Module et argument : exemples

Module et argument : exemples
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Module et argument : exemples
I
Module
1. Quel est le module de 3 + 4i ?
√
√
C’est 32 + 42 = 25 = 5
2. Quel est le module de −3 ?
p
√
−3 = −3 + 0i, donc son module est (−3)2 + 02 = 9 = 3
√
Lorsqu’un nombre complexe z est réel (z = x + 0i = x), son module x2 + 02 est
égal à sa valeur absolue |x|. Mais le concept de valeur absolue ne s’applique pas
aux nombre complexes qui ne sont pas des nombres réels. On parle alors seulement
de module.
Dans tous les cas, on utilise la notation entre barres verticales : |z|. Pour un complexe non réel, on lit «module de z». Pour un réel, on peut lire «module de z» ou
«valeur absolue de z».
3 + 4i
3. Quel est le module de z =
?
1+i
3 + 4i
• Méthode compliquée (mais naturelle) : on écrit
sous la forme x + yi et
1+i
p
2
2
on calcule x + y . Pour cela, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du
dénominateur.
3 + 4i
(3 + 4i)(1 − i)
3 − 3i + 4i − 4i2
7
i
=
=
= + .
1+i
(1 + i)(1 − i)
12 + 12
2 2
r
r
5√
49 1
50
Donc |z| =
+ =
=
2
4
4
4
2
• Méthode plus simple : on utilise d’abord les propriétés des modules avant d’utiliser
leurs définitions :
√
|3 + 4i|
32 + 42
=√
=
le module d’un quotient est le quotient des modules : |z| =
|1 + i|
12 + 12
5
√
2
4. Quel est le module de (3 + 4i)2 ?
• Méthodep
compliquée (mais naturelle) : on écrit (3 + 4i)2 sous la forme x + yi et
on calcule x2 + y 2 .
(3 + 4i)2 = 9 + 24i − 16 = −7 + 24i.
|z| =
√
49 + 576 =
√
625 = 25
• Méthode plus simple : on utilise d’abord les propriétés des modules avant d’utiliser
leurs définitions :
√
2
Le module d’un carré est le carré du module. |z| = |3+4i|2 = 32 + 42 = 32 +42 =
25
5. Quel est le module de (3 + 4i)2006 ?
√
(3 + 4i)2006 = |3 + 4i|2006 = 32 + 42 2006 = 52006
6. Quel est l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z + i| = 2 ?
Soit A le point d’affixe −i. Alors |z + i| = |z − zA | = AM (module → distance).
L’ensemble cherché est donc l’ensemble des points M tels que AM = 2, donc le
cercle de centre A et de rayon 2.
7. Quel est l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z + i| = |z| ?
Soit A le point d’affixe −i. Alors |z + i| = |z − zA | = AM (module → distance) et
|z| = OM . L’ensemble cherché est donc l’ensemble des points M tels que AM =
1
OM , donc c’est la médiatrice de [OA] (d’équation y = − ).
2
1 0
8. On suppose zz = i et |z| = 3. Combien vaut z + 0 ?
z
z
1
1
=
= −iz. Donc z + 0 = |z − iz| = |z(1 − i)| = |z| × |1 − i| =
z0 p i
√
√ z
|z| 12 + (−1)2 = |z| 2 = 3 2
1
Remarque : soit M le point d’affixe z et N le point d’affixe 0 . Alors N est l’image
z
π
1
de M par la rotation de centre O et d’angle − puisque 0 = −iz. Soit P le
2
z
quatrième sommet du parallélogramme M ON P . Ce parallélogramme est un carré
(parallélogramme avec un angle droit et OM = ON ). Donc sa diagonale OP vaut
√
−−→ −−→ −−→
1
2 fois son côté OM . Or l’affixe de P est z + 0 car OP = OM + ON .
z
√
√
√
1
1
Comme z + 0 = OP , on a : z + 0 = 2OM = 2|z| = 3 2
z
z
Module et argument : exemples
II
Argument
√
1. Calculer l’argument de z = 1 − i 3
√ Pour calculer l’argument, on a besoin du module : r = 1 − i 3 =
q
√
12 + (− 3)2 = 2.
Soit θ l’argument de z. Il faut calculer son cosinus et son sinus :
√
x
1
y
− 3
π
cos(θ) = = et sin θ = =
. Donc θ = − [2π].
r
2
r √ 2
3
2. Déterminer l’argument de (1 − 2)z sachant que l’argument de z est θ.
√
1 − 2 est un réel négatif, donc son argument est π.
√
√
Donc arg((1 − 2)z) = arg(1 − 2) + arg(z) = π + θ
π
3. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que arg(z) = .
4
−−→ π
→
−
La propriété équivaut à u , OM = , donc l’ensemble cherché est la demi-droite
4
π
ouverte d’origine O et d’angle polaire . C’est la demi-droite ]OA) avec A d’affixe
4
1 + i. Cette demi-droite est l’ensemble des point M (x; y) tels que y = x et x > 0.
La
est ouverte en O parce que le nombre 0 n’a pas d’argument (l’angle
demi-droite
−−→
→
−
u , OO ne peut pas être défini). Il s’agit d’une demi-droite et pas d’une droite
parce que les arguments sont des angles orientés de vecteurs : les points de la
π
demi-droite opposée (y = x avec x < 0) ont un autre argument : π + .
4
π
π
+ i cos
4. Calculer l’argument de z = sin
8
8
π
C’est une question piège. L’argument n’est pas .
8
π
π
|z| = · · · = 1. Donc cos(θ) = sin
et sin(θ) = cos
(il y a «échange» du
8
8
sinus et du cosinus).
π π
3π
Donc θ = − =
(angles «complémentaires», faire une figure).
2
8
8
De même, voici
d’autres
du même type :
πexemples
π
π
arg − cos
+ i sin
=π−
8
8
8
π π
π
− i sin
=−
arg cos
8 8 8
π
π
π
arg − cos
− i sin
=π+
8
8
√8
1−i 3
5. Calculer l’argument θ de z =
1+i
L’argument d’un quotient est la différence des arguments (modulo 2π) :
√
π π
7π
θ = arg(1 − i 3) − arg(1 + i) = · · · = − − = −
3
4
12
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Remarque : on aurait pu essayer de calculer d’abord le quotient, mais cela aurait
conduit à des cosinus et sinus
√
√ non usuels.
√
1+ 3
1− 3
−i
, |z| = 2 (calculé avec le quotient des
On aurait trouvé z =
2
2
√
x
1− 3
√
modules) et cos(θ) =
=
|z|
2 2
Mais le rapprochement des deux méthodes permet
√déduction : puisque
defaire une
7π
7π
1− 3
√ .
l’ argument de z est − , alors c’est que cos −
=
12
12
2 2
L’idée à retenir est donc : en calculant un argument de deux façons et en identifiant,
on peut trouver les formules exactes de certains cosinus ou sinus non usuels.
2+i
6. Calculer l’argument θ de
3 − 6i
On pourrait penser à la différence des arguments comme dans l’exemple précédent,
mais les arguments du numérateur et du dénominateur ne sont pas des angles
usuels. Il se trouve que la méthode consistant à calculer d’abord le quotient va
fournir un angle usuel :
2+i
(2 + i)(3 + 6i)
15i
i
=
= ··· =
=
3 − 6i
(3 − 6i)(3 + 6i)
45
3
π
i
= .
Donc θ = arg
3
2
Si on appelle A le
point d’affixe
2 + i et B le point d’affixe 3 − 6i, alors l’argument
−−
→ −→
π
de z est l’angle OB, OA . Cet angle est , donc cela prouve que (OA) et (OB)
2
sont perpendiculaires.
L’idée à retenir est donc : en calculant un argument de deux façons différentes, on
peut démontrer des propriétés géométriques concernant des angles.
z−1
π
= [π] ?
7. Quel est l’ensemble des points M d’affixe z tels que arg
z
2
Remarque : l’argument en question n’est défini que si z =1
/ (pour que le quotient ne
soit pas nul : 0 n’a pas d’argument) et z =0
/ (pour que le quotient soit défini).
−−→ −−→ −−→ −−→
z−1
Soit A le point d’affixe 1. On sait que arg
= OM , AM = M O, M A .
z
Le problème revient donc à trouver tous les points distincts de O et de A tels
π
que les droites (OM ) et (AM ) soient perpendiculaires (l’égalité avec est donnée
2
modulo π seulement, donc l’angle droit peut être aussi bien direct qu’indirect.).
Une propriété géométrique permet alors de dire que cet ensemble est le cercle de
2
2
1
1
diamètre [OA], privé des points O et A. Son équation est x −
+ y2 =
,
2
2
soit x2 + y 2 − x = 0.