référentiels non galiléens - MP*1

MP*1
Fiche n°1 : Les changements de référentiels
Cinématique :
Dans tous les cas :
⃗ /R(𝑴) = 𝒗
⃗ /R' (𝑴) + 𝒗
⃗ 𝒆 (𝑴)
𝒗
⃗ /R(𝑴) = 𝒂
⃗ /R' (𝑴) + 𝒂
⃗ 𝒆 (𝑴) + 𝒂
⃗ 𝒄 (𝑴)
𝒂
Cas particuliers: Soit un référentiel 𝑅(𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 )
𝑅′(𝑂′, 𝑒𝑥′ , 𝑒𝑦′ , 𝑒𝑧′ ) est en translation:
𝑣𝑒 (𝑀) = 𝑣/R (𝑂′)
𝑎𝑒 (𝑀) = 𝑎/R (𝑂′)
⃗
𝑎𝑐 (𝑀) = 0
⃗⃗ = Ω𝑒𝑧 :
𝑅′(𝑂, 𝑒𝑥′ , 𝑒𝑦′ , 𝑒𝑧′ ) est en rotation uniforme par rapport l’axe fixe 𝑂𝑧, de vitesse angulaire Ω
⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑒 (𝑀) = ⃗Ω
𝑂𝑀
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐻 étant le projeté de 𝑀 sur l’axe 𝑂𝑧
𝑎𝑒 (𝑀) = −Ω 𝐻𝑀
⃗⃗ ∧ 𝑣/R' (𝑀)
𝑎𝑐 (𝑀) = 2Ω
Dynamique :
Loi de la quantité de mouvement dans un référentiel 𝑅’ non galiléen pour un point matériel de masse
𝑚:
𝑑𝑝/𝑅′
= 𝐹𝑒𝑥𝑡 + 𝑓𝑖𝑒 + 𝑓𝑖𝑐
𝑑𝑡
Avec 𝑓𝑖𝑒 = −𝑚𝑎𝑒 et 𝑓𝑖𝑐 = −𝑚𝑎𝑐
Loi du moment cinétique dans un référentiel 𝑅’ non galiléen pour un système fermé en un point fixe O
de 𝑅’ :
𝑑𝐿⃗𝑂/𝑅′
⃗⃗ 𝑂𝑒𝑥𝑡 + 𝑀
⃗⃗ 𝑂 (𝑓𝑖𝑒 ) + 𝑀
⃗⃗ 𝑂 (𝑓𝑖𝑐 )
=𝑀
𝑑𝑡
Ne s’applique que pour un référentiel en translation, le point d’impact de la force d’inertie
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑓𝑖𝑒
⃗⃗ 𝑂 (𝑓𝑖𝑒 ) = 𝑂𝐶
d’entrainement étant 𝐶 le centre d’inertie du système : 𝑀
Cas particulier du référentiel barycentrique :
⃗ C/R*
𝑑𝐿
𝑑𝑡
⃗⃗ 𝐶𝑒𝑥𝑡
=𝑀
Travail des forces d’inertie :
La force d’inertie de Coriolis ne travaille pas.
Energie potentielle de la force d’inertie d’entrainement si 𝑅′(𝑂′, 𝑒𝑥′ , 𝑒𝑦′ , 𝑒𝑧′ ) est en translation avec
𝑎/R (𝑂′ ) = 𝑎𝑜 𝑒𝑥 :
𝐸𝑝 (𝑓𝑖𝑒 ) = 𝑚𝑎𝑜 𝑥
Energie potentielle de la force d’inertie d’entrainement si 𝑅′(𝑂, 𝑒𝑥′ , 𝑒𝑦′ , 𝑒𝑧′ ) est en rotation uniforme
⃗⃗ = Ω𝑒𝑧
par rapport l’axe fixe 𝑂𝑧, de vitesse angulaire Ω
𝐸𝑝 (𝑓𝑖𝑒 ) =
𝑚Ω2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‖𝐻𝑀
2
,𝐻 étant le projeté de 𝑀 sur l’axe 𝑂𝑧
Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel 𝑅’ non galiléen pour un point matériel ou pour un
solide indéformable seul:
𝐸c/R' (𝐵) − 𝐸c/R' (𝐴) = 𝑊A→B/R' (𝐹𝑒𝑥𝑡 ) + 𝑊A→B/𝑅′ (𝐹𝑖𝑛𝑡 ) + 𝑊𝐴→𝐵 (𝑓𝑖𝑒 )
Pour un système (ensemble de points matériels ou ensemble de solides), il faut ajouter le travail des
forces intérieures.
Les référentiels galiléens :
Le référentiel de Corpenic 𝑅𝑐 : origine = centre de masse du système solaire + trois directions fixes
Le référentiel héliocentrique 𝑅𝑜 : origine = centre de masse du Soleil, en translation par rapport à 𝑅𝑐 :
Le référentiel géocentrique 𝑅𝑔 : origine = centre de masse de la Terre, en translation par rapport à 𝑅𝑐 :
Ce référentiel est supposé galiléen sauf pour les masses des océans (terme de marée)
Le référentiel terrestre 𝑅𝑇 : origine = centre de masse de la Terre, en rotation suivant l’axe Nord/Sud
par rapport à 𝑅𝑐 :
Ce référentiel est supposé galiléen en négligeant la force d’inertie de Coriolis et en supposant :
𝑃⃗ = 𝑚𝐺𝑇 (𝑀) + 𝑓𝑖𝑒 (𝑀) = 𝑚𝑔(𝑀)
𝐺𝑇 (𝑀) = champ gravitationnel.
𝑔(𝑀) = champ de pesanteur = intensité de la pesanteur.