TD M3 : Energie d`un point matériel - PCSI

TD M3 : Energie d’un point matériel
But du chapitre
Prévoir le mouvement d’un point matériel à partir d’une étude énergétique.
Plan prévisionnel du chapitre
M3 : Energie d’un point matériel
I / Travail et puissance
1°) Travail d’une force
2°) Puissance d’une force
II / Energie cinétique
1°) Energie cinétique
III / Energie potentielle
1°) Notion d’énergie potentielle – exemple du poids d’un corps
2°) Energie potentielle
3°) Forces conservatives
4°) Comment déterminer une énergie potentielle dont dérive une force conservative ?
5°) Travail d’une force conservative
IV / Conservation de l’énergie
1°) Energie mécanique
2°) Conservation de l’énergie
3°) Forces conservatives et conservation de l’énergie
V / Equilibre d’un point matériel,
1°) Positions d’équilibre
2°) Stabilité des positions d’équilibre
3°) Etats de diffusion et états liés
Savoirs et savoir-faire
Ce qu’il faut savoir :
 Définir la puissance d'une force, le travail élémentaire d'une force (à relier avec la
puissance), le travail d'une force.
 Définir l'énergie cinétique d'un point matériel, énoncer le théorème de l'énergie
cinétique sous sa forme différentielle et sous sa forme intégrale.
 Définir l'énergie potentielle associée à une force.
 Définir l'énergie mécanique d'un point matériel, énoncer le théorème de l'énergie
mécanique sous sa forme différentielle et sous sa forme intégrale.
Ce qu’il faut savoir faire :
 Calculer le travail d’une force.
 Démontrer et utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour déterminer la norme du
vecteur vitesse d’un point ou pour établir une équation différentielle du mouvement.
 Déterminer une énergie potentielle à partir de l’expression de la force et inversement.
 Équilibre d'un point matériel : à partir d'une forme quelconque du graphe de Ep(u),
expliciter les limites du mouvement, les positions d'équilibre stable et instable.
Erreurs à éviter/ conseils :
 Comme pour le PFD, l'application d'un théorème énergétique nécessite une analyse
préalable détaillée des différentes forces et du mouvement : ne pas négliger cette
étape !

 Ne pas calculer le travail d'une force avec un simple produit scalaire
.F AB
si la force
n'est pas un vecteur constant : il faut dans ce cas calculer une intégrale.
 Éviter de confondre l'énergie potentielle en un point (que l’on utilise par exemple
pour étudier l'équilibre) et la variation de l'énergie potentielle entre deux points (que
l'on peut utiliser dans le théorème de l’énergie cinétique sous forme intégrale, pour
calculer la variation de la vitesse).
 Attention à l'expression de l'énergie potentielle élastique : il faut bien exprimer
l'allongement du ressort (l - l0) en fonction des notations de l'énoncé.
 Dans un contact sans frottement, la réaction du support est normale au support, mais
elle n'est pas forcément normale au mouvement puisque le support peut
éventuellement se déplacer : dans ce cas, la réaction normale travaille.
Savez-vous votre cours ?
Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre rapidement aux questions
suivantes :
 Enoncer, puis démontrer le théorème de l'énergie cinétique après avoir rappeler la
définition de la puissance d'une force et la définition de l'énergie cinétique.
 Rappeler la définition d'une force conservative. Conséquence.
 Montrer que la force qui s'écrit
x
F kxe
est conservative et dérive d'une énergie
potentielle.
 Montrer que le poids est une force conservative.
 Rappeler l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur, de l'énergie potentielle du
ressort et de l'énergie potentielle électrostatique. Citer une force non conservative.
 Enoncer puis démontrer le théorème de l'énergie mécanique.
Applications du cours
Application 1 : frottement fluide
Un véhicule, assimilé à un point matériel M, est en mouvement circulaire (rayon r) de vitesse v
(maintenue constante) à partir du point A. La force de frottement fluide, agissant sur le véhicule,
est du type:
fv
.
Déterminer le travail W de la force f, lorsque le point matériel passe en B, après n tours complets ;
W sera exprimé en fonction de α, r, v et n. Commenter le résultat obtenu.
Application 2 : Etude de mouvements de glissement
Une bille M, de masse m, est susceptible de glisser :
 soit sans frottement à l'intérieur d'une portion de jante circulaire, quart de cercle de
centre C et de rayon ρ ;

 soit en présence de frottement de coefficient f, sur un plan incliné (d'angle α).
Déterminer dans chaque cas, la vitesse minimale v0 qu'il faut communiquer à la bille en M0
afin qu'elle puisse atteindre le point M1.
Application 3 : Cas d’un pendule simple
Un point matériel M (masse m) est suspendu à un fil inextensible de longueur l attaché en O.
À l'instant t = 0, le fil est écarté d'un angle θ0 par rapport à la verticale, et le point M0 est
relâché sans vitesse initiale.
Déterminer la vitesse v du point M lorsque le fil est incliné d'un angle θ par rapport à la
verticale.
Exercices
Exercice 1 : Toto le skieur
Toto descend une piste de ski d'une longueur AB = 50 m et inclinée d'un angle α = 25°
par rapport à l'horizontale. Il est soumis à son poids
P
et à la réaction
R
de la piste, qui se
décompose en une composante normale
N
et une composante tangentielle
T
(colinéaire et
de sens contraire au mouvement); les normes de ces composantes sont liées par la
relation T = µ.N, avec µ = 0,10 . La masse de Toto est de 65 kg. On prendra g = 9,8 m.s-2.
1. Exprimer et calculer le travail des forces
P
,
N
et
T
lors de cette descente.
2. Sachant qu'il est parti du point A sans vitesse initiale, quelle sera sa vitesse lors de son
passage en S ?
Exercice 2 : Ressort horizontal
Un point matériel M de masse m est astreint à se
déplacer sans frottement sur une tige, le long de
l'axe (Ox) horizontal. Il est lié à l'extrémité d'un
ressort de raideur k et de longueur à vide l0, l'autre
extrémité étant fixe.
L'origine O coïncide avec sa position d'équilibre. A l'instant t = 0, on écarte M d'une distance X0
= 8,0 cm et on le lâche sans vitesse initiale.
1. Établir l'expression de l'énergie mécanique de M.
2. Montrer que cette énergie mécanique est une constante du mouvement et donner sa valeur.
3. Etablir l'équation différentielle du mouvement de M.
4. Donner sa solution et calculer la période des oscillations.
5. Avec quelle vitesse le point M repasse-t-il par le point O ?
Données : m = 250 g ; k = 20 N.m-1 .
Exercice 3 : Equilibre et mouvement sur un cercle
Un anneau de masse m, assimilable à un point matériel M, peut coulisser sans frottement sur un
cerceau vertical de rayon r. L'anneau est lancé à l'instant initial avec une vitesse de norme v0

depuis le point A, point le plus bas du cerceau. On repère sa position au cours de son mouve-
ment par l'angle θ (voir figure).
1. Établir l'expression de l'énergie potentielle de A en fonction de θ.
2. Tracer la courbe Ep(θ) et déterminer les positions d'équilibre de M.
3. On cherche à déterminer le mouvement possible de M selon la vitesse initiale.
a) Montrer que l'énergie mécanique de M se conserve et donner sa valeur.
b) En déduire, à partir d'un raisonnement graphique, qu'il y a deux types de mouvement possibles
en fonction de la valeur de v0. Préciser la valeur critique de v0 séparant ces deux cas.

Mécanique – Première partie