1 Courant dans une bobine 2 Filiation radioactive

2013–2014
Licence Sciences et technologies - 2eannée
2 décembre 2013
Techniques de calcul pour la physique et la chimie
Contrôle continu 2
Durée : 1 heure, documents interdits
Les trois exercices sont indépendants
Chaque candidat doit, au début de l’épreuve, après avoir été pointé, porter son nom dans le coin
de la copie qu’il cachera par collage. Il devra, en outre, porter son numéro de table sur chacune
des copies, intercalaires ou pièces annexes.
1 Courant dans une bobine
Nous étudions le courant i(t) dans le circuit constitué par le montage en série d’une bobine
d’inductance L et d’une résistance de valeur R . Une tension continue E0 est appliquée aux
bornes du circuit. Nous pouvons donc établir l’équation différentielle suivante pour le courant :
L
di
+ Ri = E0
dt
1. Donner l’expression de la solution ig (t) de l’équation homogène associée.
R
ig (t) = Ke− L t
2. Donner une solution particulière (constante) ip (t) de l’équation complète.
ip (t) = ER0
3. Déterminer l’expression définitive du courant i(t) qui circule dans la bobine en considérant qu’à t = 0 , i(0) = 0.
R
i(t) = ig (t) + ip (t) = Ke− L t +
E0
R
=
E0
R (1
R
− e− L t )
2 Filiation radioactive
Un noyau X se désintègre en un noyau Y avec une constante de temps 1/λ1 . Le noyau
Y se désintègre ensuite en un noyau Z avec une constante de temps 1/λ2 . Les populations
moyennes NX et NY sont régies par les équations différentielles suivantes :
dNX
dt
dNY
dt
= −λ1 NX
= λ1 NX − λ2 NY
1. En supposant qu’à t = 0, il y a N1 noyaux X et N2 noyaux Y , donner les expressions
des populations NX (t) et NY (t).
La détermination de NX (t) est immédiate : NX (t) = N1 e−λ1 t .
La solution générale de l’équation différentielle homogène pour NY est de la forme
1
NY (t) = Ae−λ2 t . Comme le second membre de l’équation dépend du temps, on utilise
la méthode de la variation de la constante ou du facteur intégrant pour obtenir
NY (t) =
λ1 N1 −λ1 t
e
+ Ke−λ2 t .
λ2 − λ1
La constante K est déterminée à l’aide des conditions initiales. On a finalement,
NY (t) =
λ1 N1
(e−λ1 t − e−λ2 t ) + N2 e−λ2 t .
λ2 − λ1
2. On appelle activité, le nombre de désintégration par unité de temps. Ainsi, l’activité du
noyaux X est AX = λ1 NX et celle du noyau Y , AY = λ2 NY .
Dans le cas où 1/λ1 >> 1/λ2 , comparer AX et AY pour des temps très longs.
Pour λ2 >> λ1 , on néglige les termes en e−λ2 t devant ceux en e−λ1 t . Ainsi, NY (t) ≈
λ1 N1 −λ1 t
. Finalement, après avoir fait le rapport AY /AX = λ2 /(λ2 − λ1 ), AY ≈ AX
λ2 −λ1 e
3 Centre de masse d’un cône tronqué
Un cône de révolution autour de l’axe Oz constitué d’un matériau homogène de masse
volumique ρ est tronqué à la moitié de sa hauteur (h = 12 H).
1. En vous aidant de la figure de droite, l’expression du rayon r en fonction de l’altitude
z est de la forme r = az + b. Exprimez a et b en fonction de R1 , R2 et h.
En z = 0, r = R1 et donc, on a R1 = 0a + b = b. Comme deuxième point, on peut
1
prendre (r = R2 , z = h) et donc R2 = ah + b, d’où : b = R1 et a = R2h−b = R2 −R
.
h
R2 −R1
Finalement, r = h z + R1 .
R2
1
En prenant comme point (r = 0,z = H) on obtient a = − RH1 = − R
2h = − h .
Important : Vous pouvez traiter les questions suivantes en gardant les coefficients a et b, même si vous n’avez pu les déterminer en fonction de R1 , R2
et h .
2
2. Écrire l’intégrale permettant de calculer la masse de ce cône.
Avec les coordonnées polaires,
m=
Z az+b
Z 2π
Z h
ZZZ
rdr,
dθ
dz
ρdV = ρ
r=0
θ=0
z=0
avec les expressions précédentes pour a et b.
On peut aussi directement découper en rondelles :
Z h
Z h
2
π(az + b)2 dz
πr (z) dz = ρ
m=ρ
z=0
z=0
.
3. Calculer la masse du cône tronqué en fonction de ρ, R1 , R2 et H.
En intégrant d’abord sur r et θ,
Z h
dz[
m = 2πρ
z=0
r2 az+b
]
= πρ
2 0
Z h
(az + b)2 dz
z=0
qui est l’expression écrite directement en découpant en rondelles.
L’intégration sur z donne
(ah + b)3 − b3
m = πρ
.
3a
Ou, si vous préférez développer avant d’intégrer,
1
m = πρh( a2 h2 + abh + b2 ).
3
En remplaçant a et b par leurs expressions, on obtient finalement
7
7
m = ρ πR22 h = ρ πR12 H.
3
24
4. Écrire l’intégrale permettant de calculer la position zG du centre de gravité.
h
zρdV
1
zdz
= ρ
m
m z=0
Là aussi, on peut découper en rondelles :
RRR
Z
ρ
zG =
m
Z h
Z az+b
Z 2π
rdr.
dθ
zG =
θ=0
r=0
zπr2 (z) dz.
z=0
5. Calculer la position zG du centre de masse du cône tronqué.
Le calcul est similaire à celui de la masse, avec un z en plus. On obtient
mzG = πρh2 (
a 2 h2 2
b2
+ abh + ).
4
3
h
En remplaçant a et b par leurs expressions, on obtient finalement, zG =
11
28 h.
3