Energies potentielle et mécanique

Chap.4 – Aspects énergétiques de la dynamique (Part. 2)
Energies potentielle et mécanique ; Stabilité d’un équilibre
1.
2.
3.
4.
5.
Forces conservatives - Energie potentielle
1.1.
Forces conservatives - Forces non conservatives
1.2.
Définition de l’énergie potentielle du point M soumis à une force conservative
1.3.
Une force conservative dérive d’une énergie potentielle
1.4.
Energie potentielle de pesanteur
1.5.
Energie potentielle élastique
1.6.
Energie potentielle totale du système
1.7.
Exemple : point matériel suspendu à un ressort vertical
Théorème de l’énergie mécanique
2.1.
Interprétation physique de l’énergie potentielle
2.2.
Définition de l’énergie mécanique du point M
2.3.
Théorème de l’énergie mécanique
2.4.
Système en évolution conservative - Intégrale première de l’énergie
2.5.
Exemple : point matériel suspendu à un ressort vertical
2.6.
Exemple : pendule simple
Evolution conservative : discussion graphique du mouvement
3.1.
L’énergie mécanique est toujours supérieure à l’énergie potentielle
3.2.
Discussion graphique de la nature du mouvement
3.3.
Exemple : bille se déplaçant sur un sol accidenté (creux et bosses)
3.4.
Exemple : point matériel suspendu à un ressort vertical
3.5.
Exemple : mouvement d’un pendule à tige rigide
Positions d’équilibre du point M - Stabilité, instabilité
4.1.
Extremum d’énergie potentielle : un critère d’équilibre du point M
4.2.
Minimum ou maximum d’énergie potentielle : un critère de stabilité de l’équilibre
4.3.
Retour sur les trois exemples
Portrait de phase : une nouvelle approche graphique du mouvement
5.1.
Etat mécanique du point M : position et vitesse
5.2.
Intérêt du portrait de phase
5.3.
Propriétés du portrait de phase
5.4.
Exemple : mouvement du pendule à tige rigide
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Intro :
Au chapitre précédent, on a défini l’énergie cinétique d’un point matériel, la puissance et le travail d’une force.
Ces notions ont permis de reformuler la RFD en termes de transfert et de variation d’énergie (TPC et TEC). Cette
nouvelle formulation des lois de la mécanique est particulièrement utile dans les problèmes à un degré de liberté.
De manière générale, le travail d’une force (entre deux positions, entre deux instants) est une quantité qui dépend
du chemin suivi par le système. Certaines forces se distinguent pourtant des autres. Pour ces forces, dites
conservatives, le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions initiale et finale du système.
Dans le cas très particulier des forces conservatives, on va introduire dans ce chapitre deux nouvelles grandeurs
énergétiques : l’énergie potentielle et l’énergie mécanique. Elles vont permettre d’établir un nouveau théorème :
le Théorème de l’Energie Mécanique. Equivalent au TEC, ce nouveau théorème permet de discuter encore plus
simplement la nature du mouvement.
A l’aide de ces nouveaux outils, on pourra discuter de la stabilité des positions d’équilibre accessibles au système.
On terminera par une nouvelle approche graphique du mouvement : le portrait de phase.
On a vu que l’application du TPC est particulièrement utile pour résoudre des problèmes à un degré de liberté.
Tout ce chapitre est limité aux problèmes où seule une coordonnée permet de repérer la position du point M.
1. Forces conservatives - Energie potentielle
1.1. Forces conservatives - Forces non conservatives
La question de savoir si une force est ou non conservative est importante. On remarquera que cette question n’a
un sens que si la force travaille. Les forces qui ne travaillent pas ne sont jamais impliquées dans les
raisonnements énergétiques. Quelques forces qui ne travaillent jamais :
o la réaction normale du support
o la tension d’un fil idéal
o (la force magnétique)
On a montré que le poids et la force de rappel élastique sont des forces conservatives. Dans un premier temps, en
exercice, on ne rencontrera que ces deux forces conservatives. Mais il en existe d’autres :
o la gravitation
o la force de Coulomb (entre particules chargées)
o les interactions nucléaires
A notre niveau, les forces non conservatives sont les forces de frottements (fluide et solide).
1.2. Définition de l’énergie potentielle du point M soumis à une force conservative
On rappelle que le travail est une quantité d’énergie reçue par le point M sous l’action d’une force. Sur un trajet
élémentaire, le travail élémentaire est une quantité élémentaire d’énergie reçue par le point M. On a lourdement
insisté au chapitre précédent sur la distinction entre :
o quantité d’énergie reçue par le point M (notations W et W)
o et variation d’énergie du point M (notations dEc et Ec)
On considère à présent un point matériel M soumis à une seule force, une force conservative. C’est un problème à
un degré de liberté, on suppose que la position du point est repérée par la coordonnée x (cela pourrait être ou ).
La force étant conservative, le travail entre deux positions M1 et M2 prises par le point M au cours de son
mouvement ne dépend que des positions M1 et M2. On peut alors considérer le travail d’une force conservative
comme la variation d’une fonction de la position : « f(x) ». Au signe près, cette fonction de la position définit
l’énergie potentielle.
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On définit l’énergie potentielle Ep(x) du point M à partir de la relation suivante :
Sur un trajet élémentaire, la variation élémentaire de l’énergie potentielle du point M est égale à l’opposé du
travail élémentaire de la force conservative associée.
Remarques :
 En intégrant sur un trajet fini, entre M1 et M2, on obtient la relation sous forme intégrale :
E p  E p x 2   E p x1 
W12  E p
avec


On notera que l’énergie potentielle étant définie à partir du travail, elle dépend du référentiel.
Ces relations ne sont généralement pas utiles en exo. On ne calcule pas le travail à partir de la variation
d’énergie potentielle, l’intérêt principale de l’énergie potentielle étant de ne plus s’embêter à calculer le
travail des forces conservatives. Quant à la définition, elle sert à démontrer les formules qui suivent.
1.3. Une force conservative dérive d’une énergie potentielle
Le but est ici d’établir une formule reliant directement l’énergie potentielle à la force associée. La formule
générale utilise l’opérateur « gradient », hors programme en ce début de sup. Pour les mouvements à un degré de
liberté, on peut heureusement s’en passer.
Les formules suivantes se démontrent à partir de la définition de l’énergie potentielle. Elles sont données dans les
cas où la position de M est repérée par une seule coordonnée (respectivement , ou , ou ).
Relation « force projeteé » - énergie potentielle
C’est pourquoi on dit d’une force conservative « qu’elle dérive d’une énergie potentielle ».
Méthode pour établir l’expression mathématique de
1. Définir un repère, et identifier la coordonnée « qui fait travailler » la force
2. Utiliser une des formules ci-dessus, et la primitiver
3. Déterminer la constante d’intégration en fixant arbitrairement un point de l’espace à
Cette dernière étape consiste à « définir l’origine de l’énergie potentielle »
Il apparaît donc clairement que l’énergie potentielle est une fonction de la position qui n’est définie qu’à une
constante près. Cette constante n’a aucune signification physique, et peut-être choisie arbitrairement.
On remarquera que l’énergie potentielle étant une fonction uniquement de la position, une force ne peut être
conservative que si c’est une fonction de la position uniquement. On comprend mieux ici pourquoi les forces de
frottements ne sont pas des forces conservatives.
1.4. Energie potentielle de pesanteur
 Etablir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur en coordonnées cartésiennes.
On la retiendra par cœur, sans la redémontrer en exercice (sauf si explicitement demandé) :
E p z   mgz
On retiendra aussi les conditions de validité de cette expression :
o z est la coordonnée qui repère la position du point M selon la verticale
o
o
l’axe e z du repère cartésien est dirigé vers le haut
l’origine de l’énergie potentielle est fixée à l’origine du repère cartésien
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1.5. Energie potentielle élastique
On retiendra l’expression de l’énergie potentielle en fonction de la longueur
E p   
du ressort :
1
2
k    0 
2
On partira toujours de cette formule pour exprimer ensuite l’énergie potentielle en fonction de la coordonnée de
position utilisée dans le problème.
On retiendra aussi que :
o Cette expression ne dépend pas du repère cartésien choisi (origine et direction des axes)
o Elle est valable pour une direction quelconque de l’axe du ressort (horizontal, vertical ou autre)
o Cette expression est établie en fixant l’énergie potentielle nulle quand l’allongement est nul
1.6. Energie potentielle totale du système
Le travail de la somme des forces étant égal à la somme des travaux de chaque force, il en est de même pour
l’énergie potentielle : l’énergie potentielle totale du point M est égale à la somme des énergies potentielles de
chacune des forces conservatives.
1.7. Exemple : point matériel suspendu à un ressort vertical
On considère un point matériel M suspendu à un ressort vertical dont une extrémité est fixée au plafond.
 Choisir l’origine du repère de manière à simplifier les calculs qui suivent
 Etablir l’expression de l’énergie potentielle totale du point M.
2. Théorème de l’énergie mécanique
2.1. Interprétation physique de l’énergie potentielle
Pour synthétiser ce que l’on sait sur les trois formes d’énergie que l’on a introduites jusqu’à présent (travail,
énergie cinétique et énergie potentielle), on fait une analogie avec une cuve remplie d’eau.
On retiendra que :
o Le point M peut emmagasiner de l’énergie sous deux formes : cinétique et potentielle
o On parle donc de l’énergie cinétique du point M, de l’énergie potentielle du point M
o Les forces conservatives ont pour effet de convertir l’énergie du point M d’une forme sous une autre
forme au cours du mouvement.
o On parle d’énergie « potentielle » car c’est une forme d’énergie qui peut être potentiellement convertie en
énergie cinétique sous l’action des forces conservatives.
2.2. Définition de l’énergie mécanique du point M
On définit l’énergie totale du point M, appelée énergie mécanique
de l’énergie potentielle :
, comme la somme de l’énergie cinétique et
Les énergies cinétique et potentielle dépendent du référentiel, donc l’énergie mécanique dépend du référentiel.
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2.3. Théorème de l’énergie mécanique
Le TEM (resp. TPM) découle directement du TEC (resp. TPC) et de la définition de l’énergie potentielle.
Théorème de l’énergie mécanique (forme instantanée)
Dans un référentiel galiléen, la variation par unité de temps de l’énergie mécanique du point M est égale à la
puissance des forces non conservatives :
Utilité : De la même manière que le TPC, le TPM permet d’obtenir l’équation différentielle du mouvement.
L’avantage du TPM est qu’il nous évite de calculer la puissance des forces conservatives, calcul remplacé par
celui des énergies potentielles associées (calcul plus simple, car des formules toutes prêtes).
Remarque :
On peut présenter le TPM sous une forme équivalente, inutile pour les calculs de sup, mais intéressante pour
l’interprétation physique en terme d’échange d’énergie. En introduisant les notations différentielles, on peut
écrire que :
La variation élémentaire de l’énergie mécanique du point M
non-conservatives reçu par le point M
est égale au travail élémentaire des forces
pendant une durée élémentaire .
L’énergie fournie par les forces non conservatives, et reçue par le point M, est emmagasinée par le point M sous
forme mécanique.
Comme pour le TEC, on peut exprimer ce théorème sur une durée finie, un trajet fini :
Théorème de l’énergie mécanique (forme intégrée dans le temps)
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie mécanique du point M est égale au travail des forces
non conservatives :
Utilité : Sous cette forme intégrée dans le temps, le TEM n’apporte pas grand-chose par rapport au TEC. Il est par
contre très utile dans le cas des systèmes en évolution conservative.
2.4. Système en évolution conservative - Intégrale première de l’énergie
On dit qu’un point matériel M est en évolution conservative lorsqu’il n’est soumis qu’à des forces conservatives.
Dans ce cas, l’énergie mécanique du point M se conserve :
E m  E c  E p  C te
La constante est fixée par les conditions initiales.
Cette équation simple est une intégrale première du mouvement. On l’appelle aussi une intégrale première de
l’énergie. Expliquons ce que cela signifie.
L’énergie cinétique est fonction de la vitesse, et l’énergie potentielle est fonction de la position. Si l’on appelle x
la coordonnée qui permet de repérer la position du point M, « Em = Cte » est une équation différentielle du premier
ordre où n’apparaissent que x et x . Or cette relation a été démontrée à partir de la RFD, qui est une équation
différentielle du second ordre. On comprend donc que cette relation est issue de la RFD après avoir intégré une
fois par rapport au temps. D’où le nom d’intégrale première.
Il existe d’autres intégrales premières du mouvement. On appelle ainsi toute quantité qui est conservée au cours
du mouvement, et qui n’implique que la position et sa dérivée d’ordre un par rapport au temps.
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2.5. Exemple : point matériel suspendu à un ressort vertical
On reprend l’exemple du point matériel suspendu à un ressort vertical. Initialement, l’allongement du ressort est
égal à a.
 Etablir l’expression de l’énergie mécanique, et déterminer sa valeur au cours du mouvement.
 Retrouver l’équation du mouvement (précédemment établie au chap.2 avec la RFD).
2.6. Exemple : pendule simple
 Etablir l’expression de l’énergie mécanique, et déterminer sa valeur au cours du mouvement, sachant
qu’initialement le pendule est positionné à  = 0 avec une vitesse nulle.
 Retrouver l’équation du mouvement (précédemment établie au chap.2 avec la RFD).
3. Evolution conservative : discussion graphique du mouvement
Dans cette partie, on s’intéresse à un point matériel en évolution conservative. On va voir que l’intégrale première
de l’énergie permet de discuter qualitativement du mouvement de manière très simple et intéressante.
3.1. L’énergie mécanique est toujours supérieure à l’énergie potentielle
L’énergie cinétique ne pouvant être que positive ou nulle, l’énergie mécanique est toujours supérieure ou égale à
l’énergie potentielle :
Em  E p
La discussion graphique du mouvement repose sur cette simple constatation.
3.2. Discussion graphique de la nature du mouvement
La conservation de l’énergie mécanique permet de déterminer si le mouvement est borné ou non. On parle :
o d’état lié (mouvement borné)
o d’état libre ou d’état de diffusion (mouvement non borné)
La conservation de l’énergie mécanique permet aussi de discuter des évolutions conjointes de la position et de la
vitesse du point M. Cette représentation graphique permet enfin de repérer les positions d’équilibre accessibles au
point M.
En conclusion, sans résoudre d’équations on est capable de dégager certaines caractéristiques du mouvement.
C’est l’intérêt des concepts d’énergie potentielle et d’énergie mécanique appliqués aux systèmes en évolution
conservative.
3.3. Exemple : bille se déplaçant sur un sol accidenté (creux et bosses)
On considère une bille roulant sur le un sol plat où apparaît successivement un creux puis une bosse. On suppose
qu’au cours du mouvement la bille ne décolle pas du sol.
 Discuter des mouvements possibles de la bille en fonction des conditions initiales, de la profondeur du
creux et de la hauteur de la bosse.
3.4. Exemple : point matériel suspendu à un ressort vertical
 On reprend l’exemple du ressort vertical. Tracer à la calculette la courbe d’énergie potentielle (m = 1 kg
et k = 100 N/m). Discuter la nature du mouvement.
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3.5. Exemple : mouvement d’un pendule à tige rigide
On considère à nouveau le mouvement du pendule. On ne limite pas l’étude aux petits angles et la tige du pendule
est rigide. On considère toujours que la tension de la tige est colinéaire à la tige.
 Tracer à la calculette la courbe d’énergie potentielle (m = 1 kg et L = 1m) et discuter de la nature du
mouvement en fonction des conditions initiales.
4. Positions d’équilibre du point M - Stabilité, instabilité
Les positions d’équilibre accessibles au point M sont des cas particuliers qu’il est intéressant d’étudier. Les
courbes d’énergie potentielle permettent de les repérer très facilement. Elles permettent aussi de savoir si
l’équilibre est stable ou instable.
4.1. Extremum d’énergie potentielle : un critère d’équilibre du point M
Définition d’une position d’équilibre
On appelle position d’équilibre toute position du point M pour laquelle la somme des forces qui lui sont
appliquées est nulle. Si le point M est initialement placé dans cette position sans vitesse initiale, il y demeure.
D’après la relation entre la somme des forces conservatives et l’énergie potentielle totale, une somme des forces
nulle correspond à une dérivée nulle de l’énergie potentielle.
Propriété
Une position d’équilibre correspond à un extremum d’énergie potentielle.
4.2. Minimum ou maximum d’énergie potentielle : un critère de stabilité de l’équilibre
Définition équilibre stable
Une position d’équilibre est stable lorsque sous l’effet d’une petite perturbation les forces qui apparaissent
tendent à ramener le point M vers sa position d’équilibre.
Définition équilibre instable
Une position d’équilibre est instable lorsque sous l’effet d’une petite perturbation les forces qui apparaissent
tendent à écarter le point M de sa position d’équilibre.
Propriétés
Une position d’équilibre stable correspond à un minimum d’énergie potentielle.
Une position d’équilibre instable correspond à un maximum d’énergie potentielle.
4.3. Retour sur les trois exemples
 Déterminer les positions d’équilibre et discuter de leur stabilité pour les trois exemples de mouvement
présentés précédemment.
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5. Portrait de phase : une nouvelle approche graphique du mouvement
On se place ici encore dans le cas d’un mouvement à un degré de liberté. On note x la coordonnée repérant sa
position. L’approche graphique du mouvement par le portrait de phase n’est pas restreinte aux évolutions
conservatives. On verra d’ailleurs au chapitre suivant le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti.
5.1. Etat mécanique du point M : position et vitesse
Connaître la position du point M à l’instant t n’est pas suffisant pour déterminer la suite du mouvement, même si
l’on connaît les forces qui sont appliquées au point M. On a vu qu’il fallait connaître la position et la vitesse du
point M à un instant initial pour déterminer complètement la trajectoire ultérieure.
C’est pourquoi on définit l’état mécanique d’un point matériel par le couple x, x  dans les problèmes à un degré
de liberté. En connaissant l’état du point M à un instant t, tous les états ultérieurs du point M sont déterminés si
les forces appliquées au cours du mouvement sont connues. C’est ce qu’on a appelé au chapitre 4 le déterminisme
mécanique.
5.2. Intérêt du portrait de phase
On comprend alors qu’un graphique représentant tous les états mécaniques pris par le point M au cours du temps
est riche d’information. Un tel graphique, représentant la vitesse en fonction de la position x  f x  , s’appelle
trajectoire de phase. Elle représente l’ensemble des états du point M au cours du temps.
On sait que le mouvement du point M dépend des conditions initiales, de l’état initial. On peut tracer sur une
même figure plusieurs trajectoires de phase, chacune correspondant à des conditions initiales particulières.
L’ensemble de ces courbes s’appelle le portrait de phase.
En définitive, sur une seule figure, on peut représenter tous les types de mouvements accessibles au point M
compte tenu des forces qui lui sont appliquées. C’est tout l’intérêt du portrait de phase : synthétiser tout ce que
l’on peut savoir sur le mouvement du point M.
5.3. Propriétés du portrait de phase
A notre niveau, il nous faut juste savoir lire un portrait de phase, savoir l’interpréter. On retiendra les définitions
et propriétés suivantes, valables pour tous les portraits de phase.












Dans le demi-espace supérieur, la trajectoire de phase est parcourue de gauche à droite.
Dans le demi-espace inférieur, la trajectoire de phase est parcourue de droite à gauche.
Les points singuliers sont les points pour lesquels x  0 et x  0 . Ce sont les positions d’équilibre.
L’intersection de la trajectoire de phase avec l’axe des abscisses correspond à un point de rebroussement.
En-dehors des points singuliers, l’intersection de la trajectoire de phase avec l’axe des abscisses présente
une tangente verticale.
En-dehors des points singuliers, deux trajectoires de phase ne peuvent pas se croiser.
Un portrait de phase symétrique par rapport à l’axe des abscisses traduit la réversibilité du mouvement.
Une position d’équilibre stable est une trajectoire de phase réduite à un point sur l’axe des abscisses.
Un mouvement périodique correspond à une trajectoire de phase fermée.
Lors d’un mouvement périodique, la trajectoire de phase est toujours parcourue dans le sens horaire.
Un mouvement d’oscillations périodiques autour d’une position d’équilibre stable correspond à une
trajectoire de phase fermée centrée sur la position d’équilibre.
La trajectoire de phase séparant les mouvements bornés des mouvements non bornés est une séparatrice.
Elle relie entre elles les positions d’équilibre instables.
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5.4. Exemple : mouvement du pendule à tige rigide
La figure représente le portrait de phase du pendule (en haut), mis en parallèle avec le diagramme d’énergie
potentielle (en bas). On rappelle que le pendule est en évolution conservative, donc une trajectoire de phase
correspond à une valeur fixée de l’énergie mécanique.
On notera que la vitesse angulaire (en ordonnée) a été multipliée par une constante. Cela ne change rien aux
propriétés du portrait de phase énoncées précédemment.
Repérer sur cet exemple les différentes propriétés du portrait de phase, et discuter de la nature du mouvement en
fonction des différentes conditions initiales (courbes numérotées de 1 à 4).
Notions clefs
Savoirs :
 Définitions de Ep et Em (+ interprétation physique)
 Relation entre la projection de la force et l’énergie potentielle
 Expression de Ep pour le poids et le ressort + conditions de validité des expressions
 Enoncés du TEM (formulation instantanée, et intégrale + interprétation physique)
 Cas d’une évolution conservative : Em se conserve
 Définitions positions d’équilibre, stabilité / instabilité
 Définitions et propriétés du portrait de phase
Savoirs faire :
 Redémontrer l’expression de Ep pour le poids et le ressort
 Etablir l’expression de Em selon la situation étudiée + déterminer la constante (cas conservatif)
 Déterminer positions d’équilibre et étudier leur stabilité, par le calcul
 Lire et interpréter un diagramme d’énergie potentielle (cas conservatif)
 Lire et interpréter un portrait de phase
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