d i à l Introduction à la l i f ll logique formelle

Introduction
d i à la
l
l i
logique
f
formelle
ll
eBac et LMRL
1 La logique formelle
1.
La logique formelle est la science des
raisonnements valides.
valides Elle analyse
seulement la vérité matérielle d’un
raisonnement.
i
t
Le but de la logique est de distinguer des
arguments valides de part leur forme des
autres.
Exemple
Si j’admets que la phrase suivante est vraie
«S
S’ilil pleut
pleut, le sol est mouillé
mouillé. »,
» je peux
déduire de la phrase « Il pleut. » la
conclusion
l i :…
Exemple
Si j’admets que la phrase suivante est vraie
«S
S’ilil pleut
pleut, le sol est mouillé
mouillé. »,
» je peux
déduire de la phrase « Il pleut. » la
conclusion
l i :
« Le sol est mouillé. »
« Forme et non contenu »
Or, ceci fonctionne aussi pour une déduction à
base d’une
d une phrase qui ne donne pas de sens
sens,
mais se présente sous forme logique correcte.
ex. « Si la neige est intelligente, le soleil pique
une crise.
crise » ; « La neige est intelligente.
intelligente »,
» alors
« Le soleil pique une crise. » = raisonnement
valide !
2 La proposition
2.
La proposition est une transcription d’une
phrase simple ou complexe pour laquelle il
fait sens de parler de vérité.
exemple :
p : il pleut
Cette proposition est, le tiers étant exclu,
soit vraie
vraie, soit fausse.
fausse
p ou bien
bi
non p
Phrase et proposition
« Il pleut. »
« It is raining
raining. »
« Lueve. »
« Es regnet. »
« Pluit. »
« Et rént. »
Ce sont des phrases
différentes qui peuvent
être transcrites par une
même proposition :
p
3 Les opérateurs
3.
Les relations logiques entre des phrases
simples, par lesquelles une phrase
complexe est composée, sont normalement
signalisées par des mots qui sont appelées
jonctions. Dans la grammaire on parle
généralement de conjonctions,
g
j
, comme p
par
exemple : et, ou, parce que, mais, si,
quoique ... (cf
(cf. mots signaux)
Montrons que ces jonctions peuvent rallier
des phrases simples sous un aspect
l i
logique
quii estt diffé
différentt :
(1) Paul va à l’école
(2) Paul va à l’école
l école
(3) Paul va à l’école
et il est malade.
ou il est malade
malade.
quoiqu’ il est malade.
(3) Paul va à l’école
quoiqu’
il est malade.
La phrase 3 nous dit qu’il n’est pas normal
que Paul va à l’école quand il est malade.
(1) Paul va à l’école
l école
(2) Paul va à l’école
et il est malade
malade.
ou il est malade.
Les p
phrases 1 et 2 ne p
permettent p
pas une
telle conclusion.
(2) Paul va à l’école
ou
il est malade.
De la phrase 2 on ne peut même pas tirer
la conclusion que les deux parties de la
phrase soient vraies, mais seulement
qu’une
’
partie
ti soit
it vraie.
i
Dans la logique des propositions on ne
s’intéresse p
pas au contenu d’une p
phrase,,
mais seulement à sa forme logique.
C’est pourquoi qu’on utilise des variables
(propositions) pour désigner des phrases
q
quelconques.
q
On pourrait donc récrire les trois phrases
de la façon suivante :
(1’) p
(2’)) p
(2
(3’) p
et q
ou q
quoique
q
Dans la logique des propositions on s’est
s est limité à
l’étude de seulement quatre types de jonctions qui
apparaissent dans le jargon du quotidien
quotidien,
„
„
„
„
et
ou
si..., alors
si et seulement si
ainsi que l’opérateur de la négation d’une phrase
„
ne … pas
ett pour symboliser
b li
lla conclusion
l i
- donc
Nos 5 opérateurs
∨
→
disjonction
j
(...
( ou ... ou les deux))
implication (si..., alors...)
↔
équivalence (... si et seulement si... ;
... équivaut
é i t à...)
à )
T
∧
négation
é i (non...
(
; ne... pas))
conjonction ((... et
et...))
conclusion (Donc
(Donc...))
3.1 La négation
La négation est employée pour former une proposition
complexe, qui dit le contraire de ce qui est affirmé dans
la proposition (simple
(
ou complexe)) sur laquelle la
négation opère.
(1a) Il pleut.
((1b)) Il n’est p
pas vrai q
qu’il p
pleut.
Quand (1a) est vrai, (1b) doit être faux et vis versa.
(C i peut ê
(Ceci
être résumé
é
é par une représentation
é
i d
dans un
tableau de vérité (angl.
truth table), où la négation est
__
représentée par « », « v » veut dire vrai et « f » faux.))
3.2 La conjonction
v
La conjonction est notée « ». Elle
permet à partir de deux propositions
permet,
propositions, de
former une proposition plus complexe qui
estt vraie
i ssii lles d
deux propositions
iti
plus
l
simples sont toutes les deux vraies.
(2) Paul va à l’école
l école et Paul est malade
malade.
3.3 La disjonction
La disjonction est notée « v ». Elle permet, à partir
de deux propositions,
propositions de former une proposition
plus complexe qui est fausse ssi les deux
propositions simples sont fausses (ce qui revient
à dire qu’il suffit qu’une des deux propositions
soient vraies p
pour q
que la disjonction
j
soit vraie).
)
(3) Paul va à l’école
l école ou Paul est malade
malade.
3.4 L’implication
L’implication est notée « J ». Ainsi, à partir de
« il pleut », noté p, et de « le sol est mouillé »,
noté
té q, on obtient
bti t l’implication
l’i li ti :
(4) S’il pleut,
ple t (alors) le sol est mouillé.
mo illé
On appelle la partie gauche d
d’une
une implication son
antécédent et la partie droite le conséquent.
L’implication
p
est fausse ssi l’antécédent est vrai et
le conséquent faux (dans tout les autres cas,
donc, il est vrai).
3.5 L’équivalence
L’équivalence est notée « Q ».
(5) P
Paull va à l’é
l’école
l ssii il estt malade.
l d
q
est fausse ssi les deux
L’équivalence
propositions n’ont pas la même valeur de
vérité.
vérité
4 Exercices de transcription
4.
4. Exercices de transcription
Exemple
Paul va à l'école,, s'il est malade ou a un devoir en mathématiques.
q
Lexique:
p : Paul va à l'école
q : Paul
P l estt malade
l d
r : Paul a un devoir en mathématiques
Transcription:
(q ∨ r) → p