BTS1 devoir n° 6 Surveillé novembre Exercice 1 : ( 10 points ) Une

BTS1
Exercice
devoir n° 6 Surveillé
novembre
( 10 points )
1 :
Une usine fabrique des lentilles de contact.
A l’issue de la fabrication, les lentilles peuvent présenter deux types de défauts :
• Une puissance défectueuse.
• Une épaisseur défectueuse.
On prélève une lentille au hasard dans la production d’une journée. toutes les lentilles ont la même probabilité d’être
tirées.
On note A l’événement : « La lentille présente une puissance défectueuse ».
On note B l’événement : « La lentille présente une épaisseur défectueuse ».
On admet que les probabilités des événements A et B sont respectivement p(A) = 0, 03 et p(B) = 0.02 et on considère
que les événements A et B sont indépendants.
1. Représenter la situation à l’aide d’un tableau.
2. a. Traduire par une phrase l’événement E1 = A ∩ B.
b. Calculer p(E1 ).
3. Soit E2 l’événement : « La lentille prélevée présente au moins l’un des deux défauts »
a. Exprimer l’événement E2 à l’aide des événements A et B.
b. Calculer p(E2 ).
4. Calculer la probabilité de l’événement E3 : « La lentille prélevée ne présente aucun défaut ».
5. Calculer la probabilité de l’événement E4 : « La lentille prélevée présente un seul des deux défauts ».
Exercice
( 10 points )
2 :
Le directeur d’une fabrique de microprocesseurs constate que 4 % de la production journalière d’un certain modèle est
défectueuse.
Un responsable qualité propose une vérification systématique des microprocesseurs, mais cette vérification n’est pas
parfaite :
– Elle ne rejette que 95 % des microprocesseurs défectueux.
– Elle rejette 2 % des microprocesseurs n’ayant pas de défaut.
On prélève au hasard un microprocesseur dans la production journalière. On appelle
– D l’événement : « Le microprocesseur est défectueux ».
– R l’événement : « Le microprocesseur est rejeté après vérification ».
La probabilité P (A/B) désigne la probabilité de l’événement A sachant que B est réalisé.
1. Préciser, en justifiant la réponse, les probabilités P (D) ; P (R/D) ; P (R/D).
2. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous sur lequel seront placées les diverses probabilités.
R
D
R
R
D
R
a. Calculer la probabilité des événements D ∩ R et D ∩ R.
b. En déduire la probabilité de l’événement R.
4. Un microprocesseur a été rejeté.
a. Calculer la probabilité qu’il n’ait pas de défaut.
b. Calculer la probabilité qu’il soit défectueux.
3.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
1
Corrigé
Exercice
( 5 points )
1 :
1. Tableau :
B
A
A
0.0006
0.0194
0.02
Données :
a. p(A) = 0.03
b. p(B) = 0.02
B
2.
0.0294
0.9506
0.03
0.97
0.98
a. E1 = A ∩ B désigne l’événement « La lentille présente les deux défauts ».
b. Comme A et B sont indépendants, nous avons p(E1 ) = p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0.03 × 0.02 = 0.0006
3.
a. L’événement E2 :« La lentille prélevée présente au moins l’un des deux défauts » est E2 = A ∪ B
b. p(E2 ) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0.03 + 0.02 − 0.0006 = 0.0494
4. « La lentille prélevée ne présente aucun défaut ».
E3 = E2 donc p(E3 ) = 1 − p(E2 ) = 1 − 0.0494 = 0.9506
5. « La lentille prélevée présente un seul des deux défauts ».
E4 = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) donc p(E4 ) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = 0.0294 + 0.0194 = 0.0488
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
2
Corrigé
Exercice
( 5 points )
2 :
1. 4 % de la production journalière d’un certain modèle est défectueuse donc P (D) = 0.04
La vérification ne rejette que 95 % des microprocesseurs défectueux donc P (R/D) = 0.95
La vérification rejette 2 % des microprocesseurs n’ayant pas de défaut donc P (R/D) = 0.02
2. Arbre de probabilité :
Probabilité
0.04
0.96
3.
Probabilité
Conditionnelle
Probabilité de
l’intersection
0.95
R
P rob(D ∩ R) = 0.04 × 0.95 = 0.038
0.05
R
P rob(D ∩ R) = 0.04 × 0.05 = 0.002
0.02
R
P rob(D ∩ R) = 0.96 × 0.02 = 0.0192
0.98
R
P rob(D ∩ R) = 0.96 × 0.98 = 0.9408
D
D
a. P (D ∩ R) = PD (R) × P (D) = 0.95 × 0.04 = 0.038
P (D ∩ R) = PD (R) × P (D) = 0.02 × 0.96 = 0.0192
b. P (R) = P (D ∩ R) + P (D ∩ R) = 0.038 + 0.0192 = 0.0572
4. Un microprocesseur a été rejeté.
a. La probabilité qu’il n’ait pas de défaut est P (D/R) =
b. La probabilité qu’il soit défectueux est P (D/R) =
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré
3
0.0192
P (D ∩ R)
=
= 0.3357.
P (R)
0.0572
P (D ∩ R)
0.038
=
= 0.6643.
P (R)
0.0572