Chapitre 12_cours

Chapitre 12 PROBABILITÉS (2) Term S
I – Lois de probabilités continues. Généralités
1) Exemples
Dans toutes les situations étudiées jusqu’à présent, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs
. On dit alors que la variable aléatoire est ……………………..
Il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent leurs valeurs dans un intervalle de , borné ou non.
Exemples : a) On tire sur une cible de 1 m de rayon, sans jamais la manquer. La variable aléatoire qui donne la
distance du point d’impact au centre prend toutes les valeurs………………………………………
b) La durée de vie d’un transistor, le temps d’attente à un guichet sont des variables aléatoires…………………
……………………..
c) Si X est la variable aléatoire qui mesure la durée de vie d’un transistor, savoir si X prend la valeur  
, par exemple, n’a aucun intérêt. On verra d’ailleurs que    .
Par contre, savoir si X prend des valeurs entre 300 et 400 jours est plus intéressant.
2) Variable aléatoire définie par une fonction de densité
Définition : On dit qu’une variable aléatoire est ………………………..(ou absolument……………………),
s’il existe une fonction  définie sur , continue sur  sauf peut-être en un nombre fini de points, positive, et
telle que quelque soit l’intervalle I de ,
  …………………………………..
La fonction  est appelée ……………………………………de la variable aléatoire X.
Conséquences :
• Si   ,   ……………………………………
L’évènement    s’écrit aussi (……  …….).
L’évènement    s’écrit aussi……………………………………….
• Si   ,      ……………………………………
La probabilité que X prenne une valeur isolée a est………………………………………..
Ainsi   ……………………………………………………..
• Puisque    est l’évènement certain,   ………………..et donc 
  ………
Remarque : Signification de 
   .
Cette écriture signifie que la fonction   
  a une limite  en , que la fonction     a
une limite  en  et que   .
Il en résulte que lorsque  est une fonction de densité, est bien définie que J soit borné ou non.
Exemple : (au dos de la feuille)
On tire sur une cible de 1 m de rayon, sans jamais la manquer.
X est la variable aléatoire qui donne la distance, en mètre, de l’impact au centre.
On admet que X a pour densité, la fonction  définie sur  par :      
  .
1) Vérifier que  est bien une densité de probabilité.
2) Calculez   ,   ,     .
3) Vérifiez que si       , alors      est égale au rapport de l’aire de la couronne définie par
 et , à celle de la cible.

II – Deux lois particulières
1) Loi uniforme
Définition :
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle
,    lorsque c’est une variable continue, dont la
densité  est la fonction définie sur  par :
………………………………..
et …….., sinon.
Graphique
Remarques : • Vérifions que  est une densité de probabilité.
• Soit    un intervalle inclus dans I.
Alors   ………………………………………………………………………………………………….
Exemple : (au dos de la feuille)
A partir de 7 heures, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt A.
Un usager se présente en A entre 7 h et 7 h 30.
On fait l’hypothèse que la durée de 7 h à l’heure de son arrivée en A est une variable aléatoire uniformément
répartie sur l’intervalle [0 ; 30].
Quelle est la probabilité qu’il attende le prochain bus :
a) moins de cinq minutes ?
b) plus de dix minutes ?
2) Loi exponentielle
Définition :
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre
le réel , (  ), lorsque c’est une variable continue, dont la
densité  est la fonction définie sur  par :
………………………………..
et …….., sinon.
Graphique
Remarques : • Vérifions que  est une densité de probabilité.
• Soit  un réel positif ou nul.
Alors   ………………………………………………………………………………………………….
  ………………………………………………………………………………………………………...
Si  est un réel vérifiant   , alors     ……………………………………………………………

Exemple : (au dos de la feuille)
La durée, en minutes, d’une conversation téléphonique est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle
de paramètre   .
Vous arrivez à une cabine et juste à ce moment précis, une personne passe devant vous.
Quelle est la probabilité que vous attendiez :
a) plus de dix minutes ? b) entre dix et vingt minutes ?
III – Variables sans mémoire
1) Exemple, définition
Appelons X la variable aléatoire donnant la durée de vie en années d’un composant électronique.
A priori, X prend ses valeurs dans …………………
Pour tout   , l’évènement    signifie que la durée de vie dépasse  années.
• On dit que la durée de vie est sans mémoire (ou sans vieillissement) lorsque la probabilité que la composant
fonctionne encore  années supplémentaires, sachant qu’il fonctionne à l’instant , ne dépend pas de .
• Cela se traduit par :     est indépendante de .
On a donc, pour tout   ,
Or   ………………et     ……………, donc
Notation : On pourra noter       au lieu de   .
Définition : Une variable aléatoire positive X est sans mémoire (ou sans vieillissement) lorsque :
Pour tous    et   ,      ……………………….
Exemple : Dans l’exemple ci-dessus, si X est sans mémoire, alors la probabilité que la durée de vie dépasse 10
ans, sachant que le composant a déjà fonctionné 7 ans, est :
……………………………………………………………………………………………………………………..
Le composant fonctionne sans mémoire des ………………………….
2) Caractérisation des lois exponentielles
Théorème : • Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est ……………………………………..
• Réciproquement, si X est sans mémoire, alors sa loi est ……………………………………
Démonstration : (au dos de la feuille) Nous admettrons la réciproque.
Définition : Pour une variable aléatoire X qui suit une loi de durée de vie sans mémoire, donc ………………..,
on appelle demi-vie la durée  telle que    .
Si  est la paramètre, ………………………………………………………………………………………………
Donc  ………….
Remarque : Pour une loi exponentielle, la demi-vie est l’analogue de la ……………………d’une série
statistique.
Exemples : (au dos de la feuille)
1) Un système électronique est constitué de trois composants montés en série.
Les durées de vie (en heures) de chaque élément sont indépendantes et suivent une loi sans mémoire de
paramètre   .
Quelle est la probabilité que le système fonctionne au moins 1000 heures ?
2) La durée de vie T en heures d’un transistor suit une loi sans mémoire telle que    .
a) Calculer   . b) Trouver la valeur  de la demi-vie.