I. Rappels sur les espaces vectoriels normés et compléments sur les

I. Rappels sur les espaces vectoriels normés et
compléments sur les espaces de Hilbert
Applications linéaires continues
Soient (E,ÎÎ
E)et (F,ÎÎ F)deux espaces vectoriels normés. Soit
L:EæFune application linéaire.
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes
1. Lest continue en tout point de E;
2. Lest continue en 0 ;
3. Il existe C>0telque
’fœE,ÎL(f)ÎFÆCÎfÎE.

Norme d’opérateur
Pour L:EæFapplication linéaire continue, on définit la norme
d’opérateur de Lpar
ÎLÎ=sup
f”=0
ÎL(f)ÎF
ÎfÎE
.
La norme d’opérateur, aussi notée ÎÎ
L(E,F),estunenormesur
l’espace vectoriel L(E,F)des applications linéaires continues de E
dans F.

Dual d’un espace de Hilbert et théorème de Riesz
Soit Hun espace de Hilbert. Pour hœH, on note ⇤hla forme
linéaire définie par : ’fœH,⇤h(f)=(h|f).
Lemme. La forme linéaire ⇤hest continue et Î⇤hÎ=ÎhÎ.
Théorème de Riesz. Soit ⇤une forme linéaire continue sur H.
Alors il existe un unique hœHtel que ⇤=⇤
h,i.e.
’fœH,⇤(f)=(h|f).
L’ensemble des formes linéaires sur Hest appelé le dual de H.

II. Généralités sur les opérateurs (bornés)
Soit Hun espace de hilbert.
Def. On appelle opérateur borné sur Hune application linéaire
continue de Hdans lui-même.
La définition d’opérateur non borné n’étant pas au programme de
ce cours, on appellera souvent opérateur tout court un opérateur
borné.
Th. et Déf. (adjoint d’un opérateur) Soit Aun opérateur
(borné). Il existe un unique opérateur (borné), noté Aú,vérifiant
’f,gœH,(f|Ag)=(Aúf|g).
On dit que Aest autoadjoint (ou hermitien)siAú=A.

Th. et Déf. (opérateurs inversibles, isométriques et unitaires)
IUn opérateur Aest inversible s’il existe un opérateur (borné)
Btel que AB =BA =I.
IUn opérateur Aest isométrique si
’f,gœH,(Af ,Ag)=(f,g)…AúA=I.
IUn opérateur Aest unitaire si Aest isométrique et inversible.
Aest unitaire …AúA=AAú=I.