universit´e de valenciennes - Université de Valenciennes

UNIVERSIT´ E DE VALENCIENNES
MASTER 1 DE MATH´ EMATIQUES
Analyse fonctionnelle
par
Aziz El Kacimi
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CAHIER DE COURS ET D’EXERCICES
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Ann´ ee universitaire 2009-2010
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AVANT-PROPOS
L’analyse fonctionnelle est un th`eme central dans beaucoup de branches des math´e-
matiques : ´equations aux d´eriv´ees partielles, analyse complexe, analyse globale sur
les vari´et´es, th´eorie des repr´esentations des groupes, g´eom´etrie diff´erentielle... Son
objet est l’´etude, sous divers aspects, et en particulier l’aspect topologique, des
espaces fonctionnels E=F(X, K)et de leurs op´erateurs (Kest le corps Rou C).
C’est ce qu’on se propose d’´etudier de fa¸con ´el´ementaire dans ce cours.
Une premi`ere partie sera sous forme de cours et de travaux dirig´es. Dans le
chapitre I on introduit les espaces norm´es et quelques exemples. On d´emontre le
th´eor`eme de Baire et on ´enonce le th´eor`eme d’Ascoli et le th´eor`eme de Riesz sur
l’´equivalence de la dimension finie et la compacit´e locale d’un espace norm´e. Dans
le chapitre II on ´etudie les propri´et´es des applications lin´eaires continues. On y
d´emontre quelques th´eor`emes importants : le th´eor`eme de Banach, le th´eor`eme de
Banach-Schauder et le th´eor`eme du graphe ferm´e. Dans le chapitre III, le th´eor`eme
de Hahn-Banach est pr´esent´e sous ses deux formes : g´eom´etrique et analytique.
Dans le chapitre IV on aborde la dualit´e dans les espaces norm´es : dual topologique
et ses diff´erentes topologies (forte et faible), la r´eflexivit´e et la transposition. Un
exemple d’espace r´eflexif et un autre non r´eflexif sont donn´es en d´etail.
Le reste du cours est trait´e sous forme de s´eminaires par les ´etudiants. Il consiste
essentiellement en ce qui suit.
•´ Etude des espaces de Hilbert. Th´eor`eme de projection orthogonale. Bases
hilbertiennes.
•Op´erateurs born´es sur un espace norm´e, leur spectre et puis les op´erateurs
compacts.
•Op´erateurs born´es sur un espace de Hilbert.
•Th´eor`eme de d´ecomposition spectrale pour un op´erateur hermitien compact.
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CHAPITRE I
ESPACES NORM´ ES
Ce chapitre a pour but de donner la d´efinition d’un espace norm´e, un certain nombre
d’exemples et tous les ingr´edients pr´eliminaires qui servent `a les ´etudier. Pour plus de
d´etails, on peut consulter la r´ef´erence [Ek]. Pour tout λ∈K,|λ|sera sa valeur absolue
dans le cas r´eel et son module dans le cas complexe.
1. Premi`eres d´efinitions
Dans toute cette section Esera un espace vectoriel sur le corps Kqui sera exclusivement
Rou C(si besoin est, nous pr´eciserons `a chaque fois lequel des deux on prend).
1.1. D´efinition. Une semi-norme sur Eest une application p:E−→ R+v´erifiant
les propri´et´es qui suivent :
i) p(λx) = |λ|p(x),∀x∈Eet ∀λ∈K;
ii) p(x+y)≤p(x) + p(y),∀x, y ∈E.
L’axiome i) implique p(0) = 0. Si en plus la relation p(x) = 0 implique x= 0, on
dira que pest une norme sur E.
Une norme sera not´ee habituellement || || et le couple (E, || ||) sera appel´e espace
norm´e. On d´efinit une distance d:E×E−→ R+en posant d(x, y) = ||x−y||. Cette
distance poss`ede deux propri´et´es importantes :
i) elle est invariante par translation i.e. elle v´erifie d(x+a, y +a) = d(x, y) pour
tous vecteurs x, y, a ∈E;
ii) elle est homog`ene i.e. d(λx, λy) = |λ|d(x, y) pour tous x, y ∈Eet tout λ∈K.
Inversement, toute distance dsur Einvariante par translation et homog`ene d´efinit
une norme sur Epar la formule ||x|| =d(0, x).
1.2. Topologie associ´ee `a une norme
Soit || || une norme sur E. On vient de voir qu’elle donne lieu `a une distance d.
Une boule ouverte (resp. ferm´ee) de centre xet de rayon r∈R∗
+est d´efinie par :
B(x, r) = {y∈E:||x−y|| < r}(resp. B(x, r) = {y∈E:||x−y|| ≤ r}).
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