BTS1 devoir n° 6 Surveillé novembre Exercice 1 : ( 10 points ) Une

BTS1 devoir n° 6 Surveillé novembre
Exercice 1 : ( 10 points )
Une usine fabrique des lentilles de contact.
A l’issue de la fabrication, les lentilles peuvent présenter deux types de défauts :
• Une puissance défectueuse.
• Une épaisseur défectueuse.
On prélève une lentille au hasard dans la production d’une journée. toutes les lentilles ont la même probabilité d’être
tirées.
On note A l’événement : « La lentille présente une puissance défectueuse ».
On note B l’événement : « La lentille présente une épaisseur défectueuse ».
On admet que les probabilités des événements Aet Bsont respectivement p(A) = 0,03 et p(B) = 0.02 et on considère
que les événements Aet Bsont indépendants.
1. Représenter la situation à l’aide d’un tableau.
2. a. Traduire par une phrase l’événement E1=A∩B.
b. Calculer p(E1).
3. Soit E2l’événement : « La lentille prélevée présente au moins l’un des deux défauts »
a. Exprimer l’événement E2à l’aide des événements Aet B.
b. Calculer p(E2).
4. Calculer la probabilité de l’événement E3: « La lentille prélevée ne présente aucun défaut ».
5. Calculer la probabilité de l’événement E4: « La lentille prélevée présente un seul des deux défauts ».
Exercice 2 : ( 10 points )
Le directeur d’une fabrique de microprocesseurs constate que 4 % de la production journalière d’un certain modèle est
défectueuse.
Un responsable qualité propose une vérification systématique des microprocesseurs, mais cette vérification n’est pas
parfaite :
– Elle ne rejette que 95 % des microprocesseurs défectueux.
– Elle rejette 2 % des microprocesseurs n’ayant pas de défaut.
On prélève au hasard un microprocesseur dans la production journalière. On appelle
– D l’événement : « Le microprocesseur est défectueux ».
– R l’événement : « Le microprocesseur est rejeté après vérification ».
La probabilité P(A/B)désigne la probabilité de l’événement Asachant que Best réalisé.
1. Préciser, en justifiant la réponse, les probabilités P(D);P(R/D);P(R/D).
2. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous sur lequel seront placées les diverses probabilités.
D
R
R
D
R
R
3. a. Calculer la probabilité des événements D∩Ret D∩R.
b. En déduire la probabilité de l’événement R.
4. Un microprocesseur a été rejeté.
a. Calculer la probabilité qu’il n’ait pas de défaut.
b. Calculer la probabilité qu’il soit défectueux.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 1

Corrigé
Exercice 1 : ( 5 points )
1. Tableau :
A A
B
B
0.03
0.02
0.97
0.98
0.0006 0.0194
0.0294 0.9506
Données :
a. p(A) = 0.03
b. p(B) = 0.02
2. a. E1=A∩Bdésigne l’événement « La lentille présente les deux défauts ».
b. Comme Aet Bsont indépendants, nous avons p(E1) = p(A∩B) = p(A)×p(B) = 0.03 ×0.02 = 0.0006
3. a. L’événement E2:« La lentille prélevée présente au moins l’un des deux défauts » est E2=A∪B
b. p(E2) = p(A) + p(B)−p(A∩B) = 0.03 + 0.02 −0.0006 = 0.0494
4. « La lentille prélevée ne présente aucun défaut ».
E3=E2donc p(E3) = 1 −p(E2) = 1 −0.0494 = 0.9506
5. « La lentille prélevée présente un seul des deux défauts ».
E4= (A∩B)∪(A∩B)donc p(E4) = p(A∩B) + p(A∩B) = 0.0294 + 0.0194 = 0.0488
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 2

Corrigé
Exercice 2 : ( 5 points )
1. 4 % de la production journalière d’un certain modèle est défectueuse donc P(D) = 0.04
La vérification ne rejette que 95 % des microprocesseurs défectueux donc P(R/D) = 0.95
La vérification rejette 2 % des microprocesseurs n’ayant pas de défaut donc P(R/D) = 0.02
2. Arbre de probabilité :
Probabilité Probabilité
Conditionnelle
Probabilité de
l’intersection
P rob(D∩R) = 0.04 ×0.95 = 0.038
P rob(D∩R) = 0.04 ×0.05 = 0.002
P rob(D∩R) = 0.96 ×0.02 = 0.0192
P rob(D∩R) = 0.96 ×0.98 = 0.9408
D
0.04
R
0.95
R
0.05
D
0.96
R
0.02
R
0.98
3. a. P(D∩R) = PD(R)×P(D) = 0.95 ×0.04 = 0.038
P(D∩R) = PD(R)×P(D) = 0.02 ×0.96 = 0.0192
b. P(R) = P(D∩R) + P(D∩R) = 0.038 + 0.0192 = 0.0572
4. Un microprocesseur a été rejeté.
a. La probabilité qu’il n’ait pas de défaut est P(D/R) = P(D∩R)
P(R)=0.0192 0.0572 = 0.3357.
b. La probabilité qu’il soit défectueux est P(D/R) = P(D∩R)
P(R)=0.038 0.0572 = 0.6643.
Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 3