Introduction à la logique

Introduction à la logique
Stéphane Devismes Pascal Lafourcade Michel Lévy
2010/2011

Table des matières
I Logique propositionnelle 7
1 Logique propositionnelle 9
1.1 Syntaxe .................................................... 10
1.1.1 Formulesstrictes ........................................... 10
1.1.2 Formulesàpriorité.......................................... 13
1.2 Sensdesformules............................................... 14
1.2.1 Sensdesconnecteurs......................................... 14
1.2.2 Valeurd’uneformule......................................... 14
1.2.3 Définitions et notions élémentaires de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Compacité .............................................. 17
1.2.5 Équivalencesremarquables...................................... 18
1.3 Substitutionetremplacement......................................... 20
1.3.1 Substitution.............................................. 21
1.3.2 Remplacement ............................................ 22
1.4 FormesNormales............................................... 23
1.4.1 Transformation en forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Transformation en forme normale disjonctive (sommes de monômes) . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3 Transformation en forme normale conjonctive (produit de clauses) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 AlgèbredeBoole ............................................... 26
1.5.1 Notationsbooléennes......................................... 26
1.5.2 Définition............................................... 26
1.5.3 Propriétés............................................... 27
1.5.4 Dualité ................................................ 31
1.6 Fonctionsbooléennes............................................. 31
1.6.1 Fonctions booléennes et somme de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.2 Fonctions booléennes et produit de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Circuits .................................................... 34
1.7.1 Porteslogiques............................................ 34
1.7.2 Exemple de circuit combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 L’outilBDDC................................................. 36
1.9 Exercices ................................................... 38
2 Résolution propositionnelle 45
2.1 Résolution................................................... 46
2.1.1 Définitions .............................................. 46
2.1.2 Cohérence .............................................. 48
2.1.3 Complétude.............................................. 49
2.1.4 Restrictiondelarésolution...................................... 52
2.2 Stratégiecomplète .............................................. 52
2.2.1 Réduction d’un ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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2.2.2 Construction de toutes les clauses déduites d’un ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2.1 Algorithme de construction de ∆i(i≥0)et Θi(i≥0)..................... 53
2.2.2.2 Propriétés de ∆i(i≥0)et Θi(i≥0).............................. 54
2.2.3 Clausesminimales .......................................... 56
2.3 AlgorithmedeDavisetPutnam........................................ 57
2.3.1 Suppression des clauses contenant des littéraux isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2 Résolutionunitaire.......................................... 58
2.3.3 Suppression des clauses valides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.4 Algorithme de Davis et Putnam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Exercices ................................................... 63
3 Déduction Naturelle 67
3.1 Système formel de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.1 Règles de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.2 Règlesdeconjonction ........................................ 68
3.1.3 Règlesdedisjonction......................................... 68
3.1.4 Règlesdel’implication........................................ 69
3.1.5 Deuxrèglesspéciales......................................... 69
3.1.6 Preuve en déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.6.1 Brouillondepreuve .................................... 70
3.1.6.2 Contexte des lignes d’un brouillon de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.6.3 Preuves .......................................... 71
3.2 Cohérence de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Complétude de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Outil...................................................... 77
3.5 Exercices ................................................... 78
References...................................................... 81
Index 82

Introduction
LES mathématiciens ont raisonné correctement durant des siècles sans connaître la logique formelle. La logique mo- derne est née de l’ambition de formaliser (mécaniser) le raisonnement mathématique : ce projet a reçu une impulsion
décisive quand il est apparu que l’absence de formalisation pouvait conduire à des contradictions. Le développement
actuel de la logique continue avec
– le besoin de prouver la correction des programmes (particulièrement quand ces programmes sont utilisés dans des
domaines où la sécurité est en jeu)
– l’ambition de représenter en machine l’ensemble des connaissances mathématiques
Cependant la terminologie des mathématiciens est restée différente de celle des logiciens. Pour exprimer que pim-
plique q, le mathématicien dira par exemple :
pentraîne q
pest une condition suffisante de q
pour que qsoit vrai, il suffit que psoit vrai
qest une condition nécessaire de p
pour que psoit vrai, il faut que qsoit vrai
Nous restreindrons notre étude à la logique classique (par opposition à la logique intuitionniste). La logique classique
est la logique à deux valeurs de vérité. De plus cette logique est celle des circuits combinatoires, ce qui explique sa grande
importance pratique.
Plan : Nous présentons dans la première partie la logique propositionnelle. Plus précisément dans un premier chapitre
nous donnons les définitions et résultats de base de la logique des prédicats. Dans le second chapitre nous parlons de la
résolution propositionnelle en introduisant la résolution binaire, la stratégie complète et l’algorithme de Davis et Putnam.
Enfin nous illustrons une méthode de raisonnement logique en présentant la déduction naturelle. Dans le seconde partie
du cours nous revisitons l’ensemble des notions, résultats et techniques présentées dans la première partie pour la logique
du premier ordre.
Exercices : Nous proposons à la fin de chaque chapitre une série d’exercices portant sur le contenu du chapitre. Nous
indiquons par des étoiles la difficulté des exercices proposés, plus il y a d’étoiles plus l’exercice est difficile. Les exercices
proposés sont de trois catégories. Nous avons des exercices :
– Basiques qui aident l’étudiant à se familiariser avec le vocabulaire et à manipuler les notions introduites en cours.
– Techniques qui sont des applications directes ou immédiates des résultats vus en cours.
– Réflexifs qui permettent à l’apprenant à raisonner, démontrer, prouver des résultats à partir des techniques et notions
apprises grâce aux deux autres types d’exercices.
Objectifs : Les compétences et connaissances que nous souhaitons transmettre sont les suivantes :
–Comprendre un raisonnement : être capable de déterminer si un raisonnement logique est correct ou non.
–Raisonner, c’est-à-dire, construire un raisonnement correct utilisant les outils de la logique propositionnelle et du
premier ordre.
–Modéliser et formaliser un problème.
–Écrire une preuve rigoureuse.
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