Cours3eme - Mathonautes

C HAPITRE 4
C OURS : T RIGONOMÉTRIE
Extrait du programme de la classe de troisième :
C ONTENU
Triangle rectangle : relations trigonométriques
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Connaître et utiliser dans le triangle
rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un
angle aigu et les longueurs de deux
côtés du triangle.
Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :
– du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné
– de l’angle aigu dont on connaît le
sinus, le cosinus ou la tangente
C OMMENTAIRES
La définition du cosinus a été vue
en quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs
ou à partir du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules :
sin x
cos2 x +sin2 x = 1 et tan x = cos
x.
On n’utilisera pas d’autre unité que
le degré décimal.
1 Relations trigonométriques

Définition : Soit ABC un triangle rectangle en A ; on notera α
b l’angle AC
B. Alors on a :
cos α
b=
Côté adjacent AC
=
Hypoténuse
BC
sin α
b=
Côté opposé AB
=
Hypoténuse BC
tan α
b=
Côté opposé
AB
=
Côté adjacent AC
Illustration :
b
A
Côté opposé à α
b
Bb
Côté adjacent à α
b
Hypoténuse
b
α
C
b
3ème
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Cours Trigonométrie
2 Pour quoi faire ?...
2.1 ... Pour calculer des longueurs
Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un
des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deux autres côtés.
Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et α
b = 30◦ . Alors on
peut calculer la longueur du côté [AC ] en utilisant la formule de la tangente :
tan α
b=
d’où
AB
AC
AB
12
=
≃ 20.8 cm
tan α
b tan 30◦
De même on peut calculer la longueur du côté [BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en
utilisant la formule du sinus :
AB
sin α
b=
BC
d’où
AB
12
BC =
=
= 24 cm
sin α
b sin 30◦
AC =
2.2 ...Pour calculer des mesures d’angles
Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on peut calculer les mesures des deux angles aigus du triangle.
Par exemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12 cm et AC = 16 cm.

Alors on peut calculer la mesure de l’angle AC
B en utilisant la formule de la tangente :

tan AC
B=
AB 12
=
= 0, 75
AC 16
tan−1
d’où, à l’aide de la calculatrice et de sa touche
tan ,

AC
B ≃ 36, 9◦
Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure
 par :
approchée de l’angle ABC
 = 90◦ − AC

ABC
B ≃ 90 − 36, 9 = 53, 1◦
3ème
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Cours Trigonométrie
3 Formules trigonométriques
Propriété n°1 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α
b quelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x :
0 < cos x < 1
et
0 < sin x < 1
Preuve :
Cela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long : suppo
sons que x soit la mesure en degrés d’un angle α
b = AC
B dans un triangle ABC rectangle en A (voir
figure page 1).
AC
avec AC < BC (car [BC ] est l’hypoténuse), et donc il vient cos x < 1.
On a alors cos x = cos α
b=
BC
De plus, comme AC et BC sont des longueurs, on a AC > 0 et BC > 0 ;
AC
par conséquent cos x = cos α
b=
>0
BC
Propriété n°2 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α
b quelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x :
cos2 x + sin2 x = 1
Remarques :
Ï On écrit cos2 x pour (cos x)2 , et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cos x 2 , dans le cas où
l’on oublierait d’écrire les parenthèses...
Ï Cette formule peut permettre d’obtenir le sinus d’un angle aigu lorsque l’on connaît son cosinus, et
vice-versa.
Preuve :

Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α
b = AC
B dans un triangle ABC rectangle en
A (voir figure page 1).
AB
AC
et sin x = sin α
b=
.
BC
BC
Ainsi on peut écrire que
¶ µ
¶
µ
AB 2 AC 2 AB 2 AC 2 + AB 2
AC 2
2
2
+
=
+
=
cos x + sin x =
BC
BC
BC 2 BC 2
BC 2
Or, le triangle ABC étant rectangle en A, le théorème de Pythagore nous dit que AB 2 + AC 2 = BC 2 .
On peut donc conclure :
AC 2 + AB 2 BC 2
cos2 x + sin2 x =
=
=1
BC 2
BC 2
On a alors cos x = cos α
b=
Propriété n°3 : Soit x la mesure, en degrés, d’un angle aigu α
b quelconque.
Alors on a, pour toute valeur de x :
sin x
tan x =
cos x
Preuve :

Supposons que x soit la mesure en degrés d’un angle α
b = AC
B dans un triangle ABC rectangle en
A (voir figure page 1).
AB
AC
et sin x = sin α
b=
.
On a alors cos x = cos α
b=
BC
BC
Ainsi on peut écrire que
AB
AB
AB BC
BC
AB sin x
BC
=
=
×
= ×
=
= tan x
AC
BC AC
cos x
BC AC AC
BC
3ème
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Cours Trigonométrie
4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi ?
Hipparque de Nicée
-190/-120
Celui que l’on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (trigonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPARQUE DE NICEE, brillant astronome grec de l’antiquité (né dans l’actuelle Turquie au IIème
siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (donnant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui
s’en servit pour recenser les positions exactes de plus de 1000 étoiles au moyen de
l’une de ses inventions, l’astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres
sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui nécessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est
à noter que c’est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés,
empruntée aux Babyloniens, toujours d’actualité aujourd’hui.
PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et compléta l’oeuvre d’HIPPARQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, intitulé l’Almageste, traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique
des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques
extrêmement précises.
Ptolémée
90/168
Al Khwarizmi
780/850
Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout
Arabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien
indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMI
et AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un immense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et considéré comme le père de l’algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son
oeuvre majeure, intitulée Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala,
traitant de la résolution des équations)
L’astronome et mathématicien allemand REGIOMONTANUS, au XVème siècle,
est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris
connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie
comme branche à part entière des mathématiques (aujourd’hui on dirait même
"pilier" des mathématiques !), indépendante de l’astronomie, dans un traité fondateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli sinuus, publié de façon posthume en 1561.
Regiomontanus
1436/1476
Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus
et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences ! En astronomie (depuis l’Antiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alternatif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hertziennes ?), en mécanique, etc...
3ème
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Cours Trigonométrie
C HAPITRE 4
F ICHE D ’ EXERCICES : TRIGONOMÉTRIE
QUOTIDIENNE
E XERCICE 1
Un panneau routier
Le panneau routier représenté ci-contre avertit le conducteur d’une
descente dangereuse en annonçant une déclivité de 10 %.
1. D’après vous, que signifie concrètement ce panneau ?
2. On a la situation suivante :
100 m
10 m
α
b
a) Combien vaut l’angle α
b?
b) Sachant que la descente est longue de 3700 mètres, quelle sera
la dénivellation totale ?
E XERCICE 2
Le théodolite
L’instrument représenté ci-contre, utilisé en topographie, est un théodolite ; c’est
un appareil posé sur un trépied que le géomètre expert utilise pour mesurer des
angles et des distances sur un terrain, une parcelle.
L’opérateur peut utiliser cet appareil pour mesurer l’altitude d’un point donné ; par exemple, on a schématisé la situation suivante, où O est l’emplacement de l’oeil de l’observateur (lunette du théodolite) :
B
A
H
On connaît l’altitude du point A : la distance H A vaut 1, 85 m.
b:
Le théodolite permet de mesurer les mesures des angles α
b et β
on a ainsi α
b = 12◦ et βb = 37◦ .
......
......
1. Compléter : tan α
b=
et tan βb =
......
......
BH
AH
=
2. Démontrer que l’on a
b
tan α
b tan β
b
b
b
b
β
α
b
b
O
3. En déduire la valeur de B H.
4. Combien vaut la distance OH ?
3ème
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Fiche d’exercices trigonométrie
E XERCICE 3
Goooooooooooaaaaaaaal ! ! ! !
Sur un stade de football, le point de penalty est situé à 11 m de la ligne de but. Les buts ont une largeur
de 7,32 m.
1. Faire un dessin pour représenter la situation. On appellera P le point de penalty, A et B les deux
poteaux de but, et I le point situé au milieu des deux poteaux.
2. Quel est l’angle de tir d’un footballeur lorsqu’il tire un penalty ?
E XERCICE 4
La pyramide de Kheops
La pyramide de Kheops, en Egypte, est une pyramide dont la base est un carré BC DE de 230 mètres de
côté, de centre H. Le sommet A de la pyramide culmine à 137 mètres d’altitude.
1. Faire un dessin en perspective cavalière.
2. Calculer les longueurs B H (demi-diagonale de la base) et B A (longueur d’une arète).
3. Calculer la mesure au degré près de l’angle ƒ
AB H
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices trigonométrie
C HAPITRE 5
C OURS : E CRITURES LITTÉRALES ; IDENTITÉS
REMARQUABLES
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Écritures littérales ;
identités
remarquables
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Factoriser des expressions
telles que :
(x + 1)(x + 2) − 5(x + 2) ;
(2x + 1)2 + (2x + 1)(x + 3)
Connaître les égalités :
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 ;
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 ;
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 .
et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales
simples telles que :
1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 200 +
1;
(x + 5)2 − 4 = (x + 5)2 − 22 =
(x + 5 + 2)(x + 5 − 2)
C OMMENTAIRES
La reconnaissance de la forme d’une expression algébrique faisant intervenir une
identité remarquable peut représenter une
difficulté qui doit être prise en compte. Les
travaux s’articuleront sur deux axes :
– utilisation d’expressions littérales pour
des calculs numériques ;
– utilisation du calcul littéral dans la mise
en équation et la résolution de problèmes.
Les activités viseront à assurer la maîtrise
du développement d’expressions simples ;
en revanche, le travail sur la factorisation
qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l’autonomie des élèves que dans des
situations très simples.
On consolidera les compétences en matière
de calcul sur les puissances, notamment
sur les puissances de 10.
1 Développer un produit
Définition : Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique
Rappel : une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions, impliquant des nombres
et/ou des lettres
Nous avons, pour réaliser cela, plusieurs moyens à disposition :
1.1 Distributivité simple
3ème
Produit
→
Somme algébrique
k(a + b)
→
k a + kb
k(a − b)
→
k a − kb
Page 1/3
Cours calcul littéral
Applications et exemples :
– Calcul mental :
Ï 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1300 − 13 = 1287
Ï 25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 25 × 100 + 25 × 4 = 2500 + 100 = 2600
– Développement d’une expression littérale :
Ï 3(5a + 7)
= 3 × 5a + 3 × 7
= 15a + 21
Ï −2(5 − 4x) = −2 × 5 − (−2) × 4x = −10 + 8x
1.2 Distributivité double
Produit
→
Somme algébrique
(a + b)(c + d )
→
ac + ad + bc + bd
Applications et exemples :
Développement d’une expression littérale :
Ï (3 − a)(4a + 2) = 3 × 4a + 3 × 2 − a × 4a − a × 2
= 12a + 6 − 4a 2 − 2a = −4a 2 + 10a + 6
Ï (3x − 2)(1 − 4x) = 3x × 1 + 3x × (−4x) − 2 × 1 − 2 × (−4x) = 3x − 12x 2 − 2 + 8x = −12x 2 + 11x − 2
B : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir que, par exemple, 3x − 2 est la
somme de 3x et de −2, et que 1 − 4x est la somme de 1 et de −4x. Ainsi, pour le calcul précédent, on a :
(3x − 2)(1 − 4x) = (3x + (−2))(1 + (−4x)) = (3x) × 1 + (3x) × (−4x) + (−2) × 1 + (−2) × (−4x) = . . . Ï
1.3 Identités remarquables
Produit
Somme algébrique
→
Carré d’une somme
(a + b)
→
a 2 + 2ab + b 2
Carré d’une différence
2
(a − b)
→
a 2 − 2ab + b 2
Produit d’une somme par une différence
(a − b)(a + b) →
a 2 − b2
2
Applications et exemples :
– Calcul mental :
Ï 1012
= (100 + 1)2
= 1002 + 2 × 100 + 12 = 10000 + 200 + 1 = 10201
2
2
Ï 19
= (20 − 1)
= 202 − 2 × 20 + 12
= 400 − 40 + 1
= 361
2
2
Ï 39 × 41 = (40 − 1)(40 + 1) = 40 − 1
= 1600 − 1
= 1599
– Développement d’une expression littérale :
Ï (y + 7)2
= y 2 + 2 × y × 7 + 72
2
Ï (1 − 3x)
= 12 − 2 × 1 × 3x + (3x)2
Ï (20 − 8x)(20 + 8x) = 202 − (8x)2
= y 2 + 14y + 49
= 1 − 6x + 9x 2
= 400 − 64x 2
2 Factoriser une somme algébrique
Définition : Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit
Développer
En fait, pour résumer :
Produit
Somme algébrique
Factoriser
3ème
Page 2/3
Cours calcul littéral
2.1 Avec un facteur commun
On utilise la propriété de simple distributivité, mais "à l’envers" :
Somme
algébrique
→
Produit
ka + kb
→
k(a + b)
ka − kb
→
k(a − b)
Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deux termes, chacun étant un produit de deux facteurs.
Comme k se retrouve dans les deux termes, on dit que c’est un facteur commun aux deux termes. On
dit également que l’on a "mis k en facteur".
Applications et exemples :
– Calcul mental :
Ï 13 × 62 + 13 × 38
= 13 × (62 + 38)
= 13 × 100 = 1300
Ï 18.1 × 34.8 − 8.1 × 34.8 = (18.1 − 8.1) × 34.8 = 10 × 34.8 = 348
– Factorisation d’une expression littérale grâce à un facteur commun :
Ï 4a 2 + 3a
= 4×a ×a +3×a
= a(4a + 3)
Ï (x + 7)(5 − 4x) − 2(5 − 4x) = (5 − 4x) × (x + 7 − 2) = (5 − 4x)(x + 5)
Ï (x + 3)2 − 5(x + 3)
= (x + 3) × (x + 3 − 5) = (x + 3)(x − 2)
2.2 Avec les identités remarquables
Là aussi, on utilise les identités remarquables vues au paragraphe 1.3, mais "dans l’autre sens" :
Somme
algébrique
→
Produit
a 2 + 2ab + b 2
→
(a + b)2
a 2 − 2ab + b 2
→
(a − b)2
a 2 − b2
→
(a − b)(a + b)
Applications à la factorisation d’expressions littérales :
Ï y 2 + 4y + 4 = y 2 + 2 × y × 2 + 22
= (y + 2)2
Ï 9x 2 − 6x + 1 = (3x)2 − 2 × 3x × 1 + 12 = (3x − 1)2
Ï (x + 5)2 − 9 = (x + 5)2 − 32
= [(x + 5) − 3] × [(x + 5) + 3]
= (x + 2) × (x + 8)
3ème
Page 3/3
Cours calcul littéral
C HAPITRE 5
F ICHE D ’ EXERCICES : FACTORISATION
E XERCICE 1
Factoriser les expressions suivantes en mettant x en facteur :
A =3x − 8x
B =5x 2 − 12x
C =x(x − 2) − 3x
D=4x 2 − x(1 − 3x)
E =6x 3 − x
E XERCICE 2
Factoriser les expressions suivantes en mettant x − 3 en facteur :
A =3(x − 3) + 8(x − 3)
B =5(x − 3)2 − x(x − 3)
C =(x + 2)(x − 3) + 3x(x − 3)
D=(x − 3)2 − 2x(x − 3)
E =x(4x − 6) − 2(x − 3)
F =(x − 3)2 − (x − 3)
E XERCICE 3
Factoriser les expressions suivantes en utilisant un facteur commun :
A =3(x − 2) + (x + 3)(x − 2)
B =5x(x − 3) − x(2x + 1)
C =(x + 5)2 + (x − 5)(x + 5)
D=(7x + 1) − 2x(7x + 1)2
E =(x + 9)(x − 5) + 2(6x − 30)
E XERCICE 4
Compléter les identités remarquables suivantes :
(x − 7)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2x − . . .)2 = . . . . . . − 4x + 1
(. . . + 8)2 = 25x 2 + . . . . . . + . . . . . .
(x + . . .)(x − . . .) = . . . − 81
(. . . + . . .)2 = 4x 2 + 12x + 9
(. . . − . . .)2 = x 2 − 8x + 16
(. . . − . . .)(. . . + . . .) = 9x 2 − 36
E XERCICE 5
Factoriser en utilisant une identité remarquable :
A =x 2 + 10x + 25
B =100 − 25x 2
C =1 − 12x + 36x 2
D=(x + 7)2 − 1
E =16x 2 − 8x + 1
F =49 − (2x + 3)2
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices: factorisation
C HAPITRE 5
F ICHE D ’ EXERCICES : FACTORISATION ( NIVEAU 2)
E XERCICE 1
Factoriser les expressions suivantes :
A =(3x − 1)2 − 9
B =4x 2 − (x − 5)2
C =4x 2 − 20x + 25
1
D = x2 + x + 1
4
E =(2x + 3)2 − (5x − 1)2
G =100 − (3x + 10)2
I =9(x + 1)2 − 36
F =81 + 4x 2 + 36x
µ
¶ µ
¶
3 2
2 2
1
H= x +
− x+
2
3
3
4
1 2
J = − (2x + )
9
2
K =x 2 − 9 + (x − 3)(2x + 5)
L =5x(4x − 1) + 16x 2 − 1
M=x 2 − 25 + x − 5
N =4x 2 + 4x + 1 − (2x + 1)(1 − 5x)
E XERCICE 2
Comme au brevet...
Antilles 2004
On donne l’expression
D = (3x + 5)(6x − 1) + (3x + 5)2.
Amérique du sud novembre 2002
On considère l’expression :
D = (3x − 5)(5 − 2x) − (3x − 5)2 .
1. Développer D, puis réduire.
1. Développer puis réduire D.
2. Factoriser D.
2. Factoriser D.
3. Calculer D pour x = − 31 .
3. Calculer D pour x = −1.
Martinique septembre 2002
On donne
D = (5x − 3)2 − 81.
Nouvelle-Calédonie décembre 2002
Soit l’expression
A = 9x 2 − 49 + (3x + 7)(2x + 3).
1. Développer et réduire D.
1. Développer l’expression A.
2. Factoriser D.
2. Factoriser 9x 2 − 49, puis l’expression A.
3. Calculer D pour x = − 32
Ouest 2002
Amiens 97
1. Développer et réduire D = (a + 5)2 − (a − 5)2 .
2. On pose D = 10 0052 − 9 9952.
Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la
question 1, trouver la valeur de D (indiquer les
étapes du calcul).
3ème
1. Développer et réduire P = (x + 12)(x + 2).
2. Factoriser l’expression : Q = (x + 7)2 − 25.
3. ABC est un triangle rectangle en A ; x désigne
un nombre positif ; BC = x + 7 ; AB = 5.
Faire un schéma et montrer que
AC 2 = x 2 + 14x + 24.
Page 1/1
Fiche d’exercices factorisation 2
C HAPITRE 5
F ICHE D ’ EXERCICES : FACTORISATION ( NIVEAU 3)
Quelques factorisations plus subtiles...
Premier exemple
On se donne l’expression A = x 2 − 6x + 5
1. Montrer que l’on a, pour tout nombre x, A = (x − 3)2 − 4.
2. En déduire une factorisation de A
Deuxième exemple
On se donne l’expression B = 9x 2 + 12x − 7
1. Montrer que l’on a, pour tout nombre x, B = (2x + 3)2 − 16.
2. En déduire une factorisation de B
Troisième exemple
On se donne l’expression C = 4x 2 + 20x + 9
1. Compléter : 4x 2 + 20x + . . .. . . = (. . . . . . + . . .)2
2. En déduire que l’on peut écrire C sous la forme C = (. . . . . . + . . .)2 − . . .
3. En déduire une factorisation de C .
Classe
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 6
C OURS : GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE
Extrait du programme de la classe de 3ème :
C ONTENU
Sphère
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
- Savoir que la section d’une sphère
par un plan est un cercle.
- Savoir placer le centre de ce cercle
et calculer son rayon connaissant le
rayon de la sphère et la distance du
plan au centre de la sphère.
- Représenter une sphère et certains
de ses grands cercles.
C OMMENTAIRES
On mettra en évidence les grands
cercles de la sphère, les couples de
points diamétralement opposés.
On examinera le cas particulier où le
plan est tangent à la sphère.
On fera le rapprochement avec les
connaissances que les élèves ont
déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives
aux méridiens et aux parallèles.
Problèmes de sections
planes de solides
- Connaître la nature des sections du
cube, du parallélépipède rectangle
par un plan parallèle à une face, à
une arête.
- Connaître la nature des sections de
cylindre de révolution par un plan
parallèle ou perpendiculaire à son
axe.
- Représenter et déterminer les sections d’un cône de révolution et
d’une pyramide par un plan parallèle à la base.
Des manipulations préalables (sections de solides en polystyrène par
exemple) permettent de conjecturer
ou d’illustrer la nature des sections
planes étudiées.
Ce sera une occasion de faire des
calculs de longueur et d’utiliser les
propriétés rencontrées dans d’autre
rubriques ou au cours des années
antérieures.
À propos de pyramides, les activités
se limiteront à celles dont la hauteur
est une arête latérale et aux pyramides régulières qui permettent de
retrouver les polygones étudiés par
ailleurs.
3ème
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Cours Géométrie Espace
1 Sphère et boule ; section d’une sphère par un plan
Définitions :
Si O est un point de l’espace et R est un nombre positif donné :
• La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance
de O exactement égale à R.
• La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance
de O inférieure ou égale à R.
• Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R.
N
b
A, B, C sont des points de la sphère, et O est
le centre de cette sphère, qui a pour rayon
R = O A = OB = OC .
Le segments [N S] est un diamètre de la
sphère.
Deux grands cercles de la sphère sont tracés
ici, dont l’un d’eux a pour diamètre [N S]
bA
R
B
b
R
O
b
R
C
b
b
S
Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, alors les points N et S seraient les pôles
Nord et Sud ; le grand cercle qui passe par les deux pôles serait un méridien, et l’autre grand cercle (situé dans un plan perpendiculaire à l’axe des pôles) serait l’équateur. Tout point de la surface du globe
terrestre est repéré par deux nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien particulier, celui de Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l’équateur) : voir par ailleurs.
Propriétés : Aire d’une sphère, volume d’une boule
Si R est un nombre positif donné : • L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR 2 .
4
• Le volume d’une boule de rayon R est égal à πR 3 .
3
Exemples :
– L’aire d’une sphère de rayon 7 cm est égale à : 4 × π × 72 = 196π ≃ 616 cm2
3
– le volume de la boule de même rayon 7 cm est égal à : 43 × π × 73 = 1372
3 × π ≃ 1437 cm
Propriété : La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Plus précisément, considérons une sphère de centre O et de rayon R.
On se donne un plan P , et on appelle [N S] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P . Enfin,
soit H le point d’intersection de (N S) et de P .
On dit que OH est la distance du centre O au plan P . Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de la
distance OH :
3ème
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Cours Géométrie Espace
Ï lorsque 0 < OH < R , la section de la sphère
de centre O et de rayon R par le plan P est un
cercle de centre H. Pour tout point M de ce
cercle, le triangle HOM est rectangle en H.
Calculons le rayon r de ce cercle en appliquant le théorème de Pythagore dans le
triangle HOM rectangle en H :
2
2
2
2
2
OM 2 = HO
p + H M soit R = HO + r
donc r = R 2 − OH 2
Exemple :
Soit S la sphère de centre O et de rayon
R = 5 cm coupée par un plan P tel que
OH = 3 cm. La section obtenue est le cercle
de p
centre H et pde rayon pr = 4 cm, car
r = R 2 − OH 2 = 52 − 32 = 16 = 4.
Ï lorsque OH = 0 ,
Fig. 1 : cas où 0 < OH < R
le cercle de section a même centre O et même rayon que la sphère : c’est
alors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deux hémisphères (voir Fig. 2)
Ï lorsque OH = R , le cercle de section a pour rayon 0 : il est réduit à un point. On dit que le
plan P est tangent à la sphère en S (voir Fig. 3).
Ï lorsque OH > R , le plan P ne coupe pas la sphère.
Fig. 2 : cas où OH = 0
3ème
Fig. 3 : cas où OH = R
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Cours Géométrie Espace
2 Section d’un cube, d’un pavé, d’un cylindre par un plan
La section d’un cube par un plan parallèle à
une face est un carré :
La section d’un cube par un plan parallèle à
une arète est un rectangle :
La section d’un pavé par un plan parallèle à
une face est un rectangle :
La section d’un pavé par un plan parallèle à
une arète est un rectangle :
3ème
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Cours Géométrie Espace
La section d’un cylindre par un plan parallèle
à la base est un cercle de même rayon que le
cercle de base :
La section d’un cylindre par un plan parallèle
à l’axe est un rectangle :
3 Section d’une pyramide, d’un cône par un plan
La section d’un cône par un plan parallèle à la
base est un cercle :
Ce cercle de section est une réduction du cercle
de base ; le coefficient de réduction k est égal à
′
k = AO
.
AO
Le rayon de ce cercle de section est alors égal à
k ×R
3ème
Voici la section d’une pyramide par un plan
parallèle à la base :
Le polygone de section A ′ B ′C ′ D ′ est une réduction du polygone de base ABC D ; le coefficient
′
′
de réduction k est égal à k = EEAA = EEBB = . . . .
Les longueurs des côtés de ce polygone de section sont alors égales à celles des côtés du polygone de base, multipliées par k : A ′ B ′ = k × AB,
etc.
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Cours Géométrie Espace
C HAPITRE 5
D ÉCOUVERTE : LE GLOBE TERRESTRE
Figure 1 :
N
b
C
b
W
b
O
B
b
b
b
E
A
b
b
S
Figure 2 :
N
b
C
b
W
′
O
b
I
b
O
b
b
b
E
A
b
b
S
La Terre est assimilable à une boule d’environ 6400 km
de rayon. Appelons O le centre de la Terre. Le point N représente le pôle Nord, le point S le pôle Sud.
Sur la sphère représentant la surface terrestre, un grand
cercle de centre O passant par N et S est appelé méridien. Le grand cercle de centre O et tracé dans un plan
perpendiculaire au diamètre [N S] est, lui, appelé l’équateur. Ici est tracé le méridien qui sert de référence, appelé
méridien de Greenwich (car il passe par Greenwich, petite ville située non lion de Londres)
Chaque point à la surface de la Terre peut être repéré
grâce à deux nombres : la longitude et la latitude. La
longitude est calculée par rapport au méridien de Greenwich, la latitude par rapport à l’équateur ; par exemple,
le point C sur cette figure, qui représente la position de
 = 87◦ , et pour
la ville de Chicago, a pour longitude AOB
◦

latitude BOC = 41
Le cercle de centre O ′ et passant par C , parallèle au plan
de l’équateur, est appelé parallèle, justement. Ce n’est
pas ce que l’on appelle un grand cercle (car il n’a pas
O pour centre). La situation d’Istanbul, ville située sur le
même parallèle que Chicago (et qui a donc la même latitude, mais pas la même longitude), est représentée par
le point I .
Les question à traiter sont les suivantes :
1. Connaissant les coordonnées (longitude et latitude)
des deux villes, quel est le chemin le plus court pour les
joindre en avion ? en suivant le parallèle passant par I et
C ? (voir figure 2), ou en suivant le grand cercle passant
par I et C ? (voir figure 3)
2. Quelle est l’aire totale, en km2 , de la surface terrestre ?
Quel est le volume total, en km3 , de la Terre ? (donner les
réponses sous forme scientifique)
Voici ce dont vous avez besoin pour répondre à ces questions :
Figure 3 :
N
b
Ï Coordonnées géographiques de Chicago : Latitude 41◦
Nord, longitude 87◦ Ouest.
C
W
b
Ï Coordonnées géographiques d’Istanbul : Latitude 41◦
Nord, longitude 28◦ Est.
I
b
b
O
b
b
A
b
E
 = 79◦
Ï OO ′ = 4200 km, COI
Ï Formule pour calculer la longueur d’un arc de cercle
défini par un angle de mesure α :
α
L = 2 × π × R × 360
Ï Aire d’une sphère de rayon R : A = 4 × π × R 2 .
Ï Volume d’une boule de rayon R : V = 34 × π × R 3
b
S
3ème
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Activité de découverte: le globe terrestre
C HAPITRE 6
F ICHE D ’ EXERCICES : S ECTIONS PLANES
E XERCICE 1
L’unité de longueur est le centimètre.
On considère le pavé droit ABC DE FG H ci-contre, dans
lequel AB = 6, AD = 3 et AE = 4 ; de plus, M est un point
de l’arête [AB] tel que B M = BC .
1. Quelques calculs :
H
a) Calculer le volume, en cm3 , de ce pavé droit.
G
E
b) Calculer les longueurs AC , EC et MC .
F
ƒ
c) Calcule une mesure, au degré près, des angles MGC

et AC
E.
2. Quelques sections :
D
a) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par
le plan parallèle à la face C BFG et passant par M.
C
b
A
M
B
b) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par
le plan parallèle à l’arête [BF ] et passant par A et C .
c) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par
le plan parallèle à l’arête [BF ] et passant par M et C .
E XERCICE 2
L’unité est le centimètre. On considère le cylindre C cicontre, dont la base a pour rayon R = 5 et dont la hauteur
est h = 8. Les points M et N sont sur la circonférence du
ƒ est un angle
disque formant la base supérieure, et MON
droit.
M
b
Nb
b
O
1. Calculer la longueur M N , puis la mesure de l’angle
′ M au degré près.
à
OO
P
2. Tracer en vraie grandeur :
a) la section de ce cylindre par le plan passant par P et
parallèle à la base.
b
b
O′
b) la section de ce cylindre par le plan passant par M
et N , et parallèle à l’axe du cylindre.
3ème
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Fiche d’exercices: sections planes
E XERCICE 3
On considère une pyramide de hauteur SB = 10 cm et
dont la base est un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm,
BC = 7,5 cm et AC = 6 cm.
S
1. Montrer que ABC est un triangle rectangle ; calculer
son aire.
2. Calculer la valeur exacte du volume de cette pyramide.
3. Soit B ′ le point de l’arête [SB] tel que SB ′ = 8 cm. On
coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et
passant par ce point B ′ . On obtient les points A ′ sur
[S A] et C ′ sur [SC ].
a) Dessiner en vraie grandeur le triangle A ′ B ′C ′ , en
donnant ses dimensions précises. De quelle nature
est ce triangle ? Quelle est son aire ?
A
B
b) La pyramide S A ′ B ′C ′ est une réduction de la pyramide S ABC ; quel est le rapport de cette réduction ?
c) Calculer le volume de la pyramide S A ′B ′C ′. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au
mm3 .
C
E XERCICE 4
On considère un cône de révolution de hauteur SO = 8 cm
et dont la base est un disque de 3 cm de rayon. A et B sont
deux points diamétralement opposés sur la circonférence
du disque de base.
S
b
1. De quelle nature est le triangle S AB ? Calculer la mesure au degré près de l’angle S
AB.
2. Calculer la valeur exacte du volume de ce cône.
3. Soit O ′ le milieu de [SO]. On considère la section du
cône par le plan parallèle à la base et passant par ce
point O ′ .
a) Dessiner en vraie grandeur cette section.
O′ b
A
b
O
b
B
b
b) Le petit cône est une réduction du grand cône ;
donner le rapport de cette réduction, et en déduire
la valeur exacte du volume du petit cône.
3ème
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Fiche d’exercices: sections planes
C HAPITRE 6
F ICHE D ’ EXERCICES : LES SOLIDES
1. Voici plusieurs solides, représentés en perspective cavalière :
A
A
H
b
G
E
F
E
③
②
D
①
C
A
D
B
B
C
bH
A
G
b
F
B
b
b
b
E
b
F
b
④
b
D
b
D
B
C
⑥
b
E
b
b
C
⑤
b
D
B
G
H
E
A
b
b
D
b
b
b
C
F
b
A
b
E
F
b
C
⑦bB
b
⑧
C
D
b
A
A
⑨
B
a) Donner le nom de chacun d’entre eux.
b) En ce qui concerne les polyèdres (solides de l’espace délimité par des faces polygonales), compléter le tableau suivant :
Solide
Nombre de sommets S
Nombre d’arêtes A
Nombre de faces F
Voyez-vous une relation entre le nombre d’arêtes, le nombre des sommets et le nombre de faces ?
...........................................................................................................
C’est ce que l’on appelle la relation d’Euler, valable pour tous les polyèdres "sans trous".
3ème
Page 1/2
Fiche d’exercices: les solides
2. Calculez le volume de chacun des solides ci-dessous, en vous souvenant de cette "règle" simple :
Ï Pour tous les solides "droits" (prismes, cubes, pavés, cylindres), le volume est égal à l’aire
de la base multipliée par la hauteur du solide : V = B × h
Ï Pour tous les solides "pointus" (cônes, pyramides, tétraèdres), le volume est égal au tiers
1
de l’aire de la base multipliée par la hauteur du solide : V = B × h
3
G
H
E
F
h
C
D
R
A
B
AB = 4, AE = 3, AD = 2, 5
V = ....................................
R = 3cm, h = 5cm
V = ....................................
D
b
E
b
h
C
A
b
C
D
b
b
b
A
b
B
ABC D est un carré de côté 8 cm, h = 11 cm
V = ....................................
b
b
B
ABC est rectangle en C ,
C B = 5 cm, C A = 4 cm, AD = 7 cm
V = ....................................
bA
F
B
b
b
h
b
C
b
b
A
E
b
D
①
ABC est rectangle et isocèle en B,
B A = BC = BF = 5 cm
V = ....................................
3ème
R
R = 6 cm, h = 8 cm.
V = ....................................
Page 2/2
Fiche d’exercices: les solides
C HAPITRE 6
F ICHE D ’ EXERCICES : AIRE ET VOLUME DE LA SPHÈRE
Rappel de cours :
Aire d’une sphère et volume d’une boule
• L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR 2 .
4
• Le volume d’une boule de rayon R est égal à πR 3 .
3
Volume d’un cylindre et d’un cône
πR 2 h
3
• Le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est égal à πR 2 h.
• Le volume d’un cône de rayon R et de hauteur h est égal à
E XERCICE 1
Calculer l’aire et le volume de chacun des solides suivants :
Cas n°1 : O A = 25 cm
Cas n°2 : AB = 3476 km
Cas n°3 : OM = 1, 2 m
M
b
O
b
O
b
b
A
E XERCICE 2
Calculer le volume de chacun des solides suivants :
Cas n°1 : AB = 12 cm
B
Cas n°2 : O A = OB = 5 cm
bB
Cas n°3 : OP = 5 mm, ON = 2 mm
b
N
b
A
b
O
Ob
A
b
P
b
b
E XERCICE 3
1. Quel est le rayon d’une sphère dont l’aire est égale à 200 cm2 ? Quel est le volume que peut contenir cette
sphère ?
2. Puis-je verser le contenu (liquide) d’une sphère de 5 cm de rayon dans un cylindre creux de 5 cm de rayon et
de 7 cm de hauteur ?
3. Un verre parallélépipédique (longueur 3cm, largeur 3 cm, hauteur 8 cm) contient 63 ml d’eau. Quelle est la
hauteur d’eau dans ce récipient ? On y plonge deux glaçons sphériques de 2 cm de diamètre. L’eau va-t-elle
déborder du verre ?
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices: aire et volume de la sphère
C HAPITRE 6
E XERCICE : SECTIONS PLANES DE LA SPHÈRE
Ici on voit que le plan vient sectionner la
sphère de centre O de rayon R selon un cercle ;
1. Calculer le rayon de ce cercle de section :
a) dans le cas où OH = 12 cm et R = 15 cm,
b) dans le cas où N H = 12 cm et R = 10 cm,
ƒ = 26◦ ,
c) dans le cas où R = 5 cm et HOM
2. Quelle est la distance du plan de section au
centre de la sphère :
a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm,
ƒ = 35◦
b) dans le cas où R = 12 cm et HOM
C HAPITRE 6
E XERCICE : SECTIONS PLANES DE LA SPHÈRE
Ici on voit que le plan vient sectionner la
sphère de centre O de rayon R selon un cercle ;
1. Calculer le rayon de ce cercle de section :
a) dans le cas où OH = 12 cm et R = 15 cm,
b) dans le cas où N H = 12 cm et R = 10 cm,
ƒ = 26◦ ,
c) dans le cas où R = 5 cm et HOM
2. Quelle est la distance du plan de section au
centre de la sphère :
a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm,
ƒ = 35◦
b) dans le cas où R = 12 cm et HOM
Annexe :
réduction et agrandissement d’une figure, d’un solide
Définition :
Ï Appliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c’est multiplier les dimensions de cette
figure (ou de ce solide) par un nombre k supérieur à 1.
Ï Appliquer une réduction à une figure ou à un solide, c’est multiplier les dimensions de cette figure (ou
de ce solide) par un nombre k compris entre 0 et 1.
Par exemple :
b
D
b
C
AB ′C ′ D ′ est une réduction de rapport k = 0,5
d’un rectangle ABC D de dimensions 6 cm
et 8 cm ; toutes les dimensions du rectangle
ABC D sont multipliées par 0,5 :
b
D′
b
On remarque que, si les dimensions du rectangle sont divisées par 2 (c’est-à-dire multipliées par 0,5), l’aire du rectangle est, elle, divisée par 4 (c’est-à-dire multipliée par 0,25).
b
Le cube AB ′C ′ D ′ E ′ F ′G ′ H ′ est un agrandissement de rapport k = 2 d’un cube
ABC DE FG H de côté 2 cm : toutes les dimensions de ce cube sont multipliées par 2.
A
b
b
D
B′
b
b
b
b
B
G′
H′
D ′b
b
C′
H
b
b
C′
G
C
On remarque que, si les dimensions du cube
sont multipliées par 2, le volume du cube est,
lui, multiplié par 8.
A
b
b
E
F′
E′
b
b
b
B
b
F
b
B′
Propriété :
Ï Lorsque l’on réduit ou agrandit une figure d’un rapport k,
alors l’aire de cette figure est multipliée par k 2 .
Ï Lorsque l’on réduit ou agrandit un solide d’un rapport k,
alors le volume de ce solide est multiplié par k 3 .
Par exemple :
Ï Si on agrandit une figure d’un rapport 3, alors l’aire de cette figure est multipliée par 32 = 9.
Ï Si on réduit un solide d’un rapport 0,2, alors le volume de ce solide est multiplié par 0,23 = 0,008
3ème
Page 1/1
Annexe Cours Géométrie Espace
C HAPITRE 7
C OURS : E QUATIONS ET INÉQUATIONS
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Équations et inéquations du 1er degré
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
C OMMENTAIRES
Ordre et multiplication
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le
même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l’ordre inverse
si a est strictement négatif.
On pourra s’appuyer dans toute
cette partie sur des activités déjà
pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests
par substitution de valeurs numériques à des lettres.
Inéquation du premier
degré à une inconnue
Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses
solutions sur une droite graduée.
Résolution de problèmes du premier
degré ou s’y ramenant
Résoudre une équation mise sous la
forme A.B = 0, où A et B désignent
deux expressions du premier degré
de la même variable.
Mettre en équation et résoudre un
problème conduisant à une équation, une inéquation [ou un système
de deux équations] du premier degré.
L’étude du signe d’un produit ou
d’un quotient de deux expressions
du premier ordre de la même variable est, elle, hors programme.
Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.
comme en classe de 4e, on dégagera
à chaque fois les différentes étapes
du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation
du résultat.
1 Equations du premier degré
Définitions :
Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre,
appelée inconnue de l’équation.
Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.
Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions.
Par exemple 3x − 7 = 5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est
3x − 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5.
Ï 4 est une solution de l’équation 3x − 7 = 5
car, lorsque je remplace l’inconnue x par 4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : 3×4−7 = 12−7 = 5
Ï 2 n’est pas une solution de l’équation 3x − 7 = 5
car, lorsque je remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : 3 × 2 − 7 = 6 − 7 = −1 6= 5 ! !
3ème
Page 1/3
Cours Equations Inéquations
Règles de manipulation des égalités :
Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelle
équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :
Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant)
un même nombre aux deux membres de l’équation.
Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en multipliant (ou divisant)
les deux membres de l’équation par un même nombre non nul.
Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s’y ramenant). Ce sont des
équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s’écrire sous la forme ax = b, avec a 6= 0.
Cette équation a alors une unique solution, qui est ab .
Par exemple,
l’équation 3x − 5 = 7 est une équation du premier degré : résolvons-la
Ï En utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’équation :
3x − 5+5 = 7+5, c’est-à-dire 3x = 12.
Ï En utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’équation :
3x 12
= , c’est à dire x = 4.
3
3
Ï on conclut par une phrase : l’équation 3x − 7 = 5 admet une unique solution, qui est 4.
2 Equations-produits
Définition :
Une équation-produit est une équation qui s’écrit sous la forme (ax + b)(cx + d ) = 0 (il peut y avoir
plus de deux facteurs)
Remarque : cette équation (ax +b)(cx +d ) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on développait le membre de gauche, l’inconnue x apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par exemple l’équation (x + 1)(3x − 6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l’équation 3x 2 − 3x − 6 = 0.
Mais nous ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d’équation... Comment faire ?
Propriété :
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Autrement dit,
dire que "A × B = 0" équivaut à dire que "A = 0 ou B = 0".
Méthode : Ainsi, le produit (ax + b)(cx + d ) sera nul si, et seulement si, l’un des facteurs ((ax + b) ou
(cx + d )) est nul : (ax + b)(c x + d ) = 0 si et seulement si ax + b = 0 ou c x + d = 0.
On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré ! !
Propriété :
Les solutions de l’équation (ax +b)(cx +d ) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax +b = 0
et cx + d = 0
Par exemple : résolvons l’équation (3x − 7)(2x + 5) = 0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul.
3x − 7 = 0 ou 2x + 5 = 0
3x = 7
ou 2x = −5
ou x = − 52
x = 37
Ainsi, l’équation (3x − 7)(2x + 5) = 0 admet deux solutions, qui sont 73 et − 52
3ème
Page 2/3
Cours Equations Inéquations
3 Inéquations du premier degré
Définitions :
Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une
lettre, appelée inconnue de l’inéquation.
Une solution de cette inéquation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’inégalité est vraie.
Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions.
Par exemple 3x − 7 > 5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est
3x − 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5.
Ï 6 est une solution de l’inéquation 3x − 7 > 5
car, lorsque je remplace l’inconnue x par 6 dans l’inéquation, l’inégalité est vérifiée :
3 × 6 − 7 = 18 − 7 = 11 > 5
Ï 10 est une autre solution de l’inéquation 3x − 7 > 5
car, lorsque je remplace l’inconnue x par 10 dans l’inéquation, l’inégalité est vérifiée :
3 × 10 − 7 = 30 − 7 = 23 > 5
Ï 2 n’est pas une solution de l’inéquation 3x − 7 > 5
car, lorsque je remplace x par 2, l’inégalité n’est pas vérifiée : 3 × 2 − 7 = 6 − 7 = −1 ≯ 5 ! !
Règles de manipulation des inégalités :
Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’inéquation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition :
Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l’inéquation.
Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement positif.
Règle n°3 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité.
Par exemple,
l’inéquation 3x − 5 > 7 est une équation du premier degré : résolvons-la
Ï En utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’inéquation :
3x − 5+5 > 7+5
3x > 12.
Ï En utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’inéquation :
3x 12
>
3
3
x > 4.
Ï On conclut par une phrase : l’inéquation 3x − 7 > 5 admet pour solutions les nombres strictement
supérieurs à 4.
Ï On peut représenter l’ensemble des solutions sur un axe, en hachurant la partie de la droite graduée constituée des nombres qui ne sont pas solutions :
|
|
|
|
O
I
|
|
O
1
solutions
|
|
|
|
|
|
|
4
B Attention au sens du crochet ! Le crochet n’est pas tourné vers les solutions, car 4 n’est pas solution de l’inéquation 3x − 7 > 5.
3ème
Page 3/3
Cours Equations Inéquations
C HAPITRE 7
F ICHE D ’ EXERCICES : R ÉSOLUTIONS
D ’ INÉQUATIONS
E XERCICE 1
Inégalités larges
Notation : :
Les symboles Ê et É signifient respectivement "supérieur ou égal à" et "inférieur ou égal à".
Les inégalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? .
3<5
❒V ❒F
3<3
❒V ❒F
−8 É −8
❒V ❒F
3Ê5
❒V ❒F
−8 É −7
❒V ❒F
−8 < −8
❒V ❒F
3Ê3
❒V ❒F
−8 < −7
❒V ❒F
−8 Ê 0
❒V ❒F
E XERCICE 2
Pour chacune des inéquations suivantes, cochez la ou les solutions éventuelles parmi les nombres proposés :
x +7 < 3
❒x =7
❒x =4
❒x =2
❒x =0
❒ x = −2
❒ x = −5
3x < −5
❒x =7
❒x =4
❒x =2
❒x =0
❒ x = −2
❒ x = −5
−2x Ê 4
❒x =7
❒x =4
❒x =2
❒x =0
❒ x = −2
❒ x = −5
2x + 1 É 1
❒x =7
❒x =4
❒x =2
❒x =0
❒ x = −2
❒ x = −5
−x − 6 > −4
❒x =7
❒x =4
❒x =2
❒x =0
❒ x = −2
❒ x = −5
x − 15 É −2x + 9
❒x =7
❒x =4
❒x =2
❒x =0
❒ x = −2
❒ x = −5
E XERCICE 3
Repasser en rouge l’ensemble des solutions des inéquations suivantes, et hachurer l’ensemble des nombres
qui ne sont pas solutions, comme dans l’exemple ci-dessous :
O
solutions
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x <2
1
O
2
O
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x >1
1
O
O
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Ê −2
1
O
O
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x É3
1
O
O
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x <0
1
O
O
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Ê −3
1
O
3ème
Page 1/2
Fiche d’exercices: inéquations
E XERCICE 4
Résolutions d’inéquations
Pour résoudre une inéquation :
Premier exemple
2x − 7 < −3
2x − 7+7 < −3+7
On élimine le "-7" du premier membre en ajoutant
2x < 4
7 à chaque membre
2x 4
<
2
2
x <2
|
solutions
|
|
O
|
O
I
|
1
On isole x en divisant chaque membre par 2.
Comme 2 > 0, on ne change pas le sens de l’inégalité
|
|
|
2
On représente graphiquement l’ensemble
des solutions
Deuxième exemple
−5x + 1 Ê −4
−5x + 1−1 Ê −4−1
On élimine le "+1" du premier membre en
retranchant 1 à chaque membre
−5x Ê −5
−5x −5
É
−5
−5
x É1
|
solutions
|
|
O
|
O
On isole x en divisant chaque membre par −5.
Comme −5 < 0, on change le sens de l’inégalité.
I
|
1
|
|
|
On représente graphiquement l’ensemble
des solutions
Sur le même modèle, résolvez les inéquations suivantes (on présentera les ensembles de solutions à
l’aide d’une phrase, puis à l’aide d’une représentation graphique) :
−5
x + 2 É 38
4
a. 2x + 7 > −5
h.
b. −3x + 1 É 7
i. 3(x − 2) − (2x − 7) < 2x + 11
c. −x + 7 < 6
j. 3(x − 1) − 3(−3x + 5) Ê 0
d. 2x + 3 Ê −6x − 5
k. 2x − 1 > 2 − (7 + x)
e. 3(x − 1) < −9
l. 4x + 9 É 3(3 + 2x)
f. 5x − 4 Ê 2x − 4
m. B 3(x − 1) < 5x − (4 + 2x)
g.
2
3x
> −8
n. B 3(x − 1) Ê 5x − (4 + 2x)
E XERCICE 5
Mise en inéquation
La société ALO propose un abonnement téléphonique de 15 ¤ par mois et 0,20 ¤ par minute de communication.
La société LAO propose un abonnement téléphonique de 14 ¤ par mois et 0,25 ¤ par minute de communication.
On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois.
1. Exprimer en fonction de x le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de LAO.
2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices: inéquations
C HAPITRE 8
C OURS : R ACINES CARRÉES
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Calculs élémentaires
sur les radicaux (racines carrées)
Racine carrée d’un
nombre positif.
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Savoir que, si a désigne un nombre
p
positif, a est le nombre positif
dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a
est un nombre
p utiliser les
¡p ¢2 positif,
égalités : a = a, a 2 = a.
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que
x 2 = a, où a désigne un nombre
positif.
Produit et quotient de
deux radicaux
Sur des exemples numériques, où a
et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalitésr:
p
p
p p
a
a
=p
ab = a b,
b
b
C OMMENTAIRES
p
La touche
de la calculatrice,
qui a déjà été utilisée en classe
de quatrième, fournit une valeur
approchée d’une racine carrée.
Le travail mentionné sur les
identités
remarquables
permet
d’écrire
des
égalités
¢
¢ ¡p
¡p
2 − 1 = 1,
2+1
comme :
p ¢2
p
¡
1 + 2 = 3 + 2 2.
Ces résultats, que l’on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d’un
nombre positif, permettent d’écrire
des égalités r
telles que :
p
p
p
2
1
4
5
45 = 3 5,
=p ,p =
.
3
5
3
5
On habituera ainsi les élèves à écrire
un nombre sous la forme la mieux
adaptée au problème posé.
1 Définition
Définition :
Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est
p
appelé racine carrée de a, et est noté a.
p
p
Vocabulaire : Le symbole est appelé radical ; dans l’expression a, a est appelé radicande.
Par exemple :
p
Ï Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a donc
9=3
p
Ï Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l’on note 2. Ce nombre n’est
p ni un
nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur exacte que sous la forme 2, mais
p
p
on peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touche 2 : 2 ≃ 1,414213562
Ï Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des
premiers carrés parfaits :
a
p
a
3ème
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
64
8
81
9
Page 1/3
100
10
121
11
144
12
169
13
196
14
225
15
Cours racines carrées
Premières propriétés :
¡p ¢2
Ï Pour tout nombre a positif,
on
a
a =a
( p
a 2 = a si a Ê 0.
Ï Pour tout nombre a, on a p 2
a = −a si a É 0.
La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir :
¡p ¢2
p
Ï a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par a = a
p
2
.
Ï a 2 est le nombre positif dont le carré
p est égal
p àa p
2
Par exemple, pour a = 3, p
cela donne
a 2 = a si a Ê 0.).
p 3 = 9=3( p
Pour a = −5, cela donne (−5)2 = 25 = 5 = −(−5) ( a 2 = −a si a É 0.)
2 Produit, quotient de racines carrées
Propriété :
Pour tous nombres positifs a et b, on a
p
a ×b =
p
p
a× b
Preuve
:
³p
p ´2 ³p
p ´ ³p
p ´ ¡p
p ´ ¡p ¢2 ³p ´2
p ¢ ³p
a × b = a × b × a × b = a × a × b × b = a × b = a ×b
p
Or, par définition,
a ×b p
est l’unique nombre positif dont le carré est égal à a × b.
p
p
On a donc a × b = a × b
Propriété :
Pour tous nombres positifs a et b (b 6= 0), on a
r
p
a
a
=p
b
b
Preuve
:
¡p ¢2
p
p
p
µ p ¶2 p
a
a
a
a
a× a
a
=p ×p =p
p
p = ³p ´2 =
b
b
b
b
b× b
b
p
r
r
a
a
a
a
Or, par définition,
est l’unique nombre positif dont le carré est égal à . On a donc
=p
b
b
b
b
Exemples d’utilisation :
p
p
p
p
Ï 2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6
p
p
p
p
p
p
Ï 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 × 5 = 3 5
p
r
9
9
3
=p =
Ï
16
16 4
p
r
3
9
9
Ï
=p =p
5
5
5
p
p
r
r
1 1
3
3
1
Ï p =
=
=p =
27
9
27
9 3
B Attention
:
En règle générale,
p
a + b 6=
p
Un exercice
important
p
p
p:
Ecrire 45 + 2 5 − 3 20 sous la forme la plus
simple possible.
p
p
p
45 + 2 5 − 5 20 =
=
=
=
=
=
p
p
p
9×5+2 5−5 4×5
p p
p
p p
9 5+2 5−5 4 5
p
p
p
3 5+2 5−5×2 5
p
p
p
3 5 + 2 5 − 10 5
p
(3 + 2 − 10) 5
p
−5 5
p
a+ b
Voyez
l’exemple
suivant :
p
p
p
p
p
p
p
16 + 9 6= 16 + 9 ; en effet : 16 + 9 = 4 + 3 = 7 mais 16 + 9 = 25 = 5
3ème
Page 2/3
Cours racines carrées
3 Equation x 2 = a
Un résultat important :
p
p
Ï Si a > 0, l’équation x 2 = a a deux solutions, qui sont a et − a
Ï Si a = 0, l’équation x 2 = a a une seule solution, qui est 0.
Ï Si a < 0, l’équation n’a aucune solution
Preuve :
Si a > 0 alors x 2 = a
x2 − a = 0
¡p ¢2
2
¡x − p a¢ ¡ = 0p ¢
x− a x+ a =0
Un produit est nul si et seulement si
au moins l’un des facteurs est nul
p
p
x − a = 0 ou x + a = 0
p
p
x = a ou x = − a
Par exemple :
Ï l’équation x 2 + 4 = 0, qui équivaut à
x 2 = −4, n’a pas de solution ; en effet, un
carré est toujours positif.
Ï l’équation 2x 2 + 3 = 3 + x 2 , qui équivaut à
x 2 = 0, a une unique solution, qui est x = 0.
2
Ï l’équation 3x 2 −6 = 9, qui équivaut
p
pà x = 5,
a deux solutions, qui sont 5 et − 5.
4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ?
Premier exemple :
p
2 3+1
On considère le nombre A =
p
5 2
On va multiplier le numérateur
et le dénominap
teur depcette fraction
par
p
p obtient
p :
p alors
p p2. On
(2 3 + 1) × 2 2 3 2 + 2 2 6 + 2
=
A=
=
p
p
5×2
10
5 2× 2
Deuxième exemple :
p
2
On considère le nombre A = p
2+1
On va multiplier le numérateur
¡p et ¢le dénomina2 −¡p
1 , qui¢ est apteur de cette fraction par
pelée expression conjuguée de 2 − 1 . On obtient alors :
p
¡p
¢
p
p
2× 2−1
2− 2
A = ¡p
= 2− 2
¢ ¡p
¢ = ¡p ¢2
2+1 × 2−1
2 −1
5 En géométrie
Diagonale d’un carré
Soit ABC D un carré de côté 1
d 2 = AC 2 p
= B A 2 + BC 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 d’où
d = AC = 2
C
D
1
d=
p
2
Hauteur d’un triangle équilatéral
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1
¡ ¢2
h 2 = AH 2 = B A 2 −B H 2 = 12 − 21 = 1− 14 = 43 d’où
q
p
p
h = AH = 34 = p3 = 23
4
C
◦
1 30 p 1
h = 23
1
45◦
A
60◦
B
On en déduit les valeurs exactes
des cosinus, sinus et tangentes des
angles de 30, 45 et 60 degrés :
A
Mesure de l’angle (en degrés)
30◦
45◦
60◦
Sinus de l’angle
1
2
p
3
2
p
2
2
p
2
2
p
3
2
p1
3
1
Cosinus de l’angle
Tangente de l’angle
3ème
B
H
Page 3/3
1
2
p
3
Cours racines carrées
C HAPITRE 8
F ICHE D ’ EXERCICES : RACINES CARRÉES
E XERCICE 1
Calculer mentalement :
p
1= ............
p
0, 09 = . . . . . . . . . . . .
p
p
3 × 12 = . . . . . . . . . . . .
r
8
= ............
18
¡p ¢2
14 = . . . . . . . . . . . .
p
32 + 42 = . . . . . . . . . . . .
p
p
p
0= ............
8100 = . . . . . . . . . . . .
r
16
= ............
25
p
121 = . . . . . . . . . . . .
p
1, 1712 = . . . . . . . . . . . .
p
p
32 + 42 = . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 2
Calculer à l’aide de la calculatrice :
p
p
p
36 + 64 = . . . . . . . . . . . .
36 + 64 = . . . . . . . . . . . .
r
p
100
= ............
25 × 4 = . . . . . . . . . . . .
4
p
400 = . . . . . . . . . . . .
0, 003 6 = . . . . . . . . . . . .
p
18
p = ............
2
p
1,44 = . . . . . . . . . . . .
p
p
16 + 9 = . . . . . . . . . . . .
p
32 × 42 = . . . . . . . . . . . .
p
36 + 64 = . . . . . . . . . . . .
p
100
= ............
4
p
10 000 = . . . . . . . . . . . .
p
p
5 × 20 = . . . . . . . . . . . .
p
144 + 25 = . . . . . . . . . . . .
p
(−1)2 = . . . . . . . . . . . .
p
p
1 − 100 = . . . . . . . . . . . .
¡p
¢2
3+4 = ............
p
25 × 4 = . . . . . . . . . . . .
p
4−8 = ............
Toujours à la calculatrice, donner un arrondi au centième
p :
p près des nombres suivants
p
p
p
p
2
1+ 5
≃ ............ 1+
2+ 3 ≃ ............
2+ 3 ≃ ............
p ≃ ............
2
1+ 2
E XERCICE 3
Ecrire plus simplement, après avoir développé et réduit les expressions numériques suivantes :
p
p
p
¡p
¢2 p 2
Exemple : 3 − 2 = 3 − 2 × 3 × 2 + 22 = 3 − 4 3 + 4 = 7 − 4 3
p
p
( 11 − 3)( 11 + 3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
(5 + 3)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
(1 − 2)(1 + 2) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
( 5 − 2)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p p
p
p
( 5 − 3)( 5 + 3) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
( 7 + 2)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 4
Ecrire plus simplement les expressions numériques suivantes :
Exemples
p
p
p
p
p :
20
=
4
×
5
=
4
×
5
=
2
5
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
12 − 2 48 = 4 × 3 − 2 16 × 3 = 4 × 3 − 2 16 × 3 = 2 3 − 2 × 4 3 = 2 3 − 8 3 = −6 3
p
75 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
108 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
40 − 160 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
48 + 27 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
2 500 − 3 75 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3ème
Page 1/2
Fiche d’exercices
p
p
p
5 24 − 54 + 2 150 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
p
−3 63 + 5 49 + 7 112 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
p
p
−3 18 + 7 72 − 5 121 + 4 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 5
Ecrire les nombres suivants avec un dénominateur entier :
−10
1
p =.............................
p =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3p 5
14
5
p =.............................
p =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 3
E XERCICE 6 p
p
On pose x = 1 + 3 et y = 1 − 2 3.
p
On mettra les résultats sous la forme a + b 3, où
a et b sont des entiers.
1. Calculer x + y et x − y.
2. Calculer x 2 et y 2 .
3. Calculer x 2 − y 2 de deux manières différentes.
E XERCICE 7
1
= .........................
2p
+1
3
p
p = .......................
3− 2
p
On donne A = x 2 − 2x − 7
p
On mettra les résultats sous la forme a + b 2, où
a et b sont des entiers.
p
1. Calculer A pour x = 2
p
2. Calculer A pour x = 5 − 2
p
3. Calculer A pour x = 2 2 + 1
E XERCICE 8
Résoudre les équations suivantes :
x 2 = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x 2 = −4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3x 2 = 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4x 2 = 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−5x 2 = −25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5x 2 = 3x 2 + 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3x 2 + 2 = 2(x 2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 2
9
4 x − 4 =0 .................................................................................................
2 2
x =2......................................................................................................
9
2
7−x = 0....................................................................................................
3x 2 − 25 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 + 2x 2 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x 8
= .......................................................................................................
2 x
E XERCICE 9
Quelques problèmes à résoudre...
Problème n°1
Déterminer trois nombres entiers consécutifs
dont la somme des carrés est égale à 13 874.
Problème n°2
Une pyramide à base carrée a une hauteur de 10
cm, et un volume de 480 cm3 . Quel est le côté du
carré de base ?
Problème n°3
Une sphère a pour aire 628 cm2 . Quel est son
rayon ? (On prendra π = 3,14).
Problème n°4
Un carré ABC D de centre O est tel que O A=3 cm.
Calculer le côté du carré ABC D, puis calculer
l’aire exacte de ce carré.
E XERCICE 10
p
p
p
Est-il vrai que les nombres A = 2 + 3 et B = 7 + 4 3 sont égaux ? Justifier votre réponse.
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices
C HAPITRE 9
C OURS : TRANSLATIONS ET VECTEURS
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Vecteurs et translations
Égalité vectorielle
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Ï Connaître et utiliser
l’écriture
vectorielle
#
# AB = C D pour exprimer que la translation
qui transforme A en B
transforme aussi C en D.
Ï Lier
cette
écriture
vectorielle
au
parallélogramme
ABC D
éventuellement aplati.
Composition de deux
translations ; somme
de deux vecteurs.
Composition de deux
symétries centrales.
3ème
Ï Utiliser l’égalité
# # #
AB + BC = AC et la relier
à la composée de deux
translations.
Ï Construire un représentant du vecteur somme
à l’aide d’un parallélogramme.
Ï Savoir que l’image
d’une figure par deux
symétries centrales successives de centres différents est aussi l’image
de cette figure par une
translation.
Ï Connaître le vecteur de
la translation composée
de deux symétries centrales.
C OMMENTAIRES
Cette rubrique prend en compte les acquis du cycle
central sur les parallélogrammes et sur la translation. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans
les couples (A, A ′ ), (B, B ′ ), (C ,C ′ ). . . de points homologues par une même translation, d’un même
objet nommé vecteur.
# # # On écrira #
u = A A ′ = B B ′ = CC ′ = . . . .
L’un des objectifs est que les élèves se représentent
un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et
d’une longueur.
On mettra en évidence la caractérisation d’une égalité vectorielle à l’aide de milieux de [AD] et [BC ] :
# # Si AB = C D alors les segments [AD] et [BC ] ont le
même milieu.
Si les segments [AD] et [BC ] ont le même milieu,
# # # # alors on a AB = C D et AC = B D.
Des activités de construction conduiront à l’idée
que la composée de deux translations est une
translation.
À partir de ce résultat, à établir ou admettre, on définira la somme de deux vecteurs. On introduira le
# # # vecteur nul 0 = A A = B B = . . . ainsi que l’opposé
d’un vecteur. Aucune compétence n’est exigible des
# # #
élèves sur l’égalité vectorielle AC − AB = BC ni, plus
généralement, sur la soustraction vectorielle.
Des activités de construction permettront de
conjecturer le résultat de composition de deux symétries centrales. La démonstration sera l’occasion
de revoir la configuration des milieux dans un triangle.
On pourra utiliser, pour sa commodité, la notation
#
# #
2 AB pour désigner AB + AB .
Tout commentaire sur le produit d’un vecteur par
un entier est hors programme, ainsi que la notation
"o" pour désigner la composée.
Page 1/4
Cours translations et vecteurs
1 Notion de vecteur
Définition :
Si, par une translation donnée, les points A, B, C
ont pour images respectives les points A ′ , B ′ et C ′,
alors on dit que les couples de points (A, A ′ ), (B, B ′ ),
(C ,C ′) définissent un vecteur.
u ce vecteur, alors on peut écrire
Si on note #
# ′ # ′ # ′
# # # #
u = A A = BB = CC , et on dit que A A ′ , BB ′ et CC ′
sont des représentants du vecteur #
u.
B′
B
~u
A′
C′
A
C
Caractéristiques d’un vecteur :
#
Si A et B sont deux points distincts, alors on peut entièrement déterminer le vecteur AB par :
– sa direction (celle de la droite (AB)),
– son sens (de A vers B)
– et sa longueur, ou norme (celle du segment [AB]).
Vocabulaire : Dans ce cas, le point A est appelé origine du vecteur, et le point B en est l’extrémité.
2 Vecteurs égaux
Définition :
On dit que deux vecteurs #
u et #
v sont égaux s’ils ont la même
direction, le même sens et la même longueur.
~u
B
Définition :
Si A et B sont deux points distincts du plan, alors le vecteur
#
B A a la même direction et la même longueur que le vecteur
#
#
AB, mais il n’a pas le même sens. On dit que B A est le vecteur
#
#
#
opposé au vecteur AB , et on note B A = − AB .
Propriétés :
Soient A, B, C et D quatre points du plan.
# # Ï Si les vecteurs AB et C D sont égaux,
alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement
aplati).
Ï Si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati),
# # alors les vecteurs AB et C D sont égaux (tout comme les vec# # teurs AC et BD).
Propriétés :
Soient A, B, C et D quatre points du plan.
# # Ï Si les vecteurs AB et C D sont égaux,
alors les segments [AD] et [BC ] ont le même milieu.
Ï Si les segments [AD] et [BC ] ont le même milieu,
# # alors les vecteurs AB et C D sont égaux (tout comme les vec# # teurs AC et BD).
3ème
Page 2/4
~v
B
A
A
D
B
ou
B
D
C
C
A
A
D
B
I
C
A
Cours translations et vecteurs
Comment placer un point défini par une égalité vectorielle :
# # A, B et C sont trois points du plan. On veut placer le point D tel que AB = C D.
Sur un quadrillage :
On commence par repérer, à peu près, la zone
dans laquelle sera situé le point D (étape 1).
Puis on utilise le quadrillage pour construire le
quatrième sommet du parallélogramme ABDC
(étape 2) ; ici, on décale de deux carreaux vers la
droite et de cinq carreaux vers le bas.
Sur du papier blanc :
On commence par repérer, à peu près, la zone
dans laquelle sera situé le point D (étape 1).
Puis on utilise le compas pour construire le
quatrième sommet du parallélogramme ABDC
(étape 2) ; ici, on trace un arc de cercle de centre
C de rayon AB, puis un second arc de cercle de
centre B de rayon AC .
A
A
C
C
B
B
A
A
C
C
B
B
D
D
Propriété :
Soient A, I et B trois points distincts du plan.
# #
Dire que AI = I B revient à dire que I est le milieu de [AB]
B
I
A
3 Somme de deux vecteurs
Propriété :
u et #
v est elle-même une translation, dont le vecteur
La composée de deux translations de vecteurs #
#
#
#
est appelé somme des vecteurs u et v , et est noté u + #
v.
B
~v
C
~u
~u + ~v
A
~v
~u
~u + ~v
3ème
Page 3/4
Cours translations et vecteurs
Relation de Chasles :
#
#
Si, avec les notations précédentes, AB est un représentant de #
u , et BC est un représentant de #
v , alors
# # #
on peut écrire la relation AB + BC = AC , connue sous le nom de relation de Chasles.
#
Remarque : On peut retenir que "faire la translation de vecteur AB , puis faire la translation de vecteur
#
#
BC , cela revient à faire directement la translation de vecteur AC ."
Définition :
# # #
Si A et B sont deux points distincts, on a, d’après la relation de Chasles, AB +B A = A A, qui correspond
à un déplacement nul.
#
# # Le vecteur A A est par conséquent appelé vecteur nul, et on note 0 = A A.
Comment construire la somme de deux vecteurs :
#
u et #
v sont deux vecteurs. On veut placer le point B tel que AB = #
u + #
v.
A est un point du plan, #
En mettant les vecteurs "bout à bout" :
# On construit le point M tel que AM = #
u , puis on
construit le représentant du vecteur #
v ayant ce
point M pour origine ; un représentant du vec#
teur #
u + #
v est le vecteur AB .
B
En prenant des représentants de même origine :
On construit des représentants des vecteurs #
u
et #
v d’origine A, et on appelle M et N les extrémités de ces deux représentants. On construit
le point B comme quatrième sommet du parallélogramme AMB N ; un représentant du vecteur
#
#
u + #
v est le vecteur AB.
~v
M
B
+
~u
~u
~u
+
~v
~u
~u
~u
~v
M
A
N
~v
~v
A
~v
4 Composée de deux symétries centrales
Propriété :
Soient A et B deux points distincts du plan. La composée de
la symétrie de centre A et de la symétrie de centre B est une
# #
#
translation de vecteur AB + AB (que l’on notera 2 AB par analogie avec le calcul numérique)
3ème
Page 4/4
A
B
2A~B
Cours translations et vecteurs
C HAPITRE 9
F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS (1)
E XERCICE 1
u.
1. Construire les points A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , images respectives de A, B, C , D par la translation de vecteur #
2. Construire les points A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , images respectives des points A, B, C , D par la translation de
vecteur #
v.
# 3. Construire le point A 3 image de A par la translation de vecteur DB , le point B 3 image de B par la
# # translation de vecteur C D, le point C 3 image de C par la translation de vecteur D A et enfin le point
#
D 3 image de D par la translation de vecteur C A.
4. Au vu de la figure, écrire un maximum d’égalités de vecteurs.
~v
A
D
~u
C
B
E XERCICE 2
E
Construire :
Ï le point A ′ image de A par la
translation de vecteur #
u,
′
Ï le point B image de B par la
#
translation de vecteur AC ,
Ï le point C ′ image de C par la
#
translation de vecteur E A.
#
#
Ï le point D ′ tel que DD ′ = C A,
# #
Ï le point E ′ tel que E E ′ = BC
B
C
A
~u
D
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 9
F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS (2)
E XERCICE 1
Sur la figure ci-dessous :
#
# construis l’image de la figure G par la translation de vecteur C D.
#
construis l’image de la figure H par la translation de vecteur F E .
# construis l’image de la figure I par la translation de vecteur G H.
# construis l’image de la figure H par la translation de vecteur AD.
#
1. construis l’image de la figure F par la translation de vecteur AB .
2.
3.
4.
5.
6. construis l’image de la figure J par la translation de vecteur DE .
I
E
G
J
F
H
D
H
B
A
C
G
F
3ème
Page 1/2
Fiche d’exercices
E XERCICE 2
Sur la figure ci-dessous :
#
#
2. construis l’image du triangle par la translation de vecteur AB.
# 3. construis l’image du cercle par la translation de vecteur BD.
# 1. construis l’image du carré par la translation de vecteur E B.
4. construis l’image de la droite par la translation de vecteur DC .
A
E
B
C
D
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices
C HAPITRE 9
F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS (3)
Placer les points M et N dans chacun des cas suivants :
# # # 1. AM = #
u et AN = #
u + #
v
# 2. AM = #
v et AN = #
u + #
v
~v
~v
~u
A
A
~u
# #
# # #
# 3. AM = C B et AN = AB + AC
#
# # #
4. B M = C B et B N = B A + BC
B
C
A
B
A
C
# #
# # #
# 5. DM = BC et DN = BC + E A
# # # # # 6. E M = AB + C D et B N = AE + C D
B
B
A
A
C
D
D
E
C
E
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 9
F ICHE D ’ EXERCICES : D ÉMONTRER AVEC LES
VECTEURS
E XERCICE 1
DNB Guadeloupe 2003
Construire un parallélogramme E FG H et I , milieu de [E F ].
1. Faire une figure.
# 2. On considère la translation de vecteur E H.
a) Quelle est l’image de E ?
b) Quelle est l’image de F ? Justifier.
# 3. Construire le point J , translaté du point I par la translation de vecteur E H.
Que représente le point J pour le segment [G H] ? Justifier la réponse.
# # # 4. Construire le point K tel que E K = EG + E H.
Montrer que J est le milieu de [E K ].
E XERCICE 2
DNB Centres étrangers (Bordeaux) 2006
1. Tracer un triangle isocèle ABC de sommet principal B tel que AC = 4 cm et AB = 5 cm.
2. a) Placer les points R et M tels que
# #
# # #
C R = AB et B M = B A + BC .
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABRC ? Justifier.
c) Préciser la nature du quadrilatère ABC M. Justifier.
3. Démontrer que le point C est le milieu du segment [MR].
E XERCICE 3
DNB Lyon 2005
Pour cet exercice, compléter la figure donnée ci-dessous.
B
A
C
On a placé trois points A, B et C .
1. Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.
#
# #
2. a) Construire le point F tel que BF = B A + BC .
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABC F ? On ne demande pas de justification.
#
#
3. Démontrer que FC = C E. Que peut-on en déduire pour le point C ?
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 9
F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS (3)
Placer les points M et N dans chacun des cas suivants :
# # # 1. AM = #
u et AN = #
u + #
v
# 2. AM = #
v et AN = #
u + #
v
~v
~v
~u
A
A
~u
# #
# # #
# 3. AM = C B et AN = AB + AC
#
# # #
4. B M = C B et B N = B A + BC
B
C
A
B
A
C
# #
# # #
# 5. DM = BC et DN = BC + E A
# # # # # 6. E M = AB + C D et B N = AE + C D
B
B
A
A
C
D
D
E
C
E
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 10
C OURS : V ECTEURS & REPÈRES
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Coordonnées
d’un
vecteur dans le plan
muni d’un repère
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Lire sur un graphique les coordonnées d’un vecteur.
Représenter, dans le plan muni d’un
repère, un vecteur dont on donne les
coordonnées.
Calculer les coordonnées d’un vecteur connaissant les coordonnées
des extrémités de l’un quelconque
de ses représentants.
Calculer les coordonnées du milieu
d’un segment.
C OMMENTAIRES
Les coordonnées d’un vecteur seront introduites à partir de la composition de deux translations selon
les axes.
Distance de deux
points dans un repère
orthonormé du plan
Le plan étant muni d’un repère orthonormé, calculer la distance de
deux points dont on donne les coordonnées.
Le calcul de la distance de deux
points se fera en référence au théorème de Pythagore, de façon à
visualiser ce que représentent différence des abscisses et différence des
ordonnées.
1 Repères du plan
Il existe différentes sortes de repères du plan :
y
y
1
1
1
O
1
O
1
x
O
1
x
M
M
M
Les repères quelconques
Les repères orthogonaux, dans
lesquels les axes sont perpendiculaires.
Les repères orthonormés, dans
lesquels les axes sont perpendiculaires, et les unités sur chaque
axe sont égales.
Dans chacun des cas ici représentés, le point M a pour coordonnées (3; −2).
3ème
Page 1/3
Cours vecteurs et repères
2 Coordonnées d’un vecteur dans un repère
#
Dans chacun des cas suivants, #
u est un vecteur, dont un représentant est AB dans un repère du plan.
Pour passer de A à B, on effectue deux translations successives :
– La première parallèlement à l’axe des abscisses, de a carreaux dans le sens de l’axe (alors comptés
positivement) ou dans le sens opposé à l’axe (alors comptés négativement) ;
– la seconde parallèlement à l’axe des ordonnées de b carreaux dans le sens de l’axe (alors comptés
positivement) ou dans le sens opposé à l’axe (alors comptés négativement) ;
Le couple (a; b) sont les coordonnées du vecteur #
u.
y
y
−4
B
A
1
O
x
1
+3
1
−7
O
1
x
A
−5
B
Le vecteur ~
u a pour coordonnées (−5; 3)
Le vecteur ~
u a pour coordonnées (−4; −7)
Calcul des coordonnées d’un vecteur :
Si, dans un repère du plan, les coordonnées des points A et B sont respectivement (x A ; y A ) et (xB ; y B ),
#
alors les coordonnées du vecteur AB sont (xB − x A ; y B − y A ).
Exemple :
#
Si on a A(−1, −3) et B(4, 3) alors le vecteur AB a pour coordonnées (4 − (−1); 3 − (−3)), c’est-à-dire (5; 6).
Remarque n°1 : B Attention à l’ordre des lettres ! ! On fait :
(abscisse de l’extrémité − abscisse de l’origine ; ordonnée de l’extrémité − ordonnée de l’origine)
u sont les coordonnées de l’extrémité du représentant de
Remarque n°2 : Les coordonnées du vecteur #
ce vecteur, ayant l’origine du repère comme origine :
y
6
B
1
O
A
+6
5
1
x
+5
Le vecteur ~
u a pour coordonnées (5; 6)
Vecteurs égaux :
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan.
3ème
Page 2/3
Cours vecteurs et repères
3 Milieu d’un segment
Calcul des coordonnées du milieu d’un segment :
Si, dans un repère du plan, les coordonnées des points A et B sont respectivement (x A ; y A ) et (xB ; y B ),
³x +x y + y ´
A
B
A
B
alors les coordonnées du point I milieu de [AB] sont
.
;
2
2
y
B
1
x A +x B
2
O
y A +y B
2
x
1
I
Preuve :
Dire que I est le milieu de [AB] revient à dire que les
# #
vecteurs AI et I B sont égaux.
#
Or les coordonnées du vecteur AI dans le repère sont
(x I − x A ; y I − y A )
#
Les coordonnées du vecteur I B dans le repère sont
(xB − x I ; y B − y I )
Ces deux vecteurs étant égaux, leurs coordonnées sont
égales entre elles, et il vient :
x I − x A = xB − x I
x I + x I = x A + xB
2x I = x A + xB
B
x I = x A +x
2
y I − y A = yB − y I
y I + y I = y A + yB
2y I = y A + y B
y +y
yI = A 2 B
¡
¢
Exemple : Si on a A(−1, −3) et B(4, 3) alors le point I milieu de [AB] a pour coordonnées −1+4
; −3+3
,
2
2
c’est-à-dire (1,5; 0).
A
4 Distance entre deux points dans un repère orthonormé
Calcul de la distance entre deux points :
Dans un repère orthonormé, si les coordonnées des points A et B sont
p respectivement (x A ; y A ) et
(xB ; y B ), alors la distance entre les points A et B est donnée par : AB = (xB − x A )2 + (y B − y A )2
y
B
x A − xB
Preuve :
L’idée est d’utiliser le théorème de Pythagore
dans le triangle AHB. Pour que AHB soit rectangle en H, il faut bien que le repère soit orthogonal. De plus, pour exprimer les distances
AH et B H dans la même unité, il faut que les
unités portées par les deux axes soient égales,
et donc que le repère soit orthonormé.
Une fois cette condition remplie, on a donc
AHB rectangle en H, et AB 2 = AH 2 + B H 2 .
H
yB − y A
yB
yA
O
A
xB
xA x
Or la distance AH est égale soit à xB −x A , soit à x A −xB (cela dépend de savoir lequel est le plus "à droite").
Quoi qu’il en soit, on a AH 2 = (xB −x A )2 (car, de toutes façons, deux nombres opposés ont le même carré :
(xB − x A )2 = (x A − xB )2 . . .).
De même, la distance B H est égale soit à y B − y A , soit à y A − y B (cela dépend de savoir lequel est le plus
"haut"). Quoi qu’il en soit, on a B H 2 = (y B − y A )2 (car, de toutes façons, (y B − y A )2 = (y A − y B )2 . . .).
On a donc bien AB 2 = AH 2 + B H 2 = (xB − x A )2 + (y B − y A )2 , et donc la formule annoncée.
Exemple : Si dans un repèreporthonormé
p
p on a A(−1,
p −3) et B(4, 3) alors la distance AB vaut
2
2
2
2
(4 − (−1)) + (3 − (−3)) = 5 + 6 = 25 + 36 = 61 ≈ 7, 8 unités.
3ème
Page 3/3
Cours vecteurs et repères
C HAPITRE 11
C OURS : FONCTIONS LINÉAIRES & AFFINES
Extrait du programme de la classe de troisième :
C ONTENU
Fonction
linéaire.
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Connaître la notation x 7−→ ax,
pour une valeur numérique de
a fixée.
C OMMENTAIRES
La définition d’une fonction linéaire, de coefficient a, s’appuie
sur l’étude des situations de proportionnalité rencontrées dans
les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de
proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de
correspondance est "je multiplie par a". Pour des pourcentages
d’augmentation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être faite ; par exemple, augmenter de 5 % c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95.
Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire
à partir de la donnée d’un
nombre non nul et de son
image.
Représenter graphiquement
une fonction linéaire.
Lire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire
l’image d’un nombre donné
et le nombre ayant une image
donnée.
Fonction
affine.
Fonction
affine et
fonction
linéaire
associée.
Connaître
la
notation
x 7−→ ax + b pour des valeurs numériques de a et b
fixées.
L’étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d’utiliser la
notion d’image. On introduira la notation x 7−→ ax, pour la fonction. À propos de la notation des images f (2), f (−0, 25), . . ., on
remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu’en calcul algébrique.
L’énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation
graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par
l’origine ; cette droite a une équation de la forme y = ax. On interprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de
la droite. C’est une occasion de prendre conscience de l’existence de fonctions dont la représentation graphique n’est pas
une droite (par exemple, en examinant comment varie l’aire d’un
carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3).
Pour des valeurs de a et b numériquement fixée, le processus de
correspondance sera aussi explicité sous la forme "je multiplie
par a, puis j’ajoute b". La représentation graphique de la fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle
de la fonction linéaire associée. C’est une droite, qui a une équa-
Déterminer
une
fonction
affine par la donnée de deux
nombres et de leurs images.
tion de la forme y = ax + b. On interprétera graphiquement le
coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b ; on remarquera
la proportionnalité des accroissements de x et y.
Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée
Représenter graphiquement
une fonction affine.
dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de
deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphique. On fera remarquer qu’une fonction linéaire est une fonc-
Lire sur la représentation
graphique d’une fonction
affine l’image d’un nombre
donné et le nombre ayant une
image donnée.
tion affine.
Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives
de fonctions non affines peuvent servir de support à la construction de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités
d’une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un
intervalle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance
spécifique n’est exigible sur ce sujet.
3ème
Page 1/6
Cours fonctions
1 Fonction linéaire
1.1 Définitions
L’unité de longueur est le centimètre. Notons x la longueur du côté d’un carré et y le périmètre de ce
carré. On trouve :
1
4
x
y
0,8
3,2
3
12
×4
On obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté et 4 est
le coefficient de proportionnalité. On peut écrire y = 4 × x ou y = 4x.
Définition :
Soit a un nombre quelconque « fixe ».
Si, à chaque nombre x, on peut associer son produit par a (c’est à dire y = a × x), alors on définit la
fonction linéaire de coefficient a, que l’on notera f : x 7−→ ax.
Fonction linéaire
de coefficient a :
Nombre 7−→ Image
x 7−→ a x
Vocabulaire et notation :
La fonction qui, à chaque nombre x, associe le périmètre du carré de
côté x est une fonction linéaire de coefficient 4, que nous pouvons
noter f : x 7−→ 4x. L’image de 0, 8 par cette fonction est 3, 2, ce que
l’on peut noter f (0, 8) = 3, 2 (et qui se lit " f de 0, 8 est égal à 3, 2")
×a
Remarque : Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans
laquelle le coefficient de proportionnalité est égal à a). Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie par a.
1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire
Propriété :
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droite
passant par l’origine du repère.
Ï Représenter graphiquement une fonction linéaire
y
3
2
1
O
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
Ci-contre est représentée graphiquement la fonction
linéaire f de coefficient 0, 6, que l’on peut noter
f : x 7→ 0, 6x
Comme f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par
l’origine du repère .
De plus, pour trouver un second point de cette droite,
x on peut calculer l’image de 3 : f (3) = 0, 6 × 3 = 1, 8.
Je place le point de coordonnées (3; 1, 8) .
En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :
x
y
−2
3ème
Page 2/6
0
0
3
1,8
Cours fonctions
Ï Lire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire l’image d’un nombre donné et le nombre
ayant une image donnée.
4y
3
2
1
O
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−1
−2
−3
Ci-contre est représentée graphiquement une fonction linéaire f de coefficient a, que l’on peut noter
f : x 7→ ax
Pour lire l’image (par exemple) du nombre 4 sur
cette représentation graphique, on commence par
repérer le point de la droite dont l’abscisse est 4 ,
puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lire
que l’image de 4 est 3 , c’est-à-dire que f (4) = 3
De plus, pour trouver le nombre dont
l’image est −1,2 par cette fonction linéaire,
on
commence
par
repérer
le point de la droite dont l’ordonnée est −1,2 ,
puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lire
que
le nombre dont l’image est −1,2 est −1,6 ,
c’est-à-dire que f (−1,6) = −1,2.
−4
Ï Déterminer le coefficient d’une fonction linéaire, lorsqu’on connaît un nombre et son image
Dans l’exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficient a inconnu, que l’on note
f : x 7−→ ax. Or nous avons vu que l’image de 4 par cette fonction est égale à 3 ; cela signifie que 3 = a ×4,
ce qui nous permet de déterminer le coefficient de la fonction : a = 34 = 0,75.
Remarque : ce nombre a n’est autre que le coefficient de proportionnalité du tableau suivant :
x
y
4
3
−1,6
1,2
×a
Définitions :
Soit (d ) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient a.
On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d ) et que y = ax est une équation de la
droite (d ).
4y
+1
Ï Interprétation graphique du coefficient directeur :
Soit (d ) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient −1,2 ; le coefficient directeur de la
droite (d ) est donc −1,2 , et son équation est y = −1,2 x.
Graphiquement, voici comment lire le
coefficient directeur :
3
−1.2
2
1
+1
O
−3
−2
−1
1
2
−1.2
3
4
x
−1
−2
−3
+1
−1.2
−4
3ème
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Cours fonctions
1.3 Fonction linéaire et pourcentage
Calculer avec des pourcentages :
Ï Prendre t % d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par
t
.
100 µ
¶
t
.
Ï Augmenter un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par 1 +
100
¶
µ
t
.
Ï Diminuer un nombre de t %, c’est multiplier ce nombre par 1 −
100
Exemples
15
. A cette action, on associe la fonction linéaire x 7→ 0, 15 × x.
100
¶
µ
12
= x × 0, 88. A cette action, on associe la
Ï Diminuer un nombre x de 12 % c’est effectuer x × 1 −
100
fonction linéaire x 7→ 0, 88 × x.
µ
¶
3
Ï Augmenter un nombre x de 3 % c’est effectuer x × 1 +
= x × 1, 03. A cette action, on associe la
100
fonction linéaire x 7→ 1, 03 × x.
Ï Prendre 15 % de x c’est effectuer x ×
2 Fonction affine
2.1 Définitions
Définition :
Soient a et b deux nombres quelconques « fixes ».
Si, à chaque nombre x, on peut associer le nombre a × x + b, alors on définit une fonction affine, que
l’on notera f : x 7−→ ax + b.
On dit que x 7→ ax est la fontion linéaire associée à la fonction affine x 7→ ax + b.
Vocabulaire et notation :
La fonction qui, à chaque nombre x, associe le nombre 2x+3 est
une fonction affine (où a = 2, et b = 3), que nous pouvons noter
f : x 7−→ 2x +3. L’image de 5 par cette fonction est 2×5+3 = 13,
ce que l’on peut noter f (5) = 13 .
Fonction affine
Nombre 7−→
7−→
x 7−→ ax 7−→
×a
Image
ax + b
+b
Remarque 1 : Pour passer d’un nombre à son image, on multiplie par a, puis on ajoute b.
Remarque 2 : Lorsque b = 0 On obtient f : x 7→ ax, c’est à dire une fonction linéaire.
2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire
Propriété :
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite :
– passant par le point de coordonnées (0; b)
– qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée
3ème
Page 4/6
Cours fonctions
Ï Représenter graphiquement une fonction affine
Ci-contre est représentée graphiquement la fonction
y
affine f : x 7→ 0, 5x + 3
Comme
f est une fonction affine, sa représen5
tation graphique est une droite qui passe par
le point de coordonnées (0; 3 ) .
4
De plus, pour trouver un second point de cette
droite, on peut calculer, par exemple, l’image de 4 :
f (4) = 0, 5 × 4 + 3 = 5.
Je place le point de coordonnées (4; 5) .
En fait, voici un tableau de valeurs de cette fonction :
3
2
1
O
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
3
x
y
x
4
5
Remarquez que la droite représentant cette fonction (x 7−→ 0, 5x + 3) est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée (x 7−→ 0, 5x).
Ï Lire sur la représentation graphique d’une fonction affine l’image d’un nombre donné et le nombre
ayant une image donnée.
y
4
3
2
1
O
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
x
Ci-contre est représentée graphiquement une fonction affine f : x 7→ ax + b
Pour lire l’image (par exemple) du nombre −2 sur
cette représentation graphique, on commence par
repérer le point de la droite dont l’abscisse est −2 ,
puis on lit l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lire
que l’image de −2 est 5 , c’est-à-dire que f (−2) = 5
De plus, pour trouver le nombre dont l’image est
−1, 6 par cette fonction, on commence par repérer
le point de la droite dont l’ordonnée est −1, 6 ,
puis on lit l’abscisse de ce point. Ici, on peut lire
que le nombre dont l’image est −1, 6 est 2, 4 , c’està-dire que f (2, 4) = −1, 6.
−2
Définitions :
Soit (d ) la droite qui représente graphiquement la fonction affine f : x 7−→ ax + b.
On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d ), que b est l’ordonnée à l’origine, et que
y = ax + b est une équation de la droite (d ).
Ï Interprétation graphique du coefficient directeur et de
l’ordonnée à l’origine :
Soit (d ) la droite qui représente graphiquement la fonction
affine x 7−→ −0, 7x + 1, 5 ; le coefficient directeur de la droite
(d ) est donc −0, 7 , son ordonnée à l’origine est 1, 5 et son
équation est y = −0, 7 x + 1, 5.
Graphiquement, voici comment lire le coefficient directeur
−4
et l’ordonnée à l’origine :
y
+1
−0, 7
2
+1
1
−0, 7
O
−3
−2
−1
1
2
x
1
3ème
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Cours fonctions
Ï Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images
Exemple : Déterminer la fonction affine f tel que f (1) = 4 et f (3) = 8.
Une application affine est de la forme x 7→ ax + b.
De f (1) = 4, on tire a × 1 + b = 4, c’est-à-dire a + b = 4 (égalité n°1)
De f (3) = 8, on tire a × 3 + b = 8, c’est-à-dire 3a + b = 8 (égalité n°2)
Calcul de a :
Si on soustrait membre à membre les deux égalités encadrées ci-dessus,
on obtient (a + b) − (3a + b) = 4 − 8 ,
ce qui nous donne a + b − 3a − b = −4,
c’est-à-dire −2a = −4,
ce qui nous permet d’obtenir la valeur de a :
−4
=2 .
a = −2
Calcul de b :
On reprend l’une des deux égalités (n°1 ou n°2), et
on remplace a par la valeur trouvée, pour calculer
la valeur de b :
Comme on a trouvé a = 2, on reprend (par
exemple) l’égalité n°1, et on y remplace a par 2 :
a + b = 4 qui donne 2 + b = 4, et donc
b = 4−2 = 2 .
La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 3 et f (3) = 8, est donc la fonction f : x 7−→ 2x + 2
2.3 Proportionnalité des accroissements
Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité ; ce n’est pas le cas d’une fonction
affine, comme on peut s’en convaincre en observant le tableau de valeurs de la fonction f : x 7−→ 0, 2x−1,
reproduit ci-dessous :
x
f (x)
1
−0, 8
2
−0, 6
4
−0, 2
7
0, 4
11
1, 2
Ce tableau n’est manifestement pas un tableau de proportionnalité. Cependant, regardons ce qui se
passe lorsque l’on regarde les accroissements de cette fonction :
Lorsque x augmente de . . .
alors f (x) augmente de . . .
1
0, 2
2
0, 4
3
0, 6
4
0, 8
5
1
6
1, 2
7
1, 4
Ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est 0, 2 !
Ceci nous amène à énoncer la propriété suivante :
Propriété :
Soit f une fonction affine x 7→ ax + b.
Si x varie (c’est à dire augmente ou diminue) d’un nombre h, alors son image f (x) varie de ah. Autrement dit, si x1 − x2 = h, alors f (x1 ) − f (x2 ) = ah : les accroissements de f (x) sont proportionnels aux
accroissements de x, et le coefficient de proportionnalité est a.
Ï Déterminer l’expression d’une fonction affine, lorsqu’on donne deux nombres et leurs images (2)
Soit f une fonction affine, telle que f (1) = 5 et f (4) = 7.
Calcul de a :
Comme on sait que les accroissements de f (x)
sont proportionnels aux accroissements de x, et
que le coefficient de proportionnalité est a, on
peut écrire que f (4) − f (1) = a × (4 − 1), ce qui nous
7−5
= 23
donne 7 − 5 = a(4 − 1), c’est-à-dire a = 4−1
Calcul de b :
On sait que f est une fonction affine, et donc qu’on
peut écrire son expression : f : x 7−→ ax +b ; en particulier, on a f (1) = a × 1 + b. Or, on a vu que a = 23 :
on a donc f (1) = 23 +b. De plus, on sait que f (1) = 5 ;
on a donc 5 = 23 + b, qui donne b = 5 − 32 = 13
3
La fonction affine recherchée, qui vérifie f (1) = 5 et f (4) = 7, est donc f : x 7−→ 23 x + 13
3
3ème
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Cours fonctions
C HAPITRE 11
F ICHE D ’ EXERCICES : FONCTIONS LINÉAIRES (1)
E XERCICE 1
La fonction associée à la situation est-elle une fonction linéaire ? Si oui, donner son coefficient :
1. f (x) désigne le périmètre (en cm) d’un cercle de rayon x cm : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. g (x) désigne le volume (en cm3 ) d’un cube d’arête x cm : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. h(x) désigne le prix (en ¤) de x kg de pommes vendues à 2, 40 ¤ le kg : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. k(x) désigne le volume d’une pyramide de hauteur x et dont l’aire de la base carrée est 9 cm2 : . . . . . .
5. l (x) désigne le volume d’un cône de hauteur 10 cm, et dont le rayon de la base vaut 5 cm : . . . . . . . . . . .
6. u(x) désigne l’aire (en cm2 ) d’une figure plane dont l’aire mesure x cm2 , après un agrandissement de
rapport 1, 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. v (x) désigne le volume (en cm3 ) d’un solide dont le volume mesure x cm3 , après une réduction de
3
rapport 10
: ..............................................................................................
E XERCICE 2
1. Soit f la fonction linéaire de coefficient −2, 5.
a) Compléter : La fonction f est définie par f : x 7−→ . . . . . . .
b) Calculer l’image de 6 par la fonction f : f (6) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer l’image de −3, 5 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Calculer le nombre qui a pour image 10 par f :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
par la fonction
3
la fonction linéaire de coefficient 73 .
Calculer le nombre qui a pour image
2. Soit f
f : ..........................................
a) Compléter : La fonction f est définie par f : x 7−→ . . . . . . .
b) Calculer l’image
¡ 3 ¢ de 2, 4 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer f − 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Calculer le nombre qui a pour image 14 par f :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer le nombre qui a pour image
5
3
par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Soit f la fonction linéaire telle que f (3) = −9.
a) Compléter : La fonction f est définie par f : x 7−→ . . . . . . .
¡ ¢
b) Calculer f − 65 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer f (−0, 7) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Calculer le nombre qui a pour image −5 par f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer le nombre qui a pour image
−1
7
par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Calculer le coefficient de la fonction linéaire f dans chacun des cas suivants :
a) L’image de 5 est −20 : f : x 7−→ . . . . . . . . . . . .
d) f (6) = −5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¡ ¢
b) L’image de −3 est 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e)
. f 23 = −2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
c) 12 est l’image de 8 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f)
. f ( 18) = 8 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Dans chaque cas, calculer le coefficient de la fonction linéaire f , et compléter le tableau de valeurs :
2
x
5
−3
x
3
− 73
7
b)
a)
f (x)
7
2, 1
f (x) −4
4, 4
1
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
F ICHE D ’ EXERCICES : FONCTIONS LINÉAIRES (2)
E XERCICE 1
Parmi ces représentations graphiques, lesquelles sont celles d’une fonction linéaire ?
y
y
y
y
y
y
1
1
1
O
1
1
x
O
1
1
x
O
1
x
1
O
E XERCICE 2
La droite (d ) représente une fonction linéaire f :
O
O
1
1
x
x
1
x
y
1. Lire l’image du nombre 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Lire l’image du nombre −1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Lire le nombre dont l’image est 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Lire le nombre dont l’image est −1 : . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5. Quel est le coefficient de cette fonction linéaire ? . .
6. Donner l’équation de la droite (d ) : . . . . . . . . . . . . . . . .
¡ ¢
7. Calculer f (7) et f − 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O
x
1
8. Est-il vrai que le point de coordonnées (7; −3, 5) est
sur la droite (d ) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Calculer les nombres x et y pour lesquels les points
de coordonnées (x; 14) et (10; y) sont sur la droite
(d ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 3
1. Dans ce repère, tracer les droites (d 1 ), (d 2 ) et (d 3 ) qui, respectivement :
y
d6
– représente la fonction linéaire f 1 de coefficient 5
– représente la fonction linéaire f 2 de coefficient −0, 4
– a pour équation y = − 43 x
2. Déterminer les coefficients des fonctions linéaires f 4 , f 5
et f 6 représentées respectivement par les droites (d 4 ), (d 5 )
et (d 6 ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
O
x
1
.............................................................
3. Ecrire les équations des droites :
(d 1 ) : . . . . . . . . . (d 4 ) : . . . . . . . . . (d 5 ) : . . . . . . . . .
d5
4. Vrai ou faux ? M(15; −6) ∈ (d 2 ) . . . . . . N (9; 11) ∈ (d 3 ) . . . . . .
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
F ICHE D ’ EXERCICES : FONCTIONS AFFINES
E XERCICE 1
1. Soit f la fonction affine définie par x 7−→ 2x − 5.
a) Calculer l’image de 6 par la fonction f : f (6) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer l’image de −3, 5 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer l’image de − 47 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Calculer le nombre qui a pour image 11 par f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer le nombre qui a pour image −1 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer le nombre qui a pour image −5 par la fonction f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Trouver un nombre qui a pour image lui-même par la fonction affine f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
2. Soit g la fonction affine définie par g : x 7−→ 32 x + 3.
a) Calculer
¡ ¢
g (2, 4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , g (−3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , g − 76 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Calculer le nombre a tel que g (a) = 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculer le nombre b tel que g (b) = 31 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résoudre l’équation g (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Soit h la fonction affine définie par x 7−→ 16 x + 23 .
x
a) Compléter le tableau suivant :
4
3
−6
f (x)
0
7
6
1
0
p
4. Soit k la fonction affine définie par x 7−→ 3x + 1
p
p
a) Calculer les images de 1, de −5 3 et de 12 par la fonction h :
.......................................................................................................
p
b) Déterminer
le nombre qui a pour image 3 par la fonction k (donnez la réponse sous la forme
p
a 3, où a est un entier relatif)
.......................................................................................................
E XERCICE 2
Dites si les situations suivantes sont modélisables par des fonctions affines ; dans l’affirmative, donnez
l’expression de la fonction sous la forme x 7−→ ax + b.
x
5m
x
4m
x
5m
10m
6m
1. l’aire du polygone grisé dans la figure n°1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. le périmètre de la figure n°2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. l’aire de la figure n°2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. l’aire du rectangle grisé dans la figure n°3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. le périmètre du rectangle grisé dans la figure n°3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
E XERCICES : REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D ’ UNE FONCTION AFFINE
E XERCICE 1
y
On donne les trois fonctions
f : x 7−→ x + 3, g : x 7−→ 31 x + 3 et h : x 7−→ −1, 5x + 3.
7
1. Calculer les images de 0 et de 3 par chacune de ces
fonctions :
f (0) = . . . . . . . . . g (0) = . . . . . . . . . h(0) = . . . . . . . . .
f (3) = . . . . . . . . . g (3) = . . . . . . . . . h(3) = . . . . . . . . .
6
2. Tracer les droites (d 1 ), (d 2 ) et (d 3 ) qui représentent ces
trois fonctions dans le repère ci-contre.
3
3. Quel est le point commun à ces trois droites ? . . . . . . . . .
1
5
4
2
.........................................................
4. Ecrire les équations de ces trois droites, et entourer en
rouge leurs coefficients directeurs, en vert leur ordonnée à l’origine :
(d 1 ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d 2 ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d 3 ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O
−4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
x
−2
−3
−4
E XERCICE 2
1. f est la fonction affine x 7−→ − 21 x + 5
a) Calculer f (0) = . . . . . . . . . et f (4) = . . . . . . . . . .
2. g est la fonction affine x 7−→ 3x − 1
a) Calculer f (−2) = . . . . . . . . . et f (3) = . . . . . . . . . .
b) Tracer la droite (d ) représentant la fonction
f dans ce repère :
b) Tracer la droite (d ) représentant la fonction
f dans ce repère :
c) Vrai ou Faux ?
– Le point A de coordonnées (16; 3) appartient à la droite (d ).
c) Vrai ou Faux ?
– Le point C de coordonnées (25; 75) appartient à la droite (d ).
– Le point B de coordonnées (−10; 9) appartient à la droite (d ).
– Le point D de coordonnées ( 12
7 ; 4) appartient à la droite (d ).
12y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
7
6
5
4
3
2
1
O
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
x
−2
3ème
Page 1/2
O
−5 −4 −3 −2 −1−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
1
2
3
4
Fiche d’exercices
x
E XERCICE 3
y
5
4
Dans le repère ci-contre, tracer les
droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) et (d 4 ) représentations graphiques respectives des fonctions
f 1 : x 7−→ −x + 2,
f 2 : x 7−→ 2, 5x,
f 3 : x 7−→ 35 x − 4,
f 4 : x 7−→ −2x − 1.
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
O
−1
1
2
3
x
4
−2
−3
−4
−5
6
E XERCICE 4
En graduant convenablement les axes du repère, tracer la droite représentant la fonction affine donnée :
x 7−→ 12x
x 7−→ 40x + 50
y
O
E XERCICE 5
x 7−→ 0, 05x + 3
y
y
O
x
y
5
4
x
(d′ )
1. En lisant sur ce graphique, donner :
2
– l’image de −2 par la fonction f : . . . . . . . . . . . .
1
−2
x
Dans le repère ci-contre, les droites (d ) et (d ′ )
sont les représentations graphiques respectives
de deux fonctions affines f et g .
3
O
−5 −4 −3 −2 −1
−1
O
1
2
3
4
(d)
– f (0) = . . . . . . . . . , f (4) = . . . . . . . . . .
x
– le nombre dont l’image par f est 5 : . . . . . . .
2. En lisant sur ce graphique, donner :
−3
– l’image de 4 par la fonction g : . . . . . . . . . . . . .
−4
– g (−2) = . . . . . . . . . , g (1) = . . . . . . . . . .
−5
– le nombre dont l’image par g est −3 : . . . . . .
−6
– le nombre x tel que g (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . .
3. Les deux fonctions ont pour expressions x 7−→ − 34 x + 2 et x 7−→ 32 x − 3
a) laquelle est f ? laquelle est g ? Retrouver par le calcul les résultats des questions 1. et 2.
b) Résoudre l’équation − 43 x +2 = 32 x −3 ; quel est le nombre qui donne la même image par f et par g ?
Placer le point correspondant sur le graphique, et donner ses coordonnées exactes par le calcul.
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
F ICHE D ’ EXERCICES : DÉTERMINER UNE FONCTION AFFINE
E XERCICE 1
On cherche à déterminer la fonction affine f : x 7−→ ax + b vérifiant f (−1) = 5 et f (5) = 2
Méthode n°1 :
Méthode n°2 :
On utilise la propriété de proportionnalité des accroissements :
De f (−1) = 5 on tire l’égalité −a + b = 5
et de f (5) = 2 on tire 5a + b = 2
On soustrait membre à membre les deux
égalités : (−a + b) − (5a + b) = 5 − 2,
ce qui donne −a + b − 5a − b = 3,
c’est-à-dire −6a = 3,
3
= −0, 5 .
qui donne a = −6
+6
x
f (x)
5
2
−1
5
−3
Lorsque x augmente de 6, son image diminue de 3 ; on doit donc
Variations de f (x) −3
avoir a =
d’où a = −0, 5 . De plus, de
=
Variations de x
6
On reprend l’égalité −a + b = 5 pour trouver
la valeur de b, en remplaçant a par −0, 5 :
cela donne −(−0, 5) + b = 5,
c’est-à-dire 0, 5 + b = 5
qui nous donne b = 5 − 0, 5 = 4, 5
En conclusion, la fonction affine recherchée
est f : x 7−→ −0, 5x + 4, 5.
f (−1) = 5 on tire l’égalité −a + b = 5 , ce qui nous donne, en remplaçant a par sa valeur, −(−0, 5)+b = 5, c’est-à-dire 0, 5+b = 5 d’où
l’on tire b = 5 − 0, 5 = 4, 5
En conclusion, la fonction affine recherchée est
f : x 7−→ −0, 5x + 4, 5.
En suivant l’une de ces méthodes, donner l’expression de la fonction affine f dans chacun des cas suivants :
1. f (0) = 5 et f (4) = 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. f (−2) = 1 et f (6) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. f (2) = 3 et f (5) = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. f (3) = 5 et f (−5) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 2
y
5
(d′ )
4
3
A
1. a) Lire les coordonnées des points A et B
2
................................................
D
1
O
−5 −4 −3 −2 −1
−1
b) Compléter : f (. . .) = . . . et f (. . .) = . . .
1
2
3
B
4
x
c) Déterminer l’expression de la fonction f .
................................................
−2
−3
C
−4
Dans le repère ci-contre, les droites (d ) et (d ′ ) sont
les représentations graphiques respectives de deux
fonctions affines f et g .
2. a) Lire les coordonnées des points C et D
................................................
(d)
b) Compléter : g (. . .) = . . . et g (. . .) = . . .
−5
−6
c) Déterminer l’expression de la fonction g .
................................................
7
3. Ecrire les équations des deux droites (d ) et (d ′ ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
F ICHE D ’ EXERCICES : FONCTIONS AFFINES (4)
E XERCICE 1
1. Dans un repère orthogonal (1cm pour 5 unités sur l’axe des abscisses, et 1cm pour 1 unité sur l’axe des ordonnées), tracez les représentations graphiques des fonctions x 7−→ 0, 1x, x 7−→ 0, 25x − 3 et x 7−→ 4.
2. Résoudre l’équation 0, 1x = 4 ; interpréter graphiquement la solution de cette équation (mettre en évidence
comment trouver cette valeur sur le graphique en utilisant des pointillés).
3. Résoudre graphiquement l’équation 0, 1x = 0, 25x −3 en laissant apparents les traits de construction ; retrouver
le résultat par le calcul.
4. Résoudre graphiquement l’inéquation 0, 25x − 3 Ê 4 ; retrouver ce résultat par le calcul.
E XERCICE 2
DNB Groupe Ouest 2006
Dans un magasin, une cartouche d’encre pour imprimante coûte 15 ¤. Sur un site internet, cette même cartouche
coûte 10 ¤, avec des frais de livraison fixes de 40 ¤ quel que soit le nombre de cartouches achetées.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de cartouches achetées
Prix à payer en magasin en euros
Prix à payer par internet en euros
2
5
11
14
2. Le nombre de cartouches achetées est noté x.
a) On note P A le prix à payer pour l’achat de x cartouches en magasin.
Exprimer P A en fonction de x.
b) On note P B le prix à payer, en comptant la livraison, pour l’achat de x cartouches par internet. Exprimer P B
en fonction de x.
3. Dans un repère orthogonal, tracer les droites (d ) et (d ′ ) définies par :
– d représente la fonction x 7−→ 15x
– d ′ représente la fonction x 7−→ 10x + 40
4. En utilisant le graphique précédent :
a) déterminer le prix le plus avantageux pour l’achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents les traits de
constructions.
b) Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il plus avantageux pour elle d’acheter des cartouches en magasin ou sur internet ? Vous laisserez apparents les traits de constructions.
5. À partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Expliquer
votre réponse.
E XERCICE 3
DNB Amérique du Nord 2005
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4 cm et AC = 3 cm.
M est un point de [BC ], P est un point de [AB ] et Q un point de [AC ] tels que le quadrilatère AP MQ soit un
rectangle. Notons x la longueur B P en cm.
Partie I
1. Montrer que P M = 43 x.
2. Montrer que le périmètre du rectangle AP MQ est égal à 8 − x2 .
3. a) Expliquer pourquoi on a 0 É x É 4.
b) Est-il possible de placer M sur [BC ] pour que le périmètre du rectangle AP MQ soit égal à : 7 cm ? 4 cm ?
10 cm ?
4. Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7 cm.
Partie II
3ème
Page 1/2
Fiche d’exercices
1. a) Calculer la longueur BC .
b) Montrer que B M =
5x
4 .
2. En déduire, en fonction de x, le périmètre du triangle B P M .
3. Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions : x 7−→ 3x
et x 7−→ 8− x2
4. a) Déterminer graphiquement une valeur approchée de x pour laquelle B P M et AP MQ ont le même périmètre.
b) Trouver par un calcul la valeur exacte de x.
E XERCICE 4
DNB Bordeaux 2005
Un vidéo-club propose différents tarifs pour l’emprunt de DVD.
– Tarif A : 4 ¤ par DVD emprunté.
– Tarif B : 2,50 ¤ par DVD emprunté, après avoir payé un abonnement de 18 ¤.
– Tarif C : abonnement de 70 ¤ pour un nombre illimité de DVD.
1. Compléter le tableau suivant indiquant le prix à payer pour 5 ou 15 ou 25 DVD, aux tarifs A, B ou C.
5 DVD
15 DVD
25 DVD
Coût au tarif A
Coût au tarif B
Coût au tarif C
On note x le nombre de DVD empruntés.
2. On admet que les trois tarifs peuvent être exprimés à l’aide des fonctions suivantes :
f : x 7−→ 2, 5x + 18
g : x 7−→ 70
h : x 7−→ 4x
a) Associer à chaque tarif la fonction qui lui correspond.
b) Tracer dans un même repère les représentations graphiques de ces trois fonctions. On prendra en abscisse
1 cm pour 2 DVD et en ordonnée 1 cm pour 5 ¤.
3. a) Résoudre l’équation : 4x = 2, 5x + 18. Interpréter le résultat.
b) Mettre en évidence comment trouver la solution de cette équation sur le graphique en utilisant des pointillés.
4. a) Résoudre graphiquement l’inéquation : 70 É 2, 5x + 18, en laissant apparents les traits de construction.
b) Retrouver ensuite le résultat par le calcul.
5. Synthèse : donner le tarif le plus intéressant selon le nombre de DVD empruntés.
E XERCICE 5
DNB Pondichéry 2004
Une association de jeunes dessinateurs décide de publier un livret présentant les œuvres de chacun de ses membres.
Ils ont le choix entre les tarifs de deux imprimeurs.
Tarif A : 2,4 euros par exemplaire.
Tarif B : 2,16 euros par exemplaire, auxquels on ajoute 30 euros de frais de livraison.
On appelle x le nombre d’exemplaires imprimés.
1. Compléter le tableau ci-dessous.
Nombre d’exemplaires imprimés
Prix en euros selon le tarif A
Prix en euros selon le tarif B
50
540
354
2. Écrire, en fonction de x, le prix payé pour le tarif A, puis pour le tarif B.
3. Construire dans un repère (Prendre sur l’axe des abscisses : 1 cm pour 10 exemplaires ; sur l’axe des ordonnées :
1 cm pour 50 euros) les représentations graphiques des fonctions suivantes :
p 1 : x 7→ 2, 4x
p 2 : x 7→ 2, 16x + 30
4. Les deux représentations graphiques se coupent en un point M . Calculer les coordonnées de M .
5. Déduire des questions 3. et 4. la condition pour laquelle le tarif B est le plus intéressant.
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
E XERCICES : POURCENTAGES ET FONCTIONS LINÉAIRES
E XERCICE 1
Compléter les phrases suivantes :
Ï Prendre 20 % d’une quantité, cela revient à multiplier cette quantité par . . . . . . . . . . . .
Ï Prendre . . . . . . . . . . . . % d’une quantité, cela revient à multiplier cette quantité par 0,08
Ï Augmenter une quantité de 15 %, cela revient à multiplier cette quantité par . . . . . . . . . . . .
Ï Augmenter une quantité de . . . . . . . . . . . . %, cela revient à multiplier cette quantité par 1,06
Ï Diminuer une quantité de 25 %, cela revient à multiplier cette quantité par . . . . . . . . . . . .
Ï Diminuer une quantité de . . . . . . . . . . . . %, cela revient à multiplier cette quantité par 0,9
E XERCICE 2
A chacune des situations suivantes on peut associer une fonction linéaire ; mais laquelle ?
Prendre 20 % d’une quantité x •
Augmenter une quantité x de 10 % •
Diminuer une quantité x de 40 % •
Prendre 75 % d’une quantité x •
Augmenter une quantité x de 1 % •
Diminuer une quantité x de 4 % •
• x 7−→ 0.75x
• x 7−→ 0, 2x
• x 7−→ 0, 96x
• x 7−→ 1, 1x
• x 7−→ 0, 6x
• x 7−→ 1, 01x
E XERCICE 3
1. Dans un magasin, le prix affiché sur un article est 350 ¤ ; après remise, ce prix est tombé à 297,50 ¤.
Calculer le pourcentage de remise.
2. La population d’une ville A augmente de 3 % tous les ans. En 2004, la ville comptait 25000 habitants.
Combien en compte-t-elle en 2005 ? Combien en comptait-elle en 2003 ?
3. Un libraire accorde un réduction de 5 % sur tous les livres du magasin.
a) Exprimer le prix réduit y en fonction du prix initial x.
b) Un livre coûte 32,80 ¤ ; calculer le prix réduit de ce livre.
c) Calculer le prix initial d’un livre payé 24,08 ¤.
4. On augmente de 10 % la longueur des côtés d’un triangle, dont l’aire vaut x cm2 .
a) Calculer le pourcentage d’augmentation de l’aire du triangle.
b) Exprimer l’aire du triangle après agrandissement, y, en fonction de x.
c) Si l’aire du triangle initial est de 15 cm2 , quelle sera l’aire après agrandissement ?
d) Après agrandissement, l’aire du triangle est de 24, 2 cm2 . Quelle était l’aire initiale de ce triangle ?
E XERCICE 4
Méfiance...
1. Entre 1995 et 2000, la valeur marchande d’une maison a augmenté de 20 % ; puis, entre 2000 et 2005,
la valeur marchande de cette maison a encore augmenté de 30 %. Globalement, de quel pourcentage
cette valeur a-t-elle augmenté entre 1995 et 2005 ?
2. En Février, il y a eu 20 % de plus d’accidents de la route qu’en Janvier. En Mars, il y en a eu 20 %
de moins qu’en Février. D’après vous, en Mars, y a-t-il eu autant, moins, ou plus d’accidents qu’en
Janvier ?
3ème
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 11
I NTRODUCTION AUX FONCTIONS : DISTANCE DE
FREINAGE
Quelques informations à lire attentivement avant de commencer :
La vitesse est un facteur déterminant ou aggravant d’accident de la route ; elle peut être mise en
cause dans un accident mortel sur deux. Si la vitesse ne constitue pas toujours le facteur unique
de l’accident, elle en est très souvent un facteur aggravant : une baisse de vigilance, de mauvaises
conditions météorologiques, un dépassement dangereux, un taux d’alcoolémie trop élevé. . . ont des
conséquences encore plus dangereuses lorsqu’ils sont associés avec une vitesse élevée.
La vitesse est souvent inadaptée aux lieux et aux circonstances : un véhicule peut rouler trop vite
dans une situation donnée (par exemple en cas de pluie), dans un lieu donné (à la sortie d’une école
ou dans un virage), ou encore en fonction de l’état du conducteur (sa fatigue) sans pour autant enfreindre les limites légales. Ce qui importe, ce n’est pas seulement sa vitesse mais sa vitesse par rapport aux autres.
Un cyclomoteur est conçu pour ne pas dépasser les 45 km/h : Cette vitesse est relativement élevée
pour un engin ne pesant pas plus de 75 kg. Si le moteur est gonflé au-delà de la puissance légale, les
freins et les pneus (en particulier) ne sont plus adaptés : Le risque augmente alors considérablement.
1 Rouler plus vite : une nécessité ?
Rappel :
La vitesse moyenne v d’un objet mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée t du
parcours. Si d est en kilomètres et t en heures, alors v est en kilomètre par heure (km.h−1 ).
d
On a donc v = .
t
1. Je dois parcourir une distance de 9 km en scooter.
a) Si je roule en moyenne à 40 km.h−1 . Combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir
ces 9 km ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Si je roule en moyenne à 45 km.h−1 . Combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir
ces 9 km ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Quel est le gain de temps réalisé en augmentant ma vitesse de 5 km.h−1 ? Que vous inspire ce
résultat ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
2. Je dois parcourir une distance de 70 km en voiture, sur autoroute.
a) Si je roule en moyenne à 130 km.h−1, combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir
ces 70 km ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Si je roule en moyenne à 140 km.h−1 , combien de temps, en minutes, me faudra-t-il pour parcourir ces 70 km ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Quel est le gain de temps réalisé en augmentant ma vitesse de 5 km.h−1 ? Que vous inspire ce
résultat ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
Classe
Page 1/4
2 Distance de freinage
Définition :
Tout objet en mouvement cumule de l’énergie appelée énergie cinétique ; lorsque la vitesse augmente, l’énergie cinétique augmente également. . .
Pour arrêter un objet en mouvement, il faut que son énergie cinétique devienne nulle : c’est le freinage, qui prend du temps et nécessite une certaine distance, la distance de freinage.
1. Soit v la vitesse d’un véhicule en km.h−1 ; la distance de freinage d F en mètres de ce véhicule est
v2
( f est un coefficient qui dépend de l’état de la route).
254 × f
a) Dans des conditions "normales", lorsque la route est sèche, le coefficient f est égal à 0,8. Calculer
pour chacune des vitesses v du tableau ci-dessous la distance de freinage d F .
v (en km.h−1 )
0
10
20
30
40
50
60
d F (en m)
b) Lorsque la route est mouillée, en cas de pluie, le coefficient f est égal à 0,4. Calculer pour chacune
des vitesses v du tableau ci-dessous la distance de freinage d F .
donnée par la relation d F =
v (en km.h−1 )
d F (en m)
0
10
20
30
40
50
60
2. Je roule en scooter, en ville, à une vitesse de 40 km.h−1 .
a) A l’aide des tableaux, donner la distance de freinage du scooter sur route sèche, puis sur route
mouillée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Sur la route, un enfant surgit brusquement ; au moment où je commence à freiner, l’enfant est à 9
m de moi.
– Y a-t-il un risque de collision ? Comment doit-on adapter sa vitesse ? Expliquer la réponse. . . . . .
.....................................................................................................
.....................................................................................................
– Déterminer par le calcul la vitesse maximale à laquelle j’aurais dû rouler sur la route mouillée
pour éviter l’accident. On donnera d’abord une valeur approchée à l’unité en km.h−1 .. . . . . . . . . .
.....................................................................................................
.....................................................................................................
3. Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la distance de freinage d F en fonction
de la vitesse v , sur route mouillée (on utilisera les données du tableau de la question 2.b.).
d F en m
35
30
25
20
15
10
5
v en km.h−1
O
10
20
30
5
Classe
Page 2/4
40
50
60
4. En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
– Quelle est la distance de freinage lorsqu’on roule à 45 km.h−1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– A quelle vitesse correspond une distance de freinage de 9 m ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(faire le lien avec la question 3)
5. En utilisant les informations acquises lors de cette partie, commenter le tableau ci-dessous :
Route sèche
Route mouillée
Vitesses maximales en km.h−1
En agglo Hors agglo Voie express
50
90
110
50
80
100
Autoroute
130
110
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
3 Distance d’arrêt
La distance de freinage n’obéit pas à une simple loi physique : le conducteur a aussi besoin d’un temps
de réaction pour identifier la situation, prendre une décision adéquate (décider de freiner) et répondre
efficacement (freiner). On estime que dans des conditions psychologiques et physiologiques normales,
ce temps de réaction oscille entre 0,6 seconde et 2 secondes.
1. Entre le moment où le conducteur identifie la situation et commence effectivement à freiner, il a
donc parcouru une certaine distance, appelée "distance de réaction".
a) Je roule en voiture sur une route nationale à 90 km.h−1. En considérant que mon temps de réaction
est d’une seconde, calculer la distance de réaction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
b) Je roule maintenant sur une autoroute, à 126 km.h−1 . Je suis fatigué, mon attention est moins
soutenue, mon temps de réaction s’allonge d’une demi-seconde. Calculer la distance de réaction :
.......................................................................................................
Définition :
Finalement, entre le moment où le conducteur identifie la situation et s’arrête effectivement, il a
donc parcouru une certaine distance, appelée distance d’arrêt : La distance d’arrêt est la somme de
la distance de réaction et de la distance de freinage. En notant d A la distance d’arrêt et d R la distance
de réaction, on a donc : d A = d R + d F .
Dans la suite, on suppose que le temps de réaction du conducteur est égal à 1 seconde.
2. Compléter le tableau ci-dessous, donnant les distances de réaction, de freinage et d’arrêt d’un individu roulant sur route sèche ( f = 0,8), en fonction de sa vitesse :
v (en km.h−1 )
d R (en m)
d F (en m)
d A (en m)
0
20
40
60
80
100
120
140
3. a) Exprimer en fonction de la vitesse v (en km.h−1 ) d’un véhicule, sa distance d’arrêt d 1 (en m) sur
route sèche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
b) Exprimer en fonction de la vitesse v (en km.h−1 ) d’un véhicule, sa distance d’arrêt d 2 (en m) sur
route mouillée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
Classe
Page 3/4
c) Dans le repère ci-dessous, tracer les représentations graphiques de d 1 (en bleu) et d 2 (en rouge)
en fonction de la vitesse v , pour v compris entre 0 et 140 km.h−1 .
d en m
250
200
150
100
50
v en km.h−1
10
O
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
d) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de la distance d’arrêt sur route sèche, puis
sur route mouillée, d’un véhicule dont la vitesse est de 95 km.h−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
.......................................................................................................
e) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de la vitesse sur route sèche, puis sur route
mouillée d’un véhicule dont la distance d’arrêt est de 120m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................
.......................................................................................................
4. Compléter ce tableau récapitulatif :
Vitesse (en km.h−1 )
Distance d’arrêt (en m)
−1
Vitesse (en km.h )
Distance d’arrêt (en m)
Classe
Sur route sèche
50
90
110
130
Sur route mouillée
50
90
110
130
Page 4/4
C HAPITRE 12
C OURS : S YSTÈMES D ’ ÉQUATIONS
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Système de
équations à
inconnues.
deux
deux
Résolution de problèmes du premier
degré ou s’y ramenant.
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
C OMMENTAIRES
Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier
degré à deux inconnues admettant
une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique.
Mettre en équation et résoudre un
problème conduisant à une équation, une inéquation ou un système
de deux équations du premier degré.
Pour l’interprétation graphique, on
utilisera la représentation des fonctions affines.
Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.
comme en classe de 4e, on dégagera
à chaque fois les différentes étapes
du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation
du résultat.
1 Equation à deux inconnues, système
Définition :
Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s’écrire sous la forme
ux + v y = w, où u, v et w sont trois nombres réels.
Un couple (x0 ; y 0 ) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l’on remplace x par x0 et y par y 0 , l’égalité est vérifiée.
Par exemple, on considère l’équation 2x − 4y = 4.
ä est
Ï le couple (5; 2)
✓, n’est pas un couple solution de cette équation, car 2 × 5 − 4 × 2 = 2 6= 4
❒
✓ est
❒
Ï le couple (4; 1)
un couple solution de cette équation, car 2 × 4 − 4 × 1 = 4
ä n’est pas
Interprétation graphique des couples solutions :
En fait, si les nombres u et v sont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solutions, qui sont les coordonnées des points de la droite (d ) d’équation y = ax + b, où a = − uv et b = wv .
y
Dans notre exemple,
l’ensemble des couples solutions de l’équation 2x −4y = 4
est donc constitué des coordonnées des points de la
droite (d ) d’équation y = 0, 5x − 1.
Nous pouvons lire quelques couples solutions de l’équation 2x −4y = 4, comme (4; 1) et (−2; −2), ou encore (0; −1)
(voir ci-contre), mais on conçoit qu’il existe une infinité
de tels couples (un pour chaque point de la droite (d )).
3ème
Page 1/3
1
O
(4; 1)
x
1
(0; −1)
(d)
(−2; −2)
Cours systèmes
Définition :
Un système de½ deux équations linéaires à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire
ux + v y = w
sous la forme
où u, v , w, u ′ , v ′ et w ′ sont des nombres réels.
u′x + v ′ y = w ′
Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples qui sont solutions des
deux équations à la fois.
½
2x − 4y = 4
Par exemple,
est un système a deux équations à deux inconnues.
x − 3y = 6
½
ä, est
2×4 − 4×1 = 4
un couple solution de ce système, car
Ï le couple (4; 1)
✓ n’est pas
❒
4 − 3 × 1 = 1 6= 6
½
✓, est
❒
2 × (−6) − 4 × (−4) = 4
un couple solution de ce système, car
Ï le couple (−6; −4)
ä n’est pas
−6 − 3 × (−4) = 6
2 Méthodes de résolution d’un système
Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deux manières différentes :
½
2x − 4y = 4
x − 3y = 6
Première méthode : substitution
Etape 1 : On exprime, grâce à l’une des deux équations, une inconnue en
fonction de l’autre. Ici il est facile d’exprimer x en fonction de y grâce à la
seconde équation :
½
2x − 4y = 4
x = 3y + 6
Etape 2 : On substitue x par 3y + 6 dans la première équation :
½
2(3y + 6) − 4y = 4
x = 3y + 6
Etape 3 : On développe, on réduit et on résout l’équation d’inconnue y
ainsi obtenue :
½
6y + 12 − 4y = 4
x = 3y + 6
½
2y + 12 = 4
x = 3y + 6
Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la seconde équation pour trouver x
Etape 5 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y conviennent :
½
2y = −8
x = 3y + 6
½
y = −4
x = 3y + 6
½
y = −4
x = 3(−4) + 6
½
y = −4
x = −6
½
2 × (−6) − 4 × (−4) = 4
(−6) − 3 × (−4) = 6
Etape 6 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6; −4).
3ème
Page 2/3
Cours systèmes
Deuxième méthode : élimination par combinaison
Etape 1 : On multiplie une des équations (ou les deux) par
un (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficients
d’une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la seconde équation par −2 :
½
2x − 4y = 4
−2x + 6y = −12
Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membre
pour éliminer l’une des inconnues, et on remplace l’une des
équations (par exemple, ici, la seconde) par l’équation ainsi obtenue :
½
2x − 4y = 4
(2x − 4y) + (−2x + 6y) = 4 + (−12)
½
2y − 4y = 4
2y = −8
Etape 3 : On résout l’équation d’inconnue y ainsi obtenue :
½
2x − 4y = 4
y = −4
Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la première équation pour trouver x
½
2x − 4 × (−4) = 4
y = −4
Etape 5 : On résout l’équation d’inconnue x ainsi obtenue :
½
2x = 4 − 16
y = −4
½
2x = −12
y = −4
½
x = −6
y = −4
Etape 6 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y
conviennent :
½
2 × (−6) − 4 × (−4) = 4
(−6) − 3 × (−4) = 6
Etape 7 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6; −4).
Interprétation graphique
y
Ï On commence par transformer les deux équations du système, de façon à les mettre sous la
forme d’une équation de droite du type (y = ax +b).
½
½
½
y = 0, 5x − 1
2x − 4y = 4
−4y = −2x + 4
x − 3y = 6
−3y = −x + 6
y = 13 x − 2
1
x = −6
O
1
x
Ï Dans un repère, on trace les deux droites correspondant à ces deux équations.
Soit (d ) la droite d’équation y = 0, 5x − 1,
et (d ′ ) la droite d’équation y = 13 x − 2
les couples solutions de ce système sont les coordonnées des points communs aux deux droites,
s’il y en a.
3ème
Page 3/3
(d′ )
y = −4
(d)
Cours systèmes
C HAPITRE 12
F ICHE D ’ EXERCICES : SYSTÈMES D ’ ÉQUATIONS
E XERCICE 1
Dans chaque cas, donner trois couples solutions de l’équation donnée :
1. 2x − 3y = 4
2. x − 5y = −3
3. −3x + 7y = 1
4.
x y
− =1
2 6
E XERCICE 2
1. Résoudre les trois systèmes suivants en utilisant la méthode de substitution :
½
½
½
3x + 5y = 4
x − 2y = 3
3x − y = −3
a)
b)
c)
2x + y = 5
−4x + 3y = 3
5x + 4y = 12
2. Résoudre les trois systèmes suivants en utilisant la méthode d’élimination par combinaison :
½
½
½
3x − 5y = 3
7x − 4y = 1
4x − 3y = 0
a)
b)
c)
7x + 5y = 17
−5x + 2y = −1
6x + 7y = 4
3. Résoudre les quatre systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix :
( x
½
½
½
2x − y = −8
7x + y = 3
5x − 7y = 10
5 −
a)
b)
c)
d)
−x + 4y = 1
−11x − 3y = 15
−6x + 8y = 5
−2x +
y
2
y
4
=1
= 11
E XERCICE 3
Dans chaque cas :
1. résoudre le système par la méthode de votre choix
2. confirmer votre réponse par le graphique, en traçant dans un repère les deux droites correspondant
aux équations du système, et en lisant les coordonnées de leur point d’intersection.
½
½
2x + y = 1
x + 3y = 3
−2x + 4y = −6
3x + 2y = −5
−5
−4
−3
E XERCICE 4
−2
5y
5y
4
4
3
3
2
2
1
1
O
−1
−1
1
2
3
4
x
−5
−4
−3
−2
O
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
1
2
3
4
x
DNB Madagascar 2003
Trouver deux nombres, connaissant leur somme 2 003 et leur différence 51.
E XERCICE 5
DNB Groupe Nord 2006
1. Résoudre le système suivant :
3ème
½
8x + 3y = 39, 5
7x + 9y = 50, 5
Page 1/2
Fiche d’exercices
2. Une balade d’une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.
Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 ¤. Le second, composé de 7
adultes et de 9 enfants, paie 50,50 ¤.
Quel est donc le prix d’un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?
E XERCICE 6
DNB Groupe Sud 2006
1. Résoudre le système
½
6x + 5y = 57
3x + 7y = 55, 5
2. Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes.
Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 ¤ ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 ¤. Quel
est le prix d’une boîte ? Quel est le prix d’un album ?
E XERCICE 7
DNB Amérique du Nord 2005
1. Résoudre le système :
½
10x − 3y = 35
5x − 4y = −20
¶
µ
¶
x −5
x + 20
2. Montrer que les valeurs trouvées pour x et y vérifient la condition 8
=3
y −5
y + 20
µ
E XERCICE 8
DNB Groupe Est Septembre 2004
Au rugby, un essai transformé permet d’augmenter le score de l’équipe de 7 points, un essai non transformé augmente le score de 5 points et une pénalité augmente le score de 3 points.
Si, par exemple, au cours d’un match, l’équipe de France marque 4 essais transformés, 2 essais non
transformés et 3 pénalités, le nombre de points marqués par la France est : 4 × 7 + 2 × 5 + 3 × 3 = 47.
½
x + y =7
1. Résoudre le système suivant :
7x + 5y = 39
2. Lors d’une autre rencontre, l’équipe de France a marqué 7 essais (certains transformés et d’autres
non) et 2 pénalités pour un total de 45 points.
Déterminer le nombre d’essais transformés et le nombre d’essais non transformés marqués par l’équipe
de France au cours de ce match.
E XERCICE 9
Dans chaque cas :
1. tenter de résoudre le système par la méthode de votre choix
2. éclairer votre réponse par le graphique, en traçant dans un repère les deux droites correspondant aux
équations du système.
½
½
2x + y = 1
x + 3y = 3
−4x − 2y = 6
5x + 15y = 15
4y
4y
3
3
2
2
1
1
O
−5 −4 −3 −2 −1
−1
3ème
1
2
3
4
x
O
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
Page 2/2
1
2
3
4
x
Fiche d’exercices
C HAPITRE 13
C OURS : R OTATION - ANGLES
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Rotation, angles, polygones réguliers
Images de figures par
une rotation
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Construire l’image par
une rotation donnée d’un
point, d’un cercle, d’une
droite, d’un segment et
d’une demi-droite.
Polygones réguliers
Construire un triangle
équilatéral, un carré,
un hexagone régulier
connaissant son centre et
un sommet.
Les activités sur les polygones réguliers, notamment leur tracé à partir d’un côté, porteront
sur le triangle équilatéral, le carré, l’hexagone et
éventuellement l’octogone. Certaines d’entre elles
pourront conduire à utiliser la propriété de l’angle
inscrit.
Les activités de recherche de transformations laissant invariant un triangle équilatéral ou un carré
sont l’occasion de revenir sur les transformations
étudiées au collège.
Angle inscrit
Comparer un angle inscrit et l’angle au centre
qui intercepte le même
arc.
On généralise le résultat relatif à l’angle droit,
établi en classe de quatrième. Cette comparaison
permet celle de deux angles inscrits interceptant
le même arc, mais la recherche de l’ensemble des
points du plan d’où l’on voit un segment sous
un angle donné, autre qu’un angle droit, est hors
programme.
3ème
C OMMENTAIRES
Les activités porteront d’abord sur un travail expérimental permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures à partir desquelles seront dégagées des propriétés d’une rotation (conservation
des longueurs, des alignements, des angles, des
aires). Ces propriétés pourront être utilisées dans
la résolution d’exercices simples de construction.
Dans des pavages on rencontrera des figures invariantes par rotation.
Les configurations rencontrées permettent d’utiliser les connaissances sur les cercles, les tangentes,
le calcul trigonométrique...
Page 1/4
Cours rotation - angles
1 Image d’une figure par une rotation
Définition :
O désigne un point du plan, M un point différent de O et α la mesure d’un angle en degrés.
L’image M 1 du point M par la rotation de centre O et de rayon α (dans un sens précisé) est tel que :
OM 1 OM ;
à1 α en tenant compte du sens de la rotation ;
MOM
Remarque : Il existe deux sens de rotation :
÷
– le sens inverse des aiguilles d’une montre , encore appelé sens direct ou positif :
– le sens des aiguilles d’une montre, encore appelé sens indirect ou négatif :
Constructions :
Rotation de sens direct
centre O, angle 140
ö
ö
;
Rotation de sens indirect
centre O, angle 65
÷
x
M′
M
140◦
O
O
M
65◦
M′
x
Pour construire le point M 1 image de M par une rotation de centre O et d’angle α, on trace la demi-droite
rOM q, puis on trace la demi-droite rOx q avec le rapporteur (attention au sens de la rotation ! !) puis, avec
le compas pointé en O, on prend l’écartement OM que l’on reporte sur rOx q. Le point d’intersection est
le point M 1 , image du point M.
Cas particuliers :
– Une rotation de centre O et d’angle 180° est une – Une rotation de centre O et d’angle 90° s’appelle
un quart de tour.
symétrie (centrale) de centre O.
M
O
O
M′
180◦
M
x
M′
x
3ème
Page 2/4
Cours rotation - angles
Propriétés de conservation :
Soient A, B, C , I quatre points et A 1 , B 1 , C 1 , I 1 leurs images respectives par une rotation.
La rotation conserve les distances : A 1 B 1 AB.
La rotation conserve les aires.
1 B 1C 1 .
à
 A
La rotation conserve les angles : ABC
La rotation conserve l’alignement : si A, B, C sont alignés alors A 1 , B 1 , C 1 le sont aussi.
La rotation conserve les milieux : si I est le milieu du segment r AB s alors I 1 est le milieu du segment
r A 1 B 1 s.
La rotation transforme un segment en un segment, une droite en une droite, une demi-droite en
une demi-droite.
La rotation transforme un cercle en un cercle de même rayon.
Exemple :
La figure F 1 est l’image de F par la rotation de centre O, d’angle 110°, de sens direct. F 1 et F sont
superposables. Par cette rotation, A 1 , B 1 , C 1 sont les images respectives de A, B et C .
C
F
B
F
′
′
A
J
I
B
C′
I′
J′
110◦
A′
O
L’image du segment r AB s est le segment r A 1 B 1 s et on a A 1 B 1 = AB.
L’image du cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I 1 et de même rayon.
L’image de la droite (BC ) est la droite (B 1C 1 ).
Les images des deux droites parallèles (I K ) et (C B) sont deux droites parallèles : (I 1 K 1 ) et (C 1 B 1 ).
Les images des deux droites perpendiculaires (I K ) et (C A) sont deux droites perpendiculaires : (I 1 K 1 )
et (C 1 A 1 ).
2 Polygones réguliers
Définition :
Un polygone régulier est un polygone dont tous les sommets sont sur un même cercle et dont tous
les côtés ont la même longueur.
Exemples :
3ème
Page 3/4
Cours rotation - angles
Le carré
Le triangle équilatéral
360
4
360
43
= 120◦
= 90◦
O
O
L’octogone régulier
L’hexagone régulier
360
6
= 60◦
360
8
O
= 45◦
O
Propriété :
Tous les angles au centre d’un polygone régulier sont égaux.
Si n est le nombre de côtés de ce polygone régulier alors l’angle au centre est égal à
360
.
n
3 Le théorème de l’angle inscrit
Vocabulaire :
Soit C un cercle de centre O.
ƒ est inscrit dans le cercle C lorsque son
– On dit qu’un angle AMB
sommet M appartient au cercle C et lorsque rM A s et rMB s sont
des cordes du cercle C .
ƒ intercepte l’arc A B.
– On dit que l’angle AMB
Œ
 est l’angle au centre associé à l’angle inscrit AMB
ƒ:
– L’angle AOB
ŒB .
ces deux angles interceptent le même arc A
M
N
O
A
B
Théorème (dit de l’angle inscrit) :
Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre
.
ƒ 1 AOB
associé : AMB
2
En conséquence, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deux angles sont égaux :
ƒ ƒ
AN B
AMB
3ème
Page 4/4
Cours rotation - angles
C HAPITRE 13
E XERCICES : THÉORÈME DE L’ ANGLE INSCRIT
E XERCICE 1
DNB Groupe Nord 2004
1. Tracer sur la copie un segment [E F ] de longueur 7 cm et de milieu O.
Tracer le cercle de diamètre [E F ] puis placer un point G sur le cercle tel que F
EG = 26°.
2. Démontrer que le triangle E FG est rectangle en G.
3. Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre.
 (justifier votre réponse).
4. Déterminer la mesure de l’angle GOF
E XERCICE 2
DNB Groupe Est 2005
E
50◦
B
Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle :
C
40◦
A
E XERCICE 3
DNB Antilles - Guyane 2006
A
On considère un cercle C de diamètre H A = 9 cm. M est un
point du cercle C tel que M H = 5, 3 cm et T un autre point du
cercle C . (la figure est à l’échelle 2/3).
M
1. Justifie que le triangle M AH est un triangle rectangle.
ƒ
2. Calcule la mesure de l’angle H
AM , arrondi au degré près.
T
ƒ
3. Calcule la mesure de l’angle HT
M , arrondi au degré près.
H
E XERCICE 4
Soit C un cercle de centre O, dont [BC ] est un diamètre.

Une corde [AD] coupe le segment [BC ] en I . On a B
AD = 25◦ et AC
B = 50◦.
1. Fais une figure.
2. Détermine les mesures des angles suivants :
C
AB = . . . . . . . . . . . .
 = ............
ABC

AI B = . . . . . . . . . . . .
 = ............
AOB
3ème
 = ............
ADB
C
AD = . . . . . . . . . . . .

C BD = . . . . . . . . . . . .
ƒ = ............
COD
Page 1/1
Fiche d’exercices
C HAPITRE 13
F ICHE D ’ EXERCICES : IMAGE D ’ UN POINT PAR UNE
ROTATION
E XERCICE 1
À l’aide du quadrillage ci-contre, construis :
A
B
– l’image A ′ de A par la rotation de centre B, d’angle
90°, dans le sens direct.
F
– l’image C ′ de C par la rotation de centre D,
d’angle 90°, dans le sens indirect.
E
– l’image F ′ de F par la rotation de centre E , d’angle
90°, dans le sens direct.
– l’image G ′ de G par la rotation de centre H,
d’angle 90°, dans le sens indirect.
C
D
H
G
E XERCICE 2
À l’aide du quadrillage ci-contre, entièrement
constitué de triangles équilatéraux, construis :
F
E
– l’image A ′ de A par la rotation de centre B, d’angle
60°, dans le sens direct.
A
C
D
H
– l’image C ′ de C par la rotation de centre D,
d’angle 120°, dans le sens indirect.
– l’image F ′ de F par la rotation de centre E , d’angle
60°, dans le sens indirect.
B
G
– l’image G ′ de G par la rotation de centre H,
d’angle 120°, dans le sens direct.
E XERCICE 3
À l’aide d’un compas, d’un rapporteur et d’une règle
graduée, construis :
F
– l’image A ′ de A par la rotation de centre B, d’angle
45°, dans le sens direct.
– l’image C ′ de C par la rotation de centre D,
d’angle 110°, dans le sens direct.
B
3ème
Page 1/1
C
D
– l’image F ′ de F par la rotation de centre E , d’angle
30°, dans le sens indirect.
– l’image G ′ de G par la rotation de centre H,
d’angle 140°, dans le sens indirect.
H
E
A
G
Fiche d’exercices
C HAPITRE 13
F ICHE D ’ EXERCICES : IMAGE D ’ UNE FIGURE PAR UNE ROTATION OU PAR
UNE AUTRE TRANSFORMATION DU PL AN
E XERCICE 1
Dans les cadres ci-dessous :
4. trace l’image du cercle C par
1. trace l’image du segment [AB ] par
– la rotation de centre A d’angle 90°(sens indirect) ;
– la rotation de centre A d’angle 40°(sens direct) ;
– la rotation de centre O d’angle 120°(sens direct).
– la rotation de centre O d’angle 80°(sens indirect).
5. trace l’image du triangle ABC par
2. trace l’image de la demi-droite [Ax) par
– la rotation de centre A d’angle 30°(sens direct) ;
– la rotation de centre A d’angle 150°(sens indirect) ;
– la rotation de centre O d’angle 145°(sens indirect).
– la rotation de centre O d’angle 90°(sens direct).
6. trace l’image du carré ABC D par
3. trace l’image de la droite (d ) par
– la rotation de centre A d’angle 45°(sens direct) ;
– la rotation de centre A d’angle 100°(sens direct) ;
– la rotation de centre O d’angle 110°(sens indirect).
– la rotation de centre O d’angle 45°(sens indirect).
B
A
A
O
O
x
C
O
O
A
A
(d)
C
D
C
A
O
A
B
3ème
O
B
Page 1/2
Fiche d’exercices
E XERCICE 2
Sur les quadrillages ci-dessous, construis l’image F1 de la figure F par la symétrie axiale d’axe (E F ) ;
l’image F2 de la figure F par la symétrie centrale de centre P ; l’image F3 de la figure F par la translation
#
de vecteur AB et l’image F4 de la figure F par la rotation de centre O, d’angle 90° dans le sens positif.
O
O
F
E
F
P
A
P
A
E
B
B
E XERCICE 3
DNB Amérique du Nord 2005, à peine modifié. . .
La figure grise est obtenue après avoir appliqué une transformation du plan à la figure blanche. Dans
chaque cas :
– Préciser le type de transformation (symétrie axiale centrale, translation, rotation).
– Faire apparaître et préciser le(s) élément(s) caractéristique(s) de cette transformation (axe, centre,
vecteur, angle, sens de rotation).
Transformation :
Transformation :
Transformation :
Éléments caractéristiques :
Éléments caractéristiques :
Éléments caractéristiques :
Transformation :
Transformation :
Transformation :
Éléments caractéristiques :
Éléments caractéristiques :
Éléments caractéristiques :
3ème
Page 2/2
Fiche d’exercices
C HAPITRE 13
F ICHE D ’ EXERCICES : POLYGONES RÉGULIERS
E XERCICE 1
On considère ABC DE F un hexagone régulier de centre O.
C
D
B
A
O
E
F
1. Identifions quelques rotations :
a) Détermine l’angle et le sens de la rotation de centre O qui transforme D en B.
b) Détermine l’angle et le sens de la rotation de centre B qui transforme O en A.
c) Détermine le centre, l’angle et le sens de la rotation qui transforme B en D et C en E .
d) Détermine le centre, l’angle et le sens de la rotation qui transforme A en D et F en C .
2. Extrait du DNB, Groupe Ouest, 2006 :
a) Quel est le symétrique du triangle OC D par rapport au point O ?
b) Quel est le symétrique du triangle E F O par rapport à la droite (EO) ?
c) Quelle est l’image du triangle OC D par la rotation de centre O, d’angle 60° dans le sens des aiguilles d’une montre ?
E XERCICE 2
DNB Groupe Est 2003
H
Sur la figure ci-après sont représentés 8
hexagones réguliers.
G
1. Construire le point M tel que
# # #
AM = AB + AC .
B
C
2. Construire le point Q, symétrique de
H par rapport à la droite (BE ).
D
3. Construire le point P , image du point
C par la rotation de centre E et
d’angle 60° dans le sens des aiguilles
d’une montre.
Classe
A
F
Page 1/1
E
Fiche d’exercices
C HAPITRE 14
C OURS : STATISTIQUES
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Statistique
C OMPÉTTENCES EXIGIBLES
C OMMENTAIRES
Il s’agit essentiellement, d’une part
de faire acquérir aux élèves les premiers outils de comparaison de séries statistiques, d’autre part de les
habituer à avoir une attitude de lecteurs responsables face aux informations de nature statistique.
Caractéristiques
de
position d’une série
statistique
Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de
tableau, ou par une représentation graphique), proposer une valeur médiane de cette série et en
donner la signification.
On repère, en utilisant effectifs ou
fréquences cumulées, à partir de
quelle valeur du caractère on peut
être assuré que la moitié de l’effectif est englobée. Les exemples ne devront soulever aucune difficulté au
sujet de la détermination de la valeur de la médiane.
Approche de caractéristiques de dispersion
d’une série statistique
Une série statistique étant donnée,
déterminer son étendue ou celle
d’une partie donnée de cette série.
L’étude de séries statistiques ayant
même moyenne permettra l’approche de la notion de dispersion
avant toute introduction d’indice
de dispersion. On introduira l’étendue de la série ou de la partie
de la partie de la série obtenue
après élimination des valeurs extrêmes. On pourra ainsi aborder
la comparaison de deux séries en
calculant quelques caractéristiques
de position et de dispersion, ou en
interprétant des représentations
graphiques données.
Initiation à l’utilisation de tableursgrapheurs en statistique
3ème
Les tableurs que l’on peut utiliser
sur tous les types d’ordinateurs permettent, notamment en liaison avec
l’enseignement de la technologie,
d’appliquer de manière rapide à des
données statistiques les traitements
étudiés.
Page 1/7
Cours Stats
1 Définitions et vocabulaire des statistiques
Faire une étude statistique, c’est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données,
numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat. . .
Les plus gros "consommateurs" de statistiques sont les assureurs (risques d’accidents, de maladie des
assurés), les médecins (épidémiologie), les démographes (qui étudient les populations et leur dynamique) et sociologues (qui étudient les phénomènes sociaux humains), les économistes (emploi, conjoncture économique), les météorologues . . .
La population est l’ensemble des individus sur lesquels portent l’étude statistique. Le caractère (ou
variable statistique) d’une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu.
Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (ou modalités) numériques, on dit qu’il est quantitatif.
Sinon, on dit qu’il est qualitatif : les valeurs de la série ne sont pas des nombres.
Effectifs, effectifs cumulés, fréquences :
Ï A chaque valeur (ou classe) est associée un effectif n : c’est le nombre d’individus associés à cette
valeur.
Ï De même à chaque valeur (ou classe) est associée une fréquence f : c’est la proportion d’individus
associés à cette valeur. f est un nombre compris entre 0 et 1, que l’on peut écrire sous forme de pourcentage.
n
n
(ou f =
× 100 si on
Ï Si N est l’effectif total (l’effectif de la population entière) alors on a f =
N
N
l’exprime sous forme de pourcentage).
Effectifs et fréquences cumulées :
Lorsque les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, on obtient l’effectif cumulé croissant d’une
valeur en additionnant son effectif à ceux qui le précèdent (on additionne à partir de la gauche du
tableau).
De la même manière, les fréquences cumulées croissantes s’obtiennent en divisant l’effectif cumulé
croissant par l’effectif total.
Pour obtenir les effectifs ou les fréquences cumulés décroissants, on additionne à partir de la droite
du tableau.
Remarque : les effectifs cumulés croissants indiquent quel est l’effectif de la série dont la valeur est
inférieure à une valeur donnée.
Exemple : Voici le relevé, par tranche d’âge, de la population en France métropolitaine pour l’année
2002 :
0-19 ans
20-39 ans
40-59 ans
60-74 ans
+ 75 ans
Total
Effectifs (en milliers)
14 988
16 371
15 758
7 727
4 499
59 343
Fréquences
25,3 %
27,5 %
26,6 %
13 %
7,6 %
100 %
Effectifs cumulés croissants
14 988
31 359
47 117
54 844
59 343
59 343
Fréq. cumulées croissantes
25,3 %
52,8 %
79,4 %
92,4 %
100 %
100 %
Tranche d’âge
Par exemple, on peut lire dans ce tableau que 16 371 individus ont entre 20 et 49 ans, que 31 359 individus ont 39 ans ou moins, que 26,6 % des individus ont entre 40 et 59 ans, ou encore que 79,4 % des
individus ont 59 ans ou moins.
3ème
Page 2/7
Cours Stats
2 Représentation graphique d’une série statistique
2.1 Diagramme en bâtons
Lorsque le caractère étudié est quantitatif et discret, on peut représenter la série statistique étudiée par
un diagramme en bâtons :
la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associé à chaque valeur.
Par exemple, voici le diagramme en bâtons représentant la série des notes obtenues par une classe à un
contrôle :
Notes
2
4
6
7
8
9
10
11
12
14
17
Total
Effectif
1
2
1
2
2
3
4
6
2
1
1
25
Fréquence %
4
8
4
8
8
12
16
24
8
4
4
100
Effectif
6
5
4
3
2
1
Notes
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2.2 Histogramme
Lorsque le caractère étudié est quantitatif et continu, et lorsque les modalités sont regroupées en
classes, on peut représenter la série par un histogramme :
l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe
Lorsque les classes ont la même amplitude, c’est la hauteur de chaque rectangle qui est proportionnelle à l’effectif. Par exemple, voici un histogramme représentant la répartition des salaires dans une
entreprise :
Salaires
1000 É S < 1200
1200 É S < 1400
1400 É S < 1600
1600 É S < 1800
1800 É S < 2000
Total
Effectif
36
44
64
40
16
200
0, 18
0, 22
0, 32
0, 2
0, 08
1
Fréquence
3ème
Page 3/7
Cours Stats
1 salarié
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2.3 Diagramme circulaire
Enfin, lorsque le caractère est qualitatif, on représente la série par un diagramme circulaire ou semicirculaire ("camemberts") :
la mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) associé.
Par exemple, voici un diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif :
Sport
Tennis
Football
Handball
Rugby
Autres
Total
Effectif
4
19
7
15
5
50
Fréquence %
8
38
14
30
10
100
28, 8
136, 8
50, 4
108
36
360
Mesure de l’angle en degrés
Football
Tennis
Handball
Autres
Rugby
3ème
Page 4/7
Cours Stats
3 Mesures de tendance centrale : moyenne, médiane
3.1 Moyenne d’une série statistique
Ï Si la série est donnée sous la forme d’une liste
Par exemple, voici les notes obtenues à un contrôle par les 21 élèves d’une classe :
8
3 14 17 5 12 11 9 10 15 8 19 4 11 6
9
9 10 10 9 14
Pour calculer la moyenne de cette série de notes, on additionne toutes les notes, et on divise par le
nombre total de notes :
m=
8 + 3 + 14 + 17 + 5 + 12 + 11 + 9 + 10 + 15 + 8 + 19 + 4 + 11 + 6 + 9 + 9 + 10 + 10 + 9 + 14 213
=
≈ 10, 14
21
21
Ï Si les valeurs de la série sont regroupées dans un tableau avec effectifs associés
Par exemple, voici les notes obtenues à un autre contrôle par les 25 élèves d’une autre classe :
Notes
2
4
6
7
8
9
10
11
12
14
17
Total
Effectif
1
2
1
2
2
3
4
6
2
1
1
25
La moyenne est alors dite pondérée par les effectifs.
Pour calculer cette moyenne, on commence par effectuer les produits des notes par les effectifs associés,
puis on additionne tous ces produits, et on divise la somme obtenue par le nombre total de notes :
m=
2 + 4 × 2 + 6 + 7 × 2 + 8 × 2 + 9 × 3 + 10 × 4 + 11 × 6 + 12 × 2 + 14 + 17 234
=
= 9, 36
25
25
Ï Si les valeurs de la série sont regroupées par classes
Par exemple, voici la répartition des salaires de 200 salariés d’une entreprise :
Salaires
1000 É S < 1200
1200 É S < 1400
1400 É S < 1600
1600 É S < 1800
1800 É S < 2000
Total
Centre
1100
1300
1500
1700
1900
1
Effectif
36
44
64
40
16
200
On considère alors qu’une classe donnée sera représentée, dans le calcul, par son centre, et on utilise le
centre de la classe pour calculer la moyenne pondérée par les effectifs :
m=
1100 × 36 + 1300 × 44 + 1500 × 64 + 1700 × 40 + 1900 × 16 291200
=
= 1456
200
200
On obtient une valeur approchée du salaire moyen réel.
3.2 Médiane d’une série statistique
Reprenons l’exemple des notes obtenues à un contrôle par les 25 élèves d’une classe :
Notes
2
4
6
7
8
9
10
11
12
14
17
Total
Effectif
1
2
1
2
2
3
4
6
2
1
1
25
3ème
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Cours Stats
Nous avons calculé, dans le paragraphe précédent, que la moyenne de la classe valait 9, 34.
D’après le tableau qui présente la série, 11 élèves ont eu une note inférieure à la moyenne du contrôle,
alors que 14 élèves ont eu une note supérieure à la moyenne du contrôle.
on observe que la moyenne d’une série statistique dont les éléments sont rangés par ordre croissant
ne sépare pas ceux-ci - en tous cas, pas toujours - en deux parties de même effectif
Définition :
La médiane M d’une série statistique est la valeur qui partage la population étudiée en deux sousgroupes de même effectif, chacun tels que :
– tous les éléments du premier groupe on des valeurs inférieures ou égales à M ;
– tous les éléments du deuxième groupe ont des valeurs supérieures ou égales à M .
Détermination de la médiane d’une série statistique
• A partir d’un tableau d’effectifs cumulés ou de fréquences cumulées
Exemple :
Reprenons l’exemple des notes obtenues à un contrôle par les 25 élèves d’une classe :
Notes
2
4
6
7
8
9
10
11
12
14
17
Total
Effectif
1
2
1
2
2
3
4
6
2
1
1
25
E.C.C.∗
1
3
4
6
8
11
15
21
23
24
25
25
: Effectifs cumulés croissants
Les notes étant rangées dans l’ordre croissant, la case grisée indique que, de la 12ème à la 15ème , les
notes sont égales à 10.
Or 25 = 12 + 1 + 12 donc la médiane est la 13ème note c’est-à-dire 10.
∗
Rang : 1r e 2e . . . 11e 12e
Notes : 2
4 ... 9
10
|
{z
}
12 élèves
13e 14e . . . 25e
10 10 . . . 17
| {z }
12 élèves
On rappelle que la moyenne de la classe à ce contrôle était de 9,34, donc la médiane et la moyenne
sont (en général) différentes.
• À partir d’une représentation graphique
Une valeur approchée de la médiane peut être obtenue à l’aide de la courbe polygonale des effectifs
cumulés croissants (ou des fréquences cumulées) en lisant la valeur correspondant à la moitié de
l’effectif total (ou à une fréquence cumulée égale à 50 %) :
À la question "Quelle quantité d’eau buvez-vous par jour ?", les cinquante personnes interrogées ont
donné des réponses qui ont permis de compléter le tableau suivant :
Quantité d’eau (en L)
[0 ;0,5[
[0,5 ;1[
[1 ;1,5[
[1,5 ;2[
[2 ;2,5[
[2,5 ;3[
Fréquences %
24
42
18
10
4
2
F.C.C.∗ %
24
66
84
94
98
100
: Fréquences cumulées croissantes
La courbe polygonale des effectifs cumulés est obtenue en joignant par des segments les points dont
l’abscisse est une valeur de la série (ou l’extrémité d’une classe) et dont l’ordonnée est l’effectif cumulé
correspondant à cette valeur :
∗
3ème
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Cours Stats
100 %
98 %
94 %
Fréquence cumulée
×
×
×
La médiane M est environ
égale à 0,8 L ;
en effet, la moitié des personnes interrogées consomme
moins de 0,8 L par jour (ou, ce
qui revient au même, la moitié des personnes interrogées
consomme plus de 0,8 L par
jour).
×
84 %
×
66 %
50 %
24 %
×
Quantité d’eau (en L)
0,5
0,8
1
2
1,5
3
2,5
4 Mesure de dispersion
Comparons les notes obtenues à un contrôle par deux classe différentes :
Notes
2
3
6
7
Effectif
1
1
1
2
Classe n°1 :
8
9
10
2
3
3
11
13
14
15
17
Total
6
2
2
1
1
25
La moyenne de cette classe à ce contrôle est égale à :
2 + 3 + 6 + 7 × 2 + 8 × 2 + 9 × 3 + 10 × 3 + 11 × 6 + 13 × 2 + 14 × 2 + 15 + 17 250
=
= 10
25
25
La médiane de cette classe à ce contrôle est égale à :
la 13ème note (car 25 = 12 + 1 + 12) , c’est-à-dire que M1 = 10
m1 =
Notes
5
7
8
Effectif
2
1
2
Classe n°2 :
9
10
2
5
11
12
13
Total
6
2
3
23
La moyenne de cette classe à ce contrôle est égale à :
5 × 2 + 7 + 8 × 2 + 9 × 2 + 10 × 5 + 11 × 6 + 12 × 2 + 13 × 3 230
=
= 10
23
23
La médiane de cette classe à ce contrôle est égale à :
la 11ème note (car 23 = 11 + 1 + 11), c’est-à-dire que M2 = 10
m2 =
Ces deux séries ne sont pas différenciables par les mesures de tendance centrale ; pourtant, on ne peut
pas dire la même chose des deux classes : elles n’ont pas le même profil !
Définition :
On appelle étendue d’une série statistique la différence entre la plus grande valeur de la série et la
plus petite. L’étendue est une mesure de dispersion des valeurs : plus l’étendue est grande, plus les
valeurs sont dispersées.
Ici, l’étendue de la série de notes de la classe n°1 vaut : 17 − 2 = 15 points.
L’étendue de la série de notes de la classe n°2 vaut, elle : 13 − 5 = 8 points.
On pourrait dire que la classe n°2 a eu des résultats plus homogènes que la classe n°1.
3ème
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Cours Stats
C HAPITRE 14
F ICHE D ’ EXERCICES TYPE DNB : STATISTIQUES
E XERCICE 1
Centres étrangers (Lyon) 2006
Le tableau ci-dessous présente la série des notes obtenues par les élèves de 3e B lors du dernier devoir
en classe :
Note sur 20
Effectif
5
1
6
2
8
6
9
2
11
1
12
4
13
2
15
3
18
1
19
1
1. Quel est l’effectif de la classe de 3e B ?
2. Calculer la note moyenne de ce devoir. En donner la valeur arrondie au dixième de point.
3. Quel est le pourcentage, arrondi à l’unité, de l’effectif total représentent les élèves ayant obtenu une
note inférieure ou égale à 8 ?
4. Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note ?
E XERCICE 2
Amérique du Nord 2005
Madame A et Monsieur B sont tous les deux professeurs de Mathématiques et ont tous les deux une
classe de troisième ayant 20 élèves.
Ils comparent les notes obtenues par leurs élèves au dernier devoir commun.
Notes attribuées par Madame A
7 - 8 - 12 - 12 - 18 - 5 - 11 - 6 - 3 - 8 - 5 18 - 9 - 20 - 6 - 16 - 6 - 18 - 7 - 15
Notes attribuées par Monsieur B
8 - 8 - 9 - 12 - 11 - 8 - 13 - 15 - 7 - 9 - 10 10 - 12 - 8 - 10 - 14 - 12 - 11 - 14 - 9
1. Construire, sur la copie et sur un même dessin, les diagrammes en bâtons représentant les deux séries
de notes. (Utiliser deux couleurs.)
2. Calculer la moyenne de chaque série.
3. Déterminer une médiane de chaque série.
4. Comparer ces deux classes.
E XERCICE 3
Centres étrangers (Bordeaux) 2006
10
L’histogramme ci-contre illustre une enquête faite
sur l’âge des 30 adhérents d’un club de badminton
mais le rectangle correspondant au adhérents de 16
ans a été effacé.
Effectifs
8
1. Calculer le nombre d’adhérents ayant 16 ans.
6
4
2. Quel est le pourcentage du nombre d’adhérents
ayant 15 ans ?
2
3. Quel est l’âge moyen des adhérents du club ?
Donner une valeur arrondie au dixième.
0
14
15
Âge
16
17
4. Compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge.
Âge
Nombre d’adhérents
Mesure de l’angle en degrés
3ème
14 ans
7
Page 1/2
15ans
6
16 ans
17 ans
10
Total
30
180
Fiche d’exercices
E XERCICE 4
Groupe Sud 2005
Ci-après, est présenté l’histogramme des notes d’un
contrôle notée sur 5 pour une classe de 25 élèves.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1. Reproduire et remplir le tableau de notes suivant :
Note
Effectif
Effectif cumulé croissant
0
1
2
3
4
5
2. Calculer la moyenne des notes de la classe.
3. Quelle est la médiane des notes de la classe ?
4. Calculer la fréquence des notes inférieures ou égales à
3 points sur 5.
E XERCICE 5
Effectif
Notes
0/5
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
Nice 2004
Au cours d’une course d’athlétisme (400 m), le temps mis par chaque coureur a été chronométré.
Ces mesures (en secondes) sont reportées ci-dessous :
48,65 – 49,20 – 50 – 50,12 – 50,13 – 50,45 – 51 – 51,80 – 51,85 – 51,90 – 52,05 – 52,20 – 52,60 – 53,28 – 54,80
1. Quelle est l’étendue de cette série ?
2. Donner la moyenne arrondie au centième de cette série.
3. Donner la médiane de cette série.
4. Quel pourcentage de coureurs ont mis moins de 52,50 secondes pour 400 mètres ?
E XERCICE 6
Lyon 2004
Au cours d’une enquête réalisée sur 671 élèves d’un collège, on relève la durée d (en minutes) passée
par chacun d’entre eux pour effectuer leur travail scolaire chaque jour. Les résultats ont été regroupés
en quatre classes dans le tableau ci-après.
1. Compléter ce tableau en arrondissant les fréquences à 1 %.
2. En remplaçant chaque classe par son centre, calculer la durée moyenne passée chaque jour par un
élève pour effectuer son travail scolaire. On donnera cette durée arrondie à la minute.
Durée du travail d
0 É d < 30
30 É d < 60
60 É d < 90
90 É d < 120
Total
Centre de classe
15
Effectif
106
Fréquence %
16
235
144
671
100
E XERCICE 7
Aix 2004
Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l’enquête
sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur
âge (en années) :
âge
Centre de classe
Effectifs
Eff. cumulés croissants
[0 ; 10[
5
27
...
[10 ; 20[
...
45
...
[20 ; 30[
...
48
...
[30 ; 40[
...
39
...
[40 ; 50[
...
42
...
[50 ; 60[
...
36
...
[60 ; 70[
...
33
...
[70 ; 80[
...
24
...
[80 ; 90[
...
6
...
1. Compléter le tableau en indiquant le centre de chaque classe d’âge et les effectifs cumulés croissants.
2. Calculer l’âge moyen des skieurs fréquentant cette station.
3. Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans ?
4. (Ajout personnel) Construire le polygone des effectifs cumulés croissants afin de déterminer graphiquement une valeur approchée de l’âge médian des skieurs fréquentant la station (unités graphiques : 1 cm pour 5 ans en abscisse, 1 cm pour 20 skieurs en ordonnée).
3ème
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Fiche d’exercices