DERIVATION

D
DE ER RI IV VA AT TI IO ON N
Déduire le signe de la dérivée d'une lecture graphique
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page 1
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe représentative de f
et
x0
un élément de I.
 Si f est croissante sur un intervalle, alors f ’(x0)> 0 sur cet intervalle.
 Si f est décroissante sur un intervalle, alors f ’(x0) <0 sur cet intervalle.
 f admet un extremum (maximum ou minimum) en x0 alors f’(x0) = 0 et f’ change de
signe en x0.
La détermination du signe de la dérivée se fait donc par lecture graphique du tableau de
variation de la fonction. Voir au besoin la fiche de seconde.
Exemple :
La courbe de la fonction f, définie et dérivable sur IR
étant donnée ci–contre.
Par lecture graphique le tableau de variation
de la fonction f est :
Et donc le tableau de signe de la dérivée
est :
Passer aux exercices
x
-∞ –2 4 +∞
f(x)
2
–3
x
-∞ –2 4 +∞
f'(x)
– 0 + 0 –
2
–2
–3
4
x
y
1
1
0

D
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
Exercice 1
La courbe C donnée ci-contre est la représentation
graphique d’une fonction h définie et dérivable sur
l’intervalle ]0 ; +∞ [. La droite (AB), tracée sur le
graphique, est tangente à la courbe C au point B
d’abscisse 1.
Une seule des trois courbes ci-après est la
représentation graphique de la dérivée de la fonction
h sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. Préciser laquelle.
a.
b.
c.
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 2 D’après BAC ES Asie 2011
On considère une fonction f :
− définie, continue et dérivable sur l’intervalle [− 1 ; +∞ [ ;
− strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2] ;
− strictement décroissante sur les intervalles [−1 ; 0] et [2 ; +∞ [.
La courbe C, tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d’un repère
orthogonal.
Elle passe par les points A( − 1 ; 6), B(0 ; − 2), D(1 ; 2) et E(2 ; 6).
Elle admet au point D une tangente passant par le point G(0 ; − 4).
Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.
C
A
B
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7

D
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-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
Parmi les trois courbes suivantes, C1, C2, C3, préciser, en justifiant la réponse celle qui
représente f ′ .
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3
Courbe C1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
Courbe C2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3
Courbe C3
Corrigé– Revoir les explications du cours
G
B
D
E

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Corrigé 1
La courbe C donnée ci-contre est la représentation
graphique d’une fonction h définie et dérivable sur
l’intervalle ]0 ; +∞ [. La droite (AB), tracée sur le
graphique, est tangente à la courbe C au point B
d’abscisse 1.
Une seule des trois courbes ci-après est la représentation
graphique de la dérivée de la fonction h sur l’intervalle
]0 ; +∞ [. Préciser laquelle.
a.
b.
c.
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6
Par lecture graphique, la fonction f est croissante de 0 à 1,7 environ et décroissante de 1,7 à
+∞. De plus le coefficient directeur de la tangente en 1 est 3/2.
Seuls la courbe du c. est celle d’une fonction positive de 0 à 1,7 environ et négative de 1,7 à
+∞, une fonction par laquelle l’image de 1 est 3/2.
Si la lecture graphique du signe d’une fonction vous pose problème, revoir la fiche de seconde.
Retour aux exercices– Revoir les explications du cours
C
A
B
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7

D
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Corrigé 2
Parmi les trois courbes
suivantes, C1, C2, C3,
préciser, en justifiant la
réponse celle qui
représente f ′ .
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3
Courbe C1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
Courbe C2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3
Courbe C3
La courbe de f est décroissante de –1 à 0, croissante 0 à 2 et décroissante de 2 à +∞.
La dérivée de f doit donc être négative de –1 à 0, positive 0 à 2 et négative de 2 à +∞. Il
s’agit donc de la courbe C1.
Retour aux exercices– Revoir les explications du cours
G
B
D
E
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4