Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année Calcul différentiel et

Universit´e Paris Dauphine
DUMI2E 2e ann´ee
Calcul diff´erentiel et optimisation I
Sujets d’examen 2006-2007
Fran¸cois BOLLEY

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Universit´e Paris Dauphine
DUMI2E 2e ann´ee
Calcul diff´erentiel
Contrˆole continu du 26 mars 2007
Questions de cours
1. Donner la d´efinition d’un ensemble ouvert, d’un ensemble ferm´e et d’un ensemble
born´e de Rn.
2. Montrer que, si Oest un ouvert de Rpet fune fonction continue de Rndans Rp,
alors l’ensemble f−1(O) = {x∈Rn;f(x)∈O}est un ensemble ouvert de Rn.
Exercice
1. Pour tous r´eels xet y, montrer que x2−x y +y2≥1
2x2+y2.
2. Etant donn´e le r´eel aon note Eal’ensemble d´efini par
Ea={(x, y)∈R2;x2−x y +y2=a2}.
a) Montrer que Eaest un ensemble ferm´e de R2.
b) Montrer que Eaest un ensemble born´e de R2.Pour cela on pourra utiliser le r´esultat
de la question 1.
c) D´eterminer l’ensemble E0.
3. Etant donn´es deux r´eels strictement positifs pet q, on consid`ere la fonction fd´efinie
sur R2par
f(x, y) = 
xpyq
x2−x y +y2si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0).
a) Montrer que la fonction fest continue sur R2\ {(0,0)}.
b) Montrer que les deux applications partielles de fen (0,0) sont continues en 0.
c) Sous quelle condition sur pet qla restriction de f`a {(x, y)∈R2;x=y}est-elle
continue au point (0,0)?
d) Sous quelle condition sur pet qla fonction fest-elle continue en (0,0)? On pourra
utiliser le r´esultat de la question 1.
4. a) Montrer que la fonction fest minor´ee et major´ee sur l’ensemble E1,et qu’elle y
atteint ses bornes.
b) On suppose p=q= 1.Montrer que, pour tout (x, y)∈E1,f(x, y) = xy =x2+y2−1.
En d´eduire que, pour tout (x, y)∈E1,−1≤f(x, y)≤1.
Le maximum de fsur E1est-il ´egal `a 1 ?
Le minimum de fsur E1est-il ´egal `a −1 ?

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DUMI2E 2e ann´ee
Calcul diff´erentiel
Examen partiel du 5 avril 2007
Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits pendant la dur´ee de
l’´epreuve.
Question de cours
Soit Rnmuni de la norme k.k, et fune fonction continue de Rndans Rtelle que f(x)
tende vers +∞quand kxktend vers +∞(la fonction fest dite coercive). Montrer que f
est minor´ee et atteint son minimum.
Exercice 1
Soit fla fonction `a valeurs r´eelles d´efinie sur R2par
f(x, y) = 
sin4x
x2+y2si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0).
1. a) Etablir l’in´egalit´e |sin x| ≤ |x|pour tout r´eel x.
b) Montrer que la fonction fest continue sur R2.
2. a) Montrer que fest de classe C1sur R2\ {(0,0)}et calculer ses d´eriv´ees partielles
premi`eres.
b) Montrer que fadmet des d´eriv´ees partielles premi`eres au point (0,0), et les calculer.
c) Montrer que pour tous xet y
∂f
∂x (x, y)
≤6|x|et 
∂f
∂y (x, y)
≤2|y|.
En d´eduire que fest de classe C1sur R2.
Exercice 2
Soit gla fonction de R3dans R3d´efinie par
g(x, y, z) = (x+y2, y +z2, z +x2).
1. Montrer que gest de classe C1sur R3et calculer sa matrice jacobienne Jg(x, y, z) en
(x, y, z).
2. Pour quels (x, y, z) la matrice Jg(x, y, z) est-elle inversible ?

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Exercice 3
Dans l’espace Rnmuni de la norme k.kon note B(x, r) = {y∈Rn;ky−xk< r}la boule
ouverte de centre x∈Rnet rayon r > 0.Si Aest un sous-ensemble de Rnon note
d(x, A) = inf
a∈Akx−ak
la distance du point x∈Rn`a A, et
A={x∈Rn;∀r > 0, B(x, r)∩A6=∅}
l’adh´erence de A.
1. a) Montrer que Aest le plus petit ferm´e contenant A.
b) Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x∈A.
2. a) Pour tous xet ydans Rn, montrer que
|d(x, A)−d(y, A)| ≤ kx−yk.
b) En d´eduire que l’application fAd´efinie sur Rnpar fA(x) = d(x, A) est continue sur
Rn.
c) Montrer que pour tout entier pstrictement positif, l’ensemble
Ap=nx∈Rn;d(x, A)<1
po
est un ouvert de Rn.
d) L’ensemble
n
\
p=1
Apest-il ouvert ou ferm´e ?
e) Montrer que \
p∈N∗
Ap=A.
f) Donner un exemple de famille d’ensembles ouverts dont l’intersection est ferm´ee.
3. Soient Aet Bdeux ferm´es disjoints de Rn.
a) Montrer que d(x, A) + d(x, B)>0 pour tout xdans Rn.
b) Montrer que la fonction gd´efinie par
g(x) = fA(x)
fA(x) + fB(x)=d(x, A) d(x, A) + d(x, B)
est bien d´efinie et continue sur Rn.V´erifier qu’elle prend la valeur 0 sur Aet 1 sur B.
c) En d´eduire l’existence de deux ouverts disjoints ˜ Aet ˜ Bde Rncontenant Aet B
respectivement.