Indécomposabilité critique des digraphes et applications

Ind´ecomposabilit´e critique des digraphes
et applications
Mohamed Yahia Sayar 1
1. Facult´e des Sciences de Sfax, D´epartement de Math´ematiques, BP 802, 3018
Sfax, Tunisie. Adresse ´electronique : sayar−[email protected]

Table des mati`eres
1 Introduction 4
1.1 Digraphe................................ 4
1.2 Digraphe ind´ecomposable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Digraphecritique........................... 11
1.4 Digraphe partiellement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Support ................................ 21
2 Support critique 25
2.1 Propri´et´es des digraphes critiques . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Preuve du th´eor`eme 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Tournois partiellement critiques 56
3.1 Pr´eliminaires ............................. 57
3.2 Exemple ................................ 65
3.3 Les premiers r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Caract´erisation des tournois partiellement critiques . . . . . . 74
4 Applications 95
1

4.1 Une nouvelle preuve de [14] pour les tournois . . . . . . . . . . 95
4.2 Support partiellement critique d’un tournoi . . . . . . . . . . . 98
Bibliographie 110
Index 113
2

Table des figures
1.1 Le tournoi critique T2n+1....................... 13
1.2 Le tournoi critique U2n+1....................... 13
1.3 Le tournoi critique V2n+1....................... 14
1.4 L’ordre partiel critique Q2n. .................... 14
1.5 L’ordre partiel critique R2n. .................... 15
1.6 Le digraphe sym´etrique critique G2n................ 16
1.7 Le digraphe critique H2n+1...................... 17
2.1 Digraphe sym´etrique ind´ecomposable tel que ∣σC(D)∣ =2 . . . 54
2.2 Tournoi ind´ecomposable `a six sommets tel que ∣σC(T)∣ ≥3. . . 55
3.1 Exemple de tournoi partiellement critique. . . . . . . . . . . . 68
4.1 Tournoi ind´ecomposable tel que ∣σp
T[X](T)∣ =2. . . . . . . . . . 101
3

Chapitre 1
Introduction
1.1 Digraphe
Un digraphe (ou graphe dirig´e)D=(S, A)est constitu´e d’un ensemble
fini et non vide Sde sommets et d’un ensemble Ade couples de sommets
distincts, appel´es arcs. A chaque partie non vide Xde Sest associ´e le sous-
digraphe D[X]=(X, (X×X)∩A)de Dinduit par X.´ Etant donn´ee une
partie stricte Xde S,D[S∖X]est aussi not´e D−X. De plus, pour x∈S,
D−{x}est not´e D−x. De mˆeme, pour toute partie Bde A, le digraphe
(S, A ∖B)est not´e D−B.
´
Etant donn´e un ensemble non vide S,(S, ∅)est le digraphe vide sur S
tandis que (S, (S×S)∖{(x, x);x∈S}) est le digraphe complet.´ Etant donn´e
un digraphe D=(S, A), consid´erons une partition Pde S. Le graphe Dest
multiparti par Plorsque pour tout M∈P,D[M]est vide. On dit que Dest
biparti si ∣P∣=2.
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