Chap.1 – La charge électrique, source du champ électrostatique

Chap.1 – La charge électrique, source du champ électrostatique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Interaction entre deux charges électriques ponctuelles
1.1.
Loi de Coulomb (rappels)
1.2.
Cadre de l’étude : domaine de validité de la loi de Coulomb
Distribution de charge électrique : les différentes modélisations
2.1.
Distribution discrète
2.2.
Distribution continue volumique
2.3.
Distribution continue surfacique
2.4.
Distribution continue linéique
Champ électrostatique généré par une distribution de charge
3.1.
Définition du champ électrostatique créé par une distribution quelconque
3.2.
Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
3.3.
Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge
3.4.
Champ électrostatique créé par une distribution volumique de charge
3.5.
Champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge
3.6.
Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charge
Intégrales et systèmes de coodonnées
4.1.
Distribution linéique de charge
4.2.
Distribution surfacique de charge
4.3.
Distribution volumique de charge
Exemples de champ créé par une distribution continue
5.1.
Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé
5.2.
Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
Analogie avec la gravitation
Intro :
Ceci est le premier chapitre du cours d’électromagnétisme. En sup, on étudiera séparément les effets électriques et
les effets magnétiques. L’étude des phénomènes couplés électrique et magnétique (dits « électromagnétiques »)
sont au programme de spé.
On commence ici l’étude des phénomènes électrostatiques, i.e. générés par un ensemble de charges au repos.
Après quelques rappels concernant la loi de Coulomb, on présente les différentes façons de modéliser la
répartition (la distribution) de charge électrique dans l’espace.
On introduit ensuite une nouvelle grandeur physique : le champ électrostatique, généré par un ensemble de
charges. On insistera sur l’idée clef que les charges électriques sont la source (la cause) du champ électrostatique.
On reviendra aussi sur les méthodes de calculs d’intégrales multiples, sur quelques exemples simples.
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1. Interaction entre deux charges électriques ponctuelles
1.1. Loi de Coulomb (rappels)
Deux particules possédant une charge électrique exercent l’une sur l’autre une force. Cette force est donnée par la
loi de Coulomb.
 Donner la loi de Coulomb, et définir les différents termes en s’appuyant sur un schéma.
 Rappeler les caractéristiques de la grandeur physique appelée charge électrique.
 Donner des exemples de particules chargées.
On rappelle que cette force est centrale et conservative. On reviendra sur l’énergie potentielle qui lui est associée
dans un chapitre ultérieur.
On peut dire que la charge
créée une force qui s’applique à la charge . Elle est la source de cette force.
D’après la troisième loi de Newton, la charge
créée une force opposée sur la charge .
La charge électrique est aussi une grandeur extensive : la charge électrique totale d’un ensemble de particules
chargées est égale à la somme de la charge de chacune des particules.
1.2. Cadre de l’étude : domaine de validité de la loi de Coulomb
La loi de Coulomb est donnée pour deux particules chargées dans le vide. On pourra assimiler en première
approximation l’air à du vide.
La loi de Coulomb n’est en tout rigueur valable que pour des particules immobiles, ou se déplaçant à faible
vitesse devant celle de la lumière. L’étude des phénomènes électriques dans le cas général est au programme de
spé.
En sup, on étudie principalement les phénomènes électriques associés à un ensemble de charges immobiles :
c’est le domaine de l’électrostatique.
2. Distribution de charge électrique : les différentes modélisations
Dans son état le plus stable, la matière est globalement neutre (atomes, molécules, corps qui nous entourent).
Expérimentalement, on peut charger électriquement un corps par frottement, par contact, par influence, mais aussi
par une action mécanique (piézoélectricité). La répartition de la charge électrique dans une zone de l’espace peut
être modélisée de plusieurs manières.
2.1. Distribution discrète
A l’échelle microscopique, la matière est constituée de corpuscules. On décrit alors la répartition de charge
électrique par la donnée de la position de chacune des particules chargées se trouvant dans la zone de l’espace
considérée. On parle de « distribution discrète » de charge électrique :
.
La charge totale
d’une distribution discrète de charges
2
est :
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2.2. Distribution continue volumique
A l’échelle macroscopique, la matière apparaît continûment répartie dans l’espace 3D. Cette répartition n’est pas
nécessairement uniforme. Il est donc nécessaire de se placer à l’échelle mésoscopique, grande devant l’échelle
microscopique pour adopter une modélisation continue de la matière, petite devant l’échelle macroscopique pour
pouvoir considérer la répartition localement uniforme.
On définit une densité volumique de charge  à l’échelle mésoscopique, fonction des coordonnées d’espace, qui
donne la quantité élémentaire de charge
située dans un volume élémentaire
:
La fonction
représente la distribution volumique de charge.
La charge totale contenue dans un volume V de l’espace est la somme des quantités élémentaires de charge :
Cette expression se déduit de celle du cas discret par analogie, en remplaçant le symbole « somme discrète» par le
symbole « intégrale » (somme continue de quantités infiniment petites).
2.3. Distribution continue surfacique
A l’échelle macroscopique, la distribution volumique est la description la plus précise de la répartition de charge
dans l’espace. Lorsqu’un corps électrisé possède une dimension très petite devant les autres (feuille de papier par
exemple), on peut décrire la répartition de la charge par une distribution surfacique. Dans l’exemple de la feuille
de papier, cela revient à négliger l’épaisseur de la feuille devant sa longueur et sa largeur.
On définit une densité surfacique de charge à l’échelle mésoscopique, fonction des coordonnées d’espace,
qui donne la quantité élémentaire de charge
située sur la surface élémentaire
:
La fonction
représente la distribution surfacique de charge.
La charge totale située sur une surface S est la somme des quantités élémentaires de charge :
2.4. Distribution continue linéique
Lorsqu’un corps électrisé possède deux dimensions très petites devant une autre (fil par exemple), on peut décrire
la répartition de la charge par une distribution linéique. Dans l’exemple du fil, cela revient à négliger l’épaisseur
et la largeur du fil devant sa longueur.
On définit une densité linéique de charge à l’échelle mésoscopique, fonction des coordonnées d’espace,
qui donne la quantité élémentaire de charge
située sur une portion
de la courbe :
La fonction
représente la distribution linéique de charge.
La charge totale située sur une courbe
est la somme des quantités élémentaires de charge :
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Remarque :
Lorsque l’on modélise une répartition de charge électrique dans l’espace, il faut faire un choix entre les quatre
distributions possibles. Pour une même zone de l’espace, on ne peut choisir simultanément deux modélisations
différentes.
3. Champ électrostatique généré par une distribution de charge
La loi de Coulomb définit la notion de charge électrique d’une particule, et la force s’exerçant entre deux
particules chargées. On va à présent introduire une nouvelle grandeur physique : le champ électrique. Puisque
l’on s’intéressera uniquement au cas où ce champ est indépendant du temps, car généré par une distribution de
chargs immobiles, on parlera plutôt de champ électrostatique. Le champ électrique est un concept clef de l’étude
des phénomènes électriques.
3.1. Définition du champ électrostatique créé par une distribution quelconque
On considère une distribution de charge quelconque. Si une charge ponctuelle « test »
est placée à proximité, la
force de Coulomb qui s’exercera sur elle sera la somme des forces de Coulomb générées par chaque point de la
distribution. Chacune de ces forces étant proportionnelle à , la force totale aussi.
On définit le champ électrostatique généré par une distribution de charge ,
à partir de la force totale exercée par cette distribution sur une charge ponctuelle « test » (« fictive »)
:
Commentaires :
o
L’unité du champ électrostatique est le
o
On admettra que le champ électrostatique existe même s’il n’y a pas de particule « test ». Cet énoncé est
cohérent puisque la valeur de la charge « test » n’intervient pas dans l’expression math du champ.
o
Le champ électrostatique mérite son nom de « champ », car il apparaît comme étant une grandeur définie
en tout point M d’une région de l’espace. C’est un champ vectoriel.
o
On dit que la distribution de charge est la source du champ électrostatique . On le nomme ainsi car il ne
dépend que des coordonnées d’espace ; il ne dépend pas du temps (il est « statique »).
o
L’introduction du concept de champ électrique peut sembler superflue à ce stade du cours, on pourrait en
effet se contenter de la force de Coulomb. En spé, dans le cas général, vous verrez que le champ
électrique (électromagnétique en fait) est une entité physique à part entière, qui peut se propager (ondes
électromagnétiques), et que l’on peut étudier indépendamment de son influence sur les particules
chargées.
, ou comme on le verra plus tard le
3.2. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Le champ électrostatique créé en un point M par une charge ponctuelle
 Etablir cette expression, puis dessiner le champ
o
o
située en P :
en quelques points de l’espace.
Ce champ est radial et sa norme en un point M de l’espace ne dépend que de la distance entre ce point et
la position de .
Le champ n’est pas défini au point où se situe la charge « source »
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3.3. Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge
Le champ électrostatique est une grandeur additive.
Pour une distribution discrète de N particules chargées , le champ créé en un point M s’écrit :
 Démontrer ce résultat, en utilisant le fait que les forces sont additives en mécanique newtonienne.
Le champ électrique est une grandeur additive.
3.4. Champ électrostatique créé par une distribution volumique de charge
Le champ électrostatique généré par une distribution volumique de charge
située dans le volume V s’écrit :
 Par analogie avec l’expression précédente, justifier le résultat ci-dessus.
3.5. Champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge
Le champ électrostatique généré par une distribution surfacique de charge
située sur la surface S s’écrit :
3.6. Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charge
Le champ électrostatique généré par une distribution linéique de charge
située sur la courbe  s’écrit :
4. Intégrales et systèmes de coodonnées
Dans le cas des trois distributions continues (volumique, surfacique, linéique), les écritures sous forme
d’intégrales ne sont pour l’instant que symboliques : elles représentent des sommes de quantités élémentaires.
On présente ici la méthode de calcul de ces intégrales dans les situations les plus simples, pour les trois systèmes
de coordonnées : cartésiennes, cylindriques et sphériques.
Dans cette section, on cherche à calculer la charge totale d’une distribution continue. Les calculs de champ
électrique sont l’objet de la section suivante.
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4.1. Distribution linéique de charge
 On considère un fil rectiligne chargé électriquement, de longueur L.
 Définir une origine O et un axe cartésien (Ox) pour repérer la position de chaque point du fil.
 Sur le schéma, en un point
du fil, représenter l’élément de longueur
correspondant à un
déplacement élémentaire
du point M. Exprimer
en fonction de .
 On considère une distribution linéique uniforme :
. Calculer la charge totale du fil.
 Pouvait-on trouver ce résultat directement à partir de l’écriture symbolique de l’intégrale ?
 On considère un fil circulaire de rayon R chargé électriquement.
 Définir une origine O et une base polaire pour repérer la position de chaque point du fil.
 Sur le schéma, en un point
du fil, représenter l’élément de longueur
correspondant à
un déplacement élémentaire
du point M sur le fil. Exprimer
en fonction de et .
 On considère une distribution linéique uniforme :
. Calculer la charge totale du fil.
 Pouvait-on trouver ce résultat directement à partir de l’écriture symbolique de l’intégrale ?
4.2. Distribution surfacique de charge
 On considère une surface carrée de côté L chargée électriquement.
 Définir un repère cartésien (axes x et y) pour repérer la position de chaque point de la surface
 Sur le schéma, en un point
du carré, représenter l’élément de surface correspondant aux
variations élémentaires des deux coordonnées
et
du point M. Exprimer
en fonction de
et .
 On considère une distribution surfacique
, où a est une constante. Calculer la charge
totale du carré.
 Retrouver ce résultat en définissant une surface élémentaire petite suivant x uniquement, pour se
ramener au calcul d’une intégrale simple.
 On considère une surface circulaire de rayon R chargée électriquement.
 Définir un repère polaire pour repérer la position de chaque point de la surface.
 Sur le schéma, en un point
du disque, représenter l’élément de surface correspondant aux
variations élémentaires des deux coordonnées
et
du point M. Exprimer
en fonction de
et .
 On considère une distribution surfacique uniforme
. Calculer la charge totale du
disque.
 Pouvait-on trouver ce résultat directement à partir de l’écriture symbolique de l’intégrale ?
 Refaire le calcul en considérant une distribution surfacique
, où a est une constante.
4.3. Distribution volumique de charge
 On considère un cube de côté L, chargé électriquement.
 Le schéma représenté ci-dessous définit un repère cartésien pour repérer la position de chaque
point du cube. Sur ce schéma, en un point
du cube, est représenté l’élément de volume
correspondant aux variations élémentaires des trois coordonnées du point M. Exprimer
en
fonction de , , .
 On considère une distribution volumique uniforme
. Calculer la charge totale du
cube.
 Pouvait-on trouver ce résultat directement à partir de l’écriture symbolique de l’intégrale ?
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 On considère un cylindre de rayon R et de hauteur H chargé électriquement.
 Le schéma représenté ci-dessous définit un repère cylindrique pour repérer la position de chaque
point du cylindre. Sur ce schéma, en un point
du cylindre, est représenté l’élément de
volume correspondant aux variations élémentaires des trois coordonnées du point M. Exprimer
en fonction notamment de ,
et .
 On considère une distribution volumique uniforme
. Calculer la charge totale du
cylindre.
 Pouvait-on trouver ce résultat directement à partir de l’écriture symbolique de l’intégrale ?
 On considère une sphère de rayon R chargée électriquement.
 Le schéma représenté ci-dessous définit un repère sphérique pour repérer la position de chaque
point de la sphère. Sur ce schéma, en un point
de la sphère, est représenté l’élément de
volume correspondant aux variations élémentaires des trois coordonnées du point M. Exprimer
en fonction notamment de ,
et
.
 On considère une distribution volumique uniforme
. Calculer la charge totale de la
sphère.
 Pouvait-on trouver ce résultat directement à partir de l’écriture symbolique de l’intégrale ?
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5. Exemples de champ créé par une distribution continue
5.1. Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé
On considère un fil rectiligne de longueur L uniformément chargé ( ). On souhaite calculer le champ
électrostatique qu’il génère en tout point M de son plan médiateur (orthogonal au fil passant par son milieu).






Faire un schéma dans le plan défini par le fil et le point M considéré.
On appelle l’axe radial repérant la distance entre M et le fil
Remarquer que le champ est nécessairement porté par l’axe (symétrie de la distribution de charge).
Introduire l’angle  repérant la position du point P par rapport à l’axe
Exprimer le champ sous la forme d’une intégrale selon l’angle . Calculer l’intégrale.
Quelle est l’expression du champ lorsque le fil est infiniment long ?
On remarque que le champ n’est pas défini en tout point du fil. Ce résultat est général, et est à retenir.
Le champ électrostatique créé par une distribution linéique de charge est défini partout,
sauf en tout point de la distribution linéique de charge.
5.2. Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
On considère un disque de rayon R uniformément chargé ( ). On souhaite calculer le champ électrostatique qu’il
génère en tout point M de son axe de symétrie (orthogonal au disque, passant par son centre).




Faire un schéma et définir un repère cylindrique pour repérer les points P du fil, et le point M.
Remarquer que le champ est nécessairement porté par l’axe z.
Dessiner la surface élémentaire au niveau d’un point P, et exprimer le champ sous la forme d’une
intégrale double portant sur r et . Calculer l’intégrale.
Quelle est l’expression du champ lorsque le disque est infiniment étendu ?
On remarque la discontinuité du champ à la traversée de la surface chargée. Le champ ne diverge pas à l’approche
de la surface, mais cette discontinuité montre qu’il n’est pas défini sur le disque. L’expression de cette
discontinuité sera démontrée dans le cas général en spé.
Le champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge est défini partout, sauf en tout point de
la distribution surfacique de charge : il y a discontinuité du champ à la traversée de la surface.
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6. Analogie avec la gravitation
On avait déjà mentionné l’analogie formelle entre la force de gravitation et la force de Coulomb, dans le cas de
deux particules ponctuelles en interaction. Les expressions mathématiques de ces deux forces sont identiques :
avec pour la force de Coulomb :
et pour la gravitation :
La différence fondamentale est que la gravitation est uniquement attractive : il n’existe pas de « masse négative ».
Du fait de cette analogie formelle, tout ce que l’on a introduit dans le cas électrique peut aussi l’être dans le cas
gravitationnel. On peut en effet définir :
o
différentes modélisations de la répartition de masse : discrète, volumique, surfacique, linéique
o
le champ gravitationnel : comme le champ électrique, il se définit à partir de la force associée et d’une
particule « test », « fictive ».
o
Les expressions du champ gravitationnel pour les différentes modélisations possibles de la répartition de
la masse sont formellement identiques à celles du champ électrique :
 Définir (formule math) le champ gravitationnel créé par une distribution de masse. Etablir son expression.
 Par analogie avec les expressions du champ électrique, donner les expressions du champ gravitationnel
dans les cas de distributions de masse : discrète, volumique, surfacique et linéique.
Notions clefs
Savoirs :
 Expressions force de Coulomb (et force gravitationnelle) + schémas pour définir les notations
 Différentes modélisations possibles de la répartition de charge (ou de masse) + interprétation physique
des écritures mathématiques correspondantes
 Définition du champ électrostatique (et gravitationnel)
 Le champ n’est pas défini en tout point d’une distribution discrète, surfacique et linéique
 Le champ est une grandeur additive : expressions symboliques du champ pour les différentes distributions
 Analogies entre champ électrique et champ gravitationnel
Savoirs faire :
 Calculer une intégrale simple, double ou triple :
o définir un système de coordonnées pour repérer les positions des points P et du point M
o dessiner sur un schéma les volumes, surfaces, et longueurs élémentaires
o exprimer ces figures géométriques élémentaires en fonction des coordonnées
o transformer l’écriture intégrale « symbolique » en intégrale selon des coordonnées (pour calcul)
o toujours essayer de se ramener (si possible) à une intégrale simple
 Transposer dans le cas du champ gravitationnel tous les résultats établis pour le champ électrique
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