Caractérisations des espaces euclidiens

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
M ICHEL L EDUC
Caractérisations des espaces euclidiens
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 7, no 2 (1967-1968), exp. no B9, p. B 1B 5.
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Séminaire CHOQUET
B9-01
(Initiation à l’analyse)
7e année, 1967/68, n~ B.9
28
1968
mars
CARACTÉRISATIONS DES ESPACES EUCLIDIENS
par Michel LEDUC
Cet
exposé
constitue
un
prolongement d’un papier déjà ancien
trois conditions nécessaires et suffisantes pour
qu’un
~q.~ ~
démontre
on
espace de Banach soit de
Hilbert.
La
première
du théorème
sont plus
m’a été annoncée par Robert BONIC
0,
on en
trouvera
une
démonstration
mais elles réservent
intuitives,
(1)
au
comme un
raffinement immédiat
théorème 1 ; les deux autres
la dernière n’est
quelques surprises :i
qu’en dimension au moins égale à 3 . Ces trois critères ont déjà été énoncés (cf. respectivement C 5 ~,
mais l’utilisation systématique de la différentielle permet des démonstrations passablement ( I ) ou radicalement
simpli-
valide
fiées et différentes.
E
dans
désign.e
espace de
un
E~~0~
Banach,
sa
n
norme
qu’on
supposera
toujours dérivable
(2~.
I
Soient
E’
rentielle)
de
le dual de
n
v
sa norme.
v
On
o
effet,y d’abord
0,y
(x~~~
Ensuite,y soient x ~
y
pour
(1)
(2~
h
E
B~ o n.’ = Cte 1
1
0
t
,
-~> ~
On
car
(ou
diffé-
n’ (x) .
=
l’inégalité triangulaire implique
et, par homogénéité) n’ (x) .x
et ~ E E’ , si n(x) B;(~) =
E
R~
Northeastem University, Boston
qu’elle
la dérivée
n’ = 1 , secundo
=
En
désignera
n’ .
par
LEMME. - Primo,y
E ,y et
don.c
=
jIn’ (x~,l >
~(x~ , supposons ~ ~
1 .
o
0 ,
(Massachussets).
rappelle que RESTREPO ~6~ a prouvé que la
est dérivable en dehors de l’origine.
norme
est de classe
C
dès
d’où
donc il existe
X ~ R
avec ~
Bn’(x) ,
=
or
Xn’(x).x
=
Xn(x)
=
X=~(~) .
ment
/ B
,
réflexif.
sont
effet, soient
En
sont de classe
cp
cp~(~)
Soit
V
f’(E)
est
=
=
{n(x) n’(x) ;J
une
partie
respectivement
e
n~(x)
=
o
=
~~~(~) ; ~
et
n(x) n’(x)
et
f’(x)
=
aussi ~ 7~
0
u==(p’(~) .
y
~(f’(x))
d’après
f . Or
-~
n , et soient
=
(O~~~eE~ ;J
B
d’après [2J (p. 31 ,
E’
avec
alors
E~
dans
E
fp’
=
x~ E B
dense de
~(~) ,
=
de
f
o
E’
~
wt
et
==
=
~(f’(x))
le lemme
=n(x)
x~O :
5) ;
corollaire
de même
cp’(E’) .
Comme
E"
=
soit
et
le lemme v
f’(x).x
=
=
Et
et
l’injection canonique
6
-n~(x)
et
d’après
jjujj =~(~)
si
°
-~
E
sur
donc
e(x)
donc
E"
Ci
E
xE
E ,
x e
qui
fi
=
u~E’ ,
et
et finale-
est continue
cp’
(p’(E’)
=
E
alors
plus, il existe
admet
effet, identifiant
homogénéité n" et v"
En
contenant
f"(x)
sur
o
E’
et
x
q)"(f’(x))
( ).
o
c:
(p’(f (E,)) ,
(p’(E)
soit
c:
@(E)
et
~7 .
THEOREME 1. - Si, de
définis,
(p’(f’(E))
E,
sur
à
(donc
E
f
E,
f"
aussi
Il est
sur
équivalente
à
est l’identité
et
n’(x) respectivement ,
est l’identité
n"(x) et
tel que
hilbertienne
une norme
E"
x~
E’ , donc
soient
n
o
sur
sont définies
E , et
sur
comme
par
les droites
f~(x) identité ; de même
f"(x) est un isomorphisme de
o
symétrique puisque dérivée seconde,
=
et
positif
par
convexité,
car
()
n"(x) est définie positive sur Ker n’(x), car
f"(x).(u , v) z n’(x),u n’(x).v + n(x) n"(x).(u, v) ,
et puisque par homogénéité n"(x~ .x
0 , sa restriction. est un isomorphisme
x .
de
l’
sur
de
orthogonal
n’(x)
noyau
A
noter, en outre,que
s
=
E
du
Enfin la
et
de
norme
associée est
équivalente à
(h E E 9 f"(x).(h , h~ l) est
Mackey) ;9 en effet, l’inégalité de
donc ?
~
E
E’
=
n,
car
borné fortement puisque faiblement
(théorème
Schwarz s’écrit
f"(x) , ~osant ~ ~ f"(x) ,k
Im
II
complétude
La
de
E
Si (
n’est pas nécessaire.
)
n(x) = n(y) implique, ~
R ,
n(x
+
Alors la formule du triangle est vérifiée car, pour tout
x E
E ,y la fonction
THÉORÈME 2. alors
pour
n
t
=
continue
0 ,
y
E
on
ty) = n(y
+
tx) ,
E
obtient
n2(x
~
LBMME. - Si pour
puis
E
est euclidienne.
et elle est constante
alors, pour
t
a~=
croissante
+
y)
puisque
+
de
n2(x -
y) - 2n2(y)
dérivée (pour y ~
e R
0 , ~
vaut
2n2(x)
à
x)
et ye E B~0) , n’(x).y=0 implique n’(y).x=0 ,
E , si b ~ 0 , t= R -> n(a+tb)e (0 , °o( est décroissante.
x
(strictement).
(4)
L’hypothèse de dérivabilité de n est ici redondante, en effet : par convexitout plan, ~n est dérivable sauf sur une réunion dénombrable de droites ;
dans
té,
or notre hypothèse permet de déduire de celle en un point, la dérivabilité dans
tout le plan.
’
par continuité et
effet ,
En
sa
borne inférieure.
n
décroît
strictes
ces
Puis, par convexité,
]- ~ ,
sur
t)
monotonies
t0 ~ )t t2[ ,
car
et
croit
sur
si
n(a
n(a
+
t
+
tb)
par monotonie
y
+00=
comme
lim
t 0153
si
b)
=
n(a
+
tb) ,
te
R
et
cette fonction atteint
n(a
+
t0 b)
=min
oo( . Enfin, l’hypothèse
n(a + t~ b) avec t t
est constante
sur
n(a+tb))
rend
et
[t1 , t2], donc
+
n’(b).(a + t~ b) = 0 = n’(b).(a + t~ b),
t~
t b).b = 0 =
et 0
(t - n’(b).b (t - t.) n(b) , ce qui est contradictoire..:
En particulier, n(a + tb) prend, au plus en deux points, une même valeur.
+
=
=
3 fi
THÉORÈME 3. - Si de plus,
effet, d’abord
En
est constante, car, par
h
est nulle pour
Ker
=
a fl 0 ,
si
y
E ,y alors
pour
hypothèse,
et
u
dim
Ker
h E Ker
0 ~
b
e
n
Ker
n’~a~ ‘ ~0~
n’ (u) n
Ker n’
est hilbertienne
n’(a) ,
( ).
la fonction
est connexe, et la dérivée
(a) ,
donc aussi
sur
leur
somme
n. ’ ( a) .
En
particulier,
n(y) ;
Alors, si
n(x)
soit
x +
y
soit
x + y ~ 0 ,
n’(x
(5)
+
y).y
=
0 ,y et
=
est
non
et
on
obtient immédiatement
comme
0 ~ n(x + y} =n’(x+y).(x+y) , n’ (x
+
y~.x
ou
nul
o
étudié le cas 2 .= dim Eô les sphères possibles son.t appelées
et arbitrairement déterminées par un de leurs arcs d’extrémités conju-
CROQUET
G.
a
"ellipsales"
rées ; en effet, désignons par (x , y)
Yx’
conjugué de (x , y) dès que Xy’
est
C te
xY - yX
intégrale première,
y
=
=
un
et
point (X ,
yX’ , soit, puisque
paramétrage,
y
xY’ =
le
Y)
est
B9-05
n’(x + y).x ~
Supposons
donc;d’après
et,d’après
Par
le
le
d’après
le début
t =
2 n’(x + y).x n(x + y) ~ 0 ,
débuta
lemme;
suite, V
0 . Pour
s
t
E
(0 , ~~ ,
,
donc
t = 1
et
n’ (x
+
y).(x - y) =
0 .
e R , n’[(1 + s)(x + y)].(l - s)(x - y) = 0, d’où enfin,
de nouveau, n(x + sy) = n(y + sx) .
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BIRKHOFF (Garrett). - Orthogonality in linear metric spaces, Duke math.
t. 1, 1935, p. 169-172.
[2]
BISHOP
[3]
FICKEN (Frederick A.). - Note on the existence of scalar products in normed
linear spaces, Annals of Math., t. 45, 1944, p. 362-366.
[4]
LEDUC
J.,
(E.)
and PHELPS (R. R.). - The support functionals of a convex set,
Convexity, p. 27-35. - Providence, American mathematical Society, 1963
(Proceedings of Symposia in pure Mathematics, 7).
(Michel). -
Jauges différentiables et partitions de l’unité, Séminaire
1964/65, n° 12, 10 p. (Math.
Choquet : Initiation à l’analyse, 4e année,
Semin., 1).
[5]
[6]
RAO (M.
Akad.
M.). - Characterizing
Wetensch., Proc.,
Hilbert space by smoothness, Koninkl. nederl.
Series A, t. 70, 1966, p. 132-135.
RESTREPO (Guillermo). - Differentiable norms, Bol. Soc. mat.
2, t. 10, 1965, p. 47-55.
mexicana, Série