Notion de variable aléatoire réelle à densité - LAMFA

S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012 Statistique et Probabilités Notion de variable aléatoire réelle à densité
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE -Semestre 3
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle à densité
1.Généralités
On considère une expérience aléatoire, ,A,Pun espace probabilisé adapté et Xune variable aléatoire
réelle.
On a traité dans le chapitre précédent le cas où l’univers-image 
X
(et donc l’univers ) était fini ou
infini dénombrable. La loi de probabilité de Xétait alors donnée par les quantités PXx
k
pour tout x
k
de
X
.Lorsque 
X
(et donc ) est infini non-dénombrable (par exemple 
X
a,bou ), la théorie montre
que PXx0 pour tout xde . On est alors amené à donner la loi de probabilité de Xpar sa fonction de
répartition F
X
définie par F
X
xPXx.
Définition.
On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction fde dans vérifiant :
-fest positive ;
-fest continue sur sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points ;
- l’intégrale fxdx est convergente et fxdx 1.
Définition.
Une variable aléatoire Xest dite continue s’il existe une densité f
X
telle que pour tout x,
F
X
x
x
f
X
tdt.
f
X
est alors appelée densité de X. On dit aussi que Xest une variable aléatoire réelle à densité.
Propriétés.
Soit Xune variable aléatoire continue dont f
X
est une densité, et soit F
X
sa fonction de répartition.
Alors F
X
est une fonction de dans 0,1, continue et croissante sur , dérivable sur , sauf
éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, de dérivée f
X
, et telle que lim
x
Fx0 et
lim
x
Fx1. De plus, pour tous réels x,aet btels que ab, on a :
PXx0 ; PXxPXx;PaXbPaXbF
X
bF
X
a
a
b
f
X
tdt.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, et sous réserve que les intégrales suivantes existent, on a :
-EX xf
X
xdx (ce nombre représente la valeur moyenne de X) ;
-VX
xEX
2
f
X
xdx ;VXEX
2
EX
2
x
2
f
X
xdx EX
2
;
-XVX; intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Uniforme,Exponentielle et Normale
Loi Uniforme sur a,b.
X
a,b,f
X
x1
basi xa,b
0 si xa,bF
X
x
0 si xa
xa
basi xa,b
1 si xb
EXab
2et VXba
2
12 .
Stéphane Ducay 1

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Loi Exponentielle de paramètre .
X
0,,f
X
xe
x
si x0
0 si x0,F
X
x1e
x
si x0
0 si x0,EX1
et VX1
2
.
Loi Normale de paramètres et .
X
et f
X
x1
2e
1
2x
2
pour tout x. Voir le paragraphe suivant.
2.Loi Normale N,.
2.1.Cas de la loi N0,1(loi normale centrée réduite).
On a 
X
et f
X
x1
2e
x2
2
pour tout x.
On a de plus EX0 et VX1.
La fonction de répartition de Xest donnée par xF
X
x
x
f
X
tdt 
x
1
2e
t2
2
dt pour tout
x. Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur
approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x0 (table 1). Pour les x0, on peut utiliser
la formule x1x(formule valable pour tout réel x)
La table ne donne des valeurs approchées de xque pour des xcompris entre 0 et 3. On pourra admettre
que x1 pour tout x3.
Quelques valeurs
supplémentaires
xx
2,99 0,998605
3,00 0,998650
3,50 0,999767
4,00 0,999968
4,50 0,999997
5,00 1,000000
Stéphane Ducay 2

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Exemple de calcul.
Soit Xune v.a.r. de loi normale N0,1. On a : PX1,231,230,8907 et
P0,06 X1,231,230,061,2310,06 1,230,061
0,8907 0,5239 10,4146.
2.2.Loi normale N,,avec réel et 0.
On a f
X
x1
2e
1
2x
2
pour tout x. Le paramètre est un paramètre de localisation (point où
f
X
atteint son maximum), et le paramètre un paramètre d’échelle, caractérisant l’applatissement de la
courbe en cloche représentative de f
X
.
Proposition.
Xsuit la loi normale N,si et seulement si YX
suit la loi normale N0,1.
On a alors EXet VX
2
. Ainsi, est la moyenne de Xet est l’écart-type de X.
Exemple de calcul.
Soit Xune v.a.r. de loi normale N2,10. Alors YX2
10 suit la loi normale N0,1. On a :
PX14,3PX2
10 14,3 2 10 PY1,231,230,8907
P1,4 X14,3P1,4 2
10 X2 10 14,3 2 10 P0,06 Y1,23
1,230,060,4146.
2.3.Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale
Soit Xune variable aléatoire de loi Binomiale Bn,p. Si nest ”grand” et p”pas trop petit”, alors Xsuit
approximativement la loi Normale Nnp,np1p(de même moyenne et même écart-type que la
Binomiale).
En pratique, ce résultat s’applique dès que np 10 et n1p10. (Autres conditions possibles :
n30, np 5 et n1p5).
Exemple.
On jette n12000 fois un dé équilibré. On cherche la probabilité que le nombre de 6 obtenus soit
compris entre 1800 et 2100. Le nombre Xde 6 obtenus suit une loi Binomiale Bn,pavec
n12000 et p1
6. Comme np 2000 10 et n1p10000 10, on peut utiliser l’approximation
par la loi Normale Nnp,np1pN2000, 12000 1
65 6N2000, 100
6:
Ainsi, ZX2000
100
6
suit approximativement la loi Normale N0,1.
P1800 X2100P1800 2000
100
6
X2000
100
6
2100 2000
100
6
P4,90 Z2,45
2,454,902,454,9010,9929 110,9929.
Le calcul direct serait plus fastidieux :
P1800 X2100
k1800
2100
PXk
k1800
2100
C
12000
k
1
6
k
5
6
12000k
0,993.
Correction de continuité
Approchant une loi discrète (à valeurs entières) par une loi continue, il est utile de distinguer inégalités
stricte et large. Pour se faire, on effectue une correction de continuité. Ainsi, pour approcher PXk, on
effectue le calcul suivant :
Stéphane Ducay 3

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PXkP k 1
2Xk1 2
k
1
2np
np1p
k
1
2np
np1p
.
On a alors, pour tous entiers met m :
PmXm
P m 1
2Xm
1
2
m 1
2np
np1p
m1
2np
np1p
.
Le calcul de l’exemple précédent est alors légèrement modifié.
Exemple.
Reprenons l’exemple précédent.
P1800 X2100P1800 1
2X2100 1 2P1799,5 X2100,5
P1799,5 2000
100
6
X2000
100
6
2100,5 2000
100
6
P4,91 Z2,46
2,464,912,464,9110,9931 110,9931.
3.Exercices
Exercice 1.
1) Soit Xune variable aléatoire de loi normale N0;1.
a) Calculer PX2et P0X1.
b) Déterminer le réel xtel que PXx0,975.
2) Soit Xune variable aléatoire de loi normale N4;2.
a) Calculer PX6et P0X6.
b) Déterminer le réel xtel que PXx0,975.
c) Déterminer le réel xtel que PXx0,25.
Exercice 2.
Soit Xune variable aléatoire de loi normale N;. Calculer PX,
PX,P2X2et P3X3.
Exercice 3.
A partir des données obtenues ces dernières années, on peut supposer que l’âge auquel un enfant
commence à marcher est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 13 mois et
d’écart-type 1,5 mois.
1) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher avant 11 mois ? 15 mois ?
2) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher entre 11 et 15 mois ?
3) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher à 13 mois exactement ?
4) Quel risque prend-on en pariant qu’un enfant commencera à marcher entre 12 et 14 mois ?
Exercice 4.
Une étude sur la myrosine, enzyme parfois présente dans les graines de moutarde, a montré que la
proportion de plants de moutarde noire qui contient cette enzyme est égale à 0,13. On prélève un échantillon
de 160 plants de moutarde dans une grande production.
1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de ces plants qui contiennent de
la myrosine. Justifier.
2) Calculer la probabilité que le nombre de plants contenant de la myrosine soit compris entre 16 et 25, en
utilisant une approximation à l’aide de la loi normale. Justifier les points suivants : approximation, correction
de continuité, standardisation.
Exercice 5.
L’usine Mécanix est spécialisée dans la fabrication de pièces métalliques. Le poids d’une pièce, en
grammes, est une variable aléatoire Xde loi normale de moyenne 10 g et d’écart-type 0,2 g. La société
Aérolux, cliente de Mécanix, n’accepte que des pièces dont le poids est compris entre 9,54 g et 10,46 g.
Stéphane Ducay 4

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1) Quel est le pourcentage prévisible de pièces refusées ?
2) Soit Yla variable aléatoire égale au nombre de pièces refusées dans un lot de 100 pièces. Calculer, à
10
3
près, la probabilité que Ysoit égale à 3 en utilisant la loi exacte de Y, puis en utilisant une loi approchée
de Y. Comparer les deux résultats et expliquer.
Exercice 6.(D’après partiel de novembre 2007)
Dans la suite de cet exercice, ret nsont des entiers naturels non nuls.
On considère un ascenseur qui dessert les rétages d’un immeuble. On suppose que npersonnes entrent
dans cet ascenceur (vide) au rez-de-chaussée (étage 0). On suppose que chacune des ces personnes,
indépendamment des autres, a une probabilité 1
rde sortir à l’un des étages. On suppose enfin que personne
ne rentre dans l’ascenseur à un étage au-dessus du rez-de-chaussée.
Pour tout icompris entre 1 et r, on désigne par X
i
le nombre de personnes sortant à l’étage i, et par Y
i
la
variable aléatoire égale à 1 si l’ascenseur s’arrête à l’étage i(il ne le fait que si au moins une personne sort à
cet étage) ou à 0 sinon.
1) Soit iun entier compris entre 1 et n.
a) Quelle est (en fonction de ret n) la loi de probabilité de X
i
? Justifier la réponse.
b) Calculer la probabilité qu’au moins une personne sorte à l’étage i.
c) Quel est le nombre moyen de personnes sortant à l’étage i?
d) Dans cette question, on suppose que r100 et n500. Calculer la probabilité que 4 personnes
(exactement) sortent à l’étage i, en utilisant d’abord la loi exacte de X
i
, puis une loi approchée de X
i
en
justifiant son utilisation. Comparer les deux résultats.
e) Dans cette question, on suppose que r100 et n2000. Calculer la probabilité qu’il y ait entre
15 et 25 personnes qui sortent à l’étage i. On pourra utiliser une loi approchée en justifiant son utilisation.
2) Déterminer la loi de probabilité de Y
i
, ainsi que son espérance mathématique EY
i
. On pourra utiliser
le résultat de la question 2)b).
3) On désigne par Yla variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur.
a) Exprimer Yen fonction de Y
i
.
b) En déduire l’espérance mathématique de Y.
Exercice 7.
Virginie a un rendez-vous avec Paul à la sortie de la Faculté de Mathématiques et d’Informatique lundi à
19h00, après son TD de Statistiques. Mais elle ne pourra l’attendre plus de 5 minutes. Paul, qui suit un cours
de Sociologie sur le Campus, estime qu’il peut arriver sur le lieu du rendez-vous à tout moment entre 18h55
et 19h10 de manière équiprobable. Si cette hypothèse est exacte, quelle est la probabilité de Paul rencontre
Virginie ?
Exercice 8.
Une usine fabrique 9000 unités d’un produit en un temps t. Pour cette même période, la demande
concernant ce produit, en milliers d’unités, peut-être considérée comme une variable aléatoire de loi
exponentielle de paramètre 1/3.
1) Déterminer la fonction de répartition de X.
2) Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ?
3) Quelle devrait être la production pour que cette probabilité soit inférieure à 0,4 ?
Exercice 9.
La durée de vie d’un certain type de diode de radio est supérieure à 100 heures. Après cela, cette durée de
vie Xest une variable aléatoire de densité de probabilité :
f
X
x100
x
2
si x100.
1) Donner l’expression de f
X
sur . Déterminer la fonction de répartition de X.
2) La variable aléatoire Xadmet-elle une espérance mathématique ? Si oui, la calculer.
3) Quelle est la probabilité qu’une diode tombe en panne durant ses 150 premières heures de
fonctionnement ?
4) Une radio possède 5 diodes de ce type, mises en fonctionnement simultanément et dont les durées de
vie sont supposées indépendantes. Quelle est la probabilité que 2 des 5 diodes tombent en panne lors des 150
premières heures de service de la radio ?
Stéphane Ducay 5