DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° VII : Nombres complexes

DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° VII : Nombres complexes
TS4 Le corrigé
Exercice VII1
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ¡O;−→ u,−→ v¢(unité graphique : 2 cm).
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si zet z′sont deux nombres complexes non nuls, alors :
arg(zz′)=arg(z)+arg(z′)
Soient zet z′deux nombres complexes non nuls.
arg³z
z′´+arg(z′)=arg³z z′×z′´(2π)=arg(z) (2π)
On en déduit :
arg³z
z′´=arg(z)−arg(z′) (2π)
Partie B
On considère l’application fqui, à tout point M d’affixe zdistincte de 2i, associe le point M′d’affixe z′telle que :
z′=i(z−1)
z−2i
1. Soit A le point d’affixe zA=1+2i. Déterminer l’affixe du point A′image du point A par f.
On calcule f(1 +2i)=i(1 +2i−1)
1+2i−2i=−2
Le point A d’affixe 1 +2ia pour image le point A′d’affixe −2
2. Montrer qu’il existe un unique point, noté B, dont l’image par l’application fest le point d’affixe 2i.
On cherche zBtel que f(zB)=2i⇔i(zB−1)
zB−2i=2i⇔i(zB−1) =2i(zB−2i)⇔(zB−1) =2(zB−2i)⇔zB=−1+4i
Le point B d’affixe −1+4iest le seul qui a pour image B′d’affixe 2i.
3. On pose z=x+i y.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z′en fonction de xet y.
z′=i(z−1)
z−2i=i(x+i y −1) x+i y −2i=i x −y−1) x+i(y−2) z′=i x −y−1) x+i(y−2) =(i x −y−1)(x+i(y−2)) (x+i(y−2))(x−i(y−2))
z′=−2x−y+2+i(x2−x+y2−2y)
x2+(y−2)2
z′=X+iY=−2x−y+2
x2+(y−2)2+ix2−x+y2−2y x2+(y−2)2
X=Re(z′)=−2x−y+2
x2+(y−2)2et Y =Im(z′)=x2−x+y2−2y x2+(y−2)2
4. Déterminer et construire l’ensemble E des points M(z) tels que z′soit un imaginaire pur .
M∈E⇔z′est un imaginaire pur .
M∈E⇔Re(z′)=0
M∈E⇔−2x−y+2
x2+(y−2)2=0
M∈E⇔−2x−y+2=0 et x2+(y−2)26=0x2+(y−2)20⇔x=0 et y=2 ;
le point D(0,2) vérifie −2xD−yD+2=0
L’ensemble E est la droite d’équation y=−2x+2 privé du point D(2i).

5. Déterminer et construire l’ensemble F des points M(z) tels que z′soit un réel .
M∈F⇔z′est un réel .
M∈E⇔Im(z′)=0
M∈E⇔x2−x+y2−2y
x2+(y−2)2=0
M∈E⇔x2−x+y2−2y=0 et x2+(y−2)26=0x2+(y−2)20⇔x=0 et y=2 ;
le point D(0,2) vérifie x2−x+y2−2y=0
Par ailleurs en mettant les trinômes sous forme canonique :
x2−x+y2−2y=0⇔µx−1
2¶2
−1
4+(y−1)2−1=0⇔µx−1 2¶2
+(y−1)2=5
4
L’ensemble F est le cercle de centre Ωd’affixe 1
2+ide rayon p5 2privé du point D(2i).
−1 1 2 3
1
2
0
E
F
M
M′
C
D
Ω
6. On note C et D les points d’affixes respectives 1 et 2i. Pour tout point M du plan distinct de C et D, démontrer que :
arg¡z′¢=³−−→
MD ,−−→ MC ´+
π
2(2π)
arg¡z′¢=argµi(z−1)
z−2i¶=arg(i(z−1) −arg(z−2i)
car arg³z
z′´=arg(z)−arg(z′) (2π)
arg¡z′¢=arg(i)+arg(z−1) −arg(z−2i)
arg¡z′¢=
π
2+arg(z−−→
CM )−arg(z−−→ DM )
arg¡z′¢=
π
2+³−→
u;−−→ CM ´−³−→
u;−−→ DM ´
arg¡z′¢=
π
2+³−→
u;−−→ DM ´+³−−→
CM ; −→ u´
arg¡z′¢=
π
2+³−−→
DM ;−→ u´+³−→
u;−−→ CM ´
arg¡z′¢=
π
2+³−−→
DM ; −−→ CM ´
7. Etude de deux ensembles de points.
a) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe ztels que z′soit un nombre complexe imaginaire pur.
z′est un imaginaire pur ⇔arg(z′)=
π
2(π)
z′est un imaginaire pur ⇔
π
2+³−−→
DM ; −−→ CM ´=
π
2(π)
z′est un imaginaire pur ⇔³−−→
DM ;−−→ CM ´=0 (π)

L’ensemble cherché est la droite (CD) privée du point D.
b) Soit M d’affixe zun point du cercle de diamètre [CD] privé des points C et D. A quel ensemble appartient le point M′?
M d’affixe zun point du cercle de diamètre [CD] privé des points C et D ⇔³−−→
DM ;−−→ CM ´=
π
2(π)
Or arg(z′)=
π
2+³−−→
DM ; −−→ CM ´
³−−→
DM ;−−→ CM ´=
π
2(π)⇔arg(z′)−
π
2=
π
2(π)⇔arg(z′)=π(π)
arg(z′)=π(π)
³−→
u;−−−→ OM′´=0 (π)
Si M d’affixe zun point du cercle de diamètre [CD] privé des points C et D alors M′est sur l’axe des imaginaires.
Exercice VII2
1. Résoudre dans Cl’équation suivante :z2+2z+4=0.
On calcule ∆=b2−4ac =4−16 =−12.Comme ∆<0 ; l’équation a deux racines complexes conjuguées :
z′=−b+ip−∆
2a=−2+i2p3 2=−1+ip3 et z"=z′=−b−ip−∆ 2a=−1−ip3
S={−1+ip3;−1−ip3}
2. Résoudre dans Cl’équation suivante :
z3+2(1 +i)z2+4(1 +i)z+8i=0
sachant qu’il y a une racine imaginaire pure.
z=i y est une solution de z3+2(1 +i)z2+4(1 +i)z+8i=0(1)
(1) ⇔(i y)3+2(1 +i)(i y)2+4(1 +i)(i y)+8i=0
(1) ⇔ −i y3+(2 +2i)(−y2)+(4 +4i)(i y)+8i=0
(1) ⇔ −i y3−2y2−2i y2+4i y −4y+8i=0
(1) ⇔(−2y2−4y)+i(−y3−2y2+4y+8)
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles : on est ainsi ramené à
résoudre le système : (1) ⇔(−2y2−4y=0 (L1)
−y3−2y2+4y+8=0 (L2)
(L1)⇔ −2y(y+2) =0⇔y=0 ou y=−2.
En reportant y=0 dans (L2) , on débouche sur une contradiction, alors que l’égalité 8−2×4−8+8=0 est vraie. Donc z=−2i
est la seule racine imaginaire de cette équation.
Notons P le polynôme de la variable zdéfini par P(z)=z3+2(1 +i)z2+4(1 +i)z+8i=0.Comme P(−2i)=0 ; le polynôme
P(z) se factorise par (z+2i) ; ainsi il existe des nombres complexes a,bet ctels que :
P(z)=(z+2i)(az2+bz +c)
La division euclidienne
z3+(2 +2i)z2+(4 +4i)z+8i z +2i
−z3−2i z2z2+2z+4
2z2+(4 +4i)z+8i
−2z2−4i z
4z+8i
−4z−8i
0

Ainsi , P(z)=(z−2i)(z2+2z+4).
⇐⇒ (z−2i)=0 ou (z2+2z+4) =0
P(z)=0⇔(z−2i)=0 ou (z2+2z+4) =0
P(z)=0⇔z=2iou z=−1+ip3 ou z=−1−ip3
S={2i;−1+ip3;−1−ip3}
3. Résoudre dans Cl’équation suivante :
z3+2(1 +i)z2+4(1 +i)z+8i=0
sachant qu’il y a une racine imaginaire pure.
Exercice VII3
Soient les nombres complexes : z1=−1+iet z2=1−ip3.
1. Calculer z1×z2et z1
z2
.
z1×z2=(−1+i)(1+ip3) =−1−p3+i(1 −p3) ; z1×z2=−1−p3+i(1 −p3)
z1
z2=−1+i
1−ip3=(−1+i)(1+ip3) (1 −ip3)(1 −ip3) =−1−p3+i(1 −p3)
12+p32=−1−p3
4+i1−p3 4;z1 z2=−1−p3 4+i1−p3 4
2. Ecrire z1,z2et z2sous forme trigonométrique.
Forme trigonométrique de z1=−1+i:
Module : |z1|=pa2+b2=p22=p2
Argument :
cos(θ)=a
r=−1
p2=−p2
2
sin(θ)=b
r=1
p2=p2
2
Ainsi θ=3π
4convient ; on a donc :
z1=p2[cos( 3π
4)+isin( 3π 4)] =p2ei3π
4
Forme trigonométrique de z2=1−ip3 :
Module : |z2|=pa2+b2=q12+p32=p4=2
Argument :
cos(θ)=a
r=1 2
sin(θ)=b
r=−p3 2
Ainsi θ=−
π
3convient ; on a donc :
z2=2[cos(−
π
3)+isin(−
π
3)]
On déduit alors
z2=2[cos( π
3)+isin( π 3)] =2[cos( π 3)+isin( π 3)]
z1
z2=p2ei3π
4
2e−iπ
3=p2
2×ei13π
12 .
3. En déduire la valeur exacte de cos µ13π
12 ¶
On a z1
z2=−1−p3 4+i1−p3 4=p2 2×ei13π
12 ; donc cos( 13π
12 )=−1−p3
4×2
p2
cos( 13π
12 )=−p2−p6
4

4. ABCD est un parallélogramme ssi −→ AB =−−→ DC .
(1) ⇔−→ AB =−−→
DC
(1) ⇔z−−→
AB =z−−→ DC
(1) ⇔zB−zA=zC−zD
(1) ⇔zC=zB−zA+zD=1−ip3+1−i+1+ip3=3−i
zC=3−i