I. Rappels sur les espaces vectoriels normés et compléments sur les

I. Rappels sur les espaces vectoriels normés et
compléments sur les espaces de Hilbert
Applications linéaires continues
Soient (E , Î ÎE ) et (F , Î ÎF ) deux espaces vectoriels normés. Soit
L : E æ F une application linéaire.
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes
1. L est continue en tout point de E ;
2. L est continue en 0 ;
3. Il existe C > 0 tel que
’f œ E ,
ÎL(f )ÎF Æ C Îf ÎE .
Norme d’opérateur
Pour L : E æ F application linéaire continue, on définit la norme
d’opérateur de L par
ÎL(f )ÎF
.
f ”=0 Îf ÎE
ÎLÎ = sup
La norme d’opérateur, aussi notée Î ÎL(E ,F ) , est une norme sur
l’espace vectoriel L(E , F ) des applications linéaires continues de E
dans F .
Dual d’un espace de Hilbert et théorème de Riesz
Soit H un espace de Hilbert. Pour h œ H, on note ⇤h la forme
linéaire définie par : ’f œ H, ⇤h (f ) = (h|f ).
Lemme.
La forme linéaire ⇤h est continue et Î⇤h Î = ÎhÎ.
Théorème de Riesz. Soit ⇤ une forme linéaire continue sur H.
Alors il existe un unique h œ H tel que ⇤ = ⇤h , i.e.
’f œ H,
⇤(f ) = (h|f ).
L’ensemble des formes linéaires sur H est appelé le dual de H.
II. Généralités sur les opérateurs (bornés)
Soit H un espace de hilbert.
Def. On appelle opérateur borné sur H une application linéaire
continue de H dans lui-même.
La définition d’opérateur non borné n’étant pas au programme de
ce cours, on appellera souvent opérateur tout court un opérateur
borné.
Th. et Déf. (adjoint d’un opérateur) Soit A un opérateur
(borné). Il existe un unique opérateur (borné), noté Aú , vérifiant
’f , g œ H,
(f |Ag) = (Aú f |g).
On dit que A est autoadjoint (ou hermitien) si Aú = A.
Th. et Déf. (opérateurs inversibles, isométriques et unitaires)
I
Un opérateur A est inversible s’il existe un opérateur (borné)
B tel que AB = BA = I.
I
Un opérateur A est isométrique si
’f , g œ H,
I
(Af , Ag) = (f , g)
…
Aú A = I.
Un opérateur A est unitaire si A est isométrique et inversible.
A est unitaire
…
Aú A = AAú = I.
III. Ensemble résolvant – spectre – valeurs propres
I
On appelle ensemble résolvant d’un opérateur A, et on le note
fl(A), l’ensemble des scalaires ⁄ tel que A ≠ ⁄I soit inversible.
I
On appelle spectre de A, et on le note ‡(A), le
complémentaire de fl(A).
I
On appelle valeur propre de A tout scalaire ⁄ tel que
Ker(A ≠ ⁄I) ”= {0}. Les vecteurs non nuls f vérifiant
(A ≠ ⁄I)f = 0 sont appelés vecteurs propres de A relatifs à ⁄.
On appelle spectre ponctuel, et on le note ‡p (A), l’ensemble
des valeurs propres de A.
En dimension finie n, le spectre est exactement l’ensemble des
valeurs propres. En effet, si A ≠ ⁄I est injectif, il est de rang n et
donc bijectif.
La situation est très différente en dimension infinie, où l’inclusion
‡p (A) µ ‡(A) peut être stricte.
Exemple d’un opérateur de multiplication dans L2 (R).
Thm. (Spectre des opérateurs hermitiens)
Le spectre d’un opérateur hermitien est contenu dans R.
De plus, les sous-espaces propres d’un opérateur hermitien
correspondant à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Corollaire. Si A est hermitien et H séparable, alors ‡p (A) est
dénombrable.
Thm.
(i) Si U est un opérateur isométrique, alors les valeurs propres de
U sont de module 1. De plus, deux vecteurs propres relatifs à des
valeurs propres différentes sont orthogonaux.
(ii) Si U est un opérateur unitaire, alors le spectre de U est
contenu dans le cercle unité |⁄| = 1.
IV. Rappels
Thm. (Opérateurs hermitiens en dimension finie)
Si A est un opérateur autoadjoint dans un espace hermitien H de
dimension finie, alors il existe une base orthonormale de H formée
de vecteurs propres de A.
Thm. (Compacité de la boule unité)
La boule unité fermée B d’un espace vectoriel normé E est
compacte si et seulement si E est de dimension finie.
V. Opérateurs compacts
H désigne dans cette section un espace de hilbert séparable de
dimension infinie.
Déf. Un opérateur A est compact si, de toute suite bornée (fn )
d’éléments de H, on peut extraire une sous-suite f„(n) telle que la
suite (Af„(n) ) converge.
Thm. A est compact si et seulement si l’image par A de la boule
unité de H est contenu dans un compact de H.
Caractérisation des opérateurs compacts par les opérateurs
de rang fini.
Def. On dit qu’un opérateur B est de rang fini si B(H) (l’image
par B de H) est de dimension finie.
Thm. Un opérateur (borné) A est compact si et seulement si il
est limite d’opérateurs de rang fini.
Propriétés.
L’adjoint d’un opérateur compact est compact.
La composée d’un opérateur compact et d’un opérateur (borné)
est un opérateur compact.
VI. Théorie spectrale des opérateurs compacts
Thm. (Alternative de Fredholm)
Soit A un opérateur compact sur l’espace de Hilbert H. Alors,
(i) Ker(I ≠ A) est de dimension finie,
(ii) Im(I ≠ A) est fermé et Im(I ≠ A) = Ker(I ≠ Aú )‹ ,
(iii) Ker(I ≠ A) = {0} si et seulement si Im(I ≠ A) = H,
(iv) dim Ker(I ≠ A) = dim Ker(I ≠ Aú ).
Mode d’emploi (Alternative de Fredholm)
Soit A un opérateur compact.
On a l’alternative suivante :
I
Soit pour tout f œ H, l’équation u ≠ Au = f a une unique
solution ;
I
Soit l’équation u ≠ Au = 0 a des solutions non nulles.
Dans ce cas, l’espace des solutions du problème homogène est
de dimension finie et l’équation non homogène
u ≠ Au = f
a une solution si et seulement si f œ Ker(I ≠ Aú )‹ .
Thm. (Spectre d’un opérateur compact)
Soit A un opérateur compact. Alors
(i) 0 œ ‡(A)
(ii) ‡(A) \ {0} = ‡p (A) \ {0}
(iii) on a l’une des situations suivantes
I
I
I
Soit ‡(A) = {0}
Soit ‡(A) \ {0} est fini
Soit ‡(A) \ {0} est une suite qui tend vers 0.
Thm. (Un opérateur autoadjoint compact est diagonalisable)
Soit A un opérateur autoadjoint compact de H.
Alors, il existe une base hilbertienne de H formée de vecteurs
propres de A.
VII. Application aux EDP elliptiques du second ordre
Cas modèle :
où
Lu = ≠ u + u ≠ c(x )u
c(x ) est une fonction réelle donnée, C Œ et à support compact.
(on peut considérablement affaiblir ces hypothèses)
Objectif : pour une fonction f donnée, résoudre le problème
Lu = ≠ u + u ≠ c(x )u = f .
C’est-à-dire préciser les propriétés d’existence et d’unicité de
solution u de (P1) en fonction de f .
(P1)
Stratégie :
On pose
v = ≠ u + u.
Le problème (P1) se transforme en
(I ≠ A)v = f
(P2)
où on a défini l’opérateur
Ë
Av = c(x ).(≠
È
+ I)≠1 v .
On utilise l’alternative de Fredholm sur le problème (P2) et on
revient au problème initial.
Mise en œuvre
+ I)≠1 est défini sur L2 par Fourier
I
L’opérateur (≠
I
L’opérateur A sur L2 est compact
I
Alternative de Fredholm pour I ≠ A :
- Soit pour tout f œ L2 , il existe une unique solution v œ L2
de (P2).
- Soit l’ensemble
N ú = {w œ L2 tel que w ≠ Aú w = 0}
est non réduit à {0}, de dimension finie, et le problème
v ≠ Av = f
admet une solution si et seulement si f œ (N ú )‹ .
Interprétation, retour au problème initial, notion de solution
On introduit les espaces de Sobolev
Ó
Ô
H s (Rd ) = u œ L2 (Rd ), |›|s û œ L2 (Rd ) ,
s œ N.
1. Orthogonalité :
Si w œ N ú alors w œ H s pour tout s œ N et vérifie au sens
classique
≠ w + w ≠ c(x )w = 0.
La condition d’existence de solution au problème (P2) est donc
l’orthogonalité de f à toutes les solutions du problème homogène.
2. Notion de solution
On peut se satisfaire de la notion de solution sous jacente à la
façon de résoudre le problème :
Pour f œ L2 , u est solution de ≠ u + u ≠ c(x )u = f si et
seulement s’il existe v œ L2 tel que
≠ u+u =v
(en particulier u œ H 2 )
et
au sens suivant (|›|2 + 1)û = v̂
v ≠ c(x )u = f .
3. Solution classique
Pour obtenir une solution classique (u de classe C 2 ), il faut
supposer plus de régularité sur la fonction f (tout en gardant, si
N ú ”= {0}, les mêmes propriétés nécessaires d’orthogonalité).
Dans ce cadre, même si l’on veut obtenir un résultat final écrit
dans des espaces du type C p , on utilise les espaces de Sobolev
pour transmettre la régularité de f à u.
Par exemple, f œ H
solution classique.
d+1
2
est suffisant pour assurer que u est une