Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition

Probabilités M54 Année 2015–2016
Fiche no2
Variables aléatoires discrètes
Ex 1. Contrôleur contre fraudeur
Une compagnie de métro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit à un trajet
coûte 1 e; les amendes sont fixées à 20 epour la première infraction constatée, 40 e
pour la deuxième et 400 epour la troisième. La probabilité ppour un voyageur d’être
contrôlé au cours d’un trajet est supposée constante et connue de la seule compagnie
(0< p < 1). Un fraudeur décide de prendre systématiquement le métro sans payer
jusqu’à la deuxième amende et d’arrêter alors de frauder. On note Tle nombre de
trajets effectués jusqu’à la deuxième amende (Test le numéro du trajet où le fraudeur
est contrôlé pour la deuxième fois). On note q= 1 −pla probabilité de faire un trajet
sans contrôle.
1) Montrer que la loi de Test donnée par
P(T=k)=(k−1)p2qk−2, k ≥2.
2) Pour n∈N∗, calculer P(T > n).Indication : on pourra commencer par chercher
une formule explicite pour la somme de la série entière
f(x) :=
+∞
X
k=n+1
xk−1,
puis pour sa dérivée terme à terme.
3) Calculer numériquement P(T > 60) (pourquoi s’intéresse-t-on à cette quan-
tité ?) lorsque p= 1/10 et lorsque p= 1/20.
Autour de la fonction de répartition
Ex 2. Interprétation du graphique d’une f.d.r. (Adapté de l’examen 01/05)
La variable aléatoire Xa pour fonction de répartition Freprésentée figure 1.
1) En exploitant les informations fournies par ce graphique, donner les valeurs des
probabilités suivantes.
P(X≤ −1), P (X= 0,2), P (X= 0,3), P (X≥0,2),
P(X > 2), P (X∈[1; 1,5]), P (X∈[1; 2]), P (|X|>1).
2) La variable aléatoire Xest-elle à densité ?

Université Lille I U.F.R. Maths.
x
y
−1 0,2 1 2 3,5
0,1
0,3
0,45
0,6
0,7
1
Figure 1 – Fonction de répartition Fde la v.a. X
3) Calculer la somme des sauts de F. La variable aléatoire Xest-elle discrète ?
Ex 3. Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions de répartition d’une variable
aléatoire réelle ?
F(x) = sin(x), G(x) = 1
πarctan(x)+π 2, H(x) = 1 41[−1,0[(x)+3 41[0,1](x)+1]1,+∞[(x),
J(x) = 1
61[1,2[(x)+21[2,3[(x)+31[3,4[(x)+41[4,5[(x)+51[5,6[(x)+61[6,+∞[(x).
Ex 4. Soit Xune variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [0,1]. Déterminer la loi
de la variable aléatoire Ydans les cas suivants :
1) Y= 1 −X;
2) Y=a+ (b−a)X, où aet bsont deux réels tels que a < b.
Ex 5. Soit Xune variable aléatoire réelle de fonction de répartition FX. On pose
Z= min(X, c)où cest un réel.
1) Calculer la fonction de répartition de Z.
2) Si la loi de Xa pour densité f, est-ce que la loi de Zest encore à densité ?
Variables aléatoires à densité
Ex 6. Interprétation du graphique d’une densité
La variable aléatoire Xa pour densité la fonction freprésentée figure 2.
page 2/9

Licence Probabilités élémentaires 2013–14
x
y
−2 1 2
0
0,5
1/3
Figure 2 – Densité fde la v.a. X
1) En exploitant les informations fournies par ce graphique, donner les valeurs des
probabilités suivantes.
P(X≤ −2), P (X=−1), P (X∈[−2; 0]),
P(X > 1), P (X≥1), P (|X|>1).
2) Déterminer la fonction de répartition de X.
Ex 7. Soit Xune v.a.r. de fonction de répartition Fdonnée par
∀u∈RF(u) = Zu
−∞
f(t) dt, avec f(t) = 
1 + tsi t∈[−1,0],
αsi t∈]0,2],
0sinon.
1) Représenter f.
2) Calculer F, et en déduire α.
3) Représenter F.
Ex 8. Apnée
Dans cet exercice, on s’intéresse à l’apnée statique, qui consiste à rester immobile
immergé dans une piscine. Un individu « quelconque » va à la piscine, et s’entraîne à
l’apnée. On appelle Tla durée (en minutes) maximale d’apnée statique qu’il réalise 2.
On suppose que la loi de Test donnée par la fonction de répartition suivante :
∀t∈R P(T≤t) = Zt
−∞
f(s) ds, avec f(s) = 0si s < 0ou s≥10,
λs(10 −s)si 0≤s < 10,
où λest un réel strictement positif.
1) Donner l’allure du graphe de la fonction f.
2. Le record d’apnée statique est à 11’35” pour les hommes, 9’02”pour les femmes.
page 3/9

Université Lille I U.F.R. Maths.
2) Calculer la fonction de répartition de T. En déduire λ.
Ex 9. Loi de Rayleigh (Issu du partiel 2011)
Soit Uune variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur l’intervalle ]0,1].
1) Rappeler la fonction de répartition FUde U.
Soit σun réel strictement positif, on définit une nouvelle variable aléatoire réelle, X,
par
X=σ√−2 ln U.
2) Calculer la fonction de répartition de X,FX.
3) La variable aléatoire Xest-elle à densité ? Si oui, donner une densité de X.
4) Que peut-on en déduire sur la valeur de l’intégrale Z[0,+∞[ xe−x2/2σ2dλ1(x)?
page 4/9

Licence Probabilités élémentaires 2013–14
Ex 10. Un peu de trigonométrie aléatoire
On définit une variable aléatoire Xgrâce à la construction représentée à la figure 3.
L’angle −→ AO, −−→ AMa pour mesure en radians U,variable aléatoire de loi uniforme sur
]−π/2, π/2[. La distance AO vaut 1et Xest l’abscisse du point Msur la droite
de repère (O,~ i):−−→ OM =X~ i. Les angles sont orientés dans le sens trigonométrique,
la figure est faite pour Upositif. Pour U= 0,Mcoïncide avec le point Oet pour
−π/2< U < 0,Mest « à gauche » de O.
A
MO
~
i
U
Figure 3 – Construction de M
1) Exprimez Xen fonction de U.
2) Pour xréel, calculez P(X≤x). On obtient ainsi la fonction de répartition de
la variable aléatoire réelle X.
3) Expliquez pourquoi la loi de Xest à densité et calculez cette densité. Que
reconnaissez vous ainsi ?
4) Quelle est la valeur de P(|X| ≤ 1) ? Cette question peut se résoudre avec ou
sans l’aide des précédentes.
Ex 11. Simulation
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre a > 0, et dont
on note Fla fonction de répartition.
1) Expliquer pourquoi on ne peut pas utiliser directement le théorème 3.43 pour
simuler la loi de X.
2) Sur quel intervalle maximal Fest-elle bijective ? Déterminer sa réciproque, G,
sur cet intervalle.
3) Soit Uune variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1[. On pose Y:=
G(U). Quelle est la loi de Y?
4) Pour conclure, expliquer pourquoi il suffit et il est intéressant de considérer
−ln U
apour simuler une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre a > 0.
Loi normale
Ex 12. On suppose que les notes d’un contrôle de probabilité suivent une loi normale
de paramètre (8,5; 4).
1) Quelle est la probabilité pour un étudiant d’avoir la moyenne ?
page 5/9