2n où n ≥ 2.
Rappelons les propriétés suivantes de G2n (voir la remarque 5).
Remarque 8. Considérons un entier n ≥ 1.
(i) Pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}, dG2n (2i) = n − i et dG2n (2i + 1) = i + 1.
(ii) G2n est biparti par B(G2n ) = {{0, 2, . . . , 2n − 2}, {1, 3, . . . , 2n − 1}}.
(iii) La permutation φ2n de {0, . . . , 2n − 1}, qui échange i et (2n − 1) − i pour
i ∈ {0, . . . , 2n−1}, et Id{0,...,2n−1} sont les seules automorphismes de G2n .
(iv) Supposons que n ≥ 2. Pour tout j ∈ {0, . . . , 2n − 1}, G2n − j admet un
unique intervalle non trivial Ij determiné par
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
I0 = {2, . . . , 2n − 1},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨I2n−1 = {0, . . . , 2n − 3},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Ij = {j − 1, j + 1} pour 1 ≤ j ≤ 2n − 2.
⎪
⎪
⎩
57
La remarque suivante découle de la définition des éléments de qT [X] .
Remarque 9. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons X ⊆ S tel que
∣X∣ ≥ 3, ∣S ∖ X∣ ≥ 2 et T [X] est indécomposable. Supposons que Ext(X) = ∅.
Pour tous x ≠ y ∈ S ∖ X, on a : {x, y} est un intervalle de T (X ∪ {x, y}) si et
seulement si x et y appartiennent au même élément de qT [X] .
Rappelons les propriétés suivantes des composantes connexes d’un digraphe et des composantes fortement connexes d’un tournoi.
Remarque 10. Considérons une composante connexe C d’un digraphe D =
(S, A). Pour tous c ∈ C et x ∈ S ∖ C, on a (c, x), (x, c) ∈/ A. Ainsi, C est
un intervalle de D. De plus, D induit un graphe vide entre ses composantes
connexes.
Remarque 11. Étant donné un tournoi T = (S, A), toute composante fortement connexe C de T est un intervalle de T . En effet considérons a, b ∈ C et
c ∈ S tels que a Ð→ c Ð→ b. Comme a, b ∈ C, il existe b = b0 , . . . , bn = a ∈ C tels
que bi Ð→ bi+1 pour 0 ≤ i ≤ n − 1. En considérons les suites b = b0 , . . . , bn , bn+1 =
c et c = c0 , c1 = b, on obtient que c ∈ C. Par suite, pour tout x ∈ S ∖ C, on a ou
bien x Ð→ C ou C Ð→ x. Ainsi, étant donnés deux composantes fortement
connexes distincts C et C ′ de T , ona C Ð→ C ′ ou C ′ Ð→ C. Par conséquent,
le tournoi T induit un ordre total entre ses composantes fortement connexes.
Le résultat suivant est une simple conséquence de la proposition 1.4.
Lemme 3.2. Soit T = (S, A) un tournoi indécomposable. Considérons une
partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Supposons
58
que T est (S ∖ X)-critique. Pour tout Y ⊊ S tel que Y ⊇ X, si T [Y ] est
indécomposable, alors ∣ S ∖ Y ∣ est pair. En particulier ∣S ∖ X∣ est pair et
T [X ∪ Z] est décomposable pour toute partie Z de S ∖ X telle que ∣Z∣ = 1 ou
3. De plus, pour tout Y ⊊ S tel que Y ⊇ X, si T [Y ] est indécomposable, alors
T [Y ] est (Y ∖X)-critique.
Preuve. Considérons une partie stricte Y de S telle que X ⊆ Y et T [Y ] est
indécomposable. Supposons par l’absurde que ∣S ∖Y ∣ est impair. Considérons
la famille F des parties strictes Y ′ de S telles que Y ⊆ Y ′ , ∣ Y ′ ∖ Y ∣ est pair
et T [Y ′ ] est indécomposable. Clairement, Y ∈ F. Par suite, F admet au
moins un élément Z maximal pour l’inclusion. Tout d’abord, montrons que
∣ S ∖ Z ∣= 1 ou 2. Sinon, ∣ S ∖ Z ∣≥ 3 et il découle de la proposition 1.4 qu’il
existe x ≠ y ∈ S ∖ Z tels que T [Z ∪ {x, y}] est indécomposable. Il s’ensuivrait
que Z ∪ {x, y} ∈ F. Par ailleurs, puisque ∣ S ∖ Y ∣ est impair et ∣ Z ∖ Y ∣ est
pair, ∣ S ∖ Z ∣ est impair et nécessairement ∣ S ∖ Z ∣= 1, ce qui contredit le fait
que T est (S ∖ X)-critique. ◻
Le corollaire suivant préçise le lemme 1.3 en utilisant le graphe GT [X] et
les éléments de qT [X] .
Corollaire 3.3. Soit T = (S, A) un tournoi. Considérons une partie X de S
telle que ∣X ∣≥ 3 et T [X] est indécomposable.
1. Pour tous x ∈ X + et y ∈ S ∖ (X ∪ ⟨X⟩), on a : (x, y) ∈ AT [X] (ou encore
(y, x) ∈ AT [X] ) si et seulement si x Ð→ y.
2. Pour tous x ∈ X − et y ∈ S ∖ (X ∪ ⟨X⟩), on a : (x, y) ∈ AT [X] si et
seulement si y Ð→ x.
59
3. Étant donné u ∈ X, pour tous x ∈ X(u) et y ∈ S ∖ (X ∪ X(u)) tel que
u Ð→ y, on a : (x, y) ∈ AT [X] si et seulement si y Ð→ x.
4. Étant donné u ∈ X, pour tous x ∈ X(u) et y ∈ S ∖ (X ∪ X(u)) tel que
y Ð→ u, on a : (x, y) ∈ AT [X] si et seulement si x Ð→ y.
Nous poursuivons par l’étude des intervalles et des sommets isolés du
graphe externe GT [X] associé au sous-tournoi indécomposable T [X] d’un
tournoi indécomposable T .
Lemme 3.4. Soit T = (S, A) un tournoi. Considérons une partie X de S telle
que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Si Ext(X) = ∅, alors les assertions
suivantes sont satisfaites.
1. Si I est un intervalle de T tel que I ∩ X = ∅, alors I est un intervalle
de GT [X] et il existe N ∈ qT [X] tel que I ⊆ N .
2. Soient M ∈ pT [X] et N ∈ qT [X] tels que N ⊆ M . Si I est un intervalle
de GT [X] tel que I ⊆ N et si I est un intervalle de T [M ], alors I est
un intervalle de T .
Preuve. Premièrement, considérons un intervalle I de T tel que I ∩ X = ∅.
Étant donnés i ≠ j ∈ I, on a I ∩ (X ∪ {i, j}) = {i, j} est un intervalle de T [X ∪
{i, j}] d’après la proposition 1.1. Par la remarque 9, i et j appartiennent au
même élément de qT [X] . Par suite, il existe N ∈ qT [X] tel que I ⊆ N . Notons
M l’unique élément de pT [X] qui contient N . Montrons alors que I est un
intervalle de GT [X] . Par la remarque 1, GT [X] [M ] est vide et donc I est un
intervalle de GT [X] [M ]. Considérons alors un élément x de (S ∖ X) ∖ M .
60
Comme I est un intervalle de T , on a ou bien x Ð→ I ou bien I Ð→ x. Le
corollaire 3.3 nous conduit à distinguer les cas suivants.
– Supposons qu’il existe u ∈ X tel que M = X(u) et que u Ð→ x. Par
le corollaire 3.3, si x Ð→ I (resp. I Ð→ x), alors (i, x) ∈ AT [X] (resp.
(i, x) ∉ AT [X] ) pour tout i ∈ I.
– Supposons qu’il existe u ∈ X tel que M = X(u) et que x Ð→ u. Par
le corollaire 3.3, si x Ð→ I (resp. I Ð→ x), alors (i, x) ∉ AT [X] (resp.
(i, x) ∈ AT [X] ) pour tout i ∈ I.
– Supposons que M = ⟨X⟩ et que N = X − . Par le corollaire 3.3, si x Ð→ I
(resp. I Ð→ x), alors (i, x) ∈ AT [X] (resp. (i, x) ∉ AT [X] ) pour tout i ∈ I.
– Supposons que M = ⟨X⟩ et que N = X + . Par le corollaire 3.3, si x Ð→ I
(resp. I Ð→ x), alors (i, x) ∉ AT [X] (resp. (i, x) ∈ AT [X] ) pour tout i ∈ I.
Dans tous les cas, I est un intervalle de GT [X] [I ∪ {x}]. Il s’ensuit que I est
un intervalle de GT [X] .
Deuxièmement, étant donnés M ∈ pT [X] et N ∈ qT [X] tels que N ⊆ M ,
considérons un intervalle I de GT [X] tel que I ⊆ N et I est un intervalle de
T [M ]. Montrons que I est un intervalle de T . Puisque I ⊆ N , il découle de la
remarque 9 que I est un intervalle de T [X ∪ I]. Par ailleurs, comme I est un
intervalle de T [M ], considérons x ∈ S ∖ (X ∪ M ). Puisque I est un intervalle
de GT [X] , on a ou bien (i, x) ∈ AT [X] pour tout i ∈ I ou bien (i, x) ∉ AT [X]
pour tout i ∈ I. A nouveau, le corollaire 3.3 nous conduit à distinguer les cas
suivants.
– Supposons qu’il existe u ∈ X tel que M = X(u) et par exemple que
u Ð→ x. Par le corollaire 3.3, si pour tout i ∈ I, (i, x) ∈ AT [X] (resp.
61
(i, x) ∉ AT [X] ), alors x Ð→ I (resp. I Ð→ x).
– Supposons que M = ⟨X⟩ et par exemple que N = X − . Par le corollaire 3.3,
si pour tout i ∈ I, (i, x) ∈ AT [X] (resp. (i, x) ∉ AT [X] ), alors x Ð→ I
(resp. I Ð→ x).
Dans tous les cas, I est un intervalle de T [I ∪ {x}]. Par conséquent, I est un
intervalle de T .
◻
Lemme 3.5. Soit T = (S, A) un tournoi. Considérons une partie X de S
telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable.
1. Si I est un intervalle de T tel que X ⊆ I, alors les éléments de S ∖ I
sont des sommets isolés de GT [X] .
2. Si I est un intervalle de T tel que I ∩ X = {u}, alors les éléments de
I ∖ {u} sont des sommets isolés de GT [X] .
Par conséquent, si T admet un intervalle non trivial I tel que I ∩ X ≠ ∅,
GT [X] possède des sommets isolés.
Preuve. Premièrement, considérons un intervalle I de T tel que X ⊆ I. Pour
tout x ∈ S ∖ I, il découle de la proposition 1.1 que I ∩ (X ∪ {x}) = X est un
intervalle de T [X ∪{x}]. Ainsi, S ∖I ⊆ ⟨X⟩. A présent, considérons x ∈ S ∖I et
montrons que x est un sommet isolé de GT [X] . Par la remarque 1, GT [X] [⟨X⟩]
est vide et donc x est un sommet isolé de GT [X] [⟨X⟩]. Considérons alors
y ∈ (S ∖ X) ∖ ⟨X⟩. Par ce qui précède, y ∈ I puisque S ∖ I ⊆ ⟨X⟩. Par la
proposition 1.1, I ∩ (X ∪ {x, y}) = X ∪ {y} est un intervalle de T [X ∪ {x, y}].
Par suite, (x, y) ∉ AT [X] .
62
Deuxièmement, considérons un intervalle I de T et supposons qu’il existe
u ∈ X tel que I ∩X = {u}. Pour tout x ∈ I ∖{u}, il découle de la proposition 1.1
que I∩(X∪{x}) = {x, u} est un intervalle de T [X∪{x}]. Ainsi, I∖{u} ⊆ X(u).
A présent, considérons x ∈ I ∖ {u} et montrons que x est un sommet isolé de
GT [X] . Par la remarque 1, GT [X] [X(u)] est vide et donc x est un sommet isolé
de GT [X] [X(u)]. Considérons alors y ∈ (S ∖ X) ∖ X(u). Par ce qui précède
y ∉ I puisque I ∖ {u} ⊆ X(u). Par la proposition 1.1, I ∩ (X ∪ {x, y}) = {u, x}
est un intervalle de T [X ∪ {x, y}]. Par suite, (x, y) ∉ AT [X] . ◻
Soit T = (S, A) un tournoi indécomposable. Considérons une partie X de
S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Par le lemme 3.2, si T est
(S ∖X)-critique, alors T [X ∪ Z] est décomposable pour tout Z ⊆ S ∖ X tel
que ∣Z∣ = 1 ou 3. On considère les deux situations suivantes.
Lemme 3.6. Soit T = (S, A) un tournoi. Considérons une partie X de S
telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Étant donnés les éléments
distincts a, b et c de S ∖ X tels que (a, b), (a, c) ∈ AT [X] , si T [X ∪ {a, b, c}] est
décomposable, alors {b, c} est un intervalle de T [X ∪{a, b, c}]. En particulier,
il existe N ∈ qT [X] tel que b, c ∈ N .
Preuve. Par définition de GT [X] , T [X ∪ {a, b}] est indécomposable. Comme
T [X ∪ {a, b, c}] est décomposable, c ∉ Ext(Y ), où Y = X ∪ {a, b}. Supposons
que c ∈ ⟨Y ⟩, c’est-à-dire, que Y = X ∪{a, b} est un intervalle de T [X ∪{a, b, c}].
Par la proposition 1.1, Y ∩ (X ∪ {a, c}) = X ∪ {a} serait un intervalle non
trivial de T [X ∪ {a, c}] ou encore (a, c) ∉ AT [X] . Par suite, c ∉ ⟨Y ⟩ et il existe
u ∈ Y tel que c ∈ Y (u). Comme T [X ∪{a, c}] est indécomposable, {u, c}∩(X ∪
63
{a, c}) est un intervalle trivial de T [X ∪ {a, c}]. Par conséquent, u ∉ X ∪ {a}
et nécessairement u = b. Ainsi, {b, c} est un intervalle de T [X ∪ {a, b, c}].
En particulier, {b, c} est un intervalle de T [X ∪ {b, c}] et il découle de la
remarque 9 que b et c appartiennent au même élément de qT [X] . ◻
Lemme 3.7. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie
X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Soient M, N ∈ pT [X] ,
considérons a ∈ M et b ≠ c ∈ N tels que (a, b) ∈ AT [X] et (a, c) ∉ AT [X] . Si
T [X ∪ {a, b, c}] est décomposable, alors les assertions suivantes sont satisfaites.
1. Si N = ⟨X⟩, alors X ∪ {a, b} est un intervalle de T [X ∪ {a, b, c}] ;
2. Si N = X(u), où u ∈ X, alors {u, c} est un intervalle de T [X ∪{a, b, c}].
Preuve. Posons Y = X∪{a, b}. Par définition de GT [X] , T [Y ] est indécomposable.
Comme T [X ∪{a, b, c}] est décomposable, c ∉ Ext(Y ). Puisque (a, b) ∈ AT [X] ,
M ≠ N par la remarque 1.
Premièrement, supposons par l’absurde que c ∈ Y (a), c’est-à-dire, que
{a, c} est un intervalle de T [X ∪ {a, b, c}]. Par la proposition 1.1, {a, c} est
un intervalle de T [X ∪ {a, c}] et on aurait M = N par la remarque 9. Par
suite, c ∉ Y (a).
Deuxièmement, supposons par l’absurde que c ∈ Y (b) ou encore que {b, c}
est un intervalle de T [X∪{a, b, c}]. Par le lemme 3.4 appliqué à T [X∪{a, b, c}]
et au sous-tournoi T [X], {b, c} serait un intervalle de GT [X] [{a, b, c}], ce qui
est impossible car (a, b) ∈ AT [X] et (a, c) ∉ AT [X] .
64
Par conséquent, ou bien c ∈ ⟨Y ⟩ ou bien il existe u ∈ X tel que c ∈ Y (u).
Considérons à présent un élément z de S ∖ Y . Par la proposition 1.1, si Y
est un intervalle de T [Y ∪ {z}], alors X est un intervalle de T [X ∪ {z}]. De
même, pour tout u ∈ X, si {u, z} est un intervalle de T [Y ∪ {z}], alors {u, z}
est un intervalle de T [X ∪ {z}]. Ainsi, ⟨Y ⟩ ⊆ ⟨X⟩ et Y (u) ⊆ X(u), pour tout
u ∈ X. Finalement, distinguons les deux cas suivants.
1. Supposons que N = ⟨X⟩. Puisque c ∈ ⟨X⟩ et puisque pT [X] est une
partition de S ∖ X, c ∉ X(u) pour tout u ∈ X. Par ce qui précède,
c ∉ Y (u) pour tout u ∈ X. Comme c ∉ Y (a) ∪ Y (b) ∪ Ext(Y ), c ∈ [Y ].
2. Supposons qu’il existe u ∈ X tel que N = X(u). Comme c ∈ X(u),
c ∉ ⟨X⟩ et donc c ∉ ⟨Y ⟩. Puisque c ∉ Y (a) ∪ Y (b) ∪ Ext(Y ), il existe
v ∈ X tel que c ∈ Y (v). Par ce qui précède, c ∈ X(v). Enfin, comme
pT [X] est une partition de S ∖ X, u = v.
◻
3.2
Exemple
L’exemple suivant illustre les principales étapes de la caractérisation des
tournois partiallement critiques basée sur la notion du digraphe externe (voir
les théoremes 3.12 et 3.14). Considérons le tournoi T = (S, A) défini sur
S = X ∪ {x0 , . . . , x2m−1 } ∪ {y0 , . . . , y2n−1 } comme suit, où X = {0, 1, 2}, m ≥ 1
et n ≥ 1 (voir la figure 3.1).
● T [X] = T3 .
65
● {x0 , x2 , . . . , x2m−2 } Ð→ X Ð→ {y0 , y2 , . . . , y2n−2 }.
● 2 Ð→ {x1 , x3 , . . . , x2m−1 } Ð→ {0, 1}.
● {0, 2} Ð→ {y1 , y3 , . . . , y2n−1 } Ð→ 1.
● {x0 , x1 , . . . , x2m−1 } Ð→ {y0 , y1 , . . . , y2n−1 }.
● T [{x0 , x2 , . . . , x2m−2 }] = x2m−2 < x2m−4 < ⋯ < x0 et T [{x1 , x3 , . . . , x2m−1 }] =
x2m−1 < x2m−3 < ⋯ < x1 .
● T [{y0 , y2 , . . . , y2n−2 }] = y0 < y2 < ⋯ < y2n−2 et T [{y1 , y3 , . . . , y2n−1 }] =
y1 < y3 < ⋯ < y2n−1 .
● pour i, j ∈ {0, . . . , m − 1}, x2i+1 Ð→ x2j si et seulement si j ≤ i (dans la
figure 3.1, seuls les arcs x2i+1 Ð→ x2j sont représentés).
● pour i, j ∈ {0, . . . , n − 1}, y2i Ð→ y2j+1 si et seulement si i ≤ j (dans la
figure 3.1, seuls les arcs y2i Ð→ y2j+1 sont représentés).
Clairement X − = {x0 , x2 , . . . , x2m−2 }, X + = {y0 , y2 , . . . , y2n−2 }, X − (0) =
{x1 , x3 , . . . , x2m−1 } et X + (0) = {y1 , y3 , . . . , y2n−1 }. Par suite, Ext(X) = ∅,
pT [X] = {⟨X⟩, X(0)} and qT [X] = {X − , X + , X − (0), X + (0)}.
Les assertions suivantes découlent de la remarque 1 et du lemme 1.3 :
1. La fonction
{0, . . . , 2m − 1} Ð→ {x0 , . . . , x2m−1 }
i z→ xi
est un isomorphisme de G2m sur GT [X] [{x0 , . . . , x2m−1 }] ;
66
(3.1)
2. La fonction
{0, . . . , 2n − 1} Ð→ {y0 , . . . , y2n−1 }
(3.2)
j z→ yj
est un isomorphisme de G2n sur GT [X] [{y0 , . . . , y2n−1 }] ;
3. Pour tous x ∈ {x0 , x1 , . . . , x2m−1 } et y ∈ {y0 , y1 , . . . , y2n−1 }, (x, y) ∉ AT [X] .
Par suite, les composantes connexes de GT [X] sont
{x0 , x1 , . . . , x2m−1 } et {y0 , y1 , . . . , y2n−1 }.
(3.3)
Le tournoi T est indécomposable. En effet, considérons un intervalle I
de T tel que ∣I∣ ≥ 2 et montrons que I = S. Supposons par contradiction
que I ∩ X = ∅. Comme Ext(X) = ∅, il découle du lemme 3.4 que
I est un intervalle de GT [X] contenu dans un élément N de qT [X] . Il
existe donc Y = {x0 , . . . , x2n−1 } ou {y0 , . . . , y2m−1 } tel que N ⊆ Y . Par
la proposition 1.1, I est un intervalle de GT [X] [Y ]. Comme ∣I∣ ≥ 2 et
comme N est une partie stricte de Y , I serait un intervalle non trivial
de GT [X] [Y ]. Or, il découle de (3.1), de (3.2) et du théorème 1.6 que
GT [X] [Y ] est indécomposable. Par suite, I ∩ X ≠ ∅. Par (3.3), GT [X]
n’admet pas de sommets isolés. Il résulte du lemme 3.5 que I est un
intervalle trivial de T et donc I = S.
Le tournoi T est (V ∖X)-critique. Il suffit de remarquer que :
● {x1 , 0} est un intervalle de T − x0 ;
● S ∖ {x2m−1 , x2m−2 } est un intervalle de T − x2m−1 ;
● si m ≥ 2, alors pour tout i ∈ {1, . . . , 2m − 2} ; {xi−1 , xi+1 } est un
intervalle de T − xi ;
67
⟨X⟩
'
X(0)
'
$
X+
X + (0)
$
'
y0
'
- y1
y?
2
- y?
3
.?
.
.?
.
Ry
2n−2
&
%
6I
−
X
'
$
x0 6 I
x2 I
x1
6
I
.
.
6
6
'
$
R
Ry 2n−1
&
%
6 − I
X (0)$
'
x3
.
.
x2m−2
&
&
$
x
%
@ %
@
@
R
@
2m−1
&
&
6
%
%
$
1
@
I
@
@
X
@
2
@
@
-0
&
%
Figure 3.1 – Exemple de tournoi partiellement critique.
● {y1 , 0} est un intervalle de T − y0 ;
● S ∖ {y2n−1 , y2n−2 } est un intervalle de T − y2n−1 ;
● si n ≥ 2, alors pour tout j ∈ {1, . . . , 2n−2}, {yj−1 , yj+1 } est un intervalle
68
de T − yj .
3.3
Les premiers résultats
On considère un tournoi indécomposable T = (S, A) et une partie stricte
X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Mais, on ne suppose
pas que T est (S∖X)-critique. Suite au lemme 3.2, on suppose seulement que
T [X ∪ Y ] est décomposable pour toute partie Y de S ∖ X telle que ∣Y ∣ = 1
ou 3. En particulier, remarquons que Ext(X) = ∅.
Lemme 3.8. Le graphe externe GT [X] n’a pas de sommets isolés.
Preuve. Notons W la famille des sommets isolés de GT [X] .
Premièrement, vérifions que S ∖(⟨X⟩∩W ) est un intervalle de T . Considérons un élément x de ⟨X⟩∩W . Il suffit de montrer que pour tout y ∈ S ∖(⟨X⟩∩
W ), X ∪ {y} est un intervalle de T [X ∪ {x, y}]. Si y ∈ X, alors X ∪ {y} = X
est un intervalle de T [X ∪ {x, y}] = T [X ∪ {x}] car x ∈ ⟨X⟩. Supposons
donc que y ∈ (S ∖ X) ∖ (⟨X⟩ ∩ W ). Comme x est un sommet isolé de GT [X] ,
T [X ∪ {x, y}] est décomposable. Si y ∉ ⟨X⟩ alors, il suffit d’appliquer le
lemme 1.3. Supposons enfin que y ∈ ⟨X⟩∖W . Comme y ∉ W , il existe z ∈ S ∖X
tel que (y, z) ∈ AT [X] . Par contre, (x, z) ∉ AT [X] puisque x ∈ W . Par le lemme
3.7, X ∪ {y} est un intervalle de T [X ∪ {x, y, z}] et donc de T [X ∪ {x, y}].
Deuxièmement, vérifions que pour tout u ∈ X, {u} ∪ (W ∩ X(u)) est un
intervalle de T Considérons un élément x de W ∩X(u). Il suffit de montrer que
{u, x} est un intervalle de T [X ∪ {x, y}] pour tout y ∈ S ∖ ({u} ∪ (W ∩ X(u)).
69
Procédons comme précèdemment : {u, x} est un intervalle de T [X ∪ {x, y}]
lorsque y ∈ X car x ∈ X(u), et lorsque y ∈ S ∖ (X ∪ X(u)) en appliquant
le lemme 1.3. Supposons donc que y ∈ X(u) ∖ W . Comme y ∉ W , il existe
z ∈ S ∖ X tel que (y, z) ∈ AT [X] . On a (x, z) ∉ AT [X] car x ∈ W . Le lemme
3.7 permet encore de conclure : {u, x} est un intervalle de T [X ∪ {x, y, z}] et
donc de T [X ∪ {x, y}].
Comme T est indécomposable, S ∖ (⟨X⟩ ∩ W ) et {u} ∪ (W ∩ X(u)), où
u ∈ X, sont des intervalles triviaux de T . Puisque X ⊆ S ∖ (⟨X⟩ ∩ W ), on
obtient que S ∖ (⟨X⟩ ∩ W ) = S, c’est-à-dire, ⟨X⟩ ∩ W = ∅. Soit u ∈ X. Puisque
{u} ⊆ {u} ∪ (W ∩ X(u)) ⊆ S ∖ {v} ⊂ S pour tout v ∈ X ∖ {u}, on obtient
que {u} ∪ (W ∩ X(u)) = {u} ou encore W ∩ X(u) = ∅. Finalement, comme
Ext(X) = ∅, on a montré que Y ∩ W = ∅ pour tout Y ∈ pT [X] . Il s’ensuit que
W = ∅ car pT [X] est une partition de S ∖ X d’après le lemme 1.3. ◻
Lemme 3.9. Si X − ≠ ∅ et X + ≠ ∅, alors X − Ð→ X + . De même, pour tout
u ∈ X, si X − (u) ≠ ∅ et X + (u) ≠ ∅, alors X − (u) Ð→ X + (u).
Preuve. Premièrement, considérons a ∈ X − et b ∈ X + . D’après le Lemme 3.8,
il existe a′ ∈ S ∖ X tel que (a, a′ ) ∈ AT [X] . Comme a et b n’appartiennent pas
au même élément de qT [X] , on déduit du lemme 3.6 que (a′ , b) ∉ AT [X] . Ainsi,
par le lemme 3.7, X ∪ {a, a′ } est un intervalle de T [X ∪ {a, a′ , b}]. Il s’ensuit
que a Ð→ b puisque X Ð→ b.
Deuxièmement, étant donné u ∈ X, considérons a ∈ X − (u) et b ∈ X + (u).
Par le lemme 3.8, il existe a′ ∈ S ∖ X tel que (a, a′ ) ∈ AT [X] . On déduit encore
70
du lemma 3.6 que (a′ , b) ∉ AT [X] . Par le lemme 3.7, {u, b} est un intervalle
de T [X ∪ {a, a′ , b}]. Ainsi, a Ð→ b car a Ð→ u. ◻
Lemme 3.10. Pour tout M ∈ qT [X] , T [M ] est un ordre total.
Preuve. Soit M ∈ qT [X] . On peut supposer que M ∈ qT− [X] en considérant
T ⋆ au lieu de T . Par la remarque 11, il suffit de montrer que chaque composante fortement connexe de T [M ] est réduite à un singleton. Comme T est
indécomposable, on va vérifier que chaque composante fortement connexe F
de T [M ] est un intervalle de T .
Supposons au contraire qu’il existe x ∈ S ∖ F tel que F n’est pas un
intervalle de T [F ∪ {x}]. Les parties F − = {a ∈ F ; a Ð→ x} et F + = {b ∈
F ; x Ð→ b} de F sont donc non vides. Afin d’obtenir une contradiction à la
forte connexité de T [F ], on va établir que F − Ð→ F + ou F + Ð→ F − . Par la
remarque 9, F est un intervalle de T [X ∪ F ]. De plus, F est un intervalle de
T [M ] par la remarque 11. Ainsi, x ∉ M ∪ X.
● Supposons premièrement que M = X − . Par le lemme 3.9, X − Ð→ X +
lorsque X + ≠ ∅. Par suite, x ∉ X ∪ ⟨X⟩. Considérons s− ∈ F − et s+ ∈ F + .
Comme x Ð→ s+ Ð→ X et s− Ð→ X ∪ {x}, il découle du lemme 1.3
que (s+ , x) ∈ AT [X] et (s− , x) ∉ AT [X] . Par le lemme 3.7, X ∪ {s+ } est
un intervalle de T [X ∪ {s− , s+ , x}]. D’où s− Ð→ s+ car s− Ð→ X. Par
conséquent, F − Ð→ F + .
● Supposons deuxièmement que M = X − (u), où u ∈ X. Procédons comme
pour le premier cas. Par le lemme 3.9, X − (u) Ð→ X + (u) lorsque X + (u) ≠
∅. Ainsi, x ∉ X∪X(u). Supposons par exemple que u Ð→ x et considérons
71
des éléments quelconques s− ∈ F − et s+ ∈ F + . Comme u Ð→ x Ð→ s+
et {u, s− } Ð→ x, il découle alors du lemme 1.3 que (s+ , x) ∈ AT [X] et
(s− , x) ∉ AT [X] . Par le lemme 3.7, {u, s− } est un intervalle de T [X ∪
{s− , s+ , x}]. Par suite s+ Ð→ s− puisque s+ Ð→ u. Par conséquent,
F + Ð→ F − lorsque u Ð→ x.
◻
Proposition 3.11. Pour toute composante connexe C de GT [X] , GT [X] [C]
est biparti par deux éléments de qT [X] et T [X ∪ C] est indécomposable.
Preuve. On commence par l’observation suivante. Pour tout M ∈ qT [X] ,
M ∩ C ≠ ∅ Ô⇒ M ⊆ C.
(3.4)
Supposons au contraire qu’il existe M ∈ qT [X] tel que M ∩C ≠ ∅ et M ∖C ≠ ∅.
Soient y ∈ M ∩C et z ∈ M ∖C. Par le lemme 3.8, il existe y ′ ∈ C et z ′ ∈ S∖C tels
que (y, y ′ ) ∈ AT [X] et (z, z ′ ) ∈ AT [X] . Clairement (y, z), (y ′ , z), (y, z ′ ), (y ′ , z ′ ) ∉
AT [X] . Supposons que M ⊆ ⟨X⟩. En considérons le tournoi T ⋆ au lieu de T ,
on peut supposer que M = X − . Il découle du lemme 3.7 appliqué à T [X ∪
{y, y ′ , z}] que X ∪ {y, y ′ } est un intervalle de T [X ∪ {y, y ′ , z}]. Comme z Ð→
X, on obtient que z Ð→ y. Par contre, en appliquant le même lemme à
T [X ∪{y, z, z ′ }], on obtient que X ∪{z, z ′ } est un intervalle de T [X ∪{y, z, z ′ }]
et donc y Ð→ z. Le même raisonnement nous conduit à une contradiction
lorsque M ⊆ X(u), où u ∈ X.
A présent, on va montrer que GT [X] [C] est biparti. Par le lemme 3.8, il
existe a ≠ a′ ∈ C tels que (a, a′ ) ∈ AT [X] . Considérons MC , NC ∈ qT [X] tels
72
que a ∈ MC et a′ ∈ NC . Par la remarque 1, MC ≠ NC . De plus, il découle
de (3.4) que MC ∪ NC ⊆ C. Ainsi, il suffit de montrer que C ⊆ MC ∪ NC .
Soit b ∈ C. Il existe une suite a0 = a, . . . , an = b ∈ C telle que (ai , ai+1 ) ∈
AT [X] pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1}. On va vérifier que a1 ∈ NC . Ceci est
évident lorsque a1 = a′ . Lorsque a1 ≠ a′ , a0 , a1 , a′ sont des élément distincts
de S ∖ X vérifiant {a0 , a1 }, (a0 , a′ ) ∈ AT [X] . Par le lemme 3.6 appliqué à
T [X ∪{a0 , a1 , a′ }], a1 ∈ NC . Supposons que n ≥ 2 et considérons i ∈ {1, . . . , n−
1}. Comme (ai , ai−1 ), (ai , ai+1 ) ∈ AT [X] , il découle du lemme 3.6 que ai−1 et
ai+1 appartiennent au même élément de qT [X] . Par suite, a0 , a2 , . . . ∈ MC et
a1 , a3 , . . . ∈ NC . En particulier b = an ∈ MC ∪NC . Par conséquent C = MC ∪NC .
Puisque GT [X] [MC ] et GT [X] [NC ] sont vides par la remarque 1, GT [X] [C]
est biparti par {MC , NC }.
Enfin, on va établir que T [X ∪ C] est indécomposable. Plus précisément,
on va montrer que si T [X ∪C] admet un intervalle non-trivial I, alors I ∩X =
∅ et I serait aussi un intervalle non-trivial de T .
Supposons au contraire que I ∩ X ≠ ∅. Par le lemme 3.5 appliqué à
T [X ∪ C], GT [X] [C] admet un sommet isolé. Ainsi C serait un singleton ce
qui contredit le lemme 3.8. Il s’ensuit que I ∩ X = ∅.
Par la première assertion du lemme 3.4 appliqué à T [X ∪ C], I est un intervalle de GT [X] [C] et I est contenu dans un élément de qT [X] . Par exemple,
supposons que I ⊆ MC . On applique la seconde assertion du lemme 3.4
pour montrer que I est un intervalle de T . Notons M l’élément de pT [X]
qui contient MC . On doit vérifier que I est un intervalle de GT [X] et de
T [M ]. Par la remarque 10, C est un intervalle de GT [X] . Il découle de la pro73
position 1.1.(ii) que I est un intervalle de GT [X] puisque I est un intervalle
de GT [X] [C]. Il reste à vérifier que I est un intervalle de T [M ]. Comme I
est intervalle de T [X ∪ C] avec I ⊆ MC , I est intervalle de T [MC ] par la
proposition 1.1.(i). Par le lemme 3.9, MC est intervalle de T [M ]. Ainsi, I est
intervalle de T [M ] par la proposition 1.1.(ii). ◻
3.4
Caractérisation des tournois partiellement
critiques
Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie stricte X
de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. La proposition 3.11 et
le lemme 3.2 suggèrent une propriété héréditaire en considérant les composantes connexes du digraphe externe GT [X] associé au sous-digraphe T [X].
Le premier théorème s’énonce ainsi.
Théorème 3.12. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie
stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Le tournoi T est
indécomposable et (S∖X)-critique si et seulement si les assertions suivantes
sont satisfaites
H1 : si X − ≠ ∅ et X + ≠ ∅,alors X − Ð→ X + . De même, pour tout u ∈ X, si
X − (u) ≠ ∅ et X + (u) ≠ ∅, alors X − (u) Ð→ X + (u) ;
H2 : pour toute composante connexe C de GT [X] , il existe des éléments distincts MC et NC de qT [X] tels que GT [X] [C] est biparti par {MC , NC } ;
74
H3 : pour toute composante connexe C de GT [X] , T [X∪C] est indécomposable
et C-critique.
Preuve. Supposons que T est indécomposable et (S ∖X)-critique. L’assertion H1 est le lemme 3.9. L’assertion H2 découle de la proposition 3.11 et
l’assertion H3 découle aussi de la proposition 3.11 et du lemme 3.2.
Inversement, supposons que les assertions H1, H2 et H3 sont satisfaites.
On commence par les trois remarques suivantes.
1. Considérons une composante connexe C de GT [X] . Par l’assertion H3,
T [X ∪ C] est indécomposable et C-critique. Par suite, ∣C∣ > 1. Ainsi,
GT [X] n’a pas de sommets isolés.
(3.5)
2. Considérons un élément x de S ∖ X et notons C la composante connexe
de GT [X] qui contient x. Par l’assertion H3, T [X ∪ C] est indécomposable et C-critique. Il découle du lemme 3.2 appliqué à T [X ∪ C] que
T [X ∪ {x}] est décomposable. Par conséquent,
Ext(X) = ∅.
(3.6)
3. Considérons de nouveau une composante connexe C de GT [X] . D’après
la première remarque, ∣C∣ > 1. Par l’assertion H2, il existe des éléments
distincts MC et NC de qT [X] tels que GT [X] [C] est biparti par {MC , NC }.
Notons M et N les éléments de pT [X] tels que MC ⊆ M et NC ⊆ N .
Comme ∣C∣ > 1, il existe c ≠ c′ ∈ C tels que (c, c′ ) ∈ AT [X] . Par la
remarque 1, GT [X] [M ] et GT [X] [N ] sont vides et donc M ≠ N .
75
Ainsi, dans l’assertion H2, on peut aussi supposer que
MC et NC ne sont pas inclus dans le même élément de pT [X] . (3.7)
A présent, montrons que T est indécomposable. Sinon, T admettrait un
intervalle non trivial I. Par (3.5) et (3.6), il découle du lemme 3.5 que I ∩X =
∅. Par le lemme 3.4, il existe M ∈ qT [X] tel que I ⊆ M . Soit C une composante
connexe de GT [X] telle que M ∩ C ≠ ∅. Il découle de l’assertion H2 que
M ⊆ C. Donc, I serait un intervalle non trivial de T [X ∪ C] ce qui contredit
l’assertion H3.
Enfin, montrons que T (S ∖ X)-critique. Considérons un élément x de
S ∖ X et notons C la composante connexe de GT [X] qui contient x. Par
l’assertion H3, T [X ∪ C] − x admet un intervalle non trivial. Comme T [X]
est indécomposable, X ⊆ J, ∣J ∩ X∣ = 1 ou J ∩ X = ∅. On distingue alors les
trois cas suivants pour obtenir un intervalle non trivial de T − x.
1. Supposons que X ⊆ J. Montrons alors que S ∖ (C ∖ J) est un intervalle
de T − x.
Clairement, (C ∖ J) ∖ {x} ≠ ∅ et (C ∖ J) ∖ {x} ⊆ ⟨X⟩. Par exemple,
supposons que C ∩ X − ≠ ∅. Par l’assertion H2, X − ⊆ C. De plus, par
(3.7), il existe M ∈ qT [X] ∖ {X − , X + } tel que GT [X] [C] est biparti par
{X − , M }. Par suite, (C ∖ J) ∖ {x} ⊆ X − .
Étant donné y ∈ (C ∖ J) ∖ {x}, il suffit de s’assurer que X ∪ {z} est un
intervalle de T [X ∪ {y, z}] pour tout z ∈ S ∖ (C ∖ J). Si z ∈ X ∪ C, alors
z ∈ J et J ∩ (X ∪ {y, z}) = X ∪ {z} est un intervalle de T [X ∪ {y, z}].
Supposons donc que z ∈ S ∖ (X ∪ C). Puisque C est une composante
76
connexe de GT [X] , on a (y, z) ∉ AT [X] . Par le lemme 1.3, si z ∉ ⟨X⟩,
alors X ∪ {z} est un intervalle de T [X ∪ {y, z}]. Si z ∈ ⟨X⟩, alors z ∈ X +
car X − ⊆ C. Par l’assertion H1, X − Ð→ X + et donc y Ð→ z. comme
y ∈ X − , nous obtenons que y Ð→ X ∪ {z}.
2. Supposons qu’il existe u ∈ X tel que J ∩ X = {u}. Montrons que J est
un intervalle de T − x.
On a J ∖ {u} ≠ ∅ et J ∖ {u} ⊆ X(u) ∩ C. Par exemple, supposons que
C ∩ X − (u) ≠ ∅. Par l’assertion H2, X − (u) ⊆ C. De plus, par (3.7), il
existe M ∈ qT [X] ∖ {X − (u), X + (u)} tel que GT [X] [C] est biparti par
{X − (u), M }. Ainsi J ∖ {u} ⊆ X − (u).
Étant donné y ∈ J ∖ {u}, il suffit de verifier que {u, y} est un intervalle
de T [X ∪ {y, z}] pour tout z ∈ (V ∖ J) ∖ {x}. Si z ∈ X ∪ C, alors
z ∉ J et J ∩ (X ∪ {y, z}) = {u, y} est un intervalle de T [X ∪ {y, z}]. A
présent supposons que z ∈ S ∖ (X ∪ C). Comme C est une composante
connexe de GT [X] , on a (y, z) ∉ AT [X] . Le lemme 1.3 permet de conclure
lorsque z ∉ X(u). Si z ∈ X(u), alors z ∈ X + (u) puisque X − (u) ⊆ C.
Par l’assertion H1, X − (u) Ð→ X + (u). En particulier y Ð→ z et donc
{u, y} Ð→ z car z ∈ X + (u). Comme y ∈ X(u), {u, y} est un intervalle de
T [X ∪ {y}]. Par conséquent, {u, y} est un intervalle de T [X ∪ {y, z}].
3. Supposons que J ∩ X = ∅. Montrons que J est un intervalle de T − x.
Par l’assertion H2, il existe MC ≠ NC ∈ qT [X] tel que GT [X] [C] est
biparti par {MC , NC }. Comme Ext(X) = ∅, il découle de la première
assertion du lemme 3.4 appliquée à T [X ∪ C] − x que J est un intervalle
77
de GT [X] [C] − x et J ⊆ N ∖ {x} où N = MC ou NC . Par suite, J est
un intervalle de T [N ∖ {x}]. Pour montrer que J est un intervalle de
T − x, on applique la seconde assertion du lemme 3.4 à T − x. Notons
M l’élément de pT [X] qui contient N . Par l’assertion H1, N est un
intervalle de T [M ] et donc N ∖ {x} est un intervalle de T [M ∖ {x}].
Par la proposition 1.1.(ii), J est un intervalle de T [M ∖ {x}]. Il reste à
vérifier que J est un intervalle de GT [X] − x. Nous avons déjà observé
que J est un intervalle de GT [X] [C] − x. Il découle de la remarque 10
que C ∖ {x} est un intervalle de GT [X] − x. Par la proposition 1.1.(ii),
J est un intervalle de GT [X] − x.
◻
Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie stricte X de S
telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. A présent, nous caractérisons
le tournoi T lorsqu’il est indécomposable et (S ∖ X)-critique et lorsque le
digraphe externe GT [X] est connexe. Lorsque ∣S ∖ X∣ ≤ 2, on a :
T est indécomposable et (S ∖X)-critique si et seulement si Ext(X) = ∅.
Supposons donc que ∣S ∖ X∣ ≥ 3. Tout d’abord, nous complétons la proposition 3.11 de la façon suivante.
Proposition 3.13. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une
partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, ∣S ∖X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable.
Supposons que T [X ∪ Y ] est décomposable pour tout Y ⊆ S ∖ X telle que
∣Y ∣ = 1 ou 3. Si GT [X] est connexe, alors il existe un isomorphisme f de G2n
78
sur GT [X] tel que pT [X] = qT [X] = {f ({0, . . . , 2n − 2}), f ({1, . . . , 2n − 1})} et
satisfaisant
K1 : si {f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} = X − ou X + (u), où u ∈ X, alors
T [{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)})] = f (2n − 2) < f (2n − 4) < ⋯ < f (0) ;
K2 : si {f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} = X + ou X − (u), où u ∈ X, alors
T [{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)}] = f (0) < f (2) < ⋯ < f (2n − 2) ;
K3 : si {f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} = X − ou X + (u), où u ∈ X, alors
T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)}] = f (1) < f (3) < ⋯ < f (2n − 1) ;
K4 : si {f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} = X + ou X − (u), où u ∈ X, alors
T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)}] = f (2n − 1) < f (2n − 3) < ⋯ < f (1).
Preuve. Nous commençons par montrer que GT [X] est indécomposable.
Plus précisément, nous établissons que si I est un intervalle non trivial de
GT [X] qui est maximal pour l’inclusion parmi les intervalles non triviaux de
GT [X] , alors I serait un intervalle non trivial de T .
Par la proposition 3.11, il existe M ≠ N ∈ qT [X] tels que GT [X] est biparti
par {M, N }. On a donc pT [X] = qT [X] = {M, N }. Comme GT [X] est un graphe
connexe et biparti, I ⊆ M ou I ⊆ N . Supposons, par exemple, que I ⊆ M .
Comme Ext(X) = ∅, on applique la seconde assertion du lemme 3.4 pour
montrer que I est un intervalle de T . Il suffit donc de vérifier que I est un
intervalle de T [M ]. Considérons un élément x de M ∖ I. Comme I est un
intervalle non trivial maximal de GT [X] , I ∪ {x} n’est plus un intervalle de
GT [X] . Il existe donc α ∈ (M ∪ N ) ∖ (I ∪ {x}) tel que I ∪ {x} n’est pas un
intervalle de GT [X] [I ∪ {x, α}]. De plus, comme GT [X] [M ] est vide par la
79
remarque 1, α ∈ N . Puisque I est un intervalle de GT [X] , on a :
ou bien (α, x) ∈ AT [X] et (α, i) ∉ AT [X] pour i ∈ I
ou bien (α, x) ∉ AT [X] et (α, i) ∈ AT [X] pour i ∈ I.
Nous appliquons le lemme 3.7 en distinguant les deux cas suivants.
1. Supposons que M = ⟨X⟩. En considérant le tournoi T au lieu de T ⋆ , on
peut supposer que M = X − .
– Si (α, x) ∈ AT [X] et (α, i) ∉ AT [X] pour i ∈ I, alors X ∪ {α, x} est un
intervalle de T [X ∪ {α, i, x}] pour i ∈ I et donc I Ð→ x.
– Si (α, x) ∉ AT [X] et (α, i) ∈ AT [X] pour i ∈ I, alors X ∪ {α, i} est un
intervalle de T [X ∪ {α, i, x}] pour i ∈ I ou encore x Ð→ I.
2. Supposons qu’il existe u ∈ X tel que M = X(u). En considérant le
tournoi T au lieu de T ⋆ , on peut supposer M = X − (u).
– Si (α, x) ∈ AT [X] et (α, i) ∉ AT [X] pour i ∈ I, alors {i, u} est un
intervalle de T [X ∪ {α, i, x}] pour i ∈ I. Ainsi, x Ð→ I.
– Si (α, x) ∉ AT [X] et (α, i) ∈ AT [X] pour i ∈ I, alors {x, u} est un
intervalle de T [X ∪ {α, i, x}] pour i ∈ I et donc I Ð→ x.
Il s’ensuit que I est un intervalle de T [M ].
A présent, nous établissons qu’il existe un isomorphisme f de G2n sur
GT [X] . Nous vérifions tout d’abord que {NGT [X] (x); x ∈ M } est totalement
ordonné par inclusion.
Sinon, il exite x ≠ y ∈ M et α, β ∈ N tels que (x, α) ∈ AT [X] , (y, α) ∈/ AT [X] ,
(x, β) ∉ AT [X] et (y, β) ∈ AT [X] . Supposons, par exemple, que M = X − . Par
80
le lemme 3.7 appliqué à T [X ∪ {x, y, α}], X ∪ {x, α} est un intervalle de
T [X ∪{x, y, α}]. Il s’ensuit que y Ð→ x. D’autre part, par le même lemme 3.7
appliqué à T ([X ∪ {x, y, β}], on obtient que x Ð→ y. Nous obtenons une
contradiction similaire lorsque M = X + , X − (u) ou X + (u) où u ∈ X. On peut
donc supposer que
M = {x0 , . . . , xn−1 } et NGT [X] (xi ) ⊇ NGT [X] (xi+1 ) pour 0 ≤ i ≤ n − 2.
Comme GT [X] est connexe, GT [X] n’admet pas de sommets isolé. Ainsi,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪NGT [X] (x0 ) = N
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪NGT [X] (xn−1 ) ≠ ∅.
⎪
⎩
Clairement, NGT [X] (xn−1 ) est un intervalle de GT [X] . Comme GT [X] est indécomposable,
∣NGT [X] (xn−1 )∣ = 1.
Étant donné i ∈ {0, . . . , n − 2}, NGT [X] (xi ) ∖ NGT [X] (xi+1 ) est un intervalle de
GT [X] . De plus, {x ∈ M ∶ NGT [X] (x) = NGT [X] (xi )} est un intervalle de GT [X] .
Il s’ensuit que
∣NGT [X] (xi ) ∖ NGT [X] (xi+1 )∣ = 1 pour 0 ≤ i ≤ n − 2.
Par suite, on peut noter les éléments de N par α0 , . . . , αn−1 de sorte que
NGT [X] (xi ) = {α0 , . . . , αn−i−1 } pour 0 ≤ i ≤ n − 1.
81
Par conséquent, l’application
f ∶ {0, . . . , 2n − 1} Ð→ S ∖ X
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪x k si j est pair,
k z→ ⎨ 2
⎪
⎪
⎪
α k−1 si j est impair.
⎪
⎪
⎩ 2
est un isomorphisme de G2n sur GT [X] . Clairement,
pT [X] = qT [X] = {f ({0, . . . , 2n − 2}), f ({1, . . . , 2n − 1})}.
Nous vérifions enfin que les assertions K1,...,K4 sont satisfaites. Pour
l’assertion K1, supposons que
{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} = X − ou X + (u)
où u ∈ X. Étant donné i < j ∈ {0, . . . , n − 1}, on a :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪{f (2i), f (2i + 1) ∈ AT [X] ,
⎨
⎪
⎪
⎪
(f (2i + 1), f (2j)) ∉ AT [X] .
⎪
⎪
⎩
Nous appliquons le lemme 3.7 à T [X ∪ {f (2i), f (2i + 1), f (2j)}] comme suit.
– Si {f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} = X − , alors X ∪ {f (2i), f (2i + 1)} est un
intervalle de T [X ∪ {f (2i), f (2i + 1), f (2j)}].
– Si {f (0), f (2), . . . , f (2n−2)} = X + (u), alors {u, f (2j)} est un intervalle
de T [X ∪ {f (2i), f (2i + 1), f (2j)}].
Dans les deux cas, on obtient que
f (2j) Ð→ f (2i).
82
Par suite,
T [{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)}] = f (2n − 2) < f (2n − 4) < ⋯ < f (0).
L’assertion K2 se déduit de l’assertion K1 en considérant T ⋆ au lieu de T . En
effet, T ⋆ est aussi indécomposable et (S∖X)-critique. De plus, GT ⋆ [X] = GT [X] .
Ainsi, f est aussi un isomorphisme de G2n sur GT ⋆ [X] . Enfin, les assertions K3 et K4 se déduisent des deux premières en considérant l’isomorphisme f ○ φ2n (voir la remarque 8.(iii)) de G2n sur GT [X] au lieu de f . En
effet, f ({1, 3, . . . , 2n − 1}) = (f ○ φ2n )({0, 2, . . . , 2n − 2}). Par exemple, pour
l’assertion K3, supposons que
{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} = X − ou X + (u)
où u ∈ X. Par l’assertion K1 appliquée à f ○ φ2n , on obtient que
T [{(f ○ φ2n )(0), (f ○ φ2n )(2), . . . , (f ○ φ2n )(2n)}] =
(f ○ φ2n )(2n − 2) < (f ○ φ2n )(2n − 4) < ⋯ < (f ○ φ2n )(0),
c’est à dire,
T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)}] = f (1) < f (3) < ⋯ < f (2n − 1).
◻
En utilisant les assertions K1,...,K4, on obtient la caractérisation suivante.
Théorème 3.14. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons une partie
X de S telle que ∣X∣ ≥ 3, ∣S ∖ X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Supposons
83
que GT [X] est connexe. Le tournoi T est indécomposable et (S∖X)-critique si
et seulement si Ext(X) = ∅ et il existe un isomorphisme f de G2n sur GT [X]
tel que pT [X] = qT [X] = {f ({0, . . . , 2n − 2}), f ({1, . . . , 2n − 1})} et satisfaisant
les assertions K1,...,K4.
Preuve. Supposons tout d’abord que T est indécomposable et (S ∖ X)critique. Il découle du lemme 3.2 et de la proposition 3.13 que Ext(X) = ∅
et qu’un tel isomorphisme f de G2n sur GT [X] existe.
Inversement, supposons par l’absurde que T admet un intervalle non trivial I. Comme GT [X] n’admet pas de sommets isolés, il découle du lemme 3.5
que I ∩ X = ∅. De plus, puisque Ext(X) = ∅, il résulte du lemme 3.4 que I
est un intervalle de GT [X] et
ou bien I ⊆ f ({0, . . . , 2n − 2})
ou bien I ⊆ f ({1, . . . , 2n − 1}).
Par suite, I serait un intervalle non trivial de GT [X] ce qui contredit le
théorème 3.1.
Enfin, nous montrons que T est (S∖X)-critique. Étant donné x ∈ S ∖X, on
va montrer que T − x admet un intervalle non trivial. En considérant f ○ φ2n
(voir la remarque 8.(iii)) au lieu de f , supposons que
x ∈ {f (0), f (2), . . . , f (2n − 2))}.
Par la remarque 8.(iv), ou bien GT [X] − x admet un unique sommet isolé
ou bien GT [X] − x admet une paire comme intervalle non trivial. Comme
Ext(X) = ∅, nous distinguons les trois cas suivants.
84
1. Supposons que GT [X] − x admet un sommet isolé y appartenant à ⟨X⟩.
On va vérifier que
S ∖ {x, y} est un intervalle de T − x.
Il découle de la remarque 8.(i) que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪x = f (0)
⎨
⎪
⎪
⎪
y = f (1).
⎪
⎪
⎩
En considérant T au lieu T ⋆ , on peut supposer que
{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} = X − .
Par l’assertion K3,
f (1) Ð→ {f (3), . . . , f (2n − 1)}.
De plus, pour i ∈ {1, . . . , n − 1}, on a (f (1), f (2i)) ∉ AT [X] . Comme
{f (0), f (2), . . . , f (2n − 2)} ≠ ⟨X⟩, il résulte du lemme 1.3 que X ∪
{f (2i)} est un intervalle de T [X ∪ {f (1), f (2i)}]. Par suite,
f (1) Ð→ f (2i)
car f (1) ∈ X − . Il s’ensuit que
f (1) Ð→ X ∪ {f (2), . . . , f (2n − 2)} ∪ {f (3), . . . , f (2n − 1)},
c’est à dire,
y Ð→ V ∖ {x, y}.
Par conséquent, S ∖ {x, y} est un intervalle de T − x.
85
2. Supposons que GT [X] −x admet un sommet isolé y appartenant à X(u),
où u ∈ X. On va vérifier que
{u, y} est un intervalle de T − x.
Comme précédemment,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪x = f (0)
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪y = f (1).
⎪
⎩
Il découle des assertions K3 et K4 que
ou bien T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} ∪ {u}] =
u < f (1) < f (3) < ⋯ < f (2n − 1)
ou bien T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)} ∪ {u}] =
f (2n − 1) < f (2n − 3) < ⋯ < f (1) < u.
Dans les deux cas, {u, f (1)} est un intervalle de T [{f (1), f (3), . . . ,
f (2n − 1)} ∪ {u}]. De plus, pour i ∈ {1, . . . , n − 1}, on a (f (1), f (2i)) ∉
AT [X] . Comme f (2i) ∉ X(u), il résulte du lemme 1.3 que {u, f (1)}
est un intervalle de T [X ∪ {f (1), f (2i)}]. Par suite, {u, f (1)} est un
intervalle de T [X ∪ {f (2), . . . , f (2n − 2)}]. Par conséquent, {u, y} =
{u, f (1)} est un intervalle de T − x.
3. Supposons que GT [X] − x n’admet pas de sommets isolé. Par la remarque 8.(iv), il existe i ∈ {1, . . . , n − 1} tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪x = f (2i)
⎨
⎪
⎪
⎪
{f (2i − 1), f (2i + 1)} est un intervalle de GT [X] − x.
⎪
⎪
⎩
86
Il découle des assertions K3 et K4 que {f (2i − 1), f (2i + 1)} est un
intervalle de T [{f (1), f (3), . . . , f (2n − 1)}]. Comme Ext(X) = ∅, il
découle du lemme 3.4 appliqué à T − x que {f (2i − 1), f (2i + 1)} est un
intervalle de T − x.
◻
Corollaire 3.15. Étant donné un tournoi indécomposable T = (S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable.
Si T est (S∖X)-critique, alors pour tout x ∈ S ∖ X, GT [X] − x admet au plus
un sommet isolé et T − x admet un unique intervalle non trivial Ix . Plus
précisément :
1. si GT [X] − x admet un seul sommet isolé y et si y ∈ ⟨X⟩, alors Ix =
S ∖ {x, y} ;
2. si GT [X] − x admet un seul sommet isolé y et si y ∈ X(u), où u ∈ X,
alors Ix = {u, y} ;
3. si GT [X] − x n’admet pas de sommets isolés, alors ∣Ix ∣ = 2 et Ix est
l’unique intervalle de GT [X] [C] − x, où C est la composante connexe de
GT [X] qui contient x.
Preuve. Considérons un élément x de S ∖ X et notons C la composante
connexe de GT [X] qui contient x, et MC l’élément de qT [X] qui contient x.
Par la proposition 3.11, il existe NC ∈ qT [X] ∖ {MC } tel que GT [X] [C] est
biparti par {MC , NC }. Supposons que que ∣C∣ ≥ 3. Par le théorème 3.12,
T [X ∪ C] est indécomposable et C-critique. Par le théorème 3.14, il existe
87
un isomorphisme fC de G∣C∣ sur GT [X] [C] tel que
{MC , NC } = {fC ({0, 2, . . . , ∣C∣ − 2}), fC ({1, 3, . . . , ∣C∣ − 1})}.
En considérant fC ○ φ∣C∣ (voir la remarque 8.(iii)) au lieu de fC , supposons
que
MC = fC ({0, 2, . . . , ∣C∣ − 2}).
Lorsque ∣C∣ = 2, fC est la bijection de {0, 1} sur C telle que fC (0) = x. Ainsi,
MC = {x} et NC = {fC (1)}.
Notons Wx l’ensemble des sommets isolés de GT [X] − x. Par le lemme 3.8,
GT [X] n’admet pas de sommets isolés. Par conséquent, Wx est l’ensemble des
sommets isolés de GT [X] [C] − x et Wx ⊆ NC . Clairement, Wx = {fC (1)} si
∣C∣ = 2. Lorsque ∣C∣ ≥ 3, il découle de la remarque 8.(i) que
Wx ≠ ∅ ⇐⇒ x = fC (0).
De plus,
x = fC (0) Ô⇒ Wx = {fC (1)}.
En utilisant la remarque 8.(iv), on associe alors à x deux ensembles Ix et Jx
de S ∖ {x} en distinguant les trois cas suivants.
1. Si Wx = ∅, alors Ix = Jx est l’unique intervalle de GT [X] [C] − x.
2. Si Wx = {y} et y ∈ X(u), où u ∈ X, alors Ix = Jx = {u, y}.
3. Si Wx = {y} et y ∈ ⟨X⟩, alors Jx = (X ∪ C) ∖ {x, y} et Ix = V ∖ {x, y}.
Par la discusion de la fin de la preuve du théorème 3.14 appliquée à T [X ∪C],
Jx est un intervalle de T [X ∪ C] − x. Il découle alors de la discusion de la
88
fin de la preuve du théorème 3.12 appliquée à T que Ix est un intervalle de
T − x.
Vérifions maintenant que Ix est l’unique intervalle non trivial de T − x.
Considérons un intervalle non trivial Lx de T − x. Nous distinguons les trois
cas suivants.
1. Supposons que X ⊆ Lx . On a
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(S ∖ {x}) ∖ Lx ≠ ∅
⎨
⎪
⎪
⎪
(S ∖ {x}) ∖ Lx ⊆ ⟨X⟩.
⎪
⎪
⎩
De plus, il découle de la première assertion du lemme 3.5 que
(S ∖ {x}) ∖ Lx ⊆ Wx .
Par ce qui précède, ∣Wx ∣ ≤ 1 et donc il existe y ∈ (S ∖ X) ∖ {x} tel que
Wx = {y} ⊆ ⟨X⟩.
Il s’ensuit que
Lx = S ∖ {x, y} et donc
Lx = Ix .
2. Supposons que Lx ∩ X = {u}. On a
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪Lx ∖ {u} ≠ ∅
⎨
⎪
⎪
⎪
L ∖ {u} ⊆ X(u).
⎪
⎪
⎩ x
En outre,
Lx ∖ {u} ⊆ Wx
89
par la seconde assertion du lemme 3.5. Comme ∣Wx ∣ ≤ 1, on en déduit
qu’il existe y ∈ (S ∖ X) ∖ {x} tel que
Wx = {y}.
Par suite,
Lx = {u, y} et donc
Lx = Ix .
3. Supposons que Lx ∩ X = ∅. Comme Ext(X) = ∅ par le lemme 3.2,
il découle du lemme 3.4 appliqué à T − x que Lx est un intervalle de
GT [X] − x et il existe N ∈ qT [X] tel que
Lx ⊆ N ∖ {x}.
Par la proposition 3.11, Il existe une composante connexe D de GT [X]
telle que
N ⊆ D.
Clairement, Lx est un intervalle non trivial de T [X ∪ D] − x. Comme
T [X ∪ D] est indécomposable par le théorème 3.12, x ∈ D et donc
C = D.
Par suite, N ∈ {MC , NC } et Lx est un intervalle non trivial de GT [X] [C]−
x car Lx ⊆ N ∖ {x}. Nécessairement ∣C∣ ≥ 4 et il découle de la remarque 8.(iv) que
(fC )−1 (x) ≠ 0.
90
Comme précédemment,
Wx ≠ ∅ ⇐⇒ (fC )−1 (x) = 0.
Par conséquent,
Wx = ∅.
Comme Ix est l’unique intervalle non trivial de GT [X] [C] − x lorsque
Wx = ∅,
Lx = Ix .
◻
Nous concluons ce chapitre par la discussion suivante qui explique comment les théorèmes 3.12 et 3.14 permettent de générer des tournois partiellement critiques de taille arbitraire.
Discussion. Considérons un tournoi indécomposable
τ = (X, Aτ ) avec ∣X∣ ≥ 3.
Soit G = (S, AG ) un digraphe symétrique non connexe tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪S ∩ X = ∅
⎨
⎪
⎪
⎪
∣X∣ ≥ c(G) − 1.
⎪
⎪
⎩
Notons les composantes connexes de G par C1 , . . . , Cc(G) . De plus, pour 1 ≤
d ≤ c(G), supposons que ∣Cd ∣ est pair et qu’il existe un isomorphisme fd de
G∣Cd ∣ sur G[Cd ]. Posons
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪Md = fd ({0, 2, . . . , ∣Cd ∣ − 2})
⎨
⎪
⎪
⎪
N = fd ({1, 3, . . . , ∣Cd ∣ − 1}).
⎪
⎪
⎩ d
91
Nous construisons un tournoi indécomposable et V-critique T = (X ∪S, A)
tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪T [X] = τ
⎨
⎪
⎪
⎪
G
= G.
⎪
⎪
⎩ T [X]
Par les théorèmes 3.12 et 3.14, nous devons avoir
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪qT [X] = {Md , Nd }1≤d≤c(G)
⎨
⎪
⎪
⎪
N et Md ne sont pas inclus dans le même élément de pT [X] .
⎪
⎪
⎩ d
En choisissant ⟨X⟩ comme un élément de pT [X] , nous avons besoin de c(G)−1
éléments distincts u1 , . . . , uc(G)−1 de X pour obtenir
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪pT [X] = {⟨X⟩} ∪ {X(ud )}1≤d≤c(G)−1
⎨
⎪
⎪
⎪
q
= {X − , X + } ∪ {X − (ud ), X + (ud )}1≤d≤c(G)−1 .
⎪
⎪
⎩ T [X]
Étant donné 1 ≤ d ≤ c(G), nous devons associer à Md et Nd deux éléments de
qT [X] = {X − , X + } ∪ {X − (ud ), X + (ud )}1≤d≤c(G)−1 qui ne sont pas inclus dans le
même élément de pT [X] = {⟨X⟩} ∪ {X(ud )}1≤d≤c(G)−1 . Par exemple, posons
⎧
⎪
⎪
⎪
M1 = X − ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
+
⎪
⎪
⎪Nc(G) = X ,
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
pour 1 ≤ d ≤ c(G) − 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
+
⎪
⎪
⎪Nd = X (ud ),
⎨
⎪
⎪
⎪
M = X − (ud ).
⎪
⎪
⎩ d+1
A présent, le tournoi T est entièrement déterminé de la façon suivante.
92
● Étant donnés v ∈ S et x ∈ X, l’arc de T entre x et v provient de la
définition de qT [X] . Par exemple, on a
M1 = X − Ð→ X.
● Soit v ≠ w ∈ S tels que v et w n’appartiennent pas au même élément de
pT [X] . L’arc de T entre v et w est fourni par le lemme 1.3 en utilisant
le fait que (v, w) est un arc de G ou non. Par exemple, étant donné
d ≠ e ∈ {1, . . . , c(G) − 1} tels que (ud , ue ) ∈ Aτ , considérons v ∈ X(ud ) et
w ∈ X(ue ). On a
(v, w) ∈ A ⇐⇒ (v, w) ∈/ AG .
● Soit v ≠ w ∈ S tels que v et w appartiennent au même élément de pT [X]
sans appartenir à un même élément de qT [X] . L’arc de T entre v et w
est donné par l’assertion H1 du théorème 3.12. Par exemple, on a
M1 = X − Ð→ Nc(G) = X + .
● Soit v ≠ w ∈ S tels que v et w appartiennent au même élément de
qT [X] . L’arc de T entre v et w est donné par les assertions K1,. . . ,K4 du
théorème 3.14. Par exemple, prenons v = f1 (2i) ∈ X − et w = f1 (2j) ∈ X −
où i ≠ j ∈ {0, . . . , ∣C1 ∣/2}. On a
(v, w) ∈ A ⇐⇒ j < i.
Si G est connexe, nous procédons de la même manière en choisissant pT [X] =
{⟨X⟩, X(u)} et qT [X] = {X − , X + (u)} où u ∈ X.
93
L’exemple présenté au paragraphe 3.2 (voir la figure 3.1) est obtenu
comme ci-dessus à partir de τ = T3 et à partir d’un digraphe symétrique
G admettant deux composantes connexes C1 et C2 en choisissant
⎧
⎪
⎪
⎪
M1 = X −
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−
⎪
⎪
⎪N1 = X (0)
⎨
⎪
⎪
⎪
M2 = X +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
N = X + (0).
⎪
⎩ 2
94
Chapitre 4
Applications
4.1
Une nouvelle preuve du théorème 1.9 [14]
pour les tournois
Nous commençons par une nouvelle caractérisation des tournois partiellement critiques lorsque les tournois considérés sont supposés indécomposables.
Ceci est naturellement suggéré par les propositions 3.11 et 3.13.
Théorème 4.1. Étant donné un tournoi indécomposable T = (S, A), considérons une partie stricte X de S telle que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable.
Le tournoi T est (S∖X)-critique si et seulement si T [X ∪Y ] est décomposable
pour tout Y ⊆ S ∖X tel que ∣Y ∣ = 1 ou 3.
Preuve. Si T est (S ∖X)-critique, il suffit d’appliquer le lemme 3.2.
Inversement, supposons que T [X ∪ Y ] est décomposable pour tout Y ⊆
S∖X tel que ∣Y ∣ = 1 ou 3. On va montrer que le tournoi T est (S∖X)-critique
95
en utilisant le théorème 3.12. L’assertion H1 du théorème 3.12 découle du
lemme 3.9. Pour les assertions H2 et H3, considérons une composante connexe
C de GT [X] . Pa la proposition 3.11, il existe MC ≠ NC ∈ qT [X] tels que
GT [X] [C] est biparti par {MC , NC }.
Enfin, nous devons montrer que T [X ∪ C] est indécomposable et C-critique.
Par la proposition 3.11, T [X ∪ C] est indécomposable. Si ∣C∣ ≤ 2, alors ∣C∣ = 2
et T [X ∪ C] est C-critique car Ext(X) = ∅. Supposons que ∣C∣ ≥ 3. Il découle
de la proposition 3.13 appliquée à T [X ∪ C] qu’il existe un isomorphisme f
de G2n sur GT [X] [C] tel que
{MC , NC } = {f ({0, . . . , 2n − 2}), f ({1, . . . , 2n − 1})}
et satisfaisant les assertions K1,...,K4. Comme Ext(X) = ∅, il découle du
théorème 3.14 appliqué à T [X∪C] que T [X∪C] est C-critique. Par conséquent,
l’assertion H3 du théorème 3.12 est aussi satisfaite et donc T est (S ∖X)critique. ◻
Le théorème 4.1 fournit une preuve simple et rapide du théorème 1.9 [14]
pour les tournois.
Corollaire 4.2. Étant donné un tournoi indécomposable T = (S, A), considérons X ⊆ S tel que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Si ∣S ∖X∣ ≥ 4, alors
il existe x ≠ y ∈ S ∖ X tels que T − {x, y} est indécomposable.
Preuve. Nous appliquons la proposition 1.4 à plusieurs reprises à partir
d’un sous-tournois indécomposable T [Z] de T où X ⊆ Z ⊊ S et ∣S ∖ Z∣ est
pair.
96
Si ∣S ∖ X∣ est pair, alors on choisit
Z = X.
Supposons que ∣S ∖X∣ est impair de sorte que ∣S ∖X∣ ≥ 5. Par le lemme 3.2,
le tournoi T n’est pas (S ∖X)-critique car ∣S ∖ X∣ est impair. Il découle du
théorème 4.1 qu’il existe une partie Y de (S ∖ X) telle que ∣Y ∣ = 1 ou 3 et
T [X ∪ Y ] est indécomposable. Il suffit donc de choisir
Z = X ∪ Y.
◻
Pour les digraphes, nous devons supposer que ∣S ∖ X∣ ≥ 6 (voir [14]).
L’amélioration ci-dessus de ce seuil pour les tournois répond aussi à une
question de Dammak [5]. Comme on l’a déjà remarqué dans [14, Remark 1],
cette amélioration ne s’étend pas aux digraphes. En fait, le théorème 4.1 est
faux, même pour les digraphes symétriques, comme il est indiqué dans la
remarque suivante.
Remarque 12. Soit H = (X, A) un digraphe symétrique indécomposable
avec ∣X∣ ≥ 4. Étant donné v0 , . . . , v2n ∈/ X (où n ≥ 2) et u ∈ X, considérons le
digraphe symétrique H ′ = (X ∪ {v0 , . . . , v2n }, A′ ) defini par
● H ′ [X] = H ;
● pour x ∈ X et w ∈ {v0 , . . . , v2n },
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(x, u) ∈ A
′
(x, w) ∈ A ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
il existe i ∈ {0, . . . , n − 1} tel que w = v2i+1 ;
⎪
⎪
⎩
97
● pour w, w′ ∈ {v0 , . . . , v2n },
(w, w′ ) ∈ A′ ⇐⇒ il existe i ∈ {0, . . . , 2n − 1} tel que {w, w′ } = {vi , vi+1 }.
Nous obtenons que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⟨X⟩ = {v2i ; 0 ≤ i ≤ n}
pH ′ [X] = {⟨X⟩, X(u)} où ⎨
⎪
⎪
⎪
X(u) = {v2i+1 ; 0 ≤ i ≤ n − 1}.
⎪
⎪
⎩
De plus, on a
GH ′ [X] = ({v0 , . . . , v2n }, {(vi , vi+1 ), (vi+1 , vi )}0≤i≤2n−1 )
est le chemin sur {v0 , . . . , v2n }. Il s’ensuit que H ′ est indécomposable et
H ′ [X ∪ Y ] est décomposable pour tout Y ⊆ {v0 , . . . , v2n } tel que ∣Y ∣ = 1
ou 3. Mais H ′ n’est pas {v0 , . . . , v2n }-critique car H ′ − v0 est indécomposable.
4.2
Support partiellement critique
d’un tournoi
En ajoutant un sommet à un tournoi partiellement critique, il est facile de
construire un tournoi indécomposable dont le support partiellement critique
est un singleton. Considérons un tournoi T = (S, A) indécomposable et (S ∖
X)-critique, où X ⊊ S tel que ∣X∣ ≥ 5 et T [X] est indécomposable. Étant
donné α ∈/ S, considérons un tournoi indécomposable T ′ defini sur X ∪ {α}
tel que T ′ [X] = T . Ensuite, considérons l’unique tournoi T1 defini sur S ∪{α}
98
tel que T1 [X ∪ {α}] = T ′ , T1 [S] = T et (α, v) ∈/ AT1 [X] pour tout v ∈ S. Il est
facile de vérifier que T1 est indécomposable et que σTp1 [X] (T1 ) = {α}.
Pour prolonger un tournoi partiellement critique par un tournoi indécomposable dont le support partiellement critique contient au moins deux
sommets, nous devons ajouter au moins trois sommets et nous ne pouvons pas
utiliser un élément de Ext(X). Par exemple, considérons le tournoi T = (S, A)
étudié au paragraphe 3.2. Nous avons vérifié que T est indécomposable
et (S ∖X)-critique où X = {0, 1, 2}. Étant donné α, β, γ ∈/ S, considérons le
tournoi T2 défini sur S ∪ {α, β, γ} par (voir la figure 4.1)
● T2 [S] = T ;
● 0 Ð→ {α, β} Ð→ 2 et α Ð→ 1 Ð→ β ;
● {1, 2} Ð→ γ Ð→ 0 ;
● γ Ð→ {α, β} et α Ð→ β ;
● γ Ð→ {x1 , x3 , . . . , x2m−1 } ∪ {y1 , y3 , . . . , y2n−1 } Ð→ {α, β} ;
● {x0 , x2 , . . . , x2m−2 } Ð→ {α, β, γ} Ð→ {y0 , y2 , . . . , y2n−2 }.
On a :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
X − (1) = {α}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨X + (1) = {β}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
X + (2) = {γ}
⎪
⎪
⎩
de sorte que
{α}, {β}, {γ} ∈ qT2 [X] .
Comme (α, γ), (β, γ) ∈ AT2 [X] et comme {α, β, γ} est une composante connexe
99
de GT2 [X] , on obtient que
α, β ∈ σTp2 [X] (T2 ).
Cette construction est généralisée au théorème 4.5. Pour la suite, il est important de noter ce qui suit.
Remarque 13. Étant donné un tournoi indécomposable T = (S, A), considérons X ⊊ V tel que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Soit
α ∈ σTp [X] (T ).
Il découle des théorèmes 3.12 et 3.14 appliqués à T −α que pour tout M ∈ qT [X]
tel que M ∖ {α} ≠ ∅, il existe N ∈ qT [X] ∖ {M } tel que
∣N ∖ {α}∣ = ∣M ∖ {α}∣
et satisfaisant
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
(M ∖ {α}) ∪ (N ∖ {α}) est une composante connexe de GT [X] − α,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨GT [X] [(M ∖ {α}) ∪ (N ∖ {α})] est biparti par {M ∖ {α}, N ∖ {α}},
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
GT [X] [(M ∖ {α}) ∪ (N ∖ {α})] est isomorphe à G2∣M ∖{α}∣ .
⎪
⎪
⎩
Comme autre conséquence du théorème 4.1, nous obtenons que le support
partiellement critique d’un tournoi indécomposable contient au plus trois
sommets.
Lemme 4.3. Soit T = (S, A) un tournoi indécomposable. Pour tout X ⊊ S
tel que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable, ∣σTp [X] (T )∣ ≤ 3.
100
X − (1)
X + (1)
-β
α
X(0)
i
PP ' $
6P
'
$
PP
6
I
+
X +H
3 X (0)
YH I
6 H
6
HH
HH
X(2)
H H
- γ
- −
−
⟨X⟩
X
@ %
&
@
@
@
@
R
@
'
X (0)
66
&
%
$
R
1
I
X
U
2
R -0
&
%
Figure 4.1 – σTp [X] (T ) = {α, β}..
Preuve. Comme σTp [X] (T ) ⊆ σ(T )∩(S ∖X), supposons que σ(T )∩(S ∖X) ≠
∅, c’est à dire, T n’est pas (S ∖ X)-critique. Par le théorème 4.1, il existe
101
Y0 ⊆ S ∖ X tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪T [X ∪ Y0 ] est indécomposable,
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪∣Y0 ∣ = 1 ou 3.
⎪
⎩
Soit
α ∈ σTp [X] (T ).
Comme T − α est ((S ∖ {α})∖X)-critique, Il découle du théorème 4.1 que
T [X ∪ Y ] est indécomposable pour tout Y ⊆ (S ∖ {α}) ∖ X avec ∣Y ∣ = 1 ou 3.
Il s’ensuit que
Y0 ⊆/ (S ∖ {α}) ∖ X,
c’est à dire,
α ∈ Y0 .
Par conséquent,
σTp [X] (T ) ⊆ Y0 .
◻
Le prochain résultat constitue la principale étape de la description d’un
tournoi indécomposable dont le support partiellement critique contient au
moins deux sommets.
Proposition 4.4. Étant donné un tournoi indécomposable T = (S, A), considérons X ⊊ S tel que ∣X∣ ≥ 3 et T [X] est indécomposable. Si ∣σTp [X] (T )∣ = 2
ou 3, alors {α} ∈ qT [X] pour tout α ∈ σTp [X] (T ).
102
Preuve. Considérons un élément α de σTp [X] (T ) et notons M l’élément de
qT [X] contenant α. Supposons par l’absurde que
∣M ∣ ≥ 2.
Par la remarque 13, il existe N ∈ qT [X] ∖ {M } tel que (M ∖ {α}) ∪ N est une
composante connexe de GT [X] − α et
∣M ∣ = ∣N ∣ + 1.
(4.1)
Considérons un élément β de σTp [X] (T ) ∖ {α}. Par la remarque 13, il existe
N ′ ∈ qT [X] ∖ {M } tel que N ′ ∖ {β} ≠ ∅ satisfaisant (M ∖ {β}) ∪ (N ′ ∖ {β}) est
une composante connexe de GT [X] − β et
∣M ∖ {β}∣ = ∣N ′ ∖ {β}∣.
(4.2)
On va montrer que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪β ∈ M
⎨
⎪
⎪
⎪
N = N′
⎪
⎪
⎩
en distinguant les deux cas suivants.
1. Supposons qu’il existe u ∈ M ∖ {α} et v ∈ N tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(u, v) ∈ AT [X]
⎨
⎪
⎪
⎪
β ∉ {u, v}.
⎪
⎪
⎩
Comme (M ∖{β})∪(N ′ ∖{β}) est une composante connexe de GT [X] −β,
{u, v} ⊆ (M ∖ {β}) ∪ (N ′ ∖ {β}).
103
Par suite,
v ∈ N ∩ N ′ et donc N = N ′ .
Il découle des équations (4.1) et (4.2) que
β ∈ M.
2. Supposons que pour tous u ∈ M ∖ {α} et v ∈ N ,
(u, v) ∈ AT [X] Ô⇒ β ∈ {u, v}.
Par la remarque 13, GT [X] [(M ∖{α})∪N ] est biparti par {M ∖{α}, N }
et GT [X] [(M ∖ {α}) ∪ N ] est isomorphe à G2∣N ∣ . Par suite,
∣M ∖ {α}∣ = ∣N ∣ = 1.
En notant u l’unique élément de M ∖ {α} et v celui de N , nous avons
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪(u, v) ∈ AT [X]
⎨
⎪
⎪
⎪
β ∈ {u, v}.
⎪
⎪
⎩
Par la remarque 1, (α, u) ∉ AT [X] . Comme {u, v} est une composante
connexe de GT [X] − α, u est un sommet isolé de GT [X] − v. Par le
lemme 3.8, GT [X] − β n’admet pas de sommets isolés et donc
β = u.
Il s’ensuit que v est un sommet isolé de GT [X] − {α, β}. Comme v n’est
pas un sommet isolé de GT [X] − β,
(α, v) ∈ AT [X] .
104
Par conséquent
v ∈ N ∩ N ′ et donc N = N ′ .
Dans les deux cas, nous obtenons que β ∈ M et N = N ′ . Comme (M ∖{α})∪N
est une composante connexe de GT [X] −α et (M ∖{β})∪N est une composante
connexe de GT [X] − β, M ∪ N est une composante connexe de GT [X] .
Pour obtenir une contradiction, on va montrer que {α, β} est un intervalle
de T . Notons L l’élément de pT [X] tel que M ⊆ L. En utilisant le lemme 3.4,
nous devons établir que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
Ext(X) = ∅,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨{α, β} est un intervalle de GT [X] ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
{α, β} est un intervalle de T [L].
⎪
⎪
⎩
Comme on a déjà vu dans la preuve du lemme 4.3, s’il existe a ∈ S ∖X tel que
a ∈ Ext(X), c’est à dire, T [X∪{a}] est indécomposable, alors σTp [X] (T ) ⊆ {a}.
Par suite,
Ext(X) = ∅.
Pour montrer que, {α, β} est un intervalle de GT [X] , il suffit de prouver
que {α, β} est un intervalle de GT [X] [M ∪ N ] car M ∪ N est une composante
de GT [X] . Par la remarque 13, il existe un isomorphisme f de G2∣N ∣ sur
GT [X] [(M ∖ {α}) ∪ N ]. Comme GT [X] [(M ∖ {α}) ∪ N ] est biparti par {M ∖
{α}, N },
N = {f (0), f (2), . . . , f (2∣N ∣ − 2)} ou {f (1), f (3), . . . , f (2∣N ∣ − 1)}.
105
En considérant f ○ φ2∣N ∣ (voir la remarque 8.(iii)) au lieu de f , supposons que
N = {f (1), f (3), ⋯, f (2∣N ∣ − 1)}.
De même, il existe un isomorphisme g de G2∣N ∣ sur GT [X] [(M ∖ {β}) ∪ N ] tel
que
N = {g(1), g(3), ⋯, g(2∣N ∣ − 1)}.
Par le théorème 3.14,
ou bien
T [N ] = f (1) < f (3) < ⋯ < f (2∣N ∣ − 1)
= g(1) < g(3) < ⋯ < g(2∣N ∣ − 1)
ou bien
T [N ] = f (2∣N ∣ − 1) < f (2∣N ∣ − 3) < ⋯ < f (1)
= g(2∣N ∣ − 1) < g(2∣N ∣ − 3) < ⋯ < g(1).
Il en résulte que
f (2i + 1) = g(2i + 1) pour 0 ≤ i ≤ ∣N ∣ − 1.
(4.3)
Il s’ensuit que
dGT [X] [(M ∖{α})∪N ] (γ) = dGT [X] [(M ∖{β})∪N ] (γ) pour tout γ ∈ N.
Par suite, pour tout γ ∈ N ,
(α, γ) ∈ AT [X] ⇐⇒ (β, γ) ∈ AT [X] .
Comme GT [X] [M ] est vide par la remarque 1, {α, β} est un intervalle de
GT [X] [M ∪ N ].
106
Enfin, nous montrons que {α, β} est un intervalle de T [L]. Comme {α, β}
est un intervalle de GT [X] [M ∪ N ], la fonction
h ∶ (M ∖ {α}) ∪ N Ð→ (M ∖ {β}) ∪ N
β z→ α
pour γ ∈ (M ∪ N ) ∖ {α, β}, γ z→ γ
est un isomorphisme de GT [X] [(M ∖ {α}) ∪ N ] sur GT [X] [(M ∖ {β}) ∪ N ].
Ainsi, g −1 ○ h ○ f est un automorphisme de G2∣N ∣ . Par (4.3),
(g −1 ○ h ○ f )({1, 3, . . . , 2∣N ∣ − 1}) = {1, 3, . . . , 2∣N ∣ − 1}.
Il découle de la remarque 8.(iii) que
g −1 ○ h ○ f = Id{0,⋯,2∣N ∣−1} .
Par suite,
⎧
⎪
⎪
−1
−1
⎪
⎪
⎪f (β) = g (α)
⎨
⎪
⎪
⎪
f −1 (γ) = g −1 (γ) pour tout γ ∈ (M ∖ {α, β}) ∪ N .
⎪
⎪
⎩
Nous obtenons que
f (m) = g(m) pour tout m ∈ {0, 2, . . . , 2∣N ∣ − 2} ∖ {f −1 (β)}.
Par le théorème 3.14,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪T [M ∖ {α}] = f (0) < f (2) < ⋯ < f (2∣N ∣ − 2)
ou bien ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪T [M ∖ {β}] = g(0) < g(2) < ⋯ < g(2∣N ∣ − 2)
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪T [M ∖ {α}] = f (2∣N ∣ − 2) < f (2∣N ∣ − 4) < ⋯ < f (0)
ou bien ⎨
⎪
⎪
⎪
T [M ∖ {β}] = g(2∣N ∣ − 2) < g(2∣N ∣ − 4) < ⋯ < g(0).
⎪
⎪
⎩
107
Il s’ensuit que {α, β} est un intervalle de T [M ]. De plus, il découle du
lemme 3.9 que
ou bien {α, β} Ð→ L ∖ M
ou bien L ∖ M Ð→ {α, β}.
Par conséquent, {α, β} est un intervalle de T [L]. ◻
Théorème 4.5. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons X ⊊ S
Tel que ∣X∣ ≥ 3, T [X] est indécomposable et Ext(X) = ∅. Étant donnés
α ≠ β ∈ S ∖ X,
T est indécomposable et α, β ∈ σTp [X] (T ) si et seulement s’il existe γ ∈
(S ∖ X) ∖ {α, β} satisfaisant
● {α}, {β}, {γ} ∈ qT [X] ;
● {α, β, γ} est une composante connexe de GT [X] ;
● (α, γ) ∈ AT [X] et (β, γ) ∈ AT [X] ;
● T − {α, β, γ} est indécomposable et ((S ∖ {α, β, γ})∖X)-critique.
Preuve.
Tout d’abord, supposons que T est indécomposable et α, β ∈
σTp [X] (T ). Par la proposition 4.4,
{α}, {β} ∈ qT [X] .
Comme α ∈ σTp [X] (T ) et {β} ∈ qT [X] , il découle de la remarque 13 qu’il existe
N ∈ qT [X] ∖ {{β}} tel que {β} ∪ (N ∖ {α}) est une composante connexe de
108
GT [X] − α avec ∣N ∖ {α}∣ = 1. Comme {α} ∈ qT [X] ,
il existe γ ∈ (S ∖ X) ∖ {α, β} tel que N = {γ}.
Ainsi, γ est un sommet isolé de GT [X] − {α, β}. Par le lemme 3.8, GT [X] − β
n’admet pas de sommets isolés et donc (α, γ) ∈ AT [X] . Comme β ∈ σTp [X] (T )
et comme {β}, {γ} ∈ qT [X] , avec (α, γ) ∈ AT [X] , il découle de la remarque 13
que {α, γ} est une composante connexe de GT [X] − β. De plus, comme {β} ∪
(N ∖ {α}) = {β, γ} est une composante connexe de GT [X] − α, {α, β, γ} est
une composante connexe de GT [X] . Enfin, comme α ∈ σTp [X] (T ) et {β, γ} est
une composante connexe de GT [X] − α, il résulte des théorèmes 3.12 et 3.14
que (T − α) − {β, γ} est indécomposable et ((S ∖ {α, β, γ})∖X)-critique.
Inversement, supposons que les quatre assertions ci-dessus sont satisfaites.
Supposons par l’absurde que T admet un intervalle non trivial I. Comme T −
{α, β, γ} est indécomposable et ((S ∖{α, β, γ})∖X)-critique, GT [X] −{α, β, γ}
n’admet pas de sommets isolés. En outre, comme (α, γ), (β, γ) ∈ AT [X] , GT [X]
n’admet pas de sommets isolés. Il découle du lemme 3.5 que I ∩ X = ∅. Par
le lemme 3.4, il existe M ∈ qT [X] tel que I ⊆ M . Comme {α}, {β}, {γ} ∈ qT [X] ,
M ⊆ (S ∖ X) ∖ {α, β, γ} et donc I devrait être un intervalle non trivial de
T − {α, β, γ}. Il s’ensuit que T est indécomposable.
Enfin, on va vérifier que α ∈ σTp [X] (T ). Comme {α, β, γ} est une composante connexe de GT [X] et (β, γ) ∈ AT [X] , {β, γ} est une composante connexe
de GT [X] − α. Ainsi, GT [X] − α admet comme composantes connexes {β, γ}
et les composantes connexes de GT [X] − {α, β, γ}. Comme T − {α, β, γ} est
indécomposable et ((S ∖{α, β, γ})∖X)-critique, il découle des théorèmes 3.12
109
et 3.14 que T − α est indécomposable et ((S ∖ {α})∖X)-critique, c’est-à-dire,
α ∈ σTp [X] (T ). De même, β ∈ σTp [X] (T ). ◻
Dans la première partie de la dernière preuve, nous pouvons également
constater que
γ ∈ σTp [X] (T ) ⇐⇒ (α, β) ∈ AT [X] .
Le corollaire suivant est donc une conséquence immédiate du théorème 4.5.
Corollaire 4.6. Étant donné un tournoi T = (S, A), considérons X ⊊ S
Tel que ∣X∣ ≥ 3, T [X] est indécomposable et Ext(X) = ∅. Étant donnés des
éléments distincts α, β, γ de S ∖ X,
T est indécomposable et σTp [X] (T ) = {α, β, γ} si et seulement si les assertions suivantes sont satisfaites
● {α}, {β}, {γ} ∈ qT [X] ;
● {α, β, γ} est une composante connexe de GT [X] ;
● GT [X] [{α, β, γ}] est complet ;
● T − {α, β, γ} est indécomposable et ((S ∖ {α, β, γ})∖X)-critique.
110
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113
Index
D ≃ D′ , 5
digraphe, 4
x⋯Y , 6
X-critique, 18
x⋯y, 6
arc, 4
x ←→ y, 6
biparti, 4, 72, 75
x Ð→ Y , 6
complémentaire D, A, 6
x Ð→ y, 6
complet, 4
connexe, 5, 79
abritement, 5, 29
critique, 11
automorphisme, 5
ε(D), 14
Aut(D), 5
critique H2n+1 , 13, 28, 49
clan, 7
décomposable, 8
composante connexe, 5, 58, 72, 75
dual D⋆ , A⋆ , 6
C, 5
indécomposable, 8
c(D), 5
multiparti, 4
composante fortement connexe, 6, 58
ordre partiel, 7
composante fortement connexe,F, 6
critique Q2n , 12, 43
degré
critique R2n , 12, 28, 43, 44
ordre total, 7, 71
d+D (x), 6
OS , 7
d−D (x), 6
114
On , 7
digraphe connexe, 83
x < y, 7
digraphe d’indécomposabilité
partiellement critique, 18, 56, 75,
83, 87, 95
Ind(D), 16
digraphe d’indécomposabilité Ind(D),
premier, 8
16
primitif, 8
digraphe externe, 10, 19, 60, 72, 75,
sommet, 4
79, 83, 87
critique, 11
AD[X] , 10
degré dG (x), 7
GD[X] , 10
isolé, 5, 69, 87
famille de digraphes critiques
voisinage VG (x), 7
G, 13
symétrique, 7
H, 13
critique G2n , 13, 27, 37, 43, 57
←
→ ←
→
symétrisé D, A , 6
Q, 13
R, 14
tournoi, 7
T , 14
3-cycle T3 , 8
U, 14
critique, 37
V, 14
critique T2n+1 , 11, 26, 32
G, 13
critique U2n+1 , 11, 26, 33
H, 13
critique V2n+1 , 11, 27, 35
diamant δ,
δ⋆,
Q, 13
8
R, 14
diamant, centre, 8
transitif, 7
intervalle, 7
trivial, 8
vide, 4
115
isomorphe, 5
isomorphisme, 5
rH[X] , 19
sous-digraphe, 4
D − B, 4
module, 7
D − X, 4
partition externe, 10
D − x, 4
X(u), 9
D[X], 4
X + , 18, 56
X + (u), 18, 56
support, 21, 25
σ(D), 21
X − , 18, 56
X − (u), 18, 56
support critique, 22, 25
σC (D), 22
X 0 , 18
X 0 (u), 18
support partiellement critique, 23, 98,
108, 110
X 1 , 18
X 1 (u),
p
σD[X]
(D), 23
18
⟨X⟩, 9
Ext(X), 9
pD[X] , 10, 18, 56
pH[X] , 19
+
qD[X]
, 19, 57
−
qD[X]
, 18, 57
qD[X] , 18, 56
0
rD[X]
, 19
1
rD[X]
, 19
rD[X] , 19
116

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