Propriétés homotopiques du complexe de Quillen du groupe

UNIVERSITÉ DE LAUSANNE
FACULTÉ DES SCIENCES
Propriétés homotopiques
du complexe de Quillen
du groupe symétrique
Thèse de doctorat
présentée à la Faculté des sciences
de l’Université de Lausanne
par
Rached KSONTINI
Diplômé en Mathématiques
Université de Lausanne
Jury
Prof. Jacques HAUSSER, Président
Prof. Jacques THÉVENAZ, Directeur de thèse
Prof. Dominique ARLETTAZ, Expert
Prof. Serge BOUC, Expert
LAUSANNE
2000
Remerciements
Je remercie sincèrement le Professeur Jacques Thévenaz d’avoir bien voulu diriger mon travail. Ses
conseils éclairés, sa disponibilité et son accueil toujours chaleureux furent essentiels à l’aboutissement de ce
doctorat.
Je remercie Messieurs les experts: le Professeur Serge Bouc pour ses idées astucieuses dont j’ai amplement profité, et le Professeur Dominique Arlettaz pour ses nombreux commentaires et sa constante amabilité.
Merci également aux membres de l’Institut de Mathématiques, et tout particulièrement à mon collègue
de bureau Bernard Stalder pour son agréable compagnie.
Enfin, je remercie de tout mon coeur mes parents pour leur soutien inconditionnel.
Table des matières
Introduction
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Chapitre 1. Définitions et premiers résultats
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1
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§1. Le complexe simplicial associé à un ensemble ordonné
§2. Le complexe de Quillen du groupe symétrique .
§3. Le complexe des p-cycles
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§4. Le complexe des p-partitions
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§5. Filtrations et suites exactes longues en homologie
Chapitre 2. Groupes d’homologie de degré élevé
§6. Groupes d’homologie non nuls de degré maximal
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41
§8. Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles .
46
§7. Une suite spectrale
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Chapitre 3. Groupe fondamental et k-connexité
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§10. Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen
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§12. k-connexité
§9. Le groupe fondamental du complexe des p-cycles
§11. Un groupe fondamental non trivial
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Chapitre 4. Calculs explicites
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91
§13. Le complexe des p-partitions
§14. Le complexe des p-cycles .
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§15. Le complexe de Quillen du groupe symétrique
§16. Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles
Bibliographie
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Introduction
Soient G un groupe fini, p un nombre premier et Sp (G) l’ensemble ordonné par inclusion des p -sous-
groupes non triviaux de G . A l’ensemble ordonné Sp (G) on associe de manière tout à fait standard un
complexe simplicial ∆Sp (G) . Le groupe G agit par conjugaison sur l’ensemble ordonné Sp (G) et par suite,
agit naturellement sur ∆Sp (G) . Le complexe simplicial ∆Sp (G) , que l’on appelle maintenant complexe de
Brown de G , est apparu pour la première fois en 1975 dans un article de Brown [BR] sur la caractéristique
d’Euler de certains groupes. Brown y montre en particulier le théorème suivant :
Théorème de Brown. Si G est un groupe fini et p un nombre premier, alors
¡
¢
χ ∆Sp (G) ≡ 1 mod |G|p ,
où |G|p désigne l’ordre d’un p-sous-groupe de Sylow de G .
C’est en 1978 , avec la parution de l’article de Quillen [QU], que l’étude du complexe des p-sous-groupes
prend tout son sens. Quillen montre que si G est un groupe de Chevalley fini, alors ∆Sp (G) a le même
type d’homotopie que l’immeuble de Tits associé à G . Autrement dit, le complexe des p -sous-groupes d’un
groupe G est une généralisation de la notion d’immeuble. En outre, Quillen démontre plusieurs résultats qui
relient des propriétés homotopiques du complexe simplicial ∆Sp (G) à des propriétés p-locales du groupe G .
Par exemple, il prouve partiellement la conjecture suivante :
Conjecture de Quillen. Si G est un groupe fini et ∆Sp (G) est contractile, alors G possède un p-sousgroupe normal non trivial.
Plus précisément, Quillen considère dans son article l’ensemble ordonné par inclusion Ap (G) des p-sous-
groupes abéliens élémentaires non triviaux de G et il montre que l’inclusion du complexe simplicial ∆Ap (G) ,
que l’on appelle maintenant complexe de Quillen de G , dans le complexe de Brown ∆Sp (G) est une
équivalence d’homotopie. Dix ans plus tard, Thévenaz et Webb [TH-WE] ont même prouvé que cette
inclusion est une G-équivalence d’homotopie. Plus récemment, Thévenaz [TH] et Bouc ont montré, grâce
à l’article de Knörr et Robinson [KN-RO], que la conjecture d’Alperin en théorie des représentations modulaires est équivalente à la conjecture simpliciale :
−zp (G) =
´
X ³ ¡
¢
χ̃ ∆ Sp (G)g /CG (g) ,
[g]
où la somme parcourt l’ensemble des classes de conjugaison [ g ] de G et zp (G) compte le nombre des
représentations irréductibles de G sur C , à isomorphisme près, dont la dimension est un multiple de |G|p .
Cette conjecture est maintenant prouvée dans de très nombreux cas. Les résultats cités ci-dessus laissent
présager que le complexe de Brown ∆Sp (G) , muni de l’action de G , contient l’information inhérente à
2
Introduction
la structure p-locale du groupe G , d’où l’intérêt de calculer ses invariants homotopiques (caractéristique
d’Euler, modules d’homologie, groupes d’homotopie...). Il est bien connu que, mis à part quelques exceptions
de petite dimension énumérées dans [ASC , proposition 6.2 ], le complexe simplicial ∆Sp (G) est connexe
s’il est de dimension ≥ 1 . Il est alors naturel de se demander pour quels groupes G et nombres premiers p ,
le complexe de Brown ∆Sp (G) est simplement connexe. Dans son article [ASC], Aschbacher énonce une
conjecture sur la connexité simple de certains complexes minimaux, qu’il démontre dans de multiples cas.
Moyennant cette conjecture, Aschbacher prouve que le problème posé se réduit à la caractérisation des
groupes simples G et des nombres premiers p , pour lesquels ∆Sp (G) est simplement connexe. Pour se
faire une idée plus précise de l’état des connaissances dans le domaine des complexes de sous-groupes, il est
conseillé de consulter l’article de Webb [WE] ou le livre de Smith [SM].
Dans le cas où G désigne le groupe symétrique Sn de degré n ≥ 1 , le type d’homotopie de l’ensemble
ordonné Sp (Sn ) , c’est-à-dire du complexe simplicial ∆Sp (Sn ) , est peu connu. L’ensemble ordonné Ap (Sn )
est beaucoup plus petit que Sp (Sn ) , néanmoins le calcul de ses modules d’homologie s’avère très difficile.
L’objectif de ce travail est de déterminer, par l’étude des sous-complexes ∆Dp (n) et ∆Tp (n) définis cidessous, certaines propriétés homotopiques du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) . Les méthodes utilisées sont
un mélange de topologie algébrique, de combinatoire et de théorie du groupe symétrique.
Soit p un nombre premier, n un entier ≥ 1 et notons Nn = { 1 , 2 , . . . , n } . Une p-partition de Nn
est une partition non triviale de Nn , dont toutes les parties sont de cardinal 1 ou p . Autrement dit,
une p-partition est une famille non vide de parties de Nn de cardinal p deux à deux disjointes. On
note Dp (n) l’ensemble des p-partitions de Nn , que l’on munit de l’ordre évident. On définit l’ensemble
ordonné Tp (n) comme le sous-ensemble de Ap (Sn ) formé des p-sous-groupes abéliens élémentaires du
groupe symétrique Sn qui sont engendrés par des p-cycles. Autrement dit, un élément de Tp (n) est un
sous-groupe de Sn engendré par des p-cycles deux à deux disjoints. Le complexe des p-partitions ∆Dp (n)
et le complexe des p-cycles ∆Tp (n) peuvent être vus naturellement comme des sous-complexes du complexe
de Quillen ∆Ap (Sn ) . L’idée de considérer ces sous-complexes simpliciaux est due à Bouc. Dans son article
[BO3], il étudie l’homologie de l’ensemble ordonné D2 (n) , qui est isomorphe à l’ensemble ordonné T2 (n) .
Notamment, il montre la proposition suivante :
¡
¢
Proposition (Bouc). Le groupe fondamental π1 D2 (7) est cyclique d’ordre 3 .
Ce calcul surprenant motive à lui tout seul l’étude des ensembles ordonnés Dp (n) et Tp (n) . Les résultats
obtenus dans ce travail sont nettement moins précis que ceux obtenus par Bouc au sujet de l’ensemble D2 (n) .
Ils permettent tout de même de déduire des propriétés concernant les groupes d’homologie et le groupe
fondamental du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) .
Le premier chapitre constitue une présentation des ensembles ordonnés Ap (Sn ) , Tp (n) et Dp (n) .
Leurs points communs et leurs caractéristiques y sont mis en évidence. Nous verrons par exemple, que les
ensembles Ap (Sn ) et Tp (n) ont le même type d’homotopie lorsque n < p2 . Nous montrerons notamment au
théorème 5.8 , respectivement théorème 5.14 , l’existence d’une collection très utile de suites exactes reliant
les groupes d’homologie de certains sous-complexes du complexe des p-cycles ∆Tp (n) , respectivement du
complexe des p-partitions ∆Dp (n) .
Le deuxième chapitre est consacré aux groupes d’homologie de degré élevé. Nous verrons qu’en règle
générale, les groupes d’homologie de degré élevé des ensembles ordonnés Ap (Sn ) et Tp (n) sont isomorphes
(proposition 8.1 ). Si n = dp + r où 0 ≤ r < p , le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) est de dimension d − 1 .
Introduction
3
Pourtant, dans le cas où p = 3 et n est un multiple de 3 , l’ensemble A3 (S3d ) a le type d’homotopie d’un
ensemble ordonné de dimension d − 2 (proposition 6.7 ). Par contre, si p ≥ 5 , le groupe d’homologie de
¡
¢
degré maximal Hd−1 Ap (Sn ) est abélien libre non nul (corollaire 6.5 ), et il est même possible de donner
explicitement son rang si n est un multiple de p (corollaire 8.3 ).
Au chapitre 3 , nous déterminons les valeurs p et n , pour lesquelles les ensembles ordonnés cités
ci-dessus sont simplement connexes. Le théorème qui suit, énoncé à la fin du paragraphe 11 , constitue
certainement le résultat le plus important de ce travail :
Théorème. Soit p un nombre premier et n un entier > p . Si p ≥ 3 , le complexe de Quillen ∆Ap (Sn )
est simplement connexe si et seulement si 3p + 2 ≤ n < p2 ou n ≥ p2 + p . (Remarquer que la condition
3p + 2 ≤ n < p2 implique p ≥ 5 .) En outre, si p = 2 , le complexe de Quillen ∆A2(Sn ) est simplement
connexe si et seulement si n = 4 ou n ≥ 7 .
¡
¢
S’il est non trivial, le groupe fondamental π1 Ap (Sn ) est facile à calculer, sauf lorsque p ≥ 3 et
3p ≤ n ≤ 3p + 1 .
Dans ce dernier cas, la question reste ouverte. Pour conclure ce chapitre, nous
démontrons au paragraphe 12 un critère de k-connexité pour les ensembles ordonnés Tp (n) et Dp (n)
(théorèmes 12.1 et 12.4 ), qui s’applique en partie au complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) (corollaire 12.3 ).
Finalement, le quatrième et dernier chapitre est un recueil de valeurs numériques et de résultats explicites
déduits des chapitres précédents. En particulier, si n < 4p , le type d’homotopie des complexes simpliciaux
∆Ap (Sn ) , ∆Tp (n) et ∆Dp (n) est donné explicitement dans presque tous les cas.
CHAPITRE 1
Définitions et premiers résultats
L’objectif de ce chapitre, comme son titre l’indique, est d’énoncer les définitions, notations et premiers
résultats auxquels nous ferons régulièrement référence par la suite. Le premier paragraphe constitue un
bref rappel ayant trait au type d’homotopie d’un ensemble ordonné. Au paragraphe suivant, nous donnons une description explicite des sommets du complexe de Quillen du groupe symétrique ∆Ap (Sn ) . Les
paragraphes 3 et 4 sont consacrés au complexe des p-cycles ∆Tp (n) , respectivement au complexe des
p-partitions ∆Dp (n) . Ces complexes ∆Tp (n) et ∆Dp (n) peuvent être vus comme des sous-complexes
de ∆Ap (Sn ) et les liens topologiques reliants ces trois complexes simpliciaux sont bien entendu précisés.
Si n = dp + r avec 0 ≤ r < p , les ensembles ordonnés Ap (Sn ) , Tp (n) et Dp (n) sont tous trois
de dimension d − 1 et connexes si n > 2p . En conséquence, leur type d’homotopie est connu si n <
3p . En outre, la caractéristique d’Euler des ensembles Tp (n) et Dp (n) est facile à calculer. A la fin du
paragraphe 3 , respectivement paragraphe 4 , nous montrons l’existence d’une suite exacte longue reliant
les groupes d’homologie des ensembles ordonnés Tp (n) , Tp (n − 1) et Tp (n − p) , respectivement Dp (n) ,
Dp (n − 1) et Dp (n − p) .
Finalement, dans le dernier paragraphe de ce chapitre, nous mettons en évidence une filtration d’un
certain complexe simplicial CT p (n) , dont la subdivision barycentrique s’identifie au complexe ∆Tp (n) , et
nous en déduisons une collection de suites exactes longues en homologie. De manière tout à fait similaire, nous
obtenons les résultats correspondants pour le complexe simplicial CD p (n) , dont la subdivision barycentrique
n’est rien d’autre que le complexe ∆Dp (n) .
6
§1
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
LE COMPLEXE SIMPLICIAL ASSOCIÉ À UN ENSEMBLE ORDONNÉ
Un complexe simplicial C est une famille de parties finies non vides d’un ensemble V , appelées simplexes,
telles que :
(i) Pour tout x ∈ V , le singleton { x } est un simplexe.
(ii) Toute partie non vide s0 d’un simplexe s est encore un simplexe.
¡ ¢
Un élément x ∈ V est alors appelé un sommet de C et l’ensemble V des sommets de C est noté Vert C .
Par définition, la notation s ∈ C signifie donc que s est un simplexe de C . Dans ce qui suit, nous n’allons
considérer que des complexes simpliciaux finis, c’est-à-dire des complexes dont l’ensemble des sommets
est fini. Un simplexe de dimension k ou k-simplexe s = { x0 , x1 , x2 , . . . , xk } est un simplexe formé
de k + 1 sommets. Par souci de simplification, on confond couramment les sommets de C et les simplexes
de dimension 0 . Un 1-simplexe est aussi appelé une arête. Si un complexe simplicial C ne contient que
des k-simplexes avec k ≤ d et au moins un d-simplexe, on dit alors que C est de dimension d . Le
complexe vide est dit de dimension −1 . Un complexe de dimension 1 est aussi appelé un graphe. Si C est
un complexe simplicial à N sommets { x1 , x2 , x3 , . . . , xN } et si { e1 , e2 , e3 , . . . , eN } désigne la base
canonique de RN , alors la réalisation géométrique d’un simplexe s = { xi0 , xi1 , xi2 , . . . , xik } est définie
comme le simplexe géométrique standard de sommets { ei0 , ei1 , ei2 , . . . , eik } . La réalisation géométrique
¯ ¯
du complexe C , notée ¯C ¯ , est la réunion des réalisations géométriques de chacun des simplexes s de C .
Un complexe simplicial C est dit ordonné si l’ensemble des sommets de C est muni d’un ordre par-
tiel, dont la restriction à chacun des simplexes de C est un ordre total. Si C est un complexe simplicial
ordonné et s = { x0 , x1 , x2 , . . . , xk } un k-simplexe de C , il est alors sous-entendu que les sommets xi
( i = 0, 1, . . . , k ) sont numérotés dans l’ordre croissant, i.e. x0 < x1 < x2 < . . . < xk . Les notions
élémentaires d’homologie simpliciale sont bien exposées dans le livre de Rotman [ROT , chapitre 7 ]. Il y
définit entre autres les groupes d’homologie (réduite ou non) et le groupe fondamental d’un complexe simplicial ordonné C . Il montre que ces groupes coı̈ncident, à isomorphisme près, avec ceux de l’espace to¯ ¯
pologique ¯C ¯ . Dès lors, on constate que les groupes d’homologie et le groupe fondamental de C ne
dépendent pas de l’ordre partiel sur l’ensemble des sommets de C , et on définit le type d’homotopie de C ,
¯ ¯
comme étant celui de ¯C ¯ . En conséquence, on appliquera librement le langage topologique aux complexes
simpliciaux. Par exemple, on dira que deux complexes simpliciaux sont homéomorphes si leurs réalisations
¡ ¢
géométriques le sont. Les groupes d’homologie Hk C
sont, par définition, des groupes abéliens. Si C
est fini, ses groupes d’homologie sont de type fini, et on sait que tout groupe abélien de type fini est la somme
directe d’un groupe abélien libre et d’un groupe fini de torsion. On définit le rang d’un groupe abélien de type
fini comme étant le nombre minimal de générateurs de ce groupe. On définit aussi le rang libre d’un groupe
¡ ¢
abélien de type fini, comme étant le rang de sa partie libre. Il est bien connu que H0 C
est un groupe
abélien libre de rang égal au nombre de composantes connexes de C et que, si d est la dimension de C ,
¡ ¢
¡ ¢
les groupes Hk C sont nuls si k > d et le groupe d’homologie de degré maximal Hd C est abélien libre.
¡ ¢
En outre, on sait que si C est connexe, alors le groupe d’homologie H1 C est isomorphe à l’abélianisé du
¡ ¢
groupe fondamental π1 C .
¡ ¢
Si C est un complexe simplicial fini de dimension d , on définit sa caractéristique d’Euler χ C de la
manière suivante :
d
X
¡ ¢
χ C =
(−1)k · ]{ k-simplexes } .
k=0
¡ ¢
On définit encore sa caractéristique d’Euler réduite χ̃ C :
¡ ¢
¡ ¢
χ̃ C = χ C − 1 .
§1 . Le complexe simplicial associé à un ensemble ordonné
7
La caractéristique d’Euler est un invariant homotopique. Plus précisément, si C est un complexe simplicial
ordonné, alors (confer [ROT , théorème 7.15 ] )
d
³ ¡ ¢´
X
¡ ¢
χ C =
(−1)k · ranglibre Hk C
.
(1.1)
k=0
En particulier, −1 est la caractéristique d’Euler réduite de l’ensemble vide. De plus, si C est un graphe
¡ ¢
connexe, χ̃ C caractérise le complexe simplicial C . Explicitement, le complexe simplicial C a alors le
¡ ¢
type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃ C cercles.
Rappelons encore que si C est un complexe simplicial, la subdivision barycentrique Sd C de C est le
complexe simplicial, dont les sommets sont les simplexes de C et les simplexes sont les chaı̂nes finies non
vides de simplexes de C . Les complexes simpliciaux C et Sd C sont homéomorphes.
Si X est un ensemble ordonné, c’est-à-dire un ensemble muni d’une relation d’ordre ≤ , on définit le
complexe simplicial ∆X associé à X comme le complexe simplicial ordonné, dont les sommets sont les
éléments de X et les simplexes sont les chaı̂nes finies non vides d’éléments de X . On définit alors le type
d’homotopie de X comme étant celui du complexe simplicial associé ∆X . On parlera donc de la dimension
de X , de la caractéristique d’Euler de X , du complexe de chaı̂nes C∗ (X) de X , des groupes d’homologie
H∗ (X) de X , ou encore du groupe fondamental π1 (X) de X . Comme le fait Bouc dans [BO1], il est
¡
¢
possible de définir de manière directe les A-modules d’homologie H∗ X, A d’un ensemble ordonné X à
coefficients dans un anneau A quelconque. Dans le cas où A = Z , on retrouve les groupes d’homologie
déjà cités, que l’on appelle, en cas d’ambiguı̈té, groupes d’homologie entière.
Soit G un groupe. Un G-ensemble ordonné X est un ensemble ordonné, sur lequel le groupe G agit,
de telle sorte que
x1 ≤ x2
⇒
gx1 ≤ gx2 ,
quels que soient x1 , x2 ∈ X et g ∈ G .
¡
¢
Dans un tel cas, les A-modules d’homologie H∗ X, A deviennent alors des AG-modules.
Si L est un sous-groupe normal de G et X un G/L-ensemble ordonné, alors Inf G
G/L X désigne l’inflation
de X , c’est-à-dire le G-ensemble ordonné X , sur lequel le groupe L agit trivialement. On montre facilement que, quel que soit l’entier k ,
³
´
¡
¢
Hk Inf G
X,
A
= Inf G
G/L
G/L Hk X, A .
Pour X un ensemble ordonné et x ∈ X , on note les ensembles ordonnés :
¯
©
ª
] . , x ]X = x0 ∈ X ¯ x0 ≤ x ,
¯
©
ª
[ x , . [X = x0 ∈ X ¯ x0 ≥ x ,
¯
©
ª
] . , x [X = x0 ∈ X ¯ x0 < x et
¯
©
ª
] x , . [X = x0 ∈ X ¯ x0 > x .
On définit alors le rang de x de la manière suivante :
¡
¢
rang(x) = dim ] . , x ]X + 1 .
Ainsi, un élément minimal de X est de rang 1 . Un tel élément est aussi appelé un atome de X . Un
minimum absolu (respectivement maximum absolu ) x0 dans X est un élément x0 ∈ X , qui vérifie la
condition x0 ≤ x (respectivement x ≤ x0 ), quel que soit x ∈ X . Une application f : X → Y entre deux
ensembles ordonnés X et Y est dite croissante si la relation x0 ≤ x implique f (x0 ) ≤ f (x) . Une telle
8
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
application induit clairement une application simpliciale ∆f de ∆X dans ∆Y . On dit que f est une
équivalence d’homotopie si ∆f l’est. Pour tout y ∈ Y , on définit les sous-ensembles suivants :
¯
¯
©
ª
©
ª
f≤y = x ∈ X ¯ f (x) ≤ y
et f≥y = x ∈ X ¯ f (x) ≥ y .
Les ensembles f≤y et f≥y sont appelés respectivement la fibre de f au-dessous de y et la fibre de f
au-dessus de y .
Pour conclure ce paragraphe, nous allons énoncer deux résultats fondamentaux dans l’étude du type
d’homotopie d’ensembles ordonnés. On les trouve dans le papier de Quillen [QU , section 1 ].
(1.2)
Lemme (Propriété d’homotopie). Si X , Y sont deux ensembles ordonnés et f , g : X → Y
deux applications croissantes telles que f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ X , alors f et g sont homotopes.
Un ensemble ordonné X est dit coniquement contractile s’il existe un élément x0 ∈ X et une application
croissante f : X → X tels que x ≤ f (x) ≥ x0 pour tout x ∈ X . Dans un tel cas, la propriété d’homotopie
ci-dessus montre que les applications idX , f et l’application constante de X sur {x0 } sont homotopes, et
donc X est contractile. En particulier, il est évident que si X désigne un ensemble ordonné qui contient
un minimum ou un maximum absolu, alors X est coniquement contractile.
(1.3)
Théorème. Soient X et Y deux ensembles ordonnés et f : X → Y croissante telle que f≤y
(respectivement f≥y ) est contractile, quel que soit y ∈ Y . Alors f est une équivalence d’homotopie.
Dans [WA , Section 2 ], Walker donne une preuve de ce dernier théorème plus élémentaire que celle de
Quillen. En revanche, celle de Quillen s’applique à des situations beaucoup plus générales.
§2
LE COMPLEXE DE QUILLEN DU GROUPE SYMÉTRIQUE
Soient p un nombre premier et G un groupe. Un p-sous-groupe abélien élémentaire du groupe G est un
p-sous-groupe abélien dont les éléments sont d’ordre 1 ou p . On note Sp (G) l’ensemble ordonné par inclu-
sion des p-sous-groupes non triviaux de G et on appelle complexe de Brown le complexe simplicial associé.
On note Ap (G) l’ensemble ordonné par inclusion des p-sous-groupes abéliens élémentaires non triviaux
de G et on appelle complexe de Quillen le complexe simplicial associé. Quillen a montré [QU , section 2 ],
à l’aide du théorème 1.3, que l’inclusion Ap (G) ⊆ Sp (G) est une équivalence d’homotopie. Remarquons que
si H ∈ Ap (G) , alors H peut être vu comme un Fp -espace vectoriel. La dimension du Fp -espace vectoriel H
coı̈ncide bien sûr avec le rang de H , vu comme élément de l’ensemble ordonné Ap (G) .
Dorénavant, nous allons exclusivement nous intéresser au complexe de Quillen du groupe symétrique Sn .
Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 1 . On note Nn = { 1 , 2 , . . . , n } . Un cycle de longueur p
est appellé un p-cycle. Par définition de Ap (Sn ) , il est évident que si H ∈ Ap (Sn ) et σ ∈ H , alors σ est
soit l’identité, soit un produit de p-cycles deux à deux disjoints. Pour σ ∈ Sn , on définit les points fixes et
le support de σ de la manière suivante :
¯
©
ª
Fix(σ) = i ∈ Nn ¯ σ(i) = i
et
Supp(σ) = Nn \ Fix(σ) .
Plus généralement, si H est un sous-groupe de Sn , on définit :
\
[
Fix(H) =
Fix(σ) et Supp(H) =
Supp(σ) .
σ∈H
σ∈H
§ 2 . Le complexe de Quillen du groupe symétrique
9
Si U est une partie de Nn , on définit Perm(U) comme étant le sous-groupe de Sn formé des permutations
dont le support est contenu dans U .
Pour commencer, nous allons donner, à travers deux propositions, une description des p-sous-groupes
abéliens élémentaires du groupe symétrique. Pour ce faire, il nous faut rappeler les notions suivantes. Si G
est un groupe et X un G-ensemble, l’action de G sur X est dite transitive si elle admet une seule orbite.
Elle est dite régulière si, en plus d’être transitive, le stabilisateur de chaque x ∈ X est trivial. Dans un tel
cas, quel que soit l’élément x0 ∈ X , l’application
f : G −→ X , définie par
g 7−→ g · x0
est un isomorphisme de G-ensembles, où le groupe G agit sur lui-même par multiplication à gauche. Si
H ∈ Ap (Sn ) , alors le groupe H agit naturellement sur l’ensemble Nn et plus particulièrement sur son
support Supp(H) . On dit que H est un p-sous-groupe relativement transitif si l’action de H sur son
support est transitive.
(2.1)
Proposition. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
(a) H ∈ Ap (Sn ) .
(b) H est un sous-groupe d’un groupe abélien élémentaire P = P1 × P2 × . . . × Pl , où l est un entier ≥ 1
et les Pi ∈ Ap (Sn ) ( i = 1, 2, . . . , l ) sont des p-sous-groupes relativement transitifs de supports deux
à deux disjoints.
De plus, si H ∈ Ap (Sn ) , il existe un unique sous-groupe abélien élémentaire P décomposant l’ensemble Nn
en les mêmes orbites que H et vérifiant les conditions de l’énoncé (b).
Preuve. (b) ⇒ (a) : C’est évident.
(a) ⇒ (b) : Soit H ∈ Ap (Sn ) et considérons
Nn =
s
G
Ui ,
i=1
la décomposition de Nn en ses orbites via l’action de H . On peut supposer qu’il existe un entier 1 ≤ l ≤ s
tel que U1 , U2 , . . . , Ul désignent les orbites de cardinal > 1 et Ul+1 , Ul+2 , . . . , Us les orbites triviales.
Pour tout i = 1, 2, . . . , l , on pose alors
Pi = H|Ui =
©
¯
ª
σ|Ui ¯ σ ∈ H ⊆ Perm(Ui ) .
Clairement, les p-groupes Pi ∈ Ap (Sn ) ( i = 1, 2, . . . , l ) sont relativement transitifs et H est un sousgroupe du groupe P = P1 × P2 × . . . × Pl . Il est évident que P ∈ Ap (Sn ) , puisque les ensembles Ui
( i = 1, 2, . . . , l ) sont deux à deux disjoints. En outre, en vertu du deuxième point de la proposition 2.2
qui suit, il est clair que P est l’unique sous-groupe abélien élémentaire décomposant l’ensemble Nn en les
mêmes orbites que H et vérifiant les conditions de l’énoncé (b).
(2.2)
Proposition. Soit P ∈ Ap (Sn ) un p-sous-groupe relativement transitif tel que Supp(P ) = Nn .
L’action du groupe P sur l’ensemble Nn est alors régulière et les deux assertions suivantes sont vérifiées :
(a) Si r ≥ 1 désigne le rang de P , alors n = pr et toute permutation non triviale σ ∈ P est un produit
de pr−1 p-cycles deux à deux disjoints.
(b) Le p-sous-groupe P est un élément maximal de l’ensemble ordonné Ap (Sn ) .
10
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Preuve.
(a) Soit σ ∈ P une permutation non triviale. On a
¡
¢
¡
¢
P ⊆ CSn (σ) ⊆ Perm Supp(σ) × Perm Fix(σ) ,
où CSn (σ) désigne le centralisateur de σ dans Sn . Puisque σ est non triviale, Supp(σ) 6= ∅ . De
plus, Fix(σ) = ∅ , car dans le cas contraire, l’action de P sur Nn admettrait au moins deux orbites,
ce qui contredit l’hypothèse. En particulier, on en déduit que si i ∈ Nn , le stabilisateur de i dans P
est trivial. Ainsi, l’action du groupe P sur l’ensemble Nn est régulière et donc l’orbite P · i = Nn est
en bijection avec P . Par conséquent, n = |P | = pr , où r ≥ 1 désigne le rang du p-groupe P , et σ
est un produit de pr−1 p-cycles deux à deux disjoints.
(b) Soit Q ∈ Ap (Sn ) tel que P ≤ Q . Alors le p-sous-groupe Q est aussi relativement transitif. Donc, par
ce qui précède, Q est aussi de rang r et ainsi Q = P .
(2.3)
Exemples.
(a) Si n < p2 , les éléments maximaux de Ap (Sn ) sont tous de la forme
H = hσ0 , σ1 , . . . , σk i ,
où les σi ( i = 0, . . . , k ) sont des p-cycles deux à deux disjoints.
¯
©
ª
(b) Soient n ≥ p2 , aij ¯ 1 ≤ i, j ≤ p ⊂ Nn une partie de cardinal p2 et les permutations
σ = (a11 a12 . . . a1p )(a21 a22 . . . a2p )(a31 a32 . . . a3p ) . . . (ap1 ap2 . . . app ) ,
σ̃ = (a11 a21 . . . ap1 )(a12 a22 . . . ap2 )(a13 a23 . . . ap3 ) . . . (a1p a2p . . . app ) .
On vérifie alors sans peine que le p-sous-groupe h σ , σ̃ i ∈ Ap (Sn ) est relativement transitif de rang 2 .
(c) Soient p = 3 , n ≥ 27 et les permutations
σ = (1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)(10 11 12)(13 14 15)(16 17 18)(19 20 21)(22 23 24)(25 26 27) ,
σ̃ = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)(10 13 16)(11 14 17)(12 15 18)(19 22 25)(20 23 26)(21 24 27) ,
˜ = (1 10 19)(2 11 20)(3 12 21)(4 13 22)(5 14 23)(6 15 24)(7 16 25)(8 17 26)(9 18 27) .
σ̃
˜ ∈ A3 (Sn ) est relativement transitif de
Il est alors facile à vérifier que le p-sous-groupe hσ , σ̃ , σ̃i
rang 3 .
Nous allons, à présent, montrer que tous les p-sous-groupes de Sn abéliens élémentaires relativement
transitifs de même rang r sont conjugués, puis nous calculerons le centralisateur et le normalisateur d’un
tel sous-groupe. Ces résultats, dans le cas où r = 2 , nous seront utiles par la suite.
(2.4)
Lemme. Si ϕ , ψ : G → Perm(X) sont deux actions régulières d’un groupe G sur un en-
semble X , alors les sous-groupes ϕ(G) et ψ(G) de Perm(X) sont conjugués.
Preuve. Notons, pour tout g ∈ G et x ∈ X ,
¡
¢
g · x = ϕ(g) (x)
et
¡
¢
g ∗ x = ψ(g) (x) .
Fixons un élément x0 ∈ X . Puisque ces actions sont régulières, les applications
fϕ : G → X
g 7→ fϕ (g) = g · x0
et
fψ : G → X
g 7→ fψ (g) = g ∗ x0
§ 2 . Le complexe de Quillen du groupe symétrique
11
sont des bijections et, par suite, l’application composée σ = fψ ◦ fϕ−1 est une permutation de X . Les
sous-groupes ϕ(G) et ψ(G) de Perm(X ) sont conjugués par cette permutation σ ∈ Perm(X) . En effet,
si ϕ(g) ∈ ϕ(G) et x ∈ X , alors on peut écrire x = h ∗ x0 pour un certain h ∈ G , et on a
¡
¢
¡
¢
¡
¢
σ ϕ(g) σ −1 (h ∗ x0 ) = fψ ◦ fϕ −1 ◦ ϕ(g) ◦ fϕ ◦ fψ −1 (h ∗ x0 ) = fψ ◦ fϕ −1 ◦ ϕ(g) ◦ fϕ (h)
¡
¢
= fψ ◦ fϕ −1 ◦ ϕ(g) (h · x0 ) = ( fψ ◦ fϕ −1 )(gh · x0 )
¡
¢
= fψ (gh) = gh ∗ x0 = ψ(g) (h ∗ x0 ) .
(2.5)
Lemme. Soit n ≥ pr . Les p-sous-groupes de Sn abéliens élémentaires relativement transitifs
de rang r sont tous conjugués.
Preuve. Soient P, Q ∈ Ap (Sn ) deux sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de
rang r . Par la proposition 2.2, on sait que les ensembles Supp(P ) et Supp(Q) sont de cardinal pr . Ainsi,
quitte à conjuguer P , respectivement Q , par une permutation qui envoie l’ensemble Supp(P ) , respectivement Supp(Q) , sur l’ensemble Npr , on peut supposer que Supp(P ) = Supp(Q) = Npr . Puisque P et Q
sont tous deux abéliens élémentaires de rang r , il existe deux isomorphismes de groupes
ϕ : Cpr 7−→ P < Perm( Npr )
et
ψ : Cpr 7−→ Q < Perm( Npr ) .
Bien entendu, on peut voir ces homomorphismes ϕ et ψ comme deux actions régulières du groupe Cpr sur
l’ensemble X = Npr . Par la proposition 2.2, ces actions sont en effet régulières, puisque P et Q sont
relativement transitifs. Par conséquent, en vertu du lemme 2.4, les sous-groupes ϕ(Cpr ) = P et ψ(Cpr ) = Q
de Perm( Npr ) sont conjugués. A fortiori, ils sont donc aussi conjugués dans Sn .
(2.6)
Lemme. Soient n ≥ pr et P ∈ Ap (Sn ) un sous-groupe abélien élémentaire relativement
transitif de rang r . Le centralisateur de P dans Sn est alors donné par
CSn (P ) = P × Sn−pr ,
où Sn−pr désigne le sous-groupe de Sn formé des permutations de support disjoint du support de P .
Preuve. Il est clair que CSn (P ) = CSpr (P ) × Sn−pr . Par suite, il nous suffit de montrer que
CSpr (P ) = P . En outre, puisque P est abélien, l’inclusion P ⊆ CSpr (P ) est évidente, et donc il ne nous
reste plus qu’à vérifier l’autre inclusion. Notons X = Supp(P ) et soit x0 ∈ X . Puisque le sous-groupe
abélien élémentaire P est relativement transitif et en vertu de la proposition 2.2, l’action du groupe P sur
l’ensemble X est régulière. Autrement dit, l’application
f : P −→ X
définie par
σ 7−→ σ(x0 )
est une bijection. Soit τ ∈ CSpr (P ) . Il existe une permutation η ∈ P telle que τ (x0 ) = η(x0 ) . Quel que
soit σ(x0 ) ∈ X , on peut alors écrire
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
τ σ(x0 ) = σ τ (x0 ) = σ η(x0 ) = η σ(x0 ) .
Par conséquent, τ = η ∈ P et donc CSpr (P ) = P .
12
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
(2.7)
Lemme. Soient n ≥ pr et P ∈ Ap (Sn ) un sous-groupe abélien élémentaire relativement
transitif de rang r . Le normalisateur de P dans Sn est alors donné par
NSn (P ) ∼
= CSn (P ) o GLr (Fp ) ,
où le groupe GLr (Fp ) agit de manière naturelle sur le groupe CSn (P ) .
Preuve. Par souci de clarté, nous noterons σ · η la composée de deux permutations σ , η ∈ Sn . Sans
restriction de la généralité, on peut supposer que Supp(P ) = Nn . Le sous-groupe abélien élémentaire P
est relativement transitif et donc, si x0 désigne un élément fixé dans Nn , l’application
f : P −→ Nn
définie par
σ 7−→ σ(x0 )
est une bijection. Autrement dit, tout élément x ∈ Nn s’écrit x = σ(x0 ) pour une unique permutation
σ ∈ P . Considérons l’homomorphisme de groupes
f : NSn (P ) −→ Aut(P )
défini par
τ 7−→ f (τ ) ,
où f (τ ) désigne la conjugaison par τ dans P . Montrons que l’application
s : Aut(P ) −→ NSn (P )
définie par
θ 7−→ s(θ) = τθ ,
¢
τθ ¡
est une section de f , où τθ ∈ Sn est la permutation définie par σ(x0 ) 7−→
θ(σ) (x0 ) , quel que soit
σ(x0 ) ∈ Nn . Tout d’abord, il est facile de vérifier que si θ ∈ Aut(P ) et σ ∈ P , alors
s(θ) · σ · s(θ)−1 = θ(σ) ∈ P .
¡
¢
Ainsi s Aut(P ) ⊂ NSn (P ) et l’application s est donc bien définie. En outre, cette application est un
homomorphisme de groupes, car si θ et θ 0 désignent deux automorphismes de P et σ(x0 ) ∈ Nn , alors
³ ¡
³¡
´
¡
¢¡
¢
¡
¢
¢´
¢
s(θ ◦ θ 0 ) σ(x0 ) = (θ ◦ θ 0 )(σ) (x0 ) = θ θ 0 (σ) (x0 ) = τθ θ 0 (σ) (x0 )
¡
¢¡
¢
¡
¢¡
¢
= τθ · τθ0 σ(x0 ) = s(θ) · s(θ 0 ) σ(x0 ) .
Finalement, si θ ∈ Aut(P ) , η ∈ P et σ(x0 ) ∈ Nn , alors
³¡
³ ¡
¢ ´¡
¢
¡
¢¡
¢
¢´
¢
¡
¢
(f ◦ s)(θ) (η) σ(x0 ) = τθ · η · τθ−1 σ(x0 ) = θ η · θ −1 (σ) (x0 ) = (θ(η) · σ (x0 ) = θ(η) σ(x0 ) ,
ce qui signifie que (f ◦ s)(θ) = θ , et donc s est bien une section de l’homomorphisme f .
Dès lors, on peut écrire
NSn (P ) ∼
= Ker(f ) o Aut(P ) .
Or il est clair que
Ker(f ) = CSn (P )
et
Aut(P ) ∼
= GLr (Fp ) .
Par conséquent, on a bien un isomorphisme
NSn (P ) ∼
= CSn (P ) o GLr (Fp ) .
Pour terminer ce paragraphe, nous allons exclusivement nous intéresser au type d’homotopie du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) . En général, celui-ci paraı̂t difficile à déterminer. Dans les deux lemmes suivants,
nous allons voir que la dimension et la connexité de Ap (Sn ) ne font néanmoins pas de mystère.
§ 2 . Le complexe de Quillen du groupe symétrique
(2.8)
13
Proposition. Si n = dp + r avec 0 ≤ r < p , alors
¡
¢
dim Ap (Sn ) = d − 1 .
Preuve.
Soit H ∈ Ap (Sn ) . Par la proposition 2.1, H est un sous-groupe d’un groupe abélien
élémentaire P = P1 × P2 × . . . × Pl , où les Pi ∈ Ap (Sn ) ( i = 1, 2, . . . , l ) sont des p-sous-groupes
relativement transitifs de supports deux à deux disjoints. Or en vertu de la proposition 2.2, on peut noter,
pour tout i = 1, 2, . . . , l ,
¡
¢
] Supp(Pi ) = pri .
Dès lors, on a
l
X
i=1
pr i ≤ n
et
rang(H) ≤ rang(P ) =
et on en déduit qu’un élément de Ap (Sn ) de la forme
l
X
ri
avec
i=1
l≤d,
H = hσ1 , σ2 , . . . , σl i ,
où les σi ( i = 1, . . . , l ) sont des p-cycles deux à deux disjoints, est de rang maximal. Par conséquent,
¡
¢
dim Ap (Sn ) = d − 1 .
(2.9)
Proposition. L’ensemble ordonné Ap (Sn ) est connexe si n > 2p .
Preuve. Soit n > 2p . Montrons tout d’abord que les sous-groupes cycliques engendrés par un p-cycle
sont dans une même composante connexe. Soient deux p-cycles σ, τ ∈ Sn et raisonnons par récurrence sur
¡
¢
l’entier ] Supp(σ) ∩ Supp(τ) ∈ {0, 1, 2, . . . , p} .
¡
¢
Si ] Supp(σ) ∩ Supp(τ ) = 0 , le groupe hσ , τ i ∈ Ap (Sn ) et on peut écrire
hσi < hσ , τ i > hτ i .
Autrement dit, les groupes hσi et hτ i sont dans la même composante connexe.
¡
¢
Supposons à présent ] Supp(σ)∩Supp(τ ) = u ≥ 1 et le résultat vérifié pour tout entier < u . Puisque
n > 2p , il existe a ∈ Nn tel que a 6∈ Supp(σ) et a 6∈ Supp(τ ) . Il existe aussi b ∈ Supp(σ) ∩ Supp(τ ) ⊂ Nn .
Considérons alors le p-cycles τ 0 = (a b)τ (a b) . Il est évident que
¡
¢
] Supp(σ) ∩ Supp(τ 0 ) = u − 1 ,
et donc par hypothèse de récurrence, on déduit que les groupes hσi et hτ 0 i sont dans la même composante
¡
¢
connexe. En outre, on sait aussi que ] Supp(τ) ∩ Supp(τ 0 ) = p − 1 . Ainsi, puisque n > 2p , il existe un
p-cycle µ ∈ Sn disjoint des p-cycles τ et τ 0 . On a alors
hτ i < hτ , µi > hµi < hµ , τ 0 i > hτ 0 i ,
et par suite les groupes hτ i et hτ 0 i sont dans la même composante connexe. Dès lors, les groupes cycliques
hσi et hτ i sont eux aussi dans la même composante connexe.
Pour terminer, il reste à voir que tout élément de Ap (Sn ) est dans la même composante connexe qu’un
groupe cyclique engendré par un p-cycle. Soient donc H ∈ Ap (Sn ) et σ ∈ H . La permutation σ est un
produit de p-cycles disjoints deux à deux. Notons σ = σ0 σ1 . . . σr . Ainsi, on a
H ≥ hσi ≤ hσ0 , σ1 , . . . , σr i ≥ hσ0i .
Par conséquent, le groupe abélien élémentaire H est dans la même composante connexe que le groupe
cyclique engendré par le p-cycle σ0 .
14
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement au type d’homotopie de Ap (Sn ) , lorsque
celui-ci est de toute petite dimension.
(2.10)
Exemple. Quillen a montré dans [QU , exemple 2.7 ] que si p impair, alors :
(a) si n < p , Ap (Sn ) est vide.
n!
éléments.
p(p − 1)(n − p)!
(2p)!
(c) si n = 2p , ∆Ap (S2p ) est un graphe non connexe formé de
composantes, dont chacune a le
2(p!)2
type d’homotopie d’un bouquet de ((p − 2)! − 1)2 cercles.
(b) si p ≤ n < 2p , Ap (Sn ) est un ensemble discret à
A cet exemple, on peut ajouter que si p 6= 2 et 2p < n < 3p , alors ∆Ap (Sn ) est un graphe connexe.
¡
¢
L’ensemble ordonné Ap (Sn ) a donc le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃ Ap (Sn ) cercles.
Dans le cas où p = 2 , nous sommes en mesure de donner le type d’homotopie de A2 (Sn ) , pour tout
entier n ≤ 6 . Pour ce faire, il nous faut juste rappeler le lemme qui suit.
(2.11)
Lemme. Soient G un groupe fini et H ≤ G . L’inclusion
i : Ap (H) ,→
est une équivalence d’homotopie.
Preuve. Si Q ∈
©
©
¯
ª
Q ∈ Ap (G) ¯ Q ∩ H 6= 1
¯
ª
Q ∈ Ap (G) ¯ Q∩H 6= 1 , il est alors immédiat que Q∩H ∈ Ap (H) . Considérons
donc l’application croissante
f:
©
¯
ª
Q ∈ Ap (G) ¯ Q ∩ H 6= 1 → Ap (H) ,
définie par
f (Q) = Q ∩ H .
On vérifie très facilement que
©
¯
ª
Q ∈ Ap (G) ¯ Q ∩ H 6= 1
(i ◦ f ) (Q) ≤ Q ,
quel que soit Q ∈
(f ◦ i) (Q) = Q ,
quel que soit Q ∈ Ap (H) .
et
Par conséquent, en vertu de la propriété d’homotopie ( Lemme 1.2 ), l’inclusion i est une équivalence
d’homotopie.
(2.12)
Exemple.
(a) L’ensemble A2 (S1 ) est vide. L’ensemble A2 (S2 ) est réduit à un point. L’ensemble A2 (S3 ) est un
ensemble discret à trois éléments.
(b) On montre facilement que A2 (S4 ) est contractile. Plus précisément, A2 (S4 ) se contracte sur le sous
®
groupe abélien élémentaire (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , qui est en fait le seul 2-sous-groupe de rang 2
relativement transitif dans A2 (S4 ) .
¡
¢
(c) Le complexe ∆A2 (S5 ) est un graphe connexe. On calcule, sans trop de peine, que χ̃ A2 (S5) = −16 .
Par suite, A2 (S5) a le type d’homotopie d’un bouquet de 16 cercles.
(d) L’ensemble ordonné A2 (S6 ) a le même type d’homotopie que A2 (S5 ) . Pour le prouver, on considère
l’inclusion
i:
On vérifie alors,
hh
à la main
ii
©
¯
ª
Q ∈ A2 (S6 ) ¯ Q ∩ S5 6= 1 ,→ A2 (S6 ) .
, que chacune des fibres i≥H est contractile, quel que soit H ∈ A2 (S6 ) .
Ainsi, en vertu du théorème 1.3 et du lemme 2.11, on obtient
A2 (S5 ) '
©
¯
ª
Q ∈ A2(S6 ) ¯ Q ∩ S5 6= 1 ' A2 (S6 ) .
§3 . Le complexe des p-cycles
15
Ce phénomène est exceptionnel. En effet, on peut vérifier, comme ci-dessus, que l’inclusion
j:
©
¯
ª
Q ∈ A3 (S6 ) ¯ Q ∩ S5 6= 1 ,→ A3 (S6 )
est aussi une équivalence d’homotopie, mais les couples (2, 6) et (3, 6) sont probablement les seuls
couples (p, n) avec n ≥ p , pour lesquels l’inclusion
Ap (Sn−1 ) '
est une équivalence d’homotopie.
§3
©
¯
ª
Q ∈ Ap (Sn ) ¯ Q ∩ Sn−1 6= 1 ,→ Ap (Sn )
LE COMPLEXE DES p-CYCLES
Pour un nombre premier p et un entier n ≥ 1 , on définit l’ensemble ordonné Tp (n) comme le sous-ensemble
de Ap (Sn ) formé des p-sous-groupes abéliens élémentaires du groupe symétrique Sn qui sont engendrés
par des p-cycles. Autrement dit,
Tp (n) =
©
¯
ª
hσ0 , σ1 , . . . , σk i ∈ Ap (Sn ) ¯ σ0 , σ1 , . . . , σk ∈ Sn sont des p-cycles deux à deux disjoints .
Le complexe simplicial, associé à Tp (n) est appelé le complexe des p-cycles de Sn . De manière plus générale,
si E désigne un ensemble fini quelconque, on pose
Tp (E) =
©
¡
¢ ¯
ª
hσ0 , σ1 , . . . , σk i ∈ Ap Perm(E) ¯ σ0 , σ1 , . . . , σk ∈ Perm(E) sont des p-cycles disjoints .
Il est évident que si n désigne le cardinal de E , alors les ensembles ordonnés Tp (n) et Tp (E) sont
isomorphes.
Si H ∈ Tp (n) est de rang k , alors il est clair que l’ensemble ] . , H [Tp (n) s’identifie à l’ensemble ordonné
par inclusion des parties propres et non vides d’un ensemble de cardinal k . Cette propriété de Tp (n) permet
de formuler la remarque qui suit.
(3.1)
Remarque. Soit CT p (n) le complexe simplicial, dont les sommets sont les p-sous-groupes
cycliques de Sn engendrés par un p-cycle, et les k-simplexes sont les ensembles formés de k + 1 sommets
de supports deux à deux disjoints. Il est immédiat que l’application
CT p (n) −→ Tp (n)
©
ª
hσ0i , hσ1 i , . . . , hσk i 7−→ hσ0 , σ1 , . . . , σk i .
est une bijection. Autrement dit, à chaque simplexe de CT p (n) correspond, de manière naturelle, un sommet
de Tp (n) . Par conséquent, le complexe ∆Tp (n) des p-cycles de Sn s’identifie à la subdivision barycentrique
du complexe simplicial CT p (n) . Ainsi, tant que des invariants homotopiques sont concernés, on peut
remplacer ∆Tp (n) par le complexe plus petit CT p (n) . En général, il est agréable de travailler avec un
complexe simplicial provenant d’un ensemble ordonné, mais, en certaines circonstances, le complexe CT p (n)
nous sera bien utile. En outre, cette équivalence d’homotopie justifie la dénomination donnée au complexe
Tp (n) . De manière évidente, on peut généraliser la définition de CT p (n) à celle de CT p (E) , où E désigne
un ensemble quelconque.
16
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Dorénavant, si H = hσ0 , σ1 , . . . , σk i ∈ Tp (n) , alors il est sous-entendu que les σi ( i = 0, 1, . . . , k )
sont des p-cycles deux à deux disjoints. En particulier,
hσi i 6= hσj i
si i 6= j .
En effectuant la division de n par p avec reste, on obtient n = dp + r , où d ≥ 0 et 0 ≤ r < p . Il est
alors évident que l’ensemble ordonné Tp (n) est de dimension d − 1 . Ainsi, ∆Tp (n) est un sous-complexe
simplicial de même dimension que ∆Ap (Sn ) . Intuitivement, il est clair que Tp (n) est un ensemble ordonné
plus régulier que Ap (Sn ) . Par exemple, Tp (n) est un ensemble pur , c’est-à-dire que toute les chaı̂nes
maximales dans Tp (n) sont de même longueur, ce qui n’est bien sûr pas le cas dans Ap (Sn ) . Le lien
topologique entre Tp (n) et Ap (Sn ) est précisé par le lemme suivant.
(3.2)
Lemme. Soient TAp (n) et TAp (n)0 les deux sous-ensembles ordonnés de Ap (Sn ) définis par
¯
ª
H ∈ Ap (Sn ) ¯ les orbites de H sont toutes de cardinal p
¯
©
ª
TAp (n)0 = H ∈ Ap (Sn ) ¯ H contient un p-cycle .
TAp (n) =
©
et
Les inclusions de Tp (n) dans TAp (n) et TAp (n)0 sont toutes deux des équivalences d’homotopie.
Preuve. Notons i l’inclusion de Tp (n) dans T Ap (n) . Si H ∈ T Ap (n) , alors, en vertu des proposi-
tions 2.1 et 2.2, le groupe H est contenu dans un unique groupe abélien élémentaire
f (H) = hσ0 , σ1 , . . . , σk i ∈ Tp (n)
décomposant l’ensemble Nn en les mêmes orbites que H et tel que les σi ( i = 0, . . . , k ) sont des p-cycles
deux à deux disjoints. L’application f ainsi définie est une application croissante de T Ap (n) dans Tp (n) .
En outre, il est tout à fait clair que
(i ◦ f ) (H) ≥ H ,
quel que soit H ∈ T Ap (n)
(f ◦ i) (H) = H ,
quel que soit H ∈ Tp (n) .
et
Donc, par la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.
Soit j l’inclusion de Tp (n) dans T Ap (n)0 . Si H ∈ T Ap (n)0 , on note g(H) le sous-groupe de H
engendré par les p-cycles appartenant à H . Puisque H ∈ T Ap (n)0 , g(H) est non trivial et, par suite,
g(H) ∈ Tp (n) . L’application g ainsi définie est une application croissante de T Ap (n)0 dans Tp (n) . De
plus, il est tout à fait clair que
(j ◦ g) (H) ≤ H ,
quel que soit H ∈ T Ap (n)0
(g ◦ j) (H) = H ,
quel que soit H ∈ Tp (n) .
et
En définitive, par la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion j est une équivalence d’homotopie.
(3.3)
Corollaire. Si n < p2 , l’inclusion de Tp (n) dans Ap (Sn ) est une équivalence d’homotopie.
Preuve. On sait, par l’exemple 2.3, que Ap (Sn ) = TAp (n) si n < p2 . On en déduit donc, par le
lemme précédent, que Ap (Sn ) ' Tp (n) si n < p2 .
Du corollaire 3.3 et de la proposition 2.9, on tire que l’ensemble Tp (n) est connexe si 2p < n < p2 . En
fait, on peut faire beaucoup mieux de manière plus directe.
§3 . Le complexe des p-cycles
(3.4)
17
Proposition. L’ensemble ordonné Tp (n) est connexe si n > 2p .
Preuve. Tout élément de Tp (n) contient un atome, c’est-à-dire un groupe cyclique d’ordre p engendré
par un p-cycle. Or, par le début de la preuve de la proposition 2.9, on sait que deux atomes de Tp (n) sont
toujours dans une même composante connexe si n > 2p . Par conséquent, si n > 2p , tous les sommets
de ∆Tp (n) sont dans la même composante connexe et donc ∆Tp (n) est connexe.
Dans la proposition qui suit, nous allons voir que la caractéristique d’Euler réduite de Tp (n) est facile
à déterminer.
(3.5)
Proposition. Si n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p , alors
d
X
¡
¢
χ̃ Tp (n) = −1 +
(−1)i+1
i=1
n!
.
(n − ip)! · i! · pi · (p − 1)i
Preuve. Notons, le temps de cette preuve, P = Tp (n) . En reprenant les notations du livre de Stanley
[ST , chapitre 3 ], on a
χ̃(P ) = µP̂ (0̂, 1̂) = −
X
µP̂ (0̂, x) ,
0̂≤x<1̂
où µP̂ (0̂, x) = χ̃( ] 0̂ , x [ ) désigne la fonction de Möbius de l’ensemble ordonné P̂ = P ∪ { 0̂ , 1̂ } . Or,
si x ∈ P est de rang i et Bi désigne l’ensemble ordonné par inclusion des parties propres non vides d’un
ensemble de cardinal i , alors
µP̂ (0̂, x) = χ̃( ] 0̂ , x [ ) = χ̃(Bi ) = (−1)i .
De plus, quel que soit 1 ≤ i ≤ d , on peut calculer qu’il y a
dans P . On a donc
χ̃(P ) = −µP̂ (0̂, 0̂) −
d
X
i=1
n!
éléments de rang i
(n − ip)! · i! · pi · (p − 1)i
(−1)i · ]{ éléments de rang i } = −1 +
d
X
(−1)i+1
i=1
n!
.
(n − ip)! · i! · pi · (p − 1)i
Dans son article [BO4], Bouc calcule la série génératrice des caractéristiques d’Euler réduites des en¡
¢
sembles ordonnés Ap (Sn ) . A la fin de son article, il donne explicitement les valeurs de χ̃ Ap (Sn ) pour
n ≤ 14 et p ≤ 7 . Le corollaire qui suit permet de calculer d’une autre manière la caractéristique d’Euler
¡
¢
réduite χ̃ Ap (Sn ) lorsque n < p2 .
(3.6)
Corollaire. Si n = dp + r avec d ≥ 1 , 0 ≤ r < p et n < p2 , alors
d
X
¡
¢
χ̃ Ap (Sn ) = −1 +
(−1)i+1
i=1
n!
.
(n − ip)! · i! · pi · (p − 1)i
Preuve. Ce résultat est une conséquence évidente du corollaire 3.3 et de la proposition 3.5.
¡
¢
Au chapitre 4 , il est possible de consulter le tableau 14.1 donnant les valeurs de χ̃ Tp (n) pour
n ≤ 27 et p ≤ 7 , calculées à l’aide du programme PARI CALCULATOR.
18
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
(3.7)
Exemple. A ce stade, on peut déjà déterminer le type d’homotopie de l’ensemble ordonné Tp (n)
lorsque n < 3p . En outre, si p 6= 2 , le type d’homotopie de Tp (n) coı̈ncide avec celui de Ap (Sn ) dans
chacun des cas suivants, en vertu du corollaire 3.3 .
(a) Si n < p , Tp (n) est vide.
(b) Si p ≤ n < 2p , Tp (n) est un ensemble discret à
n!
éléments.
p(p − 1)(n − p)!
(c) Si n = 2p , on montre facilement que ∆Tp (2p) est un graphe non connexe formé de
(2p)!
2(p!)2
compo-
santes, dont chacune a le type d’homotopie d’un bouquet de ((p − 2)! − 1)2 cercles.
(d) Si 2p < n < 3p , ∆Tp (n) est un graphe connexe. Il a donc le type d’homotopie d’un bouquet de
¡
¢
−χ̃ Tp (n) cercles.
Nous allons, à présent, établir l’existence d’une suite exacte longue reliant les groupes d’homologie de
Tp (n) , Tp (n − 1) et Tp (n − p) . Pour ce faire, on définit le sous-ensemble ordonné Tf
p (n − 1) de Tp (n)
suivant :
¯
©
ª
¯ n ∈ Supp(σ) .
Tf
p (n − 1) = Tp (n) \ hσi ∈ Tp (n)
Lemme. L’inclusion i : Tp (n − 1) ,→ Tf
p (n − 1) est une équivalence d’homotopie.
(3.8)
Preuve. Soit H = hσ0 , σ1 , . . . , σk i ∈ Tf
p (n − 1) . Si H ∈ Tp (n − 1) , alors on pose f (H) = H . Si
H 6∈ Tp (n − 1) , on peut supposer que n ∈ Supp(σ0 ) , et on pose alors
f (H) = hσ1 , σ2 , . . . , σk i ∈ Tp (n − 1) .
L’application f ainsi définie est une application croissante de Tf
p (n − 1) dans Tp (n − 1) . En outre, il est
tout à fait clair que
(i ◦ f ) (H) ≤ H ,
(f ◦ i) (H) = H ,
quel que soit H ∈ Tf
p (n − 1)
et
quel que soit H ∈ Tp (n − 1) .
Donc, par la propriété d’homotopie (Lemme 1.2 ), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.
Avant d’énoncer la suite exacte longue annoncée, il est bon de rappeler le théorème de Mayer-Vietoris
( [ROT , corollaire 7.17 ] ).
(3.9)
Théorème (Mayer-Vietoris). Si C 1 et C 2 sont des sous-complexes d’un complexe simplicial C
tel que C = C 1 ∪ C 2 , alors il existe une suite exacte
¡ ¢
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
¡
¢
. . . → Hk+1 C → Hk C 1 ∩ C 2 → Hk C 1 ⊕ Hk C 2 → Hk C → Hk−1 C 1 ∩ C 2 → . . . .
(3.10)
Proposition. Soient n > 3p et t =
suivante :
(n − 1)!
. On a la suite exacte de groupes abéliens
(p − 1)(n − p)!
t
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
. . . → Hk+1 Tp (n) →
Hk Tp (n − p) → Hk Tp (n − 1) → Hk Tp (n) → . . .
t
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
. . . → H2 Tp (n) →
H1 Tp (n − p) → H1 Tp (n − 1) → H1 Tp (n) → 0 .
Preuve. Soient l’ensemble ordonné
T =
©
¯
ª
H ∈ Tp (n) ¯ n ∈ Supp(H) ,
§3 . Le complexe des p-cycles
19
et s = H0 < H1 < . . . < Hk une chaı̂ne dans Tp (n) . Si n ∈ Supp(H0) , alors la chaı̂ne s est une chaı̂ne
de T . A l’opposé, si n ∈
/ Supp(H0) , alors la chaı̂ne s est une chaı̂ne de Tf
p (n − 1) . Autrement dit, le
complexe simplicial ∆Tp (n) est la réunion des complexes ∆T
et ∆Tf
p (n − 1) . On veut alors appliquer le
théorème de Mayer-Vietoris à cette décomposition. Dans ce but, nous allons déterminer le type d’homotopie
du complexe ∆T et de l’intersection ∆T ∩ ∆Tf
p (n − 1) .
Soient H1 = hσ0 , σ1 , . . . , σr i , H2 = hτ0 , τ1 , . . . , τs i ∈ T . Sans restriction de la généralité, on
peut supposer que n ∈ Supp(σ0 ) et n ∈ Supp(τ0 ) . Si hσ0 i = hτ0 i , alors H1 et H2 sont dans une même
composante connexe de T . A l’opposé, si hσ0 i 6= hτ0i , alors H1 et H2 sont dans deux composantes
connexes disjointes de T . De plus, les composantes connexes de T
sont toutes contractiles, puisqu’elles
sont chacunes minorées par un p-groupe hσi ∈ Tp (n) tel que n ∈ Supp(σ) . En résumé, le complexe
simplicial ∆T
est formé de t composantes connexes contractiles, où t compte le nombre d’atomes de T .
En particulier, on en déduit que
¡ ¢
H0 T
= Zt
et
(n − 1)!
.
(p − 1)(n − p)!
Par ailleurs, il est clair que
¡ ¢
Hk T
= 0 , quel que soit k ≥ 1 ,
et on calcule que t =
∆T
³
∩ ∆Tf
p (n − 1) = ∆ T
T
∩ Tf
p (n − 1) =
∩ Tf
p (n − 1)
G ¤
hσi∈T
hσi , .
£
´
Tp (n)
et
.
Pour hσi ∈ T , on pose Supp(σ) = Nn \ Supp(σ) et on définit
¡
¢
¤
£
g : Tp Supp(σ) → hσi , . T
p (n)
,
H 7→ h H , σ i .
Il est immédiat que g est un isomorphisme d’ensembles ordonnés. Dès lors, l’intersection T ∩ Tf
p (n − 1) a
le type d’homotopie d’une réunion disjointe de t copies de Tp (n − p) et donc, pour tout k ≥ 0 , on a
t
M
¡
¢
¡
¢
Hk T ∩ Tf
=
Hk Tp (n − p) .
p (n − 1)
En appliquant le théorème de Mayer-Vietoris ainsi que le lemme 3.8, on obtient alors la suite exacte
t
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
. . . → Hk+1 Tp (n) →
Hk Tp (n − p) → Hk Tp (n − 1) → Hk Tp (n) → . . .
t
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡ ¢
¡
¢
. . . → H1 Tp (n) →
H0 Tp (n − p) → H0 Tp (n − 1) ⊕ H0 T
→ H0 Tp (n) → 0 .
Puisque n > 3p , les complexes Tp (n) , Tp (n − 1) et Tp (n − p) sont connexes et l’extrémité droite de la suite
exacte ci-dessus devient
¡
¢
. . . → H1 Tp (n) → Zt → Zt+1 → Z → 0 .
En simplifiant, on obtient finalement la suite exacte de l’énoncé.
La décomposition ∆Tp (n) = ∆T ∪ ∆Tf
p (n − 1) , décrite dans la démonstration ci-dessus, permet aussi
¡
¢
de donner une formule récurrente pour la caractéristique d’Euler réduite χ
e Tp (n) . Pour cela, nous avons
juste besoin du petit lemme qui suit.
20
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
(3.11)
Lemme. Si C 1 et C 2 sont des sous-complexes d’un complexe C tel que C = C 1 ∪ C 2 , alors
¡ ¢
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
χ
e C + χ
e C1 ∩C2 = χ
e C1 + χ
e C2 .
Preuve. Soit d la dimension de C . On a, par Mayer-Vietoris (théorème 3.9), la suite exacte suivante :
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
¡
¢
0 → Hd C 1 ∩ C 2 → Hd C 1 ⊕ Hd C 2 → Hd C → Hd−1 C 1 ∩ C 2 → . . . .
On en tire que
d
X
i=0
=
d
X
i=0
d
³ ¡
³ ¡ ¢´
X
¢´
(−1)i · rang libre Hi C 1 ∩ C 2
+
(−1)i · ranglibre Hi C
i=0
³
¡
(−1)i · rang libre Hi C 1
¢´
d
X
+
i=0
³ ¡ ¢´
(−1)i · ranglibre Hi C 2 .
Ainsi, par la propriété 1.1, cette égalité devient
¡ ¢
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
χ C + χ C1∩C2 = χ C1 + χ C2 ,
ou encore
¡ ¢
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
χ
e C + χ
e C1 ∩C2 = χ
e C1 + χ
e C2 .
(3.12)
Corollaire. Pour n ≥ p , on a
¡
¢
¡
¢
χ
e Tp (n) = χ
e Tp (n − 1) −
¡
¢
(n − 1)!
·χ
e Tp (n − p) .
(p − 1)(n − p)!
Preuve. En appliquant le lemme 3.11 à la décomposition
∆Tp (n) = ∆T
∪ ∆Tf
p (n − 1) ,
décrite dans la démonstration de la proposition 3.10 , on obtient l’égalité
où t =
§4
¡
¢
¡
¢
¡
¢
χ
e Tp (n) + t · χ Tp (n − p) − 1 = χ
e Tp (n − 1) + t − 1 ,
(n − 1)!
. Par conséquent
(p − 1)(n − p)!
¡
¢
¡
¢
¡
¢
χ
e Tp (n) + t · χ
e Tp (n − p) = χ
e Tp (n − 1) .
LE COMPLEXE DES p-PARTITIONS
Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 1 . Une p-partition de Nn est une partition non triviale
de Nn , dont toutes les parties sont de cardinal 1 ou p . Autrement dit, une p-partition est une famille non
vide de parties de Nn de cardinal p deux à deux disjointes. Si ε est une p-partition et ε0 , ε1 , . . . , εk ⊆ Nn
sont les parties de cardinal p de ε , on note ε = { ε0 , ε1 , . . . , εk } et on définit le support de ε :
Supp(ε) =
k
[
i=0
εi .
§ 4 . Le complexe des p-partitions
21
On note Dp (n) l’ensemble des p-partitions de Nn , que l’on munit de l’ordre suivant :
ε = { ε0 , ε1 , . . . , εk } ≤ ζ = { ζ0 , ζ1 , . . . , ζl }
⇔
{ ε0 , ε1 , . . . , εk } ⊆ { ζ0 , ζ1 , . . . , ζl } .
Le complexe simplicial associé à Dp (n) est appelé le complexe des p-partitions de Nn . Par souci de clarté,
on distinguera une partie ε0 ⊆ Nn de cardinal p , de l’atome ε = { ε0 } ∈ Dp (n) . De manière plus générale,
si E désigne un ensemble fini quelconque, une p-partition de E est une partition non triviale de E , dont
toutes les parties sont de cardinal 1 ou p . On note Dp (E) l’ensemble ordonné des p-partitions de E . Il
est clair que si n désigne le cardinal de E , alors les ensembles ordonnés Dp (n) et Dp (E) sont isomorphes.
Si ε ∈ Dp (n) est de rang k , alors il est immédiat que l’ensemble ] . , ε [Dp (n) s’identifie à l’ensemble
ordonné par inclusion des parties propres, non vides d’un ensemble de cardinal k . Comme pour l’ensemble
ordonné Tp (n) ( confer remarque 3.1 ), cette propriété de Dp (n) permet de formuler la remarque suivante.
(4.1)
Remarque. Soit CD p (n) le complexe simplicial, dont les sommets sont les parties de Nn de
cardinal p , et les k-simplexes sont les ensembles de k + 1 sommets deux à deux disjoints. Autrement
dit, les simplexes de CD p (n) sont les sommets de ∆Dp (n) . Ainsi, le complexe ∆Dp (n) des p-partitions
de Nn est en fait la subdivision barycentrique du complexe simplicial CD p (n) . De manière évidente, on
peut généraliser la définition de CD p (n) à celle de CD p (E) , où E désigne un ensemble quelconque.
Les ensembles ordonnés Dp (n) et Tp (n) se ressemblent beaucoup. En effet, nous allons voir que tous
les résultats obtenus au paragraphe précédent pour Tp (n) ont leur équivalent pour Dp (n) . Les remarques
qui suivent mettent en évidence les liens qu’il y a entre ces deux ensembles Dp (n) et Tp (n) .
(4.2)
Remarques.
(a) En effectuant la division de n par p avec reste, on obtient n = dp + r où d ≥ 0 et 0 ≤ r < p . Il
est alors clair que, comme Tp (n) , l’ensemble Dp (n) est de dimension d − 1 .
(b) Le complexe des p-partitions, tout comme le complexe des p-cycles, est un complexe pur.
(c) Il existe une surjection naturelle croissante π de Tp (n) sur Dp (n) donnée par
π
¡
hσ0 , σ1 , . . . , σk i
¢
=
©
Supp(σ0 ) , Supp(σ1 ) , . . . , Supp(σk )
ª
∈ Dp (n) .
Si H ∈ Tp (n) , on appelle π(H) la p-partition associée au p-groupe H .
©
ª
(d) Pour ε = { i1 , i2 , . . . , ip } un atome de Dp (n) tel que i1 < i2 < . . . < ip , on définit le p-groupe

®
ρ(ε) = (i1 i2 . . . ip ) ∈ Tp (n) .
Plus généralement, si ε = { ε0 , ε1 , . . . , εk } ∈ Dp (n) , on pose

®
ρ(ε) = ρ(ε0 ) , ρ(ε1 ) , . . . , ρ(εk ) .
On vérifie facilement que l’application ρ : Dp (n) → Tp (n) ainsi définie est une application croissante
et injective. C’est en fait une section de la surjection π : Tp (n) → Dp (n) , décrite ci-dessus. Via ρ , on
peut donc voir ∆Dp (n) comme un sous-complexe de ∆Tp (n) . Notons que cette application ρ n’est
en général pas compatible avec l’action naturelle du groupe symétrique Sn sur les ensembles ordonnés
Dp (n) et Tp (n) .
(e) Si p = 2 ou p = 3 , alors, pour une partie ε0 ⊆ Nn de cardinal p donnée, il existe un unique
sous-groupe cyclique hσi ∈ Tp (n) de support ε0 . Par conséquent, quel que soit n ∈ N , on a
D2 (n) ∼
= T2 (n)
et
D3 (n) ∼
= T3 (n) .
22
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
(4.3)
Proposition. L’ensemble ordonné Dp (n) est connexe si n > 2p .
Preuve. Il suffit de reprendre la preuve de la proposition 3.4 et de remplacer les p-groupes considérés
par les p-partitions associées.
(4.4)
Proposition. Si n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p , alors
d
X
¡
¢
χ̃ Dp (n) = −1 +
(−1)i+1
i=1
n!
.
(n − ip)! · i! · (p!)i
¡
¢
¡
¢
Preuve. Le calcul de χ̃ Dp (n) est essentiellement le même que celui de χ̃ Tp (n) . Il suffit donc
de reprendre la preuve de la proposition 3.5 et de constater que le nombre d’éléments de Dp (n) de rang i
n!
vaut
, quel que soit 1 ≤ i ≤ d .
(n − ip)! · i! · (p!)i
¡
¢
Au chapitre 4 , il est possible de consulter le tableau 13.1 donnant les valeurs de χ̃ Dp (n) pour
n ≤ 27 et p ≤ 7 , calculées à l’aide du programme PARI CALCULATOR.
Le proposition suivante lie les groupes d’homologie des ensemble ordonnés Dp (n) et Tp (n) .
¡
¢
Proposition. Soient p un nombre premier et n un entier. Le groupe d’homologie Hk Dp (n)
¡
¢
est facteur direct du groupe Hk Tp (n) , quel que soit l’entier k ≥ 0 .
(4.5)
Preuve. La surjection naturelle π et sa section ρ définies aux remarques 4.2 s’étendent de manière
évidente en des homomorphismes de complexes de chaı̂nes
¡
¢
¡
¢
C∗ (π) : C∗ CT p (n) −→ C∗ CD p (n)
et
¡
¢
¡
¢
C∗ (ρ) : C∗ CD p (n) −→ C∗ CT p (n) .
Quel que soit l’entier k , ces homomorphismes induisent en homologie des homomorphismes de groupes
abéliens
¡
¢
¡
¢
Hk (π) : Hk CT p (n) −→ Hk CD p (n)
et
¡
¢
¡
¢
Hk (ρ) : Hk CD p (n) −→ Hk CT p (n)
¡
¢
tels que la composée Hk (π) ◦ Hk (ρ) est l’identité sur Hk CD p (n) . Dès lors, le groupe d’homologie
¡
¢
¡
¢
Hk CD p (n) est facteur direct du groupe Hk CT p (n) . Or on sait, en vertu des remarques 3.1 et 4.1,
que le complexe simplicial CD p (n) , respectivement CT p (n) , a le même type d’homotopie que l’ensemble
ordonné Dp (n) , respectivement Tp (n) . Par suite, la conclusion est immédiate.
Supposons, à présent, que l’entier n est un multiple de p , disons n = dp avec d ≥ 2 . On sait déjà que
les ensembles ordonnés Tp (dp) et Dp (dp) sont de dimension d − 1 . Si H ∈ Tp (dp) est de rang d − 1 , alors
il existe (p − 2)! éléments maximaux de Tp (dp) contenant H . Par contre, si ε ∈ Dp (dp) est de rang d − 1 ,
alors il existe un unique élément maximal de Dp (dp) qui contient ε . Cette propriété de Dp (dp) permet de
prouver le résultat qui suit.
(4.6)
Proposition. Soient p un nombre premier et d un entier ≥ 2 . Le complexe simplicial Dp (dp)
est de dimension d − 1 , mais il a le type d’homotopie d’un complexe de dimension d − 2 . En particulier,
¡
¢
¡
¢
le groupe d’homologie Hd−1 Dp (dp) est nul et le groupe Hd−2 Dp (dp) est abélien libre.
§ 4 . Le complexe des p-partitions
23
Preuve. Soit Dp0 (dp) l’ensemble Dp (dp) privé des éléments de rang d − 1 . L’ensemble ordonné
Dp0 (dp) est clairement de dimension d − 2 . On définit l’application croissante
f : Dp (dp) → Dp0 (dp) ,
par f(ε) = ε si rang(ε) 6= d−1 . Et si rang(ε) = d−1 , f(ε) désigne l’unique élément maximal de Dp (dp)
qui contient ε . Considérons encore l’inclusion
i : Dp0 (dp) ,→ Dp (dp) .
Les applications i et f sont croissantes. De plus, on vérifie facilement que
(i ◦ f) (ε) ≥ ε ,
quel que soit ε ∈ Dp (dp)
(f ◦ i) (ε) = ε ,
quel que soit ε ∈ Dp0 (dp) .
et
Ainsi, en vertu de la propriété d’homotopie (Lemme 1.2), l’inclusion i est une équivalence d’homotopie.
(4.7)
Exemple. A ce stade, on peut déjà déterminer le type d’homotopie de Dp (n) lorsque n ≤ 3p .
(a) Si n < p , Dp (n) est vide.
(b) Si p ≤ n < 2p , Dp (n) est un ensemble discret à
µ ¶
n
éléments.
p
(c) Si n = 2p , on montre facilement que ∆Dp (2p) est un graphe non connexe formé de
santes contractiles.
µ ¶
1 2p
compo2 p
(d) Si 2p < n < 3p , le complexe ∆Dp (n) est un graphe connexe. Il a donc le type d’homotopie d’un
¡
¢
bouquet de −χ̃ Dp (n) cercles.
(e) Si n = 3p , l’ensemble Dp (3p) est connexe de dimension 2 , mais a le type d’homotopie d’un graphe
¡
¢
(par la proposition 4.6). Par conséquent, Dp (3p) a le type d’homotopie d’un bouquet de −χ̃ Dp (3p)
cercles.
De manière tout à fait analogue à ce qui a été fait pour Tp (n) , nous allons, à présent, établir l’existence
d’une suite exacte longue reliant les groupes d’homologie de Dp (n) , Dp (n − 1) et Dp (n − p) . Dans ce but,
g
on définit le sous-ensemble ordonné D
p (n − 1) de Dp (n) suivant :
¯
©
ª
g
¯ ε est un atome qui contient n dans son support .
D
p (n − 1) = Dp (n) \ ε ∈ Dp (n)
(4.8)
g
Lemme. L’inclusion i : Dp (n − 1) ,→ D
p (n − 1) est une équivalence d’homotopie.
Preuve. Il suffit de reprendre la preuve du lemme 3.8 et de remplacer les p-groupes considérés par les
p-partitions associées.
(4.9)
Proposition. Soient n > 3p et l =
suivante :
¡
. . . → Hk+1 Dp (n)
¢
→
l
M
µ
n−1
p−1
¶
. On a la suite exacte de groupes abéliens
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Hk Dp (n − p) → Hk Dp (n − 1) → Hk Dp (n) → . . .
l
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
. . . → H2 Dp (n) →
H1 Dp (n − p) → H1 Dp (n − 1) → H1 Dp (n) → 0 .
24
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Preuve. La preuve est essentiellement la même que celle de la proposition 3.10 . On définit l’ensemble
ordonné
D=
©
¯
ª
ζ ∈ Dp (n) ¯ n ∈ Supp(ζ) .
g
On montre que le complexe simplicial ∆Dp (n) est la réunion des complexes ∆D et ∆D
p (n−1) , que ∆D est
formé de l composantes connexes contractiles, où l compte le nombre d’atomes dans D , et que l’intersection
g
∆D ∩ ∆D
p (n
µ − 1) ¶a le type d’homotopie d’une réunion disjointe de l copies de Dp (n − p) . On calcule
n−1
alors que l =
et, pour finir, on applique Mayer-Vietoris (théorème 3.9) à la décomposition
p−1
g
∆Dp (n) = ∆D ∪ ∆D
p (n − 1) .
g
Comme pour Tp (n) , la décomposition ∆Dp (n) = ∆D ∪ ∆D
p (n − 1) , décrite ci-dessus, induit une
¡
¢
formule récurrente pour la caractéristique d’Euler réduite χ
e Dp (n) .
(4.10)
Corollaire. Pour n ≥ p , on a
¡
¢
¡
¢
χ
e Dp (n) = χ
e Dp (n − 1) −
µ
¶
¡
¢
n−1
·χ
e Dp (n − p) .
p−1
g
Preuve. Il suffit d’appliquer le lemme 3.11 à la décomposition ∆Dp (n) = ∆D ∪ ∆D
p (n − 1) ,
décrite dans la démonstration de la proposition 4.9 .
Si A désigne un anneau quelconque, l’action évidente du groupe symétrique Sn sur l’ensemble Dp (n)
¡
¢
fait de H̃k Dp (n), A un ASn -module, quel que soit k ≥ 0 . On peut alors hh affiner ii la suite exacte de
la proposition 4.9 . Pour ce faire, nous allons tout d’abord rappeler un résultat dû à Bouc [BO2 , Proposition 1 ].
(4.11)
Théorème. Soient A un anneau et G un groupe agissant sur deux ensembles ordonnés X
et Y . Soient encore f une application monotone de X dans Y et k un entier tels que :
(1) f(gx) = gf (x) , quels que soient g ∈ G et x ∈ X .
(2) H̃l (f≤y , A) = 0 si l ≤ k et si y ∈ Y n’est pas un élément maximal.
Il existe alors une suite exacte longue de AG-modules de la forme :
M
H̃k+1 (X, A) → H̃k+1 (Y, A) →
IndG
Gy H̃k (f≤y , A) → . . .
y ∈ Y /G
. . . → H̃l (X, A) → H̃l (Y, A) →
M
y ∈ Y /G
IndG
Gy H̃l−1 (f≤y , A) → . . . ,
où Y/G désigne un système de représentants des orbites de Y sous l’action du groupe G et Gy le
stabilisateur de y ∈ Y dans G .
(4.12)
Proposition. On a la suite exacte longue de ASn−1 -modules
¡
¢
¡
¢
¡
¢
S
S
×Sp−1
. . . → H̃k Dp (n − 1), A → ResSSnn−1 H̃k Dp (n), A → IndSn−1
Inf Sn−p
H̃k−1 Dp (n − p), A
n−p ×Sp−1
n−p
¡
¢
¡
¢
→ H̃k−1 Dp (n − 1), A → ResSSnn−1 H̃k−1 Dp (n), A → . . . .
Preuve.
¡
¢
Le groupe Sn−1 = Perm { 1 , 2 , . . . , n − 1 } agit de manière évidente sur l’ensemble
ordonné Dp (n) . L’inclusion
g
i : Dp (n − 1) ,→ D
p (n − 1)
§ 4 . Le complexe des p-partitions
25
respecte cette action et devient ainsi, en vertu du lemme 4.8, une Sn−1 -équivalence d’homotopie. Considérons,
à présent, l’inclusion
g
f: D
p (n − 1) ,→ Dp (n) ,
g
et soit ε ∈ Dp (n) . Si ε ∈ D
p (n − 1) , alors la fibre f≥ε est bien sûr contractile. Mais dans le cas contraire,
g
si ε ∈ Dp (n) \ Dp (n − 1) , alors ε est une p-partition minimale contenant n dans son support. Par suite,
g
g
on peut appliquer le théorème 4.11 à l’inclusion f : D
p (n − 1) ,→ Dp (n) , où Dp (n − 1) et Dp (n) sont
munis de l’ordre opposé à l’ordre standard.
Clairement, toutes les p-partitions minimales contenant n dans leur support sont dans la même orbite
de Dp (n) sous l’action de Sn−1 . Par ailleurs, si ε est une telle p-partition, alors le stabilisateur de ε
¡
¢
dans Sn−1 est (Sn−1 )ε = Sn−p × Sp−1 , où Sn−p (respectivement Sp−1 ) désigne le groupe Perm Nn \ ε
¡
¢
(respectivement Perm ε \ { n } ). Ainsi, par le théorème 4.11, on obtient la suite exacte suivante :
(4.13)
¡
¢
¡
¢
¡
¢
S
. . . → H̃k Dp (n − 1), A → ResSSnn−1 H̃k Dp (n), A → IndSn−1
H̃k−1 f≥ε , A
n−p ×Sp−1
¡
¢
¡
¢
→ H̃k−1 Dp (n − 1), A → ResSSnn−1 H̃k−1 Dp (n), A → . . . .
Par ailleurs, il est évident que f≥ε = ] ε , . [Dp (n) et que l’application
g : Dp (Nn \ ε) → ] ε , . [Dp (n) ,
{ ε0 , ε1 , . . . , εr } 7→ { ε0 , ε1 , . . . , εr , ε } ,
est un isomorphisme d’ensembles ordonnés avec action du groupe Sn−p × Sp−1 . Ainsi, on en déduit que les
(Sn−p × Sp−1 )-ensembles ordonnés
f≥ε
et
S
Inf Sn−p
n−p
×Sp−1
Dp (n − p)
sont isomorphes, et, en reconsidérant la suite exacte 4.13, on retrouve aisément la suite exacte souhaitée.
(4.14)
Remarque. Dans son article [BO3], Bouc étudie le type d’homotopie de l’ensemble or-
donné D2 (n) . Il montre que le groupe fondamental de D2 (7) est cyclique d’ordre 3 et que D2 (n) est
simplement connexe si n ≥ 8 . Il établit ensuite l’existence d’une suite exacte longue de ASn−1 -modules
¡
¢
¡
¢
¡
¢
reliant les modules d’homologie H∗ D2(n), A , H∗ D2 (n − 1), A et H∗ D2 (n − 2), A . A ce propos,
la preuve de la proposition 4.12, tout comme la preuve de la proposition 4.6, n’est rien d’autre qu’une
généralisation de ce qui a été fait par Bouc. Dans le cas où A est un corps de caractéristique nulle,
cette dernière suite exacte, comme par miracle, suffit à Bouc pour déterminer entièrement les ASn -modules
d’homologie de D2 (n) . Dans le cas général d’un nombre premier quelconque, nous verrons, dans les chapitres suivants, que la suite exacte de la proposition 4.12 n’est pas aussi déterminante que dans le cas où
p = 2 . Pour ce qui est de l’homologie entière, les résultats de Bouc sont moins précis. Néanmoins, il montre
¡
¢
que les groupes d’homologie H∗ D2 (n) ont souvent de la 3-torsion.
(4.15)
Remarques.
(a) Serge Bouc nous a fait savoir que le théorème 4.11 permet de démontrer le théorème 3.9 de MayerVietoris dans le cas des ensembles ordonnés. Pour ce faire, rappelons qu’une partie X d’un ensemble
ordonné Y est dite fermée si
y∈Y
et y ≤ x ∈ X
=⇒
y∈X .
Soient X un ensemble ordonné et X1 , X2 des parties fermées de X telles que X = X1 ∪ X2 . Soit
encore { a , b } un ensemble ordonné discret et considérons l’ensemble ordonné
Y = (X1 ∩ X2 ) t { a , b } , (suspension de X1 ∩ X2 )
26
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
où les éléments a et b sont plus grands que tous les éléments de X1 ∩X2 . On définit alors l’application f
de X dans Y de la manière suivante :


a
b
f(x) =

x
si x ∈ X1 \ X2 ,
si x ∈ X2 \ X1 ,
si x ∈ X1 ∩ X2 .
L’application croissante f vérifie les hypothèses du théorème 4.11 pour G = 1 . On obtient ainsi la
suite exacte de groupes abéliens
. . . → Hk+1 (X) → Hk (X1 ∩ X2 ) → Hk (X1 ) ⊕ Hk (X2) → Hk (X ) → Hk−1 (X1 ∩ X2) → . . . .
(b) La proposition 3.10 se démontre aussi en appliquant le théorème 4.11 à l’inclusion
f : Tf
p (n − 1) ,→ Tp (n) ,
où Tf
p (n − 1) et Tp (n) sont munis de l’ordre opposé à l’ordre standard et G = 1 .
§5
FILTRATION ET SUITES EXACTES LONGUES EN HOMOLOGIE
Dans ce paragraphe, nous allons mettre en évidence une filtration du complexe simplicial CT p (n) , respectivement CDp (n) . Les résultats obtenus nous seront, bien entendu, très utiles dans l’étude du type
d’homotopie de l’ensemble ordonné Tp (n) , respectivement Dp (n) , puisque, par la remarque 3.1, respectivement la remarque 4.1, on sait que
CT p (n) ' Tp (n)
et
CD p (n) ' Dp (n) .
Avant de décrire la filtration annoncée, nous allons donner quelques rappels au sujet des complexes de
chaı̂nes.
Un complexe de chaı̂nes est une suite de groupes abéliens et d’homomorphismes
δk+1
δ
k
. . . −→ Sk+1 −→ Sk −→
Sk−1 −→ . . . ,
k∈Z
telle que δk δk+1 = 0 , pour tout k ∈ Z . L’homomorphisme δk est appelé la différentielle de degré k ,
et le groupe abélien Sk , le terme de degré k . Le complexe de chaı̂nes ci-dessus est noté (S∗ , δ) ou, plus
simplement, S∗ . Si t est un entier, alors (S∗ [t] , δ[t]) désigne le complexe de chaı̂nes (S∗ , δ) translaté
de t degrés, c’est-à-dire Sm [t] = Sm+t et δm [t] = δm+t , quel que soit m ∈ Z . La définition des groupes
d’homologie d’un complexe de chaı̂nes peut être lue dans [ROT , chapitre 5 ]. On y trouve, en sus, une bonne
description des conventions et de quelques résultats fondamentaux concernants les complexes de chaı̂nes. Le
théorème qui suit est un de ces résultats élémentaires [ROT , Théorème 5.6 ].
(5.1)
Théorème. Si
0 → (S∗0 , δ 0 ) → (S∗ , δ) → (S∗00 , δ 00 ) → 0 est une suite exacte courte de
complexes de chaı̂nes, alors il existe une suite exacte longue en homologie
. . . → Hk (S∗0 ) → Hk (S∗ ) → Hk (S∗00 ) → Hk−1 (S∗0 ) → Hk−1 (S∗ ) → Hk−1 (S∗00 ) → . . . .
§ 5 . Filtration et suites exactes longues en homologie
27
¡ ¢
¡ ¢
Si C est un complexe simplicial ordonné, on note C∗ C le complexe de chaı̂nes correspondant, et C̃∗ C le
¡
¢
complexe de chaı̂nes augmenté correspondant. Si B est un sous-complexe simplicial de C , alors C∗ C , B
¡ ¢
¡ ¢
désigne le quotient du complexe de chaine C̃∗ C par le sous-complexe C̃∗ B .
©
ª
Soient p un nombre premier et n un entier ≥ p . Pour ν = hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσk i ∈ CT p (n) , on
définit, de manière évidente, le support de ν :
Supp(ν) =
k
[
Supp(σi ) .
i=0
Si σ ∈ Sn est un p-cycle, on note mσ le plus petit entier contenu dans Supp(σ) . On pose alors, quels que
soient les sommets hσi, hτ i de CT p (n) ,
(5.2)
hσi < hτ i
⇔
σ et τ sont disjoints et mσ > mτ .
Cette relation fait de CT p (n) un complexe simplicial ordonné. De manière plus générale, si E désigne une
partie quelconque de Nn , le complexe simplicial CT p (E) est, lui aussi, ordonné par la relation 5.2 .
Considérons l’application
Φ : CT p (n) −→ { 0 , 1 , 2 , . . . , p }
définie par
¯
©
ª Φ n

®o
¯
hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσk i 7−→ ] i = 0, 1, 2, . . . , k ¯ Supp(σi ) ∩ Np 6= ∅ et hσi i 6= (1 2 3 . . . p)
.
Autrement dit, l’application Φ compte, pour chaque simplexe ν ∈ CT p (n) , le nombre de sommets, autres

®
que (1 2 3 . . . p) , dont le support intersecte l’ensemble Np .
Pour tout s = 0, 1, . . . , p , on note
CT p (n)≤s =
©
¯
ª
ν ∈ CT p (n) ¯ Φ(ν) ≤ s .
Si ν ∈ CT p (n)≤s et ν 0 ∈ CT p (n) tels que ν 0 ⊆ ν , alors il est clair que ν 0 ∈ CT p (n)≤s . Par suite, CT p (n)≤s
est un sous-complexe simplicial de CT p (n) , quel que soit s = 0, 1, . . . , p . De plus, il est évident que
CT p (n)≤p = CT p (n) . Par conséquent, l’application Φ induit la fitration suivante du complexe simplicial
CT p (n) :
(5.3)
CT p (n)≤0 ⊆ CT p (n)≤1 ⊆ CT p (n)≤2 ⊆ . . . ⊆ CT p (n)≤p = CT p (n) .
Ainsi, à chaque s = 1, 2, . . . , p , correspond une suite exacte courte de complexes de chaı̂nes
(5.4)
¡
¢
¡
¢
¡
¢
0 → C̃∗ CT p (n)≤s−1 → C̃∗ CT p (n)≤s → C∗ CT p (n)≤s , CT p (n)≤s−1 → 0 .
Pour commencer l’étude de la filtration 5.3, nous allons voir dans le lemme qui suit que le type
d’homotopie du complexe simplicial CT p (n)≤0 est des plus simples.
(5.5)
Lemme. Le complexe simplicial CT p (n)≤0 est contractile.
Preuve. Soit V
le sous-ensemble ordonné de Tp (n) suivant :
V =
©
¯
ª
H ∈ Tp (n) ¯ (1 2 3 . . . p) ∈ H ou Supp(H) ∩ Np = ∅ .
28
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Considérons l’application croissante f de V dans V définie par

H


f : H = hσ0 , σ1 , . . . , σk i 7−→

®

(1 2 3 . . . p) , σ0 , σ1 , . . . , σk
si (1 2 3 . . . p) ∈ H ,
si (1 2 3 . . . p) 6∈ H .
On vérifie facilement que

H ≤ f (H) ≥
Par suite, l’ensemble ordonné V
®
(1 2 3 . . . p) ,
quel que soit H ∈ V .
est coniquement contractile. Or le complexe simplicial associé à V
s’identifie de manière évidente à la subdivision barycentrique du complexe
¯
n©
ª
¯
CT p (n)≤0 =
hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσk i ∈ CT p (n) ¯
o

®
hσi i = (1 2 3 . . . p) ou Supp(σi ) ∩ Np = ∅, quel que soit i = 0, 1, . . . , k .
Par conséquent, CT p (n)≤0 ' V est contractile.
¡
¢
Nous allons, à présent, identifier le complexe de chaı̂nes C∗ CT p (n)≤s , CT p (n)≤s−1 , quel que soit
l’entier s = 1, 2, . . . , p . Pour ce faire, on définit, pour tout s = 1, 2, . . . , p , l’ensemble
CT p (n)s=s =
©
¯
ª
ν ∈ CT p (n) ¯ Φ(ν) = s et rang(ν) = s .
©
ª
Soit ν = hσ0 i , hσ1i , . . . , hσk i ∈ CT p (n) et supposons que Φ(ν) = s > 0 . Il est alors clair que ν contient
un unique simplexe appartenant à CT p (n)s=s . On note νΦ ce simplexe. Explicitement, par la définition 5.2
de l’ordre de CT p (n) et puisqu’il est sous-entendu que hσ0 i < hσ1 i < . . . < hσk i , on peut écrire
νΦ =
(5.6)
©
ª
hσk−s+1 i , hσk−s+2 i , . . . , hσk i .
Remarque. Notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Si d < p (autrement dit, si le
complexe simplicial CT p (n) est de dimension < p − 1 ) les suites exactes courtes de complexes de chaı̂nes
décrites au point 5.4 et correspondant aux entiers s ≥ d + 1 sont triviales, car il est évident que
CT p (n)≤d = CT p (n)≤d+1 = . . . = CT p (n)≤p = CT p (n) .
En outre, toujours dans le cas où d + 1 ≤ s ≤ p , l’ensemble CT p (n)s=s est vide.
Si E est une partie de Nn , on note E le complémentaire de E dans Nn . De plus, si
G =
M
Gi
i∈I
est une somme directe de groupes, alors, dans le cas où I = ∅ , on admet que G désigne le groupe trivial.
On peut, dès lors, énoncer le résultat suivant.
(5.7)
Lemme. Pour tout s = 1, 2, . . . , p , on a un isomorphisme de complexes de chaı̂nes
³
M
¡
¢
¡
¢´
∼
C∗ CT p (n)≤s , CT p (n)≤s−1
C̃∗ CT p Supp(υ) ∪ Np [−s] .
=
υ ∈ CT p (n)s=s
Preuve. Soit s ∈ Np . Nous allons définir un homomorphisme de complexes de chaı̂nes surjectif
³
M
¡
¢
¡
¢´
Λ∗ : C̃∗ CT p (n)≤s
−→
C̃∗ CT p Supp(υ) ∪ Np [−s] ,
υ ∈ CT p (n)s=s
§ 5 . Filtration et suites exactes longues en homologie
29
¡
¢
dont le noyau est le complexe de chaı̂nes C̃∗ CT p (n)≤s−1 . Le premier théorème d’isomorphie, pour les
complexes de chaı̂nes, permettra alors de conclure.
Notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Par la remarque 5.6, on peut supposer s ≤ d ,
de telle sorte que l’ensemble CT p (n)s=s est non vide. Notons δ la différentielle du complexe de chaı̂nes
³
¡
¢
¡
¢´
C̃∗ CT p (n)≤s , ξ υ celle de C̃∗ CT p Supp(υ) ∪ Np [−s] , quel que soit υ ∈ CT p (n)s=s , et
ξ
M
=
ξυ .
υ ∈ CT p (n)s=s
Pour définir Λ∗ , il suffit de donner, pour tout entier k ∈ { −1 , 0 , 1 , . . . , d − 1 } , l’image des éléments de
¡
¢
base de Ck CT p (n)≤s , c’est-à-dire des k-simplexes ν ∈ CT p (n)≤s , et d’étendre par linéarité.
Si k > s − 1 , on pose
¡
¢
Λk : C̃k CT p (n)≤s
−→
M
υ ∈ CT p (n)s=s
©
ª
ν = hσ0i , hσ1 i , . . . , hσk i 7−→



³
¡
¢´
C̃k−s CT p Supp(υ) ∪ Np
0
si Φ(ν) < s ,

ª
©
hσ0i , hσ1 i , . . . , hσk−s i ν
Φ
si Φ(ν) = s ,
©
ª
où le simplexe hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσk−s i est indicé par νΦ pour indiquer qu’il est considéré comme simplexe
¡
¢
de CT p Supp(νΦ ) ∪ Np .
Si k = s − 1 , on pose
¡
¢
Λs−1 : C̃s−1 CT p (n)≤s
−→
M
υ ∈ CT p (n)s=s



©
ª
ν = hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσs−1 i 7−→


³
¡
¢´
C̃−1 CT p Supp(υ) ∪ Np
0
si Φ(ν) < s ,
³
¡
¢´
[ ]ν ∈ C̃−1 CT p Supp(ν) ∪ Np
si Φ(ν) = s ,
³
¡
¢´
où [ ]ν désigne le générateur du groupe cyclique C̃−1 CT p Supp(ν) ∪ Np
.
Finalement, si k < s − 1 , on pose Λk = 0 .
Pour montrer que Λ∗ est bien un homomorphisme, il faut vérifier que le diagramme suivant commute,
quel que soit k ∈ { −1 , 0 , 1 , . . . , d − 1 } :
¡
C̃k CT p (n)≤s
¢
Λk
/
M
υ ∈ CT p (n)s=s
³
¡
¢´
C̃k−s CT p Supp(υ) ∪ Np
M
δk
υ
ξk−s
= ξk−s
υ ∈ CT p (n)s=s
¡
¢
C̃k−1 CT p (n)≤s
Λk−1
/
M
υ ∈ CT p (n)s=s
³
¡
¢´
C̃k−s−1 CT p Supp(υ) ∪ Np .
Plus précisément, il suffit de vérifier que
¡
¢
¡
¢
ξk−s Λk (ν) = Λk−1 δk (ν) ,
quels que soient k ∈ { −1 , 0 , 1 , . . . , d − 1 } et ν ∈ CT p (n)≤s .
©
ª
Soient donc k ∈ { −1 , 0 , 1 , . . . , d − 1 } et ν = hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσk i ∈ CT p (n)≤s . Si Φ(ν) < s , alors il
est évident que
¡
¢
¡
¢
ξk−s Λk (ν) = 0 = Λk−1 δk (ν) .
30
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Par conséquent, on peut supposer que Φ(ν) = s et, par suite, k ∈ { s − 1 , s , . . . , d − 1 } .
Si k = s − 1 , alors Λk−1 = Λs−2 = 0 , ξk−s = ξ−1 = 0 , et donc ξ−1 ◦ Λs−1 = 0 = Λs−2 ◦ δs−1 .
©
ª
Si k = s , alors νΦ = hσ1 i , hσ2 i , . . . , hσs i , et on a
³©
³
¡
¢
¡
¢
ª ´
¡
¢´
ξk−s Λk (ν) = ξ0 Λs (ν) = ξ0 hσ0 i ν
= [ ]νΦ ∈ C̃−1 CT p Supp(νΦ) ∪ Np
Φ
et
³ s−1
X
¡
¢
¡
¢
©
ª´
Λk−1 δk (ν) = Λs−1 δs (ν) = Λs−1
(−1)i hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσs−1 i
i=0
=
s−1
X
i=0
³©
ª´
(−1)i Λs−1 hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσs−1i
= Λs−1
³©
ª
hσˆ0 i , hσ1 i , . . . , hσs−1 i
´
= [ ]νΦ ,
où le signe ˆ au dessus de hσi i signifie que l’on efface le sommet hσi i .
Finalement, si k > s , alors
³©
¡
¢
ª ´
ξk−s Λk (ν) = ξk−s hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσk−s i ν
Φ
=
k−s
X
i=0
©
ª
(−1)i hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσk−s i ν
Φ
et
k
³X
¡
¢
©
ª´
Λk−1 δk (ν) = Λk−1
(−1)i hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσk i
i=0
=
k
X
(−1)i Λk−1
i=0
=
k−s
X
(−1)i Λk−1
i=0
=
k−s
X
i=0
³©
ª´
hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσk i
³©
ª´
hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσk i
©
ª
(−1)i hσ0 i , hσ1 i , . . . , hσˆi i , . . . , hσk−s i ν .
Φ
En définitive, l’application Λ∗ est bien un homomorphisme de complexes de chaı̂nes.
L’étape suivante consiste à montrer que le noyau de Λ∗ coı̈ncide avec le complexe de chaı̂nes aug¡
¢
¡
¢
menté C̃∗ CT p (n)≤s−1 . Il est clair que C̃∗ CT p (n)≤s−1 est un sous-complexe de chaı̂nes de Ker(Λ∗ ) .
Réciproquement, si L ∈ Ker(Λk ) pour un certain k ≥ 0 , alors il existe deux entiers 0 ≤ t ≤ m et des
coefficients λ1, λ2 , . . . , λm ∈ Z tels que
L =
t
X
λj
j=1
m
X
©
ª
©
ª
hσ0 j i , hσ1 j i , . . . , hσk j i +
λj hσ0 j i , hσ1 j i , . . . , hσk j i ,
j=t+1
©
ª
où les simplexes νj = hσ0 j i , hσ1 j i , . . . , hσk j i ( j = 1, 2, . . . , m ) sont distincts deux à deux et
Φ(νj )
(
<s
si j = 1, 2, . . . , t
=s
si j = t + 1 , t + 2 , . . . , m .
On a
Λk (L) = 0 =
=
m
X
j=t+1
m
X
j=t+1
λj Λk (νj )
λj
©
ª
hσ0 j i , hσ1 j i , . . . , hσ(k−s) j i (ν
j )Φ
∈
m
M
j=t+1
µ
³
´¶
¡
¢
C̃k−s CT p Supp (νj )Φ ∪ Np
.
§ 5 . Filtration et suites exactes longues en homologie
Or les éléments
©
ª
hσ0 j i , hσ1 j i , . . . , hσ(k−s) j i (ν
j )Φ
M
υ ∈ CT p (n)s=s
31
( j = t + 1 , t + 2 , . . . , m ) sont des éléments de base de
³
¡
¢´
C̃k−s CT p Supp(υ) ∪ Np
tous distincts, puisque les simplexes νj ( j = t + 1, t + 2, . . . , m ) sont tous distincts. Ils sont donc, en
particulier, linéairement indépendants, et par suite,
λj = 0 ,
quel que soit j = t + 1, t + 2, . . . , m .
Ainsi, on peut écrire
L =
m
X
λj νj =
j=1
et, par conséquent,
t
X
j=1
¡
¢
λj νj ∈ C̃∗ CT p (n)≤s−1 ,
¡
¢
C̃∗ CT p (n)≤s−1 = Ker(Λ∗ ) .
Par ailleurs, l’homomorphisme Λ∗ est surjectif, car quel que soit υ ∈ CT p (n)s=s , il est évident que tous
¡
¢
les simplexes de CT p Supp(υ) ∪ Np sont dans l’image de Λ∗ .
En définitive, en appliquant le premier théorème d’isomorphie à Λ∗ , on obtient
¡
¢
¡
¢. ¡
¢
C∗ CT p (n)≤s , CT p (n)≤s−1
= C̃∗ CT p (n)≤s
C̃∗ CT p (n)≤s−1
³
M
¡
¢´
∼
C̃∗ CT p Supp(υ) ∪ Np [−s] .
=
υ ∈ CT p (n)s=s
Le théorème qui suit est le résultat important de ce paragraphe. Il nous permettra, dans les chapitres
suivants, de démontrer, par récurrence, certaines propriétés homotopiques de l’ensemble ordonné Tp (n) .
(5.8)
Théorème. Pour tout s = 1, 2, . . . , p , on a la suite exacte longue de groupes abéliens suivante :
n−ps
M
¡
¢
¡
¢
. . . → H̃k CT p (n)≤s−1 → H̃k CT p (n)≤s →
¡
→ H̃k−1 CT p (n)≤s−1
¢
j = n−p(s+1)+s
j≥0
¡
¢
→ H̃k−1 CT p (n)≤s
→ ... .
³
¡
M
υ ∈ CT p (n)s=s
¢
] Supp(υ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃k−s CT p (j)
Preuve. Soit s ∈ { 1 , 2 , . . . , p } et notons n = dp + r avec d ≥ 1 et 0 ≤ r < p . Dans le cas
où s > d , on sait , par la remarque 5.6, que
CT p (n)≤s−1 = CT p (n)≤s
et
CT p (n)s=s = ∅ .
On peut donc supposer s ≤ d .
En reconsidérant la suite exacte 5.4 et le lemme 5.7, on obtient la suite exacte courte de complexes de
chaı̂nes suivante :
¡
¢
¡
¢
0 → C̃∗ CT p (n)≤s−1 → C̃∗ CT p (n)≤s →
M
υ ∈ CT p (n)s=s
³
¡
¢´
C̃∗ CT p Supp(υ) ∪ Np [−s] → 0 .
Par le théorème 5.1, cette dernière induit la suite exacte longue en homologie
³
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢´
. . . → H̃k CT p (n)≤s−1 → H̃k CT p (n)≤s →
H̃k−s CT p Supp(υ) ∪ Np
υ ∈ CT p (n)s=s
(5.9)
¡
¢
¡
¢
→ H̃k−1 CT p (n)≤s−1 → H̃k−1 CT p (n)≤s → . . . .
32
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Or, si υ ∈ CT p (n)s=s , on peut montrer que
¡
¢
n − p(s + 1) + s ≤ ] Supp(υ) ∪ Np ≤ n − ps .
Inversement, si j est un entier ≥ 0 vérifiant n − p(s + 1) + s ≤ j ≤ n − ps , alors il existe υ ∈ CT p (n)s=s
¡
¢
tel que ] Supp(υ) ∪ Np = j . Dès lors, on a un isomorphisme de complexes de chaı̂nes
M
υ ∈ CT p (n)s=s
³
¡
¢´
C̃∗ CT p Supp(υ) ∪ Np
n−ps
M
∼
=
j = n−p(s+1)+s
j≥0
³
Par conséquent, la suite exacte longue 5.9 peut être reformulée
¡
¢
¡
¢
. . . → H̃k CT p (n)≤s−1 → H̃k CT p (n)≤s →
¡
→ H̃k−1 CT p (n)≤s−1
¢
¡
→ H̃k−1 CT p (n)≤s
n−ps
M
j = n−p(s+1)+s
j≥0
¢
→ ... .
¡
M
υ ∈ CT p (n)s=s
] Supp(υ)∪Np
³
¡
¢
M
=j
¡
¢´
C̃∗ CT p (j)
.
υ ∈ CT p (n)s=s
] Supp(υ)∪Np
¢
=j
¡
¢´
H̃k−s CT p (j)
Sans aucune difficulté, nous allons démontrer le résultat correspondant au théorème 5.8 pour le complexe
simplicial CD p (n) . Soient p un nombre premier, n un entier ≥ p et notons n = dp + r avec d ≥ 1 et
0 ≤ r < p . Si ε0 est un sommet de CDp (n) , c’est-à-dire une partie de cardinal p de Nn , on note mε0 ,
le plus petit entier contenu dans ε0 . On pose alors, quels que soient les sommets ε0 , ζ0 de CD p (n) ,
ε0 < ζ0
⇔
ε0 et ζ0 sont disjoints et mε0 > mζ0 .
Cette relation fait de CD p (n) un complexe simplicial ordonné.
On considère ensuite l’application Φ
de CD p (n) dans l’ensemble { 0 , 1 , 2 , . . . , p } définie par
¯
©
ª
Φ : ε = { ε0 , ε1 , . . . , εk } 7−→ ] i = 0, 1, 2, . . . , k ¯ εi ∩ Np 6= ∅ et εi 6= { 1 , 2 , 3 , . . . , p } ,
et on note, pour tout s = 0, 1, . . . , p , le sous-complexe simplicial
(5.10)
CD p (n)≤s =
©
¯
ª
ε ∈ CD p (n) ¯ Φ(ε) ≤ s .
On obtient alors la fitration suivante du complexe simplicial CDp (n) :
(5.11)
CDp (n)≤0 ⊆ CD p (n)≤1 ⊆ CD p (n)≤2 ⊆ . . . ⊆ CD p (n)≤p = CD p (n) .
Ainsi, à chaque s = 1, 2, . . . , p , correspond une suite exacte courte de complexes de chaı̂nes
(5.12)
(5.13)
¡
¢
¡
¢
¡
¢
0 → C̃∗ CDp (n)≤s−1 → C̃∗ CD p (n)≤s → C∗ CD p (n)≤s , CD p (n)≤s−1 → 0 .
Lemme. Le complexe simplicial CD p (n)≤0 est contractile.
Preuve. Il suffit de reprendre la démonstration du lemme 5.5 et de remplacer les sous-groupes abéliens
élémentaires H ∈ Tp (n) considérés, par les p-partitions associées π(H) ∈ Dp (n) .
§ 5 . Filtration et suites exactes longues en homologie
33
On pose, pour tout s = 1, 2, . . . , p , l’ensemble
CD p (n)s=s =
©
¯
ª
ε ∈ CD p (n) ¯ Φ(ε) = s et rang(ε) = s .
Soit ε = { ε0 , ε1 , . . . , εk } ∈ CDp (n) et supposons que Φ(ε) = s > 0 . Il est alors clair que ε contient un
unique simplexe appartenant à CD p (n)s=s . On note εΦ ce simplexe. Explicitement, on peut écrire
εΦ = { εk−s+1 , εk−s+2 , . . . , εk } .
Finalement, on peut énoncer le résultat correspondant au théorème 5.8 pour le complexe simplicial CD p (n) .
(5.14)
Théorème. Pour tout s = 1, 2, . . . , p , on a la suite exacte longue de groupes abéliens suivante
¡
. . . → H̃k CD p (n)≤s−1
¢
¡
→ H̃k−1 CD p (n)≤s−1
¡
→ H̃k CD p (n)≤s
¢
¢
n−ps
M
→
¡
→ H̃k−1 CDp (n)≤s
j = n−p(s+1)+s
j ≥0
¢
³
¡
M
ζ ∈ CDp (n)s=s
¢
] Supp(ζ)∪Np
→ ... .
=j
¡
¢´
H̃k−s CD p (j)
Preuve. La suite longue de groupes abéliens de l’énoncé ci-dessus n’est rien d’autre que l’image de la
suite exacte
n−ps
M
¡
¢
¡
¢
. . . → H̃k CT p (n)≤s−1 → H̃k CT p (n)≤s →
¡
→ H̃k−1 CT p (n)≤s−1
¢
¡
→ H̃k−1 CT p (n)≤s
j = n−p(s+1)+s
j≥0
¢
³
→ ... .
¡
M
υ ∈ CT p (n)s=s
¢
] Supp(υ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃k−s CT p (j)
du théorème 5.8 par le morphisme de complexe de chaı̂nes induit par la surjection naturelle scindée π
de Tp (n) sur Dp (n) . En particulier, ce morphisme de complexe de chaı̂nes envoie une suite exacte sur une
autre suite exacte.
(5.15)
Remarque. Dans le cas où p = 2 , le théorème 5.14, qui est alors équivalent au théorème 5.8,
se résume en une suite exacte longue, déjà calculée par Bouc ( confer [BO3 , lemme 9 ] ). En effet, si p = 2 ,
la filtration 5.11 devient
CD 2 (n)≤0 ⊆ CD 2 (n)≤1 ⊆ CD 2 (n)≤2 = CD 2 (n) .
Par ailleurs, en vertu du lemme 5.13, le complexe simplicial CD 2 (n)≤0 est contractile. Ainsi,
¡
¢
¡
¢
∼
C̃∗ CD 2 (n)≤1
= C∗ CD 2 (n)≤1 , CD 2 (n)≤0
∼
=
M
ζ ∈ CD 2 (n)1=1
³
¡
¢´
C̃∗ CD 2 Supp(ζ) ∪ N2 [−1] .
Dès lors, le théorème 5.14 se résume en la suite exacte longue de groupes abéliens suivante :
(5.16)
... →
→
M
ζ ∈ CD 2 (n)1=1
M
ε ∈ CD 2 (n)2=2
³
¡
¢´
¡
¢
H̃k−1 CD 2 Supp(ζ) ∪ N2
→ H̃k CD p (n)
³
¡
¢´
H̃k−2 CD 2 Supp(ε) ∪ N2
→
M
ζ ∈ CD 2 (n)1=1
³
¡
¢´
H̃k−2 CD 2 Supp(ζ) ∪ N2
→ ... .
34
Chapitre 1 . Définitions et premiers résultats
Or, par définition, on a
¯
n©
o
ª
¯
{ 1 , i } ∈ CD 2 (n) ¯ i ∈ { 3 , 4 , . . . , n } ∪
¯
n©
o
ª
¯
{ 2 , i } ∈ CD 2 (n) ¯ i ∈ { 3 , 4 , . . . , n }
et
¯
n©
o
ª
¯
=
{ 1 , i }, { 2 , j } ∈ CD 2 (n) ¯ i, j ∈ { 3 , 4 , . . . , n } .
CD 2 (n)1=1 =
CD 2 (n)2=2
Donc,
¡
¢
] CD 2 (n)1=1 = 2(n − 2)
¡
¢
] CD 2 (n)2=2 = (n − 2)(n − 3) .
et
Par conséquent, la suite exacte longue 5.16 peut se récrire
2(n−2)
... →
M
2(n−2)
→
M
¡
H̃k−1 D2 (n − 3)
¢
¡
→ H̃k D2 (n)
¡
¢
H̃k−2 D2 (n − 3) → . . . .
¢
(n−2)(n−3)
→
M
¡
¢
H̃k−2 D2 (n − 4)
Par cet exemple, on comprend mieux comment les mêmes arguments peuvent donner des résultats beaucoup
plus forts pour D2 (n) que pour les ensembles ordonnés Dp (n) ( p ≥ 3 ) .
CHAPITRE 2
Groupes d’homologie de degré élevé
Dans ce chapitre, nous démontrons plusieurs propriétés concernant les groupes d’homologie de degré élevé
des ensembles ordonnés Dp (n) , Tp (n) et Ap (Sn ) . Au premier paragraphe, nous déterminons, en fonction
du nombre premier p et de l’entier n , le groupe d’homologie non nul de degré maximal, de chacun des
trois ensembles ordonnés cités ci-dessus. Le cas où n est un multiple de p , réserve quelques surprises.
En particulier, en considérant la suite spectrale de Quillen associée à la surjection naturelle de l’ensemble
ordonné Tp (dp) sur l’ensemble Dp (dp) , où d est un entier ≥ 3 , il est possible de donner explicitement le
¡
¢
rang du groupe abélien libre Hd−1 Tp (dp) . Finalement, au troisième et dernier paragraphe, il est expliqué
pourquoi les groupes d’homologie de degré élevé des ensembles ordonnés Tp (n) et Ap (Sn ) sont isomorphes,
même si n ≥ p2 . En outre, si n est à peine plus grand que p2 , c’est-à-dire p2 ≤ n < p2 + p , nous montrons
que le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) a alors le même type d’homotopie que le wedge du complexe simplicial
∆Tp (n) et d’un bouquet de cercles.
36
§6
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
GROUPES D’HOMOLOGIE NON NULS DE DEGRÉ MAXIMAL
Soient p un premier et n un entier. Le but de ce paragraphe est de déterminer pour chacun des ensembles
ordonnés Dp (n) , Tp (n) et Ap (Sn ) , le groupe d’homologie non nul de degré maximal. Si n < 3p , nous
avons vu au chapitre précédent que le type d’homotopie de chacun de ces trois ensembles est connu. Dès
lors, on peut supposer n ≥ 3p .
(6.1)
Lemme. Si C est un complexe simplicial de dimension finie d et B un sous-complexe de
même dimension, alors
¡ ¢
¡ ¢
Hd B ⊆ Hd C .
¡ ¢
¡ ¢
En particulier, si le groupe d’homologie Hd B est non nul, alors il en est de même du groupe Hd C .
¡ ¢
¡ ¢
Preuve. Notons δ la différentielle du complexe de chaı̂nes C∗ C et δ 0 celle de C∗ B . Puisque B
¡ ¢
¡ ¢
est un sous-complexe simplicial de C , il est évident que Cd B est un sous-groupe de Cd C et δd0 est la
¡ ¢
restriction à Cd B de l’homomorphisme δd . Par conséquent,
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
Hd B = Ker δd0 ⊆ Ker δd = Hd C .
(6.2)
Proposition. Soient p un premier et n ≥ 3p un entier.
(a) Si n = dp + r , avec d ≥ 3 et 0 < r < p , alors l’ensemble ordonné Dp (n) est de dimension d − 1 et
¡
¢
Hd−1 Dp (n) 6= 0 .
(b) Si n = dp avec d ≥ 3 , alors l’ensemble ordonné Dp (n) a le type d’homotopie d’un complexe simplicial
de dimension d − 2 et
¡
¢
Hd−2 Dp (dp) 6= 0 .
Preuve. Le complexe des p-partitions ∆Dp (n) est la subdivision barycentrique du complexe simplicial CD p (n) , décrit à la remarque 4.1. Ainsi, si les deux assertions de l’énoncé sont vérifiées pour le complexe
CD p (n) , alors elles le sont aussi pour l’ensemble ordonné Dp (n) .
(a) Soit n = dp + r , avec d ≥ 3 et 0 < r < p . Clairement, le complexe simplicial CD p (n) est de
¡
¢
dimension d − 1 . Montrons, par récurrence sur d , que le groupe abélien Hd−1 CD p (n) est non nul.
Supposons d ≥ 3 et
³
¡
¢´
Hd−2 CD p (d − 1)p + r
6= 0 .
Considérons le sous-complexe simplicial CD p (n)≤1 de CD p (n) défini au point 5.10 , et soit
ε = { ε0 , ε1 , . . . , εd−1 } ∈ CD p (n) ,
un simplexe de dimension maximale tel que ε0 = { 1 , 2 , . . . , p } . Il est immédiat que ε ∈ CD p (n)≤1 . En
particulier, puisque ε est un simplexe de dimension d − 1 , on en déduit que
¡
¢
¡
¢
dim CD p (n)≤1 = dim CDp (n) = d − 1 .
¡
¢
Ainsi, en vertu du lemme 6.1, il suffit, pour conclure, de montrer que le groupe abélien Hd−1 CD p (n)≤1
est non nul. Par le théorème 5.14, on a la suite exacte longue suivante :
¡
¢
¡
¢
. . . → H̃k CD p (n)≤0 → H̃k CD p (n)≤1 →
¡
→ H̃k−1 CDp (n)≤0
¢
¡
→ H̃k−1 CD p (n)≤1
n−p
M
³
j = n−2p+1
¡
M
ζ ∈ CD p (n)1=1
] Supp(ζ)∪Np
¢
→ ... .
¢
=j
¡
¢´
H̃k−1 CD p (j)
§ 6 . Groupes d’homologie non nuls de degré maximal
37
Par ailleurs, nous avons montré, au lemme 5.13, que le complexe simplicial CD p (n)≤0 est contractile. En
particulier, il en résulte un isomorphisme
¡
¢
Hd−1 CDp (n)≤1
(6.3)
n−p
M
∼
=
j = n−2p+1
³
¡
M
ζ ∈ CD p (n)1=1
] Supp(ζ)∪Np
¢
=j
¡
¢´
Hd−2 CD p (j)
.
³
¡
¢´
Or, par hypothèse de récurrence, le groupe d’homologie Hd−2 CD p (d − 1)p + r
est non nul, et donc,
vu l’isomorphisme 6.3, on a
¡
¢
Hd−1 CDp (n)≤1 6= 0 .
(b) Soit n = dp avec d ≥ 3 . Par la proposition 4.6, on sait que le complexe simplicial CD p (dp) a
le type d’homotopie d’un complexe de dimension d − 2 . Montrons, par récurrence sur d , que le groupe
¡
¢
d’homologie Hd−2 CD p (dp) est non nul.
Si d = 3 , nous avons mentionné à la remarque 4.7 que le complexe CD p (3p) a le type d’homotopie d’un
¡
¢
graphe connexe, dont la caractéristique d’Euler réduite est non nulle. Dès lors, le groupe H1 CDp (3p) est
non nul.
Supposons, à présent, d > 4 et
³
¡
¢´
Hd−3 CD p (d − 1)p
6= 0 .
¡
¢
Nous allons montrer, par récurrence sur s = 1, 2, . . . , p , que le groupe d’homologie Hd−2 CD p (dp)≤s est
non nul.
Si s = 1 , alors, grâce au théorème 5.14 et au lemme 5.13, nous savons l’existence d’un isomorphisme
¡
Hd−2 CD p (dp)≤1
¢
³
(d−1)p
M
∼
=
M
j = (d−2)p+1
1
¡ ζ ∈ CDp (dp)=1
¢
] Supp(ζ)∪Np
=j
¡
¢´
Hd−3 CD p (j)
.
³
¡
¢´
Or, par l’hypothèse de récurrence sur d , le groupe Hd−3 CD p (d − 1)p
est non nul, et donc
¡
¢
Hd−2 CD p (dp)≤1 6= 0 .
¡
¢
Soit s ≥ 2 , et supposons le groupe Hd−2 CD p (dp)≤s−1 non nul. Par le théorème 5.14, on sait qu’il existe
une suite exacte longue
(6.4)
(d−s)p
M
¡
¢
¡
¢
. . . → H̃k CD p (dp)≤s−1 → H̃k CD p (dp)≤s →
¡
→ H̃k−1 CD p (dp)≤s−1
¢
¡
→ H̃k−1 CDp (dp)≤s
j = (d−s−1)p+1
j ≥0
¢
→ ... .
³
M
s
¡ ζ ∈ CDp (dp)=s
¢
] Supp(ζ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃k−s CD p (j)
Si j ≥ 0 est un entier tel que (d − s − 1)p + 1 ≤ j < (d − s)p , il est évident que
¡
¢
dim CDp (j) = d − s − 2 .
En outre, par la proposition 4.6, on sait que le complexe simplicial CD p ((d − s)p) est de dimension d − s − 1 ,
mais a le type d’homotopie d’un complexe de dimension d − s − 2 . Par suite, si k est un entier tel que
k − s > d − s − 2 , i.e. k > d − 2 , il est alors tout à fait clair que
(d−s)p
M
j = (d−s−1)p+1
j ≥0
³
M
s
¡ ζ ∈ CDp (dp)=s
¢
] Supp(ζ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃k−s CD p (j)
= 0.
38
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
Par conséquent, l’extrémité gauche de la suite exacte longue 6.4 est de la forme
¡
¢
¡
¢
0 → Hd−2 CDp (dp)≤s−1 → Hd−2 CDp (dp)≤s →
¡
→ Hd−3 CDp (dp)≤s−1
¢
(d−s)p
M
j = (d−s−1)p+1
j≥0
→ ... .
³
M
s
¡ ζ ∈ CDp (dp)=s
¢
] Supp(ζ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃d−2−s CD p (j)
¡
¢
¡
¢
Il en découle, a fortiori, que le groupe Hd−2 CD p (dp)≤s−1 s’injecte dans le groupe Hd−2 CD p (dp)≤s .
¡
¢
Or, par l’hypothèse de récurrence sur s , le groupe Hd−2 CD p (dp)≤s−1 est non nul, et donc il en est de
¡
¢
même du groupe Hd−2 CD p (dp)≤s . Au bout du compte, on a ainsi montré que
¡
¢
Hd−2 CD p (dp)≤s 6= 0 ,
quel que soit s = 1, 2, . . . , p .
Finalement, en particulier, on en déduit que
¡
¢
¡
¢
Hd−2 CDp (dp) = Hd−2 CD p (dp)≤p 6= 0 .
(6.5)
Corollaire. Soient p un nombre premier et n = dp + r un entier avec d ≥ 3 et 0 < r < p .
(a) L’ensemble ordonné Tp (n) est de dimension d − 1 et
¡
¢
Hd−1 Tp (n) 6= 0 .
(b) L’ensemble ordonné Ap (Sn ) est de dimension d − 1 et
¡
¢
Hd−1 Ap (Sn ) 6= 0 .
¡
¢
Preuve. (a) Par la proposition 4.5, le groupe d’homologie Hd−1 Dp (n) est facteur direct du groupe
¡
¢
Hd−1 Tp (n) . A fortiori, en vertu de la proposition 6.2, ce dernier est donc non nul.
(b) Le complexe simplicial ∆Tp (n) est un sous-complexe simplicial du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) .
Dès lors, le résultat annoncé n’est qu’une conséquence du lemme 6.1 et de l’assertion (a), démontrée cidessus.
(6.6)
Remarque. Si p est un nombre premier et n = dp avec d ≥ 3 , la proposition 6.2 ne permet
¡
¢
aucune déduction sur le groupe d’homologie de degré maximal Hd−1 Tp (dp) . Néanmoins, puisque le
¡
¢
¡
¢
groupe Hd−2 Dp (dp) est non nul, on peut affirmer que le groupe Hd−2 Tp (dp) est lui aussi non nul, en
vertu de la proposition 4.5.
Au vu de ce qui précède, pour que la réponse à la question posée dans ce paragraphe soit complète, il ne
nous reste plus qu’à déterminer le groupe d’homologie non nul de degré maximal des ensembles ordonné Tp (n)
et Ap (Sn ) , lorsque n est un multiple de p . Pour ce faire, nous allons distinguer les trois cas p = 2 , p = 3
et p ≥ 5 .
Si p = 2 , alors, d’une manière générale, l’ensemble ordonné D2(n) = T2(n) ne nous donne que
peu d’information sur l’ensemble A2 (Sn ) . On a déjà vu à l’exemple 2.12 que A2 (S4 ) est contractile,
et que A2 (S6 ) a le type d’homotopie d’un graphe connexe, mais, pour n = 2d avec d ≥ 4 , nous ne sommes
¡
¢
pas en mesure de dire si le groupe d’homologie Hd−1 A2 (S2d ) est nul ou non.
¡
¢
¡
¢
Si p ≥ 5 et n = dp , nous verrons que les groupes d’homologie Hd−1 Tp (dp) et Hd−1 Ap (Sdp ) sont
tous deux non nuls. Plus précisément, dans le paragraphe suivant, nous allons calculer le rang du groupe
¡
¢
abélien libre Hd−1 Tp (dp) , puis constater, dans le dernier paragraphe, que
¡
¢
¡
¢
Hd−1 Tp (dp) ∼
= Hd−1 Ap (Sdp ) .
Finalement, dans le cas où p = 3 , nous avons déjà remarqué que D3(n) = T3 (n) , et la proposition
suivante règle la question.
§ 6 . Groupes d’homologie non nuls de degré maximal
(6.7)
39
Proposition. Soit n = 3d un multiple de 3 avec d ≥ 3 .
(a) L’ensemble ordonné A3 (S3d ) est de dimension d − 1 , mais il a le type d’homotopie d’un complexe
¡
¢
simplicial de dimension d − 2 . En particulier, le groupe d’homologie Hd−1 A3 (S3d ) est nul et le
¡
¢
groupe Hd−2 A3 (S3d ) est abélien libre.
¡
¢
(b) En outre, le groupe Hd−2 A3(S3d ) est non nul.
Preuve. (a) Soit C = { P0 < P1 < . . . < Pd−2 < Pd−1 } une chaı̂ne maximale dans l’ensemble
ordonné A3 (S3d ) . En s’inspirant de la preuve de la proposition 2.8, il est aisé de montrer que le sous-groupe
abélien élémentaire maximal Pd−1 est nécessairement de la forme
P = hσ0 , σ1 , . . . , σd−1 i , où les σi ( i = 0, 1, . . . , d−1 ) sont des 3-cycles deux à deux disjoints.
En conséquence, la chaı̂ne C est entièrement contenue dans l’ensemble ordonné
T A3 (3d) =
©
¯
ª
P ∈ A3 (S3d ) ¯ les orbites de P sont toutes d’ordre 3 ,
déjà décrit au lemme 3.2. En particulier, le sous-groupe abélien élémentaire Pd−2 est un élément de rang d−1
de l’ensemble ordonné T A3(3d) . Il y a alors deux cas à distinguer, selon que l’ensemble Supp(Pd−2) est
de cardinalité n − 3 ou n . Dans le premier cas, on peut écrire
Pd−2 = hσ0 , σ1 , . . . , σd−3 , σd−2 i , où les σi ( i = 0, 1, . . . , d−2 ) sont des 3-cycles deux à deux disjoints.
Il existe alors un unique sous-groupe cyclique d’ordre 3 , que l’on peut noter hσd−1 i , de support disjoint de
celui de Pd−2 . De ce fait, le 3-sous-groupe de S3d ,
Pd−1 = hσ0 , σ1 , . . . , σd−3 , σd−2 , σd−1 i
est l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant Pd−2 . Dans le second cas, c’est-à-dire dans
le cas où Supp(Pd−2 ) = N3d , on peut écrire
Pd−2 = hτ0 , τ1 , . . . , τd−3 , τd−2 τd−1 i ,
où les τi ( i = 0 , 1 , . . . , d − 1 ) sont des 3-cycles deux à deux disjoints. Alors le 3-sous-groupe de S3d
Pd−1 = hτ0 , τ1 , . . . , τd−3 , τd−2 , τd−1 i
est l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant Pd−2 . En définitive, quelle que soit la chaı̂ne
maximale C = { P0 < P1 < . . . < Pd−2 < Pd−1 } dans l’ensemble ordonné A3 (S3d ) , le groupe Pd−1
est l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal contenant Pd−2 .
Considérons le sous-ensemble ordonné de A3 (S3d ) suivant :
A3 0 (S3d ) = A3 (S3d ) \
©
¯
ª
P ∈ T A3 (3d) ¯ rang(P ) = d − 1 .
Il est clair que cet ensemble ordonné A3 0 (S3d ) est de dimension d−2 , puisqu’il ne contient aucune chaı̂ne de
longueur d − 1 . Si P ∈ A3 (S3d ) \ A3 0 (S3d ) , notons P̂ l’unique sous-groupe abélien élémentaire maximal
contenant P . Considérons alors l’inclusion i de l’ensemble ordonné A3 0 (S3d ) dans l’ensemble A3 (S3d ) et
l’application f définie par
f : A3 (S3d ) −→ A3 0 (S3d )
(
P
si P ∈ A3 0 (S3d ),
P 7−→
P̂ si P 6∈ A3 0 (S3d ) .
40
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
On vérifie très facilement que i et f sont des applications croissantes, et que
(f ◦ i) (P ) = P ,
quel que soit P ∈ A3 0 (S3d )
(i ◦ f ) (P ) ≥ P ,
quel que soit P ∈ A3(S3d ) .
et
La propriété d’homotopie (lemme 1.2) permet alors de conclure.
(b) Dans la démonstration de la proposition 4.6, nous avons considéré l’ensemble Dp0 (dp) , qui consiste
en l’ensemble ordonné Dp (dp) privé des éléments de rang d − 1 . Nous avons alors montré que
Dp0 (dp) ' Dp (dp) .
¡
¢
Par suite, en vertu du lemme 6.2, le groupe d’homologie Hd−2 D30 (3d) est non nul. Or, via l’application
croissante et injective
ρ0 : D30 (3d) −→ A3 0 (S3d )
ε 7−→ ρ(ε)
,
où l’application ρ : Dp (n) → Tp (n) a déjà été définie à la remarque 4.2, le complexe simplicial ∆Dp0 (3d)
peut être vu comme un sous-complexe de ∆A3 0 (S3d ) . De plus, il est immédiat que
¡
¢
¡
¢
dim ∆A3 0 (S3d ) = dim ∆Dp0 (dp) = d − 2 .
Dès lors, le lemme 6.1 permet de conclure.
(6.8)
Remarque. La preuve qui précède n’est pas valable pour un premier p 6= 3 .
En effet, si p = 2 et n = 8 par exemple, le sous-groupe abélien élémentaire de rang 3

(1 2)(3 4) , (5 6) , (7 8)
®
∈ A2 (S8 )
est contenu dans les deux sous-groupes abéliens élémentaires maximaux suivants :
h (1 2) , (3 4) , (5 6) , (7 8)
®
et
h (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , (5 6) , (7 8)
®
∈ A2 (S8) .
Dans le cas où p ≥ 5 , on calcule facilement que si ε ⊂ Nn est un ensemble de cardinal p , alors il existe
(p − 2)! groupes cycliques d’ordre p de support ε . Ainsi, si n = dp , un sous-groupe abélien élémentaire
de rang d − 1 de la forme
P = hσ0 , σ1 , . . . , σd−3 , σd−2 i ∈ Ap (Sdp ) ,
où les σi ( i = 0, 1, . . . , d−2 ) sont des p-cycles deux à deux disjoints, est contenu dans (p − 2)! sous-groupes
abéliens élémentaires maximaux
hσ0 , σ1 , . . . , σd−3 , σd−2 , σd−1 i ∈ Ap (Sdp ) ,
où σd−1 est un p-cycle, dont le support est disjoint de celui de P .
§ 7 . Une suite spectrale
§7
41
UNE SUITE SPECTRALE
Pour commencer ce paragraphe, nous allons voir comment il est possible d’associer à une application croissante f : X → Y d’ensembles ordonnés une suite spectrale qui converge vers les groupes d’homologie de X .
Afin de se remémorer la définition d’une suite spectrale, il est possible de lire, par exemple, les premières
pages du chapitre 11 du livre de Mac Lane [ML].
Notons Ab la catégorie des groupes abéliens. Soit X un ensemble ordonné. En particulier, X peut
être vu comme une catégorie, et on peut donc se donner un foncteur F : X → Ab . Autrement dit, F
associe à tout élément x de X un groupe abélien F (x) , et à toute paire ordonnée x ≤ y dans X un
homomorphisme de groupes abéliens fx≤y : F (x) → F (y) , de telle sorte que
fy≤z ◦ fx≤y = fx≤z ,
fx≤x = IdF (x) ,
Si c = { x0 < x1 < . . . < xk }
quels que soient x ≤ y ≤ z dans X et
quel que soit x ∈ X .
est une chaı̂ne de longueur k dans X , c’est-à-dire un k-simplexe
¡
¢
dans ∆X , on pose F (c) = F (x0 ) . On définit alors les groupes d’homologie H∗ X, F de X à coefficients F , comme étant les groupes d’homologie du complexe de chaı̂nes, dont les termes sont
M
¡
¢
Ck X, F
=
F (c) · c ,
c ∈ ∆X
dim(c) = k
et les différentielles
sont données par
¡
¢
¡
¢
δk : Ck X, F
−→ Ck−1 X, F
δk : u · c 7−→ fx0 ≤x1 (u) · { x1 < x2 < . . . < xk } +
k
X
i=1
(−1)i u · { x0 < x1 < . . . < xbi < . . . < xk } ,
où u ∈ F (c) , pour une certaine chaı̂ne c = { x0 < x1 < . . . < xk } . Si F désigne le foncteur
constant Z , alors les groupes d’homologie à coefficients F coı̈ncident avec les groupes d’homologie entière
de l’ensemble ordonné X .
Si f : X → Y est une application croissante entre deux ensembles ordonnés et s est un entier, on
peut considérer le foncteur de Y dans Ab défini par y 7→ Hs ( f≤y ) . On obtient alors la suite spectrale de
Quillen associée à f ( confer [QU , section 7 ] ) :
¡
¢
2
Er,s
= Hr Y , y 7→ Hs ( f≤y ) ⇒ Hr+s ( X ) ,
dont les différentielles ϕk sont de bidegré ( −k , k − 1 ) .
Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à la suite spectrale de Quillen associée à la surjection
¡
¢
naturelle π : Tp (n) →
→ Dp (n) . Dans le cas où n = dp avec d ≥ 3 , le groupe Hd−1 Dp (dp) est nul, et
¡
¢
la suite spectrale citée ci-dessus, permet de déterminer le rang du groupe abélien libre Hd−1 Tp (dp) . En
particulier, nous verrons que celui-ci est non nul. Pour ce faire, il nous faut tout d’abord décrire les groupes
d’homologie des fibres π≤ε , pour toute p-partition ε ∈ Dp (n) .
(7.1)
Lemme. Si p est un nombre premier ≥ 5 , n un entier ≥ p et ε ∈ Dp (n) une p-partition de
¡
¢k
rang k , alors la fibre π≤ε a le type d’homotopie d’un bouquet de (p−2)!−1 sphères de dimension k−1 .
En particulier,
 ¡
¢k

(p−2)!−1

Z




Z
Hs ( π≤ε ) =


Z(p−2)!





0
si s = k − 1 et k 6= 1
si s = 0 et k 6= 1
si s = 0 et k = 1
sinon .
42
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
Preuve. Si C1 et C2 désignent deux complexes simpliciaux, le joint de C1 et C2 , que l’on note C1 ∗ C2 ,
¡ ¢
¡ ¢
est le complexe simplicial, dont l’ensemble des sommets est la réunion disjointe de Vert C1 et Vert C2 ,
et l’ensemble des simplexes est donné par
¯
C1 ∗ C2 = {s = s1 t s2 ¯ s 6= ∅
et
si ∈ Ci t {∅} pour i = 1, 2 } .
Le wedge de C1 et C2 , que l’on note C1 ∨C2 , est le quotient du complexe simplicial C1 tC2 par la relation qui
identifie un point de base de C1 et un point de base de C2 . Si C3 désigne un troisième complexe simplicial,
on montre facilement que
¡
¢
¡
¢ ¡
¢
C 1 ∨ C2 ∗ C3 ' C 1 ∗ C 3 ∨ C 2 ∗ C3 .
(7.2)
Pour l et k des entiers ≥ 1 , on définit le complexe simplicial T D ( l , k ) par
T D ( l , k ) = Nl ∗ Nl ∗ . . . ∗ Nl = ∗ k Nl ,
où Nl désigne le complexe simplicial de dimension zéro composé de l sommets. Ce complexe simplicial T D ( l , k ) a le type d’homotopie d’un bouquet de (l − 1)k sphères de dimension k − 1 . En effet, Nl
peut être vu comme un bouquet de l − 1 sphères de dimension 0 . Ainsi, en vertu de l’équivalence 7.2, on a
T D(l, k) =
_
¡ l−1
_
_
¢ ¡ l−1
¢
¡ l−1
¢
S ∗
S0 ∗ . . . ∗
S0 '
0
(l−1)k
_
(∗k S 0 ) .
En outre, on sait par [ROT , théorème 11.16 ] que, pour tout entier m ≥ 0 ,
Sm ∗ S0 ∼
= ΣS m ∼
= S m+1 ,
où ΣS m désigne la suspension de la sphère S m de dimension m . Par suite,
∗k S 0 = (S 0 ∗ S 0 ) ∗ (∗k−2 S 0 ) ∼
= S 1 ∗ (∗k−2 S 0 ) ∼
= S 2 ∗ (∗k−3 S 0 ) ∼
= ... ∼
= S k−2 ∗ S 0 ∼
= S k−1 ,
et donc T D ( l , k ) a bien le type d’homotopie d’un bouquet de (l − 1)k sphères de dimension k − 1 .
Si ζ ∈ Dp (n) désigne une p-partition de rang 1 , alors il existe exactement (p − 2)! p-groupes hσi ∈
¡ ¢
Tp (n) tels que π hσi = ζ . De ce fait, on montre aisément que si ε = { ε0 , ε1 , . . . , εk−1 } ∈ Dp (n)
désigne une p-partition de rang k , alors le complexe simplicial associé à l’ensemble ordonné π≤ε s’identifie
¡
¢
à la subdivision barycentrique du complexe simpicial T D (p − 2)! , k . Ainsi, la fibre π≤ε a le même type
¡
¢
d’homotopie que le complexe simpicial T D (p − 2)! , k . Par conséquent, en vertu de ce qui précède, la
¡
¢k
fibre π≤ε a le type d’homotopie d’un bouquet de (p − 2)! − 1 sphères de dimension k − 1 .
Avant d’énoncer le résultat essentiel de ce paragraphe, il nous faut encore démontrer le lemme suivant.
(7.3)
Lemme. Soit E une suite spectrale du premier quadrant, dont les différentielles ϕk sont de
bidegré ( −k , k − 1 ) , pour laquelle il existe un entier m ≥ 0 tel que
2
Er,s
= 0
si r + s ≥ m et (r, s) 6= (0, m) .
Autrement dit, à la deuxième page E 2 de la suite spectrale E , les termes se trouvant sur la droite r +s = m
2
sont nuls, sauf le terme E0,m
, et les termes au-dessus de cette même droite sont tous nuls. On a alors
∞ ∼
2
Er,s
= Er,s
si r + s ≥ m .
§ 7 . Une suite spectrale
43
Preuve. Nous allons montrer, par récurrence sur k ≥ 2 , que
k
2
∼
Er,s
= Er,s
si r + s ≥ m .
Pour ce faire, notons ϕ la différentielle de la suite spectrale donnée. Rappelons que, pour tous entiers
k ≥ 1 , r ≥ 0 et s ≥ 0 ,
k
k
ϕkr,s : Er,s
−−−
−→ Er−k
, s+k−1
(7.4)
et
k+1 ∼
Er,s
= Ker( ϕkr,s ) / Im( ϕkr+k , s−k+1 ) .
Soit un entier k ≥ 2 et supposons que
k
2
Er,s
= Er,s
si r + s ≥ m .
Soient deux entiers r ≥ 0 et s ≥ 0 tels que r + s ≥ m . On a alors
(r + k) + (s − k + 1) = r + s + 1 > m .
Ainsi, par hypothèse de récurrence, la différentielle ϕkr+k , s−k+1 est nulle, puisque son terme de départ est
nul. Dès lors, l’isomorphisme 7.4, devient
k+1 ∼
Er,s
= Ker( ϕkr,s ) .
(7.5)
Or, toujours par hypothèse de récurrence, on sait que
ϕkr,s = 0
si r + s ≥ m et (r, s) 6= (0, m) .
En conséquence, on en tire que
k+1
2
Er,s
= 0 = Er,s
si r + s ≥ m et (r, s) 6= (0, m) .
En outre, puisque E est une suite spectrale du premier quadrant, la différentielle ϕk0,m est nulle, car son
terme d’arrivée est nul. Par conséquent, en reprenant l’isomorphisme 7.5, on obtient
k+1 ∼
k
2
∼
E0,m
.
= Ker( ϕk0,m ) = E0,m
= E0,m
(7.6)
Proposition. Si p est un nombre premier ≥ 5 et d un entier ≥ 3 , l’ensemble ordonné Tp (dp)
est de dimension d − 1 et
³
¡
rang Hd−1 Tp (dp)
¢´
¡
¢d
(dp)! · (p − 2)! − 1
=
.
(p!)d · d!
Preuve. Le temps de cette preuve, nous adoptons la convention que si εj ∈ Dp (dp) , l’indice j indique
le rang de cette p-partition εj .
Comme annoncé, considérons la suite spectrale de Quillen E associée à la surjection naturelle
π : Tp (dp) →
→ Dp (dp) ,
44
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
donnée par
¡
¢
¡
¢
2
Er,s
= Hr Dp (dp) , ε 7→ Hs ( π≤ε ) ⇒ Hr+s Tp (dp) .
Pour commencer, nous allons montrer que cette suite spectrale vérifie les hypothèses du lemme précédent.
que
Puisque les ensembles ordonnés Tp (dp) et Dp (dp) sont de dimension d − 1 , il est tout à fait évident
2
Er,s
= 0
si r ∈
/ { 0, 1, 2, . . . , d − 1 } ou s ∈
/ { 0, 1, 2, . . . , d − 1 } .
En particulier, E est une suite spectrale du premier quadrant.
Si s = d − 1 , alors, par le lemme 7.1, on sait que Hd−1 ( π≤ε ) 6= 0 si et seulement si la p-partition
ε est de rang d . Or, si c ∈ ∆Dp (dp) désigne un simplexe de dimension non nulle, c’est-à-dire une chaı̂ne
d’au moins 2 éléments de Dp (dp) , alors l’élément minimal de cette chaı̂ne c est de rang < d . Ainsi, la
(d − 1)-ème ligne de la page E 2 est constituée des groupes d’homologie du complexe de chaı̂nes suivant
concentré en degré 0 :
0 −→
M
εd ∈ Dp (dp)
Hd−1 ( π≤εd ) −→ 0 .
Par suite, on a
E02 , d−1
(7.7)
M
=
εd ∈ Dp (dp)
Hd−1 ( π≤εd )
2
Er,d−1
= 0 si r 6= 0 .
et
Si s = d − 2 , alors, par le lemme 7.1, on sait que Hd−2 ( π≤ε ) 6= 0 si et seulement si ε est de
rang d − 1 . Ainsi, la (d − 2)-ème ligne de la page E 2 est constituée des groupes d’homologie du complexe
de chaı̂nes suivant concentré en degrés 0 et 1 :
0 −→
M
{εd−1 < εd } ⊂ Dp (dp)
M
δ
1
−→
Hd−2 ( π≤εd−1 )
εd−1 ∈ Dp (dp)
Hd−2 ( π≤εd−1 ) −→ 0 .
Or, si εd−1 ∈ Dp (dp) est une p-partition de rang d − 1 , il existe une unique partition εd de rang maximal
telle que εd−1 < εd ( cet argument nous a déjà permis de démontrer la proposition 4.6 ). Dès lors, la
différentielle δ1 est un isomorphisme qui, pour toute p-partition εd−1 ∈ Dp (dp) de rang d − 1 , identifie
les coefficients Hd−2 ( π≤εd−1 ) associés au simplexe {εd−1 < εd } , aux coefficients Hd−2( π≤εd−1 ) associés
au simplexe {εd−1 } . Donc, a fortiori, on en déduit que
Er2 , d−2 = 0 ,
(7.8)
quel que soit r ∈ Z .
Si 1 ≤ s < d − 2 , alors, par le lemme 7.1, on sait que Hs ( π≤ε ) 6= 0 si et seulement si ε est de
rang s + 1 . Ainsi, la s-ème ligne de la page E 2 est constituée des groupes d’homologie d’un complexe de
chaı̂nes, dont l’extrémité de gauche est de la forme :
0
M
δd−s
−−−
−→
{εs+1 < εs+2 < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
Hs ( π≤εs+1 )
(7.9)
δd−s−1
−−−
−→
d
M
¡
j = s+2
M
{εs+1 < ... < ε̂j < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
Hs ( π≤εs+1 )
¢
δd−s−2
−−−
−→ . . . ,
où le signe ˆ au dessus de εj signifie que l’on efface le sommet εj . Considérons le facteur de δd−s−1 ,
(δd−s−1 )d :
M
{εs+1 < εs+2 < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
Hs ( π≤εs+1 ) −−−
−→
M
{εs+1 < εs+2 < ... < εd−1 } ⊂ Dp (dp)
Hs ( π≤εs+1 )
¢
.
§ 7 . Une suite spectrale
45
Si {εs+1 < εs+2 < . . . < εd−1 } est une chaı̂ne dans Dp (dp) , alors il existe une unique p-partition εd de
rang maximal telle que εd−1 < εd . Dès lors, l’application (δd−s−1 )d est un isomorphisme qui, aux coefficients Hs ( π≤εs+1 ) associés à la chaı̂ne {εs+1 < εs+2 < . . . < εd−1 < εd } ⊂ Dp (dp) , fait correspondre
les coefficients Hs ( π≤εs+1 ) associés à la chaı̂ne {εs+1 < εs+2 < . . . < εd−1} ⊂ Dp (dp) . En particulier,
on peut donc affirmer que la différentielle δd−s−1 est injective. Par suite, le r-ème groupe d’homologie du
complexe de chaı̂nes 7.9 est nul si r ≥ d − s − 1 . Autrement dit, on a montré que
2
Er,s
= 0 ,
(7.10)
si 1 ≤ s < d − 2 et r + s ≥ d − 1 .
Si s = 0 , alors, par le lemme 7.1, on sait que
(
Z
H0( π≤ε ) =
Z(p−2)!
si rang(ε) 6= 1
si rang(ε) = 1 .
Ainsi, la 0-ème ligne de la page E 2 est constituée des groupes d’homologie d’un complexe de chaı̂nes, dont
l’extrémité de gauche est de la forme :
0
−−−
−→
δd−1
−−−
−→
M
{ε1 < ε2 < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
¡
H0 ( π≤ε1 )
M
Z
{ε2 < ε3 < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
¢
d
M
¡
⊕
j =2
M
{ε1 < ... < ε̂j < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
H0 ( π≤ε1 )
¢
δd−2
−−−
−→ . . . .
Or, si {ε1 < ε2 < . . . < εd−1 } est une chaı̂ne dans Dp (dp) , alors il existe une unique p-partition εd de
rang maximal telle que εd−1 < εd ( toujours la même propriété de Dp (dp) ). Dès lors, le facteur de δd−1 ,
(δd−1)d :
M
{ε1 < ε2 < ... < εd } ⊂ Dp (dp)
M
H0 ( π≤ε1 ) −−−
−→
{ε1 < ε2 < ... < εd−1 } ⊂ Dp (dp)
H0 ( π≤ε1 )
¢
,
est un isomorphisme. En particulier, il s’ensuit que la différentielle δd−1 est injective et donc
2
Ed−1
,0 = 0 .
(7.11)
Finalement, au vu des égalités 7.7 , 7.8 , 7.10 et 7.11, la deuxième page de la suite spectrale E vérifie
la condition
(7.12)
2
Er,s
= 0
si r + s ≥ d − 1 et (r, s) 6= (0 , d − 1) .
Dès lors, grace au lemme 7.3, on en déduit que
∞ ∼
2
Er,s
= Er,s
si r + s ≥ d − 1 .
Mais la suite spectrale E converge vers les groupes d’homologie de l’ensemble ordonné Tp (dp) , et donc les
¡
¢
∞
termes Er,s
de la droite r + s = d − 1 nous donnent une filtration du groupe d’homologie Hd−1 Tp (dp) .
Ainsi, en vertu de l’égalité 7.7, on a
¡
¢
∼
Hd−1 Tp (dp)
= E02 , d−1
=
M
εd ∈ Dp (dp)
Hd−1 ( π≤εd ) .
Or, par le lemme 7.1, on sait que
M
εd ∈ Dp (dp)
Hd−1 ( π≤εd ) ∼
=
M
εd ∈ Dp (dp)
Z
¡
(p−2)!−1
¢d
.
46
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
¡
¢
Autrement dit, le groupe d’homologie Hd−1 Tp (dp) est un groupe abélien libre de rang ν , où
On calcule facilement que
¯
©
ª ¡
¢d
ν = ] εd ∈ Dp (dp) ¯ rang(εd ) = d · (p − 2)! − 1 .
¯
©
ª
] εd ∈ Dp (dp) ¯ rang(εd ) = d =
=
µ
dp
p
¶µ
¶
µ ¶µ ¶
(d − 1) p
2p p
···
p
p
p
d!
(dp)!
.
(p!)d · d!
La conclusion est alors immédiate.
(7.13)
Remarque. L’argument essentiel de cette preuve réside dans le fait que toute p-partition
εd−1 ∈ Dp (dp) de rang d − 1 est contenue dans une unique p-partition de rang maximal. Dans le cas
où n n’est pas un multiple de p , l’ensemble ordonné Dp (n) ne jouit évidemment plus de cette propriété.
Néanmoins, si n = dp + r avec 0 < r < p , le complexe simplicial ∆Tp (dp) peut être vu comme un
sous-complexe de ∆Tp (n) et
¡
¢
¡
¢
dim ∆Tp (dp) = dim ∆Tp (n) = d − 1 .
Ainsi, en vertu du lemme 6.1, on en déduit que
³
³
¡
¢´
¡
¢´
rang Hd−1 Tp (n)
≥ rang Hd−1 Tp (dp)
.
§8
LES GROUPES D’HOMOLOGIE DE DEGRÉ ÉLEVÉ DU COMPLEXE DE QUILLEN
ET DU COMPLEXE DES p-CYCLES
Si n < p2 , nous avons vu au corollaire 3.3, que l’inclusion de l’ensemble ordonné Tp (n) dans l’ensemble
ordonné Ap (Sn ) est une équivalence d’homotopie. Par contre, sauf exceptions que l’on mentionnera à la
remarque 15.6 , les ensembles Tp (n) et Ap (Sn ) n’ont plus le même type d’homotopie lorsque n ≥ p2 ,
car Ap (Sn ) contient alors des p-sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang ≥ 2 .
Cependant nous allons voir, dans la proposition qui suit, que les groupes d’homologie de degré suffisament
élevé de Tp (n) et Ap (Sn ) restent isomorphes, même si n ≥ p2 .
(8.1)
Proposition. Soient p un nombre premier impair et n ≥ p2 un nombre entier, que l’on écrit
n = dp + r avec d ≥ p et 0 ≤ r < p . Quel que soit l’entier k ≥ d − p + 2 , on a
¡
¢
¡
¢
Hk Ap (Sn ) ∼
= Hk Tp (n) .
Preuve. Au lemme 3.2, nous avons montré que l’inclusion de Tp (n) dans l’ensemble ordonné
TAp (n) =
©
¯
ª
H ∈ Ap (Sn ) ¯ les orbites de H sont toutes de cardinal p
§ 8 . Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles
47
est une équivalence d’homotopie. A fortiori, il s’ensuit que, quel que soit l’entier k ≥ 0 ,
¡
¢
¡
¢
Hk TAp (n) ∼
= Hk Tp (n) .
(8.2)
Soient k ≥ 0 et s = { P0 < P1 < . . . < Pk } une chaı̂ne de longueur k dans Ap (Sn ) qui ne
soit pas entièrement contenue dans TAp (n) . Montrons que cette condition sur la chaı̂ne s implique que
k ≤ d − p + 1 . Il est tout à fait évident que
k ≤ rang(Pk ) − 1 .
En outre, puisque la chaı̂ne s n’est pas dans TAp (n) , on peut affirmer que Pk 6∈ TAp (n) , ce qui signifie
que le groupe Pk admet au moins une orbite de cardinal pu ≥ p2 . En vertu des propositions 2.1 et 2.2,
on en déduit que Pk est un sous-groupe d’un groupe abélien élémentaire Q = Q1 × Q2 , où Q1 ∈ Ap (Sn )
est un p-sous-groupe relativement transitif de rang u ≥ 2 , dont le support, de cardinal pu , est disjoint du
¡
¢
support de Q2 ∈ Ap Nn \ Supp(Q1 ) . En particulier, on a
³ ¡
¢´
¡
¢
rang(Q2 ) ≤ dim Ap Nn \ Supp(Q1 )
+ 1 = dim Ap (Sn−pu ) + 1 = d − pu−1 .
Par suite, on a
k ≤ rang(Pk ) − 1 ≤ rang(Q) − 1 = rang(Q1 ) + rang(Q2 ) − 1 ≤ u + d − pu−1 − 1 .
Considérons la fonction g qui envoie l’entier u ≥ 2 sur l’entier g(u) = u + d − pu−1 − 1 . Cette fonction est
clairement décroissante et par conséquent, on a l’inégalité annoncée
k ≤ u + d − pu−1 − 1 = g(u) ≤ g(2) = d − p + 1 .
Autrement dit, on a montré que si s est une chaı̂ne de longueur k ≥ d − p + 2 dans Ap (Sn ) , alors
cette chaı̂ne s est nécessairement entièrement contenue dans le sous-ensemble ordonné TAp (n) . Par suite,
¡
¢
¡
¢
Ck TAp (n) = Ck Ap (Sn ) ,
si k ≥ d − p + 2 ,
et via l’isomorphisme 8.2, on obtient finalement
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Hk Tp (n) ∼
= Hk TAp (n) = Hk Ap (Sn ) ,
(8.3)
si k ≥ d − p + 2 .
Corollaire. Si p est un nombre premier ≥ 5 et n = dp où d est un entier ≥ 3 , alors
l’ensemble ordonné Ap (Sdp ) est de dimension d − 1 et son groupe d’homologie de degré maximal est donné
par
³
¡
rang Hd−1 Ap (Sdp )
¢´
¡
¢d
(dp)! · (p − 2)! − 1
=
.
(p!)d · d!
¡
¢
En outre, le groupe d’homologie Hd−2 Ap (Sdp ) est non nul.
Preuve. Si n < p2 , on sait par le corollaire 3.3 que les ensembles Ap (Sdp ) et Tp (dp) ont le même
type d’homotopie. En particulier, leurs groupes d’homologie sont isomorphes. Dans le cas où n ≥ p2 , on
sait par la proposition 8.1 que
¡
¢
¡
¢
Hd−1 Ap (Sdp ) ∼
= Hd−1 Tp (dp)
et
¡
¢
¡
¢
Hd−2 Ap (Sdp ) ∼
= Hd−2 Tp (dp) .
Par suite, la remarque 6.6 et la proposition 7.6 permettent de conclure.
48
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
(8.4)
Remarque. Dans le cas où p = 2 , la condition k ≥ d − p + 2 devient k ≥ d , et, par
conséquent, le raisonnement ci-dessus ne nous apprend rien de nouveau, car
¡
¢
¡
¢
dim D2 (2d + r) = dim A2 (2d + r) = d − 1 < d .
Si p est un premier impair et n un entier tel que p2 ≤ n < p2 + p , alors, par la proposition 8.1, on
sait que
¡
¢
¡
¢
Hk Ap (Sn ) ∼
= Hk Tp (n)
si
k≥2.
En fait, il est possible d’être beaucoup plus précis. Dans la proposition à venir, nous allons montrer que,
dans cette situation où n est à peine plus grand que p2 , le type d’homotopie de l’ensemble ordonné Ap (Sn )
est déterminé par celui de l’ensemble ordonné Tp (n) . Mais avant d’énoncer ce résultat, nous allons rappeler
ce qu’est le cône d’une application continue.
Soient X , Y deux espaces topologiques, x0 ∈ X et f : X → Y une application continue. Sur
¡
¢
l’espace X × [0, 1] t Y , on considère la relation d’équivalence ∼ , définie par
(x, 0) ∼ (x0 , 0)
et
(x, 1) ∼ f(x) ,
∀ x∈X .
Le cône de f , que l’on note Cf , est alors l’espace topologique quotient
Cf =
¡
X × [0, 1]
¢
t Y / ∼ .
Le lemme qui suit est une propriété de base, dont on peut trouver la preuve dans [CO , page 5 ].
(8.5)
Lemme. Si f, g : X → Y sont deux applications continues homotopes, alors les espaces
topologiques Cf et Cg ont le même type d’homotopie.
(8.6)
Exemple. Soient Y un espace topologique connexe par arcs, { y , y1 , y2 , . . . , yn } une famille
de n + 1 points dans Y et x un point hors de Y . Considérons l’espace topologique Y1 obtenu à partir de
l’espace Y en reliant par une arête le sommet x à chacun des sommets yi ( i = 1, 2, . . . , n ). Considérons
encore l’espace Y2 obtenu à partir de l’espace Y en reliant les sommets y et x par n arêtes distinctes.
On peut représenter les espaces Y1 et Y2 par les dessins suivants :
Nous allons montrer que
Y1 ' Y2 ' Y ∨
_
¡ n−1
S1
¢
§ 8 . Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles
49
Pour ce faire, on se donne X = { x1 , x2 , . . . , xn } un espace topologique discret formé de n points et on
considère les deux applications f, g : X → Y , définies par
f : xi 7→ yi
et
g : xi 7→ y ,
∀ i = 1, 2, . . . , n .
Elles sont bien entendu continues, puisque l’espace topologique X est discret. En outre, les applications f
et g sont homotopes. En effet, si, pour tout i = 1, 2, . . . , n , ci désigne un chemin de y vers yi dans Y ,
alors l’application
H : X × [0, 1] −→ Y
définie par
(xi , t) 7−→ ci (t)
∀ i = 1, 2, . . . , n ,
est une homotopie. Ainsi, en vertu du lemme 8.5, les espaces topologiques Cf et Cg ont le même type
d’homotopie. Or il est clair que Cf ' Y1 et Cg ' Y2 (où le point x désigne la classe d’équivalence
X × {0} ). Par conséquent, on a
Y1 ' Cf ' Cg ' Y2 .
De plus, en contractant une des n arêtes de Y2 , qui n’est pas dans Y , on se convainc aisément que Y2 a
le même type d’homotopie que le wedge de l’espace topologique Y et d’un bouquet de n − 1 cercles. En
résumé, on a donc bien
Y1 ' Y2 ' Y ∨
_
¡ n−1
S1
¢
Cet exemple permet de démontrer le lemme suivant.
(8.7)
Lemme. Soient X un ensemble ordonné connexe, Y , Z deux sous-ensembles de X tels que
X = Y t Z et notons f l’inclusion de Z dans X . Si Y est connexe et Z = { z1 , z2 , . . . , zc } est formé
d’éléments de X maximaux de rang 2 , alors
∆X ' ∆Y ∨
u
¡_
S
1
¢
,
où
u =
c
X
¡
i=1
¢
]( f≤zi ) − 1 .
Preuve. On peut représenter le complexe simplicial ∆X par le dessin suivant.
Remarquons que, puisque X connexe et zi ∈ X maximal de rang 2 , la fibre f≤zi est non vide de dimension
zéro, quel que soit i = 1, 2, . . . , c .
Pour i = 1, 2, . . . , c , notons Yi le sous-ensemble ordonné de X défini par
Yi = Y ∪ { z1 , z2 , . . . , zi } .
50
Chapitre 2 . Groupes d’homologie de degré élevé
En vertu de l’exemple 8.6, on sait que, pour tout i = 1, 2, . . . , c , on a
∆Yi ' ∆Yi−1 ∨
ui
¡_
S1
On en déduit alors, par associativité du wedge, que
∆X = ∆Yc ' ∆Y ∨
u
¡_
S
1
¢
,
¢
où
,
où
u =
ui = ]( f≤zi ) − 1 .
c
X
i=1
ui =
c
X
¡
i=1
¢
]( f≤zi ) − 1 .
(8.8) Proposition. Si p est un nombre premier impair et n un nombre entier tel que p2 ≤ n < p2 +p ,
alors on a
où u =
u
¡
¢
¡
¢ ¡_
¢
∆ Ap (Sn ) ' ∆ Tp (n) ∨
S1 ,
n!
.
p2 (p − 1)2 (p + 1) (n − p2 )!
Preuve. Soit f l’inclusion de l’ensemble ordonné T Ap (n) dans Ap (Sn ) . Par les propositions 2.1
et 2.2, et puisque p2 ≤ n < p2 + p , on sait que les seuls éléments de Ap (Sn ) qui ne sont pas dans T Ap (n) ,
sont des sous-groupes abéliens élémentaires relativement transitifs de rang 2 . En outre, ces derniers sont des
éléments maximaux de l’ensemble ordonné Ap (Sn ) . Si P désigne un tel sous-groupe abélien élémentaire,
alors la fibre f≤P est un ensemble ordonné de dimension 0 , constitué de p + 1 sous-groupes cycliques
¡
¢
d’ordre p . Autrement dit, on peut représenter le complexe simplicial ∆ Ap (Sn ) de la manière suivante :
où { P1 , P2 , . . . , Pc } ⊂ Ap (Sn ) désigne l’ensemble des sous-groupes abéliens élémentaires relativement
¡
¢
transitifs de rang 2 et ∆Y = ∆ T Ap (n) . (Si i 6= j , alors l’intersection des fibres i≤Pi et i≤Pj est
de cardinal au plus 1 . Mais, en fait, ce détail n’a pas d’importance dans cette preuve. ) En appliquant le
lemme 8.7, on obtient
u
u
c
X
¡
¢
¡
¢ ¡_
¢
¡
¢ ¡_
¢
¡
¢
∆ Ap (Sn ) = ∆ T Ap (n) ∨
S 1 ' ∆ Tp (n) ∨
S 1 , où u =
]( f≤Pi ) − 1 = c · p .
i=1
Pour conclure, il ne nous reste donc plus qu’à compter le nombre c de sous-groupes abéliens élémentaires
relativement transitifs de rang 2 dans Ap (Sn ) . Dans ce but, considérons l’action par conjugaison du groupe
symétrique Sn sur l’ensemble ordonné Ap (Sn ) . Par le lemme 2.5, on sait que tous les p-sous-groupes
abéliens élémentaires relativement transitifs de rang 2 de Sn sont conjugués. De plus, si P désigne un tel
sous-groupe de Sn , alors les lemmes 2.6 et 2.7 nous donnent le normalisateur de P dans Sn :
NSn (P ) ∼
= (P × Sn−p2 ) o GL2 (Fp ) .
§ 8 . Les groupes d’homologie de degré élevé du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles
On peut alors écrire
¯
c = ] { gP g −1 ¯ g ∈ Sn } =
|Sn |
n!
= 2
,
|NSn (P )|
p (n − p2 )! (p2 − 1) (p2 − p)
et on en déduit que
u = c·p =
n!
.
p2 (p − 1)2 (p + 1) (n − p2 )!
51
CHAPITRE 3
Groupe fondamental et k-connexité
Soit p un nombre premier, n un entier et désignons par Ep (n) l’un des trois ensembles ordonnés Dp (n) ,
Tp (n) ou Ap (Sn ) . On sait que Ep (n) est non vide ( i.e. (−1)-connexe ) si n ≥ p , qu’il est connexe ( i.e.
0-connexe ) si n ≥ 2p + 1 . Il est alors tout à fait naturel de se demander pour quelles valeurs de l’entier n ,
l’ensemble ordonné Ep (n) est simplement connexe (i.e. 1-connexe ). Plus généralement, si l’on se fixe un
entier k ≥ −1 , est-il possible de déterminer les valeurs de n pour lesquelles Ep (n) est k-connexe ?
Au premier paragraphe de ce chapitre, nous démontrons que le complexe des p-cycles ∆Tp (n) est
simplement connexe si n ≥ 3p + 2 . De ce résultat on déduit alors, premièrement que le complexe des ppartitions ∆Dp (n) est lui aussi simplement connexe si n ≥ 3p + 2 , deuxièmement que, quel que soit l’entier
n ≥ 3p + 2 , le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) est simplement connexe, sauf si p2 ≤ n < p2 + p . Par la suite,
nous montrons que le groupe fondamental de l’ensemble ordonné Dp (3p + 1) n’est pas trivial, puis nous en
déduisons qu’il en est de même du groupe fondamental des ensembles ordonnés Tp (3p + 1) et Ap (S3p+1 ) ,
¡
¢
mis à part le cas particulier π1 A2 (S7) .
Finalement, au dernier paragraphe, il est prouvé, en raisonnant par récurrence sur k ≥ 0 , que les
ensembles ordonnés Dp (n) et Tp (n) sont (k + 1)-connexes si n > (3p + 1) + k(2p − 1) . Par contre,
l’ensemble Ap (Sn ) ne jouit pas de cette propriété.
54
§9
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
LE GROUPE FONDAMENTAL DU COMPLEXE DES p-CYCLES
¡ ¢
Un complexe simplicial C est dit simplement connexe s’il est connexe et si son groupe fondamental π1 C
est trivial. Dans ce paragraphe, nous allons montrer que le complexe des p-cycles ∆Tp (n) est simplement
connexe si n = 3p + 2 , puis nous généraliserons ce résultat au cas où n ≥ 3p + 2 . La remarque qui suit est
tout à fait triviale, mais elle est essentielle à la compréhension de la suite.
(9.1)
Remarque. Soient X un ensemble ordonné et x1 < x2 < x3 une chaı̂ne dans X .
Dans le complexe simplicial ∆X , on considère le chemin c1 = cx1 ,x3 reliant le sommet x1 au sommet x3
par l’arête { x1 , x3 } , le chemin c2 = cx1 ,x2 ,x3 reliant le sommet x1 au sommet x3 par la réunion des arêtes
{ x1 , x2 } et { x2 , x3 } et c3 un chemin de x1 à x3 quelconque à l’intérieur du 2-simplexe { x1 , x2 , x3 } .
Ces trois chemins, puisque { x1 , x2 , x3 } est un simplexe, sont évidemment homotopes.
Au vu de cette dernière remarque, on réalise que si X est un ensemble ordonné, tout chemin dans ∆X
est homotope à un chemin reliant par des arêtes une suite de sommets de X . Par conséquent, le groupe
fondamental du complexe simplicial ∆X est déterminé par les lacets formés d’une suite de sommets de
l’ensemble ordonné X . Si x1 , x2 , x3 , . . . , xm est une suite de sommets de X dont les éléments consécutifs
sont comparables, on note cx1 , x2 , x3 , ... , xm le chemin dans ∆X reliant ces sommets. Autrement dit, le
chemin cx1 , x2 , x3 , ... , xm relie le sommet x1 au sommet xm par la réunion des arêtes { xi , xi+1 } ∈ ∆X
( i = 1, 2, . . . , m − 1 ). Désormais, nous ne considérerons plus que des chemins de ce type.
Les deux lemmes qui suivent vont nous être très utiles dans l’étude du groupe fondamental d’ensembles
ordonnés. Le premier est dû à Bouc ( [BO3 , Lemme 6 ] ). Le second en est une version adaptée au besoin
de situations à venir.
(9.2)
Lemme. Soient X un ensemble ordonné connexe et f une application croissante de X dans
un ensemble ordonné Y . Si pour tout élément y de Y , la fibre f≤y est non vide, et si de plus, cette fibre
est connexe lorsque y est un élément maximal de Y , alors le morphisme π1 (f ) : π1 (X) −→ π1 (Y ) est
surjectif.
(9.3)
Lemme. Soient X une partie fermée d’un ensemble ordonné connexe Y (c’est-à-dire que les
conditions y ∈ Y et y ≤ x ∈ X impliquent y ∈ X ), f l’inclusion de X dans Y et x ∈ X . Si tout
lacet de base x dans ∆Y se décompose en produit de lacets de base x dans ∆X et de lacets de base x
ayant un seul sommet y hors de ∆X avec de plus, la fibre f≤y connexe non vide, alors le morphisme
π1 (f ) : π1 (X, x) −→ π1(Y, x) est surjectif.
Preuve. Soit l un lacet de base x dans ∆Y ayant un seul sommet y hors de ∆X avec de plus,
la fibre f≤y connexe non vide. On peut représenter le lacet l par le dessin qui suit. Il est raisonnable de
dessiner le sommet y au-dessus de ∆X , puisque X est une partie fermée de Y .
§ 9 . Le groupe fondamental du complexe des p-cycles
55
On note l = c1 ∗ cx1 ,y,x2 ∗ c2 où c1 et c2 sont des chemins dans ∆X reliant respectivement x à x1 et x2
à x . Soit x3 ∈ f≤y un sommet dans X tel que x3 soit comparable à x2 . Alors l’ensemble { x2 , x3 , y }
est un 2-simplexe dans ∆Y .
Ainsi le lacet l est homotope au produit des lacets l1 et l2 , où
l1 = c1 ∗ cx1 ,y,x3 ∗ (cx3 ,x2 ∗ c2 )
et
l2 = (c2 )−1 ∗ cx2 ,x3 ,y,x2 ∗ c2 .
Or par la remarque 9.1, le lacet l2 est homotope au lacet trivial. Par conséquent, le lacet l est homotope
au lacet l1 . Puisque la fibre f≤y est connexe, il existe dans f≤y une suite de sommets
x2 , x3 , . . . , xm , xm+1 = x1
telle que , quel que soit l’entier i = 2, 3, . . . , m , les éléments consécutifs xi et xi+1 sont comparables. Dès
lors, on a
l ' c1 ∗ cx1 ,y,x3 ∗ (cx3 ,x2 ∗ c2 ) ' c1 ∗ cx1 ,y,x4 ∗ (cx4 ,x3 ,x2 ∗ c2 ) ' . . .
' c1 ∗ cx1 ,y,x1 ∗ (cx1 ,xm , ... ,x3 ,x2 ∗ c2) ' c1 ∗ cx1 ,xm , ... ,x3 ,x2 ∗ c2 .
Autrement dit, l est homotope à un lacet dans f≤y ⊂ ∆X et on en déduit que le morphisme
π1 (f ) : π1 (X, x) −→ π1 (Y, x)
est surjectif.
Ce dernier lemme va nous aider à démontrer le théorème important suivant.
(9.4)
Théorème. Si p est un nombre premier et n un entier ≥ 3p + 2 , l’ensemble ordonné Tp (n)
est simplement connexe.
Dans le but de démontrer ce théorème, nous allons commencer par prouver la proposition suivante qui
traite du cas particulier où n = 3p + 2 . La preuve de cette proposition est très longue.
56
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
(9.5)
connexe.
Proposition. Quel que soit le nombre premier p , l’ensemble ordonné Tp (3p+2) est simplement
Preuve. Dans le cas où p = 2 , les ensemble ordonnés D2 (n) et T2 (n) coincident, et Bouc a déjà
montré, dans son article [BO3 , Proposition 2 ], que D2 (n) est simplement connexe si n ≥ 8 . Dès lors, on
peut supposer que p ≥ 3 . De plus, par la proposition 3.4, on sait que l’ensemble ordonné Tp (3p + 2) est
¡
¢
connexe, et donc l’essentiel de cette preuve consiste à montrer que le groupe fondamental π1 Tp (3p + 2)
est trivial.
Soit X le sous-ensemble de Tp (3p + 2) défini de la manière suivante :
¯
n
o

®
¯
X = P ∈ Tp (3p + 2) ¯ P = (1 2 3 . . . p) ou P contient un p-cycle disjoint de (1 2 3 . . . p) .
Remarquons qu’il est possible d’avoir hσi 6∈ X avec Supp(σ) = { 1 , 2 , 3 , . . . , p } si et seulement si p ≥ 5 .
Montrons que cet ensemble ordonné X est contractile. Dans ce but, considérons le sous-ensemble V
de Tp (3p + 2) suivant :
V =
©
¯
ª
P ∈ Tp (3p + 2) ¯ (1 2 3 . . . p) ∈ P ou Supp(P ) ∩ Np = ∅
Dans la démonstration du lemme 5.5, nous avons montré que cet ensemble ordonné V
En outre, si j désigne l’inclusion de V
est contractile.
dans X et P ∈ X , alors on montre aisément que la fibre j≤P
contient un maximum absolu, que l’on note f (P ) . On obtient ainsi une application croissante f : X → V ,
et on vérifie très facilement que
(j ◦ f ) (P ) ≤ P ,
quel que soit P ∈ X
(f ◦ j) (P ) = P ,
quel que soit P ∈ V .
et
Par conséquent, en vertu du lemme 1.2, l’inclusion j est une équivalence d’homotopie et l’ensemble ordonné X est donc contractile.
Notons g l’inclusion de X dans Tp (3p + 2) . Il est évident que si P ∈ Tp (3p + 2) et Q ∈ X tels
que P ≥ Q , alors P ∈ X . Autrement dit, si P ∈ Tp (3p + 2) \ X est comparable à un sous-groupe abélien
élémentaire Q ∈ X , alors il est forcé que P < Q . C’est pourquoi, dans tous les dessins qui suivent, un
tel P est dessiné en-dessous de ∆X . Puisque l’ensemble ordonné Tp (3p + 2) est connexe, le choix du
point de base n’a aucune importance. En particulier, on peut se donner un point de base A dans X . Soit
alors l un lacet de base A dans ∆Tp (3p + 2) . En décomposant l \ ∆X en ses composantes connexes, on
obtient :
(9.6)
Puisque ∆X est connexe, il existe un chemin dans ∆X reliant le point de base A à chacun des Ai
( i = 1, 2, . . . , m ) . Ainsi, il est possible de décomposer le lacet l en un produit de lacets de base A ayant
¡
¢
au plus une composante connexe hors de ∆X . Dès lors, le groupe fondamental π1 Tp (3p+2) est engendré
par les lacets contenus dans ∆X et les lacets l tels que l \ ∆X soit connexe.
§ 9 . Le groupe fondamental du complexe des p-cycles
57
Si l désigne un tel lacet, on peut le représenter par le dessin suivant :
En vertu de la remarque 9.1 et comme le suggère le dessin ci-dessus, on peut supposer que s ∈ N est
impair et que les sous-groupes abéliens élémentaires P1 , P3 , P5 , . . . , Ps sont des éléments minimaux de
l’ensemble ordonné Tp (3p + 2) , c’est-à-dire des groupes cycliques engendrés par un p-cycle. Par suite,
puisque n = 3p + 2 ≥ 3p − 1 , la fibre g≥Pi est non vide, quel que soit i = 1, 3, 5, . . . , s . On peut alors
choisir pour chaque Pi avec i impair, un sous-groupe abélien élémentaire Qi ∈ X tel que Qi ≥ Pi , et
ainsi décomposer le lacet l en lacets de base A ayant au plus trois sommets hors de ∆X .
Soit l un lacet ayant exactement trois sommets hors de ∆X .
Comme déjà mentionné ci-dessus, on peut considérer que P1 = hσ1 i et P2 = hσ2 i , où les permutations
σ1 , σ2 ∈ S3p+2 sont des p-cycles. Ainsi on a hσ1 , σ2i ≤ P3 et le dernier dessin montre pourquoi on peut
supposer que P3 = hσ1 , σ2 i . Autrement dit, le lacet l peut être supposé de la forme
l = c1 ∗ cA1 ,hσ1 i,hσ1 , σ2 i,hσ2 i,A2 ∗ c2 ,
où c1 et c2 sont des chemins dans ∆X reliant respectivement A à A1 et A2 à A . Montrons alors que
le lacet l se décompose en lacets de base A ayant au plus un sommet hors de ∆X .
Pour ce faire, considérons l’application
ξ : { p-cycles σ ∈ S3p+2 } −→ { 0 , 1 , 2 , . . . , p }
définie par
¡
¢
σ 7−→ ] Supp(σ) ∩ Np .
Tout d’abord, nous allons supposer que les permutations σ1 et σ2 sont telles que ξ(σ1 ) + ξ(σ2 ) ≥ p − 2 .
Dans un tel cas, la fibre g≥hσ1 , σ2 i est non vide, car
³
´
¡
¢
¡
¢
] Supp hσ1 , σ2i ∪ Np = (3p + 2) − 3p − ξ(σ1 ) − ξ(σ2) = 2 + ξ(σ1 ) + ξ(σ2 ) ≥ p .
58
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Ainsi il existe A3 ∈ X tel que A3 > P3 . Le lacet l se décompose donc en le produit des deux lacets
suivants :
qui sont tous deux clairement homotopes à des lacets ayants un seul sommet hors de ∆X .
Revenons, à présent, au cas général. On définit le type du lacet
l = c1 ∗ cA1 ,hσ1 i,hσ1 , σ2 i,hσ2 i,A2 ∗ c2 ,
comme étant le couple d’entiers naturels (α , β) , où
©
ª
α = min ξ(σ1 ) , ξ(σ2 )
et
Considérons l’ensemble C défini par
C =
©
©
ª
β = max ξ(σ1 ) , ξ(σ2 ) .
¯
(α , β) ¯ α, β ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , p } , α ≤ β
et
α+β ≤ p
ª
,
et l’ensemble D formé des couples (α , β) ∈ C tels que tout lacet de type (α , β) se décompose en lacets
de base A dans ∆Tp (3p + 2) ayant au plus un sommet hors de ∆X . Montrons que C = D . Pour ce faire,
on munit l’ensemble C de l’ordre lexicogaphique, c’est-à-dire l’ordre total défini de la manière suivante. Si
(α1 , β1 ) , (α2 , β2 ) ∈ C , on pose
(α1 , β1 ) < (α2 , β2 )
⇐⇒
nα < α
ou
1
2
α1 = α2 et β1 < β2 .
Soient (α , β) ∈ C et l = c1 ∗ cA1 ,hσ1 i,hσ1 , σ2 i,hσ2 i,A2 ∗ c2 un lacet de type (α , β) . Nous allons montrer,
par récurrence sur l’ordre dans C , que (α , β) ∈ D .
Nous avons déjà vu ci-dessus que
(9.7)
α+β ≥p−2
=⇒
(α , β) ∈ D .
On peut donc supposer α + β < p − 2 . Si σ3 est un p-cycle disjoint de σ1 et σ2 , alors il existe A3 ∈ g≥hσ3 i
et les dessins suivants montrent comment, en trois étapes, le lacet l = c1 ∗ cA1 ,hσ1 i,hσ1 , σ2 i,hσ2 i,A2 ∗ c2
décompose en deux lacets
l1 = c1 ∗ cA1 ,hσ1 i,hσ1 , σ3 i,hσ3 i,A3 ∗ c3
et
où c3 désigne un chemin dans ∆X reliant A3 à A .
l2 = (c3 )−1 ∗ cA3 ,hσ3 i,hσ3 , σ2 i,hσ2 i,A2 ∗ c2 ,
se
§ 9 . Le groupe fondamental du complexe des p-cycles
59
¡
¢
Autrement dit, notre lacet l de type ξ(σ1 ) , ξ(σ2 ) se décompose en deux lacets l1 et l2 de type
¡
¢
¡
¢
respectivement ξ(σ1 ) , ξ(σ3 ) et ξ(σ3 ) , ξ(σ2 ) . On note dans ce cas
(9.8)
Puisque σ1 et σ2
¡
¢
¡
¢ ¡
¢
ξ(σ1 ) , ξ(σ2 ) ∼ ξ(σ1 ) , ξ(σ3 ) ∗ ξ(σ3 ) , ξ(σ2 ) .
³
¡
¢´
sont des p-cycles disjoints, on a ] Supp hσ1 , σ2 i
= (3p + 2) − 2p = p + 2 . Par
suite, on en tire que
¯
¯
©
ª
©
ª
ξ(σ3 ) ¯ σ3 ∈ S3p+2 p-cycle disjoint de hσ1 , σ2 i = p − ξ(σ1 ) − ξ(σ2 ) − i ¯ i = 0, 1, 2 .
Autrement dit, au type (α , β) du lacet l , il est possible d’appliquer les trois opérations suivantes :
0
(α , β) ∼ (α , p − α − β) ∗ (p − α − β , β) ,
(9.9)
1
(α , β) ∼ (α , p − α − β − 1) ∗ (p − α − β − 1 , β) ,
2
(α , β) ∼ (α , p − α − β − 2) ∗ (p − α − β − 2 , β) .
(Remarquer que α + β < p − 2 , de telle sorte que p − ξ(σ1) − ξ(σ2 ) − 2 ≥ 1 .) De plus, il est tout à fait
clair que
(9.10)
(α , β) ∼ (α , γ) ∗ (γ , β) et
(α , γ) , (γ , β) ∈ D
=⇒
(α , β) ∈ D .
¡
¢
Remarquons que les notations 9.8 et 9.9 sont abusives. En effet, nous avons noté ξ(σ1) , ξ(σ2 ) ou encore
(α , p − α − β) le type d’un lacet, sans se soucier de savoir si ξ(σ1 ) ≤ ξ(σ2 ) ou α ≤ p − α − β . Heureusement
cet abus est sans conséquence pour la suite.
¡
¢
Supposons que (α , β) = ξ(σ1 ) , ξ(σ2 ) = (1 , 1) ( premier pas de la récurrence ). Soit alors σ3 un
p-cycle disjoint de σ1 et σ2 et tel que ξ(σ1 ) + ξ(σ2 ) + ξ(σ3 ) = p . Par 9.8, on a
¡
¢
¡
¢ ¡
¢
ξ(σ1 ) , ξ(σ2 ) ∼ ξ(σ1 ) , ξ(σ3 ) ∗ ξ(σ3 ) , ξ(σ2 ) .
60
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
En outre,
ξ(σ1) + ξ(σ3 ) = ξ(σ2 ) + ξ(σ3 ) = p − 1 .
¡
¢
¡
¢
On en déduit donc, par 9.7, que ξ(σ1 ) , ξ(σ3 ) ∈ D et ξ(σ2 ) , ξ(σ3 ) ∈ D , et par conséquent
¡
¢
ξ(σ1 ) , ξ(σ2 ) = (α , β) ∈ D .
Supposons à présent que (α0 , β 0 ) ∈ D , quel que soit le couple (α0 , β 0 ) < (α , β) (rappelons que
α ≤ β ). On a alors
0
(α , β) ∼ (α , p − α − β) ∗ (p − α − β , β)
¢ ¡
¢
1 ¡
∼ (α , β − 1) ∗ (β − 1 , p − α − β) ∗ (α − 1 , p − α − β) ∗ (α − 1 , β) .
Par hypothèse de récurrence, les couples (α , β − 1) , (α − 1 , p − α − β) et (α − 1 , β) sont dans D .
(De nouveau, la notation est abusive. Néanmoins, les trois couples cités ci-dessus sont sans aucun doute
≤ (α , β) . En effet, considérons par exemple le couple (α − 1 , p − α − β) . Si α − 1 ≤ p − α − β , il est
clair que (α − 1 , p − α − β) ≤ (α , β) . A l’opposé, si p − α − β ≤ α − 1 , on a p − α − β ≤ α , et par suite
(p − α − β , α − 1) ≤ (α , β) .) En outre, on sait que
2
(β − 1 , p − α − β) ∼ (α − 1 , p − α − β) ∗ (α − 1 , β − 1) .
Ainsi, de nouveau par hypothèse de récurrence, on a (β − 1 , p − α − β) ∈ D . Dès lors, par la remarque 9.10,
le couple (α , β) ∈ D et donc C = D .
En définitive, on a montré que tout lacet de base A dans ∆Tp (3p + 2) se décompose en lacets ayant
au plus un seul sommet hors de ∆X . Considérons alors un lacet l de base A dans ∆Tp (3p + 2) ayant
un unique sommet hors de ∆X . Au vu de la remarque 9.1, on peut bien entendu supposer que l est de la
forme
où hσi ∈ Tp (3p + 2) \ X (ce qui implique ξ(σ) > 0 ), τ, τ 0 ∈ S3p+2 sont des p-cycles disjoints de σ et
(1 2 3 . . . p) , et où c1 et c2 sont des chemins dans ∆X reliant respectivement A à hσ , τ i et hσ , τ 0 i
à A . Autrement dit, on a
l = c1 ∗ chσ , τ i,hσi,hσ , τ 0 i ∗ c2 .
Soit gg
≥hσi le sous-ensemble ordonné de la fibre g≥hσi défini par
n
¯
¡
¢o
¯
gg
=
hσ
,
Qi
Q
∈
T
Supp(σ)
∪
N
.
p
p
≥hσi
§ 9 . Le groupe fondamental du complexe des p-cycles
61
Il est alors clair que
¡
¢
¡
¢
¡
¢
∼
∼
gg
= Tp 3p + 2 − 2p + ξ(σ) = Tp p + 2 + ξ(σ) .
≥hσi = Tp Supp(σ) ∪ Np
(9.11)
Puisque p + 2 + ξ(σ) > p , il existe donc dans la fibre g≥hσi une suite de sous-groupes abéliens
élémentaires
A1 = hσ , τ1 i = hσ , τ i , A2 = hσ , τ2 i , A3 = hσ , τ3 i , . . . , Ar = hσ , τr i = hσ , τ 0 i
tels que
¡
¢
] Supp(τi ) ∩ Supp(τi+1 ) = p − 1 , quel que soit i = 1, 2, . . . , r .
Par suite, puisque l’ensemble ordonné X est connexe, il est possible de décomposer le lacet l en le produit
des r − 1 lacets de la forme
hi ∗ chσ , τi i,hσi,hσ , τi+1 i ∗ hi+1 ,
où pour tout i = 1, 2, . . . , r , hi désigne un chemin du sommet A au sommet hσ , τi i dans ∆X et
où h1 = c1 et hr = c2 . Autrement dit, on peut supposer que notre lacet l = c1 ∗ chσ , τ i,hσi,hσ , τ 0 i ∗ c2 est
tel que
¡
¢
] Supp(τ ) ∩ Supp(τ 0 ) = p − 1 .
Pour pouvoir appliquer le lemme 9.3, nous voulons montrer que le lacet l est homotope à un lacet
c001 ∗ chσ 00 , τ i,hσ00 i,hσ00 , τ 0 i ∗ c002 ,
où hσ 00 i ∈ Tp (3p + 2) \ X est tel que la fibre g≥hσ00 i soit connexe et où c001 et c002 sont des chemins
dans ∆X reliant respectivement A à hσ 00 , τ i et hσ 00 , τ 0 i à A . Pour cela, nous allons raisonner par
récurrence descendante sur ξ(σ) ∈ Np .
Si ξ(σ) = p ( ce qui n’est pas possible si p = 3 car hσi ∈ X
si Supp(σ) = { 1 , 2 , 3 } ), respective-
ment ξ(σ) = p − 1 ( ce qui correspond au premier pas de le récurrence lorsque p = 3 ), on sait alors, par
¡
¢
l’isomorphisme 9.11, que le sous-ensemble gg
≥hσi de la fibre g≥hσi est isomorphe à Tp 2p + 2 , respecti¡
¢
vement Tp 2p + 1 . Du lemme 3.4, on déduit que cet ensemble ordonné gg
≥hσi est connexe et on montre
facilement que la fibre g≥hσi est alors, elle aussi, connexe.
Supposons, à présent, ξ(σ) < p − 1 et le résultat démontré pour tout lacet de la forme
c01 ∗ chσ 0 , τ i,hσ0 i,hσ 0 , τ 0 i ∗ c02
avec ξ(σ 0 ) > ξ(σ) . Puisque
(9.12)
¡
¢
] Supp(τ ) ∪ Supp(τ 0 ) ∪ Supp(σ) = (3p + 2) − 3p + (p − 1) = p + 1
il existe un p-cycle σ 0 ∈ S3p+2 disjoint de τ , τ 0 et σ et tel que ξ(σ 0 ) = p − ξ(σ) − 1 ( la condition
0 < ξ(σ) < p − 1 implique 0 < p − ξ(σ) − 1 < p − 1 ). Les dessins suivants montrent alors pourquoi
(9.13)
l = c1 ∗ chσ , τ i,hσi,hσ , τ 0 i ∗ c2 ' c01 ∗ chσ0 , τ i,hσ0 i,hσ 0 , τ 0 i ∗ c02 ,
où c01 et c02 sont les chemins dans ∆X définis par
c01 = c1 ∗ chσ , τ i,hσ0 , σ , τ i,hσ 0 , τ i
et
c02 = chσ0 , τ 0 i,hσ 0 , σ , τ 0i,hσ , τ 0 i ∗ c2 .
62
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Puisque le p-cycle σ 0 est disjoint des p-cycles τ , τ 0 et σ , on a
¡
¢
¡
¢
] Supp(τ ) ∪ Supp(τ 0 ) ∪ Supp(σ 0 ) = ] Supp(τ ) ∪ Supp(τ 0 ) ∪ Supp(σ) = p + 1 .
Il existe donc un p-cycle σ 00 ∈ S3p+2 disjoint de τ , τ 0 et σ 0 tel que
ξ(σ 00 ) = p − ξ(σ 0 ) = p − (p − ξ(σ) − 1) = ξ(σ) + 1 .
Les lacets
l0 = c01 ∗ chσ 0 , τ i,hσ0 i,hσ 0 , τ 0 i ∗ c02
et
l00 = c001 ∗ chσ00 , τ i,hσ 00 i,hσ00 , τ 0 i ∗ c002 ,
où c001 et c002 sont les chemins dans ∆X définis par
c001 = c01 ∗ chσ0 , τ i,hσ00 , σ0 , τi,hσ00 , τ i
et
c002 = chσ00 , τ 0 i,hσ00 , σ , τ 0 i,hσ0 , τ 0i ∗ c02 ,
sont homotopes pour les mêmes raisons que 9.13. On applique alors l’hypothèse de récurrence, et on en
déduit que la fibre g≥hσ 00 i peut être supposée connexe.
Au bout du compte, si l’on munit les ensembles X et Tp (3p + 2) de l’ordre opposé à l’ordre considéré
jusqu’ici, on a alors montré que X est une partie fermée de l’ensemble ordonné connexe Tp (3p + 2) et que
¡
¢
le groupe fondamental π1 Tp (3p + 2) est engendré par les lacets dans ∆X et les lacets ayant un seul
sommet P ∈ Tp (3p + 2) hors de X , avec de plus g≤P connexe. Par conséquent, le lemme 9.3 permet
¡
¢
d’affirmer que le morphisme π1(g) de π1 (X ) dans π1 Tp (3p + 2) est surjectif. Or l’ensemble ordonné X
¡
¢
est contractile et donc le groupe fondamental π1 Tp (3p + 2) est trivial.
(9.14)
Remarque. Si n < 3p + 2 la démonstration ci-dessus ne marche plus. En effet, pour que les
trois opérations 9.9 soient possibles, il faut que n ≥ 3p + 2 . En outre, le raisonnement qui suit l’égalité 9.12
n’est plus valable si
¡
¢
] Supp(τ ) ∪ Supp(τ 0 ) ∪ Supp(σ) ≤ p .
Nous allons à présent montrer que la proposition 9.5 se généralise au cas où n ≥ 3p + 2 .
§10 . Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen
63
(9.15)
Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 3p . L’inclusion f : Tp (n) → Tp (n +1)
¡
¢
¡
¢
induit un morphisme surjectif π1 (f ) : π1 Tp (n) −→ π1 Tp (n + 1) .
Preuve. Pour commencer, rappelons que l’inclusion de l’ensemble ordonné Tp (n) dans l’ensemble
ordonné Tf
p (n) défini par
¯
©
ª
¯ n + 1 ∈ Supp(σ) ,
Tf
p (n) = Tp (n + 1) \ hσi ∈ Tp (n + 1)
¡
¢
est une équivalence d’homotopie ( confer lemme 3.8 ). A fortiori, les groupes fondamentaux π1 Tp (n)
¡
¢
et π1 Tf
sont isomorphes. Dès lors, si g : Tf
p (n)
p (n) −→ Tp (n + 1) désigne l’inclusion et si le morphisme
¡
¢
¡
¢
π1 (g) : π1 Tf
−→ π1 Tp (n + 1)
p (n)
est surjectif, alors il en est de même du morphisme
¡
¢
¡
¢
π1 (f ) : π1 Tp (n) −→ π1 Tp (n + 1) .
Soit P ∈ Tp (n + 1) . Si P ∈ Tf
p (n) , il est alors évident que la fibre g≥P est contractile. Dans le cas
contraire, on peut écrire P = hσi , où σ est un p-cycle avec n + 1 ∈ Supp(σ) , et on montre facilement que
g≥P ' Tp (n + 1 − p) .
Or, puisque n ≥ 3p , on a n + 1 − p > 2p et la proposition 3.4 permet d’affirmer que la fibre g≥P est
connexe non vide. Ainsi, si l’on munit les ensembles Tf
p (n) et Tp (n + 1) de l’ordre opposé à l’ordre considéré
jusqu’ici, alors les hypothèses du lemme 9.2 sont vérifiées et le morphisme π1 (g) est donc surjectif.
Preuve du théorème 9.4. Soient p un premier et n un entier ≥ 3p + 2 . Puisque n > 2p , on
sait déjà que Tp (n) est connexe. En outre, en vertu de la proposition 9.5 et du lemme 9.15, le groupe
¡
¢
fondamental π1 Tp (n) est trivial. Par conséquent, l’ensemble ordonné Tp (n) est simplement connexe.
§ 10
LE GROUPE FONDAMENTAL DU COMPLEXE DES p-PARTITIONS ET DU COM-
PLEXE DE QUILLEN
Pour commencer ce paragraphe, nous allons montrer que le complexe des p-partitions ∆Dp (n) , comme le
complexe des p-cycles ∆Tp (n) , est simplement connexe si n ≥ 3p + 2 .
(10.1) Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 3p . L’inclusion f : Dp (n) → Dp (n+1)
¡
¢
¡
¢
induit un morphisme surjectif π1 (f ) : π1 Dp (n) −→ π1 Dp (n + 1) .
Preuve. Tout d’abord, rappelons que l’inclusion de l’ensemble ordonné Dp (n) dans l’ensemble ordonné
g
D
p (n) défini par
¯
©
ª
g
¯ ε est un atome qui contient n + 1 dans son support
D
p (n) = Dp (n) \ ε ∈ Dp (n + 1)
est une équivalence d’homotopie ( confer lemme 4.8 ). Il suffit alors de reprendre la preuve de la proposition 9.15 et de remplacer les p-groupes considérés par les p-partitions associées pour montrer que le
morphisme π1 (f ) est surjectif.
64
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
(10.2)
Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 2p . La surjection naturelle π de
¡
¢
¡
¢
Tp (n) sur Dp (n) induit un morphisme surjectif de π1 Tp (n) sur π1 Dp (n) .
Preuve. La surjection π et sa section ρ définies aux remarques 4.2 induisent des homomorphismes
de groupes
¡
¢
¡
¢
π1(π) : π1 Tp (n) −→ π1 Dp (n)
et
¡
¢
¡
¢
π1 (ρ) : π1 Dp (n) −→ π1 Tp (n)
¡
¢
tels que la composée π1 (π) ◦ π1 (ρ) est l’identité sur π1 Dp (n) . Dès lors, l’homomorphisme π1(π) est
surjectif.
(10.3)
Théorème. Si p est un nombre premier et n un entier ≥ 3p + 2 , l’ensemble ordonné Dp (n)
est simplement connexe.
Preuve. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ 3p + 2 . Par la proposition 4.3, l’ensemble
ordonné Dp (n) est connexe. En outre, en vertu de la proposition 9.5 et du lemme 10.2, le groupe fondamental
¡
¢
π1 Dp (3p + 2) est trivial. Il suffit alors d’appliquer le lemme 10.1 pour conclure.
¡
¢
Nous allons à présent nous intéresser au groupe fondamental π1 Ap (Sn ) du complexe de Quillen du
groupe symétrique. Plus précisément, nous allons montrer que ce dernier est trivial si n est un entier tel
que 3p + 2 ≤ n < p2 ou n ≥ p2 + p .
(10.4) Lemme. Soient p un nombre premier et n un entier ≥ p2 +p . L’inclusion f : Tp (n) → Ap (Sn )
¡
¢
¡
¢
induit un morphisme surjectif π1 (f ) : π1 Tp (n) −→ π1 Ap (Sn ) .
Preuve. Pour commencer, rappelons que l’inclusion de l’ensemble ordonné Tp (n) dans l’ensemble
ordonné T Ap (n) défini par
TAp (n) =
©
¯
ª
H ∈ Ap (Sn ) ¯ les orbites de H sont toutes de cardinal p
¡
¢
est une équivalence d’homotopie ( confer lemme 3.2 ). A fortiori, les groupes fondamentaux π1 Tp (n)
¡
¢
et π1 TAp (n) sont donc isomorphes. Dès lors, si g : TAp (n) −→ Ap (Sn ) désigne l’inclusion et si le
morphisme
¡
¢
¡
¢
π1 (g) : π1 TAp (n) −→ π1 Ap (Sn )
est surjectif, alors il en est de même du morphisme
¡
¢
¡
¢
π1 (f ) : π1 Tp (n) −→ π1 Ap (Sn ) .
Clairement, l’ensemble T Ap (n) est une partie fermée connexe de l’ensemble ordonné connexe Ap (Sn ) .
Soit A ∈ T Ap (n) . Puisque T Ap (n) est connexe, il est possible de décomposer tout lacet de base A
dans ∆Ap (Sn ) en un produit de lacets de base A ayant au plus une composante connexe hors de ∆T Ap (n)
(de manière analogue à ce qui a été fait à la figure 9.6 ). On peut représenter un lacet de base A ayant
exactement une composante connexe hors de ∆T Ap (n) par le dessin suivant :
§10 . Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen
65
Pour tout i ∈ Nu avec i pair, on se donne un p-groupe Hi ∈ Ap (Sn ) de rang 1 tel que Hi ≤ Pi .
Puisque le sous-groupe abélien élémentaire Hi est de rang 1 , c’est un groupe cyclique d’ordre p , et donc
Hi ∈ T Ap (n) , quel que soit i ∈ Nu avec i pair. Dès lors, en considérant, pour chaque i ∈ Nu avec i
pair, un chemin dans T Ap (n) reliant A à Hi , il est possible de décomposer le lacet considéré en lacets de
base A ayant au plus un sommet hors de ∆T Ap (n) .
Soit l un lacet de base A dans Ap (Sn ) ayant exactement un sommet H hors de ∆T Ap (n) .
Le dessin ci-dessus explique pourquoi on peut supposer que les sous-groupes abéliens élémentaires A1
et A2 sont minimaux, c’est-à-dire cycliques d’ordre p , et que H = hA1 , A2 i . On pose A1 = hσi , où σ
désigne un produit de p-cycles disjoints, A2 = hτ i , où τ désigne aussi un produit de p-cycles disjoints et
on a alors H = hσ , τ i ∈ Ap (Sn ) . Par la proposition 2.1, H est un sous-groupe d’un sous-groupe abélien
élémentaire P = P1 × P2 × . . . × Pl , où l est un entier ≥ 1 , les Pi ∈ Ap (Sn ) ( i = 1, 2, . . . , l ) sont
des p-sous-groupes relativement transitifs de supports deux à deux disjoints et Supp(P ) = Supp(H) . Bien
A
entendu, le lacet l = lA
est homotope au lacet lA
A1 ,P,A2 . En relisant la construction du groupe P ,
1 ,H,A2
dans la démonstration de la proposition 2.1, on constate que, parce que H est de rang 2 , les Pi ∈ Ap (Sn )
( i = 1, 2, . . . , l ) sont tous de rang 1 ou 2 . Plus précisément, si pour tout i = 1, 2, . . . , l , on note Ui le
support de Pi , alors on a Pi = hσ|Ui , τ |Ui i . Dès lors, on peut récrire le groupe P comme un produit de
sous-groupes de supports deux à deux disjoints
P = R1 × R2 × . . . × Rk × Q1 × Q2 × . . . × Qt ,
où Ri est un sous-groupe abélien élémentaire de rang 1 , quel que soit i = 1, 2, . . . , k , et Qj est un
sous-groupe abélien élémentaire de rang 2 , quel que soit j = 1, 2, . . . , t . Par la proposition 2.2, on peut
noter Ri = hσi i , où σi est un p-cycle, pour tout i = 1, 2, . . . , k , et Qj = h²j , ²̃j i , où ²j et ²̃j sont des
produits de p p-cycles disjoints, pour tout j = 1, 2, . . . , t . Notons encore
R = R1 × R2 × . . . × Rk
et
Q = Q1 × Q2 × . . . × Qt .
66
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Ces sous-groupes R et Q de P ne sont pas nécessairement tous deux non triviaux. Nous allons montrer
que, si R est non trivial ou t ≥ 2 , alors la fibre g≤P est connexe. Puis nous montrerons que, dans le cas
A
où le sous-groupe R est trivial et t = 1 , le lacet l = lA
est homotope à un lacet lA
A1 ,P 0 ,A2 tel que
1 ,P,A2
la fibre g≤P 0 est connexe.
Supposons que le sous-groupe R est non trivial. Soit T ∈ g≤P et montrons qu’il existe dans g≤P un
chemin reliant T à R . Puisque T ∈ T Ap (n) , il existe, pour tout j = 1, 2, . . . , t , un produit de p p-cycles
disjoints µj ∈ Qj = h²j , ²̃j i tels que T soit un sous-groupe du groupe R × hµ1 i × hµ2 i × . . . × hµt i . On a
alors
T ≤ R × hµ1 i × hµ2 i × . . . × hµt i ≥ R ,
qui est un chemin dans g≤P reliant T à R . Ainsi, la fibre g≤P est connexe.
Supposons t ≥ 2 . Par ce qui précède, on peut supposer que le sous-groupe R est trivial. Soit T ∈ g≤P
et montrons qu’il existe un chemin dans g≤P reliant T à h²1 , ²2 , . . . , ²t i ∈ g≤P . Comme ci-dessus, le
groupe T est un sous-groupe d’un groupe hµ1 i × hµ2 i × . . . × hµt i , où µj ∈ Qj , pour tout j = 1, 2, . . . , t .
Puisque T ∈ Ap (Sn ) , le groupe T est en particulier non trivial, et donc il existe r ∈ Nt tel que la
permutation µr soit différente de l’identité. Soit encore q ∈ Nt avec q 6= r . On a alors
T ≤ hµ1 i × hµ2 i × . . . × hµt i ≥ hµr i ≤ hµr , ²q i ≥ h²q i ≤ h²1 , ²2 , . . . , ²t i ,
qui est un chemin dans g≤P reliant T à h²1 , ²2 , . . . , ²t i . Par suite, la fibre g≤P est connexe.
Supposons, à présent, que le sous-groupe R est trivial et que t = 1 . On a alors P = h²1 , ²̃1 i . Puisque
¡
¢
n ≥ p2 + p et ] Supp(P ) = p2 , il existe dans Sn un p-cycle η disjoint de P . Considérons alors le
A
A
groupe P = h²1 , ²̃1 , ηi ∈ Ap (Sn ) . Clairement, le lacet l = lA
est homotope au lacet lA
et
0
1 ,P,A2
1 ,P ,A2
on se ramène ainsi au cas où le sous-groupe R est non trivial, et la fibre g≤P 0 est donc connexe.
Finalement, on a montré que T Ap (n) est une partie fermée de l’ensemble ordonné connexe Ap (Sn )
et que tout lacet de base A dans ∆Ap (Sn ) se décompose en lacets dans ∆T Ap (n) et lacets ayant un
seul sommet P hors de ∆T Ap (n) avec de plus la fibre g≤P connexe non vide. Par le lemme 9.3, le
morphisme π1 (g) est donc surjectif.
Ce dernier lemme, associé aux résultats du paragraphe précédent, va maintenant nous permettre de
donner le groupe fondamental du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) lorsque n ≥ 3p + 2 . Par souci de clarté,
nous allons commencer par traiter séparément le cas où p = 2 .
(10.5)
Théorème. Le complexe de Quillen ∆A2 (Sn ) est simplement connexe si n est un entier ≥ 8 .
Preuve. Dans son article [BO3 , Proposition 2 ], Bouc avait déjà montré que D2 (n) ∼
= T2 (n) est
simplement connexe si n ≥ 8 . Ainsi, du lemme 10.4, on déduit que le complexe de Quillen ∆A2 (Sn ) est
lui aussi simplement connexe si n ≥ 8 .
Nous verrons au paragraphe suivant que ce dernier résultat reste valable lorsque n = 7 .
(10.6)
Théorème. Soient p un nombre premier ≥ 3 et n un nombre entier. Si 3p + 2 ≤ n < p2
ou n ≥ p2 + p , le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) est simplement connexe. (Remarquer que la condition
3p + 2 ≤ n < p2 implique p ≥ 5 . )
§10 . Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen
67
Preuve. Si 3p + 2 ≤ n < p2 , on sait alors, par le corollaire 3.3, que les ensembles ordonnés Tp (n)
et Ap (Sn ) ont le même type d’homotopie. En outre, par le théorème 9.4, l’ensemble ordonné Tp (n) est
simplement connexe. Par conséquent, il en est de même du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) .
Si n ≥ p2 + p , alors en particulier n ≥ 3p + 2 > 2p . Ainsi, par la proposition 2.9, l’ensemble or-
donné Ap (Sn ) est connexe et, en vertu du théorème 9.4, l’ensemble ordonné Tp (n) est simplement connexe.
Le lemme 10.4 permet alors de conclure.
Théorème. Soient p un nombre premier ≥ 3 et n un entier tel que p2 ≤ n < p2 + p .
¡
¢
(a) Si p ≥ 5 , le groupe fondamental π1 Ap (Sn ) est un groupe libre à u générateurs, où u est donné
n!
par u = 2
.
2
p (p − 1) (p + 1) (n − p2 )!
¡
¢
(b) Si p = 3 et 9 ≤ n ≤ 11 , le groupe fondamental π1 A3 (Sn ) est non nul. En particulier, le groupe
¡
¢
fondamental π1 A3 (S11 ) est un groupe libre à 138600 générateurs.
(10.7)
Preuve. (a) En vertu de la proposition 8.8, on a
u
¡
¢
¡
¢ ¡_
¢
∆ Ap (Sn ) ' ∆ Tp (n) ∨
S1 .
De plus, on sait, par le théorème 9.4, que l’ensemble ordonné Tp (n) est simplement connexe puisque n ≥
p2 > 3p + 2 . Ainsi,
u
³_
´
¡
¢
π1 Ap (Sn ) ∼
S1 ,
= π1
qui est un groupe libre à u générateurs.
(b) Si p = 3 , la proposition 8.8 reste vérifiée. Autrement dit, on a
u
¡
¢
¡
¢ ¡_
¢
∆ A3 (Sn ) ' ∆ T3 (n) ∨
S1 ,
¡
¢
n!
, ce qui prouve en particulier que le groupe fondamental π1 A3 (Sn ) est non
144 (n − p2 )!
nul. Dans le cas où n = 11 , on sait de plus, par le théorème 9.4, que l’ensemble ordonné T3 (11) est
¡
¢
simplement connexe. On en déduit que le groupe fondamental π1 A3 (S11 ) est un groupe libre à 138600
où u =
générateurs.
68
§ 11
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
UN GROUPE FONDAMENTAL NON TRIVIAL
Soient p un nombre premier et n un entier. Au vu de ce qui précède, le groupe fondamental des ensembles
ordonnés Dp (n) , Tp (n) et Ap (Sn ) est connu quasiment dans tous les cas. En effet, si n < 3p et Ep (n)
désigne un de ces trois ensembles ordonnés, alors Ep (n) est un graphe dont le type d’homotopie est connu.
En outre, si n ≥ 3p + 2 , nous avons calculé dans les deux paragraphes précédents le groupe fondamental
¡
¢
¡
π1 Ep (n) . Dans ce paragraphe, nous allons montrer que si p est impair, le groupe d’homologie H1 Dp (3p+
¢
1) n’est pas nul. Ce long calcul nous permettra alors de démontrer le théorème suivant.
(11.1)
Théorème. Soient p un nombre premier, n un entier tel que 3p ≤ n ≤ 3p + 1 et Ep (n) l’un
¡
¢
des trois ensembles ordonnés Dp (n) , Tp (n) ou Ap (Sn ) . Exception faite du groupe H1 A2 (S7 ) , le groupe
¡
¢
d’homologie H1 Ep (n) est non nul. En particulier, le groupe fondamental de l’ensemble ordonné Ep (n)
n’est pas trivial, sauf si Ep (n) désigne l’ensemble ordonné A2 (S7 ) .
Commençons tout d’abord par régler le cas où p = 2 . On a vu aux exemples 4.7 et 2.12 que les
ensembles ordonnés D2 (6) et A2 (S6 ) ont tous deux le type d’homotopie d’un bouquet de 16 cercles. Dans
¡
¢
le cas où n = 7 , Bouc a montré ( confer [BO3 , Proposition 3 ] ) que le groupe fondamental π1 D2 (7)
(remarquer que 7 = 3p + 1 ) est cyclique d’ordre 3 , engendré par la classe d’homotopie l du lacet l suivant
La proposition qui suit montre que le complexe de Quillen ∆A2 (S7) est simplement connexe.
(11.2)
Proposition. L’ensemble ordonné A2 (S7) est simplement connexe.
Preuve. L’ensemble ordonné A2 (S7 ) est connexe. De plus, en vertu du lemme 10.4, l’inclusion f
¡
¢
¡
¢
de D2 (7) dans A2 (S7 ) induit un morphisme surjectif π1 (f) de π1 D2 (7) = h l i sur π1 A2 (S7) .
Par suite, la classe d’homotopie dans ∆A2 (S7 ) du lacet l , décrit ci-dessus, est un générateur du groupe
¡
¢
fondamental π1 A2 (S7 ) . Or le dessin suivant montre comment il est possible de hh trianguler ii ce lacet l
dans le complexe simplicial ∆A2 (S7 ) . Par manque d’espace sur le dessin, on note
P1 = h(1 3) , (2 4) , (5 7)i
,
P2 = h(1 5) , (2 4) , (3 7)i
P3 = h(1 3) , (2 6) , (5 7)i
,
P4 = h(1 5) , (2 6) , (3 7)i
ε = (1 3)(5 7)
,
ε0 = (1 5)(3 7)
et
Q = hε , ε0 i .
§ 11 . Un groupe fondamental non trivial
69
¡
¢
Par suite, le lacet l est homotope au lacet trivial et le groupe fondamental π1 A2 (S7 ) est donc lui aussi
trivial.
Nous allons montrer, à présent, que si le nombre premier p est impair, alors le groupe fondamen¡
¢
tal π1 Dp (3p + 1) n’est pas trivial. Pour ce faire, il nous faut rappeler quelques résultats classiques
concernant les représentations irréductibles du groupe symétrique. Soient n ∈ N et K un corps de cara-
ctéristique nulle. Tout KSn -module est alors semi-simple, et l’ensemble des représentations irréductibles
du groupe Sn , qui sont aussi appelées modules de Specht, est en bijection avec l’ensemble des partitions de
l’entier n . Soit λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) une partition de n , c’est-à-dire une suite d’entiers tels que
λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λl > 0
et
l
X
λi = n .
i=1
On note parfois λ ` n et on appelle longueur de la partition λ , que l’on note l(λ) , le nombre l de parties
de λ . On convient de représenter λ par un tableau, appelé diagramme de Young, dont les lignes sont
formées respectivement de λ1 , λ2 , . . . , λl cases. Par exemple, le diagramme suivant
correspond à la partition (5, 3, 2, 1, 1) de 12 . Par commodité, on note par la même lettre λ , la partition λ
de n et le diagramme la représentant. On note encore Vλ le module de Specht qui lui est associé. Si V
est un KSn -module tel que le module de Specht Vλ apparaı̂t, à isomorphisme près, dans sa décomposition
en KSn -modules simples, on se permettra alors l’abus de dire que Vλ est facteur direct de V .
70
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Si G1 , G2 sont deux groupes, V1 un KG1 -module et V2 un KG2 -module, on note V1 ⊗V2 la représentation
V1 ⊗K V2 du groupe G1 × G2 , définie par
(g1 , g2) · (v1 ⊗ v2 ) = g1 · v1 ⊗ g2 · v2 .
Avec cette notation, si m, r ∈ N et V est une représentation de Sm , on a alors
×Sr
Inf SSm
V = V ⊗ V(r) ,
m
où V(r) désigne le module de Specht correspondant à la partition triviale (r) , c’est-à-dire la représentation
triviale du groupe Sr . On peut maintenant énoncer la formule de Pieri, qui est un cas particulier de la règle
de Littlewood-Richardson.
(11.3)
Formule de Pieri. Si m, r ∈ N et λ est une partition de m , alors
M
¡
¢
S
∼
IndSm+r
Vλ ⊗ V(r)
Vν ,
=
m ×Sr
ν
où ν parcourt tous les diagrammes de Young qui peuvent être obtenus en ajoutant r cases au diagramme
de Young λ , de telle sorte que dans chaque colonne il y ait au plus une case ajoutée.
Voici un exemple qui illustre cette dernière formule :
¡
¢
∼
IndSS53 ×S2 V(2 , 1) ⊗ V(2)
= V(4 , 1) ⊕ V(3 , 2) ⊕ V(3 , 1 , 1) ⊕ V(2 , 2 , 1) .
Par la suite, on aura aussi besoin du théorème suivant.
(11.4)
Théorème de branchement. Si n ∈ N et λ est une partition de n , alors
ResSSnn−1 Vλ
∼
=
M
Vν ,
ν
où ν parcourt tous les diagrammes de Young qui peuvent être obtenus en ôtant une case au diagramme de
Young λ .
Par exemple, le théorème de branchement permet de calculer :
ResSS65 V(3 , 2 , 1) ∼
= V(2 , 2 , 1) ⊕ V(3 , 1 , 1) ⊕ V(3 , 2) .
Les résultats énoncés ci-dessus sont démontrés dans plusieurs écrits standards. On les trouve notamment
dans le livre de Sagan [SA , § 2.8 et § 4.9 ] et le livre de Fulton et Harris [FU-HA , chapitre 4 ]. Si nécessaire,
il est aussi possible de consulter ces deux ouvrages pour un éventuel complément à ce rapide rappel de la
théorie des représentations irréductibles du groupe symétrique.
A l’aide de la suite exacte de la proposition 4.12, Bouc a déterminé entièrement les KSn -modules
d’homologie de l’ensemble ordonné D2 (n) ( confer [BO3 , proposition 4 ] ). Dans le cas où p est un
nombre premier impair, nous sommes en mesure de donner explicitement la décomposition en modules de
¡
¢
Specht des KSn -modules d’homologie réduite H̃∗ Dp (n) , K , pour tout entier n tel que n ≤ 2p + 1 . Ces
décompositions nous permettront ensuite, toujours à l’aide de la proposition 4.12, de montrer que le groupe
fondamental de l’ensemble ordonné Dp (3p + 1) n’est pas trivial, lorsque p est impair.
§ 11 . Un groupe fondamental non trivial
(11.5)
71
Lemme. Soient p un nombre premier et n = p + r un entier tel que p < n < 2p . Le seul
KSn -module d’homologie réduite non nul de l’ensemble ordonné Dp (p + r) est donné par
r−1
M
¡
¢
∼
H̃0 Dp (p + r) , K
V(p+i , r−i) .
=
i=0
Preuve. L’ensemble ordonné Dp (p + r) est un ensemble discret sur lequel le groupe Sn agit transitive¡
¢
ment. Son seul module d’homologie réduite non nul est donc H̃0 Dp (p+r) , K . En outre, si ε ∈ Dp (p+r) ,
il est alors clair que le stabilisateur (Sn )ε est isomorphe au groupe Sp × Sr . Par suite, on a
¡
¢
£
¤
£
¤
¡
¢
S
S
H0 Dp (p + r) , K ∼
V(p) ⊗ V(r) .
= K Dp (p + r) ∼
= K Sn /(Sn )ε ∼
= Ind(Snn )ε K ∼
= IndSp+r
p ×Sr
Grâce à la formule de Pieri, on obtient que
r
M
¡
¢
∼
H0 Dp (p + r) , K
V(p+i , r−i) ,
=
i=0
et finalement on conclut que
r−1
M
¡
¢
∼
H̃0 Dp (p + r) , K
V(p+i , r−i) .
=
i=0
(11.6)
Lemme. Si p est un nombre premier impair, alors le seul KS2p -module d’homologie réduite
non nul de l’ensemble ordonné Dp (2p) est donné par
¡
¢
∼
H̃0 Dp (2p) , K
=
p−2
M
V(p+i , p−i) .
i=1
i impair
Preuve. Soit p un premier impair. En vertu de la proposition 4.6, l’ensemble ordonné Dp (2p) a le
type d’homotopie d’un complexe simplicial de dimension 0 . Son seul module d’homologie réduite non nul
¡
¢
est donc H̃0 Dp (2p) , K . La suite exacte de la proposition 4.12 devient alors
¡
¢
¡
¢
S
0 → H̃0 Dp (2p − 1) , K → ResS2p
H̃0 Dp (2p) , K → 0 .
2p−1
Par conséquent, les deux termes non nuls de cette suite exacte sont isomorphes et, grâce au lemme 11.5, on
en déduit l’isomorphisme
(11.7)
p−1
M
¡
¢
S
∼
ResS2p
H̃
D
(2p)
,
K
V(p+i−1 , p−i) .
=
0
p
2p−1
i=1
Notons
¡
¢
∼
H̃0 Dp (2p) , K
=
M
λ ` 2p
cλ · Vλ ,
où cλ est un entier ≥ 0 qui compte, pour toute partition λ de 2p , le nombre de fois, à isomorphisme
près, qu’apparaı̂t le module de Specht Vλ dans la décomposition en modules simples du KS2p -module
¡
¢
H̃0 Dp (2p) , K . Puisque tout module de Specht Vµ ( µ ` 2p − 1 ) apparaı̂t au plus une fois dans la
¡
¢
S
décomposition 11.7 du module ResS2p
H̃0 Dp (2p) , K , il est tout à fait clair que
2p−1
cλ = 0 ou cλ = 1 ,
quelle que soit la partition λ ` 2p .
72
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Si λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) est une partition de 2p telle que cλ = 1 , c’est-à-dire telle que le module de Specht
¡
¢
Vλ soit facteur direct de H̃0 Dp (2p) , K , alors par l’isomorphisme 11.7 et le théorème de branchement,
on se convainc aisément que l(λ) = l = 2 . Autrement dit, on a
©
¯
¯
ª
©
ª
λ ` 2p ¯ cλ = 1 ⊆ (p + i , p − i) ¯ 0 ≤ i ≤ p − 1 .
Toujours par le théorème de branchement, on sait que
S
ResS2p
V(p+i , p−i) ∼
= V(p+i−1 , p−1) ⊕ V(p+i , p−i−1)
2p−1
S
et ResS2p
V(p , p) ∼
= V(p , p−1) .
2p−1
si 1 ≤ i ≤ p − 1,
¡
¢
S
Ainsi, puisque ResS2p
H̃0 Dp (2p) , K est une somme directe de p − 1 KS2p−1 -modules simples tous
2p−1
distincts, et que l’entier p − 1 est pair, on déduit que le module de Specht V(p , p) n’est pas facteur direct
¡
¢
de H̃0 Dp (2p) , K , i.e. c(p , p) = 0 . Dès lors, on peut affirmer que c(p+1 , p−1) = 1 , car le module
¡
¢
S
de Specht V(p , p−1) apparaı̂t une fois dans la décomposition 11.7 du module ResS2p
H̃0 Dp (2p) , K .
2p−1
Montrons alors, par récurrence sur l’entier pair i avec 0 ≤ i ≤ p − 1 , que
c(p+i , p−i) = 0
et
c(p+i+1 , p−i−1) = 1 .
Soit donc un entier pair i avec 2 ≤ i ≤ p − 1 et supposons l’assertion vérifiée pour i − 2 . Par hypothèse
de récurrence, on sait que c(p+i−1 , p−i+1) = 1 . Il s’en suit, puisque le module de Specht V(p+i−1 , p−i)
¡
¢
S
n’apparaı̂t qu’une fois dans la décomposition 11.7 du module ResS2p
H̃0 Dp (2p) , K , que le coeffi2p−1
cient c(p+i , p−i) est nul. En conséquence, le fait que le module de Specht V(p+i , p−i−1) soit facteur direct
¡
¢
S
du module ResS2p
H̃0 Dp (2p) , K implique que c(p+i+1 , p−i−1) = 1 .
2p−1
Finalement, on a donc montré que cλ = 1 si la partition λ est de la forme λ = (p + i , p − i) avec
l’entier i impair et que le coefficient cλ est nul sinon. Autrement dit, on a prouvé l’isomorphisme
¡
¢
∼
H̃0 Dp (2p) , K
=
(11.8)
p−2
M
V(p+i , p−i) .
i=1
i impair
Lemme. Soient p un nombre premier impair et n = 2p +1 . Le seul KSn -module d’homologie
réduite non nul de l’ensemble ordonné Dp (2p + 1) est donné par
¡
¢
∼
H̃1 Dp (2p + 1) , K
=
p−1
M
V(p+i , p−i , 1) .
i=0
i pair
Preuve. En vertu de l’exemple 4.7, l’ensemble ordonné Dp (2p + 1) a le type d’homotopie d’un graphe
¡
¢
connexe. Son seul module d’homologie réduite non nul est donc H̃1 Dp (2p + 1) , K . La suite exacte de la
proposition 4.12 devient alors
³ ¡
´
¡
¢
¢
¡
¢
S
S
0 → ResS2p+1
H̃1 Dp (2p + 1) , K → IndS2p
H̃0 Dp (p + 1) , K ⊗ V(p−1) → H̃0 Dp (2p) , K → 0 .
2p
p+1 ×Sp−1
Grâce à la formule de Pieri et au lemme 11.5, on sait que
S
IndS2p
p+1 ×Sp−1
³
¡
¢
H̃0 Dp (p + 1) , K ⊗ V(p−1)
´
∼
=
p−1
M
i=0
V(p+i , p−i) ⊕
p−2
M
i=0
V(p+i , p−i−1 , 1) .
§ 11 . Un groupe fondamental non trivial
73
Le lemme 11.6 permet alors de déduire l’isomorphisme
(11.9)
S
ResS2p+1
2p
¡
H̃1 Dp (2p + 1) , K
Notons
¢
∼
=
p−1
M
i=0
i pair
p−2
M
V(p+i , p−i) ⊕
¡
¢
∼
H̃1 Dp (2p + 1) , K
=
M
λ ` 2p+1
V(p+i , p−i−1 , 1) .
i=0
cλ · Vλ ,
où cλ est un entier ≥ 0 qui compte, pour toute partition λ de 2p + 1 , le nombre de fois, à isomorphisme
près, qu’apparaı̂t le module de Specht Vλ dans la décomposition en modules simples du KSn -module
¡
¢
H̃1 Dp (2p + 1) , K . Puisque tout module de Specht Vµ ( µ ` 2p ) apparaı̂t au plus une fois dans la
¡
¢
S
décomposition 11.9 du module ResS2p+1
H̃1 Dp (2p + 1) , K , il en découle que
2p
cλ = 0 ou cλ = 1 ,
quelle que soit la partition λ ` 2p + 1 .
Soit λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) une partition de 2p + 1 telle que cλ = 1 . Par l’isomorphisme 11.9 et le
théorème de branchement, on se convainc aisément que 2 ≤ l(λ) = l ≤ 3 , que λ1 ≥ p , et que si l(λ) = 3 ,
alors λ3 = 1 . Autrement dit, on a
©
¯
¯
¯
ª
©
ª
©
ª
λ ` 2p + 1 ¯ cλ = 1 ⊆ (p + 1 + i , p − i) ¯ 0 ≤ i ≤ p − 1 ∪ (p + i , p − i , 1) ¯ 0 ≤ i ≤ p − 1 .
Soit i un entier avec 0 ≤ i ≤ p − 1 . Considérons la partition ν = (p + 1 + i , p − i) ` 2p + 1 . Par le
théorème de branchement, on sait que
S
ResS2p+1
Vν
2p
∼
= V(p+i , p−i) ⊕ V(p+1+i , p−1−i) ,
et puisqu’un des deux entiers i ou i + 1 est impair, on déduit, en observant l’isomorphisme 11.9, que le
coefficient cν est nul. Supposons à présent l’entier i impair et considérons la partition de longueur 3 ,
η = (p + i , p − i , 1) ` 2p + 1 . Par le théorème de branchement, on a
S
ResS2p+1
Vη
2p
∼
= V(p+i−1 , p−i , 1) ⊕ V(p+i , p−i−1 , 1) ⊕ V(p+i , p−i) ,
ce qui implique que cη = 0 , car le module de Specht V(p+i , p−i) avec i impair n’est pas facteur direct du
¡
¢
S
module ResS2p+1
H̃1 Dp (2p + 1) , K .
2p
Au bout du compte, on a donc montré que
(11.10)
©
¯
¯
ª
©
ª
λ ` 2p + 1 ¯ cλ = 1 ⊆ (p + i , p − i , 1) ¯ 0 ≤ i ≤ p − 1 et i pair .
En outre, toujours à l’aide du théorème de branchement, on vérifie facilement que
S
ResS2p+1
2p
p−1
M
i=0
i pair
V(p+i , p−i , 1) ∼
=
p−1
M
i=0
i pair
V(p+i , p−i) ⊕
p−2
M
V(p+i , p−i−1 , 1) .
i=0
Dès lors, en vertu de l’isomorphisme 11.9, on a
p−1
M
¡
¢
S
S2p+1
∼
ResS2p+1
H̃
D
(2p
+
1)
,
K
Res
V(p+i , p−i , 1) .
=
1
p
S2p
2p
i=0
i pair
74
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
En définitive, vu l’inclusion 11.10, on peut conclure que
¡
H̃1 Dp (2p + 1) , K
(11.11)
¢
∼
=
p−1
M
V(p+i , p−i , 1) .
i=0
i pair
¡
¢
Remarque. Dans le cas où n = 2p + 2 , le groupe H̃1 Dp (2p + 2) , K est le seul groupe
d’homologie non nul de l’ensemble ordonné Dp (2p + 2) , mais il n’est déjà plus possible, à l’aide des mêmes
méthodes que celles utilisées dans les lemmes précédents, de déterminer sa décomposition en KSn -modules
simples. Néanmoins, pour p = 3 ou p = 5 , toujours à l’aide du théorème de branchement, de la formule
de Pieri et de la proposition 4.12, on peut calculer explicitement la décomposition en modules de Specht de
¡
¢
l’unique groupe d’homologie réduite non nul H̃1 Dp (n) , K lorsque 2p + 2 ≤ n ≤ 3p . Le lecteur intéressé
saura retrouver lui-même ces décompositions en s’inspirant des preuves qui précèdent.
Les rappels et lemmes énoncés jusque-là dans ce paragraphe ont pour but de démontrer le résultat
central suivant.
H1
¡
(11.12)
Théorème. Soient p un nombre premier impair et n = 3p + 1 . Le groupe d’homologie
¢
Dp (3p + 1) n’est pas nul. En particulier, le groupe fondamental de l’ensemble ordonné Dp (3p + 1)
n’est pas trivial.
¡
¢
Preuve. Montrons que le KSn -module d’homologie H1 Dp (n) , K est non nul. Par la proposi-
tion 4.12, on a la suite exacte de KS3p -modules
³ ¡
´
¡
¢
¢
S
S
0 → ResS3p+1
H̃2 Dp (3p + 1), K → IndS3p
H̃1 Dp (2p + 1), K ⊗ V(p−1)
3p
2p+1 ×Sp−1
¡
¢
¡
¢
S
→ H̃1 Dp (3p), K → ResS3p+1
H̃1 Dp (3p + 1), K → 0 ,
3p
dont on déduit l’isomorphisme de KS3p -modules suivant :
(11.13)
¡
¢
¡
¢
S
ResS3p+1
H̃2 Dp (3p + 1), K ⊕ H̃1 Dp (3p), K ∼
=
3p
³ ¡
´
¢
¡
¢
S3p
S
IndS2p+1 ×Sp−1 H̃1 Dp (2p + 1), K ⊗ V(p−1) ⊕ ResS3p+1
H̃1 Dp (3p + 1), K .
3p
Encore par la proposition 4.12, on a la suite exacte de KS3p−1 -modules
³ ¡
´
¡
¢
¡
¢
¢
S
S3p−1
0 → H̃1 Dp (3p−1), K → ResS3p
H̃
D
(3p),
K
→
Ind
H̃
D
(2p),
K
⊗
V
→ 0,
1
p
0
p
(p−1)
S2p ×Sp−1
3p−1
dont on déduit l’isomorphisme de KS3p−1 -modules suivant :
³ ¡
´
¡
¢
¡
¢
¢
S
S3p−1
(11.14) ResS3p
H̃1 Dp (3p), K ∼
= H̃1 Dp (3p − 1), K ⊕ IndS2p ×Sp−1 H̃0 Dp (2p), K ⊗ V(p−1) .
3p−1
L’idée de la preuve est de trouver un KS3p -module de Specht Vν qui soit facteur direct du module
¡
¢
H̃1 Dp (3p), K , mais qui ne le soit pas du module
³ ¡
´
¢
S
M = IndS3p
H̃
D
(2p
+
1),
K
⊗
V
.
1
p
(p−1)
×S
2p+1
p−1
Dès lors, si un tel module de Specht Vν existe, il est alors, en vertu de l’isomorphisme 11.13, facteur direct
¡
¢
S
du module ResS3p+1
H̃1 Dp (3p + 1), K , et en particulier, on en tire que le KSn -module d’homologie
3p
¡
¢
H1 Dp (3p + 1) , K est non nul.
§ 11 . Un groupe fondamental non trivial
75
Nous allons distinguer deux cas. Supposons d’abord que p ≡ 3 mod 4 , ce qui revient à dire que l’entier
p−1
q=
est impair. Par le lemme 11.6, le module simple V(p+q , p−q) est facteur direct du KS2p -module
2
¡
¢
∼
H̃0 Dp (2p) , K
=
p−2
M
V(p+i , p−i) .
i=1
i impair
Ainsi, de la formule de Pieri et l’isomorphisme 11.14, on déduit que V(p+q , p−q+p−1) = V(p+q , p+q) est facteur
¡
¢
S
direct du module ResS3p
H̃1 Dp (3p), K . Par suite, l’un ou l’autre des modules de Specht V(p+q+1 , p+q)
3p−1
ou V(p+q , p+q , 1) apparaı̂t (à isomorphisme près bien entendu) dans la décomposition en modules simples du
¡
¢
KS3p -module H̃1 Dp (3p), K . Mais aucun de ces deux modules de Specht n’est facteur direct du module
p−1
³ ¡
´
³ M
´
¢
S
S3p
∼
M = IndS3p
H̃
D
(2p
+
1),
K
⊗
V
Ind
(V(p+i , p−i , 1) ⊗ V(p−1) ) .
=
1
p
(p−1)
S2p+1 ×Sp−1
2p+1 ×Sp−1
i=0
i pair
En effet, d’une part, par la formule de Pieri, il est clair que le module M se décompose en modules de
Specht Vλ avec l(λ) ≥ 3 . D’autre part, si λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) désigne une partition de 2p + 1 telle
¡
¢
S
que V(p+q , p+q , 1) soit facteur direct du module IndS3p
Vλ ⊗ V(p−1) , alors, toujours grâce à la
2p+1 ×Sp−1
formule de Pieri, on peut affirmer que λ1 = p + q ( car si λ1 < p + q , il faut ajouter au moins deux cases à
la (p + q)-ème colonne de λ pour obtenir la partition V(p+q , p+q , 1) , ce qui contredit la formule de Pieri).
¡
¢
Dès lors, le module de Specht Vλ = V(p+q , λ2 , λ3 ) n’est pas facteur direct du module H̃1 Dp (2p + 1), K ,
puisque q est impair. Par conséquent, ni V(p+q+1 , p+q) , ni V(p+q , p+q , 1) ne sont des facteurs directs du
¡
¢
module M , ce qui prouve que le KSn -module H1 Dp (n) , K est non nul.
Supposons à présent p ≡ 1 mod 4 . De ce fait, p ≥ 5 et
s =
p−1
−1
2
et
t =
p−1
+1
2
sont des entiers positifs impairs. Ainsi, les modules de Specht V(p+s , p−s) et V(p+t , p−t) sont tous deux
¡
¢
des facteurs directs du KS2p -module H̃0 Dp (2p) , K . En conséquence, par la formule de Pieri, le mo-
dule V(p+t , p+s) apparaı̂t au moins deux fois dans la décomposition en modules simples du KS3p−1 -module
³ ¡
´
¡
¢
¡
¢
¢
S
S3p−1
∼
ResS3p
H̃
D
(3p),
K
H̃
D
(3p
−
1),
K
⊕
Ind
H̃
D
(2p),
K
⊗
V
.
=
1
p
1
p
0
p
(p−1)
S2p ×Sp−1
3p−1
On a déjà remarqué ci-dessus que le module M se décompose en modules de Specht Vλ avec l(λ) ≥ 3 . Par
suite, on peut supposer que le module simple V(p+t , p+s , 1) apparaı̂t au moins deux fois dans la décomposition
¡
¢
en modules simples du KS3p -module H̃1 Dp (3p), K (car sinon il existerait un module de Specht Vλ facteur
¡
¢
direct de H̃1 Dp (3p), K avec l(λ) = 2 et la preuve serait terminée). Mais V(p+t , p+s , 1) n’apparaı̂t qu’une
fois dans la décomposition en modules simples du module M . En effet, si Vλ = V(λ1 , λ2 , λ3 ) est un facteur
direct du module
¡
¢
∼
H1 Dp (2p + 1) , K
=
p−1
M
V(p+i , p−i , 1)
i=0
i pair
¡
¢
S
tel que V(p+t , p+s , 1) soit facteur direct du module IndS3p
Vλ ⊗ (p − 1) , alors λ1 = p + i avec
2p+1 ×Sp−1
p−1
l’entier i pair et s ≤ i ≤ t . Or s + 1 = t − 1 =
est l’unique entier vérifiant cette condition. De fait,
2
¡
¢
la partition λ est déterminée de manière unique par λ = p + s + 1 , p + s + 1 , 1 et donc le module de
Specht V(p+t , p+s , 1) n’apparaı̂t qu’une fois dans la décomposition en modules simples du module M . En
¡
¢
conclusion, le KS3p+1 -module H1 Dp (3p + 1) , K ne peut pas être nul.
¡
¢
Dès lors, le groupe d’homologie entière H1 Dp (3p + 1) n’est pas nul. Or ce dernier est isomorphe
¡
¢
¡
¢
à l’abélianisé du groupe fondamental π1 Dp (3p + 1) . Par conséquent, le groupe π1 Dp (3p + 1) est lui
aussi non trivial.
76
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Rappelons que ce paragraphe a pour objectif de démontrer le théorème 11.1 énoncé au début de ce
paragraphe.
Preuve du théorème 11.1. Le cas où p = 2 a été réglé au début du paragraphe. C’est pourquoi on
peut supposer le nombre premier p impair.
Si Ep (n) désigne l’ensemble ordonné Dp (3p + 1) , on sait par le théorème précédent que le groupe
¡
¢
d’homologie H1 Dp (3p + 1) n’est pas nul. En outre, en vertu de la proposition 4.6, l’ensemble ordonné Dp (3p) a le type d’homotopie d’un graphe connexe. En particulier, puisque la caractéristique d’Euler
¡
¢
¡
¢
réduite χ̃ Dp (3p) est non nulle, le groupe d’homologie H1 Dp (3p) n’est pas nul. Ce fait se confirme
dans la surjection
déduite du lemme 10.1.
¡
¢
¡
¢
π1 Dp (3p) −→
−→ π1 Dp (3p + 1) ,
Si p = 3 , on sait que D3 (n) ∼
= T3 (n) et par la proposition 8.8, on sait que le complexe de Quillen
¡
¢
¡
¢
∆ A3 (Sn ) a le même type d’homotopie que le wedge de ∆ D3 (n) et d’un bouquet de cercles. On en
¡
¢
déduit en particulier que le groupe d’homologie H1 A3 (Sn ) est non nul.
De p ≥ 5 et 3p ≤ n ≤ 3p + 1 , on déduit que n < p2 . Par suite, en vertu du corollaire 3.3, les ensembles
ordonnés Ap (Sn ) et Tp (n) ont le même type d’homotopie. Ainsi, il suffit, pour conclure, de montrer que
¡
¢
¡
¢
les groupes d’homologie H1 Tp (3p) et H1 Tp (3p + 1) ne sont pas nuls. Par la proposition 4.5, on
¡
¢
¡
¢
sait que le groupe H1 Dp (n) est facteur direct du groupe H1 Tp (n) . Or, en vertu de l’exemple 4.7,
l’ensemble ordonné Dp (3p) a le type d’homotopie d’un bouquet de cercles et le théorème 11.12 nous dit que
¡
¢
¡
¢
le groupe d’homologie H1 Dp (3p + 1) n’est pas nul. En conclusion, les groupes d’homologie H1 Tp (3p)
¡
¢
et H1 Tp (3p + 1) sont donc eux aussi non nuls.
Les résultats obtenus dans ce chapitre (particulièrement les théorème 10.6, 10.7 et 11.1) démontrent le
théorème suivant. Ce dernier constitue le résultat le plus important de ce travail.
(11.15)
Théorème. Soient p un nombre premier et n un entier > p . Si p ≥ 3 , le complexe de
Quillen ∆Ap (Sn ) est simplement connexe si et seulement si 3p + 2 ≤ n < p2 ou n ≥ p2 + p . ( Remarquer
que la condition 3p + 2 ≤ n < p2 implique p ≥ 5 .) En outre, si p = 2 , ∆A2(Sn ) est simplement connexe
si et seulement si n = 4 ou n ≥ 7 .
§ 12
k-CONNEXITÉ
Un complexe simplicial C est dit k-connexe , où k désigne un entier ≥ 1 , s’il est simplement connexe et si
tous ses groupes d’homologie réduite sont nuls jusqu’à k , c’est-à-dire
¡ ¢
¡ ¢
π1 C = 1
et
H̃l C = 0 , quel que soit l’entier l ≤ k .
Par extension, un complexe simplicial C est dit 0-connexe s’il est connexe et (−1)-connexe s’il est non
vide. Soient p un nombre premier et n un entier. Nous savons que si n > 3p + 1 , le complexe des pcycles ∆Tp (n) et le complexe des p-partitions ∆Dp (n) sont 1-connexes. Grâce aux suites exactes longues
de groupes d’homologie des théorèmes 5.8 et 5.14, nous allons, dans ce paragraphe, généraliser ces résultats.
Plus précisément, nous allons démontrer un critère de k-connexité pour les ensembles ordonnés Tp (n)
et Dp (n) .
§12 . k-connexité
(12.1)
77
Théorème. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . Si n > (3p + 1) + k(2p − 1) ,
l’ensemble ordonné Tp (n) est (k + 1)-connexe.
¡
¢
Preuve. Montrons, par récurrence sur k , que le groupe d’homologie H̃k+1 Tp (n) est nul si l’entier n >
(3p + 1) + k(2p − 1) . Si k = 0 et n > 3p + 1 , alors effectivement, par le théorème 9.4, on sait que
¡
¢
H1 Tp (n) = 0 .
Supposons à présent k ≥ 1 et
¡
¢
H̃l+1 Tp (n) = 0
si 0 ≤ l < k et n > (3p + 1) + l(2p − 1) .
Soit alors un entier n > (3p + 1) + k(2p − 1) . Par le théorème 5.8, on a, pour tout s = 1, 2, . . . , p , la suite
exacte
¡
¢
¡
¢
. . . → H̃k+1 CT p (n)≤s−1 → H̃k+1 CT p (n)≤s →
¡
→ H̃k CT p (n)≤s−1
¢
¡
→ H̃k CT p (n)≤s
¢
n−ps
M
j = n−p(s+1)+s
j≥0
→ ... ,
³
¡
M
υ ∈ CT p (n)s=s
¢
] Supp(υ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃k−s+1 CT p (j)
où CT p (n) désigne le complexe simplicial défini à la remarque 3.1, qui a le même type d’homotopie que
l’ensemble ordonné Tp (n) , et où CT p (n)≤s désigne le s-ème terme de la filtration considérée au paragraphe 5 ( 0 ≤ s ≤ p ). Si s et u sont deux entiers tels que
1≤s≤p
et
ps ≤ u ≤ p(s + 1) − s ,
l’inégalité n > (3p + 1) + k(2p − 1) peut se récrire
n − u > (3p + 1) + (k − s)(2p − 1) + s(2p − 1) − u .
De plus, puisque u ≤ p(s + 1) − s , on a
s(2p − 1) − u ≥ s(2p − 1) − p(s + 1) + s = ps − p ≥ 0 .
Dès lors, l’inégalité suivante est vérifiée :
(12.2)
n − u > (3p + 1) + (k − s)(2p − 1) .
Ainsi, de l’hypothèse de récurrence et de l’inégalité 12.2, on déduit que, pour tout entier s = 1, 2, . . . , p ,
n−ps
M
j = n−p(s+1)+s
j ≥0
³
¡
M
υ ∈ CT p (n)s=s
] Supp(υ)∪Np
¢
=j
¡
¢´
H̃k−s+1 CT p (j)
= 0.
Par conséquent, la suite exacte décrite ci-dessus, prouve l’existence d’une surjection
¡
¢
¡
¢
H̃k+1 CT p (n)≤s−1 −→
−→ H̃k+1 CT p (n)≤s ,
quel que soit s = 1, 2, . . . , p .
Or, par le lemme 5.5, le complexe simplicial CT p (n)≤0 est contractile. Par suite, en raisonnant par récurrence
sur l’entier s = 1, 2, . . . , p , on montre très facilement que
¡
¢
H̃k+1 CT p (n)≤s = 0 ,
quel que soit s = 0, 1, 2, . . . , p .
En particulier, on en tire
¡
¢
¡
¢
¡
¢
H̃k+1 Tp (n) ∼
= H̃k+1 CT p (n) = H̃k+1 CT p (n)≤p = 0 .
¡
¢
En résumé, on a montré que le groupe d’homologie H̃k+1 Tp (n) est nul si n > (3p + 1) + k(2p − 1) .
Mais si n > (3p + 1) + k(2p − 1) , alors à fortiori, on a aussi n > (3p + 1) + l(2p − 1) , quel que soit
¡
¢
l = 0, 1, . . . , k . Par conséquent, les groupes H̃l+1 Tp (n) , pour l = 0, 1, . . . , k , sont aussi nuls. En outre,
puisque n > 3p + 1 , on sait, grâce au théorème 9.4, que l’ensemble ordonné Tp (n) est simplement connexe.
En conclusion, on peut donc affirmer que ce dernier est (k + 1)-connexe.
78
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Si n < p2 , nous savons que le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) a le même type d’homotopie que le
complexe des p-cycles ∆Tp (n) . On en déduit le corollaire suivant.
(12.3)
Corollaire. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . Si n est un entier tel que
(3p + 1) + k(2p − 1) < n < p2 , alors l’ensemble ordonné Ap (Sn ) est (k + 1)-connexe.
Preuve. Ce résultat est une conséquence immédiate du corollaire 3.3 et du théorème 12.1 ci-dessus.
L’hypothèse n < p2 est bien entendu indispensable. On a vu, dans la proposition 8.8 que les p-sousgroupes relativement transitifs de rang 2 sont maximaux dans Ap (Sn ) si p2 ≤ n < p2 + p , et qu’ils sont
à l’origine du fait que l’ensemble ordonné Ap (Sn ) n’est alors pas simplement connexe. On peut facilement
imaginer que ce phénomène se généralise avec l’apparition de p-sous-groupes relativement transitifs de
rang r ≥ 3 dans Ap (Spr ) .
Comme annoncé au début de ce paragraphe, il nous est aussi possible de donner un critère de k-connexité
pour l’ensemble ordonné Dp (n) .
(12.4)
Théorème. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . Si n > (3p + 1) + k(2p − 1) ,
l’ensemble ordonné Dp (n) est (k + 1)-connexe.
Preuve. La démonstration de ce théorème est analogue à celle du théorème 12.1. Dit autrement, ce
résultat se déduit des théorèmes 5.14 et 10.3, en raisonnant par récurrence sur l’entier k .
Par les théorèmes 12.1 et 12.4, on sait, par exemple, que les ensembles ordonnés Tp (n) et Dp (n) sont
2-connexes si n > 5p . Il est alors naturel de se demander si cette borne est optimale. Les ensembles
ordonnés Tp (5p) et Dp (5p) ne sont-ils pas eux-aussi 2 -connexes ? Autrement dit, peut-on espérer affiner
les critères de k-connexité décrits ci-dessus ? La suite de ce paragraphe vise à résoudre ce problème.
Pour un nombre premier p et un entier k ≥ −1 , on définit la borne de k-connexité du complexe des
p-cycles comme étant le nombre θp (k) défini par
¯
©
ª
θp (k) = min m ∈ N ¯ Tp (n) est k-connexe, quel que soit n ≥ m .
En vertu du théorème 12.1, ce nombre est bien défini. Plus précisément, on a
θp (k) ≤ (3p + 1) + k(2p − 1) .
En outre, on sait déjà que
(12.5)
θp (−1) = p
,
θp (0) = 2p + 1
et
θp (1) = 3p + 2 .
Pour k ≥ 2 , l’égalité suivante est-elle encore vérifiée :
(12.6)
θp (k) = θp (k − 1) + (p + 1) ?
A défaut de répondre à cette question, nous allons démontrer la proposition qui suit.
§12 . k-connexité
(12.7)
79
Proposition. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ 0 . On a
θp (k − 1) + (p − 1) ≤ θp (k) ≤ θp (k − 1) + (2p − 1) .
Preuve. Montrons tout d’abord la première inégalité. Soit n ≥ θp (k) et montrons que l’ensemble
ordonné Tp (n − p + 1) est alors (k − 1)-connexe. Au vu des égalités 12.5, on peut supposer k ≥ 2 et
donc n ≥ 3p + 2 . Par la proposition 3.10, on a la suite exacte suivante
¡
. . . → Hk+1 Tp (n + 1)
¢
→
t
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Hk Tp (n − p + 1) → Hk Tp (n) → Hk Tp (n + 1) → . . .
t
M
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
. . . → H2 Tp (n + 1) →
H1 Tp (n − p + 1) → H1 Tp (n) → H1 Tp (n + 1) → 0 ,
où t =
(n − 1)!
. Or, par hypothèse sur l’entier n , on a, pour tout l = 1, 2, . . . , k ,
(p − 1)(n − p)!
¡
¢
Hl Tp (n + 1) = 0
et
¡
¢
Hl Tp (n) = 0 .
On en déduit, via la suite exacte ci-dessus, que
¡
¢
Hl Tp (n − p + 1) = 0 ,
pour tout l = 1, 2, . . . , k − 1 .
En outre, de n ≥ 3p + 2 on tire que n − p + 1 ≥ 2p + 3 . En conséquence, on en déduit que n − p + 1 ≥ 3p + 2
(car on a vu au paragraphe précédent que si m désigne un entier tel que 2p + 3 ≤ m ≤ 3p + 1 , alors le
¡
¢
¡
¢
groupe d’homologie H1 Tp (m) est non nul). Ainsi le groupe fondamental π1 Tp (n − p + 1) est trivial
et par suite, l’ensemble ordonné Tp (n − p + 1) est (k − 1)-connexe, ce qui prouve l’inégalité
(12.8)
θp (k − 1) + (p − 1) ≤ θp (k) .
Montrons maintenant, par récurrence sur k ≥ 0 , que θp (k) ≤ θp (k − 1) + (2p − 1) . Cette partie
de la preuve est similaire à la démonstration du théorème 12.1. Au vu de 12.5, cette inégalité est vérifiée
pour 0 ≤ k ≤ 1 . Soit donc k ≥ 2 et supposons l’inégalité vérifiée pour tout l = 0, 1, . . . , k − 1 . Soit
n ≥ θp (k − 1) + (2p − 1) . On veut montrer que Tp (n) est k-connexe. Mais puisque n ≥ θp (k − 1) , il ne
¡
¢
nous reste plus qu’à montrer que le groupe d’homologie H̃k Tp (n) est nul. Soient s et u deux entiers
tels que
1≤s≤p
et
ps ≤ u ≤ p(s + 1) − s .
En vertu de l’inégalité 12.8 déjà prouvée ci-dessus, on sait que
θp (k − 1) ≥ θp (k − s) + (p − 1)(s − 1) .
Dès lors, on peut écrire
n − u > θp (k − 1) + (2p − 1) − p(s + 1) + s ≥ θp (k − s) + (p − 1)(s − 1) + (2p − 1) − p(s + 1) + s = θp (k − s) .
Ainsi, de l’hypothèse de récurrence, on déduit que, pour tout entier s = 1, 2, . . . , p ,
n−ps
M
j = n−p(s+1)+s
j ≥0
³
¡
M
υ ∈ CT p (n)s=s
¢
] Supp(υ)∪Np
=j
¡
¢´
H̃k−s CT p (n − u)
= 0.
80
Chapitre 3 . Groupe fondamental et k-connexité
Du théorème 5.8, il s’ensuit qu’on a une surjection
¡
¢
¡
¢
H̃k CT p (n)≤s−1 −→
−→ H̃k CT p (n)≤s ,
quel que soit s = 1, 2, . . . , p .
Or, le complexe simplicial CT p (n)≤0 est contractile. Par suite, en raisonnant par récurrence sur l’entier
s = 1, 2, . . . , p , on conclut que
¡
¢
¡
¢
¡
¢
H̃k Tp (n) ∼
= H̃k+1 CT p (n) = H̃k CT p (n)≤p = 0 .
(12.9)
Remarque. Le théorème 12.1 est en fait une conséquence de la proposition 12.7. Toutefois,
il ne faut pas oublier que c’est grâce à ce théorème 12.1, que l’on sait que les bornes de k-connexité θp (k)
existent bel et bien.
Il existe un résultat correspondant à la proposition 12.7 pour l’ensemble ordonné Dp (n) . Pour un
nombre premier p et un entier k ≥ −1 , on définit la borne de k-connexité du complexe des p-partitions
comme étant le nombre δp (k) défini par
¯
©
ª
δp (k) = min m ∈ N ¯ Dp (n) est k-connexe, quel que soit n ≥ m .
En vertu du théorème 12.4, ce nombre est bien défini. On sait déjà que
(12.10)
(12.11)
δp (−1) = p
,
δp (0) = 2p + 1
et
δp (1) = 3p + 2 .
Proposition. Soient p un nombre premier et k un entier ≥ −1 . On a
δp (k − 1) + (p − 1) ≤ δp (k) ≤ δp (k − 1) + (2p − 1) .
Preuve. Le résultat cherché se déduit de la proposition 4.9 et du théorème 5.14, de manière similaire
à ce qui a été fait dans la démonstration de la proposition 12.7.
De manière générale, la question 12.6 reste sans réponse. Toutefois, dans le cas particulier où p = 2 , la
réponse est positive. La proposition suivante le prouve. Elle est la conséquence de résultats beaucoup plus
précis démontrés par Bouc.
(12.12)
Proposition. Quel que soit l’entier k ≥ −1 , on a
δ2(k) = 3k + 5 .
Preuve. Raisonnons par récurrence sur k . Pour −1 ≤ k ≤ 1 , l’égalité cherchée est prouvée par 12.10.
Soit à présent k ≥ 2 et supposons le résultat prouvé pour k − 1 . En vertu de la proposition 12.11, on sait
que
3k + 3 ≤ δ2 (k) ≤ 3k + 5 .
¡
¢
Or Bouc a montré ( [BO3 , Proposition 7 ] ) que le groupe d’homologie H̃k D2 (3k + 4) est cyclique
d’ordre 3 si k ≥ 1 . Dès lors, l’ensemble ordonné D2 (3k + 4) n’est pas k-connexe et la conclusion est
immédiate.
CHAPITRE 4
Calculs explicites
Dans ce chapitre, nous précisons quelques résultats facilement déductibles des chapitres précédents. Par
exemple, nous verrons que si p est un nombre premier ≥ 5 et n un entier tel que 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 ,
le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) a le type d’homotopie d’un bouquet de sphères de dimension 2 . Par
contre, l’ensemble ordonné A3 (S11 ) a le type d’homotopie d’un bouquet de sphères de dimensions 1 et 2 .
En outre, les valeurs numériques calculées dans ce chapitre permettent de se faire une idée de la taille des
complexes simpliciaux ∆Ap (Sn ) , ∆Tp (n) ou ∆Dp (n) .
Finalement, au dernier paragraphe, nous expliquerons comment il est possible de calculer l’invariant de
Lefschetz des ensembles ordonnés Dp (n) et Tp (n) .
82
Chapitre 4 . Calculs explicites
§ 13
LE COMPLEXE DES p-PARTITIONS
¡
¢
Le tableau suivant nous donne les valeurs de χ̃ Dp (n) pour n ≤ 27 et p ≤ 7 . Elles ont été calculées
à l’aide du programme PARI CALCULATOR.
¡
¢
χ
e Dp (n) pour n ≤ 27 et p ≤ 7
(13.1)
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
n = 11
n = 12
n = 13
n = 14
n = 15
n = 16
n = 17
n = 18
n = 19
n = 20
n = 21
n = 22
n = 23
n = 24
n = 25
n = 26
n = 27
p=2
p=3
p=5
p=7
−1
0
2
2
−6
−16
20
132
−28
−1216
−936
12440
23672
−138048
−469456
1601264
9112560
−18108928
−182135008
161934624
3804634784
404007680
−83297957568
−92590134208
1906560847424
4221314202624
−45349267830400
−1
−1
0
3
9
9
−36
−225
−477
819
10944
37179
−16875
−870507
−4253796
−2481921
101978919
680495175
1060229088
−16378166061
−145672249311
−368320357791
3415036002300
40270115077983
141926533828299
−882584266861701
−13970371667206176
−1
−1
−1
−1
0
5
20
55
125
125
−925
−7525
−34750
−124125
−249250
1013375
14708875
97413875
477236375
1443329375
−3466472500
−91499089375
−804081585000
−5030009685625
−20366827624375
23484049500625
1391395435656875
−1
−1
−1
−1
−1
−1
0
7
35
119
329
791
1715
1715
−19306
−194481
−1147433
−5219137
−19903261
−66434641
−132908041
914712743
15425523596
131255442647
833730406299
4358597929399
19653845326829
Soient p un nombre premier et n un entier.
Si n ≤ 3p , le type d’homotopie du complexe des p-partitions ∆Dp (n) est décrit explicitement à
l’exemple 4.7.
¡
¢
Au vu du tableau ci-dessus, on remarque que si p ≤ 7 , les caractéristiques d’Euler réduites χ̃ Dp (2p − 1)
¡
¢
et χ̃ Dp (2p) sont égales si p ≤ 7 . Il est en fait facile de montrer que les ensembles ordonnés Dp (2p − 1)
et Dp (2p) ont le même type d’homotopie quel que soit le nombre premier p .
Si n = 3p + 1 , on sait, en vertu de la proposition 6.2 et du théorème 11.12, que Dp (n) admet deux
groupes d’homologie réduite non nuls qui sont
¡
¢
H̃1 Dp (3p + 1) 6= 0
et
¡
¢
H̃2 Dp (3p + 1) 6= 0 .
§ 14 . Le complexe des p-cycles
83
(13.2)
Proposition. Si 3p + 2 ≤ n ≤ 4p , l’ensemble ordonné Dp (n) a le type d’homotopie d’un
¡
¢
bouquet de χ
e Dp (n) sphères de dimension 2 .
Preuve. Si 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , l’ensemble ordonné Dp (n) est simplement connexe de dimension 2
(confer théorème 10.3). Si n = 4p , l’ensemble ordonné Dp (n) a aussi le type d’homotopie d’un complexe
simplicial simplement connexe de dimension 2 ( confer proposition 4.6). Par conséquent, quel que soit
¡
¢
l’entier n tel que 3p + 2 ≤ n ≤ 4p , le groupe H̃2 Dp (n) est le seul groupe d’homologie réduite non nul
de Dp (n) . Autrement dit, le³complexe simplicial
∆Dp (n) est un espace de Moore et son type d’homotopie
¡
¢ ´
¡
¢
est déterminé par le couple H̃2 Dp (n) , 2 (confer [BAU , section 6 ]). Or le groupe H̃2 Dp (n) est
¡
¢
un groupe abélien libre à χ̃ Dp (n) générateurs. On en déduit donc que
¡
¢
χ̃ Dp (n)
_
Dp (n) '
S2 .
§ 14
LE COMPLEXE DES p-CYCLES
¡
¢
Le tableau suivant nous donne les valeurs de χ̃ Tp (n) pour n ≤ 27 et p ≤ 7 . Elles ont été calculées
à l’aide du programme PARI CALCULATOR.
(14.1)
p=2
n=1
−1
n=2
0
n=3
2
n=4
2
n=5
−6
n=6
−16
n=7
20
n=8
132
n=9
−28
n = 10
−1216
n = 11
−936
n = 12
12440
n = 13
23672
n = 14
−138048
n = 15
−469456
n = 16
1601264
n = 17
9112560
n = 18
−18108928
n = 19
−182135008
n = 20
161934624
n = 21
3804634784
n = 22
404007680
n = 23
−83297957568
n = 24
−92590134208
n = 25
1906560847424
n = 26
4221314202624
n = 27 −45349267830400
¡
¢
χ
e Tp (n) pour n ≤ 27 et p ≤ 7
p=3
p=5
p=7
−1
−1
0
3
9
9
−36
−225
−477
819
10944
37179
−16875
−870507
−4253796
−2481921
101978919
680495175
1060229088
−16378166061
−145672249311
−368320357791
3415036002300
40270115077983
141926533828299
−882584266861701
−13970371667206176
−1
−1
−1
−1
5
35
125
335
755
−3025
−47125
−294625
−1289575
−4528525
13639625
399593375
3616898375
22032029375
105175748375
−212027370625
−11828206781875
−141711027428125
−1108696796696875
−6696684307860625
6821332733706875
904582227478019375
13616061387780831875
−1
−1
−1
−1
−1
−1
119
959
4319
14399
39599
95039
205919
−24298561
−369883801
−2963875201
−16800738241
−75610005121
−287326484641
−957765801601
112059701121599
2520624650417279
29057859095082839
232575953880790079
1453792463792723999
7560054915383255999
34020825375695043599
84
Chapitre 4 . Calculs explicites
Soient p un nombre premier et n un entier. Si p = 2 ou p = 3 , on sait alors que les ensembles ordonnés
Dp (n) et Tp (n) sont isomorphes, c’est pourquoi on suppose p ≥ 5 dans la suite de ce paragraphe.
Si n < 3p , le type d’homotopie de l’ensemble ordonné Tp (n) est décrit explicitement à l’exemple 3.7.
Si 3p ≤ n ≤ 3p + 1 , le complexe des p-cycles ∆Tp (n) est de dimension 2 et, en vertu du corollaire 6.5
et du théorème 11.1, il admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont
¡
¢
H̃1 Tp (n) 6= 0
¡
¢
H̃2 Tp (n) 6= 0 .
et
Plus précisément, si n = 3p , on connaı̂t le rang libre de chacun de ces deux groupes d’homologie. En effet,
¡
¢
le rang du groupe abélien libre H̃2 Tp (3p) est donné à la proposition 7.6 et on a
³ ¡
³ ¡
¢´
¢´
¡
¢
ranglibre H̃1 Tp (3p)
= rang H̃2 Tp (3p)
− χ
e Tp (3p) .
(14.2)
Proposition. Si 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , l’ensemble ordonné Tp (n) a le type d’homotopie d’un
¡
¢
bouquet de χ
e Tp (n) sphères de dimension 2 .
Preuve. Soit n un entier tel que 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 . L’ensemble ordonné Tp (n) est simplement
¡
¢
connexe de dimension 2 (confer théorème 9.4). Par conséquent, le groupe H̃2 Tp (n) est le seul groupe
d’homologie réduite non nul de Tp (n) . Autrement dit, le complexe simplicial ∆Tp (n) est un espace de
¡
¢
¡
¢
Moore. Or le groupe H̃2 Tp (n) est un groupe abélien libre à χ̃ Tp (n) générateurs. Ainsi, par unicité
à homotopie près des espaces de Moore, on en déduit que
¡
χ̃ Tp (n)
Tp (n) '
_
¢
S2 .
Si n = 4p , l’ensemble ordonné Tp (4p) est simplement connexe de dimension 3 . Par la proposition 13.2,
¡
¢
le groupe d’homologie H2 Dp (4p) est non nul, et en vertu de la proposition 4.5, il en est de même du
¡
¢
groupe H2 Tp (4p) . Par suite, l’ensemble ordonné Tp (4p) admet deux groupes d’homologie réduite non
nuls qui sont
¡
¢
H̃2 Tp (4p) 6= 0
et
¡
¢
H̃3 Tp (4p) 6= 0 .
¡
¢
Plus précisément, le rang du groupe abélien libre H̃3 Tp (4p) est donné à la proposition 7.6 et on a
³ ¡
³ ¡
¢´
¢´
¡
¢
ranglibre H̃2 Tp (4p)
= rang H̃3 Tp (4p)
+ χ
e Tp (4p) .
§ 15
LE COMPLEXE DE QUILLEN DU GROUPE SYMÉTRIQUE
Par souci de clarté, nous allons distinguer, dans ce paragraphe, les cas p = 2 , p = 3 et p ≥ 5 .
Soient p = 2 et n un entier.
Si n ≤ 6 , alors, par l’exemple 2.12, le type d’homotopie du complexe de Quillen ∆A2 (Sn ) est connu.
§ 15 . Le complexe de Quillen du groupe symétrique
(15.1)
85
Proposition. Le type d’homotopie de l’ensemble ordonné A2 (S7 ) est donné par
A2 (S7 ) '
160
_
S2 .
Preuve. En vertu de la proposition 11.2, l’ensemble ordonné A2 (S7 ) est simplement connexe de
dimension 2 . Par conséquent, le complexe simplicial ∆A2 (S7 ) est un espace de Moore caractérisé, à
¡
¢
homotopie près, par son unique groupe d’homologie réduite non nul H̃2 A2 (S7 ) . Or, en consultant le
¡
¢
tableau établi par Bouc à la fin de son article [BO4 , section 5.6 ], on trouve que χ
e A2 (S7 ) = 160 et on
¡
¢
en déduit que le groupe abélien libre H̃2 A2 (S7 ) est de rang 160 . La conclusion est alors immédiate.
Si 8 ≤ n ≤ 9 , le complexe de Quillen ∆A2 (Sn ) est simplement connexe de dimension 3 . Ainsi ses
¡
¢
¡
¢
seul groupes d’homologie éventuellement non nuls sont H̃2 A2 (Sn ) et H̃3 A2 (Sn ) . En outre, par les
¡
¢
¡
¢
calculs de Bouc [BO4 , section 5.6 ], on sait que χ
e A2 (S8 ) = 512 et χ
e A2 (S9 ) = −640 . Dès lors, on
peut affirmer que
¡
¢
H̃2 A2 (S8 ) 6= 0
et
¡
¢
H̃3 A2(S9 ) 6= 0 .
Soient p = 3 et n un entier.
Si n ≤ 6 , alors, par l’exemple 2.10, le type d’homotopie du complexe de Quillen ∆A3 (Sn ) est connu.
(15.2)
Proposition. L’ensemble ordonné A3 (S7) , respectivement A3 (S8 ) , a le type d’homotopie
d’un bouquet de 36 , respectivement 225 cercles.
Preuve. Si 7 ≤ n ≤ 8 , le complexe simplicial ∆A3 (Sn ) a le type d’homotopie d’un graphe connexe
et sa caractéristique d’Euler est donnée par la formule du corollaire 3.6.
(15.3) Proposition. L’ensemble ordonné A3 (S9 ) a le type d’homotopie d’un bouquet de 2997 cercles.
Preuve. En conséquence de la proposition 6.7, le complexe simplicial ∆A3 (S9 ) a le type d’homotopie
d’un graphe connexe. De plus, par la proposition 8.8, on a
_
¡
¢
¡
¢ ¡ 2520
¢
∆ A3 (S9 ) ' ∆ D3(9) ∨
S1 ,
¡
¢
et on sait que ∆ D3 (9) a le type d’homotopie d’un bouquet de 477 cercles (voir exemple 4.7 et tableau 13.1 ). Dès lors, la conclusion s’ensuit naturellement.
Si n = 10 , on sait, par la proposition 8.8, que
_
¡
¢
¡
¢ ¡ 29400
¢
∆ A3 (S10 ) ' ∆ D3 (10) ∨
S1 .
¡
¢
En outre, en vertu de la proposition 6.2, le groupe H2 D3 (10) est non nul. Par suite, l’ensemble ordonné A3 (S10 ) admet deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont
¡
¢
H̃1 A3 (S10 ) 6= 0
et
¡
¢
H̃2 A3(S10 ) 6= 0 .
86
Chapitre 4 . Calculs explicites
(15.4)
Proposition. Le type d’homotopie du complexe de Quillen ∆A3 (S11 ) est donné par
_
_
¡
¢
¡ 138600
¢ ¡ 10944
¢
1
∆ A3 (S11 ) '
S
∨
S2 .
Preuve. Grâce à la proposition 8.8, on sait que
_
¡
¢
¡
¢ ¡ 138600
¢
∆ A3 (S11 ) ' ∆ D3 (11) ∨
S1 .
La proposition 13.2 et le tableau 13.1 permettent alors de conclure.
(15.5)
Proposition. L’ensemble ordonné A3(S12 ) a le type d’homotopie d’un bouquet de 37179
sphères de dimension 2 .
Preuve. En vertu de la proposition 6.7 et du théorème 10.6, le complexe simplicial ∆A3 (S12 ) est un
¡
¢
espace de Moore, dont l’unique groupe d’homologie réduite non nul est H̃2 A3 (S12) . Or, en consultant
¡
¢
le tableau [BO4 , section 5.6 ], on trouve que χ
e A3 (S12) = 37179 et on en déduit que le groupe abélien
¡
¢
libre H̃2 A3(S12 ) est de rang 37179 . La conclusion est alors immédiate.
(15.6) Remarque. Grâce à la proposition 13.2 et au tableau 13.1, on sait que l’ensemble ordonné
D3 (12) a le type d’homotopie d’un bouquet de 37179 sphères de dimension 2 . Par suite, en vertu de la
proposition 15.5 ci-dessus, les ensembles ordonnés D3 (12) et A3 (S12) ont le même type d’homotopie. Il
en est d’ailleurs de même des ensembles D2 (6) et A2 (S6 ) . En fait, il est possible de montrer de manière
directe que si p = 2 ou p = 3 , l’inclusion i : Dp (p2 + p) ,→ Ap (Sp2 +p ) est une équivalence d’homotopie. Ce
phénomène est exceptionnel. Les complexes simpliciaux ∆Tp (p2 + p) et ∆Ap (Sp2 +p ) n’ont certainement
plus le même type d’homotopie lorsque p ≥ 5 .
Si 13 ≤ n ≤ 14 , les seuls groupes d’homologie réduite non nuls du complexe de Quillen ∆A3 (Sn ) sont
¡
¢
H̃2 A3 (Sn ) 6= 0
et
¡
¢
H̃3 A3(Sn ) 6= 0 .
En effet, puisque l’ensemble A3 (Sn ) est simplement connexe de dimension 3 , ses seuls groupes d’homologie
¡
¢
¡
¢
réduite éventuellement non nuls sont les groupes H̃2 A3 (Sn ) et H̃3 A3(Sn ) . Le premier est non nul
car par le tableau [BO4 , section 5.6 ], on sait que
¡
¢
χ
e A3 (S13 ) = 5388525 > 0
Le second est non nul par le corollaire 6.5.
et
¡
¢
χ
e A3(S14 ) = 44534853 > 0 .
Si n = 15 , le complexe de Quillen ∆A3 (S15 ) a, en vertu de la proposition 6.7, le type d’homotopie
d’un complexe simplicial simplement connexe de dimension 3 , et
¡
¢
H̃3 A3 (S15 ) 6= 0 .
¡
¢
Son unique autre groupe d’homologie réduite éventuellement non nul est le groupe H̃2 A3 (S15) .
Soient p un nombre premier ≥ 5 et n un entier. On sait que si n < p2 , les ensembles ordonnés Tp (n)
et Ap (Sn ) ont le même type d’homotopie. En particulier, le corollaire 3.6 met en évidence que leurs
caractéristiques d’Euler réduites sont alors égales et en recopiant les résultats énoncés au paragraphe 14 ,
on trouve les énoncés suivants.
Si n ≤ 2p , le type d’homotopie du complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) est connu ( confer exemple 2.10 ).
§ 16 . Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles
87
(15.7)
Proposition. Si p ≥ 5 et 2p + 1 ≤ n ≤ 3p − 1 , l’ensemble ordonné Ap (Sn ) a le type
¡
¢
d’homotopie d’un bouquet de χ
e Ap (Sn ) cercles.
Si 3p ≤ n ≤ 3p + 1 , le complexe de Quillen ∆Ap (Sn ) est de dimension 2 et il admet deux groupes
d’homologie réduite non nuls qui sont
¡
¢
H̃1 Ap (Sn ) 6= 0
et
¡
¢
H̃2 Ap (Sn ) 6= 0 .
Plus précisément, dans le cas où n = 3p , on connaı̂t le rang libre de chacun de ces deux groupes d’homologie.
¡
¢
En effet, le rang du groupe abélien libre H̃2 Ap (S3p ) est donné au corollaire 8.3 et on a
³ ¡
³ ¡
¢´
¢´
¡
¢
rang libre H̃1 Ap (S3p )
= rang H̃2 Ap (S3p )
−χ
e Ap (S3p ) .
(15.8)
Proposition. Si p ≥ 5 et 3p + 2 ≤ n ≤ 4p − 1 , l’ensemble ordonné Ap (Sn ) a le type
¡
¢
d’homotopie d’un bouquet de χ
e Ap (Sn ) sphères de dimension 2 .
Si n = 4p , l’ensemble ordonné Ap (S4p ) est simplement connexe de dimension 3 . Par suite, il admet
deux groupes d’homologie réduite non nuls qui sont
¡
¢
H̃2 Ap (S4p ) 6= 0
et
¡
¢
H̃3 Ap (S4p ) 6= 0 .
¡
¢
Plus précisément, le rang du groupe abélien libre H̃3 Ap (S4p ) est donné au corollaire 8.3 et on a
³ ¡
³ ¡
¢´
¢´
¡
¢
rang H̃2 Ap (S4p )
= rang H̃3 Ap (S4p )
+ χ
e Ap (S4p ) .
§ 16
INVARIANTS DE LEFSCHETZ DU COMPLEXE DES p-PARTITIONS ET DU COM-
PLEXE DES p-CYCLES
Si p désigne un nombre premier, il est possible de calculer sous forme d’une série les invariants de Lefschetz
des ensembles ordonnés Dp (n) ( n ≥ 0 ), respectivement des ensembles ordonnés Tp (n) ( n ≥ 0 ). Pour ce
faire, nous reprenons les notations de l’article [BO4], où sont définis notamment l’anneau B = B (1) et
l’exponentielle E xp .
Soit G un groupe. On note B(G) l’anneau de Burnside de G à coefficients entiers, doté de sa base
standard formée des G/H , où H décrit les sous-groupes de G à conjugaison près. Si X est un G-ensemble
ordonné, on note ΛX l’invariant de Lefschetz de X , à savoir
ΛX =
X
(−1)n Xn
n≥0
∈ B(G) ,
où, pour tout n ≥ 0 , Xn désigne le G-ensemble des simplexes de dimension n dans ∆X . On définit
l’invariant de Lefschetz réduit Λ̃X par
Λ̃X =
X
n≥−1
(−1)n Xn ∈ B(G) ,
88
Chapitre 4 . Calculs explicites
où X−1 = { ∅ } désigne le G-ensemble trivial.
Considérons l’ensemble
B =
Y
B(Sn )
où B(S0 ) = B(S1 ) = Z .
n≥0
L’addition dans B est définie terme à terme par
(Xk )k≥0 + (Yk )k≥0 = (Xk + Yk )k≥0 .
Il est alors légitime de noter
X
k≥0
posant
³X
k≥0
Xk · T k
´³X
l≥0
Yl · T l
Xk · T k l’élément (Xk )k≥0 de B . On définit le produit dans B en
´
³X
=
m≥0
Zm · T m
´
où
X
Zm =
k+l = m
S
IndSk+l
Xk · Yl .
k × Sl
Avec ces définitions, il est facile de vérifier que B est un anneau commutatif unitaire. C’est en fait
l’anneau B (G) défini au début de l’article [BO4] dans le cas particulier où G = 1 . On note J
de B donné par
J
=
L’application
(
X
k≥0
Xk · T
k
l’idéal
¯
)
¯
¯
∈ B ¯ X0 = 0 .
¯
E xp : J −→ B
est définie dans [BO4 , section 2 ]. Elle vérifie les propriétés exigées d’habitude d’une telle application.
Si p est un nombre premier et n un entier, B(Sn ) désigne donc l’anneau de Burnside du groupe
symétrique Sn et Λ̃Dp (n) ∈ B(Sn ) l’invariant de Lefschetz réduit du Sn -ensemble ordonné Dp (n) . Dans
son article [BO3 , proposition 9 ], Bouc démontre la proposition suivante.
(16.1)
Proposition. Dans l’anneau B , l’égalité suivante est vérifiée :
X
n≥0
Λ̃D2 (n) · T n = − E xp ( T − T 2 ) .
En reprenant pas à pas la démonstration de cette proposition, il est possible de généraliser ce dernier
résultat.
(16.2)
Proposition. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau B , l’égalité suivante est vérifiée :
X
n≥0
Λ̃Dp (n) · T n = − Exp ( T − T p ) .
En prenant les degrés des deux membres (confer [BO4]), on obtient le corollaire suivant :
(16.3)
Corollaire. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau Q[[T ]] , l’égalité suivante est vérifiée :
X ¡
¢ Tn
χ̃ Dp (n) ·
= − Exp
n!
n≥0
Ã
Tp
T −
p!
!
.
Pour finir, on peut aussi, toujours par la même méthode, prouver la proposition suivante.
§ 16 . Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles
(16.4)
89
Proposition. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau B , l’égalité suivante est vérifiée :
X
n≥0
¡
¢
Λ̃Tp (n) · T n = − E xp T − Sp /NSp (Cp ) · T p ,
où NSp (Cp ) désigne le normalisateur d’un p-cycle dans le groupe symétrique Sp .
En prenant les degrés des deux membres (confer [BO4]), on obtient :
(16.5)
Corollaire. Soit p un nombre premier. Dans l’anneau Q[[T ]] , l’égalité suivante est vérifiée :
X
n≥0
¡
χ̃ Tp (n)
¢
Tn
·
= − Exp
n!
Ã
Tp
T −
p(p − 1)
!
.
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[BO2] S. Bouc, Homologie de certains ensembles ordonnés.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 299 , Série I , n ◦ 2 (1984) .
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J. of Algebra 150 (1992), 158 − 186.
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J. of Algebra 150 (1992), 118 − 157 .
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[WE] P. J. Webb, Subgroup complexes.
Proc. Symp. Pure Math. 47 (1987), 349 − 365 .

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