∫∫B dS

12
Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatique
Aucune des lois fondamentales citées ici ne sera démontrée. Elles constituent des faits
d’expérience traduits dans un formalisme mathématique, apuré au fil des ans. En Licence, ces
lois seront énoncées sous forme d’équations de Maxwell, postulats de l’électromagnétisme.
II.1- Flux du champ magnétique
II.1.1- Conservation du flux magnétique
Considérons une surface fermée S quelconque, s’appuyant sur une courbe C fermée et
orientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface dS = dSn
dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention).
dS n
S1
C
S2
dS n
S= S1 + S2
Le flux du champ magnétique à travers cette surface fermée vaut
Φ = ∫∫ B ⋅ dS = 0
S
Cette loi est générale et reste valable même en régime variable.
La conservation du flux magnétique est une propriété très importante et montre une différence
fondamentale entre le champ magnétique et le champ électrostatique. Nous avons vu, avec le
théorème de Gauss, que le flux du champ électrostatique dépend des charges électriques
contenues à l’intérieur de la surface
Q
∫∫S Es ⋅ dS = εint0
Si la charge totale est positive, le flux est positif et il « sort » de cette surface un champ
électrostatique (source). Si la charge est négative, le flux est négatif et le champ « rentre »,
converge vers la surface (puits). Cette propriété reste d’ailleurs également valable en régime
variable. Rien de tel n’a jamais été observé pour le champ magnétique. On ne connaît pas de
charge magnétique analogue à la charge électrique (se serait un « monopôle magnétique ») :
13
tout le champ qui rentre dans une surface fermée doit également en ressortir. La source la plus
élémentaire de champ magnétique est un dipôle (deux polarités), comme l’aimant dont on ne
peut dissocier le pôle nord du pôle sud.
On peut aisément montrer que le flux à travers une surface S s’appuyant sur un contour fermé
C est indépendant du choix de cette surface. Prenons deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur C
et telles que S = S1 + S2 soit une surface fermée. En orientant cette surface vers l’extérieur,
la conservation du flux magnétique impose
Φ S = Φ S1 + Φ S2 = 0
donc Φ S1 = − Φ S2 , ce qui rentre d’un coté ressort de l’autre. La différence de signe provient
de la convention d’orientation de la normale : le flux est le même dans les deux cas.
II.1.2- Lignes de champ et tubes de flux
Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faire
une représentation spatiale d’un champ de vecteurs. Ce sont ces lignes de champ qui sont
tracées par la matière sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fer au voisinage
d’un aimant.
Définition : Une ligne de champ d’un champ de vecteur quelconque est une courbe C dans
l’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.
Considérons un déplacement élémentaire dl le long d’une ligne de champ magnétique C. Le
fait que le champ magnétique B soit en tout point de C parallèle à dl s’écrit :
B ∧ dl = 0
En coordonnées cartésiennes, dl = dx i + dy j + dz k et les lignes de champ sont calculées
en résolvant
dx dy dz
=
=
Bx By Bz
En coordonnées sphériques, dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θdϕ uϕ et l’équation des lignes de
champ devient
dr rdθ r sin θdϕ
=
=
Br
Bθ
Bϕ
La conservation du flux magnétique implique que les lignes de champ magnétique se
referment sur elles-mêmes.
Un tube de flux est une sorte de « rassemblement » de lignes de champ. Soit une surface S1
s’appuyant sur une courbe fermée C telle que le champ magnétique y soit tangent (c’est à dire
B⊥ dl où dl est un vecteur élémentaire de C). En chaque point de C passe donc une ligne de
champ particulière. En prolongeant ces lignes de champ on construit ainsi un tube de flux.
14
dS
S3
B
S2
S1
Tout au long de ce tube, le flux magnétique est conservé. En effet, considérons une portion de
tube cylindrique entre S1 et S3 , ayant un rétrécissement en une surface S2 . La surface
S = S1 + S3 + SL , où SL est la surface latérale du tube, constitue une surface fermée. Donc
le flux du champ à travers S est nul. Par ailleurs, le flux à travers la surface latérale est
également nul, par définition des lignes de champ ( B ⋅ dS = 0 sur SL ) . Donc, le flux en S1 est
le même qu’en S3 . On peut faire le même raisonnement pour S2 . Cependant puisque S1 > S2
pour un flux identique, cela signifie que le champ magnétique est plus concentré en S2 . D’une
manière générale, plus les lignes de champ sont rapprochées et plus le champ magnétique est
localement élevé.
Les exemples les plus célèbres de tubes de flux rencontrés dans la nature sont les taches
solaires.
II.2- Circulation du champ magnétique
II.2.1- Circulation du champ autour d’un fil infini
Nous avons vu que le champ B créé par un fil infini en un point M ( ρ,θ , z ) s’écrit en
coordonnées cylindriques
µ I
B = 0 uθ
2 πρ
Considérons maintenant une courbe fermée quelconque C. Un déplacement élémentaire le
long de cette courbe s’écrit dl = dρ uρ + ρdθ uθ + dzuz . La circulation de B sur la courbe
fermée C vaut alors
dθ
2π
courbe
∫ B ⋅ dl = µ I ∫
0
courbe
15
Plusieurs cas de figure peuvent se présenter :
•
Si C n’enlace pas le fil,
I
C
•
C
Si C enlace le fil une fois, ∫ dθ = 2 π .
C
•
M
θ
∫ dθ = 0 .
Si C enlace le fil N fois, ∫ dθ = 2 Nπ
C
dl
La circulation de B sur une courbe fermée est
donc directement reliée au courant qui traverse
la surface délimitée par cette courbe. C’est Ampère qui, en recherchant une explication du
magnétisme dans une théorie de la dynamique des courants, découvrit cette propriété du
champ magnétique. Démontrée ici sur un cas particulier à partir de la loi de Biot et Savart,
nous ne démontrerons pas que ce résultat est général, c’est à dire valable pour un conducteur
quelconque.
II.2.2- Le théorème d’Ampère
Théorème : La circulation de B le long d’une courbe C quelconque, orientée et fermée,
appelée contour d’Ampère, est égale à µ 0 fois la somme algébrique des courants qui
traversent la surface délimitée par C
∫ B ⋅ dl = µ
0
Iint
courbe
Cette relation fondamentale est l’équivalent du théorème de Gauss pour le champ
électrostatique : elle relie le champ ( B ou Es ) à ses sources (le courant I ou la charge Q) dans
le vide (à l’intérieur d’un matériau il faut les corriger). Cependant, à la différence du théorème
de Gauss, elle n’est valable qu’en régime permanent (courants continus).
I1
I2
C
Iint = - I1 + I2 - I2= - I1
16
Remarques :
• Le théorème d’Ampère et la loi de Biot et Savart ont la même cause originelle.
• Le choix du sens de la circulation sur le contour d’Ampère choisi est purement arbitraire.
Une fois ce choix fait, la règle du bonhomme d’Ampère permet d’attribuer un signe aux
courants qui traversent la surface ainsi délimitée.
• Comme pour le théorème de Gauss, ce qui compte c’est la somme algébrique des sources :
par exemple, si deux courants de même amplitude mais de sens différents traversent la
surface, le courant total sera nul (voir figure ci-dessus).
Exemple: le solénoïde infini
Considérons un solénoïde infini, comportant N spires par unité de longueur, chacune
parcourue par un courant I permanent. Etant donné la géométrie cylindrique du solénoïde, on
se place en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoïde. La densité de courant
est toroïdale et s’écrit j ( ρ,θ , z ) = j ( ρ )uθ puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe z
et translation le long de ce même axe. Donc, le champ magnétique est poloïdal et s’écrit
B( ρ,θ , z ) = B( ρ )uz
On choisit trois contours d’Ampère différents (voir figure) :
D
C
(2)
A
R
B
(1)
I
O
z
l
(3)
Contour (1) :
∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = 0
AB
BC
∫ B ⋅ dzu
z
AB
−
CD
∫ B ⋅ dzu
z
DA
=0
CD
BABl = BDC l
Donc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (parce qu’il est infini).
Contour (2) : on obtient le même résultat, c’est à dire un champ uniforme à l’extérieur. Mais
comme ce champ doit être nul à l’infini, on en déduit qu’il est nul partout.
Contour (3) :
∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = − Nlµ I
0
AB
−
BC
∫ Bu
z
CD
⋅ dzuz = − Nlµ 0 I
CD
B = µ 0 NI
DA
17
II.2.3- Relations de continuité du champ magnétique
Puisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe à
la traversée d’une nappe de courant infinie. Comme pour le champ électrostatique, va-t-on
voir une discontinuité dans le champ ?
Soit une distribution surfacique de courant js séparant l’espace en deux régions 1 et 2.
dS2
S2
n12
js
S
S1
dS1
Région 2
Région 1
Considérons une surface fermée fictive, traversant la nappe de courant. La conservation du
flux magnétique à travers cette surface s’écrit
∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS = 0
S1
S2
SL
où SL est la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre cette surface vers zéro ( S1 tend vers S2 ),
on obtient
∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS = 0
S1
S2
∫∫ ( B
2
)
− B1 ⋅ n12 dS = 0
S1 = S 2
puisque dS1 = − dS2 = − dSn12 dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la
surface S choisie, on vient donc de démontrer que
(B
2
)
− B1 ⋅ n12 = 0
Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampère. Considérons le
contour d’Ampère suivant :
n12
C
D
js
N
M
B
τ
A
Région 2
Région 1
Le théorème d’Ampère s’écrit alors
∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl +
AB
BC
∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = µ I
0
CD
DA
18
Le courant I est celui qui circule sur la nappe, autrement dit, il est défini par la densité de
courant surfacique
I = ∫∫ j ⋅ dS = ∫ js ⋅ τ dl
(
(
ABCD
)
MN
)
où MN , n12 , τ est un trièdre direct. Dans la limite DA → 0 , le théorème d’Ampère fournit
∫ ( B − B ) ⋅ dl = ∫ (µ
1
2
MN
)
j ⋅ τ dl
0 S
MN
Puisque MN est quelconque, on doit avoir
B1 − B2 ⋅ dl = µ 0 jS ⋅ τ dl
(
)
(
) (
)
= [( B − B ) ∧ n ] ⋅ τ dl
= B1 − B2 ⋅ dl τ ∧ − n12
1
2
12
c’est à dire (puisque la direction de τ est arbitraire)
B1 − B2 ∧ n12 = µ 0 jS
(
)
En résumé, à la traversée d’une nappe de courant,
• la composante normale du champ magnétique reste continue,
• la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.
III.2.4- Les trois façons de calculer le champ magnétique
En guise de résumé voici des conseils sur les méthodes à employer pour calculer le champ
magnétique.
• La formule de Biot et Savart : elle n’est pratique que lorsqu’on sait faire l’addition
vectorielle des champs dB créés par un petit élément du circuit (souvent des circuits
filiformes).
• La conservation du flux : à n’utiliser que si l’on connaît déjà son expression dans une
autre région de l’espace (voir un exemple d’utilisation à la section précédente).
• Le théorème d’Ampère : il faut être capable de calculer la circulation du champ sur un
contour choisi. Cela nécessite donc une symétrie relativement simple des courants.
Dans tous les cas, il faut prendre en compte les propriétés de symétrie de la densité de
courant.
II.3- Le dipôle magnétique
II.3.1- Champ magnétique créé par une spire
Soit une spire plane, de forme quelconque, de centre d’inertie O, parcourue par un courant
permanent I. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de
l’espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à
la taille de la spire).
19
On pose
z
M
r = OM
r ′ = PM
ρ = OP = r − r ′
r
u=
θ
r
r
r’
n
On va donc utiliser la formule de Biot et Savart,
dans la limite r >> ρ , pour tout point P
appartenant à la spire
µ I
dρ ∧ r ′
B( M ) = 0 ∫
4 π spire r ′ 3
u
O
I
dOP
P
Evaluons le terme r ′
r ′3
pour des points M situés à grande distance de la spire :
r′
r−ρ
=
3
r′
r 2 + ρ 2 − 2r ⋅ ρ
(
)
3
2
≈
≈
r−ρ
r ⋅ ρ
1+ 3 2 
3 
r 
r 
≈
ρ
u
u⋅ρ
− 3 + 3 3 u
2
r
r
r
r−ρ

r ⋅ ρ
r 3 1 − 2 2 
r 

3
2
où nous avons fait un développement limité à l’ordre 1. En reportant cette expression dans la
formule de Biot et Savart on obtient
B( M ) ≈
µ0 I
4 πr 2

 ∫ dρ ∧ u −
spire
dρ ∧ ρ
∫
r
spire
+

( )
3
∫ dρ ∧ u ρ ⋅ u
r spire

Evaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :
•


∫ dρ ∧ u =  ∫ dρ  ∧ u = [ρ( P ) − ρ( P )] ∧ u = 0
0
0
spire 
puisque le vecteur u est indépendant du point P sur la spire et qu’on fait une intégration sur
toute la spire, en revenant au point de départ P0 .
spire
•
−
dρ ∧ ρ 1
2S
= ∫ ρ ∧ dρ =
n
r
r spire
r
spire
∫
où n est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l’axe z) et S sa surface. Ce
calcul est général, valable quelle que soit la surface.
20
n
En effet, une surface élémentaire dS, telle que
1
ρ ∧ dρ = dS n
2
O
dS
est toujours engendrée lors d’un petit déplacement du
vecteur ρ .
ρ
P
•
dρ= dOP
∫ dρ ∧ u ( ρ ⋅ u ) = − u ∫ d ρ ( ρ ⋅ u )
spire
spire
∫ d ( xy) =[ xy]P = 0
puisqu’on revient au même point départ P . On a donc l’égalité ∫ xdy = - ∫ ydx . Par ailleurs,
Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, on a
Po
o
0
[]
[]
x
y
x2 o
x2 o
= ∫ y dy =
= 0.
on a également la propriété suivante ∫ x dx =
2 x
2 y
o
o
On va utiliser ces propriétés générales pour calculer l’intégrale inconnue ci-dessus.
Si on décompose les vecteurs ρ et u dans la base e1 , e2 engendrant le plan de la spire, on
obtient
dρ ρ ⋅ u = dρ1 ( ρ1u1 + ρ2u2 )e1 + dρ2 ( ρ1u1 + ρ2u2 )e2
or,
u
ρ1u1dρ1 = 1 [ ρ12 ( P0 ) − ρ12 ( P0 )] = 0
∫
2
spire
D’où
∫ dρ ρ ⋅ u = u2 ∫ ρ2 dρ1 e1 + u1 ∫ ρ1dρ2 e2
(
)
( )
spire
( )
spire
spire
= −u2 Se1
+ u1Se2
= Sn ∧ u
En rassemblant ces résultats, on obtient un champ magnétique

µ I  2S
3u
B( M ) ≈ 0 2  n −
∧ Sn ∧ u 
r
4 πr  r

On voit donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire « vue »
depuis une grande distance, à savoir le moment magnétique dipolaire
(
)
M = ISn
(
)
( )
En utilisant l’égalité u ∧ M ∧ u = M u ⋅ u
champ magnétique créé par un dipôle
B( M ) =
(
[ ( )
µ0
3u M ⋅ u
4 πr 3
=−
)
− u u ⋅ M , on obtient alors l’expression du
µ0
M ⋅u
grad 2
r
4π
− M
]
21
En coordonnées sphériques, u ⋅ M = M cosθ et les composantes poloidales du champ
s’écrivent
 B = µ 0 2 M cosθ
 r 4 πr 3

 Bθ = µ 0 Msinθ

4 πr 3
Lignes de champ :
Comme nous l’avons vu précédemment, les lignes de champ ne sont pas des courbes où la
norme du champ magnétique est constante. Ici, l’équation des lignes de champ en
coordonnées sphériques fournit :
rdθ
dr
=
µ0 M
µ0 2 M
cosθ
sin θ
4π r 3
4π r 3
r
θ
ln
r
sin θ
= 2 ln
r0
sin θ 0
dr
cosθ dθ
∫r r = 2θ∫ sin θ
0
0
2
 sin θ 
r = r0 

 sin θ 0 
où le rayon sphérique r0 correspond à un angle θ 0 arbitraire.
Remarques :
1. Ces expressions ne sont pas à retenir : il faut par contre comprendre et savoir reproduire la
démonstration.
2. Pour établir l’expression du champ créé par un dipôle, nous avons fait un développement
limité en ne conservant que les termes d’ordre un. Les termes d’ordre supérieur
(multipolaires) ne jouent un rôle qu’à proximité immédiate de la spire.
II.3.2- Le modèle du dipôle en physique
Il est intéressant de remarquer que l’expression du champ magnétique créé par une spire de
courant (dipôle magnétique M = ISn ) est formellement équivalente à celle du champ
électrostatique créé par un système de deux charges opposées (dipôle électrique p = qd )
1
p⋅u
grad 2
4 πε 0
r
Cependant, pour le champ magnétique, il s’avère impossible de séparer le dipôle en une
charge magnétique « + » et une autre « - ». Le dipôle est la première source de champ
magnétique. C’est la raison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation des
effets magnétiques observés dans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique.
E( M ) = −
L’origine du champ magnétique d’un matériau quelconque (ex : aimant) doit être
microscopique. En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les
22
atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle de
Bohr de l’atome d’Hydrogène consiste en un électron de charge q=-e en mouvement circulaire
2π
.
uniforme autour d’un noyau central (un proton) avec une période T =
ω
Si on regarde sur des échelles de temps longues par
rapport à T, tout se passe comme s’il y avait un courant
ω
q qω
I= =
T 2π
On a donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la
distance moyenne au proton, c’est à dire le rayon de Bohr
+e
a0
a0 . L’atome d’Hydrogène aurait donc un moment
-e
v = ω a 0 magnétique intrinsèque
qω 2
q
a0 n =
mωa0 2 n
M = ISn =
2
2m
q
=
L
2m
où L est le moment cinétique de l’électron et q 2 m est appelé le facteur gyromagnétique.
(
)
( )
Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en
rotation autour d’un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment
cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) :
ce qui compte c’est l’existence d’un courant. Il suffit donc d’avoir un décalage, même léger,
entre les vitesses des charges « + » et celles des charges « - ».
Du coup, on peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en
fonction de l’orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent :
• Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribués aléatoirement, il n’y a pas de
champ magnétique intrinsèque.
• Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels les moments peuvent s’orienter dans une
direction privilégiée en présence d’un champ magnétique extérieur, pouvant donc être
ainsi aimantés momentanément.
• Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction
particulière, de façon permanente (aimants naturels).
La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique
correspond au pôle Sud géographique (à un angle près).
Au niveau macroscopique, l’explication de l’existence du champ magnétique observé sur les
planètes et sur les étoiles est encore aujourd’hui loin d’être satisfaisante. La théorie de l’effet
dynamo essaye de rendre compte des champs observés par la présence de courants,
essentiellement azimutaux, dans le cœur des astres.
Plusieurs faits connus restent partiellement inexpliqués :
• Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble
à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de
polarité tous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu’il y avait eu une
inversion il y a environ 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des fluctuations du champ.
• Non-alignement avec le moment cinétique de l’astre : s’il est de l’ordre d’une dizaine de
degrés pour la Terre (avec une modification de la direction de l’axe magnétique d’environ
15’ par an), il est de 90° pour celui de Neptune !