Notion de variable aléatoire réelle à densité - LAMFA

S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle à densité
Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2011-2012
Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 3
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle à densité
1. Généralités
On considère une expérience aléatoire, , A, P un espace probabilisé adapté et X une variable aléatoire
réelle.
On a traité dans le chapitre précédent le cas où l’univers-image X (et donc l’univers ) était fini ou
infini dénombrable. La loi de probabilité de X était alors donnée par les quantités P X x k pour tout x k de
X.
a, b ou ), la théorie montre
Lorsque X (et donc ) est infini non-dénombrable (par exemple X
que P X x
0 pour tout x de . On est alors amené à donner la loi de probabilité de X par sa fonction de
répartition F X définie par F X x
PX x .
Définition.
On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction f de dans vérifiant :
- f est positive ;
- f est continue sur sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points ;
- l’intégrale
f x dx est convergente et
f x dx 1.
Définition.
Une variable aléatoire X est dite continue s’il existe une densité f X telle que pour tout x
x
FX x
f X t dt.
,
f X est alors appelée densité de X. On dit aussi que X est une variable aléatoire réelle à densité.
Propriétés.
Soit X une variable aléatoire continue dont f X est une densité, et soit F X sa fonction de répartition.
Alors F X est une fonction de dans 0, 1 , continue et croissante sur , dérivable sur , sauf
éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, de dérivée f X , et telle que xlim F x
0 et
lim F x
1. De plus, pour tous réels x, a et b tels que a b, on a :
x
b
PX
x
0;P X
x
PX
x ;P a
X
b
Pa
X
b
FX b
FX a
a
f X t dt.
Espérance mathématique. Variance. Ecart-type.
Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, et sous réserve que les intégrales suivantes existent, on a :
xf X x dx (ce nombre représente la valeur moyenne de X) ;
-E X
-V X
-
X
x
EX
2
f X x dx ; V X
E X2
EX
V X ; intervalle moyen de X : E X
2
x 2 f X x dx
X ,E X
2
EX
;
X .
Lois classiques : Uniforme, Exponentielle et Normale
1
Loi Uniforme sur a, b .
X
EX
Stéphane Ducay
a, b , f X x
a
2
b et V X
b
b
si x
a
0 si x
a
12
a, b
a, b
FX x
x
b
0 si x
a si x
a
1 si x
a
a, b
b
2
.
1
S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012
Statistique et Probabilités
Loi Exponentielle de paramètre .
e x si x
0,
,
f
x
X
X
0 si x
0
0
, FX x
Loi Normale de paramètres et .
1 e 12 x 2 pour tout x
et f X x
X
2
2. Loi Normale N ,
1
Notion de variable aléatoire réelle à densité
e
x
si x
0
0 si x
0
1 et V X
,EX
1 .
2
. Voir le paragraphe suivant.
.
2.1. Cas de la loi N 0, 1 (loi normale centrée réduite).
1 e x22 pour tout x
On a X
et f X x
.
2
0 et V X
1.
On a de plus E X
La fonction de répartition de X est donnée par x
FX x
x
x
1 e t22 dt pour tout
2
x
. Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur
approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x 0 (table 1). Pour les x 0, on peut utiliser
x
1
x (formule valable pour tout réel x)
la formule
La table ne donne des valeurs approchées de x que pour des x compris entre 0 et 3. On pourra admettre
que x
1 pour tout x 3.
f X t dt
Quelques valeurs
supplémentaires
x
x
2,99 0,998605
3,00 0,998650
3,50 0,999767
4,00 0,999968
4,50 0,999997
5,00 1,000000
Stéphane Ducay
2
S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012
Statistique et Probabilités
Exemple de calcul.
Soit X une v.a.r. de loi normale N 0, 1 . On a :
P 0, 06 X 1, 23
1, 23
0, 06
0, 8907 0, 5239 1 0, 4146.
PX
1, 23
Notion de variable aléatoire réelle à densité
1, 23
1
1, 23
0, 06
0, 8907
1, 23
et
0, 06
1
2.2. Loi normale N , , avec réel et
0.
x
2
1
1
2
On a f X x
e
pour tout x
. Le paramètre est un paramètre de localisation (point où
2
f X atteint son maximum), et le paramètre un paramètre d’échelle, caractérisant l’applatissement de la
courbe en cloche représentative de f X .
Proposition.
X
X suit la loi normale N , si et seulement si Y
suit la loi normale N 0, 1 .
2
On a alors E X
et V X
. Ainsi, est la moyenne de X et est l’écart-type de X.
Exemple de calcul.
X 2 suit la loi normale N 0, 1 . On a :
Soit X une v.a.r. de loi normale N 2, 10 . Alors Y
10
14, 3 2
X
2
P X 14, 3
P
P Y 1, 23
1, 23
0, 8907
10
10
1, 4 2
14, 3 2
X 2
P
P 0, 06 Y 1, 23
P 1, 4 X 14, 3
10
10
10
1, 23
0, 06
0, 4146.
2.3. Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale
Soit X une variable aléatoire de loi Binomiale B n, p . Si n est ”grand” et p ”pas trop petit”, alors X suit
approximativement la loi Normale N np, np 1 p
(de même moyenne et même écart-type que la
Binomiale).
10. (Autres conditions possibles :
En pratique, ce résultat s’applique dès que np 10 et n 1 p
n 30, np 5 et n 1 p
5).
Exemple.
On jette n 12000 fois un dé équilibré. On cherche la probabilité que le nombre de 6 obtenus soit
compris entre 1800 et 2100.
Le nombre X de 6 obtenus suit une loi Binomiale B n, p avec
1
n 12000 et p
. Comme np 2000 10 et n 1 p
10000 10, on peut utiliser l’approximation
6
par la loi Normale N np, np 1 p
N 2000, 12000 1 5
N 2000, 100 :
6 6
6
X
2000
Ainsi, Z
suit approximativement la loi Normale N 0, 1 .
100
6
1800 2000
100
6
2, 45
4, 90
2, 45
4, 90
Le calcul direct serait plus fastidieux :
P 1800
X
2100
P 1800
X
2100
P
2100
2000
2100 2000
P 4, 90
100
100
6
6
1 0, 9929 1 1 0, 9929.
2100
PX
k 1800
X
k
k 1800
C k12000 1
6
k
5
6
12000 k
Z
2, 45
0, 993.
Correction de continuité
Approchant une loi discrète (à valeurs entières) par une loi continue, il est utile de distinguer inégalités
stricte et large. Pour se faire, on effectue une correction de continuité. Ainsi, pour approcher P X k , on
effectue le calcul suivant :
Stéphane Ducay
3
S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012
Statistique et Probabilités
k
1
X k 1
2
2
On a alors, pour tous entiers m et m :
PX
k
P k
1
2
Notion de variable aléatoire réelle à densité
np
1
2
k
np 1 p
np
m
1
np
P
1799, 5 2000
100
6
2, 46
4, 91
X
2000
100
6
2, 46
1
2
X
2100
1
2
2100, 5 2000
100
6
4, 91 1 0, 9931
np
np 1 p
P 1799, 5
P 4, 91
1
1
2
m
2
1
Pm X m
P m 1
X m
np
1 p
2
2
Le calcul de l’exemple précédent est alors légèrement modifié.
Exemple.
Reprenons l’exemple précédent.
P 1800 X 2100
P 1800
.
np 1 p
X
.
2100, 5
Z
2, 46
1
0, 9931.
Exercice 2.
Soit X une variable aléatoire de loi normale N ; . Calculer P X
P
X
,P
2
X
2 et P
3
X
,
3. Exercices
Exercice 1.
1) Soit X une variable aléatoire de loi normale N 0; 1 .
a) Calculer P X 2 et P 0 X 1 .
b) Déterminer le réel x tel que P X x
0, 975.
2) Soit X une variable aléatoire de loi normale N 4; 2 .
a) Calculer P X 6 et P 0 X 6 .
b) Déterminer le réel x tel que P X x
0, 975.
c) Déterminer le réel x tel que P X x
0, 25.
3
.
Exercice 3.
A partir des données obtenues ces dernières années, on peut supposer que l’âge auquel un enfant
commence à marcher est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne
13 mois et
d’écart-type
1, 5 mois.
1) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher avant 11 mois ? 15 mois ?
2) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher entre 11 et 15 mois ?
3) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher à 13 mois exactement ?
4) Quel risque prend-on en pariant qu’un enfant commencera à marcher entre 12 et 14 mois ?
Exercice 4.
Une étude sur la myrosine, enzyme parfois présente dans les graines de moutarde, a montré que la
proportion de plants de moutarde noire qui contient cette enzyme est égale à 0,13. On prélève un échantillon
de 160 plants de moutarde dans une grande production.
1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de ces plants qui contiennent de
la myrosine. Justifier.
2) Calculer la probabilité que le nombre de plants contenant de la myrosine soit compris entre 16 et 25, en
utilisant une approximation à l’aide de la loi normale. Justifier les points suivants : approximation, correction
de continuité, standardisation.
Exercice 5.
L’usine Mécanix est spécialisée dans la fabrication de pièces métalliques. Le poids d’une pièce, en
grammes, est une variable aléatoire X de loi normale de moyenne 10 g et d’écart-type 0,2 g. La société
Aérolux, cliente de Mécanix, n’accepte que des pièces dont le poids est compris entre 9,54 g et 10,46 g.
Stéphane Ducay
4
S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle à densité
1) Quel est le pourcentage prévisible de pièces refusées ?
2) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de pièces refusées dans un lot de 100 pièces. Calculer, à
10 3 près, la probabilité que Y soit égale à 3 en utilisant la loi exacte de Y, puis en utilisant une loi approchée
de Y. Comparer les deux résultats et expliquer.
Exercice 6. (D’après partiel de novembre 2007)
Dans la suite de cet exercice, r et n sont des entiers naturels non nuls.
On considère un ascenseur qui dessert les r étages d’un immeuble. On suppose que n personnes entrent
dans cet ascenceur (vide) au rez-de-chaussée (étage 0). On suppose que chacune des ces personnes,
indépendamment des autres, a une probabilité 1r de sortir à l’un des étages. On suppose enfin que personne
ne rentre dans l’ascenseur à un étage au-dessus du rez-de-chaussée.
Pour tout i compris entre 1 et r, on désigne par X i le nombre de personnes sortant à l’étage i, et par Y i la
variable aléatoire égale à 1 si l’ascenseur s’arrête à l’étage i (il ne le fait que si au moins une personne sort à
cet étage) ou à 0 sinon.
1) Soit i un entier compris entre 1 et n.
a) Quelle est (en fonction de r et n) la loi de probabilité de X i ? Justifier la réponse.
b) Calculer la probabilité qu’au moins une personne sorte à l’étage i.
c) Quel est le nombre moyen de personnes sortant à l’étage i ?
d) Dans cette question, on suppose que r 100 et n 500. Calculer la probabilité que 4 personnes
(exactement) sortent à l’étage i, en utilisant d’abord la loi exacte de X i , puis une loi approchée de X i en
justifiant son utilisation. Comparer les deux résultats.
e) Dans cette question, on suppose que r 100 et n 2000. Calculer la probabilité qu’il y ait entre
15 et 25 personnes qui sortent à l’étage i. On pourra utiliser une loi approchée en justifiant son utilisation.
2) Déterminer la loi de probabilité de Y i , ainsi que son espérance mathématique E Y i . On pourra utiliser
le résultat de la question 2)b).
3) On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur.
a) Exprimer Y en fonction de Y i .
b) En déduire l’espérance mathématique de Y.
Exercice 7.
Virginie a un rendez-vous avec Paul à la sortie de la Faculté de Mathématiques et d’Informatique lundi à
19h00, après son TD de Statistiques. Mais elle ne pourra l’attendre plus de 5 minutes. Paul, qui suit un cours
de Sociologie sur le Campus, estime qu’il peut arriver sur le lieu du rendez-vous à tout moment entre 18h55
et 19h10 de manière équiprobable. Si cette hypothèse est exacte, quelle est la probabilité de Paul rencontre
Virginie ?
Exercice 8.
Une usine fabrique 9000 unités d’un produit en un temps t. Pour cette même période, la demande
concernant ce produit, en milliers d’unités, peut-être considérée comme une variable aléatoire de loi
exponentielle de paramètre 1/3.
1) Déterminer la fonction de répartition de X.
2) Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ?
3) Quelle devrait être la production pour que cette probabilité soit inférieure à 0, 4 ?
Exercice 9.
La durée de vie d’un certain type de diode de radio est supérieure à 100 heures. Après cela, cette durée de
vie X est une variable aléatoire de densité de probabilité :
100 si x 100.
fX x
x2
1) Donner l’expression de f X sur . Déterminer la fonction de répartition de X.
2) La variable aléatoire X admet-elle une espérance mathématique ? Si oui, la calculer.
3) Quelle est la probabilité qu’une diode tombe en panne durant ses 150 premières heures de
fonctionnement ?
4) Une radio possède 5 diodes de ce type, mises en fonctionnement simultanément et dont les durées de
vie sont supposées indépendantes. Quelle est la probabilité que 2 des 5 diodes tombent en panne lors des 150
premières heures de service de la radio ?
Stéphane Ducay
5