La fonction logarithme népérien

Séquence 5
La fonction
logarithme népérien
Objectifs de la séquence
Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien.
Connaître les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa
relation fonctionnelle.
Apprendre
à utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture ou pour
résoudre des équations.
Sommaire
1. Pré-requis
2. Premières notions sur la fonction logarithme népérien
3. Courbes des fonctions exp et ln
4. Dérivée et tableau de variation de la fonction ln
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse
Séquence 5 – MA01
1
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1 Pré-requis
A
Exercice
La fonction exponentielle
Vrai / Faux
Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le
cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie.
a) La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique
de premier terme u 0 = 0 et de raison 1.
b) La fonction définie sur ]0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e x est à valeurs dans + et
transforme une somme en un produit.
c) L’équation exp( x ) = 0 admet une unique solution strictement positive.
d) La dérivée de la fonction exponentielle est strictement croissante sur  −∞ ; 0  .
e) La fonction exponentielle est dérivable donc continue.
f) La dérivée de la fonction f : x e x − 1 est e x donc f est une fonction strictement croissante ; par conséquent, il existe un seul nombre réel x 0 ≥ 0 tel que
f ( x 0 ) = 0.
g) Pour tout x ∈] − ∞ ; 0[, e–x ex = 1.
3
3 +3
 3
h) On a  e 2  = e 2 .
 
i) La dérivée de x e
x
est x
1
2
e x
.
j) Une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point
d’abscisse 2 est y = e2 ( x − 1).
k) Le tableau de variations de la fonction exponentielle est :
x
exp ′( x )
exp(x )
−∞
1
+∞
+
0
Séquence 5 – MA01
3
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Solution
a) Faux. On peut corriger comme ceci : « La fonction exponentielle est le prolongement
continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison e. »
b) Vrai. On peut aussi définir la fonction f sur tout entier, la propriété énoncée
est encore vraie puisque la fonction exponentielle transforme chaque somme en
un produit.
c) Faux. Pour tout réel x, e x > 0 donc l’équation e x = 0 n’a pas de solution dans ; a fortiori, elle n’en n’a pas qui soit strictement positive.
On peut corriger comme ceci : « L’équation exp( x ) = 1, 73 admet une unique solution strictement positive » ou remplacer 1,73 par n’importe quel nombre réel
strictement positif.
d) Vrai. La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle ellemême, qui est bien strictement croissante sur donc sur  −∞; 0  aussi.
e) Vrai. Toute fonction dérivable est continue. La fonction exponentielle qui est
dérivable (par définition) n’échappe pas à cette règle.
f) Vrai. On peut même ajouter que x 0 = 0.
g) Vrai. L’égalité e − x e x = 1 est même vraie pour tout réel x.
3
3 ×3
9
 3
h) Vrai. En effet, on calcule séparément  e 2  = e 2 = e 2 puis
3 +3
3+6
9
 
e 2 = e 2 2 = e 2 . Toutefois, dans le cas général de nombres réels x et y
( )
quelconques, on a : e x
y
≠ e x + y sauf dans les cas « exceptionnels » où
x × y = x + y (comme ici, où x = 3 et y = 3 on vérifie que x + y = 9 = x × y ).
2
2
( )
′

′
i) Faux. En posant u ( x ) = x , on a  e x  = eu ( x ) = u ′( x )eu ( x ) = 1 e x .


2 x
On peut corriger comme ceci : « La dérivée de x e x est x 1 e x ».
2 x
j) Vrai. En effet, on sait qu’une équation de la tangente à la courbe de la fonction
exponentielle au point d’abscisse 2 est y − e2 = e2 ( x − 2) ce qui est la même
chose que y = e2 ( x − 1).
k) Faux. Il suffit d’échanger les valeurs 1 et 0 données pour x et exp( x ) pour corriger l’erreur. Précisément, le tableau de variations de la fonction exponentielle
est :
x
exp ′( x )
exp(x )
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Séquence 5 – MA01
−∞
0
+
1
+∞
2
Premières notions sur la
fonction logarithme népérien
A
Objectifs du chapitre
Définir
la fonction logarithme népérien.
Etudier ses propriétés algébriques, sa courbe et ses liens avec la fonction exponentielle.
B
Pour débuter
Activité 1
Retour sur la fonction exponentielle
On fixe un nombre réel a compris entre −10 et 10. A l’aide du tableau de variations de la fonction exponentielle et de sa courbe déterminer le nombre de solution de l’équation exp( x ) = a dans . On distinguera plusieurs cas en fonction
de la valeur de a.
C
Cours
1. Définition
Au cours de l’activité 1 nous avons vu
y
y = ex
que l’équation exp( x ) = a possédait
zéro ou une solution dans selon
que a ≤ 0 ou bien que a > 0.
Si
a ≤ 0 alors :
la courbe représentant la fonction
exp et la droite d’équation y = a
n’ont pas de point d’intersection car
1
exp( x ) > 0 pour tout x de .
x
O
Il y a zéro solution x à l’équation
exp( x ) = a dans .
a
y=a
Séquence 5 – MA01
5
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y
y = ex
y=a
a
1
O
Si
α
x
a > 0 alors :
la courbe représentant la fonction exp et la droite d’équation y = a ont un seul
point d’intersection.
L’équation exp( x ) = a a une unique solution x (notée α ) dans .
Dans ce 2e cas où a > 0, partant d’un nombre a strictement positif, on peut lui
associer un nombre α .
On peut schématiser cette opération par : a α en gardant à l’esprit que c’est
possible seulement lorsque a > 0.
Nous allons maintenant donner un nom à cette opération.
Définition 1
On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à tout nombre
réel a strictement positif associe l’unique solution réelle x de l’équation
exp( x ) = a.
Cette fonction est notée ln (comme logarithme népérien et se lit en épelant
les lettres « L, N ») et on a :
ln : 0 ; + ∞  → avec exp (ln(a ) = a autrement dit eln(a ) = a.
a
ln(a )
)
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Séquence 5 – MA01
Remarque
Etant donné un nombre réel a strictement positif, ln(a ) est la solution de l’équax
tion e = a.
ln(a ) s’écrit souvent lna (sans les parenthèses) mais se lit quand même « L, N
DE A ».
Ainsi ln2 se lit « L, N DE 2 ». Ce nombre qui est le logarithme népérien de 2 est
ln 2
caractérisé par e = 2.
Exemple
La solution de l’équation e x = e est x = 1 (car e1 = e) mais aussi x = lne (par
définition de ln e ) ; on a donc ln e = 1.
Illustration
x
−∞
+∞
ln a
exp(x )
a
L’idée ici est de lire le tableau précédent en partant de a (2e ligne), qu’on doit
choisir strictement positif et d’arriver à lna (1re ligne).
On peut aussi illustrer cette lecture sur la courbe de la fonction exponentielle :
y
y = ex
a
y=a
1
O
In a
x
Pour la lecture, on part de a situé sur l’axe des ordonnées (et a > 0) pour obtenir
lna situé sur l’axe des abscisses.
Séquence 5 – MA01
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2. Conséquences immédiates de la définition
a) Signe de ln a
On choisit a > 0.
D’après le tableau suivant, si a < 1 alors lna < 0.
x
−∞
exp(x )
ln a
0
1
+∞
a
D’après le tableau suivant, si a > 1 alors lna > 0.
x
−∞
exp(x )
0
ln a
a
+∞
1
Si a = 1, on obtient l’égalité (à connaitre) ln1 = 0.
b. Liens entre les fonctions exp et ln
Nous avons vu que eln(a ) = a , lorsque a > 0.
On choisit a ∈. Comme ea > 0, on a le droit de calculer ln(ea ) . Quel est le
résultat ?
D’une part on a : e x = ea ⇔ x = a. La solution de l’équation ex = ea est donc a.
D’autre part, par définition de la fonction ln, la solution de l’équation e x = A
est ln A donc la solution de l’équation e x = ea est ln(ea ) (on a posé A = ea ).
Conclusion : ln(ea ) = a.
Résumons :
Propriété
Pour tout réel a strictement positif, eln a = a.
Pour tout réel b, ln eb = b .
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Séquence 5 – MA01
On dit que les fonctions exp et ln sont réciproques.
Ceci signifie que partant d’un nombre a, en appliquant d’abord l’une des fonctions puis sa réciproque, on retrouve le nombre a.
.....
–1
0
1
2
1
2
3
x
In y
.....
ln
exp
0
e–1= e1
1
e e
e2
e3
ex
y
.....
Remarque
Sur l’intervalle [0 ; + ∞ [, les fonctions x x 2 et x x sont aussi réciproques.
Quant à la fonction x 1 sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [, elle est égale à sa réciproque.
x
Exercice
Solution
Simplifier ln(e −7 ) et e − ln 5 .
ln(e −7 ) = −7 puisque pour tout réel a, ln ea = a. Et e − ln5 = 1 puisque
e − ln 5 = 1 = 1 .
eln5
5
5
3. Propriétés algébriques
a) Logarithme népérien d’un produit
Soit a et b deux réels strictement positifs.
Par définition de la fonction ln, on a : eln(ab ) = ab ; eln a = a ; eln b = b.
Par conséquent, on a eln(ab ) = eln a × eln b soit encore eln(ab ) = eln a + ln b car la
fonction exp transforme une somme en un produit (c’est-à-dire que pour tous
réels x et y, e x + y = e x × e y ).
On a ainsi démontré que : eln(ab ) = eln a + ln b et par suite : ln(ab ) = lna + ln b.
Séquence 5 – MA01
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Résumons :
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ab ) = lna + ln b.
La fonction ln transforme un produit en une somme.
Remarque
Nous avons vu à la séquence 4 que la fonction exp transforme une somme en un
produit. Par conséquent, il n’est pas étonnant que la fonction ln, réciproque de la
fonction exp, transforme elle, un produit en une somme.
Tout comme la propriété de transformer chaque somme en un produit s’appelle
la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle, la propriété de transformer
chaque produit en somme s’appelle la relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien.
Exercice
Solution
Simplifier ln(a 2 ) et ln a lorsque a > 0 puis pour n ∈∗ , simplifier ln(a n ).
Le théorème précédent avec a = b s’écrit ln(a × a ) = lna + lna c’est-à-dire,
a 2 = 2lna.
Et plus généralement, pour n ∈, In(an) = n lna.
Avec a = b = c
(où c > 0) , elle s’écrit : ln( c c ) = ln c + ln c
soit
lnc = 2ln c ou ln c = 1 lnc .
2
De la propriété : pour n ∈, ln(an) = n lna découle le résultat suivant :
Propriété
Si (un ) est une suite géométrique alors la suite (v n ) définie par v n = lnun
est arithmétique.
La fonction logarithme népérien transforme les suites géométriques en
suites arithmétiques.
b) Logarithme népérien d’un quotient
Soit a un réel strictement positif.
1
1
1
Comme 1 = a × , ln1 = ln(a × ) = lna + ln . Mais on a vu que ln1 = 0, donc
a
a
a
1
1
0 = lna + ln , ou encore ln = − lna.
a
a
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Propriété : Logarithme népérien d’un inverse
1
Pour tout réel a > 0, In = −lna
a
Conséquence
Pour tout réel a > 0, pour tout entier relatif n , lnan = nlna.
a

1
1
ln   = ln  a ×  = lna + ln puisque la fonction ln transforme un produit en
b
b
 b

une somme.
1
a
ln = − ln b (logarithme népérien d’un inverse), on conclut que : ln = lna − ln b.
b
b
Remarque
Propriété : Logarithme népérien d’un quotient
Il est important de s’habituer à utiliser la propriété précédente dans les deux sens :
Pour tous réels
a
a > 0 et b > 0, ln = lna − ln b.
b
rithmes népériens : lna − ln b = ln .
pour regrouper la somme (ou la différence) de deux loga-
pour séparer le logarithme népérien d’un produit (ou d’un
quotient) : ln
D
a
b
a
= lna − ln b.
b
Exercices d’apprentissage
Exercice 1
Exprimer les nombres suivants à l’aide de ln2 ou de ln3 (ou des deux) :
 4
 9
ln 4 ; ln 6 ; ln 24 ; ln ( −4 )2 ; ln 54 ; ln   ; ln( 36 ) ; ln   .
 27 
 8
Exercice 2
Exprimer à l’aide de ln 3, les nombres suivants :
( )
ln 63 − ln 7 ; ln( 27 3 ) ; 2ln 21− ln 49.
Exercice 3
 1
Simplifier A = ln( 11 − 10 ) + ln( 10 + 11) ; B = ln   + ln 25 − 5ln 5.
 5
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11
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Exercice 4
Simplifier les écritures suivantes
 1
 4
 5
 3
C = 5ln   − 4 ln 3 ; D = ln   + ln   + ln  
 3
 5
 3
 4
Exercice 5
Simplifier
ln 6 − ln 3
E =e
Exercice 6
; F =e
− 1 ln 4
2
 
; G = eln 28 − ln 4 ; H = e2ln 3+ 3 ln 2 ; I = ln  1  .
 e5 
Vrai / Faux
a) ln 2 < 1 < ln 3.
b) L’ensemble des solutions x de l’inéquation x × ln 0, 5 ≤ ln 2 est =] −∞ ; − 1 ]
2
c) Si x = ln 3 + ln 4 alors ln x = 12.
d) Si x = e5 × e7 alors ln x = 35.
e) Si a = ln11− ln 4 , 9 et b = ln(5, 2) alors a < b.
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3
A
Courbes des fonctions
exp et ln
Objectifs du chapitre
B
Activité 2
Savoir tracer la courbe de la fonction ln (à partir de la courbe de exp).
Pour débuter
La symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice
Soit (O , I , J ) un repère orthonormé du plan.
On note ∆ la droite d’équation y = x dans le repère (O , I , J ) . Cette droite
s’appelle la première bissectrice du repère (la deuxième bissectrice du repère
étant conventionnellement la droite d’équation y = − x ).
Dans le repère (O , I , J ) :
Tracer la droite ∆ puis placer les points suivants : A( 2 ; 3) ; B (1 ; 5) ; C ( 4 ; 2) ;
D (2 ; 2) ; E (5 ; 1) ; F ( −3 ; − 1) et G ( −2 ; − 4 ).
Construire le symétrique B ′ du point B par rapport à la droite ∆.
De même placer les symétriques C ′ ; D ′ ; E ′ ; F ′ et G ′ par rapport à la droite ∆,
des points C ; D ; E ; F et G .
Compléter le tableau suivant :
Point M
Coordonnées de M
Point M ′ symétrique
de M
Coordonnées de M ′
A
B
C
D
E
F
G
H
I
H′
I′
(2 ; 3) (1 ; 5) ( 4 ; 2) (2 ; 2) (5; 1) ( −3 ; − 1) ( −2 ; − 4 )
A′
B′
C′
D′
E′
F′
G′
( −5 ; 3) (e2 ; π )
Séquence 5 – MA01
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À l’aide du tableau précédent, compléter la conjecture suivante :
« Si un point M a pour coordonnées (a ; b ) alors le symétrique de M par rapport
à la première bissectrice a pour coordonnées (....... ; .......) ».
C
Cours
Soit (O ,I , J ) un repère orthonormé du plan.
On note ∆ la première bissectrice du repère (cf. activité 2) c'est-à-dire la droite
d’équation y = x .
Soit M ( x ; y ) un point du plan. On considère le point M ′( y ; x ) symétrique de M
par rapport à la droite ∆.
On note exp la courbe de la fonction exponentielle et ln la courbe de la fonction logarithme népérien.
Nous allons établir que le point M est sur exp si et seulement si le point M ′
est sur ln. Comme ceci sera vrai pour un point M pris quelconque (au hasard, si
vous préférez) sur exp , ce sera vrai pour tous les points M de exp. On pourra
par conséquent en conclure que la courbe ln est la symétrique (par rapport à
∆) de la courbe exp
Voyons maintenant pourquoi M et M ′ sont symétriques par rapport à ∆.
Par définition
M ‘exp ⇔ y = e x
⇔ eln y = e x car y > 0 donc y = eln y
⇔ ln y = x
Par définition
M ’ ‘ln ⇔ x = ln y (attention, les coordonnées de M ′
sont ( y ; x ) donc les rôles de x et y
sont inversés par rapport à ce qu’ils
sont d’habitude).
Donc M ‘exp ⇔ M ’ ‘ln.
Comme nous avons vu à l’activité 1 qu’échanger l’abscisse et l’ordonnée d’un
point revient à prendre le symétrique orthogonal de ce point par rapport à la
première bissectrice du repère, on peut conclure que les points M et M ′ sont
symétriques l’un de l’autre, par rapport à la droite ∆.
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Séquence 5 – MA01
A savoir
y = e x ⇔ x = ln y avec y ∈ 0 ; + ∞  et x ∈.
Pour obtenir le tracé de la courbe de la fonction logarithme népérien, il suffit
donc de tracer la courbe symétrique par rapport à ∆ de la courbe de la fonction
exponentielle.
On part donc de exp :
y = exp(x)
1
1
Puis, on construit les symétriques (ce qui revient à échanger les coordonnées) de
chaque point M de exp.
Vous pouvez effectuer vous-même cette construction avec le logiciel Geogebra
puis reproduire le tracé obtenu en complétant le graphique suivant :
Séquence 5 – MA01
15
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y = exp(x)
M = (1.62, 5.05)
M’ = (5.05, 1.62)
1
1
On obtient le tracé suivant :
y = exp(x)
M = (1.84, 6,3)
M’ = (6.3, 1.84)
1
1
16
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Séquence 5 – MA01
Nous reviendrons sur la courbe de la fonction ln lors de l’étude des variations de
la fonction ln.
D
Exercice 7
Exercices d’apprentissage
Compléter les pointillés dans les phrases suivantes :
(
)
a) A e −2 ; ...... ∈ ln.
)
b) B (..... ; y ∈ ln.
c) C ( x ; y ) ∈ ln ⇔ D ( y ; x ) ∈........
d) ln x = 5 ⇔ x = ........
x
e) e x × e − ln e = .......
Exercice 8
a) Quelle est l’image de 0,5 par la fonction ln ?
b) Quel est l’antécédent de −0, 5 par la fonction ln ?
c) Quel nombre a pour image 2,7 par la fonction exp ?
d) Résoudre ln x = 0.
e) Résoudre ln x = 1.
Séquence 5 – MA01
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4
A
Dérivée et tableau de
variation de la fonction ln
Objectifs du chapitre
Connaître la dérivée de la fonction ln.
Calculer la dérivée d’une expression formée à l’aide (entre autres) de la fonction ln.
Connaitre le sens de variation de la fonction ln.
B
Activité 3
Résoudre une équation de la forme x n = k sur ]0 ; + ∞ [ lorsque k > 0 et
n ∈.
Pour débuter
Le sens de variation de la fonction réciproque
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel positif x par f ( x ) = x 2
et g ( x ) = x .
a) Montrer que les fonctions f et g sont réciproques.
On rappelle que ceci signifie l’une des deux choses équivalentes suivantes :
ou bien : partant d’un nombre a, en appliquant d’abord la fonction f puis la
fonction g, on retrouve le nombre a.
bien : les courbes f et g sont symétriques (orthogonales) par rapport à
la première bissectrice du repère (orthonormé).
ou
b) Quel est le sens de variation de la fonction f ? Quel est celui de la fonction g ?
Cas général : On considère deux fonctions u et v réciproques.
a) On suppose, ici, u strictement croissante.
Que pensez-vous du sens de variation de v ? (on pourra dessiner la courbe u
puis la courbe v , symétrique de u par rapport à le première bissectrice du
repère).
A l’aide de la définition d’une fonction strictement croissante, démontrer la
conjecture précédente (penser à la contraposée).
b) On suppose, ici, u strictement décroissante.
Que pensez-vous du sens de variation de v ?
Démontrer la conjecture faite au a).
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Séquence 5 – MA01
Activité 4
Quelle dérivée pour la fonction ln ?
Faisons un rétrospectif sommaire pour bien mesurer ce qui est en jeu ici :
A partir des suites géométriques de raison q > 0 que nous avons prolongées aux
nombres réels, nous avons défini les fonctions exponentielles x q x . Parmi
celles-ci, l’une d’entre elles est égale à sa dérivée, c’est la fonction exponentielle
x e x . Ensuite, nous nous sommes intéressés à la fonction réciproque de la
fonction exponentielle que nous avons appelé fonction logarithme népérien.
Nous avons déjà remarqué qu’elle possède la « jolie » propriété de transformer
un produit en somme.
Nous cherchons maintenant à calculer la dérivée de la fonction logarithme népérien. Que va-t-on obtenir ? Vous allez le découvrir maintenant…
Conformément au programme, on admet que la fonction ln est dérivable sur
0 ; + ∞  .
On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞  par f ( x ) = eln( x ) .
A l’aide d’une propriété sur les fonctions exp et ln, donner une expression plus
simple de f ( x ).
En déduire la dérivée de f.
A l’aide de la formule donnant la dérivée de x eu ( x ) donner une expression
de f ′( x ) comportant ln′( x ).
Déduire l’expression de ln′( x ) des questions et .
C
Cours
1. Fonction dérivée de la fonction ln
Théorème 1
La fonction ln est dérivable sur 0 ; + ∞  .
1
Pour tout réel x de 0 ; + ∞  on a : ln′( x ) = .
x
Séquence 5 – MA01
19
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Remarque
Le premier point de ce théorème signifie que ln′( x ) existe pour tout x > 0. Ce
résultat est admis.
Le second point donne la valeur de ln′( x ). La dérivée de la fonction logarithme
népérien est donc la fonction inverse. Une justification de ce résultat a été donnée
à l’activité 4.
Comme nous l’avons déjà signalé : toute fonction dérivable est continue. Il en résulte
le corollaire (c’est un résultat qui découle logiquement d’un autre) suivant :
Corollaire
La fonction ln est continue sur ]0 ; + ∞ [.
Remarque
Ce résultat signifie intuitivement qu’on peut tracer la courbe de la fonction ln sans
lever le crayon (ce qui est cohérent avec l’allure de la courbe de la fonction ln donné
au chapitre précédent).
Le fait que la fonction ln soit en plus dérivable signifie intuitivement que la courbe
« n’a pas de coin ».
Pour bien comprendre on peut citer la fonction valeur absolue qui est continue sur
tout entier, mais qui n’est pas dérivable en x = 0 ce qui se traduit sur sa courbe
par un « coin » :
2
1
0
–3
–2
–1
0
–1
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1
2
3
2. Sens de variation de la fonction ln
En nous appuyant sur un dessin, nous avons conjecturé à l’activité 3 que le sens
de variation d’une fonction et le sens de variation de sa fonction réciproque
étaient les mêmes.
Ce résultat appliqué à la fonction exponentielle et à sa réciproque la fonction
logarithme népérien permet de conjecturer que la fonction logarithme népérien
est strictement croissante sur ]0 . + ∞ [.
Nous allons justifier ce résultat en donnant une autre explication.
Propriété
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞ [.
Son tableau de variation est :
x
ln(x)
0
1
e
1
+∞
0
Sa courbe est donnée ci-dessous :
y = Inx
1
1
e
Séquence 5 – MA01
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Démonstration
Nous venons de voir que la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ et que pour
1
tout réel x > 0, ln'( x ) = .
x
1
Or, pour tout réel x > 0,
> 0 ; donc ln′( x ) > 0 pour tout réel x > 0.
x
Ceci permet de conclure à l’aide d’un théorème vue en classe de première faisant
le lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable et le signe de sa dérivée,
que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞ [.
Les propriétés suivantes découlent des précédentes.
Propriété
Pour
tous réels a et b strictement positifs, on a : lna = ln b ⇔ a = b
lna < ln b ⇔ a < b.
Pour tout réel x et pour tout réel
La
a > 0, on a : e x = a ⇔ x = lna.
fonction ln conserve l’ordre sur ]0 ; + ∞ [.
lna
= 0 ⇔ a = 1.
lna
= 1 ⇔ a = e.
3. Dérivée de la fonction x ln(u(x))
Théorème
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction f définie sur I par f ( x ) = ln(u ( x )) est dérivable sur I et pour tout
réel x de I, on a :
u ′( x )
f ′( x ) =
.
u(x )
Remarque
Lorsque u est simplement la fonction définie par u ( x ) = x , dont la dérivée est
u ′( x ) = 1 , à l’aide du théorème précédent on retrouve la dérivée de la fonction f
définie par f ( x ) = ln x (c’est-à-dire la fonction logarithme népérien) puisque, dans
ce cas : f ′( x ) =
22
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Séquence 5 – MA01
1
1
= .
u( x ) x
4. Résolution d’une équation du type xn = k
avec n entier naturel et k > 0
On choisit un réel k strictement positif et un entier naturel n.
On s’intéresse aux solutions éventuelles x ∈]0 ; + ∞ [ de l’équation x n = k .
L’équation x n = k est équivalente à ln( x n ) = lnk d’après la propriété suivante (cf. paragraphe 2) :
« Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : lna = ln b ⇔ a = b ».
Si n = 0 : l’équation x n = k est équivalente à 1= k ; par conséquent, si k = 1,
=
et si k ≠ 1, = Ø.
Si n > 0 : comme on sait aussi que ln( x n ) = n ln x , l’équation x n = k est encore
lnk
équivalentc à ln x =
, d’où en tenant compte de eln x = x , l’équation x n = k
n
lnk
est encore équivalente à x = e n .
 lnk
Par conséquent, = e n


.

Propriété
Si k est un réel strictement positif et si n est un entier naturel non nul alors
l’équation x n = k admet une unique solution x dans ]0 ; + ∞ [ et cette solution est : x = e
lnk
n .
Remarque
Plus que ce résultat final, ce qu’il faut retenir c’est la suite d’équivalences (décrites
précédemment) qui permettent d’aboutir au résultat. A chaque fois qu’une situation se présente où vous devez résoudre sur ]0 ; + ∞ [ une équation de la forme
x n = k ; vous devez savoir reproduire le raisonnement précédent.
Graphiquement, ce résultat s’explique par le fait que toutes les courbes des
n
∗
fonctions x x (définies sur ]0 ; + ∞ [) pour les valeurs de n dans ne
coupent chacune des droites d’équation y = k (où k > 0) qu’en un seul point.
L’abscisse de ce point d’intersection est x
lnk
=e n .
Séquence 5 – MA01
23
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x x4
x x7
2
x x3 x x
y = 3,58
1
1 ln3,58
e 7
D
Exercice 9
e
ln3,58
2
Exercices d’apprentissage
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction ln au point
d’abscisse 1. En déduire une valeur approchée de ln x au voisinage de 1.
Donner une valeur approchée de ln1,1.
Exercice 10
Résolution d’équations avec ln et exp
Résoudre dans les équations :
a) ln(5x + 2) = ln 3
b) ln( −2x + 1) = 0
d) ln( x − 5) + ln( x − 3) = ln 3 + ln 5
24
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Séquence 5 – MA01
c) ln( 3x + 1, 5) = ln 5 − ln 2
e) e x = 7
f) e x = −2
Exercice 11
Résolution d’inéquations avec ln et exp
Résoudre dans les inéquations :
a) ln x > ln 3 b) ln( x + 1) ≥ ln 3
c) ln x ≤ 1
d)
e) ln(1− x 2 ) ≥ 0.
Exercice 12
e 2x
e− x
<6
Application de la fonction ln aux suites géométriques
a) On sait que
lim 2n = +∞ (cf. suite géométrique de raison strictement su-
n →+∞
périeure à 1). Ceci signifie qu’on peut rendre 2n aussi grand qu’on veut pourvu
que n soit assez grand.
Déterminer le plus petit entier n pour lequel 2n ≥ 315.
b) On sait que lim 0, 9n = 0 (cf. suite géométrique de raison positive et stricten →+∞
ment inférieure à 1). Ceci signifie qu’on peut rendre 0, 9n aussi petit qu’on veut
pourvu que n soit assez grand.
Déterminer le plus petit entier n pour lequel 0, 9n ≤ 0, 001.
Exercice 13
Dériver les fonctions suivantes :
a) f définie sur ] − 4 ; + ∞ [ par f ( x ) = ln( x + 4 ).
b) g définie sur ] − ∞ ; 0[ par g (u ) = ln( −3u ).
c) h définie sur ] − ∞ ; 0[ par h (t ) = ln(7t 2 + 3).
Exercice 14
Soit f la fonction définie sur [ −4 ; 6] par f ( x ) = e x − 2x − 1.
a) Calculer f ′( x ) et étudier son signe.
b) Dresser le tableau de variations de f.
e
admet une unique solution à préciser.
x
Exercice 15
Montrer que l’équation ln x =
Exercice 16
Etudier les variations de la fonction f définie sur


f ( x ) = ln  x − x 2 − 1 .


On admettra que la dérivée de x → x 2 − 1 est x →
x
2
[1 ; + ∞ [ par
.
x −1
Séquence 5 – MA01
25
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5
Synthèse
de la séquence
Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien (ln en abrégé) est définie sur ]0 ; + ∞ [ de la
manière suivante.
Le logarithme népérien d’un nombre réel a de ]0 ; + ∞ [ ( lna en abrégé) est
caractérisé par eln a = a.
Variations et courbe
La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0 . + ∞ [.
Son tableau de variation est :
x
ln(x)
0
1
e
1
+∞
0
La courbe de la fonction ln est :
y = Inx
1
1
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e
Séquence 5 – MA01
Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b strictement positifs,
ln(ab ) = lna + ln b
a
ln   = lna − ln b
 b
eln(a ) = a.
ln(1) = 0
ln(e)=1
a = ln b
a
Pour tous réels a et b , b = e ⇔ 
b > 0
Dérivées
La fonction ln est dérivable sur
1
]0 ; + ∞ [ et pour tout x de ]0 ; + ∞ [, ln′( x ) = .
x
Si x u ( x ) est une fonction dérivable et strictement positive sur un inter-
valle I alors x ln(u ( x )) est dérivable sur l’intervalle I et pour tout x de I ,
u ′( x )
ln′(u ( x )) =
.
u(x )
Formulaire de dérivation
Fonction f
f (x ) = k
Intervalle où f est dérivable
(k constante )
f ( x ) = ax + b (a , b constantes )
f (x ) = x 2
f ′( x ) = 0
f ′( x ) = a
x ∈
f ′( x ) = 2x
f (x ) = x 3
f (x ) = x
f (x ) =
1
x
Dérivée f ′
f ′( x ) = 3x 2
x ∈]0 ; + ∞ [
∈]0 ; + ∞ [
ou bien x ∈] − ∞ ; 0[
ou bien x
f ( x ) = ex
x ∈
f ( x ) = ln( x )
x ∈]0 ; + ∞ [
f ′( x ) =
1
2 x
f ′( x ) =
−1
x2
f ′( x ) = e x
f ′( x ) =
1
x
Séquence 5 – MA01
27
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Résolution d’une équation de la forme x n = k
avec n dans ∗ et k > 0
Pour n > 0, la phrase « x est solution dans ]0 ; + ∞ [ de l′ équation x n = k » s’écrit
 x n = k
de manière équivalente (et abrégée) 
.
 x > 0
Et, pour n > 0, on a les équivalences suivantes :
lnk
lnk
x n = k 
n
n
e
x
k
n
x
k
x
x
⇔
ln(
)
=
ln
⇔
ln
=
ln
⇔
ln
=
⇔
=

n
x > 0 
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Séquence 5 – MA01
6
Exercice I
Exercices
de synthèse
Le but de l’exercice est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 3] par
x ln x
f (x ) = −
.
2 x
On note la courbe de la fonction f dans un repère (O ; I , J ).
Partie I
On considère la fonction u définie sur l’intervalle [1 ; 3] par u ( x ) = x 2 − 2 + 2ln x .
Calculer u ′( x ).
Dresser le tableau de variations de la fonction u sur l’intervalle [1 ; 3].
Démontrer que l’équation u ( x ) = 0 admet une unique solution a dans l’inter-
valle [1 ; 3]. En donner un encadrement d’amplitude 0,1.
A l’aide des questions et dresser le tableau de signes de la fonction u.
Partie II
a) On note f ′ la dérivée de f.
u( x )
Montrer que pout tout x de [1 ; 3], f '( x ) =
où u est la fonction définie dans
2
2
x
la partie I.
A l’aide de la question I.., déterminer selon les valeurs de x le signe de f ′( x ).
b) Dresser le tableau de variations de f.
a2 + 1
c) Montrer que f (a ) =
, sachant que le nombre a vérifie u (a ) = 0.
a
( )
On note A le point de coordonnées 1 ; 1 .
2
a) Montrer que la tangente ∆ à au point d’abscisse e est parallèle à la droite
(OA ).
b) Tracer , la droite (OA ) et la tangente ∆.
)
c) Placer le point B de coordonnées (a ; f (a ) et tracer la tangente à la courbe
au point B.
Séquence 5 – MA01
29
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Exercice II
(d’après bac)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples 1. Pour chacune des questions
suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.
ex
Soit f une fonction définie sur ] − ∞; 0[∪]0 ; + ∞ [ par f ( x ) = 2x + 1+
.
ex − 1
On admet que la fonction f est dérivable sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; + ∞ [.
On désigne par la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé.
Le tableau de variations de la fonction f est donné ci-dessous.
− ∞ x
–ln2
0
ln2
+ ∞ variations
de f
− ∞ − ∞ + ∞ + ∞ 2ln2+3
Dans l’intervalle ]0 ; + ∞ [ l’équation f ( x ) = e2 admet :
z aucune solution
zune unique solution
zdeux solutions
La tangente à la courbe au point d’abscisse ln(1, 5) admet un coefficient
directeur :
z strictement positif
z strictement négatif
z nul
f ( − ln( 2)) est égal à :
z −2ln(2) + 3
Exercice III
 1
z ln  
 4
z −2ln(2) + 1
On considère la suite (un ) définie par son 1er terme u 0 = 6 et par la relation de
récurrence :
1
Pour tout entier naturel n, un +1 = un + 3.
4
On pose v = u − 4.
n
n
a) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera la
raison et le 1er terme.
n
 1
b) Montrer que v n = 2  . En déduire l’expression de un en fonction de n.
 4
c) Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (un ).
30
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Séquence 5 – MA01
On pose a = lnv .
n
n
a) Montrer que (an ) est une suite arithmétique de raison −2ln 2.
b) Déterminer l’expression de an en fonction de n.
c) Déterminer la valeur de n pour laquelle an est égal à −13ln 2.
Exercice IV
(d’après bac)
Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu’il commercialise
sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25
et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.
Dans tout l’exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d’euros, les
quantités en centaines de litres.
Si x désigne la quantité journalière produite, on appelle CT ( x ), pour x variant de
0, 25 à 5, le coût total de production correspondant.
La courbe Γ1 suivante est la représentation graphique de la fonction CT sur
l’intervalle [0, 25 ; 5].
La tangente à Γ1 au point A(1 ; 1) est horizontale.
Partie A
a) On admet que la recette R ( x ) (en milliers d’euros) résultant de la vente de
x centaines de litres de médicament, est définie sur [0, 25 ; 5] par R ( x ) = 1, 5x .
Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus ?
b) Tracer, sur le graphique suivant, le segment représentant graphiquement la
fonction R .
Lectures graphiques
Les questions a, b, c, suivantes seront résolues à l’aide de lectures graphiques
seulement. On fera apparaitre les traits de construction sur le graphique suivant.
Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
Séquence 5 – MA01
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y
Coût total (en milliers d’euros)
9
8
K
7
6
5
4
3
2
1
A
Volume du médicament produit
( en centaines de litres)
0
1
2
3
4
5
6
x
a) Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la « plage de rentabilité » c’est-à-dire de l’intervalle correspondant aux quantités commercialisées
dégageant un bénéfice positif.
b) Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés.
c) Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ?
À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu ?
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Séquence 5 – MA01
Partie B
Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction coût total CT est définie sur
l’intervalle [0, 25 ; 5] par CT ( x ) = x 2 − 2ln( x ).
Justifier que le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé par le laboratoire pour x
centaines de litres commercialisés, est donné par :
B ( x ) = 1, 5x − x 2 + 2x ln( x ).
Calculer B (2), et comparer au résultat obtenu à la question b) de la partie A.
On suppose que la fonction B est dérivable sur l’intervalle [0, 25 ; 5] et on note
B ′ sa fonction dérivée. Montrer que B ′( x ) = 2ln( x ) − 2x + 3, 5.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction B ′ , dérivée de la
fonction B, sur l’intervalle [0, 25 ; 5].
x
0,25
1
5
1,5
B ’(x)
y1
y2
On précise les encadrements : 0, 22 < y 1 < 0, 23 et −3, 29 < y 2 < −3, 28.
a) Démontrer que l’équation B ′( x ) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [0, 25 ; 5].
b) Dresser le tableau précisant le signe de B ′( x ) pour x appartenant à l’intervalle
[0, 25 ; 5].
En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0, 25 ; 5].
a) Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres).
Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.
b) Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question c) de la partie A ?
■
Séquence 5 – MA01
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