TD du cours Calculabilité et Logique

TD du cours Calculabilité et Logique
6 octobre 2010
Exercice 1 (6). Si φ ∈ F0 (P), on note τ (φ) la taille minimale d’une forme clausale de φ. Donner
n)
un exemple d’une famille de formules φn telles que lim |φn | = +∞ et lim τ2(φ
|φn | > 0.
n→+∞
n→+∞
Exercice 2 (3). On considère ici un raffinement de la résolution. On définit un ordre sur les
littéraux de la manière suivante : L > L′ si la variable propositionnelle de L a un indice strictement
plus grand que la variable propositionnelle de L′ (autrement dit, on étend l’ordre sur les variables
propositionnelles aux littéraux). On restreint alors l’application de la résolution binaire
P ∨ C ¬P ∨ C ′
C ∨ C′
au cas où P est un littéral maximal de P ∨ C et ¬P est un littéral maximal de ¬P ∨ C ′ . De même,
la règle de factorisation
L∨L∨C
L∨C
est restreinte au cas où L est maximal dans L ∨ C.
Montrer qu’avec ces restrictions, l’ensemble de règles d’inférence est encore réfutationnellement
complet.
Exercice 3 (3).
On considère le système d’inférence constitué de l’unique règle :
P ∨ P . . . ∨ P ∨ C ¬P ∨ . . . ∨ ¬P ∨ C ′
C ∨ C′
Montrer que cette règle est (à elle seule) réfutationellement complète.
Exercice 4 (3). On dira qu’une clause C subsume une clause C ′ si C |= C ′ . On considère la stratégie de résolution+factorisation suivante : on n’applique une règle d’inférence que lorsqu’aucune
des prémisses n’est subsumée par une clause différente ancêtre dans l’arbre de preuve.
Montrer que cette stratégie est réfutationnellement complète.
Exercice 5 (5).
Montrer comment dériver le tiers exclu ⊢ P ∨ ¬P dans NK0 .
Exercice 6 (4). On veut démontrer qu’on ne peut pas démontrer ⊢ P ∨ ¬P dans NJ0 . Pour
cela, on considère l’interprétation des formules dans l’ensemble des ouverts de R (pour la topologie
usuelle), définie comme suit (il s’agit d’une algèbre de Heyting) :
– I est une interprétation des variables propositionnelles comme des ouverts de R
– I(⊥) = ∅ et I(⊤) = R
– I(φ ∧ ψ) = I(φ) ∩ I(ψ)
– I(φ ∨ ψ) = I(φ) ∪ I(ψ)
– I(¬φ) est l’intérieur de R \ I(φ)
– I(φ → ψ) est l’intérieur de (R \ I(φ)) ∪ I(ψ)
T
Un jugement Γ ⊢ φ est valide dans cette algèbre si, pour toute interprétation I,
I(ψ) ⊆ I(φ).
ψ∈Γ
1. Montrer que le tiers exclu ⊢ P ∨ ¬P n’est pas valide.
2. Montrer que tout jugement prouvable est valide.