les ensembles de Sidon

Rapport de stage de Master 2
Combinatoire additive: les ensembles de Sidon
Victor Lambert
Université Paris 6
Ecole Polytechnique (CMLS)
Mai à Septembre 2012
1
Table des matières
1 Quelques résultats de théorie additive des
1.1 Des résultats dans N . . . . . . . . . . . .
1.2 Dans Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Théorème de Kneser . . . . . . . . . . . .
2 Les ensembles de Sidon
2.1 Ensembles de Sidon finis . . .
2.1.1 Dans N . . . . . . . .
2.1.2 Les ensembles de Sidon
2.1.3 Les ensembles de Sidon
2.2 Ensembles de Sidon infinis . .
2.3 Des résultats sur les Bh [g] . .
nombres
. . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
modulaires . . . . . . .
additifs et multiplicatifs
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5
5
6
7
8
8
8
15
20
23
28
Annexes
30
A Méthode polynomiale et applications
30
B Programmation
32
C Bibliographie
33
2
Introduction
Dans le cadre de mon Master 2 Mathématiques et Applications à l’Université
Pierre et Marie Curie, parcours Optimisation Jeux et Modélisation en Economie,
j’ai effectué un stage de recherche en combinatoire additive, sous la tutelle d’Alain
Plagne. Je poursuivrai ma thèse dans ce même domaine, c’est pourquoi le stage a
été en quelque sorte préparatoire à la thèse. Je me suis donc principalement cultivé
et documenté sur la théorie additive des nombres, tout en essayant en parallèle de
réfléchir à des questions concernant les ensembles de Sidon.
Dans ce rapport, j’ai donc décidé dans une première partie de présenter quelques
aspects de la combinatoire additive qui m’ont particulièrement intéressé, avant de
parler dans une seconde partie de ces ensembles de Sidon.
J’ai eu l’occasion grâce à ce stage d’assister à une semaine de conférence autour
des théories additive et combinatoire des nombres. Cela m’a permis de voir un
peu plus comment fonctionnait la recherche et d’entendre parler de problèmes
combinatoires différents de ceux auxquels je m’étais intéressé jusqu’ici.
Par ailleurs j’aimerais remercier Jérémy Le Borgne et Paul Brunet pour l’aide
qu’ils ont pu me fournir, avant tout en programmation.
3
Notations
Les notations présentées ci-dessous seront utilisées tout au long de ce rapport :
– Ja, bK désignera l’ensemble des entiers compris entre a et b.
– |A| est le cardinal de A.
– A+B est la somme de Minkowski de A et B, c’est à dire {a+b, a ∈ A, b ∈ B}.
– a + B = {a} + B.
– hA est l’ensemble des sommes de h éléments de A.
– λ ∗ A est l’ensemble {λa, a ∈ A}.
– Zp désignera
Z
pZ
– A est le complémentaire de A dans l’ensemble considéré.
– a ∧ b = pgcd(a, b).
– P désignera l’ensemble des nombres premiers.
– Si x ∈ R, [x] désignera sa partie entière tandis que {x} = x − [x] désignera
sa partie fractionnaire.
4
1
Quelques résultats de théorie additive des nombres
Cette partie est très largement inspirée de ma lecture du Nathanson [7].
1.1
Des résultats dans N
En théorie additive des nombres, on considère un ensemble A d’un groupe
abélien et on essaie de déterminer la structure et les propriétés de hA. Par exemple,
le théorème de Lagrange qui donne la décomposition de tout nombre entier positif
comme somme de quatre carrés est traduit de la façon suivante :
Théorème 1. Soit A l’ensemble des carrés, alors 4A = N.
Ces études nous amènent fréquemment à considérer les progressions arithmétiques :
Définition 1. Une progression arithmétique de longueur k, de différence q et de
premier terme a0 est un ensemble de la forme {a0 , a0 + q, · · · , a0 + (k − 1)q} =
a0 + q ∗ J0, k − 1K.
Voyons un premier cas où celles-ci apparaissent.
Considérons A, B des ensembles finis d’entiers, de tailles respectives k et l. On
se demande quelle taille peut avoir A + B. Si on classe les éléments de A et B dans
un ordre strictement croissant, on peut remarquer que A + B contient les k + l − 1
éléments suivants :
a0 +b0 < a0 +b1 < a1 +b1 < a1 +b2 < · · · < ak−1 +bk−1 < ak−1 +bk < · · · < ak−1 +bl−1
Ainsi, |A + B| > |A| + |B| − 1. On s’intéresse alors naturellement au problème
inverse, c’est-à-dire qu’on se demande pour quels ensembles on peut avoir égalité.
Et c’est là qu’interviennent les progressions arithmétiques. Plus précisément, et
plus généralement, on a le théorème suivant :
Théorème 2. Si h > 2 et A1 , · · · , Ah sont des ensembles finis d’entiers, alors
|A1 + · · · + Ah | > |A1 | + · · · + |Ah | − (h − 1)
et on a égalité si et seulement si les Ai sont des progressions arithmétiques de
même différence.
5
1.2
Dans Zp
Le problème est à nouveau de trouver une borne inférieure à |A + B| en fonction
de |A| et |B|.
Commençons par remarquer dans le cas général d’un groupe abélien fini G que
si |A| + |B| > |G| alors A + B = G.
En effet, dans ce cas, on a pour tout g élement de G
|G| > |A ∪ (g − B)| = |A| + |g − B| − |A ∩ (g − B)|
Et comme |g − B| = |B|, on en déduit d’après l’hypothèse
|A ∩ (g − B)| > |A| + |B| − |G| > 1
Mais alors, ∀g ∈ G, ∃(a, b) ∈ A × B tels que a = g − b donc G = A + B
Cela donne déjà une réponse lorsque |A| + |B| est grand.
Dans le cas de G = Zp une réponse plus précise est apportée par le théorème
de Cauchy-Davenport.
Théorème 3. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Zp avec p premier.
Alors :
|A + B| > min(p, |A| + |B| − 1)
On peut trouver une preuve du théorème de Cauchy-Davenport utilisant la
méthode polynomiale dans [12]. Ce n’est pas la démonstration que l’on trouve dans
le Nathanson [7] mais j’ai souhaité présenter celle-ci en annexe, afin d’introduire
dans ce rapport la méthode polynomiale.
Dans le cas de G = Zn , on a le théorème suivant dont on peut d’ailleurs déduire
(c’est ce que fait [7]) Cauchy-Davenport.
Théorème 4. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Zn avec n > 2. Si
0 ∈ B et b ∧ n = 1 ∀b ∈ B\{0} alors
|A + B| > min(n, |A| + |B| − 1)
On a également une généralisation du théorème de Cauchy-Davenport, résultat
qui s’obtient par récurrence :
Théorème 5. Si h > 2 et A1 , · · · , Ah sont des sous-ensembles non vides de Zp
avec p premier, alors :
|A1 + · · · + Ah | > min(p, |A1 | + · · · + |Ah | − (h − 1))
6
Là encore, on se pose le problème inverse, c’est-à-dire qu’on se demande quelles
paires d’ensembles (A, B) vont vérifier la condition |A + B| = |A| + |B| − 1. On
appelera paire critique un tel couple (A, B). Le théorème suivant, dû à Vosper,
permet de les classifier.
Théorème 6. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Zp avec p premier tels
que A + B 6= Zp alors |A + B| = |A| + |B| − 1 si et seulement si on est dans l’une
des trois situations suivantes :
1. min(|A| , |B|) = 1,
2. |A + B| = p − 1 et B = c − A avec {c} = G\(A + B)
3. A et B sont des progressions arithmétiques de même différence.
On trouve une application de ce résultat dans l’article d’Alain Plagne [9].
Définition 2. Dans un groupe abélien G, on dit qu’un ensemble S est (k, l)-libre
si kS ∩ lS = ∅.
Le théorème démontré dans le papier est le suivant :
Théorème 7. Soient p > 2 premier et k, l vérifiant k 6= l mod p et max(k, l) > 3.
Alors un ensemble (k, l)-libre maximal dans Zp est une progression arithmétique.
1.3
Théorème de Kneser
Un autre résultat important de théorie additive est le théorème de Kneser.
On se place dans le cadre général d’un groupe abélien G et on introduit le
stabilisateur d’un ensemble.
Définition 3. Le stabilisateur de S noté H(S) est {g ∈ G|g + S = S}.
Il s’agit d’un sous-groupe de G, on peut aussi le définir comme étant le plus
grand sous-groupe de G vérifiant H + S = S.
Théorème 8. Soit G un groupe abélien et soient A et B des sous-ensembles finis
non vides de G. Soit H = H(A + B). Si
|A + B| < |A| + |B|
alors
|A + B| = |A + H| + |B + H| − |H|
Ce résultat est plus fort que Cauchy-Davenport, que l’on déduit aisément du
théorème de Kneser.
7
2
Les ensembles de Sidon
On considère A un ensemble contenu dans un ensemble muni d’une structure
additive. Soit h > 2 un entier. On note Rn (h, A) le nombre de représentations de
n de la forme
n = a1 + · · · + ah
où les ai appartiennent à A. On considère que deux représentations sont identiques
si elles ne diffèrent que par une permutation des ai .
Définition 4. On dit que A est un Bh [g]-ensemble si ∀n, Rn (h, A) 6 g.
Ces ensembles ont été introduits par Simon Sidon en 1932, alors qu’il s’intéressait aux normes Lp de séries de Fourier. Il interrogea Erdős à propos du cardinal
maximum d’un B2 [g]-ensemble contenu dans J1, nK. A partir de là, l’étude de ces
ensembles est devenue un sujet très important de la combinatoire additive.
On s’intéressera ici principalement aux B2 [1]-ensembles, précisément appelés
ensembles de Sidon. Je mentionnerai simplement quelques résultats et références
à propos des Bh [g] en général, à la fin de cette partie.
On trouvera dans [8] de nombreuses références concernant les travaux autour
de ces ensembles.
2.1
Ensembles de Sidon finis
La question principale est d’estimer la taille des plus grands ensembles de Sidon
contenus dans un ensemble donné.
On notera F (n) (respectivement f (n)) le plus grand ensemble de Sidon contenu
dans J1, N K (respectivement dans Zn ). On va voir qu’il existe un lien très fort entre
les travaux faits dans N et dans les groupes cycliques.
2.1.1
Dans N
Remarquons pour commencer que dans un ensemble de Sidon, les différences
d’éléments distincts sont distinctes. C’est en analysant ces différences que Erdős et
Turan sont parvenus à obtenir la borne supérieure suivante, dont la démonstration
ci-dessous est issue de [11].
Théorème 9.
F (n) 6 n1/2 + n1/4 + 1
Démonstration. Considérons A un ensemble de Sidon contenu dans J1, nK dont les
éléments sont les ai
1 6 a1 < a2 < · · · < ar 6 n
8
On pose u = bn1/4 c, et on s’intéresse aux différences suivantes :
a2 − a1 , a3 − a2 , · · · , ar − ar−1
a3 − a1 , a4 − a2 , · · · , ar − ar−2
..
.
au+1 − a1 , au+2 − a2 , · · · , ar − ar−u
Comme A est un ensemble de Sidon, ces différences sont distinctes et on en a
u
X
(r − i) = ru −
i=1
u(u + 1)
2
L’idée est de compter de deux manières la somme S de toutes ces différences.
Comme elles sont toutes disctinctes, on a d’une part
ru−
S>
u(u+1)
X2
i=1
u(u + 1)
u(u + 1)
1
)(ru −
+ 1)
i = (ru −
2
2
2
Maintenant si l’on somme les différences de la k-ième ligne, on obtient (en
utilisant r − k > k + 1)
r
X
i=k+1
ai −
r−k
X
ai =
i=1
ce qui donne
S<
r
X
ai −
i=r−k+1
u
X
kn <
k=1
k
X
ai < kn
i=1
nu(u + 1)
2
De ces inégalités on obtient après calcul
r < n1/2 + n1/4 + 1
Il s’agit toujours de la meilleure majoration connue de F (n).
Nous allons maintenant exhiber des entiers n pour lesquels F (n) est de l’ordre
√
de n. Pour cela, nous allons voir trois constructions modulaires utilisant les
propriétés des corps finis. Celles-ci nous donneront les valeurs de f (p2 + p + 1),
f (p2 − 1) et f (p2 − p) pour tout nombre premier p. On constate en effet que
pour tout n, on a F (n) > f (n) ; pourtant, on pourrait espérer mieux que des
9
constructions modulaires puisque celles-ci rajoutent des contraintes par√ rapport
aux constructions dans N, on verra que cela suffit pour obtenir F (n) ∼ n.
Historiquement, la première construction est due à Singer en 1938, il s’intéressait à des problèmes de géométrie projective finie et une application de ses résultats
étaient f (p2 + p + 1) = p. La méthode qu’il utilisait dans [15] n’était pas immédiatement en lien avec la théorie des nombres, c’est pourquoi la démonstration que je
vais faire ici ne sera pas du tout la même et sera, bien que différente, plutôt inspiré
des travaux de Bose et Chowla dans [2].
Théorème 10. Soit p un nombre premier alors
f (p2 + p + 1) = p + 1
Démonstration. Soit µ un générateur de F×
p3 .
On note S l’ensemble des éléments de F×
p3 qui s’écrivent sous la forme uµ + v,
×
avec u dans Fp et v dans Fp . On a |S| = p(p − 1). Il y a une action naturelle de
F×
p sur ces éléments par multiplication, et chaque orbite sous cette action contient
exactement un élément de la forme µ + v.
×
Si l’on s’intéresse maintenant à l’ensemble S 0 des éléments de F×
p3 /Fp qui ont la
propriété d’avoir un relevé dans F×
p3 qui soit dans S, ce qu’on vient de dire montre
que tous les relevés d’un élément de S 0 sont dans S, et qu’il en existe un unique
de la forme µ + v, ce qui permet de déduire |S 0 | = p.
On introduit alors l’isomorphisme
×
φ : Zp2 +p+1 → F×
p3 /Fp
µ 7→ µa
Posons A0 = φ−1 (S 0 ). C’est l’ensemble des éléments a ∈ Zp2 +p+1 tels que µa est
0
de la forme uµ + v avec u dans F×
p et v dans Fp . De plus, A est de cardinal p,
ne contient pas 0 et d’après ce qu’on a fait précédemment, on peut choisir pour
chaque a dans A0 un unique représentant dans Zp3 −1 tel que µa soit de la forme
µ + v avec v dans Fp .
Montrons que B = {0} ∪ A0 est un ensemble de Sidon. Cela donnera le résultat
souhaité. En effet, 0 ∈
/ A0 donc |B| = p + 1.
On suppose donc a + b = c + d avec (a, b, c, d) ∈ B 4 .
Evacuons les cas où 0 appartient à ce quadruplet.
L’argument principal qu’on utilisera est que µ ne peut pas être racine d’un
polynome non nul de degré plus petit que 2 à coefficients dans Fp . En effet, s’il
est de degré 1, on obtient directement que µ est dans Fp et dans le cas où il est
10
de degré 2, Fp [µ] est une extension de degré 2 de Fp , donc isomorphe à Fp2 . En
2
particulier, µp = µ, ce qui est faux par hypothèse (µ est d’ordre p3 − 1).
Si a = b = 0, supposons c = −d 6= 0, on a alors une relation du type
1 = (uc µ + vc )(ud µ + vd )
×
×
valable dans F×
p3 /Fp et qui donne donc dans Fp3 une relation du type
1 = w(uc µ + vc )(ud µ + vd )
avec w dans F×
p.
On obtient donc un polynôme de de degré 2 car les ui sont dans F×
p et à
coefficients dans Fp annulé par µ, d’où la contradiction.
Si a = 0 et b, c, d non nuls. On a µb = µc µd ce qui donne une relation du type
ub µ + vb = (uc µ + vc )(ud µ + vd )
×
×
valable dans F×
p3 /Fp et qui donne donc là aussi dans Fp3 une relation du type
ub µ + vb = w(uc µ + vc )(ud µ + vd )
Et on conclut par le même raisonnement.
Les autres cas sont évidents.
On considère donc (a, b, c, d) ∈ A04 , tels que a + b = c + d.
On utilise ici le fait que ces quatre éléments ont des représentants a0 , b0 , c0 , d0
0
×
dans Zp3 −1 tels que µi = µ + vi0 , ∀i ∈ {a, b, c, d}. On a alors dans F×
p3 /Fp
(µ + va0 )(µ + vb0 ) = (µ + vc0 )(µ + vd0 )
×
donc il existe w ∈ F×
p tel que cette fois dans Fp3
(µ + va0 )(µ + vb0 ) = w(µ + vc0 )(µ + vd0 )
Mais alors w = 1 et va0 + vb0 = vc0 + vd0 . D’où
0
0
0
0
µa + µb = µa + µb = µc + µd = µc + µd
Les couples (µa , µb ) et (µc , µd ) ont donc mêmes somme s et produit r, c’est
donc qu’ils sont égaux (ils sont en effets les racines du polynôme X 2 − sX + r sur
Fp3 [X]).
Comme µ est générateur de F×
p3 les couples (a, b) et (c, d) sont égaux, ce qui
démontre que B est bien un ensemble de Sidon.
11
Une construction similaire, mais ne posant pas les problèmes de passage au
quotient, due à Bose permet de démontrer le résultat suivant.
Théorème 11. Soit p un nombre premier alors
f (p2 − 1) = p
Démonstration. Soit µ un générateur de F×
p2 .
On s’intéresse à
A = {a ∈ Zp2 −1 |µa − µ ∈ Fp }
Cet ensemble est de cardinal p puisque µa − µ décrit tout Fp2 sauf −µ qui
n’appartient pas à Fp .
Démontrons que A est un ensemble de Sidon.
On considère donc (a, b, c, d) ∈ A4 .
On considère le polynôme
P = (X + µa − µ)(X + µb − µ) − (X + µc − µ)(X + µd − µ)
Celui-ci est à coefficients dans Fp et de degré plus petit que 1. Or, µ est une racine
de P . Mais comme µ n’appartient pas à Fp , P est donc le polynôme nul.
La nullité du coefficient du monôme X de P donne
µa + µb = µc + µd
Les couples (µa , µb ) et (µc , µd ) ont donc mêmes somme et produit, et on conclut
exactement comme dans la démonstration précédente.
La troisième construction, due à Ruzsa, est elle quelque peu différente.
Théorème 12. Soit p un nombre premier alors
f (p2 − p) = p − 1
Démonstration. Soit µ un élément primitif de Fp .
Soit t tel que 1 6 t < p − 1, définissons at tel que 1 6 at < p2 − p de la façon
suivante
at ≡ t mod p − 1
at ≡ µt mod p
Ces deux congruences définissent parfaitement at d’après le théorème chinois.
12
Considérons alors A = {at , 1 6 t < p − 1} et montrons que c’est un ensemble
de Sidon.
Supposons que l’on a ax + ay = az + at = k.
(X − ax )(X − ay ) = X 2 − kX + ax ay
Or, ax ay ≡ µx+y mod p, mais µ est un générateur du groupe cyclique F×
p de
k
cardinal p − 1 et x + y ≡ ax + ay mod p − 1 donc ax ay ≡ µ mod p. Comme il en
est de même pour az et at , on a dans Fp [X]
(X − ax )(X − ay ) = X 2 − kX + µk = (X − az )(X − at )
C’est donc que les deux paires sont identiques modulo p. Supposons, sans perte
de généralité
ax ≡ az mod p
ay ≡ at mod p
Cela signifie µx ≡ µz mod p et d’après ce qu’on a vu précédemment cela implique x ≡ z mod p − 1 et donc ax ≡ az mod p − 1. De même pour ay et at .
Finalement d’après le théorème chinois on en déduit
(ax , ay ) = (az , at )
Et A est donc bien un ensemble de Sidon.
En fait, les trois théorèmes que je viens de mentionner ne sont pas encore totalement démontrés. En effet, on obtient grâce à ces constructions les trois inégalités
suivantes.
f (p2 + p + 1 > p + 1
f (p2 − 1) > p
f (p2 − p) > p − 1
Mais il reste à voir que ces constructions sont optimales, ce qui est le cas,
comme on le verra au début de la prochaine partie sur les ensembles de Sidon
modulaires.
La répartition des nombres premiers P et donc celle de
[
{p2 − p, p2 − 1, p2 + p + 1}
p∈P
permet donc de montrer que F (n) ∼
√
n.
13
Cependant,
√ peu de progrès sont connus concernant l’amélioration des bornes
de F (n) − n. Si β un réel vérifie qu’il existe toujours un nombre premier entre
n − nβ et n alors on a
√
−nβ/2 < F (n) − n < n1/4 + 1
Il est connu qu’on peut prendre β = 0, 525.
14
2.1.2
Les ensembles de Sidon modulaires
On avait commencé la partie précédente en utilisant le fait qu’un ensemble
de Sidon était aussi un ensemble dans lequel les différences d’éléments distincts
étaient distinctes. Utilisons cela pour déterminer une majoration classique mais
utile de f (n). Pour chaque paire d’éléments de notre ensemble de Sidon, on obtient
donc deux différences qui appartiennent à Zn \{0} ; 0 est également la différence
de toutes les paires d’éléments égaux. On a ainsi
f (n)
2
+16n
2
!
Cela donne une inéquation du second degré qui nous permet d’avoir la majoration
1
f (n) 6 +
2
On vérifie alors aisément que
s
−3
+ n = α(n)
4
α(p2 − p) < p
α(p2 − 1) < p + 1
α(p2 + p + 1) < p + 2
Et cela donne les résultats d’optimalité dont on avait besoin pour conclure les
démonstrations des théorèmes 10, 11 et 12.
Des résultats de la partir précédente, on peut déjà tirer
f (n)
lim sup √ = 1
n
La majoration par α(n) combinée avec l’inégalité évidente f (n) > F (n/2) ne
donne par-contre que
f (n)
1
√ 6 lim inf √ 6 1
n
2
Je me suis donc intéressé à cette fonction f (n), et même si l’étude de son
asymptotique est plutôt l’objectif, j’ai essayé d’obtenir ses premières valeurs avec
l’espoir d’en dégager certaines propriétés ou de remarquer certains comportements
utiles. Je présente dans le tableau suivant les résultats obtenus numériquement.
15
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
f(n)
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
6
6
6
6
6
6
Ruzsa
Bose
Ruzsa
Singer
Bose
Singer
Ruzsa
Bose
Singer
n
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
f(n)
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
8
8
8
8
8
8
Ruzsa
Bose
Singer
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
9
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
10
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
Rusza
11
10
10
10
10
10
10
10
10
Bose
12
10
Singer
Pour cela, j’ai programmé à la fois sous Maple, Magma et Caml la recherche
exhaustive d’ensembles de Sidon de taille maximale modulo n. En annexe, on
trouvera une brève explication de l’algorithmique employée. J’ai utilisé plusieurs
logiciels et plusieurs méthodes sur chacun pour améliorer ou bien la complexité
ou bien le stockage mémoire, ou bien les performances du logiciel, ce qui faisait
défaut pour poursuivre les simulations.
Une première constatation est que f n’est pas croissante, ce qu’on aurait pu,
peut-être naïvement, penser au départ, puisqu’on a l’impression d’avoir "plus de
places" dans Zn+1 que dans Zn . Je rappelle que c’est d’ailleurs la croissance de
F (n) et le fait qu’on la√connaisse sur des nombres assez fréquents qui permettent
d’avoir l’équivalent en n, on n’a donc pas le même phénomène ici.
On s’aperçoit même que lorsque f atteint une certaine valeur k, elle peut
aussitôt diminuer de 1 pour y stagner un temps de plus en plus long au fur et à
mesure que n augmente. De plus, on constate même que f peut diminuer de plus
que 1. On voit par exemple que f (134) = f (133) − 2. Ainsi, il se dégage de ces
simulations√que f est tout de même bien difficile à comprendre. Toutefois, le ratio
de f (n) et n semblent tendre vers 1 ce qui laisserait penser que
f (n)
√ ∼1
n
Si on introduit la quantité n telle que
∀k > n, f (k) > f (n) − n
Elle traduit la décroissance maximale qui
√ peut survenir après n. Il s’agirait de
montrer que celle-ci est négligeable devant n.
Une autre remarque provenant des simulations numériques est que le nombre
d’ensembles de Sidon maximaux, auquel j’ai accès grâce aux programmes semblent
suivre une certaine logique. En effet, comme on peut quelque part s’y attendre,
si on se place sur {n/f (n) = k} le nombre d’ensembles de Sidon maximaux est
d’autant plus élevé que n est grand.
On peut noter également que le théorème chinois permet d’obtenir un minorant
de f (n) pour des nombres composés. En effet, si a∧b = 1 on peut considérer comme
ensemble de Sidon dans Zab ≈ Za × Zb
{(x, 0), x ∈ A}
[
{(0, y), y 6= 0, y ∈ B}
avec A et B des ensembles de Sidon maximaux de Za et Zb . Cela donne
f (ab) > f (a) + f (b) − 1
18
Et plus généralement, on peut obtenir
f(
k
Y
i=1
Pi ) >
k
X
f (Pi ) − (k − 1)
i=1
où les Pi sont premiers entre eux deux à deux.
Cette minoration n’est pas exceptionnel,
mais elle permet d’obtenir dans certain
q
cas une meilleure minoration que n/2. Grâce à cela, on peut tout de même
obtenir une preuve élégante de f (12) = 3 puisque
q f (12) > f (4) + f (3) − 1 = 3 et
1
f (12) < 4 d’après la majoration usuelle en 2 + −3
+ n. Mais cela ne donne rien
4
d’intéressant asymptotiquement. Il est envisageable dans des cas très particulier
d’obtenir f (ab) > f (a) + f (b) et d’en déduire par le même type de raisonnement
qu’on vient de faire des valeurs de f , mais cela concerne seulement des "petits"
nombres et ne présente donc pas un grand intérêt.
√
L’objectif serait donc d’améliorer cette borne inférieure en C n où C vaut
pour le moment √12 . Pour cela, on pourrait imaginer des constructions modulaires
√
utilisant pour n donné l’existence d’un ensemble de Sidon de taille ∼ m dans
Zm où m est un nombre de Bose-Chowla, Ruzsa ou Singer. Je travaille justement
en ce moment sur de tels constructions.
D’autres perspectives seraient de parvenir à démontrer certaines propriétés de
n ou bien encore de trouver une autre catégorie de n pour lesquels on parviendrait
à calculer f (n).
19
2.1.3
Les ensembles de Sidon additifs et multiplicatifs
Cette partie est directement inspirée des travaux de Ruzsa [14].
Définition 5. Nous dirons que A est un ensemble de Sidon multiplicatif si xy = s
admet au plus une solution (à permutation près de x et y) dans A.
On notera G(n) (respectivement g(n)) le plus grand ensemble de Sidon multiplicatif contenu dans J1, N K (respectivement dans Zn ). On utilisera les notations
H(n) et h(n) dans le cas d’ensembles de Sidon à la fois additifs et multiplicatifs.
Si on note Π(n) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, il est
évident qu’on a G(n) > Π(n). Erdős, dans [3] a montré un résultat plus précis
concernant G(n).
Théorème 13. Il existe des constantes C, D tels que
Π(n) + C
n3/4
n3/4
<
G(n)
<
Π(n)
+
D
(log n)3/2
(log n)3/2
Cela donne l’équivalent G(n) ∼ Π(n).
A partir de là, comme on l’a vu pour les ensembles de Sidon additifs, on obtient
grâce au théorème des nombres premiers une minoration triviale de g(n)
√
√
n
g(n) > G( n) ∼ 2
log n
Ruzsa est récemment parvenu à obtenir une majoration de g(n), et a obtenu
une construction optimale dans Zp2 .
Théorème 14.
g(n) 6
√
n + τ (n)
où τ (n) est le nombre de diviseurs de n.
Démonstration. Cette preuve utilisera un lemme faisant intervenir les ensembles
Hxy = {z ∈ Zn |x = yz, z ∧ n = 1}
Lemme 1. Soient (x, y) ∈ Z2n et ϕ la fonction indicatrice d’Euler.
– Si x ∧ n 6= y ∧ n, alors |Hxy | = 0.
– Si x ∧ n = y ∧ n = d, alors
|Hxy | =
.
20
ϕ(n)
ϕ(n/d)
Démonstration. La première propriété vient du fait qu’un élément de Hxy est inversible. Elle est assez immédiate.
Pour la deuxième propriété, il suffit de le faire pour n = pk , le cas général s’en
déduit par application du théorème chinois et de la multiplicativité de l’indicatrice
d’Euler.
Nécessairement, d est une puissance de p. Deux cas se présentent. Ou bien
d = pk = n auquel cas x = y = n = 0 et tout nombre premier avec n convient
alors, il y en a bien φ(n). Ou bien d = pl avec l < k, auquel cas on peut écrire
x = apl avec a < p et y = bpl avec b < p, mais alors
x = yz ⇔ apl ≡ bpl z
modpk
modpk−l
⇔ a ≡ bz
Or, a et b sont premiers avec pk−l donc on a une unique solution z modulo pk−l
donc pl solutions au total, ce qui donne le résultat souhaité, puisque
pl =
ϕ(pk )
pk − pk−1
=
pk−l − pk−l−1
ϕ(pk−l )
Soit donc A un ensemble de Sidon multiplicatif de Zn de cardinal maximal
g(n).
Comme A est un ensemble de Sidon, les Hxy avec x 6= y dans A sont disjoints.
On a donc
X
|Hxy | 6 ϕ(n)
x6=y∈A
Posons rd = |{a ∈ A|a ∧ n = d}| et D = {d, rd > 0}. On a rd = g(n) et
P
d∈D 1 6 1. Le lemme et l’inégalité précédente donne en simplifiant par ϕ(n)
P
X rd (rd
d∈D
− 1)
61
ϕ(n/d)
Or, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz
1/2

(rd − 1)2 X
(rd − 1) 6 
ϕ(n/d)
d∈D
d∈D ϕ(n/d) d∈D
X
Finalement
X
X
rd = g(n) 6
d∈D
21
√
n + τ (n)
6 (1n)1/2
De plus, dans cet article, Ruzsa exhibe une construction dans Zp2 . En effet, il
démontre que A = {ak = k p + p, k ∈ J1, pK} est un ensemble de Sidon multiplicatif.
Ainsi
p 6 g(p2 ) 6 p + τ (p2 ) = p + 3
Mais 0 ne peut pas appartenir à un ensemble de Sidon multiplicatif autre que
{0}. On ne peut pas non plus avoir deux multiples de p puisque leurs carrés donnent
0. Pour finir, de manière analogue à l’analyse des différences pour un ensemble de
Sidon additif, on a r1 éléments inversibles dans A on peut donc fabriquer r1 (r1 − 1)
quotients d’éléments distincts de A et inversibles, et ceux-ci doivent être distincts
également et on a comme possibilité d’arrivée de ces quotients tous les inversibles
de Zp2 sauf 1. On obtient donc r1 (r1 − 1) < p2 − p − 1.
Ces trois remarques conduisent à rp2 = 0, rp 6 1 et r1 6 p − 1. Dans ce cas
P
particulier on a donc montré g(n) = rd 6 p. D’où le résultat suivant :
Théorème 15.
g(p2 ) = p
Concernant les ensembles de Sidon à la fois additifs et multiplicatifs, Ruzsa
donne deux constructions conduisant au théorème suivant :
Théorème 16. Si n = pq avec 2 < p < q des nombres premiers, alors
p+1
2
h(n) >
Dans le cas particulier où q = 2p + 1
h(n) > p − 1
Les constructions et preuves qu’on retrouve dans [14] ressemblent énormément
à celle du théorème 12.
En effet, pour le premier cas, on prend r un générateur de F×
q et on définit
∀k ∈ J0, (p − 1)/2K
ak ≡ k mod p, ak ≡ rk mod q
Dans le deuxième cas, les ak sont définis ∀k ∈ J0, p − 1K par
ak ≡ k mod p,
ak ≡ r2k mod q
Ces deux constructions permettent d’obtenir
h(n)
1
lim sup √ >
n
2
22
2.2
Ensembles de Sidon infinis
On considère maintenant des ensembles infinis d’entiers qui sont des ensembles
de Sidon additif. Si B est un tel ensemble, on note B(n) = |B ∩ J1, nK|.
La construction naturelle à laquelle on peut d’abord penser est l’algorithme
glouton, qui donne un ensemble de Sidon connu sous le nom d’ensemble de MianChowla. On démarre avec b1 = 1 et on construit récursivement pour k > 1
bk = min{n 6= bi + bj − bl |1 6 i, j, l 6 k − 1}
On a donc (k − 1)3 impossibilité pour bk , d’où
bk 6 (k − 1)3 + 1
L’algorithme glouton conduit ainsi à
B(n) ∼ n1/3
Il y a eu plusieurs améliorations de ce résultat à commencer par Ajtai, Komlós
et Szemerédi qui ont obtenu
B(n) ∼ (n log n)1/3
Je vais ici m’intéresser à l’amélioration la plus aboutie jusqu’alors, due à Ruzsa.
Théorème 17. Il existe B un ensemble de Sidon infini tel que
B(n) = nγ+o(1)
où γ =
√
2 − 1.
Je ne vais pas démontrer ici ce théorème aux ingrédients très techniques qu’on
pourra trouver dans [13], mais simplement en donner l’idée.
On utilise l’unicité du théorème de décomposition en facteurs premiers pour
remarquer que {log p avec p premier} est un ensemble de Sidon dans R. Il s’agit
ensuite de créer, à partir des développements en base 2 des log p, des nombres
entiers qui conserveront la propriété d’ensemble de Sidon.
Je vais préciser la construction de ces nombres sans toutefois en expliquer
toutes les raisons, d’une part pour cause de technicité, mais aussi car je n’oserais
prétendre être capable d’en dégager une logique.
Cette construction dépend d’un réel α dans [1, 2], et on considère p > 3. On
écrit alors
23
α log p =
k
X
ip 2i +
i=0
∞
X
δip 2−i
i=1
On veut donc créer un nombre entier à partir de ce développement binaire.
Pour cela, on va tronquer la partie des √
puissances négatives puis les regrouper
entre les carrés successifs. On pose β = 2 + 1 et on définit alors les quantités
suivantes
2
Kp = min{i > 2|2(i−1) > pβ }
Et ∀i ∈ J1, Kp K
2
i
X
∆ip =
δjp 2i
2 −j
j=(i−1)2 +1
On note PK = {p ∈ P|Kp = K}. Il s’agit des nombres premiers dont les
puissances β-ième sont plus ou moins de la même taille.
Et on introduit les bp qui formeront l’ensemble de Sidon souhaité
bp =
Kp
X
i=1
2 +5i
∆ip 2(i−1)
+
k
X
ip 2i
2 +5i+2
2
+ 2Kp +5Kp +4
i=0
2
Le Kp choisi permet d’assurer bp = pβ+o(1) . On note tp = 2Kp +5Kp +4 Essayons
maintenant de comprendre l’intérêt d’avoir pris de tels bp .
Analysons le développement binaire de bp . Fixons i. Entre (i − 1)2 + 5i et
i2 − 1 + 5i on place tous les coefficients de ∆ip , ensuite on a 5 espaces libres avant
le premier coefficient de ∆(i+1)p , le troisième contient ip tandis que les autres sont
nuls.
Le véritable intérêt de la présence de ces zéros dans le développement en base
2 est que si
bp + bq = br + bs
alors une simple réflexion sur la manière dont se passe les calculs en base 2
permet de conclure que ∀i
ip + iq = ir + is
∆ip + ∆iq = ∆ir + ∆is
tp + tq = tr + ts
24
Définition 6. On dit que (p, q, r, s) est un mauvais quadruplet si
bp + bq = br + bs
L’idée est alors de trouver une condition nécessaire pour que (p, q, r, s) soit un
mauvais quadruplet. Et lorsque c’est le cas, on enlève le bi le plus grand de B qui
devient alors un ensemble de Sidon.
La difficulté principale du travail réside alors dans l’estimation du nombre
de mauvais quadruplet. Grâce à un raisonnement probabiliste, Ruzsa démontre
l’existence d’une valeur de α pour laquelle ce nombre est suffisament petit pour
aboutir à la taille de B souhaitée.
Cette construction est d’ailleurs simplifiée dans [6], selon une idée de Ruzsa
et Cilleruelo. Ce-dernier réussit à adapter cette construction avec Tesoro dans [4]
pour le cas des B3 [1] et des B4 [1].
Plutôt que d’utiliser la suite des log p avec p premier, ils introduisent les arguments des nombres premiers de Gauss ρp tels que ρp ρp = p est un nombre premier.
Pour comprendre mieux ce que sont les nombres premiers de Gauss, je conseille
la lecture de [1] qu’on trouve facilement sur internet, ou de [17], chapitre 12.
Définition 7. Les entiers de Gauss sont les éléments de Z[i] et z est un nombre
premier de Gauss si ses seuls diviseurs au sens des entiers de Gauss sont
1, −1, i, −i, z, −z, iz, −iz
On dispose également du théorème fondamental de l’arithmétique pour les
entiers de Gauss.
Théorème 18. Tout entier de Gauss s’exprime de manière unique comme le produit de nombres premiers de Gauss, à ordre et associés près.
Nécessairement, un nombre premier qui s’écrit comme le produit d’un entier
de Gauss et son conjugué est la somme de deux carrés et est donc congru à 1
modulo 4 sauf dans le cas particulier de p = 2. Réciproquement, il est vrai que
tout nombre premier congru à 1 modulo 4 est la somme de deux carrés. Or si
p = a2 + b2 = (a + ib)(a − ib) alors utilisant la norme sur Z[i] définie par N (z) = zz
qui vérifie N (st) = N (s)N (t) et N (s/t) = N (s)/N (t), a+ib est un nombre premier
de Gauss.
On s’intéressera ici au cas général des Bh [1]-ensembles et donc au travail fait
dans [4], mais les méthodes sont similaires à celles de [6] et les résultats s’appliquent
à h = 2.
On notera donc P = {p ∈ P, p ≡ 1 mod 4}.
25
Et d’après ce qu’on a dit avant, il est légitime ∀p ∈ P de considérer le nombre
premier de Gauss ρp ∈ Z[i] tel que
ρp := a + ib, p = a2 + b2 , a > b > 0
√
de sorte que ρp = pe2iπθ(p) avec θ(p) ∈ [0, 1/8].
L’intérêt de tout cela est que
Théorème 19. L’ensemble
√
n 1/h
C = {cp ∈ N|cp = [nθ(p)] , p ∈ P, p 6 (
) }
7h
est un ensemble de Sidon contenu dans J1, nK avec plus de
n1/h
log n
éléments.
Démonstration. On suppose donc qu’il existe {p1 , · · · , ph } =
6 {q1 , · · · , qh } tels que
cp1 + · · · + cph = cq1 + · · · + cqh
On en déduit aisément
|θp1 + · · · + θph − θq1 − · · · − θqh | =
h
1
|{nθp1 } + · · · + {nθph } − {nθq1 } − · · · − {nθqh }| 6
n
n
On va maintenant minorer cette même quantité.
Lemme 2.
|θp1 + · · · + θph − θq1 − · · · − θqh | >
1
7 |ρp1 · · · ρph ρq1 · · · ρqh |
Une fois le lemme établi, étant donné la condition d’appartenance à l’ensemble
C, on a
h
h
< |θp1 + · · · + θph − θq1 − · · · − θqh | 6
n
n
ce qui fournit une contradiction et cela prouve le théorème.
Démontrons désormais le lemme.
Démonstration. Déjà il est clair que
θp1 + · · · + θph − θq1 − · · · − θqh ≡
1
arg(ρp1 · · · ρph ρq1 · · · ρqh ) mod 1
2π
26
De plus, d’après le théorème d’unicité de factorisation en facteurs premiers
dans Z[i], ρp1 · · · ρph ρq1 · · · ρqh ne peut pas être réel. En effet, dans le cas contraire,
si on note x ce nombre réel on aurait
x = x = ρp1 · · · ρph ρq1 · · · ρqh
qui ne serait pas la même décomposition vu que {p1 , · · · , ph } =
6 {q1 , qh }.
Ainsi, la partie imaginaire de x = a + ib n’est
√ pas nulle. D’autre part, les premiers nombres dans P étant 5 et 13 on a |x| > 5 ∗ 13 et vérifie donc arctan(1/ |x|) >
0, 99/ |x|. Comme b 6= 0
|arg(x)| =
=
b arctan( )
a b
arctan( )
a
1
> arctan( √ 2
)
a + b2
1
> arctan( )
|x|
Si on combine toutes ces informations, on obtient
1
1
arctan( )
2π
|x|
0, 99 1
>
2π |x|
1
>
7 |ρp1 · · · ρph ρq1 · · · ρqh |
|θp1 + · · · + θph − θq1 − · · · − θqh | >
La construction ensuite d’un ensemble de Sidon infini est similaire à celle de
Ruzsa, si ce n’est que maintenant, les θp présentent l’intérêt d’être bornés contrairement aux log p ce qui permettra de ne pas avoir à gérer les ip de la construction
de Ruzsa.
Cilleruelo et Tesoro parviennent ainsi à démontrer dans [4] le théorème suivant :
Théorème 20. Soit h ∈ {3, 4}. Il existe B un Bh [1]-ensemble infini tel que
√
2
B(n) = n (h−1) +1−(h−1)+o(1)
La plupart de leurs arguments sont en fait valables pour h quelconque mais le
lemme probabiliste où α intervient n’est démontré que pour h = 2, 3, 4. Il n’est
pas impossible que cela marche pour h > 4, mais il est certain que les difficultés
techniques s’accroissent. Il serait intéressant de se pencher sur le problème.
27
2.3
Des résultats sur les Bh [g]
L’objectif de ce paragraphe est simplement de donner quelques résultats sur les
Bh [g]-ensembles, sans toutefois être exhaustif. On notera F (h, g, n) la taille d’un
Bh [g]-ensemble maximal contenu dans J1, nK. On s’était alors intéressé jusqu’ici à
F (n) = F (2, 1, n).
Le cas général est bien moins connu à l’heure actuelle que les ensembles de
Sidon étudiés précédemment. En effet, si on sait que F (h, g, n) est de l’ordre de
1
n h on ne sait toujours pas s’il existe une constance C telle que
1
F (h, g, n) ∼ Cn h
Les différents travaux autour de ces ensembles visent justement à améliorer les
constantes C1 et C2 telles que
C1 6
F (h, g, n)
1
nh
6 C2
Faisons une première constatation expliquant cet ordre de grandeur en n1/h . Si
A ⊆ J1, nK est un Bh [g] alors
x = a1 + · · · + ah ⇒ 1 6 x 6 hn
Ainsi, étant donné qu’on considère comme identiques des représentations de x si
elles ne diffèrent que par une permuation des ai , cela donne
|A|h
6 ghn
h!
On obtient de la sorte la borne triviale
F (h, g, n) 6 (ghh!)1/h n1/h
On peut ensuite remarquer, selon une idée de Kolountzakis, qu’on peut aisément obtenir le résultat suivant :
Proposition 3.
√
gn ≺ F (2, g, n)
h i
Démonstration. En effet, si B est un ensemble de Sidon contenu dans J1, ng − 1K
alors {gB} ∪ {gB + 1} ∪ · · · ∪ {gB + g − 1} est un B2 [g]. Pour voir cela, supposons
x1 + y1 = x2 + y2 · · · = xg+1 + yg+1
Les paires (xi , yi ) sont supposées toutes différentes et vivent dans les (gB +
ji ) × (gB + ki ) avec 0 6 ji , ki 6 g − 1. On ne peut pas par-contre pas avoir deux
28
paires qui vivent dans un même tel ensemble, sinon, elles sont égales puisque B
est un ensemble de Sidon. Ainsi, elles sont dans g + 1 ensembles différents parmi
ces g 2 ensembles. Or, ces sommes étant égales, elles le sont modulo g d’où
j1 + k1 ≡ j2 + k2 ≡ · · · ≡ jg+1 + kg+1 mod g
Ceci fournit une contradiction puisqu’on a pour tout l exactement g possibilités
de couples (j, k) ∈ J0, g − 1K vérifiant j + k ≡ l mod g.
Cilleruelo, Ruzsa et Trujillo améliorent cette minoration et obtiennent dans
[16] l’encadrement suivant
g + [g/2] √
q
g + 2 [g/2]
√
√
n + o( n) 6 F (2, g, n) 6 1, 864 gn + 1
La majoration provient d’une démonstration plus générale aboutissant pour
h>2à
F (h, g, n) 6
1
(1 +
cosh (π/h))1/h
(hh!gn)1/h
Dans le cas particulier g =√2 la borne inférieure est améliorée dans l’article
√ de
Plagne et Habsieger [10] à 4/ 7 ≈ 1, 5119579 · · · et la borne supérieure à 21/2
par Green dans [5] où il a également obtenu grâce à des techniques d’analyse de
Fourier
7
F (3, 1, n) 6 ( n)1/3 + o(n1/3 )
2
F (4, 1, n) 6 (7n)1/4 + o(n1/4 )
Le cas général est donc encore très mal connu et reste somme toute assez
mystérieux.
29
Appendices
A
Méthode polynomiale et applications
On cherche à démontrer le théorème de Cauchy-Davenport dont je rappelle ici
l’énoncé.
Théorème 21. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Zp avec p premier.
Alors :
|A + B| > min(p, |A| + |B| − 1)
On considère A et B ensembles non vides contenus dans G de cardinaux respectifs k et l.
On sait que si k + l > p alors A + B = Zp d’après une remarque faite précédemment. On peut donc supposer k + l − 1 6 p.
Supposons par l’absurde que |A + B| 6 k + l − 2 et définissons m tel que
m + |A + B| = k + l − 2.
Introduisons alors le polynôme
P (X, Y ) = (X + Y )m
Y
(X + Y − c)
c∈A+B
L’intérêt est que P (a, b) = 0 pour tout (a, b) ∈ A × B. P est de degré total
k + l − 2 et le monôme X k−1 Y l−1 a pour coefficient
k+l−2
6= 0 mod p
k−1
!
Principe de la méthode polynomiale
Maintenant qu’on a un tel polynôme l’idée est d’en construire un autre à partir
de P qui soit de degré au plus k − 1 en X et l − 1 en Y qui s’annule toujours sur
A × B.
Supposons construit un tel Q, c’est un exercice classique de démontrer que
le polynôme est alors nul. Il suffit pour cela de le voir tout d’abord comme un
polynôme de R[Y ][X].
Q(X, Y ) =
k−1
X
Qi (Y )X i
i=0
Mais alors Q(X, b) s’annule en tous les a ∈ A et est donc nul. Ainsi les Qi (b)
sont nuls pour tout b ∈ B, mais étant donné leurs degrés, les Qi sont donc nuls,
ce qui donne la nullité de Q.
30
Il reste donc à construire un tel polynôme Q.
Pour cela, nous allons utiliser le lemme suivant.
Lemme 4. Soit A un ensemble fini de cardinal k. ∀u > 0, il existe un polynôme
Ru (X) de degré plus petit que k − 1 tel que, ∀a ∈ A,
Ru (a) = au
La démonstration de ce lemme repose sur le fait qu’écrire les k équations fait
apparaître un système de Vandermonde ayant pour coefficients les k éléments
distincts de A. Ainsi, ce système admet une solution.
D’après le lemme, on dispose donc de polynôme Ru et Sv tels que
∀a ∈ A, Ru (a) = au et ∀b ∈ B, Sv (b) = bv
Ainsi, dans P on remplace les monômes X u Y v avec u > k (ce qui implique
v 6 l − 2) par Ru (X)Y v et les X u Y v avec v > l (ce qui implique u 6 k − 2) par
Sv (Y )X u .
Toute analyse de degré faite, on a par ce procédé construit un polynôme Q de
degré au plus k−1 en X et l−1 en Y et on n’a pas modifié le coefficient du monôme
X k−1 Y l−1 de P qui était non nul. Q est donc censé être non nul. Or, Q s’annule
sur A × B et est donc nul d’après ce qu’on a dit précédemment. Cela fournit donc
une contradiction, et on a bien prouvé le théorème de Cauchy-Davenport.
Grâce à cette méthode, on peut également démontrer, comme c’est fait dans
[12] les résultats suivants
Théorème 22. Soient A et B des sous-ensembles non vides de Zp avec p premier,
tels que |A| =
6 |B|. Alors, considérant C = {a + b|(a, b) ∈ A × B, a 6= b}, on a
|C| > min(p, |A| + |B| − 2)
Théorème 23. Soit A un sous-ensemble de Zp avec p premier, tels que |A| > 2.
Alors, considérant C = {a + b|(a, b) ∈ A × A, a 6= b}, on a
|C| > min(p, 2 |A| − 3)
Théorème 24. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Zp avec p premier.
Alors, considérant C = {a + b|(a, b) ∈ A × B, ab 6= 1}, on a
|C| > min(p, |A| + |B| − 3)
31
B
Programmation
Je souhaitais d’abord intégrer les programmes à mon rapport, mais en fait
cela prend beaucoup de pages pour peu d’intérêt finalement. Alors, que ce soit en
Maple, Magma ou Caml, l’idée des programmes étaient la même.
Un premier programme naïf parcourait tous les sous-ensembles de J0, n − 1K
possibles (ou presque, on pouvait s’arranger pour avoir {0, 1} dedans) et vérifiait
s’ils étaient des ensembles de Sidon ou non, mais très rapidement, celui-ci a posé
un problème de temps.
Du coup, un deuxième programme construisait en partant de {0, 1} tous les
ensembles de Sidon à 3 éléments, puis continuait à partir de tous les ensembles de
Sidon obtenus en essayant de les compléter, mais très rapidement, ce programme
posait un problème de mémoire et de stockage, ce qu’on a pu résoudre ou en
tout cas améliorer en caml. Il présente l’avantage de donner accès à la liste des
ensembles de Sidon de taille maximale et surtout à leur nombre, ce qui n’est pas
le cas du dernier programme.
Un dernier programme et qui s’est montré être le plus performant, bien que
parfois très long à faire tourner. On considère l’arbre dont les nœuds sont les
ensembles de Sidon modulo n, et tel que s0 est le père de s si et seulement s’il
existe i ∈ Zn tel que s0 = s ∪ i. L’algorithme parcourt cet arbre en profondeur, en
calculant la hauteur maximale d’une feuille.
Je comptais à nouveau remercier ici Paul Brunet et Jérémy Le Borgne pour
m’avoir aidé à faire la conversion entre les différents logiciels.
32
C
Bibliographie
Références
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2006.
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Journal of Number Theory, 2002.
[17] G. H. Hardy & E. M. Wright. An introduction to the theory of numbers 6th
Edition. Oxford University Press, 2008.
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