Module et argument : exemples

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Module et argument : exemples
I Module
1. Quel est le module de 3+4i?
C’est √32+ 42=√25 = 5
2. Quel est le module de −3?
−3 = −3+0i, donc son module est p(−3)2+ 02=√9 = 3
Lorsqu’un nombre complexe zest r´eel (z=x+ 0i=x), son module √x2+ 02est
´egal `a sa valeur absolue |x|. Mais le concept de valeur absolue ne s’applique pas
aux nombre complexes qui ne sont pas des nombres r´eels. On parle alors seulement
de module.
Dans tous les cas, on utilise la notation entre barres verticales : |z|. Pour un com-
plexe non r´eel, on lit «module de z». Pour un r´eel, on peut lire «module de z»ou
«valeur absolue de z».
3. Quel est le module de z=3+4i
1 + i?
•M´ethode compliqu´ee (mais naturelle) : on ´ecrit 3+4i
1 + isous la forme x+yi et
on calcule px2+y2. Pour cela, on multiplie en haut et en bas par le conjugu´e du
d´enominateur.
3+4i
1 + i=(3 + 4i)(1 −i) (1 + i)(1 −i)=3−3i+ 4i−4i2 12+ 12=7 2+i 2.
Donc |z|=r49
4+1 4=r50 4=5 2√2
•M´ethode plus simple : on utilise d’abord les propri´et´es des modules avant d’utiliser
leurs d´efinitions :
le module d’un quotient est le quotient des modules : |z|=|3+4i|
|1 + i|=√32+ 42
√12+ 12=
5
√2
4. Quel est le module de (3 + 4i)2?
•M´ethode compliqu´ee (mais naturelle) : on ´ecrit (3 + 4i)2sous la forme x+yi et
on calcule px2+y2.
(3 + 4i)2= 9 + 24i−16 = −7 + 24i.
|z|=√49 + 576 = √625 = 25
•M´ethode plus simple : on utilise d’abord les propri´et´es des modules avant d’utiliser
leurs d´efinitions :
Le module d’un carr´e est le carr´e du module. |z|=|3+4i|2=√32+ 422= 32+42=
25
5. Quel est le module de (3 + 4i)2006 ?
(3 + 4i)2006 =|3+4i|2006 =√32+ 422006 = 52006
6. Quel est l’ensemble des points Md’affixe ztels que |z+i|= 2 ?
Soit Ale point d’affixe −i. Alors |z+i|=|z−zA|=AM (module →distance).
L’ensemble cherch´e est donc l’ensemble des points Mtels que AM = 2, donc le
cercle de centre Aet de rayon 2.
7. Quel est l’ensemble des points Md’affixe ztels que |z+i|=|z|?
Soit Ale point d’affixe −i. Alors |z+i|=|z−zA|=AM (module →distance) et
|z|=OM. L’ensemble cherch´e est donc l’ensemble des points Mtels que AM =
OM, donc c’est la m´ediatrice de [OA] (d’´equation y=−1
2).
8. On suppose zz0=iet |z|= 3. Combien vaut  z+1
z0
?
1
z0=z i=−iz. Donc 
z+1
z0
=|z−iz|=|z(1 −i)|=|z| × |1−i|=
|z|p12+ (−1)2=|z|√2=3√2
Remarque : soit Mle point d’affixe zet Nle point d’affixe 1
z0. Alors Nest l’image
de Mpar la rotation de centre Oet d’angle −π
2puisque 1 z0=−iz. Soit Ple
quatri`eme sommet du parall´elogramme MONP . Ce parall´elogramme est un carr´e
(parall´elogramme avec un angle droit et OM =ON). Donc sa diagonale OP vaut
√2 fois son cˆot´e OM. Or l’affixe de Pest z+1
z0car −−→
OP =−−→ OM +−−→ ON.
Comme  z+1
z0
=OP , on a :  z+1
z0
=√2OM =√2|z|= 3√2

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II Argument
1. Calculer l’argument de z= 1 −i√3
Pour calculer l’argument, on a besoin du module : r=
1−i√3 =
q12+ (−√3)2= 2.
Soit θl’argument de z. Il faut calculer son cosinus et son sinus :
cos(θ) = x
r=1 2et sin θ=y r=−√3 2. Donc θ=−π 3[2π].
2. D´eterminer l’argument de (1 −√2)zsachant que l’argument de zest θ.
1−√2 est un r´eel n´egatif, donc son argument est π.
Donc arg((1 −√2)z) = arg(1 −√2) + arg(z) = π+θ
3. D´eterminer l’ensemble des points Md’affixe ztels que arg(z) = π
4.
La propri´et´e ´equivaut `a −→ u , −−→ OM=π
4, donc l’ensemble cherch´e est la demi-droite
ouverte d’origine Oet d’angle polaire π
4. C’est la demi-droite ]OA) avec Ad’affixe
1 + i. Cette demi-droite est l’ensemble des point M(x;y) tels que y=xet x > 0.
La demi-droite est ouverte en Oparce que le nombre 0 n’a pas d’argument (l’angle
−→
u , −−→ OOne peut pas ˆetre d´efini). Il s’agit d’une demi-droite et pas d’une droite
parce que les arguments sont des angles orient´es de vecteurs : les points de la
demi-droite oppos´ee (y=xavec x < 0) ont un autre argument : π+π
4.
4. Calculer l’argument de z= sin π
8+icos π 8
C’est une question pi`ege. L’argument n’est pas π
8.
|z|=··· = 1. Donc cos(θ) = sin π
8et sin(θ) = cos π 8(il y a «´echange»du
sinus et du cosinus).
Donc θ=π
2−π 8=3π 8(angles «compl´ementaires», faire une figure).
De mˆeme, voici d’autres exemples du mˆeme type :
arg −cos π
8+isin π 8=π−π 8
arg cos π
8−isin π 8=−π 8
arg −cos π
8−isin π 8=π+π 8
5. Calculer l’argument θde z=1−i√3
1 + i
L’argument d’un quotient est la diff´erence des arguments (modulo 2π) :
θ= arg(1 −i√3) −arg(1 + i) = ··· =−π
3−π 4=−7π 12
Remarque : on aurait pu essayer de calculer d’abord le quotient, mais cela aurait
conduit `a des cosinus et sinus non usuels.
On aurait trouv´e z=1−√3
2−i1 + √3 2,|z|=√2 (calcul´e avec le quotient des
modules) et cos(θ) = x
|z|=1−√3
2√2
Mais le rapprochement des deux m´ethodes permet de faire une d´eduction : puisque
l’ argument de zest −7π
12 , alors c’est que cos −7π 12 =1−√3
2√2.
L’id´ee `a retenir est donc : en calculant un argument de deux fa¸cons et en identifiant,
on peut trouver les formules exactes de certains cosinus ou sinus non usuels.
6. Calculer l’argument θde 2 + i
3−6i
On pourrait penser `a la diff´erence des arguments comme dans l’exemple pr´ec´edent,
mais les arguments du num´erateur et du d´enominateur ne sont pas des angles
usuels. Il se trouve que la m´ethode consistant `a calculer d’abord le quotient va
fournir un angle usuel :
2 + i
3−6i=(2 + i)(3 + 6i) (3 −6i)(3 + 6i)=··· =15i 45 =i 3
Donc θ= arg i
3=π 2.
Si on appelle Ale point d’affixe 2 + iet Ble point d’affixe 3 −6i, alors l’argument
de zest l’angle −−→ OB, −→ OA. Cet angle est π
2, donc cela prouve que (OA) et (OB)
sont perpendiculaires.
L’id´ee `a retenir est donc : en calculant un argument de deux fa¸cons diff´erentes, on
peut d´emontrer des propri´et´es g´eom´etriques concernant des angles.
7. Quel est l’ensemble des points Md’affixe ztels que arg z−1
z=π 2[π]?
Remarque : l’argument en question n’est d´efini que si z /=1 (pour que le quotient ne
soit pas nul : 0 n’a pas d’argument) et z /=0 (pour que le quotient soit d´efini).
Soit Ale point d’affixe 1. On sait que arg z−1
z=−−→
OM, −−→ AM=−−→ MO, −−→ MA.
Le probl`eme revient donc `a trouver tous les points distincts de Oet de Atels
que les droites (OM) et (AM) soient perpendiculaires (l’´egalit´e avec π
2est donn´ee
modulo πseulement, donc l’angle droit peut ˆetre aussi bien direct qu’indirect.).
Une propri´et´e g´eom´etrique permet alors de dire que cet ensemble est le cercle de
diam`etre [OA], priv´e des points Oet A. Son ´equation est x−1
22
+y2=1
22
,
soit x2+y2−x= 0.