les ensembles de Sidon

Rapport de stage de Master 2
Combinatoire additive: les ensembles de Sidon
Victor Lambert
Université Paris 6
Ecole Polytechnique (CMLS)
Mai à Septembre 2012
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Table des matières
1 Quelques résultats de théorie additive des nombres 5
1.1 Des résultats dans N.......................... 5
1.2 Dans Zp................................. 6
1.3 ThéorèmedeKneser .......................... 7
2 Les ensembles de Sidon 8
2.1 Ensembles de Sidon finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Dans N............................. 8
2.1.2 Les ensembles de Sidon modulaires . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Les ensembles de Sidon additifs et multiplicatifs . . . . . . . 20
2.2 Ensembles de Sidon infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Des résultats sur les Bh[g]....................... 28
Annexes 30
A Méthode polynomiale et applications 30
B Programmation 32
C Bibliographie 33
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Introduction
Dans le cadre de mon Master 2 Mathématiques et Applications à l’Université
Pierre et Marie Curie, parcours Optimisation Jeux et Modélisation en Economie,
j’ai effectué un stage de recherche en combinatoire additive, sous la tutelle d’Alain
Plagne. Je poursuivrai ma thèse dans ce même domaine, c’est pourquoi le stage a
été en quelque sorte préparatoire à la thèse. Je me suis donc principalement cultivé
et documenté sur la théorie additive des nombres, tout en essayant en parallèle de
réfléchir à des questions concernant les ensembles de Sidon.
Dans ce rapport, j’ai donc décidé dans une première partie de présenter quelques
aspects de la combinatoire additive qui m’ont particulièrement intéressé, avant de
parler dans une seconde partie de ces ensembles de Sidon.
J’ai eu l’occasion grâce à ce stage d’assister à une semaine de conférence autour
des théories additive et combinatoire des nombres. Cela m’a permis de voir un
peu plus comment fonctionnait la recherche et d’entendre parler de problèmes
combinatoires différents de ceux auxquels je m’étais intéressé jusqu’ici.
Par ailleurs j’aimerais remercier Jérémy Le Borgne et Paul Brunet pour l’aide
qu’ils ont pu me fournir, avant tout en programmation.
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Notations
Les notations présentées ci-dessous seront utilisées tout au long de ce rapport :
–Ja, bKdésignera l’ensemble des entiers compris entre aet b.
–|A|est le cardinal de A.
–A+Best la somme de Minkowski de Aet B, c’est à dire {a+b, a ∈A, b ∈B}.
–a+B={a}+B.
–hA est l’ensemble des sommes de héléments de A.
–λ∗Aest l’ensemble {λa, a ∈A}.
–Zpdésignera Z
pZ
–Aest le complémentaire de Adans l’ensemble considéré.
–a∧b=pgcd(a, b).
–Pdésignera l’ensemble des nombres premiers.
– Si x∈R,[x]désignera sa partie entière tandis que {x}=x−[x]désignera
sa partie fractionnaire.
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1 Quelques résultats de théorie additive des nombres
Cette partie est très largement inspirée de ma lecture du Nathanson [7].
1.1 Des résultats dans N
En théorie additive des nombres, on considère un ensemble Ad’un groupe
abélien et on essaie de déterminer la structure et les propriétés de hA. Par exemple,
le théorème de Lagrange qui donne la décomposition de tout nombre entier positif
comme somme de quatre carrés est traduit de la façon suivante :
Théorème 1. Soit Al’ensemble des carrés, alors 4A=N.
Ces études nous amènent fréquemment à considérer les progressions arithmé-
tiques :
Définition 1. Une progression arithmétique de longueur k, de différence qet de
premier terme a0est un ensemble de la forme {a0, a0+q, ··· , a0+ (k−1)q}=
a0+q∗J0, k −1K.
Voyons un premier cas où celles-ci apparaissent.
Considérons A, B des ensembles finis d’entiers, de tailles respectives ket l. On
se demande quelle taille peut avoir A+B. Si on classe les éléments de Aet Bdans
un ordre strictement croissant, on peut remarquer que A+Bcontient les k+l−1
éléments suivants :
a0+b0< a0+b1< a1+b1< a1+b2<··· < ak−1+bk−1< ak−1+bk<··· < ak−1+bl−1
Ainsi, |A+B|>|A|+|B|−1. On s’intéresse alors naturellement au problème
inverse, c’est-à-dire qu’on se demande pour quels ensembles on peut avoir égalité.
Et c’est là qu’interviennent les progressions arithmétiques. Plus précisément, et
plus généralement, on a le théorème suivant :
Théorème 2. Si h>2et A1,··· , Ahsont des ensembles finis d’entiers, alors
|A1+··· +Ah|>|A1|+··· +|Ah| − (h−1)
et on a égalité si et seulement si les Aisont des progressions arithmétiques de
même différence.
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