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Chapitre4
Lesoscillateurslibres
4.1.L’oscillateurharmoniqueunidimensionnel
sansamortissement
Prenonsdeuxexemplesd’oscillateursharmoniques,ce quinouspermettraparlasuite
d’e¤ectuerunesynthèse.
4.1.1.Premierexemple: lesystèmemasseressorthorizontal
Soitun pointMdemassemaccrochéau boutd’un ressortderaideurk;ce ressortaune
longueuràvide égaleàl0.Cettemasse estd’abord placée sansvitesse etlalongueurdu ressort
estl0(ressortnonétiré).Lebilan desforcesestlesuivant: laforce derappeldu ressortest
nulle, laréaction du supportestverticale etopposée au poidsdelamasse.Lasommedes
forcesestnulle: lamasserestedans sapositionsansmouvement.Lamasse estditeau
reposouenéquilibre.Dansce cas, lalongueuràl’équilibre estlamêmequelalongueur
du ressortàvide.
Ecartonsensuite cettemassedesapositionaureposd’unedistance x; lalongueurtotale
du ressortestl=l0+x.Lebilan desforcesestlesuivant: laforce derappeldu ressortagit
horizontalementetvaut¡k(l¡l0)=¡kx,etlesdeuxforcesverticales(poidsdelamasse et
réactiondusupport) se compensent.Finalement:
X¡!
F=¡kx¡! ex:
Ilestutiledepréciserquelaforce du ressortestuneforce derappel, ce quijusti…elesigne
négatifdevantkx;d’autrepartl’intensitéde cetteforce est toujoursproportionnelleàson
allongement,c’estàdireàl’écartavec lapositionauàvide.
Leprincipefondamentaldeladynamiqueprojetésur¡! exestalors:
ma(M)=md2x
dt2=¡kx
soit
²²
x+k
mx=0:
C’estune équation di¤érentielledu second degré enx.
4.1.2.Deuxième exemple: lesystèmemasseressort vertical
Prenonslemêmeressortderaideurketplaçonsleverticalement.Ilestaccroché en haut
àun point…xeO.Lalongueurdu ressortàvide(c’estàdiresansmasse)estl0.Al’autre
extrémitédu ressortestplacée lamassem,dansun premiertempsdemanièreàce quela
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans21 novembre2003

38 Chapitre4Lesoscillateurslibres
massesoitaurepos(àl’équilibre).Soitleqlalongueurdu ressortàl’équilibre etxeq=(leq¡l0)
l’allongementcorrespondantdu ressort.L’axe(Ox)estplacé suivantladirectionduressort
etnousle choisissonsparexempledirigéverslebas.
m
m
ressort
à vide masse à
l’équilibre
l0
leq
l
xeq
x1
x
O O O
position
quelconque
Fig.4.1.
Lesforces s’appliquantsurmsont: lepoidsdirigéverticalementverslebasetlaforce
derappeldu ressortverticale également.Al’équilibre, lasommedesforcesestnulle.En
projectionsur¡! ex,ilvient:
mg¡kxeq=0:
L’allongementdu ressortàl’équilibre estdonc:
xeq=mg
k:
Ecartonsensuite cettemassed’unelongueurx=l¡l0par rapportàsapositionàvide
(lestlalongueurtotaledu ressort).Lebilan desforcesestlesuivant: laforce derappeldu
ressortetlepoidsdelamassesontlesdeuxseulesforcesetagissentverticalement.Leprincipe
fondamentaldeladynamiqueprojetéverticalements’écrit:
md2x
dt2=mg¡kx(1)
ce quidonnel’équation di¤érentielleavec second membresuivante:
²²
x+k
mx=g:
Ilestplusélégantdeprendre commevariablenon pasxl’allongementdu ressortpar
rapportàsapositionàvide,maisx1l’écartpar rapportàlaposition d’équilibre;on
a:
x1=l¡leq=x¡xeq:
Remplaçonsxparx1dansl’équation(1),sachantquex=x1+xeqetquexeqestune
21 novembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section4.1L’oscillateurharmoniqueunidimensionnelsansamortissement39
constante:
md2(x1+xeq)
dt2=mg¡k(x1+xeq)
md2x1
dt2=mg¡kxeq¡kx1
md2x1
dt2=¡kx1:
ce quidonnel’équation di¤érentiellesans second membresuivante:
²²
x1+k
mx1=0:
4.1.3. Synthèsedesdeux exemples
Lesexemplesprécédentspermettent toutd’abord d’e¤ectuerdeuxremarquesimportantes.
(1)Ilfautinsistersurlefaitquelalongueurdu ressortàvide estsouventdi¤érente
delalongueurdu ressortàl’équilibre.Leséquationspeuventalors s’écriresoiten utilisant
commevariablel’écartavec lapositionàvide(allongementdu ressort),soitl’écartavec
lapositionàl’équilibre.Ilestpossibledevéri…ersurdenombreuxexemplesdi¤érents
quelefaitd’introduire commevariablel’écartpar rapportàl’équilibresimpli…el’équation
di¤érentielleobtenue ensupprimantlesecond membre.Ladémarcheàsuivrelaplusjudicieuse
estalorsd’écrireleséquationsdansun premiertempsen utilisantl’allongementdu ressort
commevariable,puis,éventuellement,defaireapparaîtrelavariablereprésentantl’écartavec
laposition d’équilibre,ce quisimpli…eral’écrituredel’équation di¤érentielleobtenue.
(2)Ilestessentield’êtrerigoureuxau niveau del’écrituredes signes.Si l’onreprend le
deuxième exemple, l’orientation del’axedesxne changeaucunementl’expression delaforce
derappeldu ressortquiseratoujours¡! F=¡kx¡! ex,avec un signenégatif.Parcontre, le
poids s’écritm¡! g=§mg¡! ex, lesignedépendantdel’orientation del’axex.
Unefoiscesprécautionsprises,ilest toujourspossibledeserameneràune équation
di¤érentielledu second ordredu type
²²
X+k
mX=0
pourun oscillateursansfrottements.Les solutions sontdelaforme
X=Acos(!t)+Bsin(!t)
ou
X=Ccos(!t+');(2)
avec
!=rk
m;
oùAetB(ouCet')sontdesconstantesdéterminéesparlesconditionsinitiales.Cesont
les solutionsd’un oscillateurharmonique.Letermeoscillateursigni…equelasolutionest
périodique; letermeharmoniqueprécisequelasolutionestsinusoïdale.
Remarque4.1La périodedesoscillationsestT=2¼=!=2¼pm=knedépendquedela
masse etdelaraideurdesoscillations,maispasdutoutdel’amplitudedel’oscillation!
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans21 novembre2003

40 Chapitre4Lesoscillateurslibres
Remarque4.2Lescasétudiésprécédemmentsontdescasparticuliersd’oscillateurshar-
moniques.Plusgénéralement,pourunoscillateurquelconque, ilestpossiblede véri…erquele
mouvementestpériodique,maispasnécessairementsinusoïdal!
4.1.4.Lecasgénéral del’oscillateurharmonique
Seul l’oscillateurharmoniqueunidimensionelestabordéici.
Considéronsuneforce ¡! Fquelconqueagissantsurun pointMdemassemetdérivantd’une
énergiepotentielleEp(x).SoitxeqlavaleurdexpourlaquelleMestenéquilibrestable.Ep(x)
passedoncparun minimumlocalenx=xeq.Si lamasseMestécartée deposition d’équilibre,
laforce ¡! Ftend àl’yramener:ilya alorsoscillation deMautourdexeq.SoitEml’énergie
mécaniquedelaparticule,etenselimitantaucasd’un oscillateursansamortissement,Em
se conserve.Ilestalorspossiblededéterminerx1limetx2limlesvaleurslimitesdel’oscillation
(voir…gure4.2).
Ep
x
xeq
parabole Ep(x)
Em
x1lim x2lim
Fig.4.2.
Enréalitél’oscillateurestrarementharmonique,saufdansle casdepetitesoscillations.
Limitonsnous seulementàl’étudedepetitesoscillationsdeMautourdesaposition d’équi-
libre.NotonsX=x¡xeql’écartavec l’équilibre.Ledéveloppementlimitéàl’ordre2deX
autourde0s’écrit:
Ep(X)=Ep(X=0)+dEp(X=0)
dxX+d2Ep(X=0) dx2X2 2+o¡X2¢:(3)
NotonsEp0lavaleurdeEp(X=0)quin’a aucunesigni…cation physique étantdonné
qu’uneénergiepotentielle estdé…nieàune constanteprès.Deplus,àl’équilibre:dEp(X=0)=dx=
0.En…n,notonskladérivée secondedeEpen0:
d2Ep(X=0)=dx2=k:
Larelation(3)s’écritalors
Ep(X)=Ep0+1
2kX2+o¡X2¢;(4)
ce quirevientà approcherlevoisinagedu minimumdeEpparuneparabole(voir…gure4.2).
Laforce ¡! Fprojetée suivant¡! exs’écritau premierordre enX:
F=¡kX+o(X):
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Section4.1L’oscillateurharmoniqueunidimensionnelsansamortissement41
L’application du principefondamentaldeladynamiquedonnealors
²²
X+k
mX=0:
C’estl’équation di¤érentielled’un oscillateurharmoniquedepulsation!=pk=m.
Enconclusion:Pourun oscillateurharmoniqueunidimensionnelsansamortissement,
l’énergiepotentielles’écritEp(X)=(1=2)kX2(enchoisissantlaconstantenulle),etlaforce
(projetée)F=¡kX.
Remarque4.3La plupartdesoscillateurs seramènentàunoscillateurharmoniquepour
peuquel’oscillationsoitdesu¢sammentfaibleamplitude.Toutefois,quelquesoscillateurs,
mêmepourdetrèsfaiblesamplitudes,nesontpasharmoniques: ilsu¢tquela dérivée seconde
deEpen0soitnulle.Iln’estalorspluspossiblederamenerl’écrituredeEp(X)àlarelation
(4).Ledéveloppementlimité(3)doitêtredéveloppéàunordreplusélevé.
4.1.5.Propriétésénergétiques
L’énergiepotentielledel’oscillateurharmonique est
Ep(X)=1
2kX2;
etlasolutiongénéraledu mouvementestdelaforme
X=X0cos(!t+'):
L’énergie cinétiques’écritalors:
Ec=1
2mv2=1 2m(¡X0!sin(!t+'))2
Ec=1
2kX2
0sin2(!t+'):
car!=k=m.
Finalementl’énergiemécanique est
Em=Ec+Ep
=1
2kX2
0cos2(!t+')+1
2kX2
0sin2(!t+')
=1
2kX2
0:
Ilestnormalderetrouverune énergiemécanique constanteaucoursdu temps.
Equipartition del’énergie
Calculonslamoyennedel’énergiepotentielleaucoursdu temps:
hEpit=1
2kX2
0-cos2(!t+')®t
=1
4kX2
0:
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