Brevet de technicien supérieur Correction du Devoir

Brevet de technicien supérieur
Correction du Devoir surveillé 3
Exercice
Partie A
Une source émet un signal binaire composé de 0 et de 1. Lors du transport, le signal
peut être déformé. Un 0 peut être transformé en 1 avec une probabilité 0,1 et, de
même, un 1 peut être transformé en 0 avec une probabilité 0,1.
Pour toute la suite, dans une série de chiffres, on lit de gauche à droite, le premier
chiffre envoyé étant donc celui écrit le plus à gauche.
On envoie le signal 00.
On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépen-
dants les uns des autres.
On considère les évènements suivants :
•E1: « les deux chiffres sont modifiés »
•E2: « le premier chiffre est modifié mais pas le deuxième »
•E3: « aucun chiffre n’est modifié »
•E4: « au moins un des chiffres est modifié »
1. La probabilité de l’évènement E1est égale à :
0,01.
2. Si l’évènement E2est réalisé, le signal reçu est : 10.
3. La probabilité de l’évènement E2est égale à :
0,09
4. La probabilité de l’évènement E3est égale à :
0,81
5. La probabilité de l’évènement E4est égale à :
0,18.
Partie B
1. On considère l’expérience aléatoire consistant à émettre une chaîne consti-
tuée de 10 fois le chiffre 1 et à observer la chaîne reçue. On appelle Xla va-
riable aléatoire qui, à chaque chaîne ainsi reçue, associe le nombre d’erreurs
de transmission, c’est-à-dire le nombre de 0 obtenus.
On rappelle que la probabilité qu’un chiffre soit mal transmis est 0,1.
a. On admet que la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale.
Les paramètres de cette loi sont n=10 et p=0,1 (X B(10 ; 0,1)).
b. À 0,001 près la probabilité qu’il y ait exactement une erreur de transmis-
sion. est :
P(X=1) =µ10
1¶0,11×0,99≃0,387.
c. La probabilité qu’il y ait au plus une erreur de transmission est égale à :
P(X61) =P(X=0)+P(X=1) ≃µ10
0¶0,10×0,910 +0,387 ≃0,74.
2. Estimant que la qualité des transmissions n’est pas assez bonne, les techni-
ciens procèdent à quelques réglages afin de réduire les « bruits » à l’origine
des erreurs. La probabilité qu’un chiffre soit mal transmis devrait ainsi être
fortement diminuée.
Effectivement, à l’issue des réglages, on constate que la proportion de chiffres
mal transmis est égale à 0,002.

Correction du devoir surveillé 3 Brevet de technicien supérieur
a. On appelle Yla variable aléatoire égale au nombre de chiffres mal trans-
mis dans une chaîne de 1 000 chiffres.
On considère que la variable aléatoire Ysuit une loi de Poisson de para-
mètre λ.
Soit la variable aléatoire, Y′qui suit une loi binomiale de paramètres
n=1000 et p=0,002.
Alors la variable aléatoire Yest une approximation de la variable aléa-
toire Y′car d’après le théorème du cours, n=1000 >30 et p=0,002 <
0,1.
A ce moment le paramètre de la loi de poisson suivi par Yest :
λ=np =1000×0,002 =2.
b. Calculer à 0,001 près la probabilité qu’il y ait au moins une erreur de
transmission parmi les 1 000 chiffres envoyés.
P(Y>1) =1−P(Y=0)
=1−P(Y=0)
=1−e−220
0!
=1−e−2
≃0,8647
Partie C
La transmission des chiffres binaires est assurée par un signal électrique carré. Les
impulsions supérieures à 2 volts représentent le chiffre 1, les autres le chiffre 0. Ne
pouvant affiner davantage leurs réglages, les techniciens admettent que les erreurs
de transmission restantes sont dues à un « bruit aléatoire ». Celui-ci est modélisé par
un signal de tension aléatoire U, exprimée en volts. On admet que Usuit une loi
normale de moyenne 0 et d’écart type σ.
1. Pour envoyer les chiffres 1, on envoie des impulsions de 4 volts. Ces dernières
sont modifiées par le bruit aléatoire. La tension reçue est ainsi égale à 4 +U.
U N(0 ; σ)
Dans cette question, on suppose que σ=0,7.
U N(0 ; 0,7)
a. Montrer que la probabilité que cette tension représente le chiffre 1 est
égale à la probabilité que Usoit supérieure à −2.
P(4+U>2) =P(U>−2).
b. Calculer cette probabilité à 0,001 près.
Soit la variable aléatoire U′définie par U′=U
0,7.
Alors la variable aléatoireU′suit une loi normale centrée réduite. (N(0 ; 1)).
P(4+U>2) =P(U>−2)
=P(−26U)
=P³−2
0,7 6U 0,7 ´
=P(−2,85 6U′)
=P(U′>2,85)
≃0,9978
Lu dans la table de la loi normale
centré réduite.
2. Quelle condition doit-on imposer à l’écart type σpour que la proportion d’er-
reurs de transmission d’un chiffre 1 soit inférieure à 0,1%, c’est-à-dire pour
que :
p(U< −2) <0,001?
Lycée Don Bosco Marseille 24 mars 2013

Correction du devoir surveillé 3 Brevet de technicien supérieur
Soit la variable aléatoire U′définie par U′=U
σ.
Alors la variable aléatoire U′suit une loi normale centrée réduite. (N(0 ; 1)).
P(U< −2) <0,001
P¡U
σ< − 2 σ¢<0,001
P¡U′< − 2
σ¢<0,001
Or comme U′suit une loi normale centré réduite, on remarque grâce au ta-
bleau de valeur de la loi normale centré réduite qu’il faut que x< −3,1 pour
P(U′<x)<0,001.
Donc la condition nécessaire est : −2
σ< −3,1,
ce qui est équivalent à σ<2
3,1 c’est-à-dire σ<0,645
Lycée Don Bosco Marseille 34 mars 2013