Feuille d`exercices n°1 : Logique et raisonnements mathématiques

ECE1-B
2015-2016
Feuille d’exercices n°1 :
Logique et raisonnements mathématiques
Exercice 3. (☀)
Traduire les propositions suivantes (exprimées en français) à l’aide de symboles mathématiques.
1) Pour que p soit vraie, il faut que q soit vraie.
2) Pour que p soit vraie, il suffit que q soit vraie.
3) La proposition q est une condition suffisante de la proposition p.
4) Pour qu’un réel x soit positif, il suffit qu’il ne soit pas négatif.
Opérateur d’équivalence
Opérateur d’implication
Exercice 4. (☆)
Soit x un réel. A-t-on (x2 = 9) ⇔ (x = 3) ?
(en français : pour que x2 = 9 il faut et il suffit que x = 3)
Exercice 1. (☆)
1) A-t-on (1 = 2) ⇒ (1 = 1) ?
2) A-t-on (1 = 2) ⇒ (ln 1 = 1) ?
3) A-t-on, pour x réel, (x > 1) ⇒ (x > 2) ?
Exercice 5. (☀)
Démontrer que (p ⇒ q) ⇔ (NON(q) ⇒ NON(p)).
4) A-t-on, pour x réel, (x2 − 3x + 2 = 0) ⇒ (x > 0) ?
5) Que peut-on dire des réciproques des propositions précédentes ?
Exercice 2. (☀)
On considère la proposition « s’il pleut, mon jardin est mouillé ».
Quelle est sa négation ?
a. « s’il ne pleut pas, mon jardin n’est pas mouillé »
Exercice 6. (☀)
Soient p et q deux propositions. Montrer que :
1) NON(p ET q) ⇔ (NON(p) OU NON(q))
2) NON(p OU q) ⇔ (NON(p) ET NON(q))
3) NON(NON(p)) ⇔ p
4) [(p ⇒ q) ET (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
b. « s’il ne pleut pas, mon jardin est mouillé »
c. « s’il pleut, mon jardin n’est pas mouillé »
d. « si mon jardin n’est pas mouillé, il ne pleut pas »
Exercice 7. (☀)
Soient p et q deux propositions. Exprimer la proposition (p ⇔ q) en n’utilisant que les connecteurs logiques ET, OU et NON.
e. « il pleut et mon jardin n’est pas mouillé »
f. autre réponse.
Utilisation de quantificateurs
Exercice 8. (☀)
Établir la négation de :
(☆): application directe du cours,
(☀): pas de difficulté majeure,
(☀☀): plus difficile,
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y)
(☀☀☀): costaud
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Exercice 13. (☀☀)
Exercice 9. (☀) Vrai ou faux ?
Justifier les assertions suivantes quand elles sont justes et donner un contre- Écrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes.
exemple quand elles sont fausses.
a. La fonction f : R → R admet un maximum.
a. ∀x ∈ R, x2 > x
b. L’équation f (x) = 0 a exactement une solution dans R.
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c. L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.
b. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y
d. La fonction f est constante.
e. Tout réel a un antécédent par f .
Exercice 10. (☀) Vrai ou faux ?
Parmi les propositions ci-dessous, exhiber un élément qui permet de satisfaire f. La fonction f ne prend pas deux fois la même valeur.
celles qui sont justes.
g. La fonction f est strictement croissante.
a. ∃x ∈ R, x2 = 3
b. ∃x ∈ R, ∀n ∈ N, x 6 n
Méthodes de démonstration
c. ∃p ∈ Z, ∀n ∈ Z, p 6 n
Exercice 14. (☆)
Démontrer que la proposition suivante est fausse.
d. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, ∃z ∈ R, ey = xz 2
∀x ∈] − ∞, 1[,
Exercice 11. (☀☀)
Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes définies sur N.
1) Tout entier est le carré d’un entier.
2) Tout entier a pour carré la somme des carrés de deux entiers.
x
23 .(ln(1 − x) + 1).(3x3 + xex − 4) > 0
Exercice 15. (☀☀)
Pour x élément de R, montrer que : ((∀ε > 0), x 6 ε) ⇒ x 6 0.
On procédera par contraposée.
3) Certains entiers ont pour carré la somme des carrés de deux entiers.
4) Aucun entier n’est plus grand que tous les autres.
5) L’entier n est impair.
Exercice 16. (☀☀)
Pour x élément de R, montrer que : ((∀ε > 0), x 6 ε) ⇒ x 6 0.
On procédera par l’absurde.
Exprimer la négation de ces propositions.
Exercice 17. (☀☀)
Exercice 12. (☀☀)
Soit n ∈ N. Montrer par l’absurde que si n2 est pair alors n est pair.
Soit f une fonction de R dans R. Que signifient les deux propositions sui- Faire de nouveau la démonstration en procédant par contraposée.
vantes ?
1) (∀x ∈ R), (∃M ∈ R+ ), f (x) 6 M
Exercice 18. (☀☀)
Soit n ∈ N∗ . Démontrer que n2 − n est pair.
2) (∃M ∈ R+ ), (∀x ∈ R), f (x) 6 M
(☆): application directe du cours,
(☀): pas de difficulté majeure,
(☀☀): plus difficile,
(☀☀☀): costaud
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