Exercices sur le TD3

Unité d’enseignement : L6S2TC-Exercices TD3
Statistiques
Exercices sur le TD3
Variables aléatoires – Exercice d’introduction
Expérience aléatoire :
1 \ 2
1
2
3
1
(1;1)
On lance deux dés non truqués, on s’intéresse
2
aux numéros sur les faces supérieures de chacun
3
4
des deux dés
5
6
1) Décrire l’univers  associé à cette expérience aléatoire avec le tableau ci-contre.
4
5
6
2) Que vaut card  ?
3) On désigne par S la somme des numéros obtenus sur les deux dés.
Quel est l’ensemble des valeurs possible pour S ? décrire cet ensemble
S est appelée une variable aléatoire, l’ensemble S des valeurs possibles est appelé univers image
associé à cette variable aléatoire, on le note S()
4) On considère l’événement « Obtenir une somme égale à 2 », cet événement est alors noté
S = 2, calculer P(S = 2) puis de la même façon P(S = 3) jusqu’à P(S = ….).
Quand on calcule la probabilité de chaque événement S = 2, S = 3 etc.…
on dit que l’on détermine la loi de probabilité de la variable aléatoire S.
5) A chaque événement (S = k) correspond une probabilité P(S = k), on appelle espérance
mathématique de la variable aléatoire le nombre noté E(S) défini par :
E ( S )  2  P( S  2)  3  P( S  3)  .....  ...  P( S  ...)
Calculer l’espérance mathématique de S.
6) Le nombre suivant noté V(S) est appelé variance de la variable aléatoire :
V(S) = [2 – E(S)]² ×P(S = 2) + [3 – E(S)]² ×P(S = 3) + ….. + [k – E(S)]² ×P(S = k)
Calculer la variance de S.
7) La racine carrée de ce nombre noté : (S) est appelée écart type de la variable aléatoire S.
Calculer l’écart type de S.
8) Calculer la probabilité que la somme S soit inférieure ou égale à x dans chaque cas :
(on note cette probabilité F(x) = P(S  x), la fonction F ainsi définie est appelé fonction de répartition de
S, elle est définie sur ).
a) x < 2 c’est à dire x  ] - ; 2[
b) 2  x < 3 c’est à dire x  [2 ; 3[
c) 3  x < 4 c’est à dire x  [3 ; 4[
d) ….
etc… jusqu’à 12  x c’est à dire x  [12 ; +[
9) Construire la courbe représentative de la fonction F.
1
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Statistiques
Exercice 1 :
Soit X, une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau suivant :
xi
-2
-1
0
1
pi
0,2
0,1
0,15
0,05
1°) Calculer E(X), var(X). Donner la fonction de répartition de X.
2°) Déterminer la loi de Y = IXI puis calculer E(Y) et var(Y)
3°) Déterminer la loi de Z = 2X+5 puis calculer E(Z) et var(Z).
Exercice 2 :
Soient X et Y deux variables indépendantes de lois :
X
0
0,5
Y
-1
0,4
Déterminer la loi de X+Y et celle de XY.
2
0,4
3
0,1
1
0,2
2
0,3
2
0,3
4
0,3
Exercice 3 :
Une loterie comporte 20 billets dont 2 gagnants, l’un pour un lot de 100 €, l’autre pour un lot
de 60 €. On achète trois billets.
A. Calculer les probabilités suivantes en supposant tous les tirages équiprobables.
1°) A: ’’gagner les 2 lots’’
2°) B: ‘’gagner le lot de 100 € seulement’’
3°) C: ‘’gagner le lot de 60 € seulement ‘’
4°) D: ‘’ne rien gagner ‘’.
B.
1°) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à tout ensemble de trois billets associe
la somme gagnée.
2°) Calculer l’espérance E(X).
3°) Le prix de vente du billet étant fixé à E(X)/3, vérifier que la vente des vingt billets permet d’obtenir
la somme mise en jeu.
Exercice 4 :
On considère le jeu suivant : le joueur paie 3 euros pour jouer. Ensuite, il lance trois dés équilibrés.
Pour chaque "Pile" qu’il obtient, il gagne 2 euros
On désigne par X le nombre de "Pile" obtenus et par Y le gain (algébrique) du joueur.
1°) Exprimer Y en fonction de X.
2°) Donner la loi de X puis calculer E(X) et V (X):
3°) Déterminer E(Y) et V (Y): Le joueur est-il gagnant en moyenne ?
4°) Expliciter la loi de Y.
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