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Chapitre 7
Équations différentielles ordinaires
7.1
7.1.1
Exponentielle de matrices
Définition et premières propriétés
Rappelons que l’exponentielle d’un nombre complexe peut se définir à l’aide d’une suite convergente
∞ i
�
z2
zi
z
exp z = 1 + z =
+ ... + ... =
.
2!
i!
i!
i=0
De la même facon que nous avions défini des polynômes de matrices carrés, nous pouvons définir
leur exponentielle par la formule suivante :
Définition 7.1 Soit A ∈ Mn (K). On pose
exp A = In + A +
� Ai
A2
Ai
+ ... +
+ ... =
.
2!
i!
i!
i=0
∞
(7.1)
Bien entendu, cette définition n’a de sens que si la suite précédente converge, au sens ou chacun
des éléments de la matrice possède une limite : nous admettrons ce résultat. Notons également que
exp A est une limite de polynôme de A.
Donnons maintenant quelques propriétés.
Proposition 7.2 Soient A et B deux éléments de Mn (K).
i) Si A et B commutent, alors exp A exp B = exp(A + B).
ii) exp A est inversible d’inverse exp(−A).
iii) Si P est inversible alors exp(P −1 AP ) = P −1 (exp A)P.
Preuve. Pour la première assertion, on multiplie les séries donnant les exponentielles, et on
regroupe les termes de manière adéquate, en utilisant le fait que les deux applications commutent.
Pour la seconde, on remarque que
exp(A + (−A)) = exp 0 = In .
48
et on utilise la première assertion pour conclure. Pour la troisième, on utilise de nouveau la formuledéfinition.
7.1.2
Calculs d’exponentielles
Le cas des applications diagonalisables. Soit A ∈ Mn (K) une application diagonalisables, et
soient λ1 , λ2 , . . . λn ), la suite des valeurs propres, répétées avec leur multiplicité. Dans une base de
Kn de vecteurs propres (u1 , . . . , un ), La matrice associée dans cette base est alors
D = diag (λ1 , . . . , λn ).
Rappelons que si p est un polynôme, alors
p(D) = diag [p(λ1 ), . . . , p(λn )).
Comme l’exponentielle est une limite de polynômes, on en déduit
exp D = diag (exp λ1 , . . . , exp λn ).
c’est à dire
exp λ1
exp D = 0
0
0
..
.
...
exp λn
.
Si P est la matrice de passage de la base canonique (e1 , . . . , en ) vers la base (u1 , . . . , un ), on a
A = P DP −1 ,
d’où l’on déduit d’après la Proposition 7.2 que
exp A = P diag (exp λ1 , . . . , exp λn ) P −1 .
Le cas des matrices nilpotente. Si N est nilpotente, alors N m = 0, où m est l’indice de
nilpotence, d’où il résulte que
N k = [0], pour k ≥ m.
Si on revient à la formule (7.1), on s’aperçoit alors que cette dernière ne contient qu’un nombre fini
de termes. on a donc
exp N = Id + N +
Exemple: Pour N =
�
0
0
�Ti
N k−1
N2
+ ... +
=
.
2!
(k − 1)!
i!
i=0
k−1
�
a
, on obtient
0
exp N =
�
49
1
0
�
a
.
1
Si il existe c tel que N = A − cIn soit nilpotente. Dans ce cas, exp(tA) est donné par
�p−1
�
� tk
k
exp(tA) = exp (tc)
N
, où p est l’indice de nilpotence de N.
k!
k=0
7.1.3
Dérivation
Proposition 7.3 Soit A ∈ Mn (K), et ϕ la fonction définie par
ϕ : R+
t
→ Mn (K)
→ exp(tA).
Alors la fonction ϕ est dérivable, et sa dérivée est donnée par
ϕ� (t) = A exp(tA) = exp(tA)A.
7.2
Équations différentielles linéaires d’ordre 1
7.2.1
Définitions et propriétés
Définition 7.4 Soit I un intervalle de R. On appelle équation différentielle linéaire (ou système
différentiel linéaire) l’équation différentielle
Y � (t) = A(t)Y (t) + B(t),
où
A:
�
I
t
→ Mn (K)
→ A(t) = (ai,j (t))1≤i,j≤n
et
sont des fonctions continues données.
B:
�
I
t
(E)
→ Kn
T
→ B(t) = (b1 (t), . . . , bn (t))
On se place dans la suite dans le cas où I = R+ pour simplifier. Le théorème suivant, que nous
admettrons et qui est un cas particulier du théorème général de Cauchy-Lipschitz, garantit l’existence de solutions à (E), et l’unicité de la solution si l’on se fixe la condition initiale (c’est-à-dire la
valeur de la solution à t = 0).
Théorème 7.5 (Théorème de Cauchy-Lipschitz) Soit Y0 ∈ Kn , A et B deux fonctions définies et continues sur R+ et à valeurs dans Mn (K) et Kn respectivement. Alors l’équation différentielle avec condition initiale (appelée aussi problème de Cauchy)
� �
Y (t) = A(t)Y (t) + B(t),
Y (0) = Y0
admet une unique solution définie sur R+ tout entier, et cette solution est de classe C 1 sur R+ .
Définition 7.6 On appelle équation différentielle linéaire homogène (ou "sans second membre")
l’équation différentielle
Y � (t) = A(t)Y (t),
(H)
où A est une fonction définie et continue sur R+ à valeurs dans Mn (K).
50
On a alors la propriété fondamentale suivante :
Proposition 7.7 L’ensemble S des solutions définies sur R+ de l’équation différentielle linéaire
homogène (H) est un K-espace vectoriel de dimension n.
Preuve : On vérifie tout d’abord facilement que si Y1 et Y2 sont dans S, alors Y1 + λY2 est encore
dans S, pour tout scalaire λ ∈ K. Considérons ensuite l’application
�
S → Kn
φ:
Y → Y (0).
Cette application est linéraire entre les espaces vectoriels S et Kn . De plus, le thérorème 7.5 montre
qu’elle est bijective. Ainsi dim(S) = dim(Kn ) = n.
�
On en déduit ensuite la Proposition suivante, qui permet en pratique de déterminer toutes les
solutions de l’équation différentielle (E).
Proposition 7.8 Soit Yp une solution de l’équation différentielle linéaire (E). Alors l’ensemble des
solutions de (E) est donné par
{Yp + Z, Z ∈ S}.
Remarque: L’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) est donc un espace affine de
dimension n, admettant S comme direction vectorielle.
On se place dans la suite de cette partie dans le cas où A(t) est une matrice à coefficients
indépendant de t, notée A.
7.2.2
Équation homogène
Théorème 7.9 Soit A ∈ Mn (K). Les solutions de l’équation
Y � (t) = AY (t),
sont donnés par
Y (t) = exp (tA) U,
t∈R
(Hc )
U ∈ Kn .
En particulier, la solution de (Hc ) telle que Y (0) = Y0 est Y (t) = exp (At) Y0 .
Cas de la dimension 1
Proposition 7.10 L’équation différentielle homogène
y � (t) = a(t) y(t)
a pour solution générale
yh (t) = α0 exp
La fonction F : t �→ exp
��
K) des solutions de (H1 ).
0
t
��
t
0
�
a(s)ds ,
(H1 )
α0 ∈ K.
�
a(s)ds est donc une base de l’espace vectoriel (de dimension 1 sur
Lorsque A est à coefficients constants et est diagonalisable, on peut se passer de calculer exp(tA).
51
Proposition 7.11 Soit A ∈ Mn (K) une matrice à coefficients constants diagonalisable, λ1 . . .λn
ses valeurs propres (non nécessairement distinctes) et v1 , . . . , vn une base de vecteurs propres
associés. On note
fi : R �→ Kn
.
t �→ eλi t vi
Alors la famille de fonctions (f1 , . . . , fn ) est une base de l’espace des solutions de l’équation
Y � (t) = AY (t),
t ∈ R.
En particulier, si Y0 ∈ Kn se décompose dans la base (v1 , . . . , vn ) sous la forme Y0 =
la solution de (Hc ) telle que Y (0) = Y0 s’écrit
Y (t) =
n
�
(Hc )
n
�
yi vi , alors
i=1
yi fi .
i=1
Remarque: Si A n’est pas diagonalisable mais qu’il existe une matrice T triangulaire et une matrice
P inversible telles que A = P T P −1 , la méthode décrite ci-dessus peut s’adapter de la fa¸on suivante.
Le système (S) devient
Y � (t) = P T P −1 Y (t).
On effectue alors le changement de fonction inconnue
U (t) = P −1 Y (t)
et on obtient le système différentiel d’inconnue U suivant :
U � (t) = T U (t).
On est alors ramené à résoudre un système d’équations différentielles linéaires du 1er ordre en
cascade (que l’on résouds à partir de la dernière équation si T est triangulaire supérieure).
7.2.3
Recherche d’une solution particulière de l’équation avec second
membre
Si aucune solution évidence n’apparaît, on peut utiliser la méthode variation des constantes.
Dans le cas où la solution de l’équation homogène Y � (t) = AY (t) est exprimée avec l’exponentielle
de matrice, on cherche une solution particulière sous la forme
Yp (t) = exp(At)V (t),
où V : I → Kn est la fonction à trouver. Alors
Yp� (t) − AYp (t) = exp(tA) V � (t)
et il suffit donc de choisir V telle que exp(tA))V � (t) = B(t), soit par exemple
� t
V (t) =
exp(−uA) B(u)du.
0
On obtient alors la Proposition suivante
52
Théorème 7.12 L’ensemble des solutions de l’équation
Y � (t) = AY (t) + B(t)
est
�
Y (t) = exp (tA) V +
�
t
0
(Ec )
exp ((t − u) A) B(u)du,
V ∈ Kn
En particulier, la solution de l’équation (Ec ) telle que Y (0) = Y0 est
� t
Y (t) = exp (tA) Y0 +
exp ((t − u) A) B(u)du.
�
0
On peut aussi utiliser la méthode de variation des constantes à partir d’une base de solutions
de l’équation homogène. Soit f1 , . . . , fn une solution de l’équation homogène Y � (t) = AY (t). On
cherche alors une solution sous la forme
n
�
Yp (t) =
µi (t)fi (t).
i=1
On obtient alors
Yp (t) − AYp (t) =
�
=
n
�
i=1
n
�
µ�i (t)fi (t)
+
n
�
µi (t)fi� (t)
i=1
−A
n
�
µi (t)fi (t)
i=1
µ�i (t)fi (t).
i=1
Pour que Yp soit une solution de (Ec ), il faut et il suffit donc que
n
�
µ�i (t)fi (t) = B(t), soit
i=1
F (t)X(t) = B(t),
avec
F (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)),
X(t) = (µ�i (t))1≤i≤n .
On aboutit alors á un système de taille n ∗ n, qui possède une unique solution car la matrice F (t)
est inversible (ses vecteurs colonnes forment une famille libre).
Proposition 7.13 L’ensemble des solutions de l’équation
Y � (t) = AY (t) + B(t)
est
�
Y (t) =
n �
�
i=1
µ0i
+
�
0
t
�
xi (s)ds fi (t),
(Ec )
(yi )1≤i≤n ∈ K ,
n
�
où pour tout t ∈ R+ , X(t) = (xi )1≤i≤n est la solution du système
F (t)X(t) = B(t),
avec
F (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)).
En particulier, si Y0 se décompose dans la base {f1 (0), . . . , fn (0)} de Kn sous la forme Y0 =
alors la solution de l’équation (Ec ) telle que Y (0) = Y0 est
�
� t
n �
�
Y (t) =
yi +
xi (s)ds fi (t).
0
i=1
53
n
�
i=1
yi fi (0),
7.2.4
Recollement de solutions
Dans le cas où l’équation différentielle s’écrit sous la forme
c(t)Y � (t) = A(t)y(t) + B(t),
où c est une fonction s’annulant sur R+ en un point t∗ , on est amené à résoudre l’équation différentielle
1
1
Y � (t) =
A(t)yY t) +
B(t).
(Ē1 )
c(t)
c(t)
]0, t∗ [ et ]t∗ , +∞[ à gauche et à droite de t∗ .
Présentons ici dans le cas où n = 1 une façon d’obtenir une solution sur R+ tout entier en
"recollant" des solutions obtenues sur chacun des intervalles [0, t∗ [ et ]t∗ , +∞[.
– sur [0, t∗ [, y s’écrit de la forme
�� t
�
� t
b(τ )
a(s)
y1 (t) = α1 +
dτ, avec f1 (t) = exp
ds
0 c(τ )f1 (τ )
t1 c(s)
– sur ]t∗ , +∞[, étant donné t2 ∈]t∗ , +∞[, y s’écrit de la forme
�� t
�
� t
b(τ )
a(s)
y2 (t) = α2 +
dτ, avecf2 (t) = exp
ds .
t2 c(τ )f2 (τ )
t2 c(s)
Il est alors parfois possible d’obtenir une solution sur R+ tout entier en recollant deux solutions par
continuité, s’il l’on peut choisir α1 et α2 tels que
lim y (t) = lim∗ y2 (t)
t→t∗ 1
t→t
<
lim∗ y1� (t) =
t→
t
<
7.3
7.3.1
>
lim∗ y2� (t).
t→t
>
Équations différentielles d’ordre m
Des équations d’ordre m aux systèmes d’ordre 1
Dans cette partie, on s’intéresse à la résolution des équations de la forme
�
y (m) (t) + am−1 (t)y (m−1) (t) + · · · + a1 y � (t) + a0 y(t) = f (t), ∀t > 0,
y (k) (0) = yk,0 , ∀k ∈ {0, . . . , m − 1}.
L’idée est de se ramener à l’étude d’un système d’ordre 1. Pour cela, on pose
y(t)
y � t)
..
Y (t) =
∀t ∈ R+ .
,
.
(m−2)
y
(t)
y (m−1) (t)
54
(7.2)
On a alors
y � (t)
y �� (t)
..
.
y � (t)
y �� (t)
..
.
Y (t) =
=
,
(m−1)
y (m−1) (t)
y
(t)
(m)
(m−1)
�
y (t)
f (t) − am−1 (t)y
(t) − · · · − a1 y (t) − a0 y(t)
�
On en déduit que Y est solution du système différentiel
�
Y � (t) = A(t)Y (t) + F (t),
Y (0) = Y0
où
A=
0
..
.
..
.
..
.
0
−a0
1
..
.
−a1
0
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
...
0
1
0
...
...
..
0
..
.
..
.
.
0
1
−am−1
,
∀t > 0.
∀t > 0,
0
..
F = .
0
f
(7.3)
et
Y0 =
y0,0
y1,0
..
.
ym−1,0
.
Résoudre l’équation d’ordre m (7.2) se ramène à la résolution du système d’ordre 1 donné par (7.3).
Dans le cas où le système est à coefficients constants, on peut alors utiliser les techniques proposées
dans la partie 7.2.1.
7.3.2
Cas des équations scalaires d’ordre 2
Considérons ici une équation différentielle scalaire d’ordre 2 de la forme
(E2 ) : y �� (t) + c1 (t)y � (t) + c0 (t)y(t) = b(t),
où b, c, f : I → K sont continues. L’équation (E2 ) est équivalente à un système différentiel d’ordre
1 dans K2
�
�
�
�
y
0
1
(S) : Y � = A(t)X + B(t), avec Y =
et
A(t)
=
.
y�
−c0 (t) −c1 (t)
Cas de coefficients constants
L’utilisation de la section 7.2.1 permet alors d’obtenir le résultat suivant.
Proposition 7.14 L’ensemble des solutions de l’équation homogène
y �� (t) + c1 y � (t) + c0 y(t) = 0
est un K-espace vectoriel de dimension 2. Soit
P (λ) = λ2 + c1 λ + c0
l’équation caractéristique de cette équation
55
(H2c )
– Si P possède deux racines distinctes λ1 et λ2 , alors une base de l’espace des solutions de (H2c )
est donnée par
�
�
B = f1 : t �→ eλ1 t , f2 : t �→ eλ2 t .
– Si P possède une racine double λ0 , alors une base de l’espace des solutions de (H2c ) est donnée
par
�
�
B = f1 : t �→ eλ0 t , f2 : t �→ teλ0 t .
Remarque: Le polynôme P correspond au polynôme caractéristique de la matrice A.
Remarque: Si l’équation (H2c ) est à coefficients dans R (c1 ∈ R, c2 ∈ R), les solutions sont alors à
coefficients réels aussi. Dans le cas où P possède deux racines distinctes λ1 et λ2 , ces racines sont
soit réelles, soit complexes conjuguées λ1 = µ + iω et λ2 = µ − iω, (µ, ω) ∈ R2 : alors dans ce dernier
cas la base de l’espace des solutions peut s’écrire
�
�
B = t �→ eµt cos(ωt), t �→ eµt sin(ωt) .
On peut ensuite utiliser la méthode de variation de la constante décrite précedemment. On
obtient alors le résultat suivant.
Proposition 7.15 Soit (f1 , f2 ) une base de l’espace des solutions de l’équation homogène (H2c ).
L’ensemble des solutions de l’équation
y �� (t) + c1 y � (t) + c0 y(t) = b(t)
est de la forme
�
�
�
�
�
� t
� t
y(t) = µ01 +
x1 (s)ds f1 (t) + µ02 +
x2 (s)ds f2 (t)
0
+
0
(E2c )
(µ0i )1≤i≤2 ∈ K2 ,
�
où pour tout s ∈ R , (x1 (s), x2 (s)) est la solution du système
�
��
� �
�
f1 (s) f2 (s)
x1 (s)
0
=
.
f1� (s) f2� (s)
x2 (s)
b(s)
T
En particulier, si f1 (0) = 1, la solution de l’équation (E2c ) telle que y(0) = y0 est
�
�
� t
� t
y(t) = y0 +
x1 (s)ds f1 (t) +
x1 (s)ds f2 (t).
0
0
Lorsque le second membre b(t) possède une forme particulière, on peut dans certains cas utiliser
d’autres résultats.
Théorème 7.16 Si le second membre de (E2c ) est de la forme b(t) = Q(t)eλt , où Q est un polynôme, alors (E2c ) admet une solution de la forme
yp (t) = xm R(t)eλt ,
où R est un polynôme de même degré que Q et
– m = 0 si λ n’est pas racine du polynôme P (λ) = λ2 + c1 λ + c0 ,
56
– m = 1 si λ est racine simple du polynôme P ,
– m = 2 si λ est racine double du polynôme P .
En pratique, on peut alors trouver les coefficients du polynôme R par identification. A noter
deux cas particuliers du théorème précédent :
Corollaire 7.17
– si b(t) = Q(t) est un polynôme de degré d et si c2 �= 0, alors (E2c ) admet une solution
particulière polynomiale de degré d.
– si b(t) = Q1 (t) sin(ωt) + Q2 (t) cos(ωt), où Q1 et Q2 sont deux polynômes de R[X] (ou des
constantes), alors on cherche une solution particulière de la forme
yp (t) = xm (R1 (t) sin(ωt) + R2 (t) cos(ωt)) ,
où d˚R = d˚Q, et m étant la multiplicité (éventuellement nulle) de iω comme racine du
polynôme P .
7.3.3
Cas de coefficients non constants
Revenons au cas de l’équation (E2 ) à coefficients non constants. Il n’y a pas de méthode systématique pour ce genre d’équation, et on ne sait donc pas toujours la résoudre explicitement.
Présentons ici quelques situations particulières.
Méthode de variation de la constante L’utilisation de la méthode suppose que l’on connaisse
une base (f1 , f2 ) de l’équation homogène associée à (E2 ). La Proposition 7.18 s’applique alors encore
ici
Proposition 7.18 Soit (f1 , f2 ) une base de l’espace des solutions de l’équation homogéne
y �� (t) + c1 (t)y � (t) + c0 (t)y(t) = 0.
(H2 )
L’ensemble des solutions de l’équation
y �� (t) + c1 (t)y � (t) + c0 (t)y(t) = b(t)
est de la forme
�
�
�
�
�
� t
� t
0
0
x2 (s)ds f2 (t)
y(t) = µ1 +
x1 (s)ds f1 (t) + µ2 +
0
0
(E2 )
(µ0i )1≤i≤2
où pour tout s ∈ R+ , (x1 (s), x2 (s))T est la solution du système
�
��
� �
�
f1 (s) f2 (s)
x1 (s)
0
=
.
f1� (s) f2� (s)
x2 (s)
b(s)
En particulier, si f1 (0) = 1, la solution de l’équation (E2c ) telle que y(0) = y0 est
�
�
� t
� t
y(t) = y0 +
x1 (s)ds f1 (t) +
x1 (s)ds f2 (t).
0
0
57
2
∈K ,
�
Cas où on connait une seule solution de (H2 ) Supposons que l’on connaisse une solution
f1 de l’équation homogène (H2 ). On peut alors chercher une autre solution f2 indépendante de f1
de l’équation (H2 ) (ce qui permet ensuite d’utiliser la méthode de variation de la constante pour
résoudre (E2 )) ou directement une solution particulière de (E2 ) de la façon suivante. On cherche
f2 sous la forme f2 (t) = f1 (t)z(t). On montre alors la Proposition suivante.
Proposition 7.19 Soit f1 une solution de l’équation homogène
y �� (t) + c1 (t)y � (t) + c0 (t)y(t) = 0.
(H2 )
Alors f2 = f1 z est solution de l’équation
y �� (t) + c1 (t)y � (t) + c0 (t)y(t) = b(t).
(E2 )
si et seulement si z est solution de l’équation différentielle
f1 (t)z �� (t) + (2 f1� (t) + b(t)) z � (t) = b(t).
On obtient alors une équation différentielle linéaire du premier ordre sur z � que l’on résouds.
Un cas particulier : l’équation d’Euler On appelle équation d’Euler l’équation différentielle
linéaire à coefficients non constants
at2 y �� (t) + bt y � (t) + cy(t) = 0.
Comme a(t) = at2 s’annule en 0, on résouds cette équation sur ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[. Présentons
le cas de la résolution sur ]0, +∞[. On se ramène en fait à une équation différentielle linéaire du
second ordre à coefficients constants grâce au changement de variable t = eu (on ferait t = −eu sur
] − ∞, 0[), et le changement de fonction inconnue
z(u) = y(eu ).
La fonction z vérifie alors une équation différentielle linéaire à coefficients constants
az �� (u) + (b − a)z � (u) + cz(u) = 0.
7.4
Avatars d’équations linéaires
On s’intéresse ici à quelques exemples d’équations non linéaires qui peuvent en fait se ramener
à la résolution d’une équation linéaire du premier ou second ordre.
7.4.1
Équation de Bernouilli
On appelle équation de Bernouilli une équation différentielle du type :
x� (t) + b(t)x(t) + c(t)xα (t) = 0,
α ∈ R, α �= 1.
Il suffit alors d’effectuer le changement de fonction inconnue y(t) = x(t)1−α pour obtenir une
équation différentielle linéaire vérifiée par y :
y � (t) + (1 − α)b(t) y(t) = −(1 − α)c(t).
58
7.4.2
Équation de Ricatti
On appelle équation de Ricatti une équation différentielle du type
z � (t) + b(t)z(t) + c(t)z 2 (t) = f (t).
(R)
Supposons que l’on connaisse une solution particulière zp de l’équation (R). En posant
x(t) = z(t) − zp (t),
on voit que z est solution de (R) si et seulement x est solution de l’équation différentielle
x� (t) + [2c(t)zp (t) + b(t)] x(t) + c(t)x2 (t) = 0.
On est ramené au cas d’une équation de bernouilli avec α = 2. On effectue donc ensuite le changement de fonction inconnue y(t) = x(t)−1 .
59
