SPE PSI - CPGE Dupuy de Lôme

SPE PSI DEVOIR LIBRE N°9 pour le 04/01/12
Phénomènes d’induction et conversion électromécanique:
1/ Inductance propre et inductance mutuelle.
11/ Définitions et propriétés :
11a/ Définir l'inductance propre L d’un circuit filiforme.
11b/ Soient deux circuits filiformes orientés que l’on note ( I ) et ( 2 ). Lorsque le circuit ( 1 ) est
parcouru par un courant d’intensité i1 il crée un champ magnétique, dont le flux à travers le circuit
( 2 ) a pour expression
1122/1 iM
.
Définir le coefficient M21.
11c/ Quelle relation lie M12, M21 et l’inductance mutuelle M des deux circuits ?
11d/ Deux spires circulaires orientées ( 1 ) et ( 2 ) sont placées successivement selon les deux
dispositions d1 et d2 ci-dessous ( figure 1 ). Ces spires sont perpendiculaires au plan de la figure, la
partie en gras étant située en avant de ce plan. Dans d1 et d2, les deux spires sont coaxiales.
Indiquer le signe de M dans chacun des cas.
12/ On considère une bobine placée dans l’air et comportant N = 1 000 spires, pratiquement
circulaires, enroulées sur un manchon non magnétique de rayon R = 10 cm et de diamètre d = 4 cm.
Calculer son inductance propre L en l’assimilant à un solénoïde très long disposé dans le vide.
13/ On dispose de deux bobines identiques S1 et S2, chacune d’inductance propre L et de résistance
ohmique r = 8 . On repère les bornes par les lettes C et D.
Les deux bobines sont placées à proximité l’une de l’autre comme l’indique la figure 2 et on les
connecte en série sans les déplacer créant ainsi un nouveau dipôle.
La connexion se fait selon les deux possibilités suivantes :
- Dipôle (a) équivalent à une bobine Sa: la borne D de S1 est reliée à la borne C de S2.
L’inductance mutuelle entre les deux bobines S1 et S2 est notée M dans cette
configuration.
- Dipôle (b) équivalent à une bobine Sb: la borne D de S1 est reliée à la borne D de S2.
Figure 1

On alimente successivement chacun des deux dipôles (a) et (b) par un courant sinusoïdal de
fréquence f = 2 kHz.
La mesure du module de l’impédance donne Za = 375  pour la bobine Sa et Zb = 225  pour la
bobine Sb.
13a) Exprimer les inductances propres respectives La et Lb des bobines Sa et Sb en fonction de L et M.
13b) Exprimer Za ( resp. Zb ) en fonction de r, La ( resp Lb ) et f.
13c) Calculer L et M.
2/ Induction et conversion d’énergie :
21/ Echange d’énergie entre une bobine et une résistance.
On réalise le montage de la figure 3 comprenant un générateur de tension de fem E = 2 V, une bobine
d’inductance propre L = 100 mH et de résistance ohmique r = 10 , une résistance ohmique Ro de
10 , un interrupteur K et une résistance ohmique R de 200 .
L’interrupteur K étant fermé depuis longtemps, on l’ouvre à un instant qui sera considéré comme
l’origine du temps t.
21a) Calculer l’intensité io du courant électrique dans la bobine et la valeur uo de la tension à ses
bornes avant l’ouverture de K.
21b) Etablir l’expression de l’intensité i(t) du courant électrique dans la bobine en fonction du temps
t pour t > 0, ainsi que celle de la tension u(t) à ses bornes.
21c) Tracer les courbes représentatives de i(t) et u(t) pour t variant de – 0,5 ms à 2,5 ms.
21d) Par un raisonnement énergétique clair et ne nécessitant pratiquement pas de calculs, déterminer
l’énergie électrique WJ(R) consommée par la résistance R entre t = 0 et t = .
21e) Retrouver la valeur de WJ(R) par un calcul direct. Calculer numériquement WJ(R).
Figure 2
K
Bobine
R = 200 
Ro = 10 
E = 2 V
u
i
Figure 3

22/ Echange d’énergie entre une bobine et une machine tournante.
Le circuit électrique de la figure 3 comprend un générateur de tension idéal de fem E = 10 V en série
avec une résistance ohmique R1 = 20 , un interrupteur Int, une bobine d’inductance propre L = 5 H
et de résistance ohmique rL = 20 , une diode idéale et une petite machine tournante.
La diode idéale a une tension seuil nulle, est traversée par un courant nul quand elle est bloquée et
possède une résistance interne nulle lorsqu’elle est passante.
La figure 5 décrit la liaison entre la machine tournante et une poulie par l’intermédiaire d’un
réducteur de vitesse. Si la vitesse de rotation de l’arbre de la machine tournante est , celle de la
poulie à la sortie du réducteur est 1 telle que  = C1 avec un rapport de réduction C = 20.
Sur la poulie de rayon a = 2 cm est enroulé un fil inextensible auquel est suspendue une masselotte de
masse m = 200 g. On prendra g = 10 m.s-2 pour l’intensité du champ pesanteur.
La machine tournante comporte un rotor solidaire de l’arbre de rotation. Sur ce rotor, se trouve
bobiné un fil électrique relié au circuit par des contacts glissants. Le déplacement de ce conducteur
dans le champ magnétique d’un aimant permanent appelé stator provoque l’apparition d’une fem
induite.
Du point de vue électrique, la machine tournante est équivalente à la fem e = K en série avec la
résistance ohmique rm. On prendra K = 0,03 V.s.rad-1 et rm = 50 . Le schéma correspondant se
trouve figure 6.
Int
Bobine
L = 5 H
rL = 20 
Machine tournante.
R1 = 20 
E = 10 V
u
iB
Figure 4
m = 200 g
i
Figure 5

Par convention l’axe de rotation est orienté de façon à ce que la masselotte monte lorsque  > 0.
Quand le bobinage du rotor est parcouru par le courant d’intensité i, le champ magnétique de l’aimant
permanent provoque l’apparition sur ce rotor de forces magnétiques dont le moment par rapport à
l’axe de rotation orienté est  = K.i. Le coefficient K est le même que celui introduit dans
l’expression de e.
22a) L’interrupteur Int étant fermé depuis longtemps et le rotor immobilisé, donner la valeur io de
l’intensité iB du courant électrique qui traverse la bobine. Quelle est la valeur de i, intensité du
courant électrique dans le rotor de la machine tournante ?
22b) A l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur Int. A cet instant, le rotor de la machine tournante est
immobile, la masse m reposant sur un support que l’on enlève immédiatement.
On pose r = rL + rm.
Etablir l’équation différentielle électrique liant i(t),
dttdi )(
et (t) avec L, r et K comme paramètres.
L’état de la diode pour t > 0 est supposé être le même qu’à l’instant suivant l’ouverture de Int.
22c) La machine tournante forme un système mécanique ( S ) soumis aux actions de pesanteur
( transmise par la poulie et le réducteur ) et aux actions des forces électromagnétiques. Le moment
d’inertie de ( S ) par rapport à son axe de rotation est noté J et vaut : J = 3.10-6 kg.m2.
Tous les frottements sont négligés. Sans faire de calcul, justifier que la masse m va d’abord monter.
22d) En utilisant le fait que le réducteur ne consomme aucune puissance, justifier que le moment des
actions exercées par la force de pesanteur sur l’arbre moteur est
C
mga
au cours de la phase
ascendante.
En appliquant au système ( S ) le théorème du moment cinétique ( théorème que vous appelez peut-
être théorème du moment dynamique en SI ), établir l’équation différentielle liant i(t) et
dttd )(
avec
K, J, m, g, a et C comme paramètres.
22e) Déterminer alors l’équation différentielle (DIFF) vérifiée par i(t) avec L, K, J, m, g, a et C
comme paramètres.
22f) Sans résoudre (DIFF) exprimer littéralement
)0( 
dt
di
,
)0( 
dt
d
et u(0+).
rm = 50 
e
i
Figure 6

22g) Expliquer pourquoi i(t) tend vers une limite ilim lorsque t devient grand. Calculer alors
littéralement puis numériquement les valeurs limites ilim, lim et ulim.
22h) La résolution de l’équation (DIFF) permet de tracer les courbes suivantes où sont représentées
les grandeurs i(t) en mA et (t) en rad.s-1 pour t variant de 0 à 2 s.
Identifier chaque courbe en justifiant la réponse.
22i) Préciser sur quels intervalles de temps la machine tournante se comporte soit en moteur, soit en
génératrice de courant.
22j) Expliquer qualitativement le fonctionnement du dispositif en effectuant par exemple un
raisonnement sur les transformations de l’énergie se produisant au cours de l’intervalle de temps
[ 0, +  [.
Figure 7