Soit les applications : ( ), de IR2 dans IR2, définie par : ( ) ( ), ( ), de

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CHAPITRE 4 – APPLICATIONS LINÉAIRES
EXERCICE 1 (CHAPITRE 5 – I)
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Soit les applications :
, de IR2 dans IR2, définie par : 
 ,
, de IR2 dans IR2, définie par : 
,
, de IR2 dans IR2, définie par : 
,
et , de IR3 dans IR2, définie par : 
.
Lesquelles de ces applications sont-elles linéaires ?
CORRECTION
□ L’application  est linéaire si et seulement si (voir encadré page 133 du manuel) :
 IR², 
 IR², α  IR, β  IR,
on a :
f1α
β
 = αf1+ βf1 .
Or :
f1α
β
 = f1αβ
αβ
= αβαβ
αβαβ
= αβαβ
ααβαββ,
et :
αf1+ βf1
 = α
 + β
  = ααββ αβ ,
Les deux expressions ααβαββ et αβ étant différentes,
elles ne peuvent être égales quelles que soient les valeurs de α, β, x, y,  et . On peut le
vérifier en remplaçant α, β, x, y,  et  par 1, par exemple. On a alors, en effet :
1
Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel
d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi).

2
f1α
β
 = f1
 = f1  =   = 
et :
αf1+ βf1
 = f1
 + f1  =   =  .
Il s’ensuit que l’application  n’est pas linéaire.
□ L’application  est linéaire si et seulement si :
 IR², 
 IR², α  IR, β  IR,
on a :
f2α
β
 = αf2+ βf2 .
Or :
f2α
β
 = f2αβ
αβ
= αβαβ
αβαβ
= αβαβ
αβαβ,
et :
αf2+ βf2
 = α
+ β
 = ααββ ααββ.
Les deux vecteurs ou matrices colonnes :
αβαβ
αβαβ et ααββ ααββ
étant égales, l’application  est linéaire.
□ Par la même méthode, on peut déterminer que l’application  n’est pas linéaire,
mais que, en revanche, l’application  l’est (le faire !).

3

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EXERCICE 2 (CHAPITRE 5 – I)
Soit l’application , de IR2 dans IR2, définie par : 
.
Déterminer  . En déduire que cette application n’est pas linéaire.
CORRECTION
Comme  (voir propriété V-1, page 135 du manuel), l’application  n’est pas
linéaire.
EXERCICE 3 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire , de IR3 dans IR3, définie par :
.
Déterminer A1 la matrice de  par rapport à la base canonique de IR3.
CORRECTION
Comme : 
 = 
 = x
 + y  + z ,
on a :
g1 =   
  .
A1 =   
   est donc (voir propriété V-2, page 137 du manuel) la matrice
représentant  par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et
d’arrivée.

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EXERCICE 4 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire , de IR2 dans IR3, définie par :
.
Déterminer A2 la matrice de  par rapport aux bases canoniques de IR2 et de IR3.
CORRECTION
Comme : 
 = 
 = x
 + y ,
on a :
g2
 =  
 .
A2 =  
  est donc la matrice représentant  par rapport aux bases canoniques de
ses espaces de départ et d’arrivée.
EXERCICE 5 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire , de IR3 dans IR2, définie par :
 .
Déterminer A3 la matrice de  par rapport aux bases canoniques de IR2 et de IR3.
CORRECTION
Comme : 
  =   = x  + y
 + z
,
on a :
g3 =   
  .
A3 =   
   est donc la matrice représentant  par rapport aux bases
canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée.