Terminales S PROBABILITES , VARIABLES ALEATOIRES , LOI

Terminales S
PROBABILITES , VARIABLES ALEATOIRES , LOI BINOMIALE
EXERCICE 1
Le parc informatique d’un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
• 30 sont considérés comme neufs ;
• 90 sont considérés comme récents ;
• les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que :
• 5% des ordinateurs neufs sont défaillants ;
• 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
• 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les évènements suivants
N : « L’ordinateur est neuf »
R : « L’ordinateur est récent »
A : « L’ordinateur est ancien »
D : « L’ordinateur est défaillant »
 l’événement contraire de D.
D
1.a) • Comme 30 ordinateurs sont considérés comme neufs,
30
p ( N )=
=0,15 .
200
• Comme 5% des ordinateurs neufs sont défaillants , pN(D) = 0,05 .
• Comme 10 % des ordinateurs récents sont défaillants , pR(D) = 0,1.
On peut résumer le tout grâce à l'arbre de choix pondéré ci-contre .
1.b) Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant est
p ( N ∩ D)= p( N )× p N (D)=0,15×0,05=0,0075 .
1.c) La probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est :
p ( D)= p( N ∩D)+ p(R∩D)+ p( A∩D)
D'où p ( D)= p( N )× p N ( D)+ p( R)× p R (D)+ p( A)× p A( D)=0,15×0,05+0,45×0,1+0,4×0,2=0,1325
2. La probabilité demandée est p D (A) .
p (A∩ D) p A (D)× p( A)
0,08
=
=
≈0,60 .
Or , p D (A)=
p( D)
p( D)
0,1325
La probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant est donc égale à 0,60 environ .
3.a) Équiper le centre de ressources de l’établissement peut être assimilé à un schéma de Bernoulli dans la
mesure où l'on répète 10 fois de façon identique et indépendante une même épreuve (choix d'un ordinateur)
pour laquelle deux issues sont envisagées : l'ordinateur est défaillant (succès) ou il ne l'est pas (échec) .
D'après ce qui précède , on en déduit que X le nombre d'ordinateurs défaillants suit une loi binomiale de
paramètres 10 et 0,1325 .
La probabilité qu’exactement trois des ordinateurs choisis soit défaillants est donc égale à
p ( X =3)= 10 ×0,13253 ×(1−0,1325)10−3=120×0,13253×0,8675 7≈0,10
3
3.b) La probabilité pour qu'au moins un ordinateur soit défaillant est égale à :
p ( X ≥1)=1 – p( X =0)=1 – 0,867510≈0,76 .
( )
EXERCICE 2
1. Pour former un bouquet , on doit choisir 6 fleurs parmi les 24 disponibles .
24 =134596
Le fleuriste peut former
bouquets possibles .
6
2.a) On note A l'événement « obtenir un bouquet ne comportant que des roses «
Un résultat permettant de réaliser A est composé de 6 roses .
7
6
7
1
7 =7
=
=
Il y a donc
résultats permettant de réaliser A .Donc , p ( A)=
3
134596
19228
6
24
6
2.b) On note A l'événement « obtenir un bouquet comportant trois roses et deux marguerites «
Un bouquet comportant trois roses et deux marguerites est composé de :
( )
()
()
( )
.
(73)=35 choix possibles .
7
deux marguerites : il y a ( )=21 choix possibles .
2
10
une tulipe ou une orchidée : il y a ( )=10 choix possibles .
1
7
7
10
On en déduit qu'il y a ( )×( )×( )=35×21×10=7350 résultats permettant de réaliser B.
3
2
1
7 × 7 × 10
(3) ( 2) ( 1 ) = 7350 = 525 .
Par conséquent , p(C) = p ( B)=
( 246) 134596 9614
l
trois roses : il y a
l
l
EXERCICE 3
On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre de choix pondéré
On note N1 l'événement « la boule porte le numéro 1 »
N2 l'événement « la boule porte le numéro 2 »
1. La probabilité pour que la boule soit rouge est :
p ( R)=0,2+0,8×0,1=0,28
p( N 2∩R) 0,8×0,1 2
=
=
2. La probabilité demandée est p R ( N 2)=
p ( R)
0,28
7
3.a) L'épreuve aléatoire peut être assimilé à un schéma de Bernoulli dans la mesure où l'on répète n fois de
façon identique et indépendante une même épreuve (tirage d'une boule dans l'urne) pour laquelle deux issues
sont envisagées : la boule est rouge et porte le numéro 1 (succès) ou son contraire (échec) .
D'après ce qui précède , on en déduit que X le nombre de boules numéro 1 suit une loi binomiale de
paramètres n et 0,2 .
La probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 est donc :
p ( X ≥1)=1 – p( X =0)=1 – 0,8n .
3.b) Déterminer l'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1
est supérieure à 0,99 revient donc à résoudre l'inéquation :
ln 0,01
n
n
n
n
1 – 0,8 ≥0,99⇔−0,8 ≥−0,01⇔ 0,8 ≤0,01 ⇔ln ( 0,8 )≤ln 0,01⇔ n×ln 0,8≤ln 0,01 ⇔ n≥
≈20,63..
ln 0,8
On en conclut que l'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro
1 est n = 21 .
EXERCICE 4
7 × 3
(
2 ) (1 ) 21
p=
=
10
( 3 ) 40
1. La probabilité cherchée est
.
2. La variable aléatoire donnant au nombre de boules noires suit une loi binomiale de paramètres 5 et
3
Donc ,
2
3
2
() ( ) ( ) () ( ) ( )
3
7
3
7
p ( X =3)= 5 ×
×
= 5 ×
×
10
10
10
10
3
2
, car
(53)=(52)=10
3
10
.