TD du cours Calculabilité et Logique

TD du cours Calculabilité et Logique 6 octobre 2010
Exercice 1 (6). Si φ∈ F0(P), on note τ(φ)la taille minimale d’une forme clausale de φ. Donner
un exemple d’une famille de formules φntelles que lim
n→+∞|φn|= +∞et lim n→+∞
τ(φn)
2|φn|>0.
Exercice 2 (3). On considère ici un raffinement de la résolution. On définit un ordre sur les
littéraux de la manière suivante : L > L′si la variable propositionnelle de La un indice strictement
plus grand que la variable propositionnelle de L′(autrement dit, on étend l’ordre sur les variables
propositionnelles aux littéraux). On restreint alors l’application de la résolution binaire
P∨C¬P∨C′
C∨C′
au cas où Pest un littéral maximal de P∨Cet ¬Pest un littéral maximal de ¬P∨C′. De même,
la règle de factorisation
L∨L∨C
L∨C
est restreinte au cas où Lest maximal dans L∨C.
Montrer qu’avec ces restrictions, l’ensemble de règles d’inférence est encore réfutationnellement
complet.
Exercice 3 (3). On considère le système d’inférence constitué de l’unique règle :
P∨P . . . ∨P∨C¬P∨...∨ ¬P∨C′
C∨C′
Montrer que cette règle est (à elle seule) réfutationellement complète.
Exercice 4 (3). On dira qu’une clause Csubsume une clause C′si C|=C′. On considère la stra-
tégie de résolution+factorisation suivante : on n’applique une règle d’inférence que lorsqu’aucune
des prémisses n’est subsumée par une clause différente ancêtre dans l’arbre de preuve.
Montrer que cette stratégie est réfutationnellement complète.
Exercice 5 (5). Montrer comment dériver le tiers exclu ⊢P∨ ¬Pdans NK0.
Exercice 6 (4). On veut démontrer qu’on ne peut pas démontrer ⊢P∨ ¬Pdans NJ0. Pour
cela, on considère l’interprétation des formules dans l’ensemble des ouverts de R(pour la topologie
usuelle), définie comme suit (il s’agit d’une algèbre de Heyting) :
–Iest une interprétation des variables propositionnelles comme des ouverts de R
–I(⊥) = ∅et I(⊤) = R
–I(φ∧ψ) = I(φ)∩I(ψ)
–I(φ∨ψ) = I(φ)∪I(ψ)
–I(¬φ)est l’intérieur de R\I(φ)
–I(φ→ψ)est l’intérieur de (R\I(φ)) ∪I(ψ)
Un jugement Γ⊢φest valide dans cette algèbre si, pour toute interprétation I,T
ψ∈Γ
I(ψ)⊆I(φ).
1. Montrer que le tiers exclu ⊢P∨ ¬Pn’est pas valide.
2. Montrer que tout jugement prouvable est valide.