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CHAPITRE 1 ALGÈBRE DE BASE
1-1 ENSEMBLES, ALGÈBRE ET PROPRIÉTÉS DE BASE
Un ensemble est une collection d'objets nommés éléments ou membres de l'ensemble. Un ensemble est
décrit par la liste de ses éléments (on dit qu'il est décrit en extension) ou à l'aide d'une règle qui
détermine ses éléments (on dit qu'il est décrit en compréhension). On utilise des accolades pour délimiter
les éléments d'un ensemble.
Exemple 1-1.1 L'ensemble A= {1, 3, 5, 7} est décrit en extension et contient 4 éléments.
L'ensemble B= {les nombres pairs de 1 à 10} est décrit en compréhension et
contient 5 éléments.
Un ensemble peut être fini ou infini. Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé ensemble
vide et est noté ∅. Une variable est un symbole qui représente un élément quelconque provenant d'un
ensemble de référence. Le symbole "[" signifie "appartient à" ou "est un élément de". Le symbole "|"
signifie "tel que" et est utilisé lorsqu'on veut décrire un ensemble en compréhension.
Exemple 1-1.2 Avec l'ensemble A de l'exemple précédent, l'expression "x[A" signifie que la
variable x peut prendre l'une des 4 valeurs de cet ensemble.
Une constante est un symbole représentant un élément unique. Si chaque élément de l'ensemble A est
élément aussi de l'ensemble B, on dit que "A est un sous-ensemble de B" ou que "A est inclus dans B" et on
écrit A , B.
Exemple 1-1.3 Si X={0, 1, 2, 3, 4} , alors C={x|x[X et x–1>0} désigne l'ensemble des valeurs de X
qui satisfont à la condition x–1>0, ce qui revient à l'ensemble C={2, 3, 4}. On
constate ici que C,X, donc C est un sous-ensemble de X.
Soit U un ensemble de référence. On l'appelle le référentiel ou l'ensemble universel. Soit A et B deux
sous-ensembles de U. On peut définir les 3 opérations de base suivantes:
L'union de A et B est l'ensemble noté A<B défini par
A<B = {x|x[A ou x[B}
L'intersection de A et B est l'ensemble noté A>B défini par
A>B = {x|x[A et x[B}