Chap.1 – La charge électrique, source du champ électrostatique

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Chap.1 – La charge électrique, source du champ électrostatique
1. Interaction entre deux charges électriques ponctuelles
1.1. Loi de Coulomb (rappels)
1.2. Cadre de l’étude : domaine de validité de la loi de Coulomb
2. Distribution de charge électrique : les différentes modélisations
2.1. Distribution discrète
2.2. Distribution continue volumique
2.3. Distribution continue surfacique
2.4. Distribution continue linéique
3. Champ électrostatique généré par une distribution de charge
3.1. Définition du champ électrostatique créé par une distribution quelconque
3.2. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
3.3. Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge
3.4. Champ électrostatique créé par une distribution volumique de charge
3.5. Champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge
3.6. Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charge
4. Intégrales et systèmes de coodonnées
4.1. Distribution linéique de charge
4.2. Distribution surfacique de charge
4.3. Distribution volumique de charge
5. Exemples de champ créé par une distribution continue
5.1. Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé
5.2. Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
6. Analogie avec la gravitation
Intro :
Ceci est le premier chapitre du cours d’électromagnétisme. En sup, on étudiera séparément les effets électriques et
les effets magnétiques. L’étude des phénomènes couplés électrique et magnétique (dits « électromagnétiques »)
sont au programme de spé.
On commence ici l’étude des phénomènes électrostatiques, i.e. générés par un ensemble de charges au repos.
Après quelques rappels concernant la loi de Coulomb, on présente les différentes façons de modéliser la
répartition (la distribution) de charge électrique dans l’espace.
On introduit ensuite une nouvelle grandeur physique : le champ électrostatique, généré par un ensemble de
charges. On insistera sur l’idée clef que les charges électriques sont la source (la cause) du champ électrostatique.
On reviendra aussi sur les méthodes de calculs d’intégrales multiples, sur quelques exemples simples.

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1. Interaction entre deux charges électriques ponctuelles
1.1. Loi de Coulomb (rappels)
Deux particules possédant une charge électrique exercent l’une sur l’autre une force. Cette force est donnée par la
loi de Coulomb.
 Donner la loi de Coulomb, et définir les différents termes en s’appuyant sur un schéma.
 Rappeler les caractéristiques de la grandeur physique appelée charge électrique.
 Donner des exemples de particules chargées.
On rappelle que cette force est centrale et conservative. On reviendra sur l’énergie potentielle qui lui est associée
dans un chapitre ultérieur.
On peut dire que la charge  créée une force qui s’applique à la charge . Elle est la source de cette force.
D’après la troisième loi de Newton, la charge  créée une force opposée sur la charge .
La charge électrique est aussi une grandeur extensive : la charge électrique totale d’un ensemble de particules
chargées est égale à la somme de la charge de chacune des particules.
1.2. Cadre de l’étude : domaine de validité de la loi de Coulomb
La loi de Coulomb est donnée pour deux particules chargées dans le vide. On pourra assimiler en première
approximation l’air à du vide.
La loi de Coulomb n’est en tout rigueur valable que pour des particules immobiles, ou se déplaçant à faible
vitesse devant celle de la lumière. L’étude des phénomènes électriques dans le cas général est au programme de
spé.
En sup, on étudie principalement les phénomènes électriques associés à un ensemble de charges immobiles :
c’est le domaine de l’électrostatique.
2. Distribution de charge électrique : les différentes modélisations
Dans son état le plus stable, la matière est globalement neutre (atomes, molécules, corps qui nous entourent).
Expérimentalement, on peut charger électriquement un corps par frottement, par contact, par influence, mais aussi
par une action mécanique (piézoélectricité). La répartition de la charge électrique dans une zone de l’espace peut
être modélisée de plusieurs manières.
2.1. Distribution discrète
A l’échelle microscopique, la matière est constituée de corpuscules. On décrit alors la répartition de charge
électrique par la donnée de la position de chacune des particules chargées se trouvant dans la zone de l’espace
considérée. On parle de « distribution discrète » de charge électrique : 
.
La charge totale  d’une distribution discrète de charges  est :

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2.2. Distribution continue volumique
A l’échelle macroscopique, la matière apparaît continûment répartie dans l’espace 3D. Cette répartition n’est pas
nécessairement uniforme. Il est donc nécessaire de se placer à l’échelle mésoscopique, grande devant l’échelle
microscopique pour adopter une modélisation continue de la matière, petite devant l’échelle macroscopique pour
pouvoir considérer la répartition localement uniforme.
On définit une densité volumique de charge
à l’échelle mésoscopique, fonction des coordonnées d’espace, qui
donne la quantité élémentaire de charge  située dans un volume élémentaire  :
La fonction   représente la distribution volumique de charge.
La charge totale contenue dans un volume V de l’espace est la somme des quantités élémentaires de charge :
Cette expression se déduit de celle du cas discret par analogie, en remplaçant le symbole « somme discrète» par le
symbole « intégrale » (somme continue de quantités infiniment petites).
2.3. Distribution continue surfacique
A l’échelle macroscopique, la distribution volumique est la description la plus précise de la répartition de charge
dans l’espace. Lorsqu’un corps électrisé possède une dimension très petite devant les autres (feuille de papier par
exemple), on peut décrire la répartition de la charge par une distribution surfacique. Dans l’exemple de la feuille
de papier, cela revient à négliger l’épaisseur de la feuille devant sa longueur et sa largeur.
On définit une densité surfacique de charge  à l’échelle mésoscopique, fonction des coordonnées d’espace,
qui donne la quantité élémentaire de charge  située sur la surface élémentaire  :
La fonction   représente la distribution surfacique de charge.
La charge totale située sur une surface S est la somme des quantités élémentaires de charge :
2.4. Distribution continue linéique
Lorsqu’un corps électrisé possède deux dimensions très petites devant une autre (fil par exemple), on peut décrire
la répartition de la charge par une distribution linéique. Dans l’exemple du fil, cela revient à négliger l’épaisseur
et la largeur du fil devant sa longueur.
On définit une densité linéique de charge  à l’échelle mésoscopique, fonction des coordonnées d’espace,
qui donne la quantité élémentaire de charge  située sur une portion  de la courbe :
La fonction   représente la distribution linéique de charge.
La charge totale située sur une courbe  est la somme des quantités élémentaires de charge :

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Remarque :
Lorsque l’on modélise une répartition de charge électrique dans l’espace, il faut faire un choix entre les quatre
distributions possibles. Pour une même zone de l’espace, on ne peut choisir simultanément deux modélisations
différentes.
3. Champ électrostatique généré par une distribution de charge
La loi de Coulomb définit la notion de charge électrique d’une particule, et la force s’exerçant entre deux
particules chargées. On va à présent introduire une nouvelle grandeur physique : le champ électrique. Puisque
l’on s’intéressera uniquement au cas où ce champ est indépendant du temps, car généré par une distribution de
chargs immobiles, on parlera plutôt de champ électrostatique. Le champ électrique est un concept clef de l’étude
des phénomènes électriques.
3.1. Définition du champ électrostatique créé par une distribution quelconque
On considère une distribution de charge quelconque. Si une charge ponctuelle « test »  est placée à proximité, la
force de Coulomb qui s’exercera sur elle sera la somme des forces de Coulomb générées par chaque point de la
distribution. Chacune de ces forces étant proportionnelle à , la force totale aussi.
On définit le champ électrostatique  généré par une distribution de charge ,
à partir de la force totale exercée par cette distribution sur une charge ponctuelle « test » (« fictive »)  :
Commentaires :
o L’unité du champ électrostatique est le , ou comme on le verra plus tard le 
o On admettra que le champ électrostatique existe même s’il n’y a pas de particule « test ». Cet énoncé est
cohérent puisque la valeur de la charge « test » n’intervient pas dans l’expression math du champ.
o Le champ électrostatique mérite son nom de « champ », car il apparaît comme étant une grandeur définie
en tout point M d’une région de l’espace. C’est un champ vectoriel.
o On dit que la distribution de charge est la source du champ électrostatique  . On le nomme ainsi car il ne
dépend que des coordonnées d’espace ; il ne dépend pas du temps (il est « statique »).
o L’introduction du concept de champ électrique peut sembler superflue à ce stade du cours, on pourrait en
effet se contenter de la force de Coulomb. En spé, dans le cas général, vous verrez que le champ
électrique (électromagnétique en fait) est une entité physique à part entière, qui peut se propager (ondes
électromagnétiques), et que l’on peut étudier indépendamment de son influence sur les particules
chargées.
3.2. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Le champ électrostatique créé en un point M par une charge ponctuelle  située en P :
 Etablir cette expression, puis dessiner le champ  en quelques points de l’espace.
o Ce champ est radial et sa norme en un point M de l’espace ne dépend que de la distance entre ce point et
la position  de .
o Le champ n’est pas défini au point  où se situe la charge « source » 

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3.3. Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge
Le champ électrostatique est une grandeur additive.
Pour une distribution discrète de N particules chargées , le champ créé en un point M s’écrit :
 Démontrer ce résultat, en utilisant le fait que les forces sont additives en mécanique newtonienne.
Le champ électrique est une grandeur additive.
3.4. Champ électrostatique créé par une distribution volumique de charge
Le champ électrostatique généré par une distribution volumique de charge  située dans le volume V s’écrit :
 Par analogie avec l’expression précédente, justifier le résultat ci-dessus.
3.5. Champ électrostatique créé par une distribution surfacique de charge
Le champ électrostatique généré par une distribution surfacique de charge  située sur la surface S s’écrit :
3.6. Champ électrostatique créé par une distribution linéique de charge
Le champ électrostatique généré par une distribution linéique de charge  située sur la courbe  s’écrit :
4. Intégrales et systèmes de coodonnées
Dans le cas des trois distributions continues (volumique, surfacique, linéique), les écritures sous forme
d’intégrales ne sont pour l’instant que symboliques : elles représentent des sommes de quantités élémentaires.
On présente ici la méthode de calcul de ces intégrales dans les situations les plus simples, pour les trois systèmes
de coordonnées : cartésiennes, cylindriques et sphériques.
Dans cette section, on cherche à calculer la charge totale d’une distribution continue. Les calculs de champ
électrique sont l’objet de la section suivante.