Magnétostatique : révisions de PCSI Compléments

Magnétostatique : révisions de PCSI
Compléments
I) Vecteur densité volumique de courant, loi d’Ohm locale, effet Hall et force de
Laplace :
1 – Vecteur densité volumique et intensité :
On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n* et ayant un
mouvement d’ensemble à la vitesse v.
On notera dans la suite :
ρ m = n* q la densité de charges mobiles (exprimée en C.m – 3).
Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ?
r
r
v
θ
M (q)
rv
n
dS
r
v dt
Volume dτ = (vdt )(dS ) cos θ
La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l’intervalle de
temps dt est :
dq = n * dτ q = n * (dS cos θ vdt ) q
rr
Or, v dS cos θ = v .n dS , d’où :
rv
rr
dq = n * (v .n dS ) qdt = j .n dS dt
où l’on a défini :
r
r
r
j = n* q v = ρ m v
le vecteur densité de courant. L’intensité i :
i=
dq r r
= j .n dS
dt
s’interprète comme le flux du vecteur densité de courant à travers la surface dS orientée.
L’intensité qui traverse une surface finie (S) sera alors :
i=
∫∫
(S )
rr
j .n dS
Remarque ; différences entre modélisation volumique et surfacique :
Dans le cas d’une répartition volumique de courants :
r
rr
r
j = ρv
; di = j .n dS
Pour une répartition surfacique :
r
r
j = σv
rr
di = j .n dl
;
Au lieu de compter les charges qui traversent une surface donnée, on compte les charges qui
r
traversent un segment de longueur dl et de vecteur normal n .
Courant
surfacique
dl
n
js=σv
Compléments :
(1)
Figure 1
2
(1)
(2)
(2) :
(2)
(2)
(3)
3
(3) :
2 – Modèle classique de la conduction dans un métal, loi d’Ohm locale :
Voir cours de sup
Parler des électrolytes (faire référence au TP de chimie : suivi d’une cinétique de saponification
par conductimétrie)
3 – Effet Hall :
Voir cours de sup.
4 – Force de Laplace, expression volumique :
Donner l’équivalence :
r
j dτ
⇔
r
Id l
II) Révisions de magnétostatique de 1ère année :
1 – Loi de Biot et Savart, exemple de calculs de champs (courants filiformes et non
filiformes), prise en compte des symétries et des invariances :
4
2 – Flux de B et circulation de B (théorème d’Ampère) :
Rappel du cours de sup : le champ magnétique est à flux conservatif
Autrement dit, et en utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :
rr
r
Φ s = ∫∫
B.n dS = 0 = ∫∫∫ divB.dτ
soit
( S fermée )
(V )
r
divB = 0
Ainsi, un champ qui ne diverge pas voit son flux se conserver. C’est une conséquence de
la non existence des monopôles magnétiques (il n’existe pas de charges magnétiques
ponctuelles, analogues aux charges électriques ponctuelles).
Le théorème de Stokes, que l’on admet, est le pendant du théorème de Green-Ostrogradsky.
Enoncé du théorème de Stokes :
Soit (C) un contour (c’est-à-dire une courbe fermée orientée) et (S) une surface quelconque qui
s’appuie sur (C) (à la manière d’un chapeau dont (C) serait le bord), dont le vecteur normal est
orienté selon la règle du tire-bouchon.
Le théorème de Stokes s’écrit :
∫
r r
A..dr =
(C )
∫∫
rr
rot A.n dS
(S °
5
Ce théorème va permettre d’écrire le théorème d’Ampère de manière locale et d’aboutir à une
nouvelle équation de Maxwell (valable en régime indépendant du temps).
Interprétation locale du rotationnel et expression locale du théorème d’Ampère :
r
On considère un contour élémentaire de surface dxdy, orienté par le vecteur u z ; la
circulation élémentaire sur ce contour du champ magnétique est :
dC = B x ( x, y )dx + B y ( x + dx, y )dy − B x ( x, y + dy )dx − B y ( x, y )dx
Soit :
 ∂B y ∂B x 
dxdy
−
dC = 
∂
∂
x
y


D’après le théorème d’Ampère, dC = µ 0 j z dxdy . Ainsi :
∂B y
∂x
−
∂B x
= µ0 jz
∂y
On peut faire de même pour les surfaces élémentaires dxdz et dydz. On aboutit à :
 ∂B z ∂B y 


−
∂z 
 ∂y
 jx 
 ∂B
 
∂B z 
x

 = µ0  j y 
−
∂x 
 ∂z
 
 ∂B
 jz 
∂B x 
y


 ∂x − ∂y 


soit
∂ 
 
 ∂x   B x 
 jx 
 
 ∂   
  ∧  By  = µ0  j y 
 
 ∂y   
 jz 
 ∂   Bz 
 
 ∂z 
Soit, finalement (expression locale du théorème d’Ampère) :
r r r
r
rot B = ∇ ∧ B = µ 0 j
Le théorème de Stockes apparaît alors comme une généralisation du résultat obtenu
précédemment :
dC = ∫
contour dxdy
r r
B.d l = ∫∫
surface dxdy
rr
 ∂B y ∂B x 
dxdy
rot B.u z dxdy = 
−
∂y 
 ∂x
Intérêt physique de ces opérateurs :
On peut illustrer les termes de divergence et de rotationnel pour quelques champs types :
La divergence et le rotationnel sont nuls pour le champ dont les lignes de champ sont parallèles.
La divergence est négative pour les champs dont les lignes de champ convergent vers un point.
Elle serait positive pour un champ divergent.
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Le rotationnel du dernier champ dont les lignes de champ tournent autour d’un point dans le
sens positif est positif. Le champ considéré peut être celui des vitesses d’un solide tournant
r
r
autour de l’axe (Oz). La vitesse d’un point du solide est, si Ω = Ωu z désigne le vecteur rotation du
r
r
solide, v ( M ) = Ω ∧ OM . En utilisant les coordonnées cartésiennes :
r
r
rotv = 2Ω
Ce résultat permet d’associer l’opérateur rotationnel à l’idée de rotation.
r
r
divV
Champ V
r
rotV
Champ Uniforme
Vx = V
r
0
0
Vy = 0
Vz = 0
Champ Convergent
Vρ = −V
−
Vθ = 0
V
ρ
r
0
<0
Vz = 0
Champ Tournant
Vρ = 0
0
V r
uz
Vθ = V
ρ
Vz = 0
Equation de Maxwell relatif au rotationnel du champ électrique :
Nous avons obtenu les équations de Maxwell, valables en régime stationnaire :
r ρ
r
r
r
divE =
;
divB = 0
;
rot B = µ 0 j
ε0
Le théorème de Stockes appliqué au champ électrostatique donne :
∫
(C )
r r
rr
E.dr = ∫∫ rotE.n dS
(S )
Le champ électrostatique, qui dérive d’un gradient, est à circulation conservative, autrement dit :
(le résultat précédent doit être valable pour tout contour et donc toute surface S)
r r
rot E = 0
C’est l’équation de Maxwell relative au rotationnel du champ électrostatique, valable en régime
stationnaire.
On retiendra ainsi que le rotationnel d’un gradient donne le vecteur nul : (un champ qui ne fait
que diverger ne tourne pas)
r
r
r
r
rotE = −rot ( grad V ) = −∇ ∧ (∇V ) = 0
On admet la réciproque :
7
r
r
r
r
Si rot E = 0 , alors ∃ V tel que : E = − grad V = −∇V
Autrement dit, si un champ ne tourne pas, c’est qu’il dérive d’un gradient !
D’où, finalement, les 4 équations de Maxwell en statique :
r ρ
r
r r
divE =
;
divB = 0
;
rot E = 0
ε0
;
r
r
rot B = µ 0 j
3 – Exemples d’utilisation du théorème d’Ampère :
Voir le cours de sup (cylindre infini, ruban épais, tore et solénoïde infini)
Champ à l’intérieur d’un Tokamak (réf : http://www-fusion-magnetique.cea.fr/)
4 – Relations de passage pour le champ magnétique :
Ces relations de passage seront admises.
La composante normale du champ magnétique est toujours continue.
La composante tangentielle présente une discontinuité égale à µ0jS.
5 – Potentiel vecteur, exemple de détermination :
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On admettra le résultat : (c’est une équivalence)
r
r
r
r
divB = 0
⇔
∃ A tel que : B = rot A
De manière formelle, on peut écrire, pour s’en souvenir :
r
r r r r
div(rot A) = ∇.(∇ ∧ A) = 0
Ce résultat peut se montrer simplement en coordonnées cartésiennes.
Equation de Poisson :
En projetant sur les trois axes cartésiens, par exemple sur (Ox) :
∆Ax + µ 0 j x = 0
On retrouve l’équation de Poisson scalaire, identique à celle vérifiée par le potentiel
électrostatique.
Par analogie, on déduit la solution :
µ
Ax = 0
4π
∫∫∫
(V )
j x dτ
PM
et
r µ
A= 0
4π
∫∫∫
(V )
r
j dτ
PM
r
r
Pour une répartition filiforme, on aura, en utilisant l’équivalence j dτ ⇔ Id l :
r
r µ
Id l
0
A=
4π ∫fil PM
En appliquant le théorème de Stockes, on obtient une forme intégrée qui est bien utile
pour calculer un potentiel vecteur, sans connaître les expressions du rotationnel :
9
•
Détermination d’un potentiel vecteur pour un solénoïde infini :
On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires jointives
par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.
Le champ magnétique créé par ce solénoïde est de la forme :
r
r
Si r < R : B = µ 0 nI u z
r
r
Si r > R : B = 0
Le plan contenant l’axe du solénoïde et le point M étant un plan d’antisymétrie :
r
r
A( M ) = A(r ) uθ
En prenant comme contour un cercle centré sur l’axe (Oz) et perpendiculaire à cet axe :
∫
r r
A.d l =
(C )
∫∫
rr
B.n dS
(S )
On obtient :
Si r < R :
r
r r
A = µ 0 nI
uθ
2
et
Si r > R :
r
a2 r
A = µ 0 nI
uθ
2r
On constate que le potentiel vecteur est continu à la traversée de la surface r = R du solénoïde.
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Le potentiel vecteur est toujours continu puisqu’il est dérivable (autrement, le champ magnétique,
r
r
donné par B = rot A ) prendrait des valeurs infinies.
Le potentiel vecteur apparaît comme un intermédiaire de calcul permettant d’en déduire le champ
magnétique. Physiquement, on verra que le potentiel vecteur est directement relié, en induction,
au champ électromoteur.
III) Dipôle magnétique :
1 – Définitions et analogie avec le dipôle électrostatique :
Exemples : un aimant ou une spire vus de loin, un électron gravitant autour d’un noyau.
2 – Champ magnétique et potentiel vecteur créés par un dipôle magnétique, topographie :
Procéder comme en sup, par analogie à partir du champ crée sur son axe et en un point éloigné
par une spire circulaire .
Lignes de champs des dipôles électrique et magnétique :
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Démonstration :
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On peut faire le rapprochement avec le potentiel scalaire du dipôle électrostatique :
rr
1 p cos θ
1 p.u
V (M ) =
=
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
3 – Moment magnétique d’un circuit filiforme fermé plan :
4 – Action d’un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique :
On comparera aux expressions obtenues avec le dipôle électrostatique :
r
r
r
r r
r r
E p = − p.E ext
;
Fext = 0
;
Γext = p ∧ E ext
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5 – Moment magnétique d’une boule chargée :
Autre calcul de l’intensité élémentaire :
dI = j s Rdθ = σ (ωR sin θ ) Rdθ =
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Q
ωR 2 sin θdθ
2
4πR
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FORMULAIRE DE MAGNETOSTATIQUE
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