r - anneau contenu dans un de ses quotients

R - ANNEAU CONTENU DANS UN DE SES
QUOTIENTS
Si Kdésigne un anneau quelconque, l’ensemble S(K)des suites d’éléments de Kest muni d’une struc-
ture d’anneau en effectuant les opérations terme à terme sur les éléments des suites. Dans le cas où K
est Qou R, on appellera B(K)le sous-anneau de S(K)formé des suites bornées. C’est une anneau
commutatif et unitaire, et de plus B(Q)est un sous-anneau de B(R).
Soit B0l’ensemble des suites de rationnels qui convergent vers zéro. Cet ensemble est un idéal de
B(Q), puisque toute suite convergente est bornée, et que le produit d’une suite bornée et d’une suite
qui converge vers zéro converge aussi vers zéro.
Soit alors Al’ensemble quotient B(Q)/B0. Il est muni canoniquement d’une structure d’anneau com-
mutatif et unitaire. Si nous notons ˙xla classe d’un élément xde B(Q), l’application qui à xassocie ˙x
est un homomorphisme surjectif d’anneaux.
Nous allons montrer qu’il existe un homomorphisme d’anneaux, injectif et non surjectif de B(R)
dans A, et donc aussi de B(Q)dans A. Il en résulte que B(Q)et Aont le même cardinal.
Dans ce qui suit, on désignera par
s= (sn)n≥1
un élément de B(R), et par
X= (x(n))n≥1
une suite d’éléments de S(Q), avec
x(n) = (xp(n))p≥1.
Soit sdans B(R). On dira que Xpossède la propriété (P) pour s, s’il existe un réel apositif, tel que,
quels que soient net psupérieurs à 1, on ait
|sn−xp(n)| ≤ a
p+n.
Il en résulte que la suite x(n)converge vers sn. D’autre part, la famille (xp(n))n,p est bornée. En effet,
si Mest un majorant de s, on a
|xp(n)| ≤ |sn|+a
p+n≤M+a .
Il en résulte que toute suite extraite de cette famille appartient à B(Q).

R 2
1) Pour toute suite sde B(R), il existe Xpossédant la propriété (P) pour s.
Le nombre snétant réel, il existe, pour tout p, un rationnel xp(n)tel que
|sn−xp(n)| ≤ 1
p+n.
2) Pour tout entier positif i, il existe deux entiers tet rpositifs, tels que
i=t(t−1)
2+ret 0 < r ≤t ,
et ceci de manière unique.
On notera t=t(i)et r=r(i)lorsque l’on voudra préciser que tet rdépendent de i.
La suite (t(i))i≥1admet +∞pour limite.
La suite (t(t−1)/2)t≥1étant strictement croissante, il existe tnon nul tel que
t(t−1)
2< i ≤t(t+ 1) 2.
Si l’on pose
r=i−t(t−1)
2
on a alors
0< r ≤t ,
et le couple (t, r)vérifie les conditions voulues.
D’autre part, si
i=r+t(t−1)
2
avec
0< r ≤t ,
alors, on a nécessairement
t(t−1)
2< i ≤t(t+ 1) 2,
et par suite test unique et donc régalement.
On a
i≤t(i)(t(i)−1)
2+t(i) = t(i)(t(i) + 1) 2≤(t(i) + 1)2 2,
donc
t(i)≥√2i−1.

R 3
Alors la suite (t(i))i≥1admet +∞pour limite.
3) Soit sdans B(R)et Xayant la propriété (P) pour s. On associe à Xla suite F(X)définie par
F(X)i=xt(i)−r(i)+1(r(i)) .
Alors F(X)est dans B(Q).
La suite F(X)contient une fois et une seule tous les éléments de la famille (xp(n))p,n. Si l’on range
ces éléments dans un tableau infini, on décrit simplement les diagonales successives.
1 2 3 4 ···
x(1) x1(1) //x2(1)
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
x3(1)
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
x4(1)
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
x(2) x1(2)
55
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x2(2)
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
x3(2)
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
x(3) x1(3)
77
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x2(3)
{{w
w
w
w
w
w
w
w
w
x(4) x1(4)
.
.
.
4) Soit sdans B(R)et Xet X′possédant la propriété (P) pour s. Alors F(X)et F(X′)ont même
classe dans A.
On a en effet
|F(X)i−F(X′)i|=|xt(i)−r(i)+1(r(i)) −x′
t(i)−r(i)+1(r(i))|,
qui se majore par
|xt(i)−r(i)+1(r(i)) −sr(i)|+|sr(i)−x′
t(i)−r(i)+1(r(i))|,
d’où, puisque Xet X′vérifient la propriété (P),
|F(X)i−F(X′)i| ≤ a+a′
t(i) + 1 .

R 4
Comme t(i)tend vers l’infini avec i, on en déduit que la suite F(X)−F(X′)converge vers zéro, et
donc que F(X)et F(X′)ont la même classe.
Il résulte de ce qui précède que la classe de F(x)ne dépend que de s.
5) Si l’on pose pour tout sde B(R)
H(x) = ˙
⌢
F(X),
où Xpossède la propriété (P) pour s, on définit ainsi un homomorphisme de B(R)dans A.
Soit set s′dans B(R), et Xet X′ayant la propriété (P) pour set s′respectivement. On a alors
|sn+s′
n−(xp(n) + x′ p(n))| ≤ |sn−xp(n)|+|s′ n−x′ p(n)| ≤ a+a′
n+p,
ce qui montre que X+X′possède la propriété (P) pour s+s′.
Soit Mun majorant de set M′un majorant de s′. On a
|sn·s′
n−xp(n)·x′ p(n)| ≤ |sn(s′ n−x′ p(n))|+|s′ n(sn−xp(n))|+|(sn−xp(n))(s′ n−x′ p(n))|.
ceci se majore et on obtient
|sn·s′
n−xp(n)·x′ p(n)| ≤ Ma′
n+p+M′a n+p+aa′ (n+p)2≤Ma′+M′a+aa′ n+p.
Donc X·X′vérifie la propriété (P) pour s·s′.
Comme par ailleurs Fest additive et multiplicative, il résulte de ce qui précède qu’il en sera de même
pour Hqui est donc un homomorphisme d’anneaux.
6) L’application Hest injective.
Soit sdans B(R)dont l’image par Hest nulle, et Xpossédant la propriété (P) pour s. La suite F(X)
converge vers zéro. Soit pun entier fixé. Comme x(p)est une sous-suite de F(X), elle converge aussi
vers zéro, mais, par ailleurs, elle a pour limite sp. On en déduit que tous les termes de ssont nuls. Il
en résulte que sest nulle, ce qui prouve que Hest injective.
7) L’application Hn’est pas surjective.

R 5
Soit yune suite décrivant les nombres rationnels de l’intervalle [ 0,1 ] . Supposons qu’il existe sdans
B(R)tel que
H(s) = ˙y .
Soit Xayant la propriété (P) pour s. La suite F(X)−yconverge donc vers zéro. En utilisant pour
tout ples mêmes sous-suites que dans le 6), on obtient une suite y′(p)de rationnels telle que la suite
x(p)−y′(p)converge vers zéro. Il en résulte que y′(p)converge vers sp.
Lorsque pvarie, on partage l’ensemble des rationnels en une infinité dénombrable de sous-ensembles
ayant chacun un point d’accumulation et un seul. Ceci est en contradiction avec le fait que l’ensemble
des nombres rationnels de [ 0,1 ] est dense dans [ 0,1 ] . Il en résulte que ˙yn’a pas d’antécédent par
Hqui n’est donc pas surjective.
Remarque : si l’on prend sdans B(Q), on peut prendre comme suite Xpossédant la propriété (P)
pour s, celle définie par
xp(n) = sn.
La suite F(X)est alors s1, s1, s2, s1, s2, s3,....