C`est quoi le milieu de trois points? Du point de

C’est quoi le milieu de trois points? Du point de
Fermat aux probl`emes de transport, de la
g´eom´etrie `a l’informatique
Camelia Goga
Institut de math´ematiques de Bourgogne (IMB), Universit´e de Bourgogne
et IREM-Dijon
“Semaine des math´ematiques”
16-20 mars 2015 Dijon

Courte pr´esentation
1Le probl`eme de Fermat pour trois points dans le plan :
solutions g´eom´etriques
2Plus de trois points dans le plan ou le probl`eme de transport
de Weber : s’il existe, comment trouver un tel point ? inventer
une m´ethode num´erique rapide qui marche quel que soit le
nombre de points : un algorithme informatique
3Diverses applications du “point” de Fermat dans d’autres
domaines que le transport :
la statistique
la recherche m´edicale (n´euro-science)

Court voyage dans le temps : Pierre de Fermat
Pierre de Fermat (1`ere d´ecennie du XVII`e
si`ecle-1665), c´el`ebre math´ematicien fran¸cais
Fermat lance en 1636 le d´efi suivant : “Etant
donn´es trois points en trouver un quatri`eme tel
que la somme de ses distances aux trois points
donn´es soit minimale”

F : le point de Fermat
G : centre de gravit´e
Il existe F tel que FA+FB+FC soit le plus petit possible ?
Si oui, quelle est sa position et quelle est la valeur de FA+FB+FC ?
F
B
A
C
G

Solutions au probl`eme de Fermat
Evangelista Torricelli, physicien et
math´ematicien italien du XVIIe si`ecle, connu
notamment pour avoir invent´e le barom`etre,
fourni une solution g´eom´etrique vers 1640 :
en utilisant des propri´et´es d’ellipses, le point
cherch´e est l’intersection des trois cercles
circonscrits aux triangles ´equilat´eraux construits
sur les cot´es [AB],[AC]et [BC].
Plusieurs math´ematiciens de l’´epoque (Cavalieri,
Viviani, Simpson) se sont “amus´es” `a trouver
des nouvelles d´emonstrations, toutes bas´ees sur
des arguments g´eom´etriques