1 Courant dans une bobine 2 Filiation radioactive

2013–2014
Licence Sciences et technologies - 2eannée
2 décembre 2013
Techniques de calcul pour la physique et la chimie
Contrôle continu 2
Durée : 1 heure, documents interdits
Les trois exercices sont indépendants
Chaque candidat doit, au début de l’épreuve, après avoir été pointé, porter son nom dans le coin
de la copie qu’il cachera par collage. Il devra, en outre, porter son numéro de table sur chacune
des copies, intercalaires ou pièces annexes.
1 Courant dans une bobine
Nous étudions le courant i(t)dans le circuit constitué par le montage en série d’une bobine
d’inductance Let d’une résistance de valeur R. Une tension continue E0est appliquée aux
bornes du circuit. Nous pouvons donc établir l’équation différentielle suivante pour le courant :
Ldi
dt +Ri =E0
1. Donner l’expression de la solution ig(t)de l’équation homogène associée.
ig(t) = Ke−
R
Lt
2. Donner une solution particulière (constante) ip(t)de l’équation complète.
ip(t) = E0
R
3. Déterminer l’expression définitive du courant i(t)qui circule dans la bobine en considé-
rant qu’à t= 0 ,i(0) = 0.
i(t) = ig(t) + ip(t) = Ke−
R
Lt+E0
R=E0 R(1 −e−
R
Lt)
2 Filiation radioactive
Un noyau Xse désintègre en un noyau Yavec une constante de temps 1/λ1. Le noyau
Yse désintègre ensuite en un noyau Zavec une constante de temps 1/λ2. Les populations
moyennes NXet NYsont régies par les équations différentielles suivantes :
dNX
dt =−λ1NX
dNY
dt =λ1NX−λ2NY
1. En supposant qu’à t= 0,ilyaN1noyaux Xet N2noyaux Y, donner les expressions
des populations NX(t)et NY(t).
La détermination de NX(t)est immédiate : NX(t) = N1e−λ1t.
La solution générale de l’équation différentielle homogène pour NYest de la forme
1

NY(t) = Ae−λ2t. Comme le second membre de l’équation dépend du temps, on utilise
la méthode de la variation de la constante ou du facteur intégrant pour obtenir
NY(t) = λ1N1
λ2−λ1
e−λ1t+Ke−λ2t.
La constante Kest déterminée à l’aide des conditions initiales. On a finalement,
NY(t) = λ1N1
λ2−λ1
(e−λ1t−e−λ2t) + N2e−λ2t.
2. On appelle activité, le nombre de désintégration par unité de temps. Ainsi, l’activité du
noyaux Xest AX=λ1NXet celle du noyau Y,AY=λ2NY.
Dans le cas où 1/λ1>> 1/λ2, comparer AXet AYpour des temps très longs.
Pour λ2>> λ1, on néglige les termes en e−λ2tdevant ceux en e−λ1t. Ainsi, NY(t)≈
λ1N1
λ2−λ1e−λ1t. Finalement, après avoir fait le rapport AY/AX=λ2/(λ2−λ1),AY≈AX
3 Centre de masse d’un cône tronqué
Un cône de révolution autour de l’axe Oz constitué d’un matériau homogène de masse
volumique ρest tronqué à la moitié de sa hauteur (h=1
2H).
1. En vous aidant de la figure de droite, l’expression du rayon ren fonction de l’altitude
zest de la forme r=az +b. Exprimez aet ben fonction de R1,R2et h.
En z= 0,r=R1et donc, on a R1= 0a+b=b. Comme deuxième point, on peut
prendre (r=R2, z =h)et donc R2=ah +b, d’où : b=R1et a=R2−b
h=R2−R1 h.
Finalement, r=R2−R1
hz+R1.
En prenant comme point (r= 0,z =H)on obtient a=−R1
H=−R1 2h=−R2 h.
Important : Vous pouvez traiter les questions suivantes en gardant les coef-
ficients aet b, même si vous n’avez pu les déterminer en fonction de R1,R2
et h.
2

2. Écrire l’intégrale permettant de calculer la masse de ce cône.
Avec les coordonnées polaires,
m=ZZZ ρdV =ρZh
z=0
dz Z2π
θ=0
dθ Zaz+b
r=0
rdr,
avec les expressions précédentes pour aet b.
On peut aussi directement découper en rondelles :
m=ρZh
z=0
πr2(z)dz =ρZh
z=0
π(az +b)2dz
.
3. Calculer la masse du cône tronqué en fonction de ρ, R1, R2et H.
En intégrant d’abord sur ret θ,
m= 2πρ Zh
z=0
dz[r2
2]az+b
0=πρ Zh
z=0
(az +b)2dz
qui est l’expression écrite directement en découpant en rondelles.
L’intégration sur zdonne
m=πρ(ah +b)3−b3
3a.
Ou, si vous préférez développer avant d’intégrer,
m=πρh(1
3a2h2+abh +b2).
En remplaçant aet bpar leurs expressions, on obtient finalement
m=ρ7
3πR2
2h=ρ7
24πR2
1H.
4. Écrire l’intégrale permettant de calculer la position zGdu centre de gravité.
zG=RRR zρdV
m=1 mρZh
z=0
zdz Z2π
θ=0
dθ Zaz+b
r=0
rdr.
Là aussi, on peut découper en rondelles :
zG=ρ
mZh
z=0
zπr2(z)dz.
5. Calculer la position zGdu centre de masse du cône tronqué.
Le calcul est similaire à celui de la masse, avec un zen plus. On obtient
mzG=πρh2(a2h2
4+2 3abh +b2 h).
En remplaçant aet bpar leurs expressions, on obtient finalement, zG=11
28 h.
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