Probabilité : lois à densité

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Séquence 7 – MA01
Séquence 7
Probabilité:
lois à densité
Sommaire
Introduction
1. Pré-requis
2. Lois de probabilité à densité sur un intervalle
3. Lois uniformes
4. Lois normales
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse
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Séquence 7 – MA01
I
ntroduction
Dans cette séquence, on introduit une situation nouvelle en probabilité : l’univers
<associé à une expérience aléatoire est formé d’une infinité d’éléments.
Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires
X , fonctions de < dans
, les valeurs prises par la variable aléatoire X formant un intervalle I de .
L’expérience aléatoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle. L’univers
<est alors formé par l’infinité des points du demi-cercle.
On considère la variable aléatoire
X qui à un point M du demi-cercle associe la
mesure en degrés de l’angle AOM .
Les valeurs prises par la variable aléatoire
X forment l’intervalle 0 180;
 et la
notation ()045≤≤
X désigne l’ensemble des points de l’arc AC .
M
C
AO
45°
B
Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux outils dans le cours de probabilité.
On étudie deux exemples importants de lois suivies par des variables aléatoires :
les lois uniformes et les lois normales.
Tous les événements étudiés dans cette séquence seront décrits par l’intermédiaire
de variables aléatoires et d’intervalles.
Dans d’autres documents vous pouvez trouver d’autres écritures sans variable
aléatoire, par exemple
Pcd ;
(
)
( c et d étant deux nombres réels). Dans ce cas,
l’univers est lui-même un intervalle I contenant les nombres c et d . L’intervalle I
est muni directement d’une loi de probabilité. Ici, même dans ce cas, nous utili-
serons une variable aléatoire X pour désigner le résultat obtenu par l’expérience
aléatoire. On a ainsi :
PcdPXcdPcXd ;;
(
)
=∈
(
)
=≤≤
(
)
et nous n’utiliserons pas la première
écriture.
 Exemple
Remarque
 Notation
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Séquence 7 – MA01
1Pré-requis 1
Statistiques
Une série statistique porte sur un caractère (taille, poids, sport pratiqué…)
Le caractère est qualitatif (sport pratiqué) ou quantitatif s’il peut être associé à
un nombre (taille, poids...).
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif discret (du latin
discretus : séparé) quand les valeurs prises par le caractère sont des nombres
isolés (par exemple le nombre de frères et sœurs). Dans ce cas, la série statistique
est représentée par un diagramme en bâtons.
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on
connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de la série appar-
tenant à des intervalles (par exemple la taille des personnes inscrites à un club
sportif). Ces intervalles sont aussi appelés « classes ». Une série statistique à
caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme des effectifs
ou des fréquences.
Dans un histogramme des fréquences, les fréquences des classes sont représentées
par les aires des rectangles de l’histogramme, l’aire totale mesurant 1 (soit100 %).
Pour lire l’histogramme, on indique la fréquence d’une aire de référence.
Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par l’histo-
gramme ci-dessous.
Donner les classes et la fréquence de chaque classe.
123 456
fréquence : 5 %
Classes 12;
 225;,  25 4,;  455;,  55 6,;
Fréquences 0,1 0,1 0,45 0,3 0,05
Pour déterminer la moyenne et l’écart-type, on utilise les centres des classes,
c’est-à-dire qu’on remplace la série à caractère continu par une série à caractère
A
 Exercice
 Solution
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Séquence 7 – MA01
discret, chaque classe formée d’une infinité de valeurs étant remplacée par une
seule valeur. On dit que l’on a « discrétisé » la série statistique.
Calculer la moyenne de l’exemple précédent.
Milieux des classes : xi
1,5 2,25 3,25 4,75 5,75
Fréquences :
fi
0,1 0,1 0,45 0,3 0,05
On a :
Xxf E( ) 1,5 0,1 2,25 0,1 3,25 0,45 4,75 0,3 5,75 0,05 3,55.
ii
i
i
1
5
∑
= =×+ ×+ × + × + × =
=
=
Probabilité
Vous devez avoir présent à l’esprit la signification du vocabulaire spécifique aux
probabilités étudiées en classe de seconde, première et dans la séquence 3 : uni-
vers muni d’une loi de probabilité, variables aléatoires, probabilités condition-
nelles. Même si le passage du discret au continu, des ensembles finis aux inter-
valles de , modifie certaines propriétés, les idées principales pour modéliser
les situations sont très voisines.
1. Variables aléatoires
Rappelons seulement quelques éléments concernant les variables aléatoires,
pour l’instant dans un univers ayant un nombre fini d’éléments.
Par exemple, on tire des lettres placées dans un sac. On a alors Ω=
{}
a, b, c,... ,z
et on peut choisir la variable aléatoire qui associe 1 à chaque voyelle, 2 à k, q, w,z
(lettres rares en français) et 0 aux autres lettres.
Les événements sont des sous-ensembles de
Ω. Précisons à l’aide de l’exemple
la notation utilisée pour les événements définis à l’aide d’une variable aléatoire X .
 Exercice
 Solution
B
Définition
On dit qu’on définit une variable aléatoire
X sur l’ensemble Ω lorsque,
à chaque éventualité ω de l’expérience aléatoire, on associe un nombre
réel
X ()ω : ωω X ().
 Notation
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Séquence 7 – MA01
Dans l’exemple précédent, l’événement a, e, i, o, u, y
{}
sera aussi noté (). X =1
On notera de même ()
X =2 l’événement k, q, w, z
{}
et () X =0 l’événement
b, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x
{}}
.
Dans le cas général la notation ()
Xa = où a est un nombre réel désigne l’évé-
nement ωω∈=
{}
Ω/() , Xa c’est-à-dire l’ensemble des éventualités ω pour
lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur a .
Le travail sur les variables aléatoires ne fait intervenir que des aspects numé-
riques, l’univers < apparaît peu directement.
2. Loi binomiale
Définition
La loi de probabilité d’une variable aléatoire
X est donnée par :
l’ensemble des valeurs
xx x , ,... ,
r 12
{}
prises par la variable aléatoire ;
 les probabilités
PX x
i
()= pour toutes les valeurs xi prises par X (on
rappelle que
PX x ()1).
i
i
ir
1
∑==
=
=
Définition
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X), défini par :
X xPX x xPX x xPX x
xp xp xp xp
E( ) ( ) ( ) ... ( )
... .
rr
rr ii
i
ir
112 2
11 2 2
1
∑
==+=++=
=+ ++ =
=
=
Définition
Soit
X la variable aléatoire définie par le nombre de succès obtenus quand
on répète n fois de façon indépendante une expérience ayant deux résultats
possibles, réussite de probabilité p et échec de probabilité 1− p . La loi de
probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et p , notée Ꮾ np (;)
.
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