Probabilité : lois à densité

Séquence 7
Probabilité :
lois à densité
Sommaire
Introduction
1. Pré-requis
2. Lois de probabilité à densité sur un intervalle
3. Lois uniformes
4. Lois normales
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse
Séquence 7 – MA01
1
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I ntroduction
Dans cette séquence, on introduit une situation nouvelle en probabilité : l’univers
<associé à une expérience aléatoire est formé d’une infinité d’éléments.
Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires X, fonctions de < dans
, les valeurs prises par la variable aléatoire X formant un intervalle I de .
Exemple
L’expérience aléatoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle. L’univers
<est alors formé par l’infinité des points du demi-cercle.
On considère la variable aléatoire X qui à un point M du demi-cercle associe la
.
mesure en degrés de l’angle AOM
Les valeurs prises par la variable aléatoire X forment l’intervalle 0 ; 180  et la
.
notation (0 ≤ X ≤ 45) désigne l’ensemble des points de l’arc AC
M
C
45°
B
O
A
Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux outils dans le cours de probabilité.
On étudie deux exemples importants de lois suivies par des variables aléatoires :
les lois uniformes et les lois normales.
Remarque
Tous les événements étudiés dans cette séquence seront décrits par l’intermédiaire
de variables aléatoires et d’intervalles.
Notation
Dans d’autres documents vous pouvez trouver d’autres écritures sans variable
aléatoire, par exemple P c ; d  (c et d étant deux nombres réels). Dans ce cas,
l’univers est lui-même un intervalle I contenant les nombres c et d. L’intervalle I
est muni directement d’une loi de probabilité. Ici, même dans ce cas, nous utiliserons une variable aléatoire X pour désigner le résultat obtenu par l’expérience
aléatoire. On a ainsi :
)
(
(
) (
)
)
P c ; d  = P X ∈c ; d  = P (c ≤ X ≤ d et nous n’utiliserons pas la première
écriture.
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1 Pré-requis
A
Statistiques
Une série statistique porte sur un caractère (taille, poids, sport pratiqué…)
Le caractère est qualitatif (sport pratiqué) ou quantitatif s’il peut être associé à
un nombre (taille, poids...).
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif discret (du latin
discretus : séparé) quand les valeurs prises par le caractère sont des nombres
isolés (par exemple le nombre de frères et sœurs). Dans ce cas, la série statistique
est représentée par un diagramme en bâtons.
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on
connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de la série appartenant à des intervalles (par exemple la taille des personnes inscrites à un club
sportif). Ces intervalles sont aussi appelés « classes ». Une série statistique à
caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme des effectifs
ou des fréquences.
Dans un histogramme des fréquences, les fréquences des classes sont représentées
par les aires des rectangles de l’histogramme, l’aire totale mesurant 1 (soit 100 %).
Pour lire l’histogramme, on indique la fréquence d’une aire de référence.
Exercice
Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par l’histogramme ci-dessous.
Donner les classes et la fréquence de chaque classe.
fréquence : 5 %
1
Solution
2
4
3
5
6
Classes
1; 2
2 ; 2, 5 
2, 5 ; 4 
 4 ; 5, 5 
5, 5 ; 6 
Fréquences
0,1
0,1
0,45
0,3
0,05
Pour déterminer la moyenne et l’écart-type, on utilise les centres des classes,
c’est-à-dire qu’on remplace la série à caractère continu par une série à caractère
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discret, chaque classe formée d’une infinité de valeurs étant remplacée par une
seule valeur. On dit que l’on a « discrétisé » la série statistique.
Exercice
Calculer la moyenne de l’exemple précédent.
Milieux des classes : x i
Fréquences : fi
Solution
1,5
2,25
3,25
4,75
5,75
0,1
0,1
0,45
0,3
0,05
On a :
i =5
E( X ) = ∑ x i fi = 1,5 × 0,1+ 2,25 × 0,1+ 3,25 × 0,45 + 4,75 × 0,3 + 5,75 × 0,05 = 3,55.
i =1
B
Probabilité
Vous devez avoir présent à l’esprit la signification du vocabulaire spécifique aux
probabilités étudiées en classe de seconde, première et dans la séquence 3 : univers muni d’une loi de probabilité, variables aléatoires, probabilités conditionnelles. Même si le passage du discret au continu, des ensembles finis aux intervalles de , modifie certaines propriétés, les idées principales pour modéliser
les situations sont très voisines.
1. Variables aléatoires
Rappelons seulement quelques éléments concernant les variables aléatoires,
pour l’instant dans un univers ayant un nombre fini d’éléments.
Définition
On dit qu’on définit une variable aléatoire X sur l’ensemble Ω lorsque,
à chaque éventualité ω de l’expérience aléatoire, on associe un nombre
réel X (ω ) : ω X (ω ).
{
}
Par exemple, on tire des lettres placées dans un sac. On a alors Ω = a, b, c,... ,z
et on peut choisir la variable aléatoire qui associe 1 à chaque voyelle, 2 à k, q, w, z
(lettres rares en français) et 0 aux autres lettres.
Notation
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Les événements sont des sous-ensembles de Ω. Précisons à l’aide de l’exemple
la notation utilisée pour les événements définis à l’aide d’une variable aléatoire X.
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{
} sera aussi noté ( X = 1).
On notera de même ( X = 2) l’événement {k, q, w, z} et ( X = 0 ) l’événement
{b, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x}.
Dans l’exemple précédent, l’événement a, e, i, o, u, y
Dans le cas général la notation ( X = a ) où a est un nombre réel désigne l’événement ω ∈Ω / X (ω ) = a , c’est-à-dire l’ensemble des éventualités ω pour
lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur a.
{
}
Le travail sur les variables aléatoires ne fait intervenir que des aspects numériques, l’univers < apparaît peu directement.
Définition
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par :
l’ensemble
les
des valeurs { x 1, x 2 ,... , x r } prises par la variable aléatoire ;
probabilités P ( X = x i ) pour toutes les valeurs xi prises par X (on
i =r
rappelle que ∑ P ( X = x i ) = 1).
i =1
Définition
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X), défini par :
E( X ) = x 1P ( X = x 1) + x 2P ( X = x 2 ) + ... + x r P ( X = x r )
i =r
= x 1p1 + x 2 p2 + ... + x r pr = ∑ x i pi .
i =1
2. Loi binomiale
Définition
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès obtenus quand
on répète n fois de façon indépendante une expérience ayant deux résultats
possibles, réussite de probabilité p et échec de probabilité 1− p. La loi de
probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et p, notée Ꮾ(n ; p ).
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Propriétés de la loi binomiale
n
= k ) =   p k (1− p )n −k pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n , le
k
n
nombre   est un coefficient binomial qui se lit « k parmi n » et qu’on
k
P ( X
peut déterminer avec une calculatrice.
E( X ) = np.
Représentation
é
graphique
h
d’une
d’
loi
l binomiale
b
l
n=20 et p=0,7 P(X=k)
Exemple
0,250
probabilité
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
k
Utiliser une calculatrice ou un tableur
Avec un tableur
Soit X une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n et p :
syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 0)
renvoie la probabilité P ( X = k ).
La
syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 1)
renvoie la probabilité cumulée P ( X ≤ k ).
La
Avec une calculatrice TI (84, mais aussi 83 et 82 avec Avec une calculatrice Casio (graph 35+ ou plus)
des modifications mineures)
Pour calculer P ( X = k ) lorsque X suit la loi binomiale
Pour calculer P ( X = k ) lorsque X suit la loi binomiale B(n ; p ), on utilise le menu STAT, on choisit DIST
B(n ; p ), on utilise l’instruction binomFdp( (que l’on
(touche F5) puis BINM (touche F5), Bpd (touche F1) et
obtient par l’instruction DISTR (touches 2ND VARS ) et
la touche 0) que l’on complète ainsi : binomFdp(n, p, k). Var (touche F2).
Ces calculatrices donnent aussi les probabilités On renseigne la boîte de dialogue : Data : variable ;
valeur désirée : k ; Numtrial : n ; probabilité : p.
P ( X ≤ k ) par l’instruction binomFREPdp(.
Avec une calculatrice Casio graph 25+Pro, pour calculer P ( X = k ), il faut taper la formule ou avoir implémenté un programme.
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C
Intégration
1. Aire sous une courbe
Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction continue positive
définie sur un intervalle a ; b  a pour mesure
b
∫a f (t ) dt
en unités d’aire.
y
Ꮿf
Ᏹ
1
J
K
1 ua
0
a
x
I
1
b
2. Notation
b
Dans l’écriture
b
∫a
f (t ) dt =
∫a f (t ) dt
on dit que t est une variable « muette » car on a :
b
∫a f ( x ) dx .
3. Cas particulier
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Quel que soit α élément de I,
on a
α
∫α f (t ) dt = 0.
4. Intégrale et dérivée
Soit f une fonction continue et positive sur a ; b  , la fonction F définie sur
a ; b  par x x
∫a f (t ) dt = F ( x ) est dérivable sur a ; b  et F ' = f .
5. Intégrale et primitive
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I et F une de ses primitives
b
sur I, les nombres a et b sont dans I. On a
∫a
b
f (t ) dt = F (t ) = F (b ) − F (a ).
a
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2
A
Lois de probabilité à densité
sur un intervalle
Objectifs du chapitre
On se place dans un univers ayant un nombre infini d’éléments. Cet infini ne
permet pas d’utiliser la définition d’une loi de probabilité rencontrée dans les
cours précédents où l’univers était fini (il suffisait de donner les probabilités
des événements élémentaires et de vérifier que la somme de ce nombre fini de
termes positifs était égale à 1).
On définit ici des lois de probabilité de variables aléatoires X telles que, pour
chacune, l’ensemble de ses valeurs X ( Ω ) est un intervalle I.
On en donne quelques propriétés élémentaires.
B
Activité 1
Pour débuter
Des équations interviennent dans la situation de cet exercice, mais il ne s’agit
pas de les résoudre.
L’équation x 3 − 0, 79 x 2 − 10, 722x + 12, 276 = 0 possède une seule solution
entière (c’est 3).Quelle est la probabilité d’obtenir cette solution en lançant un
dé cubique non truqué ? Un dé dodécaédrique non truqué ? (Rappel : un dé dodécaédrique a douze faces numérotées de 1 à 12.)
L’équation x 3 + 0, 876543211x 2 + 1, 876543211x − 0, 246913578 = 0, notée
(E), possède une unique solution d dans
, d = 0,123456789.
On choisit au hasard dans 0 ; 1 un nombre décimal s’écrivant avec au plus 9
9
chiffres après la virgule. Sachant qu’il y a 10 nombres décimaux qui s’écrivent
avec au plus 9 chiffres après la virgule dans l’intervalle 0 ; 1 , quelle est la probabilité qu’il soit égal au nombre d solution de l’équation (E) ?
a) Montrer que l’équation x 3 + x − 1 = 0 possède une solution unique dans
et que cette solution, qui est notée α , appartient à l’intervalle 0 ; 1 .
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b) On choisit au hasard un nombre X de l’intervalle 0 ; 1 , quelle valeur proposez-vous pour la probabilité de l’événement X = α ?
{
Activité 2
}
On a interrogé des clients d’un magasin en leur demandant dans laquelle des
classes proposées se trouvait le montant de leurs achats (en €).
On a obtenu le tableau suivant :
Montant des achats (en €)
Fréquence
[0 ; 20[
0,09
[20 ; 40[
0,20
[40 ; 60[
0.22
[60 ; 100[
0,24
[100 ; 140[
0,16
[140 ; 200]
0,09
On représente cette série statistique par un histogramme dans un repère
orthogonal.
Pour construire les rectangles de l’histogramme, on a besoin de leurs dimensions :
remplir le tableau suivant.
Montant des achats (en €)
Amplitude de la classe =
largeur du rectangle
Aire du rectangle
Hauteur du rectangle
[0 ; 20[
[20 ; 40[
[40 ; 60[
[60 ; 100[
[100 ; 140[
[140 ; 200]
20
0,09
Quelle est la graduation maximale indiquée sur l’axe des ordonnées ?
Les fréquences sont-elles indiquées sur l’axe des ordonnées ? Construire
l’histogramme.
C
Cours
1. Définitions
L’activité 2 a permis d’approfondir la représentation d’une série statistique par
un histogramme.
Les fréquences sont représentées par les aires des rectangles.
Les hauteurs des rectangles sont les densités de fréquence, ces densités sont
indiquées sur l’axe des ordonnées.
Les densités de fréquences sont positives, elles sont constantes sur chacun des
intervalles formant les classes de la série statistique. Elles définissent une fonction constante par morceaux.
Par analogie, en probabilité, on utilisera des fonctions, continues à valeurs positives, et les probabilités des intervalles seront données par des aires, c’est-à-dire
par des intégrales.
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Définition 1
On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de
de probabilité sur I lorsque :
la
fonction f est continue sur I ;
la
fonction f est à valeurs positives sur I ;
l’aire
, est une densité
sous la courbe de f est égale à 1 u.a.
La troisième condition correspond à plusieurs cas différents suivant la
nature de l’intervalle I.
Dans le
D
l tableau
t bl
ci-dessous,
id
a ett b désignent
dé i
t ddes nombres
b réels.
é l
I = [a ; + ∞[
I = a ; b 
b
∫a f (t ) dt = 1
1
a
1
O
O
b
1
I = ]−∞ ; b ]
a
1
I = ]−∞ ; + ∞[
1
0,5
O
10
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1
b
O
1
Exemple 1
Montrer que la fonction f définie sur 0 ; 1 par f (t ) = −2t + 2 est une densité de
probabilité sur 0 ; 1 .
Solution
La fonction f est une fonction affine continue sur 0 ; 1 . Pour tout t de 0 ; 1 ,
on a t ≤ 1, d’où −2t + 2 ≥ −2 × 1+ 2, donc la fonction f est une fonction positive.
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1
1
Comme
1
la
troisième condition est vérifiée, la fonction f est bien une den-
y = f(t)
O
∫0 ( −2t + 2) dt = −t 2 + 2t 0 = ( −1+ 2) − 0 = 1,
sité de probabilité sur [ 0 ;1].
1
Remarque
Dans le cas de cet exemple 1, on observe que la fonction f prend des valeurs
supérieures à 1 sur l’intervalle 0 ; 0, 5  : c’est possible car f ( x ) n’est pas
une probabilité, c’est une densité de probabilité.
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi
de probabilité P.
Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui à chaque issue ω
associe un nombre réel X (ω ) d’un intervalle I de .
Définition 2
Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I
(ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout intervalle J inclus dans I, la
{
probabilité de l’événement X ∈J
{ ( )
} est la mesure, en unités d’aire, de l’aire
}
du domaine : M x ; y ; x ∈J et 0 ≤ y ≤ f ( x ) .
Conséquence
P ( X ∈I ) = 1.
En effet, la mesure de l’aire sous la courbe de la fonction de densité f est égale à 1.
Exemple 2
Soit f la fonction de densité de
Remarque
probabilité de l’exemple 1 et soit X une
variable aléatoire ayant pour densité la
fonction f sur 0 ; 1 . On appelle J l’intervalle
0, 3 ; 0, 8  . Déterminer P ( X ∈J ) c’est-à-
(
En général, un calcul de
probabilités se ramènera
donc à un calcul d’intégrale.
)
dire P 0, 3 ≤ X ≤ 0, 8 .
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Solution
On mesure l’aire sous la courbe sur l’intervalle J.
On a :
P ( 0,3 ≤ X ≤ 0,8 ) =
y = f(t)
1
(
∫
0,8
0,8
( −2t + 2) dt =  −t 2 + 2t 

0,3
0,3
)(
= −0,82 + 2 × 0,8 − −0,32 + 2 × 0,3
1
O
O,3
)
= 0,96 − 0,51 = 0,45.
O,8
Définition 3
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I.
Soit J1, J 2 ,..., J n des intervalles de I, deux à deux disjoints (c’est-à-dire que pris deux à deux ils
sont disjoints).
(
)
)
On définit la probabilité P X ∈J1 ∪ J 2 ∪ ... ∪ J n par la somme des probabilités des événements :
P X ∈J1 ∪ J 2 ∪ ... ∪ J n = P X ∈J1 + P X ∈J 2 + ... + P X ∈J n .
) (
(
) (
)
(
2. Propriétés
Propriété 1
1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de
densité f sur l’intervalle I, on a les propriétés
suivantes.
a) Pour tout intervalle J = c ; d  de I,
d
f (t ) dt .
on a : P c ≤ X ≤ d =
)
(
∫c
(
)
O
c
b) Pour tout réel α de I, on a : P X = α = 0.
c) Pour tous réels c et d de I,
)
)
)
d) Soit J un intervalle, on a : P ( X ∈J ) = 1− P ( X ∈J ).
)
P (c ≤ X ≤ d = P (c < X ≤ d = P (c ≤ X < d = P (c < X < d .
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1
d
Démonstration
a) Pour tous réels c et d de I, la probabilité de l’événement
( X ∈J ) = (c ≤ X ≤ d ) est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine
{M( x ; y ) ; x ∈c ; d  et 0 ≤ y ≤ f ( x )} , on a donc bien :
)
P (c ≤ X ≤ d =
d
∫c f (t ) dt .
)
(
b) Pour tout réel α de I, on a : P X = α =
α
∫α f (t ) dt = 0.
c) Pour tous réels c et d de I, l’événement (c ≤ X ≤ d ) est la réunion
des deux événements incompatibles ( X = c )
)
)
et (c < X ≤ d ).
On a :
)
P (c ≤ X ≤ d = P ( X = c ) + P (c < X ≤ d . Comme P ( X = c = 0 d’après la pro-
(
) (
)
priété précédente, on a bien P c ≤ X ≤ d = P c < X ≤ d . Les deux autres égalités se démontrent de la même façon.
d) On a P ( X ∈I ) = 1, soit P ( X ∈J ∪ J ) = 1. D’après la définition 3, on peut écrire
(
)
)
P ( X ∈J ∪ J ) = P ( X ∈J ) + P ( X ∈J ) = 1 donc P X ∈J = 1− P ( X ∈J .
La définition suivante généralise la définition des probabilités conditionnelles qui
a été donnée dans le cas d’une loi de probabilité dans un univers fini.
Définition 4
(
)
Soit I’ un intervalle de I tel que P X ∈I ' ≠ 0 et soit J un autre intervalle
(
de I. On définit la probabilité conditionnelle PX ∈I ' X ∈J
P X ∈J ∩ I '
PX ∈I ' X ∈J =
.
P X ∈I '
(
Exemple 3
)
(
)
(
)
)
par l’égalité :
Soit X une variable aléatoire de densité f définie sur [ 0 ;1] par f ( x ) = −2x + 2
(exemple 1).
Déterminer P( 0 ≤ X ≤ 0,5) (0, 4 ≤ X ≤ 0, 6 ).
Solution
On a J = 0, 4 ; 0, 6  et I ' = 0 ; 0, 5  , donc J ∩ I ' = 0, 4 ; 0, 5  . Alors :
P ( X ∈J ∩ I ') = P (0,4 ≤ X ≤ 0,5) =
0,5
∫0,4 (−2t + 2) dt
0,5
=  −t 2 + 2t  = 0,75 − 0,64 = 0,11.

0,4
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De même :
P ( X ∈I ') = P (0 ≤ X ≤ 0, 5) =
0 ,5
∫0 ( −2t + 2) dt
0 ,5
=  −t 2 + 2t  = 0, 75 − 0 = 0, 75.

0
0,11
D’où P( 0 ≤ X ≤ 0,5) (0, 4 ≤ X ≤ 0, 6 ) =
≈ 0,147.
0, 75
D
Exercices d’apprentissage
Exercice 1
Pour chacune des fonctions représentées graphiquement ci-dessous, dire s’il
s’agit d’une densité de probabilité sur l’intervalle I en justifiant votre réponse.
1
2
1
2
1/3
1
O
1
I = [1 ; 3]
3
O
0,5
1
I = [0 ; 0,5]
3
4
1
1
2/3
0,5
1/3
O
0,5
1,5
1
2
I = [0 ; 2]
-1
O
1
I = [-1 ; 1]
14
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Exercice 2
Vérifier que la fonction f définie sur  0 ; 1 par f (t ) = 4t 3 est une densité de
 
probabilité. Représenter la fonction f dans un repère orthogonal.
Soit X une variable aléatoire ayant pour densité f.
)
(
a) Indiquer sur le graphique la probabilité P 0, 5 ≤ X ≤ 0, 75 . Calculer cette probabilité.
(
)
b) Déterminer un nombre m tel que P X ≤ m = 0, 5.
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3 Lois uniformes
A
Objectifs du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie les lois uniformes qui correspondent aux lois équiréparties du cas fini et qui sont très importantes.
B
Activité 3
Pour débuter
On souhaite donner un sens précis à l’expression « prendre un nombre au hasard ».
Il faut d’abord dire dans quel intervalle on prendra ce nombre. Raisonnons avec l’intervalle 0 ; 1 qui nous permettra ensuite d’aborder le cas des intervalles a ; b  .
On cherche donc une loi de probabilité à densité pour la variable X correspondant à
l’expérience aléatoire qui fournit un nombre réel « au hasard » compris entre 0 et 1.
Tout d’abord, remarquons que, d’après le chapitre précédent, pour tout réel α,
on a P ( X = α ) = 0 lorsque la variable aléatoire X suit une loi à densité.
Il est naturel de penser que, si on choisit un nombre au hasard, les probabilités
(
)
(
)
P X ∈0 ; 0, 5  et P X ∈[ 0,5 ;1] sont égales.
Comme
(
) (
) (
)
= P ( X ∈[ 0 ;1]) = 1,
P X ∈[ 0 ; 0,5] + P X ∈[ 0,5 ;1] = P X ∈[ 0 ;1] − P ( X = 0,5)
(
) (
)
1
on souhaite donc que P X ∈0 ; 0, 5  = P X ∈0, 5 ; 1 = .
2
De même, on souhaite que
(
) (
) (
1
= P ( X ∈[ 0,75 ;1]) = .
4
)
P X ∈[ 0 ; 0,25] = P X ∈[ 0,25 ; 0,5] = P X ∈[ 0,5 ; 0,75]
Il semble intuitivement que, pour la loi cherchée, plus un intervalle a une grande
amplitude (longueur), plus il est probable que le nombre pris au hasard lui appartienne. Si l’amplitude de l’intervalle I’ est deux fois celle de l’intervalle I, on sou-
16
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Séquence 7 – MA01
)
(
(
)
haite que P X ∈I ' = 2P X ∈I . Et même que la probabilité que le nombre pris
au hasard appartienne à un intervalle soit proportionnelle à l’amplitude de cet
intervalle. Comme l’amplitude de l’intervalle 0 ; 1 est égale à 1, on aboutit
finalement à P c ≤ X ≤ d = d − c , c et d étant des nombres réels de l’intervalle
(
)
0 ; 1 , avec c ≤ d . C’est effectivement cette égalité qui va définir la loi uniforme
et nous verrons dans le cours qu’il est possible de la présenter sous un autre aspect.
Comme la loi équirépartie dans le cas où la variable aléatoire prend un nombre
fini de valeurs, la loi uniforme intervient dans de très nombreuses situations.
Pour faire des simulations, vous avez déjà utilisé votre calculatrice ou un tableur
car on y trouve des générateurs de nombres « aléatoires ». Les nombres obtenus sont parfois appelés « pseudo-aléatoires » pour exprimer le fait qu’ils sont
construits par des processus algorithmiques déterministes. Il s’agit d’imiter le
hasard le mieux possible. Créer de tels générateurs est un vrai défi.
La copie d’écran ci-dessous, illustre la répartition de 5000 nombres « aléatoires »
fournis par le tableur OpenOffice dans les dix intervalles ayant pour bornes : 0 ;
0,1 ; 0,2 ; … ; 0,9 ; 1.
Les 5000 nombres sont dans la colonne A. Pour visualiser les résultats, un graphique est donné. Il s’agit d’un diagramme en bâtons car le logiciel ne fait pas
d’histogrammes (au sens mathématique).
En utilisant la touche F9 vous pouvez renouveler le tirage des nombres « aléatoires » (attention : l’axe des ordonnées du diagramme en bâtons ne commence
pas toujours à 0 mais à une valeur plus grande ce qui augmente l’apparence de
l’irrégularité des fréquences).
On observe que les fréquences sont toutes proches de 0,10 (10 %) : c’est ce qui
est attendu d’un générateur de nombres aléatoires.
E
Séquence 7 – MA01
17
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C
Cours
1. Loi uniforme sur
0 ; 1
Nous venons de voir, dans l’activité 3, que nous souhaitons obtenir une loi d’une
variable aléatoire X où la probabilité que X appartienne à un intervalle, inclus
dans 0 ; 1 , est égale à l’amplitude de l’intervalle.
Si on cherche à exprimer cette condition pour avoir une loi à densité, on doit faire
intervenir des intégrales et on se souvient de l’intégrale d’une fonction constante.
On peut aussi penser qu’une fonction de densité constante exprime bien la
notion d’uniformité.
La définition qui est donnée utilise ce point de vue et permettra de considérer
l’espérance de cette loi.
Propriété 2
La fonction constante f définie sur 0 ; 1 par f ( x ) = 1 est une densité de
probabilité.
Démonstration
Une fonction constante est continue sur son ensemble de définition, la fonction f
1
est positive et
∫0 1 dx =  x 0 = 1− 0 = 1 donc les trois conditions sont vérifiées,
1
la fonction f est bien une densité de probabilité.
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoire X
suit la loi uniforme sur l’intervalle
1
0 ; 1 si sa densité est la fonction
définie sur 0 ; 1 par f ( x ) = 1.
O
c
Propriété 3
Pour tout intervalle c ; d  inclus dans 0 ; 1 , on a :
(
)
)
P X ∈c ; d  = P (c ≤ X ≤ d = d − c .
18
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Séquence 7 – MA01
d
1
) (
(
)
∫
d
d
Démonstration
En effet, P X ∈c ; d  = P c ≤ X ≤ d =
1dt = t  = d − c .
c
c
Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d − c et 1 pour
hauteur.
Exemple 4
On choisit un nombre au hasard dans 0 ; 1 . Quelle est la probabilité qu’il soit
compris entre 0,2 et 0,25 ?
Solution
Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléatoire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 ; 1 . On a
alors P 0, 2 ≤ X ≤ 0, 25 = 0, 25 − 0, 2 = 0, 05.
)
(
On rappelle que
P ( 0,2 ≤ X ≤ 0,25) = P ( 0,2 ≤ X < 0,25) = P ( 0,2 < X ≤ 0,25)
= P ( 0,2 < X < 0,25) ,
donc l’expression « compris entre 0,2 et 0,25 » peut être interprétée avec des
inégalités strictes sans changement du résultat.
2 Loi uniforme sur
a ; b 
Comme sur 0 ; 1 on cherche une loi pour laquelle un intervalle a une probabilité proportionnelle à son amplitude et pour laquelle la densité est constante.
Propriété 4
1
est
La fonction constante f définie sur a ; b  , avec a b, par f ( x ) =
b −a
une densité de probabilité.
Démonstration
La fonction f est bien continue à valeurs positives.
b
b
 t 
1
b
a
dt = 
On a :
=
−
= 1.

a b −a
 b − a a b − a b − a
∫
Les trois conditions sont vérifiées, la fonction f est bien une densité de probabilité.
Définition 6
Une variable aléatoire suit une loi uni-
1
forme sur l’intervalle a ; b  , avec a b,
si sa densité est la fonction définie sur
1
a ; b  par f ( x ) =
.
b −a
0,25
a = –1
c
O
1
d
b=3
Séquence 7 – MA01
19
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Propriété 5
Pour tout intervalle c ; d  inclus dans [a ; b ] , on a :
)
d −c
P X ∈c ; d  = P (c ≤ X ≤ d =
.
b −a
(
Démonstration
d
)
d
 t 
d
c
d −c
1
On a : P c ≤ X ≤ d =
=
−
=
.
dt = 

c b −a
 b − a c b − a b − a b − a
)
(
∫
Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d − c et pour
1
hauteur
= 0, 25.
b −a
Exemple 5
On choisit un nombre réel au hasard dans 0 ; 100  . Quelle est la probabilité
qu’il soit compris entre 90 et 100 ?
Solution
Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléatoire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 ; 100  , on a
100 − 90
= 0,1.
alors P 90 ≤ X < 100 =
100 − 0
)
(
3. Espérance d’une loi uniforme
Définition 7
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire à densité f sur a ; b  est définie
par : E( X ) =
b
∫a x f ( x ) dx .
Remarque
On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre
continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant un nombre
fini de valeurs. En effet, dans le cas discret fini, en classe de Première, on a
défini l’espérance par :
E( X ) = x 1P ( X = x 1) + x 2P ( X = x 2 ) + ... + x r P ( X = x r )
i =r
= x 1p1 + x 2 p2 + ... + x r pr = ∑ x i pi .
i =1
20
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Séquence 7 – MA01
Dans le cas où la variable aléatoire est à densité, on ne peut pas faire une
somme d’un nombre infini de termes. Mais le terme f ( x )dx peut s’interpréter comme l’aire d’un rectangle de côtés dx et f ( x ) (avec dx « infiniment
petit ») fournissant en quelque sorte la probabilité que la variable X prenne
b
la valeur x. Dans ces conditions l’intégrale
∫a x f ( x ) dx correspond à une
« somme » de produits x × f ( x )dx (d’ailleurs le symbole
∫
se lit « inté-
grale » ou « somme »).
Attention ! Il s’agit d’une interprétation pour expliquer en quoi la notation
∫
prolonge Σ . Il ne faut jamais dissocier le symbole « bole « dx » (lorsque la variable muette s’appelle x).
b
∫a
» du sym-
Propriété 6
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur
a+b
a ; b  est telle que : E( X ) =
.
2
Démonstration
Cas particulier
D
Exercice 3
b
 x2 
b2 − a2 a + b
1
 =
On a : E( X ) =
x dx = 
=
.
2(b − a )
2
a b −a
 2(b − a ) 
a
∫
b
1
L’espérance de la loi uniforme sur 0 ; 1 vaut donc .
2
Exercices d’apprentissage
Le facteur vient déposer le courrier dans la boite aux lettres du lycée entre 10 h
et 10 h 30.
Le facteur passe toujours pendant cette plage horaire et on a observé qu’il
peut arriver à tout instant avec les mêmes chances. La variable aléatoire F
désigne l’heure d’arrivée du facteur en minutes après 10 h (par exemple (F = 8 )
désigne l’événement « le facteur passe à 10 h 08 »). Comment peut-on modéliser
la variable aléatoire F (valeurs prises par F, densité) ?
Séquence 7 – MA01
21
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Calculer la probabilité que le facteur passe :
a) à 10 h 25 exactement
b) entre 10 h 15 et 10 h 20
c) avant 10 h 20
d) après 10 h 15.
Quelle est l’heure moyenne de son passage ?
Exercice 4
À partir de 7 heures, le tram passe toutes les dix minutes à l’arrêt qui se trouve
devant la maison d’Ayana.
Le moment d’arrivée d’Ayana à l’arrêt du tram est modélisé par la variable aléatoire X exprimée en minutes après 7 heures. On suppose que X suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 ; 20  .
Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram moins de deux minutes ?
Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram plus de cinq minutes ?
Exercice 5
22
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur 0 ; 1 . Déterminer la loi
de probabilité de la variable aléatoire T où T est la première décimale de X.
Séquence 7 – MA01
4 Lois normales
A
Objectifs du chapitre
On
observe, dans une activité, des représentations graphiques de lois binomiales, puis de lois binomiales centrées et réduites. On est amené à définir la
loi normale ᏺ(0 ; 1).
On
étudie donc la loi normale ᏺ(0 ; 1) qui est la loi normale de référence.
On termine par la définition des autres lois normales et des exemples d’utilisation.
B
Activité 4
Pour débuter
Approche de la loi normale centrée et réduite
On montre dans cette activité la démarche qui, en partant des lois binomiales,
amène à la loi normale centrée et réduite.
On fait cette approche en trois étapes
Observation des représentations graphiques des lois binomiales
On donne ci-dessous deux représentations graphiques des probabilités obtenues
par des lois binomiales Ꮾ(n ; p ).
Il s’agit de diagrammes en bâtons, le logiciel OpenOffice dessinant les bâtons un
peu épais. Il ne faut pas confondre avec des histogrammes.,
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
Loi binomiale
n=50 p=0,7
0,140
probabilité P(X=k)
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
48
45
42
39
36
33
30
27
24
21
18
15
9
12
6
0
3
Valeurs de k
0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
probabilité P(X=k)
Loi binomiale
n=40 p=0,2
Valeurs de k
Séquence 7 – MA01
23
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Les lois, donc les représentations graphiques, dépendent des valeurs des paramètres n et p, mais on observe, ici et aussi sur la représentation donnée dans les
pré-requis, une grande ressemblance entre ces graphiques. Toutes les représentations graphiques des lois binomiales sont analogues.
Il semble que la probabilité maximum (le bâton de plus grande ordonnée) est
obtenue pour la valeur moyenne, pour l’espérance qui vaut np.
On associe à chacune de ces lois Ꮾ(n ; p ) une autre loi.
Ainsi, à la variable aléatoire X, on associe la variable aléatoire Z =
(cette formule ne peut pas être justifiée ici).
X − np
np (1− p )
4,01
4,63
3,39
2,78
2,16
1,54
0,93
–0,93
–0,31
0
0,31
–1,54
–2,78
–2,16
–3,39
–4,63
–4,01
–5,86
–5,25
–7,1
–6,48
–7,72
–8,33
–8,95
–9,57
–10,8
–10,18
Loi de Z
Z=(X–np)/rac(np(1–p)) n=50 et p=0,7
0,15
Valeurs de Z
Toutes les variables aléatoires Z définies à partir d’une loi binomiale ont des
représentations graphiques qui ont la même allure. Elles sont seulement plus ou
moins « étalées », le maximum est plus ou moins grand.
Changement de représentation
Les sommets des bâtons semblent dessiner une courbe, qui est de plus en plus
« visible » quand n grandit.
Pour définir cette courbe, puis utiliser une probabilité à densité, on change de
représentation. On passe des diagrammes en bâtons où les probabilités sont
représentées par la hauteur des bâtons, à des rectangles où les probabilités sont
représentées par les aires des rectangles.
Les deux représentations sont illustrées ci-dessous sur un exemple où n n’est pas
très grand.
loi de X : B(n,p)
n = 20 et p = 0,7
Z = (X–14)/ 4,2
loi de probabilité de Z : ordonnées des bâtons
0,2
O
24
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Séquence 7 – MA01
1
Le rectangle correspondant au bâton en couleur est colorié sur la représentation
suivante (analogue à un histogramme). L’axe des ordonnées permet de repérer
les densités, comme on l’a vu dans le chapitre 2 (Lois à densité).
0,2 t densité
loi de probabilité de Z : aires des rectangles
loi de X : B(n,p)
n = 20 et p = 0,7
Z = (X–14)/ 4,2
probabilité : 0,025
O
1
Chaque bâton est remplacé par un rectangle. La mesure de l’aire du rectangle
est égale à la probabilité. Comme toutes les bases des rectangles ont la même
longueur, les aires des rectangles sont proportionnelles aux hauteurs de ces rectangles et donc les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux hauteurs
des bâtons. Les bords supérieurs des rectangles ont donc la même allure que les
extrémités supérieures des bâtons.
Les bords supérieurs des rectangles font apparaître une courbe régulière et symétrique.
Le mathématicien Abraham de Moivre, protestant français émigré en Angleterre
après la révocation de l’édit de Nantes, a montré en 1733, dans un cas particulier,
que cette courbe est la courbe représentative de la fonction définie sur
f (t ) =
1
2π
par
t2
e 2.
−
Ce résultat a été généralisé par Pierre-Simon de Laplace (dans Théorie analytique
des probabilités (1812)).
Séquence 7 – MA01
25
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la
largeur des rectangles est de plus
en plus petite ;
n = 99
0,5
p = 0,34
0,4
0,3
les aires des rectangles deviennent
de plus en plus proches des aires
correspondantes limitées par la
courbe représentant la fonction f et
0,2
l’axe des abscisses : les probabilités
)
P (a ≤ Z ≤ b sont de plus en plus
0,1
0
–4
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–3
–2
–1
Séquence 7 – MA01
0
1
2
3
4
b
proches de
∫a
t2
1
e 2 dt .
−
2π
Activité 5
Étude de la fonction définie sur
par f ( x ) =
2π
l’exercice 15 de la séquence 6).
x2
e 2 (complément de
−
1
Montrer que la représentation graphique de f est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
Étudier les variations de f et donner la représentation graphique de la fonction f.
Donner une valeur approchée de
10
∫−10f ( x ) dx . Quelle conjecture peut-on
faire pour la mesure de l’aire (en unités d’aire) sous la courbe représentant f tout
entière ?
Justifier que f semble donc être une densité de probabilité.
C
Cours
1. Loi normale centrée réduite ᏺ(0,1)
a) Définition
Propriété 7
La fonction définie sur
babilité.
par f ( x ) =
1
2π
x2
e 2 est une densité de pro−
La fonction a été étudiée dans l’activité 5. C’est une fonction continue à valeurs
positives, on admet que l’aire sous la courbe est égale à 1u.a.
1/ 2π ≈ 0,4
Remarque
La fonction f est définie sur tout entier. Le domaine situé
sous la courbe est donc infini.
Cependant, la mesure de l’aire
de ce domaine est un nombre fini
puisque c’est 1.
O
1
Cette courbe est souvent appelée « courbe de Gauss » ou
« courbe en cloche ».
Séquence 7 – MA01
27
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Définition 8
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite
ᏺ(0 ; 1)
si, pour tous réels a et b tels que
)
P (a ≤ X ≤ b =
b
b
∫a f ( x ) dx = ∫a
1
2π
par f ( x ) =
La fonction définie sur
a < b,
on a :
x2
e 2 dx .
−
x2
1
e 2 est appelée fonction de
−
2π
densité de la loi ᏺ(0 ; 1).
La loi normale centrée réduite est aussi appelée « loi de Gauss ».
Propriété 8
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1),
on a :
1
P ( X ≤ 0) = P ( X ≥ 0) = .
2
Démonstration
La courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1) est
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, donc les mesures des aires égales
(
)
(
)
(
) (
)
aux probabilités P X ≤ 0 et P X ≥ 0 sont égales, P X ≤ 0 = P X ≥ 0 .
P(X
Ꮿf
0)
P(X
0)
O
Comme 1 = P ( X ≥ 0 ) + P ( X < 0 ) = P ( X ≥ 0 ) + P ( X ≤ 0 ), on obtient 1 = 2P ( X ≥ 0 ).
1
On en déduit P ( X ≤ 0) = P ( X ≥ 0) = .
2
28
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Séquence 7 – MA01
b) Calculs
La fonction de densité de la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1) n’a pas de primitive explicite, c’est-à-dire qu’il est impossible de l’exprimer algébriquement
(somme, produit…) à partir des fonctions usuelles (polynômes, exponentielle,
logarithme…). Les calculatrices et les tableurs permettent de calculer des valeurs
approchées des intégrales (voir le cours d’intégration), mais ils permettent aussi
d’obtenir directement des valeurs approchées de certaines probabilités liées à
la loi normale. Les calculs des probabilités de la forme P (a ≤ X ≤ b ), P ( X ≤ c )
et P ( X ≥ c ), a, b et c étant des nombres réels donnés, seront expliqués dans la
partie 2. où sont étudiées toutes les lois normales.
Donnons ici un résultat particulier à la loi normale centrée réduite :
À savoir
)
P ( −1, 96 ≤ X ≤ 1, 96 ≈ 0, 95.
On montrera plus loin ce résultat avec la calculatrice. On obtient ainsi une
bonne idée de la répartition des valeurs de X : environ 95% des réalisations de X (c’est-à-dire les résultats obtenus quand on réalise concrètement
l’expérience aléatoire) se trouvent entre −1, 96 et 1,96.
c) Espérance et écart-type de la loi normale centrée
réduite
On généralise la définition de l’espérance E( X ) d’une variable aléatoire à densité qui a été vue pour les lois uniformes.
Ici la variable aléatoire est définie sur
.
L’espérance de la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1) est donc égale à la mesure
de l’aire sous la courbe de la fonction définie sur
On admettra que E( X ) = 0.
Remarque
On emploie souvent le mot
moyenne pour désigner l’espérance.
par x xf ( x ) =
x
2π
x2
e 2.
−
Écart-type
Par analogie avec l’écart-type d’une série statistique, on
définit aussi l’écart-type σ( X ) d’une variable aléatoire X
et ce nombre est un indicateur de dispersion.
On admettra que l’écart-type de la loi normale centrée
réduite est égal à 1.
Séquence 7 – MA01
29
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Propriété 9
Quand la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1),
on a : E( X ) = 0 et σ( X ) = 1.
2. Loi normale ᏺ(µ ; σ2 )
a) Définition, espérance, écart-type
Définition 9
2
Une variable aléatoire X suit une loi normale ᏺ(µ ; σ ) si la variable aléaX −µ
toire Z =
suit la loi normale ᏺ(0 ;1).
σ
Voici un premier exemple de modélisation d’un phénomène concret par une loi
normale.
Exemple 6
Le poids en kg des nouveau-nés à la naissance est une variable aléatoire qui
peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne
µ = 3, 3 et d’écart type σ = 0, 5. La probabilité qu’un nouveau-né pèse moins de
2,5 kg à la naissance est donc : P ( X < 2, 5). Avec une calculatrice (l’explication
est donnée un petit peu plus loin), on trouve P ( X < 2, 5) ≈ 0, 054 à 10−3 par
défaut.
Ainsi, le risque qu’un nouveau-né soit d’un poids inférieur à 2,5 kg est un peu
supérieur à 5 %.
Exemple 7
On a représenté ci-après les courbes des fonctions de densité de cinq lois normales.
On observe que chaque courbe semble symétrique par rapport à la droite d’équation x = µ.
30
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Séquence 7 – MA01
ᏺ (3;0,25)
ᏺ (1;1)
ᏺ (0;1)
ᏺ (1;4)
ᏺ (0;4)
O
1
Propriété 10
On admet que, si une variable aléatoire X suit la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ),
alors son espérance est égale à µ et son écart-type à σ : E( X ) = µ et
σ( X ) = σ.
b) Utilisation des calculatrices
À savoir
La variable aléatoire X suivant la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ), il faut savoir calculer des probabilités de la forme : P (a ≤ X ≤ b ), P ( X ≤ c ) et P ( X ≥ c ), a,
b et c étant des nombres réels donnés.
Il faut aussi savoir déterminer le nombre x tel que P ( X ≤ x ) = p , p étant
une probabilité donnée.
On donne d’abord les explications pour toutes les calculatrices TI et les calculatrices Casio pour les modèles Graph 35 et plus. On donne ensuite les
explications pour la calculatrice Casio 25+Pro.
Séquence 7 – MA01
31
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P (a ≤ X ≤ b )
Sauf la calculatrice Casio 25+Pro, les calculatrices étudiées ici font le calcul directement.
Par
exemple P ( −1 ≤ X ≤ 1, 5) ≈ 0, 203877 où X suit la loi ᏺ( 3 ; 4 ).
Texas
Casio Graph 35…
On choisit Distr (par 2nd Distr) puis nor- Dans le menu Stat, on choisit Distr, puis NormCD. On indique les
malcdf (ou, en français, normalFRep).
données dans l’ordre a, b, σ et µ (attention à ne pas confondre
On indique les données dans l’ordre a, b, σ et σ 2 ).
µ et σ (attention à ne pas confondre σ
2
et σ ).
Voici un exemple avec a = –1 b = 1,5
Voici un exemple avec a = –1 b = 1,5
µ = 3 et σ = 2 :
µ = 3 et σ = 2 :
P ( X ≤ c ) et P ( X ≥ c )
Les calculatrices étudiées ne font pas le calcul directement.
Pour P ( X ≤ c ), on utilise l’approximation P ( X ≤ c ) ≈ P ( −1099 ≤ X ≤ c ) où on
néglige P ( X < −1099 ). Et on est ramené au cas précédent.
De même, pour P ( X ≥ c ), on utilise l’approximation P ( X ≥ c ) ≈ P (c ≤ X ≤ 1099 )
où on néglige P (1099 ≤ X ).
Exemple 8
P ( X ≤ 8 ) ≈ 0, 9937903 où X suit la loi ᏺ( 3 ; 4 ).
Déterminer
x tel que P ( X ≤ x ) = p , p étant une probabilité donnée.
La plupart des calculatrices permettent de trouver directement le résultat.
Texas
Casio graph 35 et plus
On choisit Distr (par 2nd Distr) puis Dans le menu Stat, on choisit Distr, puis Inverse Normal. On indique
invNorm (ou, en français, FracNorm), puis les données dans l’ordre p, σ et µ.
on donne p, µ et σ.
Voici un exemple avec p = 0,1 ; µ = 3 et σ = 2 : Voici un exemple avec p = 0,1 ; µ = 3 et σ = 2 :
32
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Séquence 7 – MA01
➠ Cas particulier de la calculatrice Casio 25+Pro
Cette calculatrice donne seulement les probabilités de la forme P (Z ≤ c ) où Z
suit la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1).
Pour
OPTN
accéder à cette fonctionnalité, on utilise :
PROB
Ainsi OPTN
P(
PROB
P(2) donne P (Z ≤ 2) ≈ 0, 97725.
calculer P ( X ≤ c ) où X suit la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ), on se ramène à la
X −µ
loi ᏺ(0,1) en utilisant Z =
.
σ

c −µ
.
On a X = σZ + µ d’où P ( X ≤ c ) = P ( σZ + µ ≤ c ) = P  Z ≤
σ 

Pour
P ( X ≤ 8 ) où X suit la loi ᏺ( 3, 4 ) s’obtient par OPTN
PROB
P((8 − 3) / 2)
et on trouve P ( X ≤ 8 ) ≈ 0, 9937903.
P (a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a ) car P ( X < a ) + P (a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b )
(probabilité de l’union de deux événements incompatibles ou aire de l’union
de deux ensembles disjoints).
Pour
déterminer x tel que P ( X ≤ x ) = p , p étant une probabilité donnée, la
seule possibilité est de commencer par tâtonner. On cherche d’abord z tel que
P (Z ≤ z ) = p , Z suivant la loi normale ᏺ(0 ; 1) puis on utilise l’équivalence
X −µ
Z ≤z ⇔
≤ z ⇔ X ≤ σz + µ. On en déduit x = σz + µ.
σ
Par exemple, pour déterminer x tel que P ( X ≤ x ) = 0,1 où X suit la loi ᏺ( 3 ; 4 ),
on trouve d’abord en tâtonnant z ≈ −1, 281, puis x ≈ 2 × ( −1, 281) + 3 d’où
x ≈ 0, 438.
Exemple 9
Pour s’entraîner
X est une variable aléatoire qui suit la loi normale ᏺ(21; 9 ). Calculer :
Solution
a) P (8 ≤ X ≤ 18 )
b) P ( X ≥ 23)
c) x tel que P ( X ≤ x ) = 0, 7.
a) P (8 ≤ X ≤ 18 ) ≈ 0,159
b) P ( X ≥ 23) ≈ 0, 252 c) x ≈ 22, 573.
Séquence 7 – MA01
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c) Intervalles « un,
deux, trois sigmas »
ᏺ(+;0,25)
On a représenté ci-contre les
fonctions de densité de trois lois
normales ᏺ( µ ; σ 2 ) de même
espérance µ et d’écarts-types
différents :
ᏺ(+;1)
σ =1
et
σ = 0, 5.
ᏺ(+;4)
O
σ = 2,
+
On sait que l’écart-type σ mesure
la dispersion des valeurs prises
par la variable aléatoire autour de
son espérance µ. L’influence de
l’écart-type sur la courbe est très
visible : plus il est important, plus
la courbe est « étalée ».
Les résultats suivants doivent être connus, ils donnent une idée de la répartition,
autour de son espérance µ, d’une variable aléatoire X qui suit une loi normale
ᏺ( µ , σ 2 ).
Propriété 11
P ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) ≈ 0, 68 (à 10−2 près)
P ( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) ≈ 0, 95 (à 10−2 près)
P ( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) ≈ 0, 997 (à 10−3 près).
0,68
µ
µ–
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Séquence 7 – MA01
µ+
0,95
µ
µ–2
µ+2
0,997
µ
µ–3
Démonstration
µ+3
X −µ
≤ 1.
σ

X −µ 
P ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = P  −1 ≤
≤ 1 = P ( −1 ≤ Z ≤ 1)
avec
Donc
σ


X −µ
Z=
. Comme la variable aléatoire Z suit la loi normale ᏺ(0 ; 1), la calσ
culatrice permet de faire le calcul et on trouve environ 0,68.
On a µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ⇔ − σ ≤ X − µ ≤ σ ⇔ −1 ≤

X −µ 
≤ 2 = P ( −2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0, 95
De même P ( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = P  −2 ≤
σ




X −µ
et P ( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = P  −3 ≤
≤ 3 = P ( −3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0, 997..
σ


Ainsi, environ 68 % des réalisations d’une variable aléatoire suivant la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ) se trouvent dans l’intervalle  µ − σ ; µ + σ  , environ 95 % se
trouvent dans l’intervalle  µ − 2σ ; µ + 2σ  et environ 99,7 % dans l’intervalle
 µ − 3σ ; µ + 3σ  .
Séquence 7 – MA01
35
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D
Exercices d’apprentissage
Plusieurs exercices de cette séquence sont issus de documents ressources de
l’Education nationale.
Dans les exercices 6 et 7, on donnera des valeurs approchées à 10−4 près par
défaut.
Exercice 6
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Calculer :
a) P ( −0, 5 ≤ X ≤ 1, 3) ;
b) P ( X ≤ −1) ;
c) P ( X ≥ 1, 8 ).
Déterminer le réel x tel que P ( X ≤ x ) = 0, 8.
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale ᏺ(12 ; 9).
Calculer
a) P (10 ≤ X ≤ 14 ) ;
b) P ( X ≤ 13) ;
c) P ( X ≥ 7).
Déterminer le réel x tel que P ( X ≤ x ) = 0, 9.
Exercice 8
On donne ci-après les représentations graphiques des fonctions densité de
probabilité des lois normales ᏺ(7 ; 1), ᏺ(7 ; 22 ), ᏺ(5 ; 1) et ᏺ(5 ; 0, 52 ). Associer chaque courbe à la loi correspondante.
Proposer une valeur pour la moyenne µ et pour l’écart-type σ de la loi nor-
male ᏺ( µ ; σ 2 ) dont la fonction densité de probabilité est représentée par la
courbe C .
1
2
C
1
3
O
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Séquence 7 – MA01
1
4
Exercice 9
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ).
Si µ = 15 et P ( X < 12) = 0, 4 , combien vaut σ ?
Si σ = 0, 5 et P ( X < 7) = 0, 3, combien vaut µ ?
Exercice 10
Une entreprise produit en grande quantité des pièces cylindriques. Soit X la
variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production,
associe son diamètre, en millimètres. On admet que la variable aléatoire X suit la
loi normale de moyenne 61,5 mm et d’écart-type 0,4 mm.
Déterminer, dans ces conditions, la probabilité qu’une pièce, tirée au hasard,
ait un diamètre compris entre 60,7 mm et 62,3 mm.
Une pièce est déclarée défectueuse si son diamètre est, soit inférieur à
60,7 mm, soit supérieur à 62, 3 mm. Calculer la probabilité qu’une pièce tirée
au hasard soit défectueuse.
Sachant qu’une pièce n’est pas défectueuse, quelle est la probabilité que son
diamètre soit inférieur à 61mm ?
Exercice 11
La production laitière annuelle, en litres, des vaches laitières de la race « Française Frisonne Pie-Noir » peut être modélisée par une variable aléatoire suivant
la loi normale de moyenne R = 6000 et d’écart-type σ = 400.
Calculer la probabilité qu’une vache de cette race produise entre 5800 et 6200
litres par an.
Calculer la probabilité qu’une vache de cette race produise moins de 5700
litres par an.
Calculer la probabilité qu’une vache de cette race produise plus de 6400 litres par an.
Donner une interprétation concrète du nombre x tel que P ( X < x ) = 0, 30.
Déterminer x.
Calculer la production minimale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau.
Séquence 7 – MA01
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5
Synthèse
de la séquence
1. Lois de probabilité à densité
Définition 1
On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de , est une densité de
probabilité sur I lorsque :
f
est continue sur I,
f
est à valeurs positives sur I,
l’aire
sous la courbe de f est égale à 1 u.a.
I = [a ; + ∞[
I = a ; b 
b
∫a f (t ) dt = 1
1
a
1
O
O
b
1
I = ]−∞ ; b ]
a
1
I = ]−∞ ; + ∞[
1
0,5
O
1
b
O
1
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi
de probabilité P.
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Séquence 7 – MA01
Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui à chaque issue ω
associe un nombre réel X (ω ) d’un intervalle I de .
Définition 2
Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I
(ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout intervalle J inclus dans I, la
{
probabilité de l’événement X ∈J
{ ( )
} est la mesure, en unités d’aire, de l’aire
}
du domaine : M x ; y ; x ∈J et 0 ≤ y ≤ f ( x ) .
R
Remarque
Conséquence
P ( X ∈I ) = 1.
En général, les probabilités seront
calculées par des intégrales.
Définition 3
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I.
Soit J1, J 2 ,.., J n des intervalles inclus dans I et disjoints deux à deux.
(
On définit la probabilité de P X ∈J1 ∪ J 2 ∪ ... ∪ J n
par la somme des probabilités des événements :
(
) (
) (
)
)
)
(
P X ∈J1 ∪ J 2 ∪ ... ∪ J n = P X ∈J1 + P X ∈J 2 + ... + P X ∈J n . -
Propriété 1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on
a les propriétés suivantes.
)
(
a) Pour tout intervalle J = c ; d  de I, on a : P c ≤ X ≤ d =
(
)
d
∫c f ( x ) dx .
b) Pour tout réel α de I, on a : P X = α = 0.
c) Pour tous réels c et d de I,
)
)
)
)
P (c ≤ X ≤ d = P (c < X ≤ d = P (c ≤ X < d = P (c < X < d .
(
)
(
)
d) Soit J un intervalle inclus dans I, on a : P X ∈J = 1− P X ∈J .
Séquence 7 – MA01
39
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Définition 4
(
)
Soit I’ un intervalle de I tel que P X ∈I ' ≠ 0 et soit J un autre intervalle
(
de I. On définit la probabilité conditionnelle PX ∈I ' X ∈J
P X ∈J ∩ I '
PX ∈I ' X ∈J =
.
P X ∈I '
(
)
(
(
)
)
)
par l’égalité :
2. Lois uniformes
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme
1
sur l’intervalle 0 ; 1 si sa densité est la fonction défiO
c
d
nie sur 0 ; 1 par f ( x ) = 1.
1
Propriété 3
Pour tout intervalle c ; d  inclus dans 0 ; 1 , on a :
)
(
)
P X ∈c ; d  = P (c ≤ X ≤ d = d − c .
Définition 6
Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle a ; b  , avec a b,
1
si sa densité est la fonction définie sur a ; b  par f ( x ) =
.
b −a
1
0,25
a = –1
40
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Séquence 7 – MA01
c
O
1
d
b=3
Propriété 5
Pour tout intervalle c ; d  inclus dans [a ; b ] , on a :
)
d −c
P X ∈c ; d  = P (c ≤ X ≤ d =
.
b −a
(
)
Définition 7
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire à densité f sur a ; b  est définie
par : E( X ) =
b
∫a x f ( x ) dx .
Propriété 6
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur
a ; b  est telle que : E( X ) =
a+b
.
2
3. Lois normales
Loi normale centrée réduite
Dans le monde qui nous entoure, beaucoup de phénomènes sont dus à l’addition d’un grand nombre de petites perturbations imprévisibles élémentaires, chacune pouvant être modélisée par une variable de Bernoulli. La
somme de ces petites perturbations donne lieu à des lois binomiales. La loi
normale (centrée réduite) est apparue dans cette séquence comme le prolongement de lois binomiales lorsque le paramètre n devient grand. C’est
pour cela qu’on qualifie la loi normale de « loi limite ». C’est aussi pour cela
qu’elle intervient si souvent dans les phénomènes de la nature et explique
qu’elle soit si importante.
Séquence 7 – MA01
41
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Définition
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1) si, pour tous
)
(
réels a et b tels que a < b , on a : P a ≤ X ≤ b =
b
∫a f ( x ) dx = ∫a
Si X suit
1/ 2π ≈ 0,4
b
x2
1
e 2 dx .
−
2π
la loi normale ᏺ(0 ; 1) alors
E( X ) = 0 et σ( X ) = 1.
Lorsque
la variable aléatoire X
suit la loi normale ᏺ(0 ; 1), on a :
O
)
P ( −1, 96 ≤ X ≤ 1, 96 ≈ 0, 95.
1
Autres lois normales
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ) si la variable aléatoire
X −µ
Z=
suit la loi normale centrée réduite ᏺ(0 ; 1).
σ
ᏺ (3;0,25)
ᏺ (1;1)
ᏺ (0;1)
ᏺ (1;4)
ᏺ (0;4)
O
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Séquence 7 – MA01
1
Espérance
et écart-type
Si une variable aléatoire X suit la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ), alors E( X ) = µ et
σ( X ) = σ.
Calculs
La variable aléatoire X suivant la loi normale ᏺ( µ ; σ 2 ), il faut savoir calculer
des probabilités de la forme : P (a ≤ X ≤ b ), P ( X ≤ c ) et P ( X ≥ c ), a, b et c étant
des nombres réels donnés.
Il faut aussi savoir déterminer le nombre x tel que P ( X ≤ x ) = p , p étant une
probabilité donnée.
P ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) ≈ 0, 68 (à 10−2 près)
P ( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) ≈ 0, 95 (à 10−2 près)
P ( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) ≈ 0, 997 (à 10−3 près).
0,68
µ
µ–
µ–2
µ–3
µ+
µ+2
µ+3
Séquence 7 – MA01
43
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6
Exercice I
Exercices
de synthèse
Lois uniformes : le paradoxe de Bertrand
Soit un cercle Ꮿ de rayon 1, le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle
est alors égal à
3.
Le but de cet exercice est d’étudier différentes méthodes pour déterminer la probabilité qu’une corde du cercle, choisie au hasard, ait une longueur supérieure
à
3.
A
I
3
O
3
3
B
E
I
O
3
C
D
Première méthode.
On fixe un point A sur le cercle Ꮿ. On choisit au hasard un point M sur le cercle
et on considère la corde AM. Quelle est la probabilité que la corde AM ait une
longueur supérieure à 3 ? (On pourra utiliser les points B et C du cercle tels
que le triangle ABC est équilatéral.)
Deuxième méthode.
Soit O le centre du cercle et D un point du cercle. On choisit au hasard un point
I sur le segment OD  . Quelle est la probabilité que la corde de milieu I ait une
longueur supérieure à 3 ?
Troisième méthode.
On choisit au hasard un point I à l’intérieur du disque. Quelle est la probabilité
que la corde de milieu I ait une longueur supérieure à 3 ? (On pourra faire
intervenir la distance du point I au centre O).
Commenter les résultats précédents.
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Séquence 7 – MA01
Exercice II
Lois normales
Sur une chaîne d’embouteillage, la quantité X (en cl) de liquide fournie par une
machine pour remplir chaque bouteille, étiquetée 75 cl, de contenance totale
83 cl (liquide + air + bouchon), peut être modélisée par une variable aléatoire X
suivant une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ = 2.
Le directeur de la coopérative demande de régler la machine pour qu’il y ait
moins de 1% de bouteilles qui débordent.
a) Quelle est alors la valeur de µ ?
b) Quelle est, dans les conditions du a), la probabilité que la bouteille contienne
moins de 75 cl ? La législation imposant qu’il y ait moins de 0,1% de bouteilles
contenant moins de 75 cl, la législation est-elle respectée ?
a) Sans changer l’écart-type, à quelle valeur de la moyenne µ doit-on régler
la machine pour respecter la législation ?
b) Quelle est alors la probabilité qu’une bouteille déborde au remplissage ?
Déterminer µ et σ pour qu’il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins de
75 cl et moins de 1% de bouteilles qui débordent.
Exercice III
Loi normale
Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids d’une plaquette de 125 g suit une loi normale d’espérance
µ = 125 et d’écart-type σ = 0, 5.
La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre µ − 3σ et
µ + 3σ.
Calculer la probabilité qu’une plaquette prélevée aléatoirement au hasard en
fin de chaîne soit non conforme.
Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d’alerte µ − h
et µ + h tels que P ( µ − h ≤ X ≤ µ + h ) = 0, 99.
Ces poids d’alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une
marge de sécurité en lien avec des normes de conformité.
Déterminer ces poids d’alerte.
Séquence 7 – MA01
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