Mathématiques L2 – Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci

Mathématiques L2 – Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci
Dossier 4 – Eléments de corrigé 2016-2017 Page 1
Corrigé du TD n°4
Applications linéaires
E XERCICE 1
1. f(.) est une application de IR
2
dans IR
3
. En effet,
- le vecteur 
 est un élément de
,
- le vecteur 
 un élément de 
.
2. Ecrire 
 sous la forme 
, où  et  sont des vecteurs (ou matrices) colonnes
de  . f
 = 
  =   = 
 = xC
1
+ yC
2
, où C
1
= 
 et C
2
= 
.
3.
 .
On en déduit que f  = M
, où M =  
  = (C
1
C
2
).
E XERCICE 2
1.   = M
1
X, avec M
1
=   
  .
• Le format de la matrice M
1
, autrement dit le couple :
(nombre de lignes de M
1
, nombre de colonnes de M
1
),
est égal à :
(dimension de l’espace d’arrivée de  (.) , dimension de l’espace de départ de  (.)).
Comme la matrice est de format (3 , 3) — on dit plutôt que c’est une matrice carrée d’ordre 3 — et
comme les espaces de départ et d’arrivée sont de type IR
n
, l’espace de départ et d’arrivée de cette
application est IR
3
.
• Rang = rangM
1
= rang  
   = rang     = rang      = 3.
• Une application linéaire est injective si et seulement si son rang est égal à la dimension de son espace de
départ. (Propriété démontrée en cours)
Comme l’espace de départ de l’application f(.) est IR
3
et comme rang f = dimIR
3
= 3, cette application
est injective.
Une application linéaire est surjective si et seulement si son rang est égal à la dimension de son espace
d’arrivée. (Propriété démontrée en cours)
Comme l’espace d’arrivée de l’application f(.) est IR
3
et comme rang f = dimIR
3
= 3, cette application est
surjective.
Enfin, comme l’application f(.) est injective et surjective, elle est bijective.
• Imf = {MX, X Є IR
3
}= IR
3
(car, f(.) étant surjective, Imf est l’espace d’arrivée de f(.)).

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• Kerf = {X Є IR
3
/ MX =  } = { } (car car f(.) est injective).
• Comme f(.) est bijective, le système Y = MX a une solution unique.
2.   = M
2
X, avec M
2
=   
  .
• Même raisonnement que plus haut. Comme la matrice M
2
est d’ordre 3, et comme les espaces de
départ et d’arrivée sont de type IR
n
, l’espace de départ et d’arrivée de cette application est IR
3
.
• Rang = rangM
2
= rang  
   = rang      = rang      = 2.
• Cette application linéaire est injective si et seulement si son rang est égal à la dimension de son
espace de départ, autrement dit si et seulement si son rang est égal à 3. Or on vient de voir que rang
= 2. Cette application n’est donc pas injective.
Elle n’est pas non plus surjective dans la mesure où son espace d’arrivée est le même que son espace
de départ (son rang n’est donc pas plus égal à la dimension de son espace d’arrivée).
Enfin, comme l’application  (.) n’est pas injective ni surjective, elle n’est pas bijective.
• Im = {M
2
X, X Є IR
3
}. C’est le sous-espace vectoriel de IR
3
engendré par les colonnes de M
2
.
• Ker = {X Є IR
3
/ M
2
X =  }.
1
ère
méthode de détermination de ker (ou kerM
2
) : résolution de M
2
X =  .
En appliquant la méthode du pivot sur les lignes de M
2
, on obtient (voir plus haut) la matrice :
  .
Le système M
2
X =  est donc équivalent au système :
  X = 
,
ce qui donne, en posant X = :       
Le système M
2
X = 0 a donc pour solutions l’ensemble des vecteurs X de la forme .
Ker est donc le sous-espace vectoriel de IR
3
engendré par !
".
2
nde
méthode de détermination de ker :
Théorème des dimensions : dimE = rang + dimker (où E est l’espace de départ de  (.))
Du théorème des dimensions, on déduit que : dimker = 3 – 2 = 1.
Si l’on note C
1
, C
2
et C
3
les trois colonnes de M
2
respectivement, on a :
C
1
+ C
2
+ C
3
=  ,
ce qui donne :
(C
1
C
2
C
3
)
 = 
ou encore :

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M
2
 = 
.
Le vecteur 
 appartient donc à ker
.
Et comme dimker = 1, ce vecteur forme même une base de ker .
Ker est donc le sous-espace vectoriel de IR
3
engendré par !
".
• Comme  (.) n’est pas surjective, le système Y = M
2
X n’a (au moins) une solution que si Y est un
élément de Im .
3.   = M
3
X, avec M
3
=   
  .
• Comme la matrice M
3
est de format (2 , 3) et comme ses espaces de départ et d’arrivée sont de type
IR
n
, l’espace de départ de cette application est IR
3
et son espace d’arrivée IR
2
.
• Rang  = rang M
3
= rang  
  = 2.
• Comme le rang de l’application  (.) diffère de la dimension de son espace de départ, cette
application n’est pas injective.
Comme le rang de  (.) est égal à la dimension de son espace d’arrivée (rang = dimIR
2
= 2), cette
application est surjective.
Enfin, comme l’application  (.) n’est pas injective, elle n’est pas non plus bijective.
• Im = { M
3
X, X Є IR
3
}= IR
2
(car,  (.) étant surjective, Im est l’espace d’arrivée de  (.)).
• Ker = {X Є IR
3
/ M
3
X = 0}.
1
ère
méthode de détermination de ker (ou kerM
3
) : résolution de M
3
X =  .
En appliquant la méthode du pivot sur les lignes de M
3
, on obtient la matrice :
  .
Le système M
3
X =  est donc équivalent au système :
  X = 
,
ce qui donne, en posant X = :
Le système M
3
X = 0 a donc pour solutions l’ensemble des vecteurs X de la forme 
.
Ker est donc le sous-espace vectoriel de IR
3
engendré par !
".
2
nde
méthode de détermination de ker :
Théorème des dimensions : dimE = rang + dimker (où E est l’espace de départ de  (.))
Du théorème des dimensions, on déduit que : dimker = 3 – 2 = 1.
Si l’on note C
1
, C
2
et C
3
les trois colonnes de M
3
respectivement, on a :
2C
1
+ C
2
+ 3C
3
=  ,
ce qui donne :

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M
3
 = 
.
Le vecteur 
 appartient donc à ker
.
Et comme dimker = 1, ce vecteur forme même une base de ker .
Ker est donc le sous-espace vectoriel de IR
3
engendré par !
".
• Comme  (.) est surjective, le système Y = M
3
X a au moins une solution quel que soit le vecteur Y de
IR
2
.
4. 
#
 = M
4
X, avec M
4
=  
 .
• Comme la matrice M
4
est de format (3 , 2) et comme ses espaces de départ et d’arrivée sont de type
IR
n
, l’espace de départ de cette application est IR
2
et son espace d’arrivée IR
3
.
• Rang
#
= rang M
4
= rang 
  = 2.
• Comme le rang de l’application 
#
(.) est égal à la dimension de son espace de départ (rang
#
= dimIR
2
= 2), cette application est injective.
Comme le rang de 
#
(.) diffère de la dimension de son espace d’arrivée (rang
#
= 2 et dimIR
3
= 3), cette
application n’est pas surjective.
Enfin, comme l’application 
#
(.) n’est pas surjective, elle n’est pas non plus bijective.
• Im
#
= { M
4
X, X Є IR
3
}. C’est le sous-espace vectoriel de IR
3
engendré par les colonnes de M
4
.
• Ker
#
= {X Є IR
3
/ M
4
X =  } = { } (car 
#
(.) est injective).
• Comme 
#
(.) n’est pas surjective, le système Y = M
4
X n’a de solution que si Y appartient à Im. Et,
comme 
#
(.) est injective, si le système a une solution, alors cette solution est unique.
E XERCICE 3 ( FACULTATIF ) — A =    
1. RangA = 2.
2. Comme (théorème des dimensions) on a :
nombre de colonnes de A = dimkerA + rangA (ou dimE = dimkerf + rangf),
il s’ensuit que :
dimkerA = 4 – 2 = 2.
3. Comme AB = 0 (où B est la matrice B de l’exercice 4 du TD2), on a :
A$
% = 
et A$
% = 
.
Les deux vecteurs $
% et $ % sont donc des éléments de kerA.

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Comme ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels et comme dimkerA = 2, ces deux vecteurs
forment une base de kerA. L’ensemble kerA est donc l’ensemble des combinaisons linéaires de ces
deux vecteurs.
E XERCICE 4
&
1. rangM = rang
 = rang      = 1.
2. DimkerM = nombre de colonnes de M – rangM = 3 – 1 = 2
3. Si l’on note C
1
, C
2
et C
3
les trois colonnes de M respectivement, on a :
C
1
+ C
2
– 2C
3
=  ,
C
1
– C
2
+ 0C
3
=  ,
ou encore :
2C
1
– C
2
– C
3
=  ,
C
1
+ 0C
2
– C
3
=  ,
etc.
Comme C
1
+ C
2
– 2C
3
=  , on a :
M
 = 
;
le vecteur 
 est donc un élément de kerM.
De même, comme C
1
– C
2
+ 0C
3
=  , on a :
M
 = 
;
le vecteur 
 est donc un élément de kerM.
En outre, les deux vecteurs 
 et   sont linéairement indépendants (ils forment une matrice de
rang 2). Ils forment donc une base de kerM, puisque dimkerM = 2.
L’ensemble kerM est donc l’ensemble des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs.
E XERCICE 5 — &  .
1. Cette application linéaire est injective si et seulement si son rang est égal à la dimension de son
espace de départ, autrement dit si et seulement si le rang de M est égal au nombre de colonnes de M à
savoir à 2. Or ceci est le cas puisque les deux colonnes de M ne sont pas proportionnelles.
2. Cette application étant injective, son noyau se réduit au vecteur nul de son espace de départ,
autrement dit MX =  a pour seule solution X =  .