Un peu de logique formelle…

Un peu de logique formelle…
:o)
… ou comment comprendre ce que le prof dit pendant ses cours
… et comment vous faire comprendre du prof … !!!
La logique selon Aristote
•
La logique naît avec Aristote (384-322 av. J.C), disciple de Platon.
•
C'est le moment de la lutte entre les philosophes et les sophistes. Pour
Aristote, la logique a deux finalités.
Il s'agit, en premier lieu, de rendre la sophistique impossible (les sophistes
utilisaient des raisonnements parfois corrects mais sans se soucier de la
vérité).
Certes Platon critique les sophistes sur tel ou tel point mais l'ignorance des
lois de la pensée correcte rend impossible une réfutation de fond.
En second lieu, la logique vise à fonder la philosophie elle-même. Ainsi,
Aristote n'est pas satisfait de certains raisonnements platoniciens. Une
philosophie ne peut être rigoureuse que si elle sait comment fonctionne la
pensée correcte.
•
•
•
Platon et Aristote
détail du tableau de Raphaël (1518)
L’école d’Athènes
La logique se présente comme une propédeutique (une science préalable) à
toute pensée se voulant rationnelle. C'est en ce sens qu'Aristote écrit : « Il
faut connaître les Analytiques avant d'aborder aucune science » (les «
analytiques » désignent les deux livres essentiels de la logique d'Aristote)
La logique d'Aristote se présente sous la forme de six livres portant
globalement, depuis le Moyen-Age, le nom d'Organon, ce qui signifie « outil
».
La logique se définit (selon la formule kantienne) comme «une science qui
expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles
formelles de toute pensée». Le système aristotélicien prend la forme du
syllogisme; mais, apparaît au XIX°siècle (avec Frege) une logique dite
formelle sur le modèle algébrique.
Les 3 principes d’Aristote
•
Le principe de non-contradiction:
"Il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas en
temps au même sujet et sous le même rapport"
Aristote, métaphysique, 3, 1005B, 9.
•
Le principe du tiers exclu:
"Il ne peut y avoir d'intermédiaire entre deux contraires, un sujet possède ou
ne possède pas un attribut donné"
Ibid. VII, 1021b23-29
•
Le principe d'identité :
"Se demander pourquoi une chose est elle-même, c'est enquêter dans le vide
parce que l'existence d'une chose doit être claire. Ainsi, le fait qu'une chose est
elle-même est la seule réponse et la seule cause dans tous les cas, comme par
exemple dans la question `pourquoi un homme est un homme?`..."
Le principe d'identitéIbid. VII, 1041a15-20
Les 3 principes d’Aristote
• Le principe de non-contradiction:
une proposition A ne peut être à la fois vraie et
fausse
• Le principe du tiers exclu:
une proposition A est forcément vraie ou fausse
• Le principe d'identité :
La chose A s’explique (ou se vérifie) par elle-même.
Les 3 principes d’Aristote
•
Le principe de non-contradiction:
une proposition A ne peut être à la fois vraie et fausse
Deux droites dans le plan ne peuvent être sécantes et non sécantes à
la fois.
•
Le principe du tiers exclu:
une proposition A est forcément vraie ou fausse
Deux droites dans le plan sont sécantes ou non
•
Le principe d'identité :
Une proposition A s’explique par elle-même.
Le discours philosophique a besoin de cohérence. Une expression
de ce besoin est le principe d'identité qui énonce que ce qui est est.
Dans le champ des mathématiques, certaines « définitions » d’objets ne
« s’expliquent » pas autrement que par elles-mêmes, exemple : un point en
géométrie, les nombres 1,2,3…
Qu’est-ce qu’une proposition ?
• Une proposition est un énoncé abstrait sur
lequel on ne fait aucune hypothèse à priori sur la
véracité ou la fausseté.
Par exemple :
« il pleut » est une proposition.
« tout homme est mortel » en est une autre.
« tous les lapins mangent des carottes » une
troisième.
Que fait la logique ?
• La logique est la « science » qui étudie la relation entre
propositions.
Elle est l’exercice de la raison (= ratio en latin) dont le mot
signifie calcul, jugement, pensée.
Elle calcule la justesse de leur relation.
On utilise donc les syllogismes, du grec
συν λογικον = « sun logicon » = lier ensemble.
L’objectif étant de démontrer la véracité ou la fausseté d’une
proposition énoncée.
L’exemple donné le plus souvent : « Tout homme est
mortel » et « Socrate est un homme » donc…
« Socrate est mortel ».
Que fait la logique ?
L’exemple donné le plus souvent : « Tout
homme est mortel » et « Socrate est un
homme » donc… « Socrate est
mortel ».
En termes de logique, on peut dire que si
je sais que « B est A » et « C est B » alors
je peux conclure que…
Que fait la logique ?
En termes de logique, on peut dire que si
je sais que « B est A » et « C est B » alors
je peux conclure que… « C est A ».
j’ai ainsi dégagé une règle générale de
raisonnement.
Logique = Déduction
Le calcul des propositions constitue la première
étape vers la formalisation des démonstrations
(pour étudier la validité d’un raisonnement, on ne regarde pas son
contenu, mais la relation entre les propositions -donc la forme du
raisonnement).
Il permet de s’assurer sans risque d’erreur que
des déductions complexes sont valides.
On utilise les « 4 connecteurs logiques »
NON
ET
OU
IMPLIQUE
on notera dans ce qui suit : V pour Vrai et F pour Faux. D’après les
principes d’Aristote, une proposition est soit Vraie soit Fausse.
les « 4 connecteurs logiques »
NON
ET
OU
IMPLIQUE
NON
Si A est une proposition alors NON(A) en est
une autre qui est vraie si A est fausse, et
fausse si A est vraie.
A
NON(A)
F
V
V
F
NON
Si A : « ma voiture est blanche »
alors NON(A) :
A
NON(A)
F
V
V
F
NON
Si A : « ma voiture est blanche »
alors NON(A) : « ma voiture n’est pas blanche »
A
NON(A)
F
V
V
F
ET
Si A et B sont deux propositions alors A et B en
est une autre qui est vraie si A et B sont vraies
en même temps, sinon elle est fausse.
A
B
A et B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
ET
Si A : « j’ai une voiture » et B : « j’ai le permis »
Alors A et B : « j’ai une voiture et le permis »
A et B est vraie si A et B sont vraies toutes les deux,
sinon elle est fausse.
A
B
A et B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
OU
Si A et B sont deux propositions alors A ou B
en est une autre qui est fausse si A et B sont
fausses en même temps, sinon elle est vraie.
A
B
A ou B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
OU
Si A : « j’ai une voiture » et B : « j’ai le permis »
Alors A ou B : « j’ai une voiture ou le permis »
A ou B est vraie si l’une au moins des
propositions A et B est vraie.
A
B
A ou B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
OU et « ou bien »
les nuances du français
A ou B est vraie si l’une au moins des propositions A et B est vraie.
Si on veut insister sur le fait que A et B ne peuvent être vraies en même temps, on doit le
préciser clairement par un « ou bien ».
Par exemple, au restaurant, si le menu annonce « fromage ou dessert », ne demandez pas
les deux… ce serait plus cher !
Par contre si chez vous vos parents vous demandent si vous voulez du sel ou du poivre dans
votre portage, vous pouvez sans crainte demander les deux.
A
B
A ou B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Implique ⇒
Si A et B sont deux propositions alors A ⇒ B en est une
autre qui est fausse si A est vraie et B est fausse.
On peut rapprocher l’implication du langage courant :
« si A alors B »
Du point de vue logique,
A ⇒ B est équivalent à NON(A) OU B
A
B
A⇒B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Implique ⇒
Du point de vue logique,
A ⇒ B est équivalent à NON(A) OU B
vérifiez-le en remplissant la table de vérité suivante :
NON(A) NON(A)
OU B
?
?
A⇒B
A
B
V
V
V
F
?
?
F
F
V
?
?
V
F
F
?
?
V
V
Implique ⇒
Du point de vue logique,
A ⇒ B est équivalent à NON(A) OU B
NON(A) NON(A)
OU B
F
A⇒B
A
B
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
Implique ⇒
Du point de vue logique,
A ⇒ B est équivalent à NON(A) OU B
NON(A) NON(A)
OU B
F
V
A⇒B
A
B
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Implique ⇒
Il est à noter que si A est fausse alors A ⇒ B est vraie quel que
soit B.
Ceci est confirmé par le sens commun dans une expression du
genre :
« si vous êtes le président alors moi je suis un martien »
C’est-à-dire : vous dites être le président, je dis que c’est faux; et
puisque c’est faux, tout peut arriver…
A
B
A⇒B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
les « 4 connecteurs logiques »
et leurs rapports
NON
ET
OU
IMPLIQUE
Associativité des connecteurs
Associativité des connecteurs
• A ET ( NON(A) ) = ???
• A OU ( NON(A) ) = ???
• A ET ( B OU C ) = ???
• A OU ( B ET C ) = ???
Associativité des connecteurs
• A ET ( NON(A) ) = impossible
• A OU ( NON(A) ) = ???
• A ET ( B OU C ) = ???
• A OU ( B ET C ) = ???
Associativité des connecteurs
• A ET ( NON(A) ) = impossible
• A OU ( NON(A) ) = toujours vrai
• A ET ( B OU C ) = ???
• A OU ( B ET C ) = ???
Associativité des connecteurs
• A ET ( NON(A) ) = impossible
• A OU ( NON(A) ) = toujours vrai
• A ET ( B OU C ) = (A ET B) OU (A ET C )
• A OU ( B ET C ) = ???
Associativité des connecteurs
• A ET ( NON(A) ) = impossible
• A OU ( NON(A) ) = toujours vrai
• A ET ( B OU C ) = (A ET B) OU (A ET C )
• A OU ( B ET C ) = (A OU B) ET (A OU C )
Négation des connecteurs
Négation des connecteurs
• NON( NON(A) ) = ???
• NON( A ET B ) = ???
• NON( A OU B ) = ???
• NON( A ⇒ B ) = ???
Négation des connecteurs
• NON( NON(A) ) = A
• NON( A ET B ) =
• NON( A OU B ) =
• NON( A ⇒ B ) =
Négation des connecteurs
• NON( NON(A) ) = A
• NON( A ET B ) = NON(A) OU NON(B)
• NON( A OU B ) =
• NON( A ⇒ B ) =
Négation des connecteurs
• NON( NON(A) ) = A
• NON( A ET B ) = NON(A) OU NON(B)
• NON( A OU B ) = NON(A) ET NON(B)
• NON( A ⇒ B ) =
Négation des connecteurs
• NON( NON(A) ) = A
• NON( A ET B ) = NON(A) OU NON(B)
• NON( A OU B ) = NON(A) ET NON(B)
• NON( A ⇒ B ) = A ET NON(B)
(surprenant ?)
Négation des connecteurs
• Exemple 1:
« il pleut ET je suis mouillé »
a pour négation :
Négation des connecteurs
• Exemple 1: solution
« il pleut ET je suis mouillé »
a pour négation :
« il ne pleut pas OU je ne suis pas mouillé »
Négation des connecteurs
• Exemple 2:
« s’il pleut alors (⇒) je suis mouillé »
a pour négation :
Négation des connecteurs
• Exemple 2 : solution
« s’il pleut alors (⇒) je suis mouillé »
a pour négation :
« il pleut ET je ne suis pas mouillé »
en effet…
Négation des connecteurs
« s’il pleut alors (⇒) je suis mouillé »
A ⇒ B est équivalent à NON(A) OU B
et la négation de NON(A) OU B est
NON(NON(A) OU B ) = A ET NON(B)
donc…
« il pleut ET je ne suis pas mouillé »
Négation des connecteurs
• Exemple :
« s’il pleut alors (⇒) je vais au cinéma »
a pour négation :
« il pleut ET je ne vais pas au cinéma »
Les quantificateurs logiques
Les quantificateurs logiques
• Une propriété peut être universelle ou
particulière :
• Universelle si elle est vraie (ou fausse)
pour tous :
« tous les élèves de Terminale font de la philosophie »
« aucun lapin ne porte de lunettes »
• Particulière si elle est vraie (ou fausse)
dans au moins un cas :
« il existe un élève de la classe qui est une fille »
« il existe un élève de la classe qui n’est pas une fille »
Les quantificateurs logiques
Une propriété peut être positive ou négative
• Positive :
« il existe un réel x tel que x² = 3 »
• Négative :
« il existe un réel x tel que x² ≠ 3 »
Les quantificateurs logiques
Il existe donc quatre « types » de propriétés :
Universelle positive
A
Universelle négative
E
Particulière positive
I
Particulière négative
O
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
• De deux propositions négatives, on ne peut rien
conclure.
Si aucun garçon n’a de lunettes et aucune
personne n’ayant de lunettes n’est blond alors…
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
• De deux propositions négatives, on ne peut rien
conclure.
Si aucun garçon n’a de lunettes et aucune
personne n’ayant de lunettes n’est blond
alors…RIEN
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
De deux propositions positives on ne peut donner
de conclusion négative.
Tous les garçons de Terminale ont des lunettes, or
il existe un garçon dans la classe de TES donc
…
S’il existe un garçon de Terminale qui a des
lunettes et s’il existe un garçon dans la classe
de TES alors …
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
De deux propositions positives on ne peut
donner de conclusion négative.
Tous les garçons de Terminale ont des
lunettes, or il existe un garçon dans la
classe de TES donc … il existe un garçon à
lunettes en TES.
S’il existe un garçon de Terminale qui a des
lunettes et s’il existe un garçon dans la
classe de TES alors … il existe peut être un
garçon de TES qui a des lunettes.
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
La conclusion suit toujours la plus faible des
parties :
• la conclusion est négative si l’une des deux
parties est négative.
• la conclusion est particulière si l’une des deux
est particulière
Si tous les élèves de TL mesurent plus de 1m80, et s’il
existe une fille en TL alors…
Si aucun des élèves de TL ne mesure moins de 1m70,
et s’il existe une fille en TL alors…
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
La conclusion suit toujours la plus faible des
parties :
• la conclusion est négative si l’une des deux
parties est négative.
• la conclusion est particulière si l’une des deux
est particulière
Si tous les élèves de TL mesurent plus de 1m80, et s’il
existe une fille en TL alors il existe une fille de plus de
1m80 en TL
Si aucun les élèves de TL ne mesure moins de 1m70, et
s’il existe une fille en TL alors il n’existe pas de fille de
moins de 1m70 en TL
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
• Il ne suit rien de deux propositions particulières
S’il existe un élève de TS qui mesure plus de
2m00, et s’il existe une fille en TS alors …
Quatre règles fondamentales des
syllogismes
• Il ne suit rien de deux propositions particulières
S’il existe un élève de TS qui mesure plus de
2m00, et s’il existe une fille en TS alors …
On ne peut rien conclure.
Oppositions entre syllogismes
Les relations d’opposition des
syllogismes en logique
Contraire
Universelle positive
A
subalterne
Universelle négative
E
contradictoires
Particulière positive
I
subalterne
Particulière négative
O
Subcontraire
Classer ces quatre propositions :
« Tous les trains arrivent à l’heure »
« un train n’arrive pas à l’heure »
« l’homme est un animal rationnel »
« il existe un homme qui n’a pas de (capacité de) Raison
Universelle positive
A
Universelle négative
E
Particulière positive
I
Particulière négative
O
contradictoire
« Tous les trains arrivent à l’heure » et « un train n’arrive pas à l’heure »
« l’homme est un animal rationnel » et « il existe un homme qui n’a pas de (capacité de) Raison
Universelle positive
A
Universelle négative
E
contradictoires
Particulière positive
I
Particulière négative
O
Ne sont jamais vraies ensemble, ni fausses ensemble.
Si l’une est vraie, l’autre est fausse.
Contraire
« Tous les trains arrivent à l’heure » et « aucun train n’arrive à l’heure »
Contraire
Universelle positive
A
Universelle négative
E
Particulière positive
I
Particulière négative
O
Ne sont jamais vraies ensemble.
Si l’une est vraie, l’autre est fausse
Subcontraire
« Edouard est élève en TES » et « Edouard n’est pas élève en TL »
Universelle positive
A
Universelle négative
E
Particulière positive
I
Particulière négative
O
Subcontraire
Ne sont jamais fausses ensemble mais peuvent être vraies ensemble.
Si l’une est fausse, l’autre est vraie.
subalterne
« Tous les trains arrivent à l’heure » et « un train arrive à l’heure ».
Mais je ne peux pas dire à partir d’un train qui arrive à l’heure que tous sont ponctuels!
Universelle positive
A
subalterne
Particulière positive
I
Universelle négative
E
subalterne
Particulière négative
O
Si l’universelle est vraie, alors la particulière est vraie. Mais pas l’inverse.
Si la particulière est fausse, l’universelle est fausse aussi.
En mathématiques (et philo aussi), on parle d’exemples et de contre-exemples.
On a donc le tableau suivant :
Les relations d’opposition des
syllogismes en logique
Contraire
Universelle positive
A
subalterne
Universelle négative
E
contradictoires
Particulière positive
I
subalterne
Particulière négative
O
Subcontraire
Les quantificateurs logiques en
mathématiques
• Universelle si elle est vraie pour tous : ∀
« ∀ x réel, x² ≥ 0 »
• Particulière si elle est vraie dans au moins
un cas : ∃
« ∃ x réel tel que x² = 3 »
La négation des quantificateurs
logiques
Quelle est la négation de
« tous les lapins mangent des carottes »
???
La négation des quantificateurs
logiques
Quelle est la négation de
« tous les lapins mangent des carottes »
« Il existe au moins un lapin qui ne mange
pas de carottes »
La négation des quantificateurs
logiques
• NON( ∀ ) = ∃
NON( ∀ x réel, x² ≥ 0 ) = ∃ x réel tel que x² < 0.
• NON( ∃ ) = ∀
NON( ∃ x réel tel que x² = 3 ) = ∀ x réel, x² ≠ 3.
Fausses idées… idées fausses
• Le contraire de « tous » n’est pas « aucun » mais « il
existe au moins un qui fait le contraire »
• Le contraire de « A ⇒ B » est « A et NON(B) »
• Le contraire de « A et B » est « NON(A) ou ΝΟΝ(B) »
• Le contraire de « A ou B » est « NON(A) et ΝΟΝ(B) »
Prolongements…
…vers la logique « moderne »
Aristote a-t-il raison ?
C’est-à-dire :les 3 principes d’Aristote sont-ils « fondés »
POUR LES MATHéMATIQUES ?
• Le principe de non-contradiction:
une proposition A ne peut être à la fois vraie et fausse
C’est le pari fait par les mathématiques, on dit que la théorie est
« non contradictoire»
• Le principe du tiers exclu:
une proposition A est forcément vraie ou fausse
Ce n’est pas vrai en mathématiques,
on dit que certaines propriétés sont « indécidables »
• Le principe d'identité :
Une proposition A existe par elle-même.
Ce ne sont plus des maths, c’est de la philo…
Aristote a-t-il tord ?
C’est-à-dire : qu’est-ce que l’indécidabilité ?
• Le principe du tiers exclu:
une proposition A est forcément vraie ou fausse
Ce n’est pas vrai en mathématiques,
on dit que certaines propriétés sont « indécidables »
Un énoncé mathématique est dit indécidable dans un
système axiomatique s'il est impossible de le
déduire, ou de déduire sa négation, à partir des
axiomes.
En termes plus concrets, cela veut dire qu'on
demande au système de fournir une conclusion sans
lui avoir fourni suffisamment d'hypothèses.
Ainsi, l'âge du capitaine d'un bateau est indécidable
en fonction du tonnage et de la vitesse du navire.
Aristote a-t-il tord ?
qu’est-ce que l’indécidabilité ?
• Le principe du tiers exclu:
une proposition A est forcément vraie ou fausse
Ce n’est pas vrai en mathématiques,
on dit que certaines propriétés sont « indécidables »
Un mathématicien célèbre Kurt Gödel a prouvé que
dans un système axiomatique, il y avait des énoncés
vrais que l’on ne pouvait pas démontrer.
Il a montré aussi que certaines propriété
demeureraient indécidables dans n’importe quel
système axiomatique.
Il mit fin alors au rêve « positiviste » des savants du
début du 20ème siècle.
La logique c’est utile ?
Pour vous montrer l’importance de la logique
en philosophie et en mathématiques, où on
manie des concepts parfois subtiles, voici
quelques exemples d’erreurs à ne pas
commettre…
Question 1
• La négation de
« tous les élèves sont des garçons »
est :
•
•
•
•
« Toutes sont des filles »
« Il y a des filles »
« Il n’y a qu’un seule fille »
« Il y a au moins une fille »
Réponse-Question 1
• La négation de
« tous les élèves sont des garçons »
est :
•
•
•
•
« Toutes sont des filles »
« Il y a des filles »
« Il n’y a qu’un seule fille »
« Il y a au moins une fille »
Question 2
• La négation de
« s’il pleut alors je vais au cinéma »
est :
•
•
•
•
•
« s’il ne pleut pas alors je vais au cinéma »
« s’il ne pleut pas alors je ne vais pas au cinéma »
« je ne vais pas au cinéma »
« Il ne pleut pas »
Rien de tout cela
Réponse-Question 2
• La négation de
« s’il pleut alors je vais au cinéma »
est :
•
•
•
•
•
« s’il ne pleut pas alors je vais au cinéma »
« s’il ne pleut pas alors je ne vais pas au cinéma »
« je ne vais pas au cinéma »
« Il ne pleut pas »
Rien de tout cela
Question 2
• Je repose la question :
La négation de
« s’il pleut alors je vais au cinéma »
est :
Réponse-Question 2
• La négation de
« s’il pleut alors je vais au cinéma »
est :
« Il pleut et je ne vais pas au cinéma »