fichier format pdf (123 pages) - Institut de Mathématiques de Toulouse

EQUATIONS FONCTIONNELLES ANALYTIQUES
DANS LE CHAMP COMPLEXE
(COURS DE TROISI` EME CYCLE,PREMIER NIVEAU, 2004/2005)
J. Sauloy 1
27 mars 2009
1Laboratoire Emile Picard, CNRS UMR 5580, U.F.R. M.I.G., 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse CEDEX 4

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R´ esum´ e
Ce r´ esum´ e reproduit (sans les erreurs) la pr´ esentation du cours telle qu’elle figurait dans le syllabus. Je ne pr´ etends
pas que ce (vaste) programme soit r´ ealisable.
On pr´ esentera de mani` ere unifi´ ee quelques aspects de la th´ eorie des ´ equations diff´ erentielles (resp. aux diff´ erences, resp.
aux q-diff´ erences) analytiques lin´ eaires sur la sph` ere de Riemann, selon un paradigme introduit par G. D. Birkhoff en
1913, mais en tenant compte des modernisations apparues depuis. Apr` es avoir introduit les outils alg´ ebriques et trans-
cendants de base ( D-modules, fonctions sp´ eciales, repr´ esentation de monodromie) on ´ etudiera certains d´ eveloppements
r´ ecents de la th´ eorie des ´ equations aux q-diff´ erences. On se limitera aux syst` emes fuchsiens.
1. Outils alg´ ebriques. - Une ´ equation lin´ eaire d’ordre nou un syst` eme de rang npeuvent ˆ etre interpr´ et´ es
comme un module ` a gauche de longueur finie sur une alg` ebre de ¨ Ore D. On ´ etudiera les algo-
rithmes de division et du vecteur cyclique, l’´ equivalence de syst` emes, le lien entre suites exactes
de D-modules et factorisation d’op´ erateurs.
2. Fonctions sp´ eciales et r´ esolution explicite. - Apr` es avoir caract´ eris´ e les ´ equations et les syst` emes
fuchsiens, on ´ etendra la m´ ethode de Frobenius pour les ´ equations diff´ erentielles aux ´ equations aux
diff´ erences et aux q-diff´ erences ` a l’aide des fonctions Gamma et Theta. On comparera les corps des
constantes des trois th´ eories.
3. Classification. - La correspondance de Riemann-Hilbert permet de classifier les syst` emes diff´ erentiels
fuchsiens sur la sph` ere de Riemann par leurs repr´ esentations de monodromie. On l’´ etendra aux
´
equations aux diff´ erences et aux q-diff´ erences ` a l’aide de la matrice de connexion de Birkhoff.
4. Confluence et th´ eorie de Galois. - La matrice de connexion de Birkhoff d’une ´ equation aux q-
diff´ erences permet de retrouver, lorsque q→1, la repr´ esentation de monodromie d’une ´ equation
diff´ erentielle. Cela donne un sens g´ eom´ etrique ` a de nombreuses q-analogies classiques et ` a de mo-
dernes probl` emes de q-d´ eformation. La matrice de connexion permet ´ egalement de d´ ecrire le groupe
de Galois, d´ efini ` a la Picard-Vessiot ou en termes tannakiens.
5. Compl´ ements. - Si le temps le permet, on abordera l’application de l’alg` ebre homologique aux calculs
d’indices, la formulation fonctorielle de la correspondance de Riemann-Hilbert et la dualit´ e tanna-
kienne.

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Table des mati` eres
0 Introduction 5
I Equations diff´ erentielles 8
1 Prolongement analytique 9
1.1 Les “caract` eres” zα,α∈C.................................. 10
1.1.1 Cas d’un exposant rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Cas d’un exposant quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 L’action du groupe fondamental (` a la lourdingue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.4 Solutions au voisinage de ∞∈S........................... 16
1.2 Un exemple de fonction alg´ ebrique : √z+√1−z...................... 17
1.3 G´ en` ese d’un h´ eros:lelogarithme .............................. 18
1.3.1 L’action du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Ecriture sous forme de syst` eme ........................... 21
1.3.3 Solution en ∞∈S................................... 22
1.3.4 Equation d’ordre 1 sur S............................... 22
1.3.5 Polylogarithmes ................................... 23
2 Equations et syst` emes diff´ erentiels 24
2.1 Le faisceau des solutions d’une ´ equation ou d’un syst` eme.................. 24
2.1.1 Faisceaux de C-espacesvectoriels.......................... 24
2.1.2 Des ´ equations aux syst` emes ............................. 26
2.1.3 Lelemmeduwronskien ............................... 27
2.2 Le th´ eor` emedeCauchy.................................... 28
2.2.1 Solutions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Le th´ eor` emedeCauchy ............................... 29
2.2.3 Le lemme du vecteur cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Cons´ equences formelles du th´ eor` emedeCauchy ...................... 31
2.3.1 Le syst` emelocaldessolutions............................ 31
2.3.2 La repr´ esentation de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Culture : Corps de classes et surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Etude locale des singularit´ es 35
3.1 Outils pour l’´ etudelocale................................... 35
3.1.1 Changements d’´ ecriture de l’´ equation diff´ erentielle................. 35
3.1.2 Fonctionsmultiformes................................ 38
3.1.3 Conditions de croissance mod´ er´ ee dans les secteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Syst` emes fuchsiens standards en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 R´ esolution ...................................... 42
3.2.2 Monodromie ..................................... 43
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