La fonction logarithme népérien

1
Séquence 5 – MA01
Séquence 5
La fonction
logarithme népérien
 Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien.
 Connaître les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa
relation fonctionnelle.
 Apprendre à utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture ou pour
résoudre des équations.
Objectifs de la séquence
Sommaire
1. Pré-requis
2. Premières notions sur la fonction logarithme népérien
3. Courbes des fonctions exp et ln
4. Dérivée et tableau de variation de la fonction ln
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse
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Séquence 5 – MA01
1Pré-requis
La fonction exponentielle
Vrai / Faux
Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le
cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie.
a) La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique
de premier terme
u
00= et de raison 1.
b) La fonction définie sur ]; [0+∞ par fx x ()=e est à valeurs dans + et
transforme une somme en un produit.
c) L’équation exp( ) x =0 admet une unique solution strictement positive.
d) La dérivée de la fonction exponentielle est strictement croissante sur −∞ ;
.
0
e) La fonction exponentielle est dérivable donc continue.
f) La dérivée de la fonction
fx x :e−1 est e
x
donc f est une fonction stric-
tement croissante ; par conséquent, il existe un seul nombre réel x
00≥ tel que
fx () .
00=
g) Pour tout
x ∈−∞];[,0 e–
x
e
x
= 1.
h) On a ee
3
2
3
2
33
=+.
i) La dérivée de
xx e est xx e
1
2.
j) Une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point
d’abscisse 2 est
yx =−e21().
k) Le tableau de variations de la fonction exponentielle est :
x−
∞
1+
∞
exp ( )
′
x
+
x exp( ) 0
A
Exercice
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Séquence 5 – MA01
a) Faux. On peut corriger comme ceci : « La fonction exponentielle est le prolongement
continu de la suite géométrique de premier terme
u
01= et de raison e. »
b) Vrai. On peut aussi définir la fonction
f sur  tout entier, la propriété énoncée
est encore vraie puisque la fonction exponentielle transforme chaque somme en
un produit.
c) Faux. Pour tout réel x , e
x
>0 donc l’équation e
x
=0 n’a pas de solu-
tion dans  ; a fortiori, elle n’en n’a pas qui soit strictement positive.
On peut corriger comme ceci : « L’équation exp( ) , x =173 admet une unique so-
lution strictement positive » ou remplacer 1,73 par n’importe quel nombre réel
strictement positif.
d) Vrai. La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-
même, qui est bien strictement croissante sur  donc sur −∞ ;0 aussi.
e) Vrai. Toute fonction dérivable est continue. La fonction exponentielle qui est
dérivable (par définition) n’échappe pas à cette règle.
f) Vrai. On peut même ajouter que
x
00=.
g) Vrai. L’égalité ee
−= xx
1 est même vraie pour tout réel x .
h) Vrai. En effet, on calcule séparément eee
3
2
3
2
9
2
33
==
× puis
eee
3
2
3
2
6
2
9
2
3++
==. Toutefois, dans le cas général de nombres réels x et y
quelconques, on a : ee
xyxy
(
)
≠+ sauf dans les cas « exceptionnels » où
xyxy ×=+ (comme ici, où x =3
2 et
y =3 on vérifie que xy xy +==×
9
2).
i) Faux. En posant ux x () ,= on a ee e e
xux ux
x
x
ux
′=
(
)
′=′=
() ()
() .
1
2
On peut corriger comme ceci : « La dérivée de xx e est xx
x
1
2e ».
j) Vrai. En effet, on sait qu’une équation de la tangente à la courbe de la fonction
exponentielle au point d’abscisse 2 est
yx −= −ee
22 2() ce qui est la même
chose que yx =−e21().
k) Faux. Il suffit d’échanger les valeurs 1 et 0 données pour
x et exp( ) x pour cor-
riger l’erreur. Précisément, le tableau de variations de la fonction exponentielle
est :
x−
∞
0+
∞
exp ( )
′
x
+
x exp( ) 1
 Solution
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Séquence 5 – MA01
2Premières notions sur la
fonction logarithme népérien
Objectifs du chapitre
 Définir la fonction logarithme népérien.
Etudier ses propriétés algébriques, sa courbe et ses liens avec la fonction ex-
ponentielle.
Pour débuter
Retour sur la fonction exponentielle
On fixe un nombre réel
a compris entre −10 et 10. A l’aide du tableau de varia-
tions de la fonction exponentielle et de sa courbe déterminer le nombre de solu-
tion de l’équation exp( ) xa = dans . On distinguera plusieurs cas en fonction
de la valeur de a .
Cours
1. Définition
Au cours de l’activité 1 nous avons vu
que l’équation exp( ) xa = possédait
zéro ou une solution dans  selon
que
a ≤0 ou bien que a >0.
Si
a ≤0 alors :
la courbe représentant la fonction
exp et la droite d’équation
ya =
n’ont pas de point d’intersection car
exp( ) x >0 pour tout x de .
Il y a zéro solution
x à l’équation
exp( ) xa = dans .
A
B
Activité 1
C
O
1
y
y = ex
x
a y = a
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Séquence 5 – MA01
O
1
y
y = ex
x
a
α
y = a
Si
a >0 alors :
la courbe représentant la fonction exp et la droite d’équation
ya = ont un seul
point d’intersection.
L’équation exp( )
xa = a une unique solution x (notée α ) dans .
Dans ce 2e cas où
a >0, partant d’un nombre a strictement positif, on peut lui
associer un nombre α .
On peut schématiser
cette opération par : a α en gardant à l’esprit que c’est
possible seulement lorsque a >0.
Nous allons maintenant donner un nom à
cette opération .
Définition 1
On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à tout nombre
réel a strictement positif associe l’unique solution réelle x de l’équation
exp( ) . xa =
Cette fonction est notée ln (comme logarithme népérien et se lit en épelant
les lettres « L, N ») et on a :
ln: ; 
ln()
0+∞
→
aa
avec exp ln( ) aa
( )
= autrement dit eln( ) .
aa
=
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