Soit les applications : ( ), de IR2 dans IR2, définie par : ( ) ( ), ( ), de

CHAPITRE 4 – APPLICATIONS LINÉAIRES
EXERCICE 1 (CHAPITRE 5 – I)1
Soit les applications :
( ), de IR2 dans IR2, définie par :
( )
(
( ), de IR2 dans IR2, définie par :
( )
(
),
( ), de IR2 dans IR2, définie par :
( )
(
),
et
( ), de IR3 dans IR2, définie par :
( )
),
(
).
Lesquelles de ces applications sont-elles linéaires ?
CORRECTION
□ L’application
( ) est linéaire si et seulement si (voir encadré page 133 du manuel) :
( )
IR², ( )
IR², α IR, β IR,
on a :
f1[α ( )
Or :
f1[α ( )
α
β ( )] = f1(
α
=(
α
(α
=(
α
β ( )] = αf1( )+ βf1( ).
β
)
β
β
α
β )(α
β
)
β )
α
α
αβ
β
αβ
β
β
),
et :
αf1( )+ βf1( ) = α (
)+ β (
α
)=(
α
α
β
β
β
),
Les deux expressions α
αβ
αβ
β
et α
β
étant différentes,
elles ne peuvent être égales quelles que soient les valeurs de α, β, x, y, et . On peut le
vérifier en remplaçant α, β, x, y, et par 1, par exemple. On a alors, en effet :
Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel
d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi).
1
1
f1[α ( )
β ( )] = f1[( )
( )] = f1( ) = (
)=( )
et :
αf1( )+ βf1( ) = f1( ) + f1( ) = (
(
) = ( ).
( ) n’est pas linéaire.
Il s’ensuit que l’application
□ L’application
)
( ) est linéaire si et seulement si :
( )
IR², ( )
IR², α IR, β IR,
on a :
f2[α ( )
Or :
f2[α ( )
α
β ( )] = f2(
α
=(
=(
β ( )] = αf2( )+ βf2( ).
β
)
β
α
(α
β
α
α
(α
β ) (α
β
β
α
α
β )
)
β )
β
),
β
et :
αf2( )+ βf2( ) = α (
α
)=(
α
)+ β (
α
α
β
β
β
).
β
Les deux vecteurs ou matrices colonnes :
α
(
α
β
étant égales, l’application
β
α
α
β
α
) et (
β
α
α
α
β
β
β
)
β
( ) est linéaire.
□ Par la même méthode, on peut déterminer que l’application
mais que, en revanche, l’application ( ) l’est (le faire !).
2
( ) n’est pas linéaire,
3
EXERCICE 2 (CHAPITRE 5 – I)
Soit l’application
( ), de IR2 dans IR2, définie par :
( )
(
).
(⃗ ). En déduire que cette application n’est pas linéaire.
Déterminer
CORRECTION
(⃗ )
(
)
Comme (⃗ )
linéaire.
( )
⃗ (voir propriété V-1, page 135 du manuel), l’application
( ) n’est pas
EXERCICE 3 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire
( ), de IR3 dans IR3, définie par :
( )
Déterminer A1 la matrice de
(
).
( ) par rapport à la base canonique de IR3.
CORRECTION
Comme :
(
)=(
)
( )
(
) = x( ) + y( ) + z(
),
on a :
g1( ) = (
A1 = (
représentant
d’arrivée.
) ( ).
) est donc (voir propriété V-2, page 137 du manuel) la matrice
( ) par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et
4
EXERCICE 4 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire ( ), de IR2 dans IR3, définie par :
( )
(
).
( ) par rapport aux bases canoniques de IR2 et de IR3.
Déterminer A2 la matrice de
CORRECTION
Comme :
(
)=(
)
(
) = x( ) + y( ),
on a :
g2( ) = (
A2 = (
) ( ).
( ) par rapport aux bases canoniques de
) est donc la matrice représentant
ses espaces de départ et d’arrivée.
EXERCICE 5 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire ( ), de IR3 dans IR2, définie par :
( )
(
).
( ) par rapport aux bases canoniques de IR2 et de IR3.
Déterminer A3 la matrice de
CORRECTION
Comme :
(
)=(
)
(
)
(
) = x(
) + y(
) + z( ),
on a :
g3( ) = (
A3 = (
) ( ).
) est donc la matrice représentant
canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée.
5
( ) par rapport aux bases
EXERCICE 6 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire ( ), de IR3 dans IR3, définie par :
( )
Déterminer A4 la matrice de
(
).
( ) par rapport à la base canonique de IR3.
CORRECTION
Comme :
(
)=( )
( )
( ) = x( ) + y( ) + z( ),
on a :
g4( ) = (
A4 = (
) ( ).
) est donc la matrice représentant
( ) par rapport aux bases
canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée.
EXERCICE 7 (CHAPITRE 5 – II)
Soit l’application linéaire ( ), de IR3 dans IR3, définie par :
( )
Déterminer A5 la matrice de
( ).
( ) par rapport à la base canonique de IR3.
CORRECTION
Comme :
( )=( )
( )
( ) = x( ) + y( ) + z( ),
on a :
g5( ) = (
A5 = (
) ( ).
) est donc la matrice représentant
de IR3.
6
( ) par rapport à la base canonique
EXERCICE 8 (CHAPITRE 5 – II)
1. Déterminer la matrice M1 représentant l’application
rapport à la base {( ) (
) (
2. Même chose pour l’application
( ) (de l’exercice II-1) par
)}.
( ) (de l’exercice II-4).
CORRECTION
On peut représenter une application linéaire ( ) par rapport à d’autres bases que les
bases canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée. Chaque colonne j de la matrice
est alors le vecteur colonne des coordonnées, dans la base de l’espace d’arrivée, de
l’image par ( ) du jème vecteur de la base de l’espace de départ.
1. L’application ( ) ayant IR3 pour espaces de départ et d’arrivée, les matrices qui la
représentent sont d’ordre 3.
Les trois colonnes de la matrice M1 représentant ( ) par rapport à la base :
{( ) (
) (
)}
sont les coordonnées dans cette base de :
( )
(
) et
(
) respectivement.
Comme :
( )
(
),
on a :
( )
( )
(
)
( )
( ),
(
)
( ) et
(
)
( ).
□ La première colonne de M1 est constituée par les coordonnées du vecteur :
( )
dans la base :
{( ) (
) (
)},
autrement dit (voir chapitre IV) par le vecteur ( ) solution du système :
(
)( )
7
( ).
En appliquant la méthode du pivot dans l’ordre habituel à la matrice élargie de ce
système, on obtient successivement :
(
| )
(
|
)
(
|
).
On trouve ainsi, en commençant par la dernière équation :
z = 0, y =
, puis x = .
Le vecteur colonne des coordonnées de
( ) dans la base {( ) (
(
) (
)} est donc :
).
□ La deuxième colonne de M1 est constituée par les coordonnées du vecteur :
(
)
dans la base :
{( ) (
) (
)},
autrement dit par le vecteur ( ) solution du système :
(
)( )
( ).
En appliquant la méthode du pivot dans l’ordre habituel à la matrice élargie de ce
système, on obtient successivement :
(
| )
(
|
)
(
| ).
On trouve ainsi, en commençant par la dernière équation :
z = , y = , puis x = .
Le vecteur colonne des coordonnées de
(
) dans la base {( ) (
) (
donc :
( ).
□ La troisième colonne de M1 est constituée par les coordonnées du vecteur :
(
)
dans la base :
{( ) (
) (
8
)}.
)} est
Comme
(
)=( )
( )
(
)
(
) et comme les coordonnées d’un
vecteur dans une base sont uniques (voir chapitre IV), le vecteur colonne des
coordonnées de
(
) dans la base {( ) (
)} est :
) (
( ).
La matrice représentant
( ) par rapport à la base {( ) (
M1 = (
) (
)} est donc :
).
2. De la même façon, les trois colonnes de la matrice M4 représentant
la base :
{( ) (
) (
( ) par rapport à
)}
sont les coordonnées dans cette base de :
( )
(
) et
(
) respectivement.
Comme :
( )
(
),
on a :
( )
(
)
( ),
(
)
(
) et
(
)
(
).
La première colonne de M4 est constituée par les coordonnées du vecteur :
( )
dans la base :
{( ) (
Comme
( )=( )
( )
(
) (
)
(
)}.
), ces coordonnées sont :
( ).
La deuxième colonne de M4 est constituée par les coordonnées du vecteur :
9
(
)
dans la base :
{( ) (
Comme
(
)
(
)
( )
) (
(
)
(
)}.
(
), ces coordonnées sont :
).
La troisième colonne de M4 est constituée par les coordonnées du vecteur :
(
)
dans la base :
{( ) (
Comme
(
)
(
)
( )
(
) (
)}.
)
(
(
La matrice représentant
).
( ) par rapport à la base {( ) (
M4 = (
) (
)} et {(
) (
) (
)} est donc :
).
EXERCICE 9 (CHAPITRE 5 – II)
Déterminer la matrice M2 représentant l’application
aux bases {(
), ces coordonnées sont :
( ) (de l’exercice II-2) par rapport
) ( )}.
CORRECTION
L’application ( ) ayant IR2 pour espace de départ et IR3 pour espace d’arrivée, les
matrices qui la représentent sont de format (3, 2).
Les deux colonnes de la matrice M2 représentant
10
( ) par rapport aux bases :
{(
) (
)} et {(
) (
) ( )}
) (
) ( )}
sont les coordonnées dans la base :
{(
de :
(
) et
(
( )
(
) respectivement.
Comme :
)
on a :
(
)
(
) et
(
)
(
).
La première colonne de M2 est constituée par les coordonnées du vecteur :
(
)
dans la base
{(
) (
) ( )},
autrement dit par le vecteur ( ) solution du système :
(
)( )
(
).
En appliquant la méthode du pivot dans l’ordre habituel à la matrice élargie de ce
système, on obtient successivement :
(
|
)
(
|
)
(
| ).
On trouve ainsi, en commençant par la dernière équation :
z = 0, y = 1, puis x = .
La première colonne de M2 est donc :
( ).
La seconde colonne de M2 est constituée par les coordonnées du vecteur
(
)
dans la base
{(
) (
11
) ( )},
autrement dit par le vecteur ( ) solution du système :
(
)( )
(
).
En appliquant la méthode du pivot dans l’ordre habituel à la matrice élargie de ce
système, on obtient successivement :
(
|
)
(
|
)
(
| ).
On trouve ainsi, en commençant par la dernière équation :
z =1, y =
, puis x =
.
La seconde colonne de M2 est donc :
(
).
On a donc finalement :
M2 = (
).
EXERCICE 10 (CHAPITRE 5 – III)
Déterminer l’image, le rang et le noyau des applications linéaires
()à
( ) ci-dessus.
Ces applications sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
Discuter l’existence et le nombre de solutions des systèmes :
AiX = Y,
où Ai est la matrice représentant
de départ et d’arrivée, i = 1,… , 5.
( ) par rapport aux bases canoniques de ses espaces
CORRECTION
□
( )
(
)
( ), avec
▪ Le rang de l’application linéaire
= (
)
( ) est égal au rang de A1.
Comme :
rangA1 = rang(
) = rang(
) = rang(
12
) = 2,
le rang de
( ) est égal à 2.
▪ L’image de l’application linéaire
Img1 = {
( ) est (voir page 144 du manuel) :
( )
}={
( ) ( )
}.
C’est donc le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par les colonnes de A1.
( ) est (voir page 150 du manuel) :
▪ Le noyau de l’application linéaire
⃗}={
( )
Kerg1 = {
⃗ }.
En appliquant la méthode du pivot aux lignes de A1, on obtient successivement :
(
Le système
)
(
)
(
).
⃗ a donc pour solution : y = 2z et x = – z. Il s’ensuit que :
( )
Kerg1 = {(
)
}
{ (
)
}
Kerg3 est donc le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par le singleton {(
)}.
▪ L’application ( ) est injective si son rang est égal à la dimension de son espace de
départ (voir propriété V-8 page 149 du manuel). Elle est surjective si son rang est égal à
la dimension de son espace d’arrivée (voir propriété
= Y n’a pas toujours de solution : il n’en a que si Y est un élément de Img1. Le cas échéant,
( ) n’étant pas injective, cette solution n’est pas unique. V-6 page 148 du manuel).
Enfin, elle est bijective si elle est injective et surjective (voir page 133 du manuel).
Comme IR3 est l’espace de départ et d’arrivée de ( ) et comme le rang de ( ) est égal
à 2, cette application n’est pas injective ni surjective. Elle n’est donc pas non plus
bijective.
L’application
□
( )
(
( ) n’étant pas surjective, le système A1X
)
( ), avec
= (
13
).
( ) est égal au rang de A2.
▪ Le rang de l’application linéaire
Comme rangA2 = rang(
) = 2 (deux colonnes non proportionnelles), le rang de
()
est égal à 2.
( ) est :
▪ L’image de l’application linéaire
Img2 = {
( )
}={
( ) ( )
}.
C’est le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par les colonnes de A2.
▪ Le noyau de l’application linéaire
Kerg2 = { ( )
( ) est :
( )
( )} = { ( )
Le vecteur X = ( ) est solution du système
( )
( )
( )}.
( ) et comme les colonnes de A2
sont linéairement indépendantes, cette solution est unique (voir chapitre IV). Il s’ensuit
que l’ensemble kerg2 a pour seul élément le vecteur nul de IR2 :
Kerg2 = {( )}
▪ L’application ( ) est injective puisque son noyau se réduit au vecteur nul de son
espace de départ (voir propriété V-11 page 152 du manuel). En revanche, elle n’est pas
surjective puisqu’elle est de rang deux et que la dimension de son espace d’arrivée, IR3,
est égale à 3.
▪ Comme l’application ( ) n’est pas surjective, le système A2X = Y n’a pas toujours de
solution : il n’en a que si Y est un élément de Img2. Le cas échéant, ( ) étant injective,
cette solution est unique.
□
( )
(
)
( ), avec
= (
).
▪ Le rang de l’application linéaire
( ) est égal au rang de A3.
Comme rangA3 = rang(
) = 2 (deux lignes non proportionnelles), le rang de
( ) est égal à 2.
14
▪ L’image de l’application linéaire
Img3 = {
( ) est :
( )
}={
( ) ( )
}.
C’est le sous-espace vectoriel de IR2 engendré par les colonnes de A3. Comme les
colonnes de A3 forment un système de vecteurs de IR2 de rang deux, elles engendrent IR2.
Il s’ensuit que l’image de l’application linéaire ( ) est IR2 :
Img3 = IR2.
( ) est :
▪ Le noyau de l’application linéaire
Kerg3 = { ( )
( )
( )} = { ( )
( )
( )}.
De :
( )
( ),
autrement dit de :
(
on déduit : x = 4z et y =
)( )
( ),
z. Il s’ensuit que :
Kerg3 = {(
)
}
{ ( )
}
Kerg3 est donc le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par le singleton {( )}.
▪ L’application ( ) n’est pas injective puisque son noyau ne se réduit pas au vecteur nul
de son espace de départ. En revanche, elle est surjective puisqu’elle est de rang deux et
que la dimension de son espace d’arrivée, IR2, est égale à 2.
▪ Comme l’application ( ) est surjective, le système A3X = Y a toujours une solution, qui
n’est cependant pas unique puisque ( ) n’est pas injective.
15
□
( )
(
)
( ), avec
= (
).
( ) est égal au rang de A4.
▪ Le rang de l’application linéaire
Comme :
rangA4 = rang(
le rang de
) = rang(
) = rang(
) = 3,
( ) est égal à 3.
▪ L’image de l’application linéaire
Img4 = {
( ) est :
( )
}={
( ) ( )
}.
C’est donc le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par les colonnes de A4. Comme ces
trois colonnes sont linéairement indépendantes (puisque le rang de A4 est égal à 3) et
comme ce sont des vecteurs de IR3, elles forment une base de IR3. Il s’ensuit que l’image
de l’application linéaire ( ) est IR3 :
Img4 = IR3.
▪ Le noyau de l’application linéaire
Kerg4 = {
( ) est :
⃗}={
( )
⃗ }.
⃗ et comme les colonnes de A4 forment
Le vecteur X = ⃗ est solution du système
une base de IR3, cette solution est unique. Il s’ensuit que l’ensemble kerg4 a pour seul
élément le vecteur nul de IR3 :
Kerg4 = { ( )}
▪ L’application ( ) est injective si son rang est égal à la dimension de son espace de
départ. Elle est surjective si son rang est égal à la dimension de son espace d’arrivée.
Comme IR3 est l’espace de départ et d’arrivée de ( ) et comme le rang de ( ) est égal
à 3, cette application est injective et surjective, donc bijective.
Il s’ensuit que, quel que soit le vecteur Y de IR3, le système A4X = Y a une unique solution.
□
( )
( )
( ), avec
= (
).
16
▪ Le rang de l’application linéaire
( ) est égal au rang de A5.
Comme :
rangA5 = rang(
le rang de
) = rang(
) = 3,
( ) est égal à 3.
▪ L’image de l’application linéaire
Img5 = {
( ) est :
( )
}={
( ) ( )
}.
C’est donc le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par les colonnes de A5. Comme ces
trois colonnes forment la base canonique de IR3, l’image de l’application linéaire ( ) est
IR3 :
Img5 = IR3.
▪ Le noyau de l’application linéaire
Kerg5 = {
( ) est :
⃗}={
( )
⃗ }.
⃗ et comme les colonnes de A5 forment
Le vecteur X = ⃗ est solution du système
une base de IR3, cette solution est unique. Il s’ensuit que l’ensemble kerg5 a pour seul
élément le vecteur nul de IR3 :
Kerg5 = { ( )}
▪ Comme IR3 est l’espace de départ et d’arrivée de ( ) et comme le rang de
égal à 3, cette application est injective et surjective, donc bijective.
( ) est
Il s’ensuit que, quel que soit le vecteur Y de IR3, le système A5X = Y a une unique solution.
EXERCICE 11 (CHAPITRE 5 – III)
Soit l’application linéaire ( ), de IR3 dans IR3, définie par :
f(X) = MX, où M = (
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer le rang de M.
En déduire la dimension de kerM.
Effectuer la somme des colonnes de M.
En déduire un vecteur de kerM.
Déterminer kerM.
17
).
CORRECTION
)
1. RangM =rang(
=
(
(
)
)
= 2.
2. Comme (théorème des dimensions) :
nombre de colonnes de M = rangM + dimkerM,
on a :
dimkerM = 3 – 2 = 1.
3. Si l’on note C1, C2 et C3 les trois colonnes de M respectivement, on a :
C1 + C2 + C3 = (
)
(
)
(
)
( ).
4. KerM est l’ensemble des vecteurs X tels que MX = ( ).
De C1 + C2 + C3 = ( ), on déduit :
(
)( )
( ),
et donc :
M( )
( ).
Il s’ensuit que le vecteur ( ) est un élément de kerM.
5. La dimension de kerM étant égale à 1, tout système contenant un vecteur non nul
de kerM forme une base de kerM. Le vecteur :
( )
étant un vecteur non nul de kerM (voir question précédente), il forme une base
de kerM et l’on a :
kerM = { ( )
18
}
EXERCICE 12 (CHAPITRE 5 – III)
Soit l’application linéaire ( ), de IR4 dans IR3, définie par :
g(X) = NX, où N = (
).
1. Déterminer le rang de N.
2. En déduire la dimension de kerN.
3. Trouver deux combinaisons linéaires des colonnes de N égales au vecteur nul
de IR4.
4. En déduire kerN.
CORRECTION
1. RangN
(
(
)
(
)
)
= 2.
2. Comme (théorème des dimensions) :
nombre de colonnes de N = rangN + dimkerN,
on a :
dimkerN = 4 – 2 = 2.
3. Si l’on note C1, C2, C3 et C4 les quatre colonnes de N respectivement, on a :
C1 + C2 + C3 – C4 = ⃗ et
C1 + C2 – 2C3 + 0C4 = ⃗ .
4. Comme :
C1 + C2 + C3 – C4 = ⃗ ,
le vecteur (
) appartient à kerN.
De même, comme :
C1 + C2 – 2C3 + 0C4 = ⃗ ,
le vecteur (
) appartient à kerN.
19