Propriétés homotopiques du complexe de Quillen du groupe

UNIVERSIT´ E DE LAUSANNE FACULT´ E DES SCIENCES
Propri´et´es homotopiques
du complexe de Quillen
du groupe sym´etrique
Th`ese de doctorat
pr´esent´ee `a la Facult´e des sciences
de l’Universit´e de Lausanne
par
Rached KSONTINI
Diplˆom´e en Math´ematiques
Universit´e de Lausanne
Jury
Prof. Jacques HAUSSER, Pr´esident
Prof. Jacques TH´ EVENAZ, Directeur de th`ese
Prof. Dominique ARLETTAZ, Expert
Prof. Serge BOUC, Expert
LAUSANNE
2000

Remerciements
Je remercie sinc`erement le Professeur Jacques Th´evenaz d’avoir bien voulu diriger mon travail. Ses
conseils ´eclair´es, sa disponibilit´e et son accueil toujours chaleureux furent essentiels `a l’aboutissement de ce
doctorat.
Je remercie Messieurs les experts: le Professeur Serge Bouc pour ses id´ees astucieuses dont j’ai ample-
ment profit´e, et le Professeur Dominique Arlettaz pour ses nombreux commentaires et sa constante amabilit´e.
Merci ´egalement aux membres de l’Institut de Math´ematiques, et tout particuli`erement `a mon coll`egue
de bureau Bernard Stalder pour son agr´eable compagnie.
Enfin, je remercie de tout mon coeur mes parents pour leur soutien inconditionnel.

Table des mati`eres
Introduction ........................... 1
Chapitre 1. D´efinitions et premiers r´esultats .............. 5
§1. Le complexe simplicial associ´e `a un ensemble ordonn´e . . . . . . . . . . . . 6
§2. Le complexe de Quillen du groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . 8
§3. Le complexe des p-cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Le complexe des p-partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§5. Filtrations et suites exactes longues en homologie . . . . . . . . . . . . . 26
Chapitre 2. Groupes d’homologie de degr´e ´elev´e . . . . . . . . . . . . 35
§6. Groupes d’homologie non nuls de degr´e maximal . . . . . . . . . . . . . . 36
§7. Une suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§8. Les groupes d’homologie de degr´e ´elev´e du complexe de Quillen et du complexe des p-cycles . 46
Chapitre 3. Groupe fondamental et k-connexit´e .............53
§9. Le groupe fondamental du complexe des p-cycles . . . . . . . . . . . . . 54
§10. Le groupe fondamental du complexe des p-partitions et du complexe de Quillen . . . . 63
§11. Un groupe fondamental non trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§12. k-connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chapitre 4. Calculs explicites ....................81
§13. Le complexe des p-partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§14. Le complexe des p-cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§15. Le complexe de Quillen du groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . 84
§16. Invariants de Lefschetz du complexe des p-partitions et du complexe des p-cycles . . . 87
Bibliographie ..........................91

Introduction
Soient Gun groupe fini, pun nombre premier et Sp(G) l’ensemble ordonn´e par inclusion des p-sous-
groupes non triviaux de G. A l’ensemble ordonn´e Sp(G) on associe de mani`ere tout `a fait standard un
complexe simplicial ∆Sp(G) . Le groupe Gagit par conjugaison sur l’ensemble ordonn´e Sp(G) et par suite,
agit naturellement sur ∆Sp(G) . Le complexe simplicial ∆Sp(G) , que l’on appelle maintenant complexe de
Brown de G, est apparu pour la premi`ere fois en 1975 dans un article de Brown [BR] sur la caract´eristique
d’Euler de certains groupes. Brown y montre en particulier le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme de Brown.Si Gest un groupe fini et pun nombre premier, alors
χ¡∆Sp(G)¢≡1mod |G|p,
o`u |G|pd´esigne l’ordre d’un p-sous-groupe de Sylow de G.
C’est en 1978 , avec la parution de l’article de Quillen [QU], que l’´etude du complexe des p-sous-groupes
prend tout son sens. Quillen montre que si Gest un groupe de Chevalley fini, alors ∆Sp(G) a le mˆeme
type d’homotopie que l’immeuble de Tits associ´e `a G. Autrement dit, le complexe des p-sous-groupes d’un
groupe Gest une g´en´eralisation de la notion d’immeuble. En outre, Quillen d´emontre plusieurs r´esultats qui
relient des propri´et´es homotopiques du complexe simplicial ∆Sp(G) `a des propri´et´es p-locales du groupe G.
Par exemple, il prouve partiellement la conjecture suivante :
Conjecture de Quillen.Si Gest un groupe fini et ∆Sp(G)est contractile, alors Gposs`ede un p-sous-
groupe normal non trivial.
Plus pr´ecis´ement, Quillen consid`ere dans son article l’ensemble ordonn´e par inclusion Ap(G) des p-sous-
groupes ab´eliens ´el´ementaires non triviaux de Get il montre que l’inclusion du complexe simplicial ∆Ap(G) ,
que l’on appelle maintenant complexe de Quillen de G, dans le complexe de Brown ∆Sp(G) est une
´equivalence d’homotopie. Dix ans plus tard, Th´evenaz et Webb [TH-WE] ont mˆeme prouv´e que cette
inclusion est une G-´equivalence d’homotopie. Plus r´ecemment, Th´evenaz [TH] et Bouc ont montr´e, grˆace
`a l’article de Kn¨orr et Robinson [KN-RO], que la conjecture d’Alperin en th´eorie des repr´esentations mo-
dulaires est ´equivalente `a la conjecture simpliciale :
−zp(G) = X
[g]
˜χ³∆¡Sp(G)g¢/CG(g)´,
o`u la somme parcourt l’ensemble des classes de conjugaison [ g] de Get zp(G) compte le nombre des
repr´esentations irr´eductibles de Gsur C, `a isomorphisme pr`es, dont la dimension est un multiple de |G|p.
Cette conjecture est maintenant prouv´ee dans de tr`es nombreux cas. Les r´esultats cit´es ci-dessus laissent
pr´esager que le complexe de Brown ∆Sp(G) , muni de l’action de G, contient l’information inh´erente `a

2Introduction
la structure p-locale du groupe G, d’o`u l’int´erˆet de calculer ses invariants homotopiques (caract´eristique
d’Euler, modules d’homologie, groupes d’homotopie...). Il est bien connu que, mis `a part quelques exceptions
de petite dimension ´enum´er´ees dans [ASC , proposition 6.2 ], le complexe simplicial ∆Sp(G) est connexe
s’il est de dimension ≥1 . Il est alors naturel de se demander pour quels groupes Get nombres premiers p,
le complexe de Brown ∆Sp(G) est simplement connexe. Dans son article [ASC], Aschbacher ´enonce une
conjecture sur la connexit´e simple de certains complexes minimaux, qu’il d´emontre dans de multiples cas.
Moyennant cette conjecture, Aschbacher prouve que le probl`eme pos´e se r´eduit `a la caract´erisation des
groupes simples Get des nombres premiers p, pour lesquels ∆Sp(G) est simplement connexe. Pour se
faire une id´ee plus pr´ecise de l’´etat des connaissances dans le domaine des complexes de sous-groupes, il est
conseill´e de consulter l’article de Webb [WE] ou le livre de Smith [SM].
Dans le cas o`u Gd´esigne le groupe sym´etrique Snde degr´e n≥1 , le type d’homotopie de l’ensemble
ordonn´e Sp(Sn) , c’est-`a-dire du complexe simplicial ∆Sp(Sn) , est peu connu. L’ensemble ordonn´e Ap(Sn)
est beaucoup plus petit que Sp(Sn) , n´eanmoins le calcul de ses modules d’homologie s’av`ere tr`es difficile.
L’objectif de ce travail est de d´eterminer, par l’´etude des sous-complexes ∆Dp(n) et ∆Tp(n) d´efinis ci-
dessous, certaines propri´et´es homotopiques du complexe de Quillen ∆Ap(Sn) . Les m´ethodes utilis´ees sont
un m´elange de topologie alg´ebrique, de combinatoire et de th´eorie du groupe sym´etrique.
Soit pun nombre premier, nun entier ≥1 et notons Nn={1,2, . . . , n }. Une p-partition de Nn
est une partition non triviale de Nn, dont toutes les parties sont de cardinal 1 ou p. Autrement dit,
une p-partition est une famille non vide de parties de Nnde cardinal pdeux `a deux disjointes. On
note Dp(n) l’ensemble des p-partitions de Nn, que l’on munit de l’ordre ´evident. On d´efinit l’ensemble
ordonn´e Tp(n) comme le sous-ensemble de Ap(Sn) form´e des p-sous-groupes ab´eliens ´el´ementaires du
groupe sym´etrique Snqui sont engendr´es par des p-cycles. Autrement dit, un ´el´ement de Tp(n) est un
sous-groupe de Snengendr´e par des p-cycles deux `a deux disjoints. Le complexe des p-partitions ∆Dp(n)
et le complexe des p-cycles ∆Tp(n) peuvent ˆetre vus naturellement comme des sous-complexes du complexe
de Quillen ∆Ap(Sn) . L’id´ee de consid´erer ces sous-complexes simpliciaux est due `a Bouc. Dans son article
[BO3], il ´etudie l’homologie de l’ensemble ordonn´e D2(n) , qui est isomorphe `a l’ensemble ordonn´e T2(n) .
Notamment, il montre la proposition suivante :
Proposition (Bouc).Le groupe fondamental π1¡D2(7) ¢est cyclique d’ordre 3.
Ce calcul surprenant motive `a lui tout seul l’´etude des ensembles ordonn´es Dp(n) et Tp(n) . Les r´esultats
obtenus dans ce travail sont nettement moins pr´ecis que ceux obtenus par Bouc au sujet de l’ensemble D2(n) .
Ils permettent tout de mˆeme de d´eduire des propri´et´es concernant les groupes d’homologie et le groupe
fondamental du complexe de Quillen ∆Ap(Sn) .
Le premier chapitre constitue une pr´esentation des ensembles ordonn´es Ap(Sn) , Tp(n) et Dp(n) .
Leurs points communs et leurs caract´eristiques y sont mis en ´evidence. Nous verrons par exemple, que les
ensembles Ap(Sn) et Tp(n) ont le mˆeme type d’homotopie lorsque n < p2. Nous montrerons notamment au
th´eor`eme 5.8 , respectivement th´eor`eme 5.14 , l’existence d’une collection tr`es utile de suites exactes reliant
les groupes d’homologie de certains sous-complexes du complexe des p-cycles ∆Tp(n) , respectivement du
complexe des p-partitions ∆Dp(n) .
Le deuxi`eme chapitre est consacr´e aux groupes d’homologie de degr´e ´elev´e. Nous verrons qu’en r`egle
g´en´erale, les groupes d’homologie de degr´e ´elev´e des ensembles ordonn´es Ap(Sn) et Tp(n) sont isomorphes
(proposition 8.1 ). Si n=dp +ro`u 0 ≤r < p , le complexe de Quillen ∆Ap(Sn) est de dimension d−1 .