DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° VII : Nombres complexes

D EVOIR EN TEMPS LIBRE N° VII : Nombres complexes
TS4
Le corrigé
Exercice VII1
¡ →
− →
−¢
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O; u , v (unité graphique : 2 cm).
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )
Soient z et z ′ deux nombres complexes non nuls.
arg
³z´
z′
+ arg(z ′ ) = arg
³z
z′
´
× z ′ (2π) = arg(z) (2π)
On en déduit :
arg
³z´
z′
= arg(z) − arg(z ′ ) (2π)
Partie B
On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z distincte de 2i , associe le point M′ d’affixe z ′ telle que :
z′ =
i (z − 1)
z − 2i
1. Soit A le point d’affixe zA = 1 + 2i. Déterminer l’affixe du point A′ image du point A par f .
i (1 + 2i − 1)
On calcule f (1 + 2i ) =
= −2
1 + 2i − 2i
Le point A d’affixe 1 + 2i a pour image le point A′ d’affixe −2
2. Montrer qu’il existe un unique point, noté B, dont l’image par l’application f est le point d’affixe 2i .
i (zB − 1)
= 2i ⇔ i (zB − 1) = 2i (zB − 2i ) ⇔ (zB − 1) = 2(zB − 2i ) ⇔ zB = −1 + 4i
On cherche zB tel que f (zB ) = 2i ⇔
zB − 2i
Le point B d’affixe −1 + 4i est le seul qui a pour image B′ d’affixe 2i .
3. On pose z = x + i y.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z ′ en fonction de x et y .
i x − y − 1) ′ i x − y − 1)
(i x − y − 1)(x + i (y − 2))
i (z − 1) i (x + i y − 1)
=
=
z =
=
z′ =
z − 2i
x + i y − 2i
x + i (y − 2)
x + i (y − 2) (x + i (y − 2))(x − i (y − 2))
−2x − y + 2 + i (x 2 − x + y 2 − 2y)
z′ =
x 2 + (y − 2)2
x 2 − x + y 2 − 2y
−2x − y + 2
+i
z′ = X + i Y = 2
2
x + (y − 2)
x 2 + (y − 2)2
X = Re(z ′ ) =
−2x − y + 2
x 2 − x + y 2 − 2y
et Y = Im(z ′ ) =
2
2
x + (y − 2)
x 2 + (y − 2)2
4. Déterminer et construire l’ensemble E des points M(z) tels que z ′ soit un imaginaire pur .
M ∈ E ⇔ z ′ est un imaginaire pur .
M ∈ E ⇔ Re(z ′ ) = 0
−2x − y + 2
=0
M∈E⇔ 2
x + (y − 2)2
M ∈ E ⇔ −2x − y + 2 = 0 et x 2 + (y − 2)2 6= 0 x 2 + (y − 2)2 0 ⇔ x = 0 et y = 2 ;
le point D(0, 2) vérifie −2xD − y D + 2 = 0
L’ensemble E est la droite d’équation y = −2x + 2 privé du point D(2i ).
5. Déterminer et construire l’ensemble F des points M(z) tels que z ′ soit un réel .
M ∈ F ⇔ z ′ est un réel .
M ∈ E ⇔ Im(z ′ ) = 0
x 2 − x + y 2 − 2y
=0
M∈E⇔
x 2 + (y − 2)2
2
2
M ∈ E ⇔ x − x + y − 2y = 0 et x 2 + (y − 2)2 6= 0 x 2 + (y − 2)2 0 ⇔ x = 0 et y = 2 ;
le point D(0, 2) vérifie x 2 − x + y 2 − 2y = 0
Par ailleurs en mettant les trinômes sous forme canonique :
µ
µ
¶
¶
1 2 1
1 2
5
2
2
2
x − x + y − 2y = 0 ⇔ x −
− + (y − 1) − 1 = 0 ⇔ x −
+ (y − 1)2 =
2
4
2
4
p
5
1
L’ensemble F est le cercle de centre Ω d’affixe + i de rayon
privé du point D(2i ).
2
2
2
D
F
E
Ω
1
M′
C
−1
0
1
2
3
M
6. On note C et D les points d’affixes respectives 1 et 2i . Pour tout point M du plan distinct de C et D, démontrer que :
¡ ¢ ³−−→ −−→´ π
arg z ′ = MD , MC +
(2π)
2
car arg
³z´
z′
= arg(z) − arg(z ′ ) (2π)
7. Etude de deux ensembles de points.
µ
¶
¡ ¢
i (z − 1)
arg z ′ = arg
= arg(i (z − 1) − arg(z − 2i )
z − 2i
¡ ¢
arg z ′ = arg(i ) + arg(z − 1) − arg(z − 2i )
¡ ¢ π
arg z ′ = + arg(z−−→ ) − arg(z−−→ )
CM
DM
2
´ ³ −−→´
¡ ¢ π ³→
− −−→
→
−
arg z ′ = + u ; CM − u ; DM
2
´ ³−−→ ´
¡ ¢ π ³→
→
−
− −−→
arg z ′ = + u ; DM + CM ; u
2
´ ³ −−→´
¡ ¢ π ³−−→ →
−
→
−
arg z ′ = + DM ; u + u ; CM
2
¡ ′ ¢ π ³−−→ −−→´
arg z = + DM ; CM
2
a) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit un nombre complexe imaginaire pur.
π
(π)
z ′ est un imaginaire pur ⇔ arg(z ′ ) =
2
π ³−−→ −−→´ π
′
z est un imaginaire pur ⇔ + DM ; CM =
(π)
2
³2−−→ −−→´
z ′ est un imaginaire pur ⇔ DM ; CM = 0 (π)
L’ensemble cherché est la droite (CD) privée du point D.
b) Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [CD] privé des points C et D.
quel ensemble appartient le point M′ ?
³−−A
→ −−→´ π
(π)
M d’affixe z un point du cercle de diamètre [CD] privé des points C et D ⇔ DM ; CM =
2
³−−→ −−→´
π
Or arg(z ′ ) = + DM ; CM
³−−→ −−→´ 2π
π π
(π) ⇔ arg(z ′ ) − =
(π) ⇔ arg(z ′ ) = π (π)
DM ; CM =
2
2 2
′
arg(z
) =´π (π)
³ −−−
→
→
−
u ; OM′ = 0 (π)
Si M d’affixe z un point du cercle de diamètre [CD] privé des points C et D alors M′ est sur l’axe des imaginaires.
Exercice VII2
1. Résoudre dans C l’équation suivante :z 2 + 2z + 4 = 0.
On calcule ∆ = b 2 − 4ac = 4 − 16 = −12.Comme ∆ < 0 ; l’équation a deux racines complexes conjuguées :
p
p
p
p
p
−b + i −∆ −2 + i 2 3
−b − i −∆
′
=
= −1 + i 3 et z" = z =
= −1 − i 3
z =
2a
2
2a
′
p
p
S = {−1 + i 3; −1 − i 3}
2. Résoudre dans C l’équation suivante :
z 3 + 2(1 + i )z 2 + 4(1 + i )z + 8i = 0
sachant qu’il y a une racine imaginaire pure.
z = i y est une solution de z 3 + 2(1 + i )z 2 + 4(1 + i )z + 8i = 0(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
⇔
(i y)3 + 2(1 + i )(i y)2 + 4(1 + i )(i y) + 8i = 0
⇔
−i y 3 − 2y 2 − 2i y 2 + 4i y − 4y + 8i = 0
⇔
⇔
−i y 3 + (2 + 2i )(−y 2 ) + (4 + 4i )(i y) + 8i = 0
(−2y 2 − 4y) + i (−y 3 − 2y 2 + 4y + 8)
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles : on est ainsi ramené à
(
−2y 2 − 4y
= 0 (L1 )
résoudre le système : (1) ⇔
3
2
−y − 2y + 4y + 8 = 0 (L2 )
(L1 ) ⇔ −2y(y + 2) = 0 ⇔ y = 0 ou y = −2.
En reportant y = 0 dans (L2 ) , on débouche sur une contradiction, alors que l’égalité 8−2×4−8+8 = 0 est vraie. Donc z = −2i
est la seule racine imaginaire de cette équation.
Notons P le polynôme de la variable z défini par P(z) = z 3 + 2(1 + i )z 2 + 4(1 + i )z + 8i = 0.Comme P(−2i ) = 0 ; le polynôme
P(z) se factorise par (z + 2i ) ; ainsi il existe des nombres complexes a, b et c tels que :
P(z) = (z + 2i )(az 2 + bz + c)
La division euclidienne
z3
−z
3
+(2 + 2i )z 2
−2i z
2
2z
2
−2z
2
+(4 + 4i )z
+8i
z
z
+(4 + 4i )z
+8i
−4i z
4z
+8i
−4z
−8i
0
2
+2i
+2z
+4
Ainsi , P(z) = (z − 2i )(z 2 + 2z + 4).
⇐⇒ (z − 2i ) = 0 ou (z 2 + 2z + 4) = 0
P(z) = 0
P(z) = 0
⇔ (z − 2i ) = 0
⇔ z = 2i
ou (z 2 + 2z + 4) = 0
p
p
ou z = −1 + i 3 ou z = −1 − i 3
p
p
S = {2i ; −1 + i 3; −1 − i 3}
3. Résoudre dans C l’équation suivante :
z 3 + 2(1 + i )z 2 + 4(1 + i )z + 8i = 0
sachant qu’il y a une racine imaginaire pure.
Exercice VII3
p
Soient les nombres complexes : z1 = −1 + i et z2 = 1 − i 3.
z1
1. Calculer z1 × z2 et .
z2
p
p
p
p
p
z1 × z2 = (−1 + i )(1 + i 3) = −1 − 3 + i (1 − 3) ; z1 × z2 = −1 − 3 + i (1 − 3)
p
p
p
p
p
p
p
z1
−1 + i
1 − 3 z1 −1 − 3
1− 3
(−1 + i )(1 + i 3)
−1 − 3 + i (1 − 3) −1 − 3
=
=
=
+i
;
+i
p =
p
p =
p 2
z2 1 − i 3 (1 − i 3)(1 − i 3)
4
4
z2
4
4
12 + 3
2. Ecrire z1 , z2 et z2 sous forme trigonométrique.
Forme trigonométrique
depz1 = −1
p
p+ i :
Module : |z1 | = a 2 + b 2 = 22 = 2
Argument :

p

2
a −1


=
=
−
cos(θ)
=
p

r
2 p 2

b
1
2


 sin(θ) = = p =
r
2
2
Ainsi θ =
3π
convient ; on a donc :
4
z1 =
p
Forme trigonométrique deq
z2 = 1 − i 3 :
p
p 2 p
Module : |z2 | = a 2 + b 2 = 12 + 3 = 4 = 2
Argument :
Ainsi θ = −
π
convient ; on a donc :
3
On déduit alors
p
p i 3π
z1
2e 4
2
13π
=
=
× e i 12 .
−i π3
z2
2
2e
p
2[cos(
p
3π
3π
3π
) + i sin( )] = 2e i 4
4
4

a 1

 cos(θ) = =
r
2p

 sin(θ) = b = − 3
r
2
π
π
z2 = 2[cos(− ) + i sin(− )]
3
3
π
π
π
π
z2 = 2[cos( ) + i sin( )] = 2[cos( ) + i sin( )]
3
3
3
3
µ
¶
13π
3. En déduire la valeur exacte de cos
p
p
p
p 12
2
−1 − 3
1− 3
2
z1 −1 − 3
13π
i 13π
=
+i
=
× e 12 ; donc cos( 12 ) =
×p
On a
z2
4
4
2
4
2
p
p
−
2
−
6
cos( 13π
12 ) =
4
−→ −−→
4. ABCD est un parallélogramme ssi AB = DC .
(1)
(1)
(1)
(1)
zC = 3 − i
⇔
−→ −−→
AB = DC
⇔
zB − z A = zC − zD
⇔
⇔
z−−→ = z−−→
AB
DC
p
p
zC = zB − z A + zD = 1 − i 3 + 1 − i + 1 + i 3 = 3 − i