Logique du premier ordre - Département de Mathématiques

CHAPITRE VII
Logique du premier ordre
Résumé. • La logique du premier ordre est la logique des formules usuelles, avec la
contrainte que les variables représentent toutes des objets du même type.
• Une signature Σ est un choix de symboles de constante, d’opérations et de relations
spécifiques, et on lui associe une logique du premier ordre LΣ .
• Les termes de LΣ sont construits récursivement à partir des variables et des symboles
de constantes à l’aide des symboles d’opération; les formules atomiques de LΣ sont
construites à partir des termes en utilisant l’égalité et les symboles de relation; les
formules de LΣ sont construites à partir des formules atomiques à l’aide des connecteurs
booléens et des quantifications. Une formule close est une formule sans variable libre.
• La sémantique de LΣ transcrit la notion usuelle de satisfaction d’une formule F dans
une structure, ou réalisation, R, notée R |= F. On dit qu’une réalisation M est un
modèle d’un ensemble de formules T si M |= F est vrai pour tout F dans T.
• Une preuve de LΣ formalise la notion usuelle de démonstration ; on utilise les règles
de coupure et de généralisation, plus des axiomes correspondant à des schémas usuels.
• Toute formule close prouvable est valide. Le théorème de complétude affirme la réciproque : toute formule close valide est prouvable. Plus généralement, tout ensemble consistant (fini ou infini) de formules closes a un modèle.
• Le théorème de compacité affirme l’existence d’un modèle pour une théorie du premier
ordre dont tout sous-ensemble fini a un modèle.
• Le théorème de Lowenheim–Skolem affirme que toute théorie du premier ordre dans
une signature dénombrable qui a des modèles infinis a des modèles infinis de toute
cardinalité.
• La logique du premier ordre ne permet pas de caractériser la structure (N, +, ×) :
il existe des modèles non-standards de l’arithmétique, structures non isomorphes à
(N, +, ×) mais vérifiant exactement les mêmes formules closes du premier ordre.
• Pour toute propriété P exprimable en logique du premier ordre par une formule F,
il est raisonnable de modéliser l’existence d’une démonstration pour P par l’existence
d’une preuve formelle pour F.
• Comme tous les objets usuels peuvent être représentés par des ensembles purs, il est
raisonnable d’adopter le cadre « théorie des ensembles + logique du premier ordre »
comme cadre formel global, c’est-à-dire de tenir pour établis les résultats dont la formalisation a une preuve au sens de la logique du premier ordre à partir des axiomes de
la théorie des ensembles.
• Chaque résultat de prouvabilité est lui-même établi dans un contexte métamathématique, qui peut être formalisé.
• La logique du second ordre a un pouvoir d’expression supérieur à la logique du premier
ordre, mais elle ne satisfait aucun des théorèmes généraux satisfaits par celle-ci.
! L’objet de ce chapitre est d’introduire la logique du premier ordre,
et d’en démontrer les résultats de base qui seront utilisés dans la suite
du texte, à savoir principalement le théorème de complétude de Gödel,
le théorème de compacité, et le théorème de Lowenheim–Skolem.
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Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Le plan du chapitre est le suivant. Dans la première partie, on
définit la syntaxe de la logique LΣ , sa sémantique basée sur la notion de structure de type Σ, et on examine le pouvoir d’expression des
logiques du premier ordre en discutant quelques exemples de propriétés
exprimables par des formules du premier ordre. Dans la seconde partie, on définit une notion de preuve formelle fondée sur les règles de
coupure et de généralisation et sur une famille infinie d’axiomes correspondant à des schémas de démonstration usuels. On établit ensuite
par la méthode dite de Henkin le théorème de complétude de Gödel,
qui garantit que toute formule valide est prouvable. La troisième partie
regroupe quelques applications du théorème de complétude, à savoir le
principe des démonstrations sémantiques, les théorèmes de compacité
et de Lowenheim–Skolem, et la notion d’équivalence élémentaire, qu’on
applique au cas des modèles non-standards de l’arithmétique, dont on
montre qu’il existe une famille non dénombrable. Dans la quatrième partie, on discute l’adoption de la logique du premier ordre et de la notion
de preuve associée comme modèle du raisonnement mathématique. Enfin, en appendice, on mentionne brièvement la logique du second ordre
et on montre que celle-ci ne satisfait ni le théorème de compacité, ni le
théorème de Lowenheim–Skolem.
"
! La logique du premier ordre, aussi appelée calcul des prédicats, est la logique des formules
mathématiques usuelles, telles que
∀x, y ∃z (x + z = y + 1),
ou
∀ε> 0 ∃δ> 0 (|x − x0 | < δ⇒|f (x) − f (x0 )| < ε).
Il n’est pas surprenant qu’on puisse codifier l’emploi des différents symboles de façon à décrire
précisément les formules, puis, suivant le schéma général présenté au chapitre VI, définir une
sémantique calquée sur l’usage courant et pouvant être qualifiée de naturelle et, par ailleurs,
dégager des règles de déduction valides elles aussi fondées sur les principes de démonstration
habituels. Tout cela n’est que la mise en forme d’une sténographie.
L’intérêt de cette formalisation tient à la possibilité de démontrer des théorèmes portant
sur les démonstrations prises elles-mêmes comme objet d’étude. On peut se douter qu’il n’y a
à espérer aucune recette nouvelle pour inventer des démonstrations et résoudre miraculeusement des problèmes ouverts, mais on constatera que l’approche mène à des résultats non triviaux, dont certains ont eu récemment des applications inattendues dans divers domaines des
mathématiques. Pour ce qui est de la théorie des ensembles, où les formules jouent un rôle
fondamental, il n’est pas étonnant que les théorèmes de logique y soient importants et, de fait,
on verra dans la troisième partie de ce texte que le théorème de complétude de la logique du
premier ordre mène directement au changement radical de point de vue qui marque le début de
la théorie moderne.
L’existence de résultats non triviaux, typiquement le théorème de complétude qui montre que
les formules valides sont exactement celles qui possèdent une preuve d’un certain type syntaxique
simple, explique l’intérêt spécifique apporté à la logique du premier ordre, par opposition à
d’autres logiques peut-être aussi naturelles. Le cas des logiques du second ordre sera mentionné
afin justement de mettre en évidence toutes les lacunes de celles-ci et faire ressortir par contraste
les qualités propres à la logique du premier ordre.
$
1. Logiques du premier ordre
! On décrit la syntaxe et la sémantique de la logique du premier ordre LΣ associée à un choix de symboles Σ : on définit la famille des
formules, et on montre comment attribuer une valeur de vérité à une
VII.1. Logiques du premier ordre
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formule dans le cadre d’une réalisation convenable, ici une structure de
type Σ. Cette section est purement descriptive.
"
! Comme au chapitre VI avec la logique propositionnelle, le principe est de mimer autant
que faire se peut l’usage courant : autrement dit, il s’agit d’organiser en un système formel
précis les énoncés mathématiques usuels. Les définitions dans la suite sont multiples, mais on
devrait se convaincre rapidement que toutes les notions sont, au moins implicitement, déjà
toutes familières : la logique du premier ordre est la prose du mathématicien...
$
1.1. Formules du premier ordre.
! On commence par la définition des formules. Le point spécifique, qui
explique qu’il y ait des logiques du premier ordre plutôt qu’une seule, est
l’option consistant à fixer un ensemble de symboles non logiques, appelé
signature.
"
! L’examen d’un texte mathématique quelconque permet de constater que les formules qui y
apparaissent obéissent à un même schéma général, à savoir assembler, à l’aide de connecteurs
booléens ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔ et de quantifications ∀ et ∃, des formules simples du type t1 = t2 ,
t1 < t2 ,..., d’une façon générale r (t1 , ..., tk ) où r désigne une relation k-aire, et où t1 ,..., tk
représentent des éléments de la structure considérée et sont eux-mêmes soit des variables,
soit des noms d’éléments particuliers, soit des combinaisons de variables et de noms à l’aide
d’opérations ou de fonctions, sur le modèle de
(1.1)
x1 ∀x
x2 (x
x1 # x 2 ⇔ ∃x
x3 (x
x1 + x 3 = x 2 )).
∀x
C’est ce type de formule qu’on se propose de définir et d’étudier ici sous le nom de formule du
premier ordre.
Deux options sont retenues. La première est que, le but étant d’exprimer les propriétés
de structures variées, il est plus commode d’introduire une famille de logiques plutôt qu’une
logique unique. Ces logiques sont toutes bâties sur le même modèle, mais chacune dépend d’un
choix spécifique des opérations et des relations considérées. Par exemple, en sus des variables
et des symboles logiques (dont l’égalité) communs à toutes les logiques du premier ordre, la
formule (1.1) met en jeu une relation binaire # et une opération binaire +, et on dira qu’il
s’agit d’une formule du premier ordre relativement à la signature 1 consistant en un symbole de
relation binaire # et un symbole d’opération binaire + ou, plus généralement, à toute signature
contenant ces symboles.
La seconde option est d’établir une claire distinction entre les symboles qui figurent dans
une formule et les objets mathématiques qu’ils représentent : même si le contexte suggère que
# représente une relation d’ordre, voire plus précisément un certain ordre, par exemple l’ordre
canonique des entiers naturels, il est utile pour la suite de maintenir les formules à un niveau
purement syntaxique, afin notamment de pouvoir interpréter une même formule dans plusieurs
contextes distincts et, par exemple, pouvoir déclarer que la même formule (1.1) est vraie dans N
et fausse dans Z. De la sorte, la formule elle-même, qui n’est qu’un mot, n’est ni vraie ni fausse
hors d’un contexte spécifique. Pour rendre cette distinction visible, on utilisera, au moins dans
un premier temps, des notations distinctes, typiquement pour une relation (ensemble de kuplets) et pour le symbole qui la représente ; pour ne pas compliquer, lorsqu’une notation pour
une relation ou une opération est usuelle, on utilisera par défaut la même notation en gras pour
le symbole correspondant. Par exemple, à côté de la relation d’appartenance ∈, on utilisera ∈
comme un symbole de relation binaire. La distinction est que ∈ est un ensemble de couples,
alors que ∈ n’est qu’une lettre.
$
Définition 1.1. (signature) On appelle signature un ensemble, fini ou infini, de symboles avec, pour chacun, la spécification d’un type pouvant être
1
ici au sens d’ensemble de signes
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Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
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« constante » 2 , « opération »,
ou « relation », et, dans les deux derniers cas, d’un
entier naturel non nul appelé arité.
A chaque signature Σ on va associer une logique du premier ordre LΣ .
Exemple 1.2. (signatures Σens , Σarith , logiques Lens , Larith ) On a déjà mentionné la signature ensembliste Σens comprenant un unique symbole de relation
∈}, qu’on peut écrire plus précisément comme
binaire ∈ ; on a donc Σens = {∈
∈r2 } pour indiquer que ∈ est un symbole de relation (« r ») binaire. De
Σens = {∈
même, les formules!ensemblistes étendues du chapitre III correspondent à la signature {∅∅c , { •, •}o2 , o1 , ∪ o2 , P o1 , ∈ r2 , ⊆ r2 }, qu’on notera Σens+ , et l’arithmétique de
Peano est exprimée par des formules mettant en jeu la signature {00c , S o1 , + o2 , · o2 },
qu’on notera Σarith , voire la signature {00c , S o1 , + o2 , · o2 , # r2 } notée Σarith+ . Dans toute
la suite, on notera Lens la logique du premier ordre associée à la signature Σens ,
et, de même, Lens+ , Larith et Larith+ les logiques associées à Σens+ , Σarith et Σarith+
respectivement.
La construction des formules de LΣ se fait en plusieurs étapes. On commence
avec des termes, destinés à représenter des objets mathématiques du domaine
étudié. Comme dans le cas du calcul propositionnel, on fixe une suite infinie
de variables x 1 , x 2 , . . . ; on s’autorise à utiliser des métavariables, c’est-à-dire à
utiliser x , y , etc. pour représenter une variable non spécifiée.
Définition 1.3. (terme) Soit Σ une signature. On appelle terme de LΣ tout
mot obtenu à partir des variables xi et des constantes de Σ en appliquant un nombre fini de transformations (t1 , ..., tk ) +→ s (t1 , ..., tk ) avec s symbole d’opération
k-aire dans Σ.
Exemple 1.4. (terme) Les mots
(1.2)
∅,
x2,
P (∅∅) ∪ x 2 ,
P(x
x1 ∪ ∅ )) ∪ x 2
P (P
sont des termes de Lens+ . On suit l’usage d’écrire (t1 )ss(t2 ) pour s (t1 , t2 ) quand s
est un symbole binaire, et, comme pour le calcul propositionnel, on omet des parenthèses pour alléger l’écriture lorsqu’il n’y a pas d’ambiguı̈té. Noter que, si une
signature Σ ne comporte aucun symbole de constante ou d’opération, ainsi que
c’est le cas de la signature Σens , alors les seuls termes de LΣ sont les variables x i .
On introduit maintenant les formules, qui expriment des relations entre des
termes.
Définition 1.5. (formule) Soit Σ une signature. On appelle formule atomique de LΣ tout mot de la forme t1 = t2 ou r (t1 , ..., tk ) avec r symbole de
relation k-aire de Σ, et t1 , ..., tk termes de LΣ . On appelle formule de LΣ tout
mot pouvant s’obtenir à partir de formules atomiques en Σ en appliquant un
L’usage qu’on en fera dans la suite montrera qu’on peut assimiler les constantes à des
opérations à zéro argument, et donc ne distinguer que deux types de symboles, d’opération et
de relation.
2
VII.1. Logiques du premier ordre
183
nombre fini de transformations F +→ ¬(F), (F, G) +→ (F)∧(G), (F, G) +→ (F)∨(G),
xi (F).
xi (F), et F +→ ∀x
(F, G) +→ (F)⇒(G), F +→ ∃x
Comme dans le cas des logiques propositionnelles du chapitre VI, et comme
il est d’usage, on s’autorisera à supprimer des parenthèses dans les termes et les
formules pour autant que ceci ne crée pas d’ambiguı̈té.
Exemple 1.6. (formule) Le mot x 2 ∈ P (∅∅) ∪ x 2 est une formule atomique
de Lens+ , tandis que
(1.3)
x2 ∈ (P
P(∅∅) ∪ x2 ))⇒(P
P(x
x3 ) ⊆ ∅)
x2 (x
∃x
est une formule (non atomique) de Lens+ .
Tant l’ensemble des termes de LΣ que celui des formules de LΣ est défini
comme clôture d’un ensemble de base par un certain nombre de transformations.
Comme dans le cas des formules propositionnelles, on en déduit un critère de
démonstration par induction.
Proposition 1.7. (induction) Soit Σ une signature. Pour montrer qu’une
propriété P est vraie pour tous les termes de LΣ , il suffit de montrer
• que P est vraie pour les variables x i et les symboles de constante de Σ,
• et que, pour chaque symbole d’opération k-aire s de Σ, si P est vraie
pour t1 ,..., tk , alors elle est vraie aussi pour s (t1 , ..., tk ).
Pour montrer qu’une propriété P est vraie pour toutes les formules de LΣ , il
suffit de montrer
• que P est vraie pour les formules atomiques,
• que, si P est vraie pour F, alors elle est vraie aussi pour ¬F,
• que, si P est vraie pour F et G, alors elle est vraie aussi pour F∧G, F∨G, et
F⇒G, et
• que, si P est vraie pour F, alors, pour toute variable x , elle est vraie pour
x(F) et ∀x
x(F).
∃x
Une formule étant un mot, chaque symbole qui y figure a une position bien
définie, qu’on peut repérer par son rang en partant du début. On appelle occurrence d’un symbole s dans une formule F tout entier n tel que le n-ème symbole
de F soit s. Par exemple, x 2 a trois occurrences dans (1.3), à savoir 2, 4, et 12 3 .
Définition 1.8. (libre, liée) Pour chaque variable x i et chaque formule F, on
définit inductivement l’ensemble des occurrences liées et libres de x i dans F par
les règles suivantes :
• si F est sans quantificateur, toutes les occurrences de x i dans F sont libres ;
xi (G) ou ∃x
xi (G), toutes les occurrences de x i dans F sont liées ;
• si F est ∀x
en prenant ici le parti de compter x 2 comme un symbole unique ; une option alternative
(plus pertinente pour les questions de complexité algorithmique) serait de considérer x 2 comme
étant un mot de longueur 2
3
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Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
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xj (G) ou ∃x
xj (G) avec j -= i, les occurrences libres
si F est ¬G, ou G c H, ou ∀x
4
et liées de x i dans F viennent de celles de G et, le cas échéant, H.
•
Par exemple, dans (1.3), la variable x 2 a trois occurrences liées, tandis que la
variable x 3 n’a qu’une occurrence, qui est libre. On prendra soin qu’une même
variable peut avoir simultanément des occurrences libres et des occurrences liées
à l’intérieur d’une formule.
! Comme dans le cas des formules propositionnelles, on peut associer inductivement un arbre
fini à tout terme, puis à toute formule, comme illustré sur la figure 1. Sous cette forme, la notion
de portée d’un quantificateur est claire: une occurrence de la variable x i dans une formule F est
liée si le sommet qui lui est associé dans l’arbre a(F) se trouve sous au moins un quantificateur ∃
ou ∀ dont le fils gauche est étiqueté x i , et libre sinon.
$
⇒
∪
x2
P
x2
P
⊆
∈
P ∅
x2 ∪ x3
∪
x1
∃
P x2
∅
∅
P(x
x1 ∪ ∅ )) ∪ x 2 et à la forFigure 1. Arbres associés au terme P (P
x2 (x
x2∈ (P
P(∅∅) ∪ x 2 ))⇒(P
P(x
x3 ) ⊆ ∅ ) ; on lit sur l’arbre associé que la varimule ∃x
able x 2 a trois occurrences liées puisque situées sous un quantificateur de même
x2 , tandis que la variable x 3 n’a qu’une occurrence, qui est libre puisque
nom, ici ∃x
située sous aucun quantificateur.
Définition 1.9. (formule close, théorie) Une formule sans occurrence libre de
variable est dite close 5 . Une famille de formules closes est appelée une théorie.
x2 (x
x1 = x 2 + 1 ) ∧ ∀x
x1 (x
x1 = x 1 )
Exemple 1.10. (formule close) La formule ∃x
n’est pas close, puisque la première occurrence de x 1 (qui en a quatre en tout)
x2 (x
x1 = x 2 + 1 ) est close.
x1 ∃x
est libre. Par contre, ∀x
On somplète la description de la syntaxe de LΣ avec quelques conventions de
notation supplémentaires.
Convention 1.11. (i)(équivalence) On note F ⇔ G pour (F⇒G)∧(G⇒F).
Cette formulation est imprécise mais devrait être claire : par construction, G est un sousmot de F, et donc chaque symbole apparaissant dans G a une contrepartie bien définie dans F,
même si le rang compté depuis la gauche n’est pas le même.
5
ou encore est appelée énoncé
4
VII.1. Logiques du premier ordre
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(ii) (quantifications conditionnelles) Si r est un symbole de relation binaire,
xry (...) pour ∀x
x(x
xry ⇒...) 6 .
xry (...) pour ∃x
x(x
xry ∧...), et ∀x
on note ∃x
(iii)(abus d’écriture) • On écrit t1 -= t2 pour ¬(t1 = t2 ) ;
• On écrit F∧G∧H pour F∧(G∧H), et F∨G∨H pour F∨(G∨H) ;
#
#
• Pour r , r symboles de relation binaire ou le symbole =, on écrit t1r t2r t3
pour (t1r t2 )∧(t2r # t3 ) ;
x, y pour ∃x
x∃yy , et ∀x
x, y pour ∀x
x∀yy .
• On écrit ∃x
x(F(x
x)) pour ∃x
x(F(x
x)) ∧ ∀x
x, y ((F(x
x)∧F(yy )) ⇒ x = y ).
• On écrit ∃!x
! Comme dans le cas de la logique propositionnelle au chapitre VI, la description précédente
de la syntaxe de la logique du premier ordre LΣ fait appel à divers symboles non définis, et,
tant pour combler cette lacune que pour les développements ultérieurs, il est utile de définir ces
éléments manquants ou, tout au moins, d’en fixer une contrepartie dans le monde des ensembles.
$
Définition 1.12. (logique LΣ ) (i) Pour chaque entier i non nul, on note x i
pour (0, i). On appelle symbole de constante toute suite finie de la forme (1, 0, a),
et, pour k entier non nul, symbole d’opération k-aire toute suite finie de la
forme (1, k, a), et symbole de relation k-aire toute suite finie de la forme (2, k, a) ;
on appelle signature tout ensemble de symboles de constante, d’opération et de
relation.
(ii) Pour toute signature Σ, l’ensemble des termes de LΣ est défini comme le
plus petit ensemble contenant les variables x i et les symboles de constante de Σ,
et clos par chacune des transformations (t1 , ..., tk ) +→ (s, t1 , ..., tk ) pour s symbole
d’opération k-aire de Σ.
(iii) On note = la suite (2, 2, 0). Pour toute signature Σ, l’ensemble des
formules atomiques de LΣ est défini comme l’ensemble des suites de la forme
(=, t1 , t2 ) et (r, t1 , ..., tk ), avec r symbole de relation k-aire de Σ et t1 , ..., tk termes
de LΣ .
(iv) On pose ¬ := 1, ⇒ := 2, ∨ := 3, ∧ := 4, et, pour i entier non nul, on note
xi la suite (4, i). Pour toute signature Σ, l’ensemble des
xi la suite (3, i), et ∀x
∃x
formules de LΣ est défini comme le plus petit ensemble contenant les formules
atomiques de LΣ , et clos par chacune des transformations F +→ (¬, F ), (F, G) +→
xi , F ), F +→ (∀x
xi , F ),
(⇒, F, G), (F, G) +→ (∨, F, G), (F, G) +→ (∧, F, G), F +→ (∃x
! La définition précédente calque et précise celles des définitions 1.1, 1.3, et 1.5, tout en rendant
explicite la structure d’arbre des formules. De la sorte, on attribue à chaque terme t et à chaque
formule F des contreparties t et F qui sont des ensembles (finis). Par exemple, si t est le terme
P(x
x1 ∪ ∅ )) ∪ x 2 considéré dans la figure 1, l’ensemble t qui en est la contrepartie est la suite
P!(P
P, (P
P, (∪
∪, x 1 , ∅ ))), x 2 ), soit, en supposant (par exemple) qu’on a choisi les représentations
( , (P
!
= (1, 1, 2), P = (1, 1, 3), ∪ = (1, 2, 3), et ∅ = (1, 0, 2), la suite
((1, 1, 2), ((1, 1, 3), ((1, 1, 3), ((1, 2, 3), (0, 1), (1, 0, 2)))), (0, 2)),
dont on remarque qu’elle appartient à Vω .
L’apparente dissymétrie entre les cas de ∃ et ∀ est justifiée par le désir de maintenir
xry (...)) et
le comportement vis-à-vis de la négation sous la forme d’une équivalence de ¬(∃x
xry (¬(...)).
∀x
6
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Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
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Il sera commode dans la suite de fixer une signature une signature de référence.
$
Définition 1.13. (signature Σmax ) On note Σmax la signature consistant en
tous les symboles (1, k, i) et (2, k, i) avec i entier non nul. On note Lmax la logique
du premier ordre associée à la signature Σmax .
! Comme dans l’exemple précédent, on remarque que, pour toute signature Σ incluse dans Σmax ,
tout terme et toute formule de LΣ est un ensemble fini appartenant à Vω . Les signatures de
l’exemple 1.2 entrent dans ce cadre, pour peu qu’on décide que le symboles de relation ∈ et # sont
respectivement les suites (2, 2, 1) et (2, 2, 2), que le symbole de constante 0 est la suite (1, 0, 1),
et que les symboles d’opération S , + , et · sont respectivement (1, 1, 1), (1, 2, 1), et (1, 2, 2). On
laisse au lecteur le soin de choisir des définitions pour les symboles de Σens+ .
Comme dans le cas propositionnel, on pourra dans la suite oublier la distinction entre une
formule F et sa contrepartie ensembliste F. Malgré tout, en comme dans le cas des entiers, on
continuera à utiliser des caractères spécifiques F, G, ... (plutôt que F, G,...) pour les formules
afin d’insister sur le fait que, même s’ils sont représentables dans les ensembles, ces objets ne
sont a priori pas des ensembles, et ne font donc pas partie du monde des ensembles.
$
1.2. Sémantique.
! Comme dans le cas de la logique propositionnelle, on attribue des
valeurs de vérité aux formules du premier ordre. L’évaluation d’une formule est définie par référence à une réalisation convenable, à savoir un
contexte où on interprête les symboles de base pour ensuite déterminer
de proche en proche la valeur de la formule.
"
! De même que la syntaxe, la sémantique des logiques du premier ordre n’est définie que pour
refléter l’usage des formules comme sténographie des mathématiques, autrement dit déclarer
une formule F formellement vraie quand la propriété qu’elle exprime est vraie dans un sens
intuitif supposé clair.
Dans le cas propositionnel, les seuls symboles non logiques sont les variables propositionnelles, et, pour initialiser l’évaluation, on attribue une valeur 0 ou 1 à ces variables. Dans le cas
des logiques du premier ordre, les symboles non logiques sont d’une part les variables, et d’autre
part les symboles de constante, d’opération et de relation spécifiques à la signature considérée.
Calquée sur l’usage escompté des formules, l’initialisation de l’évaluation se fait en fixant un
domaine où les variables sont astreintes à prendre leurs valeurs, et une interprétation de chaque
symbole de la signature considére Σ par une opération ou une relation sur le domaine. Une telle
donnée est appelée structure de type Σ, ou, de façon exactement synomyme, réalisation de LΣ ,
une expression qui souligne bien l’idée du passage du niveau abstrait des formules où rien n’est
ni vrai ni faux à un niveau concret où les valeurs de vérité prennent un sens.
$
Définition 1.14. (structure, réalisation) Soit Σ une signature. Une structure
de type Σ, aussi appelée réalisation de LΣ , est une suite R composée d’un ensemble non vide Dom(R) appelé domaine de R, et, pour chaque symbole s de Σ,
d’une interprétation sR de s dans R consistant,
• pour un symbole de constante, en un élément de Dom(R),
k
• pour un symbole d’opération k-aire, en une application de Dom(R) dans
Dom(R),
• pour un symbole de relation k-aire, en une relation k-aire sur Dom(R), c’està-dire une application de Dom(R)k dans {0, 1} ou, de façon équivalente, une partie
de Dom(R)k .
VII.1. Logiques du premier ordre
187
Exemple 1.15. (structure) Soit R la suite (N, 0, S, +, ·). Alors R est une
réalisation de Larith : le domaine est l’ensemble N des entiers naturels, l’interprétation 0 R du symbole de constante 0 dans R est l’entier 0, et, de la même façon,
l’interprétation S R du symbole S est l’application successeur, l’interprétation + R
du symbole + est l’addition des entiers, etc. La suite (Z, 0, S, +, ·) 7 est une autre
structure de type Σarith , dont le domaine est cette fois l’ensemble des entiers
√
relatifs, et de même (Q, 0, S, +, ·), mais aussi (N, 2,2 , +, +), ou (R, π, , −, +).
! Dès lors que les formules ne sont que de nature syntaxique, donc indépendante de toute
interprétation et de toute structure, le choix des symboles est indifférent. Dans le cas de l’exemple 1.15 et des formules d’arithmétique, le choix de symboles tels que 0 ou de + est bien sûr
influencé par le souci de lisibilité dès lors qu’on a en vue l’interprétation dans la structure particulière R. Mais rien n’interdirait d’utiliser d’autres symboles, de même que, symétriquement,
rien (sinon les risques pratiques de confusion) n’interdit d’interpréter les symboles 0 ou + par
le réel π ou la soustraction des réels, comme dans la dernière structure considérée ci-dessus.
Il est maintenant facile de définir inductivement la valeur d’une formule dans une structure en transcrivant la signification usuelle des connecteurs et des quantificateurs. Le but est
d’obtenir une valeur « vrai » ou « faux » — ou, de façon équivalente, 1 ou 0 — pour les formules
closes, c’est-à-dire sans variable libre. Si p variables ont des occurrences libres, la valeur de la
formule n’est définie que si des valeurs prises dans le domaine de la structure sont attribuées
à ces variables, et la valeur de la formule dans une structure R se trouve naturellement définie
comme une fonction de Dom(R)p dans {0, 1} et non un élément défini de {0, 1}.
$
x1 , ..., x p ) un terme
Notation 1.16. (variables) Ainsi qu’il est usuel, on note t(x
x1 , ..., x p ) une
où n’apparaissent que des variables parmi x 1 , ..., x p , et, de même, F(x
formule où les seules variables ayant des occurrences libres sont parmi x 1 , ..., x p .
Noter l’analogie avec les polynômes, qu’on peut voir comme des termes particuliers. Enfin, on utilise "a comme abréviation pour une suite finie (a1 , ..., ap ).
Définition 1.17. (p-valeur) Soit Σ une signature, et R une réalisation de LΣ .
x1 , ..., x p ) terme de LΣ , on appelle p-valeur de t dans R l’application tR,p
Pour t(x
de Dom(R)p dans Dom(R) définie inductivement par
"
si t est x i ,
ai
tR,p ("a) =
R,p
R,p R,p
s (t1 ("a), ..., tk ("a)) si t est s (t1 , ..., tk ).
Il y a en principe une ambiguı̈té due à l’utilisation de la même notation pour les diverses
additions : on pourrait noter plus précisément +N , +Z , etc. ; en pratique, on sait bien qu’il n’y
a pas de danger puisque +N est la restriction de +Z , il n’empêche que ce n’est pas la même
opération
7
188
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
x1 , ..., x p ) formule de LΣ , on appelle p-valeur de F dans R l’application
Pour F(x
R,p
F de Dom(R)p dans {0, 1} définie récursivement par


1 = (tR,p
a), tR,p
a))
si F est t1 = t2 ,

1 ("
2 ("


R,p
R,p R,p

si F est r (t1 , ..., tk ),
r (t1 ("a), ..., tk ("a))




R,p

1 − G ("a)
si F est ¬G,




R,p
R,p

si F est G∧H,
inf(G ("a), H ("a))
R,p
R,p
R,p
F ("a) = sup(G ("a), H ("a))
si F est G∨H,


R,p
R,p

si F est G⇒H,
sup(1 − G ("a), H ("a))




R,p
R,p

1 = (G ("a), H ("a))
si F est G⇔H,



R,p

xi (G),
sup{G (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., ap ); x ∈ Dom(R)} si F est ∃x



inf{GR,p (a , ..., a , x, a , ..., a ); x ∈ Dom(R)} si F est ∀x
xi (G),
1
i−1
i+1
p
où 1= (x, y) vaut 1 si x = y et 0 sinon, et où {0, 1} est ordonné par 0 < 1. On
note aussi Valp (F, R, "a) pour FR,p ("a).
! La définition précédente est fastidieuse mais triviale: la valeur FR,p (&a) correspond exactement
à ce qu’on obtient lorsqu’on affecte la valeur ai à la variable x i , et qu’on évalue de proche en
proche la formule en se servant des opérations et relations de R. Par exemple, la 1-valeur du
terme x 1 + 1 dans la structure (N, 1, +) est l’application n +→ n + 1 de N dans lui-même. De
x2 (x
x1 = x 2 + 1 ) dans (N, 1, +) est 1 exactement pour
même, la 1-valeur en n de la formule ∃x
n $ 1.
On pourra noter que la définition 1.17 est à la fois claire et en même temps assez étrange :
en déclarant que R satisfait F∧G si R satisfait F et R satisfait G, on ne fait que reporter la
définition de ∧ sur celle de la conjonction française « et » supposée pré-existante, et de même
pour les autres connecteurs. Ceci ne pose pas de problème si on cherche seulement à mimer une
situation métamathématique claire — ce qui est notre cas ici — mais ne serait guère satisfaisant
pour qui prétendrait définir ainsi la sémantique ex nihilo (cf. section 4.5).
Un point par contre qui n’est pas mystérieux est la dépendance de la valeur par rapport à
l’entier p, c’est-à-dire par rapport à la sélection de variables considérée. En effet, une induction
facile donne :
$
x1 , ..., x p ) une formule de LΣ , et R une réalisation
Lemme 1.18. Soient F(x
R,p
de LΣ . Alors la fonction F ne dépend que des variables x i qui ont au moins une
occurrence libre dans F.
On peut donc définir la valeur de façon non-ambiguë en ne considérant que
les variables possédant au moins une occurrence libre.
Définition 1.19. (valeur, satisfaction, modèle, valide, satisfaisable) Soit Σ
une signature, et R une réalisation de LΣ .
(i) Si F est une formule de LΣ dont les variables libres sont x i1 , ..., x in , alors,
pour "a dans Dom(R)n , on définit la valeur FR("a), aussi notée Val(F, R, "a), comme
la valeur commune de Valp (F, R, "b) pour toute suite "b vérifiant bi1 = a1 ,..., bin = an .
(ii) On dit qu’une formule F est satisfaite, ou vraie, en "a, ou encore que F("a)
est satisfaite, ou vraie, dans R, et on note R |= F("a), si on a Val(F, R, "a) = 1. On
dit que F est satisfaite, ou vraie dans R, et on note R |= F, si on a R |= F("a) pour
tout choix de "a dans Dom(R).
VII.1. Logiques du premier ordre
189
(iii) Si T est une théorie de LΣ , on dit que R est modèle de T, noté R |= T,
si R est une réalisation de LΣ et qu’on a R |= F pour chaque formule F dans T.
(iv) Une formule, ou un ensemble de formules, est dite valide (resp. satisfaisable) si elle est vraie dans toute (resp. au moins une) structure.
! On notera que, lorsque &a est une suite d’éléments dans le domaine d’une structure, l’objet F(&a)
n’est pas une formule : une formule est un objet purement syntaxique (un mot), alors qu’ici
figurent les éléments &a, qui appartiennent au monde externe, à savoir au domaine dans lequel
on évalue F. La notation usuelle R |= F(&a) est à considérer d’un seul tenant, et, de fait, il
serait plus correct de noter (R, &a) |= F(&
x ), en distinguant bien entre le sémantique, à gauche du
symbole |=, et le syntaxique, à sa droite.
$
x1 ∃x
x2 (x
x1 = x 2 + 1 ) est satisExemple 1.20. (satisfaction) La formule close ∀x
Z
N
faite dans la structure (Z, 1, + ), mais pas dans (N, 1, + ), ce qu’on écrit
x1 ∃x
x2 (x
x1 = x 2 + 1 ) et
(Z, 1, +Z ) |= ∀x
x1 ∃x
x2 (x
x1 = x 2 + 1 ),
(N, 1, +N ) -|= ∀x
x1 ∃x
x2 (x
x1 = x 2 + 1) et N -|= ∀x
x1 ∃x
x2 (x
x1 = x 2 + 1) si les
voire simplement Z |= ∀x
interprétations des symboles sont suffisamment évidentes — mais il s’agit d’un
abus de langage : aucun symbole n’a d’interprétation canonique prédéfinie.
1.3. Exprimabilité au premier ordre.
! On discute brièvement le pouvoir d’expression des logiques du premier
ordre : celui-ci est grand, mais, d’un autre côté, certaines propriétés
simples semblent difficiles à exprimer.
"
! D’innombrables propriétés mathématiques sont exprimables en logique du premier ordre, ce
qui est prévisible puisque les formules du premier ordre ont été introduites comme mise en
forme précise des formules usuelles. C’est du reste pour cela qu’on a adopté une syntaxe aussi
complète : une partie des fastidieuses vérifications pourrait être évitée en se restreignant par
exemple aux symboles logiques ¬, ∨, ∃, mais on s’éloignerait ainsi de la pratique.
$
Définition 1.21. (exprimable) Une propriété P des structures de type Σ est
dite finiment exprimable 8 au premier ordre (resp. exprimable 9 au premier ordre)
s’il existe une formule F (resp. une famille T de formules) de LΣ telle que, pour
toute structure R de type Σ, la propriété P est vraie dans R si et seulement si la
relation R |= F (resp. R |= T) est satisfaite.
! On pourrait penser que toute propriété peut être exprimée par une formule du premier ordre :
ceci est essentiellement vrai dans la mesure où tous les objets mathématiques peuvent être
représentés par des ensembles, et où la quasi-totalité des propriétés des ensembles mentionnées
dans la suite sont exprimées par des formules ensemblistes du premier ordre (cf. exemple 1.27).
Par contre, lorsqu’on étudie un type d’objet particulier dans un cadre spécifique, c’est-à-dire
relativement à une signature fixée, alors les contraintes découlant de la définition des formules
entraı̂nent qu’il existe des propriétés non exprimables à l’aide de formules du premier ordre,
ou, tout au moins, n’apparaissent a priori pas comme telles de façon claire.
$
8
9
ou encore finiment axiomatisable
ou encore axiomatisable
190
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Exemple 1.22. (ordres) La propriété que (A, <) est un ordre (strict) est finiment exprimable au premier ordre en la signature restreinte à un symbole de
relation binaire : (A, <) est un ordre si et seulement si (A, <) satisfait la formule
du premier ordre
x < y < z ⇒ x < z )).
x ∀yy ∀zz (¬(x
x < x ) ∧ (x
∀x
De même la propriété que (A, <) soit un ordre total ; par contre, la propriété
d’être un bon ordre pose problème puisque la définition
alias
X (∃x
x(x
x ∈ X ) ⇒ ∃x
x(x
x∈X
∀X
∧
X (¬(yy < x )))),
∀yy ∈X
X (yy )⇒¬(yy < x )))),
X (∃x
x(X
X (x
x)) ⇒ ∃x
x(X
X (x
x) ∧ ∀yy (X
∀X
n’est pas du premier ordre, puisqu’elle utilise des variables référant à deux types
d’objets distincts, ici les éléments et les sous-ensembles du domaine, alias les
x1 > x 2 > ...), qui
x1 , x 2 , ...)(x
relations unaires sur celui-ci. On remarquera que ¬(∃x
exprime une propriété équivalente modulo l’axiome des choix dépendants, n’est
pas non plus du premier ordre puisqu’elle est de longueur infinie, pas davantage
n∈N (ss(n
n) > s (n
n + 1))), qui fait appel à deux types d’objets.
que ¬(∃ss ∀n
Exemple 1.23. (groupes) Que la structure (G, ∗) composée d’un ensemble et
d’une opération binaire ∗ sur cet ensemble soit un groupe est exprimé par la
conjonction des deux formules
x, y , z (x
x ∗ (yy ∗ z ) = (x
x ∗ y ) ∗ z ),
∀x
x ∗ y = y ∗ x = e )),
x (x
x ∗ e = e ∗ x = x ∧ ∃yy (x
∃ee ∀x
et est donc finiment exprimable au premier ordre. Noter que la propriété que G est
un groupe d’opération ∗, d’élément neutre 1 et d’inverse −1 s’exprime également,
relativement à la signature comprenant une constante 1 , une opération unaire −1
et une opération binaire ∗ par la formule alternative
x, y , z (x
x ∗ (yy ∗ z ) = (x
x ∗ y) ∗ z
∀x
∧
x ∗ 1 = 1 ∗ x = x ∧ x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = 1)
ne comportant que des quantifications universelles. De même, la propriété d’être
x(x
x ∗ x ∗ ... ∗ x = 1 ), avec p fois x —
de p-torsion est exprimée par la formule ∀x
où on convient que t1 ∗ t2 ∗ t3 signifie t1 ∗ (t2 ∗ t3 ). Par contre, pour la propriété
d’être de torsion, c’est-à-dire que chaque élément est de p-torsion pour au moins
x ∃p∈ N (x
xp = 1 ) ne
un p, dépendant éventuellement de l’élément, la formule ∀x
convient pas, car elle fait intervenir deux variables de types différents. La formule
x(x
x = 1 ∨ x ∗ x = 1 ∨ x ∗ x ∗ x = 1 ∨ ...) ne convient pas davantage,
alternative ∀x
puisqu’elle est infinie. La question reste donc ouverte pour le moment.
Exemple 1.24. (corps) Etre un corps est finiment exprimable au premier ordre, par rapport à une signature comportant deux symboles d’opération binaire,
et des symboles de constante pour les éléments neutres. La propriété additionnelle
d’être algébriquement clos s’exprime à l’aide d’une liste (infinie) de formules du
VII.1. Logiques du premier ordre
191
premier ordre : il suffit d’exprimer, pour chaque entier n, que chaque polynôme de
xn ∗ y n + · · · + x 1 ∗
x0 , x 1 , ..., x n ∃yy (x
degré n a un zéro, ce que fait la formule close ∀x
n
x0 = 0 ), où y est une notation abrégée pour y ∗(yy ∗...)), n fois y . Il s’agit donc
y +x
d’une propriété exprimable au premier ordre, mais, a priori, pas nécessairement
finiment exprimable. La propriété d’être de caractéristique p est exprimée par
l’unique formule 1 + 1 + · · · + 1 = 0 , p fois 1 , et elle est donc finiment exprimable
au premier ordre. D’un autre côté, la propriété d’être de caractéristique nulle
s’exprime à l’aide de la famille infinie de formules 1 + 1 -= 0 , 1 + 1 + 1 -= 0 ,
1 + 1 + 1 + 1 + 1 -= 0 , etc. : la notion est donc exprimable au premier ordre, mais
a priori pas nécessairement finiment exprimable.
Exemple 1.25. (espaces vectoriels) Il semble y avoir une difficulté, car deux
types d’objets différents, les scalaires et les vecteurs, entrent en jeu. En fait, supposant le corps de base K fixé, on peut exprimer que E est un K-espace vectoriel
à l’aide de formules du premier ordre en introduisant l’opération unaire x +→ λx
pour chaque scalaire λ. Les seules variables à considérer sont alors les vecteurs,
et les axiomes sont des formules du premier ordre.
Exemple 1.26. (arithmétique) Le système de Peano constitue une base commode, et il met en jeu la signature Σarith de l’exemple 1.2. Suivant la définition III.1.8, les six premiers axiomes du système de Peano sont des formules
de Larith . Par contre, l’axiome d’induction
(1.4)
x(X
X (x
x) ⇒ X (S
S (x
x)))) ⇒ ∀x
x(X
X (x
x))),
X ((X
X (00) ∧ ∀x
∀X
n’est pas du premier ordre, puisqu’y figure la variable X qui réfère non à un
élément, mais à un sous-ensemble du domaine dans lequel il s’agit d’évaluer la
formule. Cette difficulté est contournée en introduisant un nouveau système PA1 ,
dit Peano du premier ordre, dans lequel on substitue à l’axiome d’induction 1.4
la liste infinie des formules du premier ordre
(1.5)
x(F(x
x)⇒F(S
S (x
x)))) ⇒ ∀x
x(F(x
x))
(F(00) ∧ ∀x
pour F formule de Larith à une variable libre. Ceci revient à restreindre l’induction
x ; F(x
x)}, c’est-à-dire aux ensembles d’entiers qui peuvent
aux ensembles du type {x
être définis par une formule — lesquels forment une famille dénombrable, alors
que la famille de tous les ensembles d’entiers est non dénombrable.
Exemple 1.27. (théorie des ensembles) Les axiomes de Zermelo–Fraenkel constituent une liste (infinie) de formules closes de Lens . L’option de restreindre
l’étude aux ensembles purs est essentielle ici, car c’est elle qui rend raisonnable
de ne considérer qu’un seul type d’objet, à savoir des ensembles purs. La structure
de référence dans laquelle il semble naturel d’évaluer les formules est la classe V
de tous les ensembles purs, munie de l’appartenance : poser que les axiomes du
système ZF sont satisfaits signifie admettre qu’on a (V, ∈) |= A pour chaque
axiome A de ZF. Néanmoins, il y a une difficulté à parler ici d’une structure
192
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
dont le domaine n’est pas un ensemble, qui contredit au moins la lettre de la
définition 1.14. Ceci sera précisé au chapitre IX.
2. Preuves en logique du premier ordre
! On décrit une notion de preuve pour les logiques du premier ordre
calquée, comme dans le cas de la logique propositionnelle booléenne, sur
des règles de déduction usuelles. On étudie ici les preuves ainsi obtenues
et, en particulier, on établit le théorème de complétude de Gödel qui
affirme la coı̈ncidence entre validité et prouvabilité.
"
! Le théorème de complétude de Gödel est un des résultats fondamentaux de la logique. Sa
portée est vaste car il garantit que, pour ce qui est des propriétés exprimables par une formule
du premier ordre, les méthodes de démonstration usuelles — et, plus spécifiquement, celles qu’on
choisit d’inclure ci-dessous dans la définition des preuves — sont exhaustives (cf. section 4). $
2.1. Preuves.
! Comme dans le cas propositionnel, on introduit une notion de preuve
pour la logique du premier ordre à l’aide de règles de déduction, un
cas particulier étant constitué par les axiomes, qui sont des règles sans
argument permettant de poser une formule comme point de départ. "
! A titre de remarque préliminaire, notons qu’à la différence du cas propositionnel où la validité
d’une formule peut toujours être décidée sémantiquement en testant toutes les affectations de
valeurs de vérité possibles, il n’existe aucun algorithme naı̈f pour reconnaı̂tre si une formule
du premier ordre est valide ou satisfaisable : aucune restriction n’est imposée aux structures à
considérer et la validité met en jeu une infinité de structures possibles ; on peut tester si une
formule est satisfaite ou non dans une structure de domaine fini, mais ceci est impossible dès
qu’on considère des structures infinies, ou une infinité de structures même finies.
$
Définition 2.1. (libre) Si F est une formule, x une variable dont toutes les
x←t) 10 la formule obtenue
occurrences sont libres dans F, et t un terme, on note F(x
en remplaçant chaque occurrence de x dans F par t. On dit alors que t est libre
pour x dans F si toutes les occurrences de variables dans t donnent des occurrences
x←t).
libres dans F(x
Exemple 2.2. (libre) Soit F la formule ∃yy (yy -= x ). La variable x n’a qu’une
occurrence, libre, dans F. Si z n’est pas y , alors z est libre pour x dans F. Par contre
x←yy ), qui est ∃yy (yy -= y ), l’occurrence
y n’est pas libre pour x , puisque, dans F(x
de y soulignée, créée par la substitution à x , n’est pas libre.
Définition 2.3. (axiome, généralisation, preuve) (i) Soit Σ une signature.
On appelle axiomes de LΣ
• les instances dans LΣ des axiomes du calcul propositionnel, c’est-à-dire
toutes les formules obtenues à partir d’un axiome de L• en substituant des formules de LΣ aux variables propositionnelles,
x(F⇒G)⇒(F⇒ ∀x
x (G)) avec x sans occurrence libre dans F,
• les formules ∀x
x)
ou simplement F(t) s’il n’y a pas ambiguı̈té, et notamment lorsqu’on a écrit F(x
auparavant
10
VII.2. Preuves en logique du premier ordre
193
x(F(x
x))⇒F(t) avec t libre pour x dans F(x
x),
les formules ∀x
x(¬F)⇔¬ ∀x
x (F),
• les formules ∃x
x1 = x 2 ∧ x 2 = x 3 ) ⇒ x 1 = x 3 , et
• les formules x 1 = x 1 , x 1 = x 2 ⇒ x 2 = x 1 , (x
x1 , ..., x k ) = s (x
xk+1 , ..., x 2k )),
x1 = x k+1 ∧...∧x k = x 2k ) ⇒ (ss(x
(x
x1 , ..., x k ) ⇔ r(x
xk+1 , ..., x 2k ))
x1 = x k+1 ∧...∧x k = x 2k ) ⇒ (r(x
(x
avec s , r respectivement symbole d’opération et de relation k-aire de Σ.
(ii) On dit que G se déduit de F par généralisation s’il existe i tel que G est
xi (F).
∀x
(iii) On dit que F1 , ..., Fp est une preuve (par coupure, généralisation et
axiomes) à partir de T dans LΣ si, pour chaque i, la formule Fi est dans T, ou
est un axiome de LΣ , ou il existe j < i tel que Fi est obtenu par généralisation
à partir de Fj , ou il existe j, k < i tels que Fi est obtenu par coupure 11 à partir
de Fj et Fk . On note T 1LΣ F, ou T 1 F s’il existe une preuve à partir de T se
terminant par F.
•
! Les axiomes et les règles de la définition 2.3 correspondent tous à des schémas de démonstration usuels et on peut donc s’attendre à ce qu’ils soient compatibles avec la sémantique : si
ces règles ont été considérées comme pertinentes depuis des siècles, c’est qu’elles ne mènent
pas à des conclusions réfutables. La vérification formelle de la compatiblité avec la sémantique
de la définition 1.19 se fait par une induction facile qui paraphrase les arguments dits de bon
sens, et qu’on ne détaillera pas. Les seuls points à remarquer sont la nécessité des restrictions
posées. En effet, dans les axiomes du deuxième groupe, la restriction sur les variables libres est
nécessaire pour que la formule soit valide : par exemple, si 0 est un symbole de constante, la
x(x
x=00⇒x
x=00) est valide, alors que la formule x=00⇒ ∀x
x (x
x=00) ne l’est pas, puisque, si
formule ∀x
R est une réalisation dont le domaine a au moins deux éléments, il existe a dans DomR tel que
x(x
x=00) ne l’est pas, soit R -|= a=00⇒ ∀x
x (x
x=00). De même,
a=00 est satisfait dans R, alors que ∀x
dans les axiomes du troisième groupe, la restriction sur les termes pouvant être substitués est
x ∃yy (yy -= x ) ⇒ ∃yy (yy -= y ) n’est pas valide, puisque ∀x
x ∃yy (yy -= x ) est
nécessaire : la formule ∀x
satisfaisable alors que ∃yy (yy -= y ) ne l’est pas.
$
Proposition 2.4. (cohérence) Si T est une théorie et F une formule de LΣ
vérifiant T 1 F, toute structure satisfaisant T satisfait aussi F. En particulier, si
T est valide, il en est de même de F. Par conséquent, 1 F entraı̂ne |= F : toute
formule prouvable est valide.
! Comme dans le cas propositionnel, c’est la réciproque de cette propriété, c’est-à-dire la
complétude, qui constitue le résultat non trivial, puisqu’il s’agit de montrer que les quelques
schémas de preuves introduits dans la définition 2.3 épuisent toutes les possiblités compatibles
avec la sémantique. Comme au chapitre VI, on va établir une forme globale de complétude mettant en jeu une famille de formules plutôt qu’une formule unique, mais, à la différence du cas
précédent, on va commencer par la forme globale. On verra plus loin que cette forme globale de
complétude entraı̂ne la forme locale (« toute formule valide est prouvable »), ainsi que plusieurs
autres corollaires non triviaux.
$
Appelant comme on chapitre VI consistante toute théorie T qui ne prouve
jamais à la fois une formule et sa négation, on va démontrer le résultat suivant,
dû à Kurt Gödel :
11
c’est-à-dire que Fj est la formule Fi ⇒Fk
194
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Proposition 2.5. (théorème de complétude) Soit Σ une signature bien ordonnable 12 . Alors toute théorie consistante de LΣ admet un modèle dont le domaine est bien ordonnable de cardinal au plus max(ℵ0 , card(Σ)).
2.2. Le théorème de la déduction.
! La démonstration du théorème de complétude passe par des résultats
préparatoires, dont chacun pris séparément est facile. Le premier est un
énoncé analogue au théorème de la déduction du calcul propositionnel.
"
Lemme 2.6. (i) Toute formule de LΣ qui est une instance d’une formule
propositionnelle valide est prouvable.
X 1 , ..., X n ) une formule propositionnelle dont les variables sont parmi
(ii) Soit H(X
X 1 , ..., X n . Si une théorie T de LΣ prouve Fi ⇔Gi pour i = 1, ..., n, alors T prouve
H(F1 , ..., Fn ) ⇔ H(G1 , ..., Gn ) 13 .
Démonstration. (i) Supposons F = H(F1 , ..., Fn ), où H est une formule propositionnelle
valide. Par le théorème de complétude propositionnel, H est prouvable par coupure à partir
des axiomes de L• : il existe une preuve H1 , ..., Hp dans L• se terminant par H. Alors la suite
H1 (F1 , ..., Fn ), ..., Hp (F1 , ..., Fn ) 14 est une preuve dans LΣ : une instance d’un axiome de L• est
un axiome de LΣ , et la coupure est, en un sens évident, compatible avec la substitution.
(ii) On applique (i) à la formule propositionnelle valide
X 1 ⇔Y
Y 1 )⇒((X
X 2 ⇔Y
Y 2 )⇒(...((X
X n ⇔Y
Y n )⇒H(X
X 1 , ..., X n )⇔H(Y
Y 1 , ..., Y n )))...))
(X
pour obtenir
T 1 (F1 ⇔G1 )⇒((F2 ⇔G2 )⇒(...((Fn ⇔Gn )⇒H(F1 , ..., Fn )⇔H(G1 , ..., Gn ))...)),
d’où T 1 H(F1 , ..., Fn )⇔H(G1 , ..., Gn )) en appliquant n coupures.
Proposition 2.7. (théorème de la déduction) Soient T une théorie et F, G
deux formules de LΣ . On suppose F close. Alors T 1 F⇒G équivaut à T∪{F} 1 G.
Démonstration. Comme dans le cas propositionnel, il est clair que la condition est
nécessaire, car, si on a T 1 F⇒G, alors T ∪ {F} prouve à la fois F et F⇒G, donc G par coupure.
Inversement, on montre par récurrence sur n que, s’il existe une preuve de longueur n de G
à partir de T ∪ {F}, alors il existe une preuve de F⇒G à partir de T. Supposons que H1 , ...,
Hn est une preuve de G à partir de T ∪ {F}. Par hypothèse de récurrence, il existe une preuve
à partir de T pour chacune des formules F⇒H1 , ..., F⇒Hn−1 . On considère Hn , c’est-à-dire G.
Quatre cas sont possibles.
X ⇒Y
Y ) est une formule
(i) La formule G est un axiome, ou une formule de T. Comme Y ⇒(X
propositionnelle valide, on a T 1 G et, par le lemme 2.6, 1 G⇒(F⇒G), d’où T 1 G⇒(F⇒G) a
fortiori, puis, par coupure, T 1 F⇒G.
X est valide, donc, par le
(ii) La formule G est la formule F. La formule propositionnelle X ⇒X
12
On n’a pas posé de restriction sur la taille de la signature ; l’hypothèse que la signature
est une liste bien ordonnée, automatiquement vérifiée si la signature est finie ou dénombrable,
évite le recours ultérieur à l’axiome du choix
13
en notant H(F1 , ..., Fn ) la formule obtenue à partir de H en substituant Fi à X i pour
i = 1, ..., n
14
une récurrence montre qu’on peut toujours supposer que seules les variables propositionnelles apparaissant dans la dernière formule apparaissent dans les formules intermédiaires
VII.2. Preuves en logique du premier ordre
195
lemme 2.6, on a 1 F⇒F et, a fortiori, T 1 F⇒G.
x(Hj ) pour une certaine variable x . Par hypothèse de récurrence,
(iii) Il existe j < n tel que G est ∀x
x (Hj )) en ajoutant
il existe une preuve à partir de T pour F⇒Hj . On obtient une preuve de F⇒ ∀x
à cette preuve
x(F⇒Hj )
∀x
(généralisation)
x(F⇒Hj )⇒(F⇒ ∀x
x (Hj ))
∀x
(axiome de LΣ puisque F est close)
x (Hj ),
F⇒ ∀x
(coupure)
(iv) Il existe i, j < n tels que Hj est une formule Hi ⇒G. L’argument est alors rigoureusement le
même que dans le cas propositionnel.
Corollaire 2.8. Soient T est une théorie et F une formule de LΣ .
(i) La théorie T prouve F si et seulement si T ∪ {¬F} est inconsistant.
(ii) Si T est consistante, l’une au moins des extensions T ∪ {F}, T ∪ {¬F} est
consistante.
Démonstration. (i) Supposons T 1 F. Alors T∪{¬F} prouve à la fois F et ¬F, donc est inY ⇒X
X)
consistant. Inversement, supposons que T∪{¬F} prouve à la fois G et ¬G. Comme Y ⇒(¬Y
est une formule propositionnelle valide, G⇒(¬G⇒F) est prouvable par le lemme 2.6, donc, par
X ⇒X
X )⇒X
X
coupure, T∪{¬F} prouve F. Par le théorème de la déduction, on a T 1 ¬F⇒F. Or (¬X
est une formule propositionnelle valide, donc, toujours par le lemme 2.6, (¬F⇒F)⇒F est prouvable, et, par coupure, on obtient T 1 F.
(ii) Supposons T ∪ {F} et T ∪ {¬F} inconsistantes. Alors T ∪ {¬¬F} est inconsistant, car
¬¬F⇒F est un axiome, et on déduit de toute preuve utilisant F comme hypothèse une preuve
utilisant ¬¬F à la place. Utilisant (i) on déduit que T prouve ¬F et F, donc est inconsistante.
2.3. Théories explicitement complètes.
! On établit le résultat du théorème de complétude, c’est-à-dire l’existence d’un modèle, pour des théories consistantes d’un type particulier,
dites explicitement complètes.
"
! La difficulté pour démontrer le théorème de complétude est de construire ex nihilo une
réalisation de LΣ satisfaisant des formules prescrites. Comme, a priori, les seuls objets disponibles
sont les objets syntaxiques tels que termes ou formules, il est naturel de chercher à construire
un modèle à partir de ces objets. Le principe de base consiste à construire un modèle M dont
le domaine soit l’ensemble des termes construits à partir des seuls symboles de constante de
la logique LΣ considérée, de sorte que l’interprétation d’un terme t dans M soit t lui-même.
Cette approche naı̈ve ne peut certainement pas réussir dans tous les cas, et pour de multiples
raisons : il se peut que Σ ne contienne aucun symbole de constante, il se peut que la théorie T
prouve des égalités t = t$ entre des termes différents, enfin (et surtout) cette approche ne peut
rien garantir pour les formules avec quantificateurs.
Chacune de ces difficultés peut être contournée. Dans cette section, on montre comment
construire un modèle suivant le schéma esquissé ci-dessus dans le cas où la théorie vérifie certaines hypothèses ad hoc. On montrera dans la section suivante qu’on peut toujours se ramener
à ce cas favorable.
$
Définition 2.9. (complète, explicitement complète) Une théorie consistante T de LΣ est dite complète si, pour toute formule close F de LΣ , la théorie T
prouve soit F, soit ¬F ; elle est dite explicitement complète si elle est complète et
x) de LΣ à une seule variable libre telle que T
si, de plus, pour toute formule F(x
x(F(x
x)), il existe un symbole de constante c telle que T prouve F(cc).
prouve ∃x
196
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
! Une théorie explicitement complète a donc une opinion définie, positive ou négative, sur
chaque formule close, et, par ailleurs, la signature est suffisamment riche pour contenir, pour
chaque formule close existentielle, un nom pour un élément distingué la vérifiant dès qu’il en
existe.
Pour une théorie explicitement complète T, la construction d’un modèle à partir des termes
sans variable est facile, à ceci près que T peut prouver des égalités entre termes distincts. La
solution est évidente : pour peu que la relation T 1 t = t$ soit une congruence, c’est-à-dire soit
une relation d’équivalence compatible avec les opérations et les relations, il suffit de passer au
quotient.
$
Lemme 2.10. Supposons que T est une théorie explicitement complète de LΣ .
Soit CΣ l’ensemble des termes sans variable de LΣ et soit ≡ la relation sur CΣ
définie par t ≡ t# ⇔ T 1 t = t# . Alors ≡ est une relation d’équivalence compatible
avec les opérations et relations de Σ au sens où la conjonction de t1 ≡ t#1 , ...,
tk ≡ t#k entraı̂ne s(t1 , ..., tk ) ≡ s(t#1 , ..., t#k ) pour tout symbole k-aire d’opération s
et r (t1 , ..., tk ) ⇔ r (t#1 , ..., t#k ) pour tout symbole k-aire de relation r .
Démonstration. L’hypothèse que T est explicitement complète garantit qu’il existe au
x(x
x = x ), et
moins un symbole de constante dans Σ puisque T prouve au moins l’axiome ∃x
x1 (x
x1 = x 1 ) par
donc CΣ n’est pas vide. Comme x 1 = x 1 est un axiome de LΣ , on déduit 1 ∀x
généralisation, puis 1 t = t par particularisation, donc a fortiori T 1 t = t, soit t ≡ t. Utilisant
x2 = x 1 et (x
x1 = x 2 ∧ x 2 = x 3 )⇒x
x1 = x 3 , on obtient
de la même façon les axiomes x 1 = x 2 ⇒x
que ≡ est symétrique et transitive, donc c’est une relation d’équivalence.
x1 = x k+1 ∧...∧x k = x 2k ) ⇒ s (x
x1 , ..., x k ) =
Pour s symbole d’opération k-aire, la formule (x
xk+1 , ..., x 2k ) est un axiome de LΣ . Par généralisation et particularisation, on déduit que, si on
s (x
a ti ≡ t$i pour i = 1, ...k, alors on a T 1 s (t1 , ..., tk ) = s (t$1 , ..., t$k ), soit s (t1 , ..., tk ) ≡ s (t$1 , ..., t$k ).
Par conséquent ≡ est compatible avec s .
x1 = x k+1 ∧...∧x k = x 2k ) ⇒ (rr (x
x1 , ..., x k ) ⇔ r (x
xk+1 , ..., x 2k )) pour
Enfin, utilisant l’axiome (x
r symbole de relation k-aire de Σ, et supposant toujours ti ≡ t$i pour i = 1, ...k, on déduit
T 1 r (t1 , ..., tk )⇔rr (t$1 , ..., t$k ). Par conséquent ≡ est compatible avec r .
Lemme 2.11. (i) Toute théorie explicitement complète de LΣ admet un modèle
dont le domaine est un quotient de l’ensemble des termes sans variable de LΣ .
(ii) Si la signature Σ est bien ordonnable, toute théorie explicitement complète
de LΣ admet un modèle dont le domaine est un sous-ensemble de l’ensemble des
termes sans variable de LΣ .
Démonstration. (i) Soit, comme dans le lemme 2.10, CΣ l’ensemble des termes sans
variable de LΣ . Pour t dans CΣ , on note [t] la ≡-classe de t. On définit une structure M de
domaine CΣ / ≡ comme suit: pour c symbole de constante, c M est [cc]; pour s symbole d’opération
k-aire, s M est définie par s M ([t1 ], ..., [tk ]) := [ss(t1 , ..., tk )] ; pour r symbole de relation k-aire, on
déclare r M ([t1 ], ..., [tk ]) vrai pour T 1 r (t1 , ..., tk ). Le lemme 2.10 légitime ces définitions, et une
induction facile donne tM = [t] pour tout terme sans variable t.
Il reste à voir que la structure M ainsi construite est un modèle de T. On va montrer que,
pour toute formule close F de LΣ , la structure M satisfait F si et seulement si T prouve F.
On raisonne par induction sur le nombre d’occurrences de quantificateurs dans F et, pour un
nombre donné, par récurrence sur la longueur.
Si F est atomique, elle est du type t = t$ ou r (t1 , ..., tk ), où t, t$ , t1 , ..., tk sont des termes
sans variable. Dans le premier cas, M |= t = t$ équivaut à t ≡ t$ , donc à T 1 t = t$ . Dans le
second, M |= r (t1 , ..., tk ) équivaut à T 1 r (t1 , ..., tk ) par définition de r M .
VII.2. Preuves en logique du premier ordre
197
Supposons F = ¬G. Si on a T 1 F, alors, comme T est consistante, on a T -1 G, donc, par
hypothèse d’induction, M -|= G, donc M |= ¬G, soit M |= F. Inversement, supposons M |= F.
Alors on a M -|= G, donc, par hypothèse d’induction, T -1 G. L’hypothèse que T est explicitement
complète implique T 1 F.
Supposons F = G∧H. Si on a T 1 F, alors on a nécessairement T 1 G et T 1 H, car G et H
sont prouvables à partir de {G∧H}. Par hypothèse d’induction, on déduit M |= G et M |= H,
d’où M |= G∧H, soit M |= F. Inversement, supposons M |= F, donc M |= G et M |= H. Par
hypothèse d’induction, on a T 1 G et T 1 H, d’où T 1 F puisque G∧H est prouvable à partir
de {G, H}. Les cas de ∨, ⇒, et ⇔ sont similaires.
x(G(x
x)). Supposons T 1 F. Soit t quelconque dans CΣ . Comme
Supposons que F est ∀x
x(G(x
x))⇒G(t) est un axiome, on a T 1 G(t), d’où, par hypothèse d’induction, M |= G([t]).
∀x
Ceci étant valable pour tout terme dans CΣ , on a M |= F. Inversement, supposons T -1 F.
x (G(x
x)). Comme
L’hypothèse que T est explicitement complète entraı̂ne T 1 ¬F, soit T 1 ¬ ∀x
x (G(x
x))⇔ ∃x
x (¬G(x
x)) est un axiome, on déduit T 1 ∃x
x(¬G(x
x)). Puisque T est explicitement
¬ ∀x
complète, il existe un symbole de constante c dans Σ tel qu’on ait T 1 ¬G(cc). On a donc M |=
x(¬G(x
x)), donc M -|= ∀x
x(G(x
x)).
¬G([cc]) par hypothèse d’induction, et, par conséquent, M |= ∃x
x(G(x
x)). Si on a T 1 F, alors, comme ci-dessus, on doit avoir
Supposons enfin que F est ∃x
T 1 G(cc) pour un certain symbole de constante c , d’où M |= G([cc]) par hypothèse d’induction,
et donc M |= F. Inversement, si on a M |= F, il doit exister un terme t dans CΣ vérifiant
M |= G([t]), d’où T 1 G(t) par hypothèse d’induction. L’hypothèse que T est explicitement
x(¬G(x
x)), puis
complète entraı̂ne que, si T ne prouvait pas F, il prouverait ¬F, et, de là, ∀x
¬F(t), ce qui contredit le résultat précédent. On a donc T 1 F.
(ii) Si on suppose la signature Σ bien ordonnable (donc en particulier si Σ est finie ou
dénombrable), alors il existe une énumération (tα )α<κ des termes sans variable de LΣ , et, dans
chaque classe d’équivalence [t], on peut sélectionner comme élément distingué le terme tα de
!
plus petit indice. On obtient ainsi une structure M$ telle que l’interprétation tM d’un terme
sans variable est tα avec α minimal tel que T prouve t = tα . Les détails sont faciles.
2.4. La méthode de Henkin.
! On complète la démonstration du théorème de complétude en montrant que toute théorie consistante admet une extension explicitement
complète.
"
On va maintenant établir le résultat suivant :
Lemme 2.12. Soit Σ une signature bien ordonnable et T une théorie consistante de LΣ . Alors il existe une signature Σ# de cardinal max(ℵ0 , card(Σ))
incluant Σ et une théorie explicitement complète T# de LΣ! incluant T.
Conjugué au lemme 2.11, le lemme 2.12 entraı̂ne le théorème de complétude
(proposition 2.5), puisqu’un modèle pour T# donne un modèle pour T lorsqu’on
oublie les symboles de Σ# \ Σ.
! Deux lacunes peuvent rendre une théorie consistante T non explicitement complète, à savoir
l’existence de formules closes F telles que T ne prouve ni F, ni ¬F, et celle de formules
x(F(x
x)) telles que T prouve ∃x
x(F(x
x)) mais qu’il n’existe pas de constante c telle que
closes ∃x
T prouve F(cc). Le principe est d’ajouter de proche en proche à T des formules et à Σ des
constantes de façon à combler ces lacunes. Un peu de soin est nécessaire pour garantir que la
consistance est maintenue à chaque étape, et que rien n’a été oublié à la fin.
$
198
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Lemme 2.13. Supposons que Σ est une signature bien ordonnable de cardinal κ. Alors les termes, les formules, et les formules closes de LΣ forment des
ensembles bien ordonnables de cardinal max(ℵ0 , κ).
Démonstration. Il s’agit de fixer des énumérations des termes, formules, et formules
closes de LΣ à partir d’une énumération des symboles de Σ. La tâche est facile une fois fixée
une bijection entre κ et les suites finies d’éléments de κ. On renvoie au chapitre VIII où ceci
sera fait de façon explicite (dans le cas κ = ℵ0 ).
! L’avant-dernier lemme préparatoire est une version formelle de la méthode usuelle consistant
à démontrer une formule close en donnant un nom non encore utilisé à un objet plutôt qu’à
utiliser partout une variable avec un quantificateur ∀.
$
x) une formule à une seule variable
Lemme 2.14. Soient T une théorie, F(x
libre, et c un symbole de constante n’apparaissant pas dans F ni dans T. Alors
x(F(x
x));
(i) la relation T 1 F(cc) entraı̂ne T 1 ∀x
x(F(x
x))} est consistant, il en est de même de T ∪ {F(cc)}.
(ii) si T ∪ {∃x
Démonstration. (i) Soit F1 , ..., Fn une preuve de F(cc) à partir de T. Soit x une variable
n’apparaissant dans aucune des formules Fi , et soit F$i la formule obtenue en remplaçant partout c
par x . Alors F$1 , ..., F$n est une preuve à partir de T : si Fi est un axiome, il en est de même
de F$i ; si Fi est dans T, on a F$i = Fi puisque, par hypothèse, c n’apparaı̂t pas dans T ; si Fi est
obtenue par généralisation à partir de Fj , il en est de même pour F$i à partir de F$j puisque la
variable sur laquelle on quantifie n’est pas x ; enfin si Fi est obtenue par coupure à partir de Fj
x), puis, par
et Fk , il en est de même pour F$i à partir de F$j et F$k . Donc T prouve F$n , qui est F(x
x
x
généralisation, ∀x (F(x )).
(ii) Supposons T ∪ {F(cc)} non consistant. Par le corollaire 2.8 du théorème de la déduction,
x(¬F(x
x)) en appliquant (i) à ¬F, puis T 1 ¬ ∃x
x (F(x
x)), qui
on obtient T 1 ¬F(cc), d’où T 1 ∀x
x
x
contredit la consistance de T ∪ {∃x (F(x )}.
! On en vient au dernier lemme préparatoire. Lorsqu’on passe d’une signature Σ à une signature
plus riche Σ$ , il y a davantage de formules dans LΣ! que dans LΣ , donc davantage de preuves,
et il se pourrait a priori qu’une théorie consistante de LΣ devienne inconsistante dans LΣ! . Ce
n’est pas le cas :
$
Lemme 2.15. Supposons que T est une théorie consistante de LΣ , et que Σ#
est obtenue à partir de Σ en ajoutant des symboles de constantes. Alors T est
une théorie consistante de LΣ! .
Démonstration. Supposons que F1 , ..., Fp et G1 , ..., Gq sont des preuves respectivement
de H et de ¬H à partir de T dans LΣ! . Soient c 1 , ..., c r les symboles de constantes de Σ$ \ Σ
apparaissant dans ces preuves, et soient z 1 , ..., z r des variables n’y apparaissant pas. Soient F$i
et G$i les formules obtenues à partir de Fi et Gi en remplaçant chaque c n par z n . Comme dans la
démonstration du lemme 2.14, on voit que F$1 , ..., F$p et G$1 , ..., G$q sont des preuves de LΣ , et,
par construction, F$p est la négation de G$q , donc T n’est pas consistante dans LΣ .
Ce contexte précisé, on peut démontrer le lemme 2.12.
Démonstration du lemme 2.12. Soit κ := max(ℵ0 , card(Σ)). On définit Σ$ comme la
signature obtenue en ajoutant à Σ une suite de symboles de constantes (ccα )α<κ indexée par κ.
Alors Σ$ est une signature bien ordonnable de cardinal κ. Par le lemme 2.13, on peut fixer une
énumération (Fα )α<κ des formules closes de LΣ! .
VII.3. Applications du théorème de complétude
199
Le but est d’étendre T en une théorie explicitement complète de LΣ! . Pour cela, on construit
récursivement une suite croissante de théories consistantes (Tα )α!κ de LΣ! de sorte que Tκ soit
explicitement complète. De plus, la construction assurera que, pour α < κ, les ordinaux γ tels
que c γ figure dans au moins une des formules de Tα forment un segment initial propre de κ.
On part de T0 := T. L’hypothèse que T est consistante comme théorie de LΣ et le
lemme 2.15 garantissent que T est consistante comme théorie de LΣ! , et l’induction peut commencer.
!
Pour λ ordinal limite, on pose Tλ := α<λ Tα . La seule chose à vérifier est la consistance de Tλ . Or une réunion croissante de théories consistantes est consistante, en vertu du
lemme VI.3.12(iii), dont l’adaptation de L• à LΣ est immédiate.
Supposons α = β + 1. Il s’agit de définir Tα à partir de Tβ . On considère la formule Fβ .
Deux cas sont possibles. Si Tβ ∪ {Fβ } n’est pas consistante, alors, par le corollaire 2.8(ii),
Tβ ∪ {¬Fβ } est consistante, et on pose Tα := Tβ ∪ {¬Fβ }. Supposons maintenant Tβ ∪ {Fβ }
x(G(x
x)). On pose alors Tα := Tβ ∪ {Fβ }. Supposons enfin
consistante, avec Fβ non du type ∃x
x(G(x
x)) où G est une formule à une seule variable libre. On
Tβ ∪ {Fβ } consistante, avec Fβ = ∃x
pose Tα := Tβ ∪ {Fβ , G(ccβ )}. Le lemme 2.14 garantit que Tα est consistante.
Soit T$ la théorie Tκ . Alors T$ est consistante comme union croissante de théories consistantes. Soit F une formule close quelconque de LΣ! . Alors il existe un ordinal α tel que F
est Fα , et donc, par construction, F ou ¬F est dans Tα+1 , donc dans T$ , et T$ est complète.
x) est une formule de LΣ! ayant x comme seule variable libre et que
Enfin, supposons que G(x
x(G(x
x)). Alors il existe α tel que ∃x
x(G(x
x)) est Fα . A l’étape α, on a trouvé Fα conT$ prouve ∃x
sistant avec Tα car, sinon, ¬Fα aurait été mis dans Tα+1 et serait donc dans T$ , contredisant
l’hypothèse que T$ prouve Fα . On a donc certainement posé Tα+1 := Tα ∪ {Fα , G(ccα )}, et, par
conséquent, T$ contient G(ccα ). Donc T$ est une théorie explicitement complète.
! Comme dans le cas propositionnel, on pourra noter que tous les axiomes et règles de déduction
de la logique LΣ ont été utilisés dans la démonstration ci-dessus du théorème de complétude.
Il n’y a là aucun hasard : au contraire, la liste des axiomes a été fixée a posteriori comme
celle qui permet l’argument précédent, le seul point réellement important étant que la liste soit
suffisamment explicite et, de façon précise, qu’il existe un algorithme permettant de décider si
une formule est ou non un axiome de LΣ dès que Σ est explicite.
$
2.5. Forme locale du théorème de complétude.
! Le théorème de complétude (proposition 2.5) est donc démontré
dans sa forme globale concernant un ensemble de formules closes. On
en déduit facilement une forme locale de complétude.
"
Proposition 2.16. (théorème de complétude, forme locale) Toute formule du
premier ordre valide est prouvable.
Démonstration. Supposons que F est une formule de LΣ valide dont les variables libres
sont parmi x 1 , ..., x p . Soit Σ$ la sous-signature de Σ formée par les symboles apparaissant dans F.
x1 ... ∀x
xp (F) de LΣ! . Alors G
Alors Σ$ est finie, donc bien ordonnable. Soit G la formule close ∀x
est valide, et, par conséquent, la théorie {¬G} n’a pas de modèle, donc, par la proposition 2.5,
elle n’est pas consistante. Il résulte alors du corollaire 2.8(i) que G est prouvable, et, de là, que
F l’est par particularisation.
3. Applications du théorème de complétude
! On décrit ici deux types d’applications du théorème de complétude
pour les logiques du premier ordre, à savoir d’une part la méthode
200
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
sémantique de prouvabilité, et d’autre part les conséquences de la complétude en termes de limitation du pouvoir d’expression.
"
! Le théorème de complétude est le point de départ de la théorie des modèles, qui est l’étude
des structures du point de vue des formules du premier ordre qu’elles satisfont. A ce titre, un
grand nombre de résultats peuvent être qualifiés d’applications de ce théorème. Orienté vers les
développements ultérieurs de ce texte, l’aperçu donné ici est extrêmement partiel, et il ne donne
qu’une très faible idée de ce qui est aujourd’hui un domaine entier des mathématiques, avec
notamment des applications profondes à la théorie des groupes et à la géométrie algébrique. $
3.1. La méthode sémantique.
! Le théorème de complétude permet de démontrer des résultats de
prouvabilité : pour montrer qu’une formule F est prouvable à partir d’une
théorie T, il suffit de montrer que F est satisfaite dans tout modèle de T.
"
! Les preuves en logique du premier ordre ont été définies en calquant des schémas de démonstration usuels, mais en minimisant les régles et les axiomes. Il en résulte qu’il est difficile
ou, au moins, fastidieux de construire des preuves formelles. En rattachant la prouvabilité à la
validité, le théorème de complétude fournit un moyen alternatif souvent beaucoup plus commode.
Ce schéma, qui sera à la base du développement de la théorie axiomatique des ensembles dans
la partie suivante de ce texte, est illustré ici sur des énoncés simples d’arithmétique.
$
Le point de départ est une application directe du théorème de complétude :
Proposition 3.1. (conséquence) Soit Σ une signature bien ordonnable, T une
théorie de LΣ , et F une formule close de LΣ . Alors F est prouvable à partir de T
si et seulement si tout modèle de T satisfait F.
Démonstration. (La démonstration est la même que dans le cas propositionnel). Soit M
un modèle de T, s’il en existe. Comme les axiomes sont valides, ils sont satisfaits dans M, et,
inductivement, il en est de même de toute formule prouvable par coupure et généralisation à
partir de T et des axiomes.
Inversement, supposons que tout modèle de T satisfait F. Alors T ∪ {¬F} n’est pas satisfaisable, donc, par le théorème de complétude, cette théorie n’est pas consistante. Par le
corollaire 2.8(i), on déduit que T prouve F.
Définition 3.2. (système PA−Ind) On note PA−Ind le sous-système du système
de Peano PA obtenu en otant l’axiome d’induction 15 .
Par hypothèse, la structure (N, 0, S, +, ·) est un modèle de PA−Ind, mais, ainsi
qu’on le verra dans la suite de cette section, il existe de nombreux autres modèles
de PA−Ind. On se propose, à titre d’illustration de la méthode sémantique, de
montrer le résultat suivant, où, pour n entier non nul, on note S n0 le terme
S (00))...), n symboles S .
S (...(S
Lemme 3.3. Pour tous entiers p, q, r satisfaisant p + q = r, le système PA−Ind
prouve la formule S p0 + S q0 = S r0 .
Noter que PA−Ind se compose de six formules, et donc est équivalent à l’unique formule
qui en est la conjonction.
15
VII.3. Applications du théorème de complétude
201
Démonstration syntaxique du lemme 3.3. On montre PA−Ind 1 S r0 = S p0 + S q0
simultanément pour tout p en utilisant une récurrence sur q. Pour q = 0, les formules à prouver
sont PA−Ind 1 S p0 + 0 = S p0 . Voici une telle preuve :
x(x
x + 0 = x)
F1 : ∀x
(axiome de PA−Ind)
x(x
x + 0 = x ) ⇒ S p0 + 0 = S p0
F2 : ∀x
(axiome de Larith puisque S p0 est libre pour x dans F1 )
p
p
F3 : S 0 + 0 = S 0
(coupure à partir de F1 et F2 )
Supposons maintenant q > 0. Soit q$ = q − 1, et r$ = r − 1. Pour tout p, on a r$ = p + q$ , donc,
!
!
par hypothèse d’induction, PA−Ind prouve S r 0 = S p0 + S q 0 . Il s’agit de construire une preuve
!
!
S r 0 = S p0 + S q 0 }. Voici une telle preuve :
de S r0 = S p0 + S q0 à partir de PA−Ind ∪ {S
S (x
x1 ) = S (x
x2 )
F1 : x 1 = x 2 ⇒S
(axiome de Larith )
x1 (x
x1 = x 2 ⇒S
S (x
x1 ) = S (x
x2 ))
F2 : ∀x
(généralisation à partir de F1 )
!
!
x1 (x
x1 = x 2 ⇒S
S (x
x1 ) = S (x
x2 )) ⇒ (S
S r 0 = x 2 ⇒S
S (S
S r 0 ) = S (x
x2 ))
F3 : ∀x
!
(axiome de Larith , puisque S r 0 est libre pour x 1 dans F2 )
!
!
S (S
S r 0 ) = S (x
x2 )
F4 : S r 0 = x 2 ⇒S
(coupure à partir de F2 et F3 )
!
!
x2 (S
S r 0 = x 2 ⇒S
S (S
S r 0 ) = S (x
x2 ))
F5 : ∀x
(généralisation à partir de F4 )
!
!
!
!
!
!
x2 (S
S r 0 = x 2 ⇒S
S (S
S r 0 ) = S (x
x2 )) ⇒ (S
S r 0 = S p0 + S q 0 ⇒S
S (S
S r 0 ) = S (S
S p0 + S q 0 ))
F6 : ∀x
!
(axiome de Larith , puisque S p0 + S q 0 est libre pour x 2 dans F5 )
!
!
r!
p
q!
S (S
S r 0 ) = S (S
S p0 + S q 0 )
F7 : S 0 = S 0 + S 0 ⇒S
(coupure à partir de F5 et F6 )
!
!
F8 : S r 0 = S p 0 + S q 0
(hypothèse)
!
!
!
!
S r 0 ) = S (S
S p0 + S q 0 ), soit encore S r0 = S (S
S p0 + S q 0 ) puisque S (S
S r 0 ) est S r0
F9 : S (S
(coupure à partir de F8 et F9 )
x1 ∀x
x2 (x
x1 + S (x
x2 ) = S (x
x1 + x 2 ))
F10 : ∀x
(axiome de PA−Ind)
x1 ∀x
x2 (x
x1 + S (x
x2 ) = S (x
x1 + x 2 )) ⇒ ∀x
x2 (S
S p0 + S (x
x2 ) = S (S
S p0 + x 2 ))
F11 : ∀x
(axiome de Larith , puisque S p0 est libre pour x 1 dans F10 )
p
x2 (S
S 0 + S (x
x2 ) = S (S
S p0 + x 2 ))
F12 : ∀x
(coupure à partir de F10 et F11 )
!
p0 + S x
p0 + x
p 0 + S S q! 0
x
S
S
S
S
S p0 + S q 0)
F13 : ∀x 2 (S
(x 2 ) = (S
(S ) = S (S
2 )) ⇒
!
(axiome de Larith , puisque S q 0 est libre pour x 2 dans F12 )
!
!
p
q
p
S 0 ) = S (S
S 0 + S q 0)
F14 : S 0 + S (S
(coupure à partir de F12 et F13 )
x1 = x 3 ∧x 2 = x 3 )⇒x
x1 = x 2 (qui n’est
et on tire S r0 = S p0 + S q0 de F9 et F14 : la formule (x
pas un axiome) est valide, donc prouvable dans Larith , donc a fortiori à partir de PA−Ind (le
faire!).
Démonstration sémantique du lemme 3.3. Soit M un modèle de PA−Ind. On montre
par récurrence sur q que p + q = r entraı̂ne M |= S p0 + S q0 = S r0 . On suppose d’abord q = 0.
x1 (x
x1 + 0 = x 1 ), on a S p0 + 0 = S p0 . Supposons ensuite q > 0. Soit
Comme M satisfait l’axiome ∀x
!
!
q$ := q − 1, et r$ := r − 1. On a alors p + q$ = r$ , donc M |= S p0 + S q 0 = S r 0 par hypothèse de
!
!
S p0 + S q 0 ) = S p0 + S (S
S q 0) =
récurrence. Comme M satisfait l’axiome Add2 , on obtient M |= S (S
!
S r 0 ) = S r0 . Par le théorème de complétude, PA−Ind
S p0 + S q0 , donc M |= S p0 + S q0 = S (S
p
q
r
prouve donc S 0 + S 0 = S 0 .
! La démonstration est la même dans les deux cas, seule diffère la façon de la rédiger ; pour ce
qui est de la lisibilité et de l’intelligibilité, la comparaison devrait être éloquente — mais, d’un
autre côté, il y a un certain prix à payer en termes de contexte métamathématique (cf. section 4.5), et, d’autre part, rien ne dit qu’un choix plus avisé des règles et des conventions ne
pourrait pas améliorer significativement l’approche syntaxique.
$
3.2. Extensions par définition.
202
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
! Comme application de la méthode sémantique, on montre l’inocuité
des extensions par définition consistant à enrichir la signature à l’aide
de symboles additionnels représentant des notions définissables.
"
! Dans les chapitres I et III, on a plusieurs fois enrichi la signature Σens de la théorie des
ensembles de nouveaux symboles représentant diverses opérations et relations définissables, en
présence des axiomes de Zermelo, à partir de l’unique relation d’appartenance. Il est facile de
vérifier que, ce faisant, on ne modifie en rien la force logique de la théorie, c’est-à-dire les
formules pouvant être prouvées.
$
Proposition 3.4. (extension par définition 1) Supposons que T est une théox1 , ..., x k ) est une formule de LΣ . Soit Σ+ la signature obtenue
rie de LΣ et que D(x
en ajoutant à Σ un nouveau symbole de relation k-aire r , et T+ la théorie obtenue
en ajoutant à T la formule Intror :
x1 , ..., x k ) ⇔ D(x
x1 , ..., x k )).
x1 , ..., x k (rr (x
∀x
Pour F formule de LΣ+ , on note elimr (F) la formule de LΣ obtenue en remplaçant
dans F toutes les sous-formules atomiques de la forme r (t1 , ..., tk ) par D(t1 , ..., tk ).
(i) Tout modèle M de T s’enrichit de façon unique en un modèle M+ de T+ , et,
pour toute formule F de LΣ+ , il y a équivalence entre M+ |= F et M |= elimr (F).
(ii) Pour F formule de LΣ+ , il y a équivalence entre T+ 1 F et T 1 elimr (F).
Démonstration. (i) On enrichit la structure M en une structure M+ de type Σ+ en
ajoutant comme interprétation de r la relation r définie par r(&a) ⇔ M |= D(&a). Alors la
formule Intror est satisfaite dans M+ , qui est donc modèle de T+ . Inversement, si M+ est une
structure de type Σ+ enrichissant M et satisfaisant Intror , l’interprétation de r dans M ne peut
être que celle définie ci-dessus.
Dans les conditions précédentes, et pour toute formule F de LΣ+ , les formules F et elimr (F)
sont simultanément vraie ou fausses dans M+ puisque M+ |= r (&a) équivaut à M+ |= D(&a).
Enfin, puisque, par construction, elimr (F) est une formule de LΣ , il est équivalent de dire
qu’elle est satisfaite dans M+ et dans M.
(ii) Supposons T+ 1 F, et soit M un modèle quelconque de T. Par (i), il existe un unique
enrichissement M+ de M en un modèle de T+ . Par hypothèse, M+ satisfait F, donc, par (i), M
satisfait elimr (F). Par le théorème de complétude, on déduit que T prouve elimr (F). Inversement,
supposons que T prouve elimr (F), et soit M un modèle quelconque de T+ . Puisque T est
inclus dans T+ , la formule elimr (F) est a fortiori prouvable à partir de T+ , donc elle est
satisfaite dans M. Par (ii), il en résulte que F est satisfaite dans M, et donc, par le théorème
de complétude, F est prouvable à partir de T+ .
Sous les hypothèses précédentes, on déduit en particulier que, si F est une
formule de LΣ , alors F est prouvable à partir de T si et seulement si elle est
prouvable à partir de T+ — ce qu’on traduit en disant que T+ est une extension
conservative de T.
Le cas des symboles d’opérations est similaire, mais sa formulation requiert
un peu plus de soin, car on ne peut pas purement et simplement remplacer le
symbole nouveau par sa définition, comme dans le cas des relations.
Proposition 3.5. (extension par définition 2) Supposons que T est une théox1 , ..., x k ∃!yy (D(x
x1 , ..., x k , y )). Soit Σ+ la signature
rie de LΣ prouvant la formule ∀x
VII.3. Applications du théorème de complétude
203
obtenue en ajoutant à Σ un nouveau symbole d’opération k-aire s , et T+ la théorie
obtenue en ajoutant à T la formule Intros :
x1 , ..., x k , y (yy = s (x
x1 , ..., x k ) ⇔ D(x
x1 , ..., x k , y )).
∀x
Pour F formule de LΣ+ contenant au moins une occurrence de s , on note elims1 (F)
xi (D(t1 , ..., tk , x i ) ∧ F# ) où x i est la variable de plus petit indice
la formule ∃x
n’apparaissant pas dans F, où p est la dernière occurrence de s dans F, où
s (t1 , ..., tk ) est le sous-terme de F commençant à la position p, et où F# est obtenue
en remplaçant dans F ledit sous-terme par x i ; enfin, pour F contenant m fois s ,
on note elims (F) la formule obtenue en appliquant m fois l’opération elims1 .
(i) Tout modèle M de T s’enrichit de façon unique en un modèle M+ de T+ , et,
pour toute formule F de LΣ+ , il y a équivalence entre M+ |= F et M |= elims (F).
(ii) Pour F formule de LΣ+ , il y a équivalence entre T+ 1 F et T 1 elims (F).
+
Démonstration. On définit la structure M+ en ajoutant à M l’interprétation s M définie
comme associant à tout k-uplet &a du domaine de M l’unique élément b tel que M satisfasse D(&a, b) : l’hypothèse que M est modèle de T garantit l’existence et l’unicité d’un tel
élément b. Alors la formule Intros est satisfaite dans M+ , qui est donc un modèle de T+ . Inversement, si M+ est une structure de type Σ+ enrichissant M et satisfaisant Intros , l’interpréta+
tion s M de s dans M ne peut être que celle définie ci-dessus puisque, par hypothèse, M satisfait
x1 , ..., x k ∃!yy (D(x
x1 , ..., x k , y )). Le reste de la démonstration est exactement semblable à celui
∀x
de la proposition 3.4.
! Ainsi se trouve formellement établi le fait intuitivement naturel que l’introduction de symboles
aussi nombreux soient-ils ne change rien, ni dans un sens, ni dans l’autre, aux énoncés prouvables dans une théorie — et donc en particulier en théorie des ensembles où cette introduction
est spécialement fréquente.
$
3.3. Le théorème de compacité.
! Le théorème de compacité relie la satisfaisabilité d’un ensemble de
formules à celle de ses sous-ensembles finis ; il entraı̂ne des limitations
au pouvoir d’expression des logiques du premier ordre.
"
! Le théorème de complétude fournit un critère syntaxique caractérisant la satisfaisabilité, à
savoir la consistance. Ce faisant, il entraı̂ne que la satisfaisabilité a un caractère finitiste qui a
priori n’était pas visible, et qui s’exprime dans le théorème de compacité. On pourra noter que,
dans le cas propositionnel, on a établi un théorème de compacité similaire indépendamment du
théorème de complétude, par un argument direct. Une démonstration directe existe aussi dans
le cas du premier ordre (voir les exercices du chapitre ??).
$
Proposition 3.6. (théorème de compacité) Supposons que Σ est une signature bien ordonnable et que T est une théorie de LΣ dont tout sous-ensemble fini
est satisfaisable. Alors T est satisfaisable.
Démonstration. Supposons T non satisfaisable. Par le théorème de complétude, T est
non consistante, donc, par l’adaptation à LΣ du lemme VI.3.12(iii), il existe un sous-ensemble
fini T0 de T qui est non consistant (mettre dans T0 toutes les formules apparaissant dans la
preuve d’une contradiction à partir de T). Alors T0 ne peut être satisfaisable.
204
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Proposition 3.7. (taille des modèles) Soit T une théorie du premier ordre.
Alors ou bien il existe un entier naturel n tel que tous les modèles de T ont une
taille bornée par n, ou bien T a des modèles infinis.
Démonstration. Supposons que T est un ensemble de formules de LΣ . Le résultat est
trivialement vrai si T n’a pas de modèle fini. Supposons donc que T possède des modèles finis de
taille arbitrairement grande. Soit Σ$ la signature obtenue en ajoutant à Σ une suite (ccn )n∈N de
symboles de constante, et T$ la théorie de LΣ! obtenue en ajoutant à T toutes les formules c i -= c j
pour i < j. Soit T0 une sous-famille finie de T$ . Par construction, T0 consiste en des formules
de T, plus un nombre fini de formules du type c i -= c j . Supposons que n constantes c i distinctes
apparaissent dans ces formules, et soit M un modèle de T de taille au moins n. On enrichit M en
une structure M$ de type Σ$ en interprétant les constantes c i par n éléments du domaine de M
distincts deux à deux. Par construction, M$ est modèle de T0 , et donc T0 est satisfaisable. Par
le théorème de compacité, on déduit que T$ est satisfaisable. Or un modèle de T$ est un modèle
de T, et il est nécessairement infini, puisque les interprétations des symboles c i doivent y être
deux à deux distinctes.
Corollaire 3.8. La finitude ne s’exprime pas au premier ordre : quelle que
soit la signature Σ, il n’existe pas de théorie de LΣ dont les modèles soient exactement les structures finies de type Σ.
Démonstration. Il existe des structures finies de taille arbitrairement grande, mais pas
de structure finie infinie.
! La propriété d’être infini est exprimable au premier 'ordre,
( par exemple par la famille infinie des
x1 , ..., x n (x
x1 -= x 2 ∧ ... ∧ x n−1 -= x n ) (avec 2n inégalités). On déduit du corollaire 3.8
formules ∃x
que cette propriété n’est pas finiment exprimable car, si une unique formule F exprimait le
caractère infini, alors ¬F exprmierait le caractère fini, ce qui ne se peut.
Il est facile d’adapter l’argument précédent pour obtenir une réponse négative aux questions
laissées ouvertes dans la section 1.3 : ni la propriété pour un groupe d’être de torsion, ni celle
pour un ordre total d’être un bon ordre, ne sont exprimables au premier ordre ; dans le même
ordre d’idée, la propriété pour un corps d’être de caractéristique nulle, qui est exprimable au
premier ordre, n’est pas finiment exprimable au premier ordre (cf. exercice 3).
$
3.4. Le théorème de Lowenheim–Skolem.
! Autre conséquence du théorème de complétude, le théorème de
Lowenheim–Skolem fournit des indications sur la taille possible des modèles d’une théorie du premier ordre. On déduit en particulier l’existence,
pour toute structure infinie même non dénombrable, d’une structure
dénombrable qui en est indiscernable du point de vue des formules du
premier ordre.
"
On appelle cardinal d’une structure le cardinal de son domaine.
Proposition 3.9. (théorème de Lowenheim-Skolem) Soit Σ une signature
bien ordonnable, et soit κ := max(ℵ0 , card(Σ)). Alors, pour tout cardinal λ $ κ,
il y a équivalence entre
(i) T possède un modèle de cardinal κ ;
(ii) T possède un modèle de cardinal λ;
En particulier, pour Σ finie ou dénombrable, toute théorie de LΣ possédant un
modèle infini possède un modèle de n’importe quelle cardinalité infinie.
VII.3. Applications du théorème de complétude
205
Démonstration. Supposons (i), et soit λ $ κ quelconque. Alors T, possédant un modèle,
est consistante. Soit Σ$ la signature bien ordonnable obtenue en ajoutant à Σ une suite (ccα )α<λ
de symboles de constantes, et T$ comme la théorie de LΣ! obtenue en ajoutant à T la suite des
formules c α -= c β pour α < β < λ. Alors T$ est consistante, car une sous-famille finie T0 de T$
est composée d’une sous-famille de T et d’un nombre fini de formules c α -= c β . Par hypothèse,
T possède un modèle de cardinal κ, qu’on peut enrichir en un modèle de T0 en interprétant les
constantes c α intervenant dans T0 par des éléments du domaine deux à deux distincts. Par le
théorème de complétude, T$ possède un modèle dont le cardinal est max(ℵ0 , card(Σ$ )), soit λ.
Lorsqu’on oublie les interprétations des constantes c α , il reste un modèle de T de cardinal λ.
Supposons maintenant (ii). A nouveau, T est consistante puisque possédant un modèle.
Par le théorème de complétude, T possède un modèle de cardinal κ.
On en déduit de nouveaux résultats de non-exprimabilité au premier ordre.
Corollaire 3.10. (AC) Soit κ un cardinal infini. Le fait d’avoir un cardinal
au plus égal à κ ne s’exprime pas au premier ordre : quelle que soit la signature Σ,
il n’existe pas de théorie de LΣ dont les modèles soient exactement les structures
de type Σ de cardinalité au plus κ.
Démonstration. Soit T une théorie de LΣ , et soit µ := max(ℵ0 , card(Σ)). Si T admet
pour modèle les structures de cardinal au plus κ, elle est consistante, et donc admet des modèles
de cardinal λ pour tout λ $ µ, donc en particulier des modèles de cardinal plus grand que κ.
! Par contraste, on notera qu’il existe une théorie dont les modèles sont les structures de cardinal
au moins κ : il suffit de choisir la signature contenant κ symboles de constante c α distincts, et
de considérer la théorie formée par les formules c α -= c β pour α < β < κ.
Une autre application du théorème de Lowenheim–Skolem est l’existence, pour toute structure même non dénombrable, d’une structure dénombrable qui en est indiscernable du point
de vue des formules du premier ordre, pour autant que la signature soit elle-même finie ou
dénombrable.
$
Corollaire 3.11. Soit Σ une signature finie ou dénombrable. Alors, pour
toute réalisation infinie R de LΣ , il existe une réalisation dénombrable satisfaisant
les mêmes formules 16 que R.
Démonstration. Soit T l’ensemble des formules closes satisfaites dans R. Alors T est
consistant, puisqu’il a au moins un modèle, à savoir R. Par le théorème de Lowenheim-Skolem,
T possède un modèle R$ dont le domaine est fini ou dénombrable. Alors R et R$ satisfont les
mêmes formules closes, car R |= F entraı̂ne R$ |= F par construction, et, inversement, R -|= F
entraı̂ne R |= ¬F, donc R$ |= ¬F, puis R$ -|= F.
Par ailleurs, une structure satisfaisant les mêmes formules closes qu’une structure infinie
est nécessairement infinie, puisque la propriété d’être infinie )
est exprimable au premier ordre
x1 ... ∃x
xn ( i<j!n x i -= x j ) pour n $ 1. Donc
par la famille des formules (en la signature vide) ∃x
l’hypothèse que R et R$ satisfont les mêmes formules implique que le domaine de R$ est infini,
puisque c’est le cas de celui de R.
! Le résultat précédent montre par exemple qu’il existe un corps dénombrable satisfaisant les
mêmes formules que le corps (R, +, ·), donc indiscernable de celui-ci par rapport à toutes les
propriétés exprimables par des formules du premier ordre. Le résultat peut paraı̂tre paradoxal,
mais, en fait, il reflète surtout les limitations du pouvoir d’expression au premier ordre : il y
16
ce qu’on exprime aussi en déclarant R$ élémentairement équivalente à R
206
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
a un grand écart entre le fait de satisfaire les mêmes formules du premier ordre et celui d’être
isomorphes : deux structures isomorphes satisfont toujours les mêmes formules (closes), mais
la réciproque est en général fausse.
$
3.5. Modèles de l’arithmétique.
! Comme illustration de ce qui précède, on considère ici les structures satisfaisant les mêmes formules que la structure (N, 0, S, +, ·), appelées modèles de l’arithmétique. On établit l’existence d’une famille non
dénombrable de tels modèles dénombrables deux à deux non isomorphes.
"
! Lorsqu’on part d’une théorie T dans LΣ , on a la notion naturelle de modèle pour T, c’est-àdire de réalisation de LΣ satisfaisant toutes les formules de T. En sens inverse, partant d’une
structure R de type Σ, on peut considérer l’ensemble des formules closes satisfaites dans cette
structure particulière.
$
Définition 3.12. (théorie) Si R est une structure de type Σ, on définit la
théorie du premier ordre de R comme l’ensemble Th1 (R) de toutes les formules
closes de LΣ satisfaites dans R.
! Etant donné que, par définition, une formule F(&x) ayant des variables libres est dite satisfaite
dans une réalisation R si et seulement si la formule close ∀&
x (F(&
x )) l’est, dire que deux structures R, R$ satisfont les mêmes formules équivaut à dire qu’elles satisfont les mêmes formules
closes, et donc à dire que R$ est modèle de Th1 (R). Dans la suite, on s’intéresse au cas particulier de la structure (N, 0, S, +, ·), qui jouera un rôle fondamental au chapitre VIII. On appelle
usuellement arithmétique du premier ordre l’ensemble Th1 (N, 0, S, +, ·). Il est donc cohérent de
poser’arithm la définition suivante :
$
Définition 3.13. (modèle de l’arithmétique, standard) On appelle modèle de
l’arithmétique tout modèle de Th1 (N, 0, S, +, ·), c’est-à-dire toute structure de
type Σarith satisfaisant les mêmes formules closes que (N, 0, S, +, ·) ; un modèle
est dit standard s’il est isomorphe à (N, 0, S, +, ·).
Le théorème de Lowenheim–Skolem entraı̂ne qu’il existe des modèles nonstandards de l’arithmétique de toute cardinalité infinie, mais ne dit a priori rien
sur d’éventuels modèles non-standards dénombrables.
Proposition 3.14. (modèles non-standards) Il existe 2ℵ0 modèles non-standards dénombrables de l’arithmétique deux à deux non isomorphes.
Démonstration. Soit κ le nombre de classes d’isomorphisme de modèles dénombrables
de l’arithmétique. Comme tout modèle dénombrable est isomorphe à un modèle de domaine N,
et que spécifier une structure de type Σarith de domaine N consiste à choisir un élément de N,
une fonction de N dans N, et deux fonctions de N2 dans N, on a κ # 2ℵ0 .
Soit P l’ensemble des nombres premiers. Pour chaque modèle (dénombrable) de l’arithmétique M et chaque a dans Dom(M), on note DivM (a) l’ensemble des nombres premiers p dix) est la formule ∃yy (x
x = S p0 · y ). On
visant a dans M , c’est-à-dire {p ∈ P ; M |= Fp (a)}, où Fp (x
note D l’ensemble de toutes les parties de P qui sont de la forme DivM (a) pour au moins un
modèle dénombrable M et un a.
Supposons que M, M$ sont des modèles de l’arithmétique et que f est un isomorphisme de M
sur M$ . L’entier 0 est l’unique élément de N n’appartenant pas à l’image de S, donc (N, 0, S, +, ·)
VII.3. Applications du théorème de complétude
207
x ∀yy (S
S (yy ) -= x ) et ∀yy (S
S (yy ) -= 0 ). Ces formules sont donc dans Th1 (N, 0, S, +, ·), et
satisfait ∃!x
par conséquent elles sont satisfaites dans M et dans M$ . L’interprétation 0 M de 0 dans M est
donc le seul élément du domaine de M qui n’est pas dans l’image de S M , et de même pour M$ .
Puisque f est un isomorphisme, il envoie les éléments de l’image de S M sur les éléments de
!
!
l’image de S M et, par conséquent, il envoie nécessairement 0 M sur 0 M . De là, par récurrence,
!
S p0 )M sur (S
S p0 )M pour chaque entier
f , étant un homomorphisme vis-à-vis de S , envoie (S
naturel p. Enfin, f est un homomorphisme vis-à-vis de la multiplication, donc, pour tout a
S p0 )M divise a dans M sont les mêmes que ceux qui
dans Dom(M), les entiers p tels que (S
!
p
M
S 0)
sont tels que (S
divise f (a) dans M$ . On a donc DivM (a) = DivM! (f (a)) pour tout a
dans Dom(M), et, par conséquent les contributions des modèles M et M$ à D sont les mêmes.
Il en résulte qu’on a card(D) # κ · ℵ0 , puisqu’un modèle dénombrable ne peut contribuer que
pour (au plus) ℵ0 éléments à D.
Or D est P(P) tout entier. En effet, soit Σ la signature obtenue en ajoutant à Σarith un
nouveau symbole de constante c . Soit X une partie quelconque (finie ou infinie) de P. On
définit TX comme la théorie de LΣ obtenue en ajoutant à Th1 (N, 0, S, +, ·) les formules Fp (cc)
pour p dans X et ¬Fp (cc) pour p dans le complémentaire de X. Un sous-ensemble fini de TX
consiste en un sous-ensemble fini de Th1 (N, 0, S, +, ·) plus un nombre fini de formules Fp (cc)
et ¬Fq (cc) : un tel ensemble de formules est satisfaisable dans (N, 0, S, +, ·), car il existe toujours
un entier naturel satisfaisant un nombre fini de contraintes de divisibilité et de non-divisibilité
par des nombres premiers. Donc TX a au moins un modèle dénombrable. Or dire que M est
modèle de TX signifie qu’il existe a dans Dom(M) vérifiant DivM (a) = X. Par conséquent, on
a D = P(P), d’où 2ℵ0 # κ · ℵ0 , qui entraı̂ne κ = 2ℵ0 en présence de κ # 2ℵ0 .
! On notera l’importance du théorème de compacité dans la démonstration précédente. Le
résultat lui-même n’a rien de surprenant : il montre simplement que la théorie du premier ordre
d’une structure ne capture qu’une partie des propriétés de celle-ci. Noter que, par hypothèse,
la structure (N, 0, S, +, ·) est un modèle de la théorie de Peano du premier ordre PA1 , et on
a donc PA1 ⊆ Th1 (N, 0, S, +, ·). Par conséquent, tout modèle non-standard de l’arithmétique
est en particulier un modèle de la théorie PA1 , et donc il satisfait toutes les formules closes
prouvables à partir de PA1 .
Toute une étude des modèles non-standards de l’arithmétique a été développée. On se
bornera ici au fait que tout modèle non-standard prolonge en un certain sens les entiers naturels. Jusqu’à présent, on n’a pas pris en compte l’ordre des entiers dans la description de
l’arithmétique. Il est loisible de le rajouter, car il est définissable à partir de l’addition. De là,
on déduit l’existence d’un ordre semblable sur tout modèle de l’arithmétique. On rappelle que
Σarith+ désigne la signature obtenue en ajoutant à Σarith un symbole de relation binaire # . $
Lemme 3.15. Soit Intro! la formule
x, y (x
x # y ⇔ ∃zz (yy = z + x )).
∀x
Alors tout modèle de l’arithmétique M s’enrichit de façon unique en une structure M+ de type Σarith+ satisfaisant Intro! , et, alors, les structures (N, 0, S, +, ·, #)
+
et M+ satisfont les mêmes formules de Larith+ ; en particulier, # M est un ordre
total sur le domaine de M.
Démonstration. Le résultat découle immédiatement de la proposition 3.4. On remarque
que (N, 0, S, +, ·, #) est la structure (N, 0, S, +, ·)+ . Soit F une formule quelconque de Larith+ .
Alors, avec les notations de la section 3.2, la formule F est satisfaite dans le modèle M+ si
et seulement si la formule elim! (F) est satisfaite dans M, donc si et seulement si elle est
satisfaite dans (N, 0, S, +, ·), donc si et seulement si F est satisfaite dans (N, 0, S, +, ·)+ , c’est-à+
dire dans (N, 0, S, +, ·, #). Le fait que # M soit un ordre total résulte du fait qu’être un ordre
208
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
total est exprimable au premier ordre, ainsi qu’on l’a vu dans l’exemple 1.22. Par contre, rien
+
ne garantit a priori que # M soit un bon ordre.
Ainsi, lorsqu’on parle de modèles de l’arithmétique, on peut toujours supposer
que l’ordre fait partie de la structure. Si M est un modèle de l’arithmétique,
+
l’ordre # M défini comme ci-dessus sera appelé canonique.
Proposition 3.16. (segment initial) Soit M un modèle de l’arithmétique.
S p0 )M avec p
Soit N• le sous-ensemble du domaine de M formé par les éléments (S
entier naturel. Alors N• est un segment initial de Dom(M) pour l’ordre canonique,
il est stable pour les opérations de M, et la sous-structure M• de M induite sur N•
est isomorphe à (N, 0, S, +, ·) (cf. figure 2).
x(00 # x ) est
Démonstration. On note % l’ordre canonique de M. La formule close ∀x
satisfaite dans (N, 0, S, +, ·, #), donc dans (M, %), et donc 0 M est élément minimum de (M, %).
De même, pour chaque entier naturel p, il existe une formule close exprimant que S p+10 est le
successeur immédiat de S p0 , et cette formule, vraie dans (N, 0, S, +, ·, #), l’est aussi dans (M, %).
Par conséquent, N• est un segment initial de (Dom(M), %).
Par construction, 0 M est dans N• , et N• est stable par S M . Ensuite, chacune des formules
p
S 0 + S q0 = S p+q0 et S p0 · S q0 = S pq0 est satisfaite dans (N, 0, S, +, ·, #), donc dans M, ce
qui montre que N• est stable par + M et · M . Donc on obtient une structure M• bien définie
en munissant N• des opérations induites par celles de M. Enfin, par construction, l’application
p +→ S p0 est un isomorphisme de (N, 0, S, +, ·) sur M• .
*
copie N• de N
+,
S 0 )M(S
S 20 )M . . .
0 M (S
éléments standards
-
(M, %)
éléments non-standards
Figure 2. Tout modèle de l’arithmétique est un ensemble totalement ordonné
commençant par une copie des entiers, suivie d’éventuels éléments dits nonstandards.
Corollaire 3.17. Le modèle standard de l’arithmétique est le seul dont
l’ordre canonique soit un bon ordre.
Démonstration. Soit M un modèle de l’arithmétique quelconque. Si tout élément du
S p0 )M avec p dans N, alors M est isomorphe à (N, 0, S, +, ·),
domaine de M est de la forme (S
donc standard par définition. Sinon, il existe un élément a0 du domaine de M qui n’est pas
S p0 )M . On a alors (S
S p0 )M ≺ a0 pour tout entier naturel p. Puisque a0 n’est pas
de la forme (S
M
0 , il existe a1 vérifiant a0 = S M (a1 ), donc a1 ≺ a0 . A son tour, a1 n’est pas de la forme
S p0 )M , sans quoi a0 le serait. De proche en proche, on obtient une suite infinie décroissante
(S
dans (M, %).
! L’argument montre qu’en tant qu’ensemble ordonné, un modèle non-standard de l’arithmétique
commence par une copie de N, puis est composé de copies de Z puisque chaque élément a un
successeur et un précédesseur immédiats ; on peut vérifier que les copies de Z forment un ordre
dense sans point extrémal, donc isomorphe à Q dans le cas dénombrable.
VII.4. La logique du premier ordre comme modèle
209
Par définition, tout modèle de l’arithmétique est un modèle de la théorie de Peano PA1 .
Par contre, il n’est pas clair que tout modèle de PA1 soit un modèle de l’arithmétique, et ceci
mène aux questions suivantes.
$
Question 3.18. Toute formule du premier ordre satisfaite dans (N, 0, S, +, ·)
est-elle prouvable à partir du système de Peano PA1 ?
On rappelle (définition 2.9) qu’une théorie T de LΣ est dite complète si, pour
chaque formule close F de LΣ , on a T 1 F ou T 1 ¬F, autrement dit si T est assez
forte pour prouver ou réfuter toute propriété.
Question 3.19. Le système PA1 est-il complet?
! Moyennant l’hypothèse que la structure (N, 0, S, +, ·) existe et est un modèle de PA1 , les
deux questions 3.18 et 3.19 sont équivalentes, puisqu’on sait que la théorie d’une structure est
toujours un ensemble complet.
Une réponse positive à la question 3.18 entraı̂nerait que tout modèle de PA1 satisfait toutes
les formules de Th1 (N, 0, S, +, ·), donc satisfait les mêmes formules que (N, 0, S, +, ·). Inversement, une réponse négative entraı̂nerait qu’il existe au moins une formule F satisfaite dans
(N, 0, S, +, ·) et non prouvable à partir de PA1 , donc telle que PA1 ∪ {¬F} soit consistant.
Il résulterait alors du théorème de complétude que PA1 ∪ {¬F} aurait un modèle dénombrable,
lequel serait un modèle de PA1 ne satisfaisant pas les mêmes formules que (N, 0, S, +, ·). Ce sera
un des objets du chapitre VIII que d’apporter une réponse — négative — aux questions 3.18
et 3.19.
$
4. La logique du premier ordre comme modèle
! On discute brièvement l’adoption de la logique du premier ordre
comme formalisation du raisonnement mathématique.
"
! Suivant le schéma général esquissé dans la section VI.1, adopter une logique consiste à la
fois à fixer une famille de formules et adopter une notion de preuve adaptée. Dans le cas de la
logique du premier ordre, les choix ont été faits pour calquer au mieux l’usage mathématique, et
il n’est donc pas surprenant que la logique obtenue apparaisse comme la meilleure approximation
formelle possible du discours mathématique. Néanmoins, comme pour toute modélisation, il est
au moins naturel d’examiner l’adéquation du modèle à la réalité (?) qu’il copie et les bénéfices
qu’on peut attendre de la modélisation.
$
4.1. Propriétés et formules.
! Le pouvoir d’expression des logiques du premier ordre est grand mais
néanmoins limité, sauf dans le contexte de la théorie des ensembles. "
! La sémantique des logiques du premier ordre a été définie de façon à calquer directement
l’usage mathématique 17 . L’équivalence suivante n’est alors que la définition 1.21 de la notion
d’exprimabilité :
$
Lemme 4.1. Si une propriété P est exprimable par une formule du premier
ordre F de LΣ , alors, pour tout objet a, il y a équivalence entre
(i) l’objet a a la propriété P ;
(ii) la formule F(a) est satisfaite.
On a déjà noté certains aspects suspectement circulaires de la définition ; on y reviendra
ci-dessous dans la section 4.5
17
210
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
! Les exemples de la section 1.3 ont montré que de nombreuses propriétés élémentaires de
structures mathématiques usuelles pouvaient étaient exprimées par des formules d’une logique
du premier ordre convenable. En même temps, une des limitations les plus évidentes des logiques
du premier ordre est l’interdiction de référer simultanément dans une même formule à plusieurs
types d’objets distincts, et on a vu que ceci induit une forte limitation du pouvoir d’expression,
puisque des notions aussi simples que la finitude du domaine considéré sont inexprimables,
ou encore puisque, dans le cas de l’arithmétique, il semble impossible d’exprimer le schéma
d’induction dans sa forme la plus générale. Il serait donc difficile de prétendre que, pour
chaque type d’objet considéré séparément, typiquement les nombres entiers et l’arithmétique,
les formules du premier ordre autorisent une formalisation de toutes les propriétés qu’on peut
souhaiter étudier.
On reviendra plus loin sur le moyen — ou l’absence de moyen — d’échapper aux limitations
précédentes. Pour le moment, il est important de noter qu’il existe un cas où les limitations
de la logique du premier ordre s’estompent, à savoir celui des théories des ensembles. Dans le
contexte des ensembles, et plus précisément en présence des axiomes de Zermelo qui garantissent
la possibilité de représenter chaque objet mathématique a par un ensemble pur a, presque toute
propriété P de l’objet a peuvent être exprimées comme la satisfaction par l’ensemble a d’une
x) qui mime P. On verra une exception au chapitre IX avec
certaine formule ensembliste F(x
l’axiome dit de modèle standard, mais ces exceptions sont suffisamment mineures pour pouvoir
être négligées en pratique, ce qui revient à considérer comme pratiquement illimité le pouvoir
d’expression de la logique du premier ordre Lens . Moyennant le lemme 4.1, on peut résumer la
situation sous la forme :
$
« Proposition »
4.2. (exprimabilité) Pour chaque propriété P, il existe une
formule ensembliste du premier ordre F telle que, pour tout objet a, il y ait
équivalence entre
(i) l’objet a a la propriété P ;
(ii) la formule ensembliste F(a) est satisfaite.
4.2. Démonstrations et preuves.
! L’intérêt majeur de la logique du premier ordre tient à l’existence
d’une bonne notion de prouvabilité.
"
! On peut facilement imaginer des logiques dont le pouvoir d’expression soit plus grand que
celui des logiques du premier ordre, par exemple les logiques du second ordre brièvement décrites
dans l’appendice, ou des logiques mettant en jeu des conjonctions et des disjonctions infinies,
ou encore des logiques mettant en jeu des quantifications plus générales que ∃ et ∀. Ce qui limite
drastiquement l’intérêt et, de là l’usage, de telles logiques est l’absence d’une bonne notion de
prouvabilité.
La logique du premier ordre est munie d’une notion de prouvabilité possédant deux qualités
essentielles : d’abord et avant tout, son adéquation avec la logique du bon sens, et, d’autre part,
l’existence d’un théorème de complétude par rapport à la sémantique naturelle. Aucune autre
logique développée à ce jour ne possède ces qualités : par exemple on montrera au chapitre VIII
que les logiques du second ordre ne peuvent satisfaire aucun théorème de complétude. D’une
façon générale, G. Lindstrom a démontré qu’en un sens précis les logiques du premier ordre
sont les seules qui puissent à la fois vérifier un théorème de compacité et un théorème de
complétude [4].
Du point de vue de la modélisation du raisonnement, on peut justifier comme suit le principe
d’adopter les preuves de la logique du premier ordre comme modèle de référence. Supposons que
H est une famille d’hypothèses s’exprimant par des formules du premier ordre T, et que P
est une propriété s’exprimant par une formule du premier ordre F. Dans une direction, on peut
argumenter que les régles de déduction et de généralisation, ainsi que les schémas correspondant
aux axiomes propositionnels, correspondent à des raisonnements que le bon sens approuve 18 . Il
néanmoins au moins un point peut être discuté et ne recueille pas un assentiment totaleX ⇒X
X
ment unanime, à savoir le principe du tiers exclu exprimé dans l’axiome ¬¬X
18
VII.4. La logique du premier ordre comme modèle
211
en résulte que toute preuve T 1 F fournit une démonstration de P à partir de H. Inversement,
la question est de savoir si n’importe quelle démonstration mathématique de P à partir de H
peut se formaliser en une preuve, autrement dit si tout argument de démonstration peut se
réduire à une utilisation des règles de coupure et de généralisation et des instances des axiomes
propositionnels. Il est a priori difficile de répondre à cette question, qui est vague. Mais le
théorème de complétude apporte un argument décisif. Il semble naturel que, s’il existe une
démonstration de P à partir de H, quelle qu’elle soit, alors toute structure vérifiant H doive
aussi vérifier P, donc, moyennant la proposition 4.2, si tout modèle de T satisfait F. En vertu
du théorème de complétude, ceci est précisément le cas si (et seulement si) on a T 1 F. Ce type
d’argument devrait rendre consensuel l’énoncé suivant :
$
« Proposition »
4.3. Supposons que H est une famille d’hypothèses s’exprimant par des formules du premier ordre T, et que P est une propriété s’exprimant
par une formule du premier ordre F. Alors il y a équivalence entre
(i) la propriété P est démontrable à partir de H ;
(ii) la relation T 1 F est vérifiée.
! Adopter la logique du premier ordre comme modèle du raisonnement mathématique signifie accepter l’équivalence de la proposition 4.3, et, donc, fixer comme but aux mathématiques
d’établir des relations du type T 1 F.
$
4.3. Le cadre « théorie des ensembles + logique du premier ordre ».
! On parvient à ce qui sera le cadre formel pour toute la suite, à savoir
la prouvabilité en logique du premier ordre à partir des axiomes d’une
théorie des ensembles.
"
! Au chapitre III, on a vu que toute théorie des ensembles incluant la théorie de Zermelo offre
un cadre universel permettant d’englober la quasi-intégralité du monde mathématique. Dès lors,
un cas particulier important de la proposition 4.3 prend la forme suivante :
$
Corollaire 4.4. Supposons que T est un système axiomatique incluant Z
et adopté comme base axiomatique de la théorie des ensembles. Alors, pour toute
propriété P mettant en jeu des objets a, b, ..., il y a équivalence entre:
(i) La propriété P(a, b, ...) est démontrable;
(ii) La relation T 1 F(a, b, ...) est satisfaite, où F est la traduction de P en une
formule ensembliste, et où a, b, ... sont les contreparties ensemblistes de a, b,...
! Typiquement, le système T proposé peut être le système ZFC de Zermelo–Fraenkel, voire une
extension de celui-ci. Il existe à ce jour un large consensus pour accepter ce cadre formel, qu’on
peut résumer en « théorie des ensembles + logique du premier ordre ». En tout cas, c’est le
cadre qui est adopté dans la suite de ce texte.
A ce point, le lecteur devrait être d’accord pour reconnaı̂tre qu’un cadre formel complet
est à notre disposition, et, par exemple, ce que pourrait être une réponse aux questions du
chapitre I devrait être désormais clair : démontrer l’hypothèse du continu signifie établir la
relation ZFC 1 card(R) = ℵ1 , voire T 1 card(R) = ℵ1 où T est une extension de ZFC en faveur
de laquelle un consensus suffisant existe. D’une façon générale, ce qu’on cherchera à établir ou
réfuter dans la suite sont des énoncés tels que ZFC 1 card(R) = ℵ4 ou ZF 1 AC, ou encore
ZFC 1 « tout ensemble de réels est Lebesgue mesurable », où 1 fait référence à la prouvabilité
en logique du premier ordre, et où des objets comme les réels interviennent par le biais des
ensembles purs qui les représentent.
Clairement, l’adoption du cadre « théorie des ensembles + logique du premier ordre » donne
une place fondamentale aux deux questions suivantes :
$
212
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Question 4.5. Le système ZFC est-il consistant, c’est-à-dire est-il impossible
d’avoir à la fois ZFC 1 F et ZFC 1 ¬F?
Question 4.6. Le système ZFC est-il complet vis-à-vis de la relation de prouvabilité du premier ordre, c’est-à-dire, pour chaque formule ensembliste F, a-t-on
nécessairement ZFC 1 F ou ZFC 1 ¬F? Une extension de ce système l’est-elle?
! Tout comme dans le cas de la question 3.18 concernant l’arithmétique de Peano, on verra au
chapitre VIII que les réponses à ces questions sont plutôt décevantes — mais, au moins faute
d’alternative, pas au point de remettre en cause le choix du cadre formel décrit ici.
$
4.4. Bénéfice de la formalisation en logique du premier ordre.
! Quel est l’intérêt de la proposition 4.3 et, d’une façon générale, quel
bénéfice attendre de l’introduction d’une logique formelle?
"
! En théorie, seule une formalisation complète semble de nature à garantir la rigueur d’une
démonstration. En pratique, que ce soit le cas n’est rien moins que certain, tout au moins tant
qu’il s’agit d’interlocuteurs humains, car il est bien clair qu’on ne descend jamais jusqu’au
niveau de preuves syntaxiques du genre de celle du lemme 3.3. Quant à l’espoir que le recours
à des systèmes automatisés aide à démontrer d’authentiques nouveaux théorèmes ou même à
certifier des démonstrations existantes, il apparaı̂t encore lointain — malgré des progrès récents
comme la vérification par l’assistant de preuve Coq du théorème des quatre couleurs. Par contre,
il est exact que la formalisation peut aider à expliciter des hypothèses qui risqueraient de rester
implicites, par exemple des usages de l’axiome de choix.
Il existe trois modes par lesquels l’utilisation d’une logique formelle, et en l’occurrence de la
logique du premier ordre, apporte une contribution décisive, correspondant précisément à trois
directions principales dans lesquelles des résultats non triviaux de logique ont été démontrés, à
savoir la théorie de la démonstration, la théorie des ensembles, et la théorie des modèles.
Un premier point où l’introduction d’une logique formelle semble indispensable est la logique
elle-même. Sans une formalisation convenable, il serait certainement difficile de démontrer
des résultats précis, spécialement dans le cas des résultats négatifs. Etablir un résultat positif
de prouvabilité peut se faire en décrivant explicitement une preuve, et il n’est pas forcément
nécessaire que cela soit fait de façon formelle. Par contre, on voit mal comment établir des
résultats négatifs de non-prouvabilité — typiquement le premier théorème d’incomplétude de
Gödel du chapitre VIII qui affirme que, pour chaque théorie T, une certaine formule ∆T n’est
pas prouvable à partir de T — sans une définition formelle de ce qu’est une preuve : montrer
qu’un objet n’existe pas requiert la plupart du temps une description plus formelle que de montrer
qu’il existe, car il est nécessaire de délimiter avec précision le champ des possibles.
Un deuxième point où l’introduction d’une logique formelle est cruciale est la théorie des
ensembles. Encore une fois, aussi longtemps qu’il s’agit d’établir des résultats positifs, par exemple la possibilité de démontrer à partir des axiomes de ZFC le théorème de Silver sur l’hypothèse
généralisée du continu en cofinalité non dénombrable (proposition V.4.9), aucun recours à un
contexte formel de logique et de preuve n’est nécessaire. Par contre, comme on va le voir à partir
du chapitre IX, seul le passage à la logique formelle et à la notion de modèle de ZFC permet
d’aller plus loin et de démontrer des résultats négatifs, par exemple le fait que l’hypothèse du
continu ne peut pas être démontrée à partir des axiomes de ZFC. C’est précisément cette raison
qui a justifié l’insertion d’une introduction à la logique entre les parties A et C de ce texte.
Enfin, un troisième point où l’introduction de la logique s’est avérée décisive est la théorie
des modèles, qui est l’étude générale des structures définies par des formules du premier ordre.
Depuis les années 1960, a été développée autour de la notion de structure stable due à S. Shelah
toute une théorie de la classification pour les modèles des théories du premier ordre, à la façon
dont on peut classifier les espaces vectoriels ou les surfaces compactes [16]. On se doute qu’il
n’y a pas de miracle à escompter : ce n’est pas parce qu’une propriété est exprimable par une
formule du premier ordre qu’il devient automatiquement plus facile de la démontrer, et le fait
que le théorème de Fermat puisse être exprimé par la suite des formules d’arithmétique du
x, y , z $ 1(x
xn + y n -= z n ) n’a pas beaucoup aidé à sa démonstration (les résultats
premier ordre ∀x
VII.4. La logique du premier ordre comme modèle
213
décrits au chapitre X permettront tout au plus de garantir que, vue la forme syntaxiquement
simple de l’énoncé, on peut utiliser à loisir l’axiome du choix ou l’hypothèse du continu, un
procédé systématique permettant ensuite de les éliminer). Par contre, on peut mentionner ici
que ce sont des questions d’exprimabilité et de définissabilité par des formules du premier ordre
qui ont été à l’origine de résultats de géométrie algébrique nouveaux et hautement non triviaux,
en particulier la démonstration par Ehud Hrushovski des conjectures dites de Mordell–Lang et
de Manin–Mumford en toute caractéristique [14, 1].
$
4.5. Contexte métamathématique.
! Démontrer des énoncés du type T 1 F correspond à son tour à
prouver des formules, ce qui conduit à distinguer le niveau des objets
mathématiques de celui du discours sur ces objets.
"
! Moyennant la modélisation par la logique du premier ordre, le problème générique des mathématiques
consiste à démontrer des énoncés du type T 1 F, où F et T sont, respectivement, une formule et
un ensemble de formules d’une certaine logique du premier ordre LΣ , typiquement démontrer
(ou réfuter) un énoncé tel que ZFC 1 HC. Or une telle démonstration se place à son tour dans
le cadre d’une logique ambiante qui précise les points de départ et les règles de démonstration
licites, le tout constituant ce qu’on appelle souvent le contexte métamathématique de la démonstration,
ou encore le niveau du discours, par opposition au niveau des objets mathématiques sur lesquels
porte ce discours.
Au départ, l’assertion T 1 F n’est pas une formule d’une logique du premier ordre. Mais
il est facile de définir un codage de tels énoncés par des formules du premier ordre. Typiquement, moyennant une numérotation des formules et des preuves, on peut coder les notions
logiques, qui au départ mettent en jeu des mots sur un certain alphabet fini, à l’aide de formules
d’arithmétique mettant en jeu des entiers. Ceci sera fait de façon explicite au chapitre VIII,
mais, pour le moment, il n’est pas nécessaire d’entrer dans les détails, et on notera simplement
« T 1 F » pour la formule (d’arithmétique) codant l’énoncé T 1 F.
La question est alors d’établir des formules du type « T 1 F », donc de les démontrer à
partir d’une certaine base axiomatique T' , au moyen d’une certaine notion de preuve 1' , et ce
qu’on vise à établir, ce sont des énoncés dont la forme générale est
(4.1)
T' 1' « T 1 F ».
A supposer que le codage de la logique mette en jeu des entiers et que la formule « T 1 F » soit
une formule d’arithmétique, le système T' peut être par exemple le système de Peano PA1 , ou
encore le système ZFC qui peut en être vu comme une extension. Par ailleurs, les mêmes arguments qui poussent à adopter les logiques du premier ordre comme outils de formalisation des
énoncés mathématiques conduisent également à adopter ces logiques comme outils de formalisation du contexte métamathématique, auquel cas la relation de prouvabilité 1' est la relation 1.
Dans ce cas, la forme générale (4.1) devient simplement
(4.2)
PA1 1 « T 1 F ».
ou
ZFC 1 « T 1 F ».
Evidemment, la mise en abı̂me du passage de T 1 F à T' 1' « T 1 F » pourrait être répétée.
Il serait peut-être possible de défendre l’idée que l’itération se stabilise assez vite sur un système
qui serait une forme faible du système de Peano PA1 où le schéma d’induction est limité à
des formules de forme syntaxique simple ; on pourrait aussi noter que cette régression potentiellement infinie traduit l’absence d’une définition intrinsèque de la sémantique des logiques
du premier ordre puisque. Par exemple, et ainsi qu’on l’a déjà observé, la sémantique du ∧
mathématique n’a été introduite qu’en référant à celle du ∧ métamathématique, par une équivalence qu’on peut écrire
T' 1' « |= F∧G »
⇐⇒
T' 1' « |= F » ∧ « |= G »
— mais une telle discussion n’est pas l’objet de ce texte. Ce qu’on veut souligner ici est simplement la distinction entre le niveau de (T' , 1' ) et celui de (T, 1) dans (4.1), et le fait qu’il n’y
a aucune raison de supposer que les logiques mises en jeu soient les mêmes, ni même que l’une
inclue l’autre.
214
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Revenant par exemple au cas de l’assertion du lemme 3.3 PA−Ind 1 S p0 + S q0 = S r0
pour p + q = r, on peut alors comparer les contextes métamathématiques qui sous-tendent les
deux démonstrations proposées, l’une syntaxique, l’autre sémantique. Même si l’arithmétisation
des formules n’a pas encore été formalisée — ceci sera fait dans la section VIII.2 — il doit
apparaı̂tre clair que la démonstration syntaxique n’utilise que des entiers et une induction sur
ceux-ci, et donc peut être entièrement menée dans le contexte métamathématique de PA1 (mais
pas de PA−Ind). Avec les notations ci-dessus, ce qu’établit la démonstration syntaxique du
lemme 3.3 est donc la relation
(4.3)
PA1 1 p + q = r ⇒ « PA−Ind 1 S p0 + S q0 = S r0 ».
Notons qu’une fois distingués clairement le niveau mathématique et le niveau métamathématique
— c’est-à-dire le niveau des objets et celui du discours sur ces objets — toute interrogation concernant les entiers qu’on a appelés intuitifs devrait disparaı̂tre : les entiers intuitifs sont simplement ceux de la théorie T' , par opposition à ceux éventuellement présents dans la théorie T
qu’on étudie. Dans l’exemple de la démonstration syntaxique du lemme 3.3, on montre des
résultats sur les objets dont parle PA−Ind — les entiers mathématiques donc — en utilisant
dans T' , ici PA1 , une induction sur les entiers métamathématiques (aussi appelés entiers intuitifs, ou entiers du discours), ce que le formalisme peut-être lourd de (4.4) a au moins l’avantage
de rendre explicite.
Considérons maintenant la démonstration sémantique du même lemme 3.3. La sémantique
de la logique du premier ordre est définie par référence à des structures arbitraires : une structure est un ensemble muni d’opérations et de relations diverses, et, au moins a priori, cette
sémantique ne peut être définie que dans un contexte permettant de parler d’ensembles et des
notions dérivées. Jusqu’à preuve du contraire, le seul contexte métamathématique pour ce faire
est une théorie des ensembles garantissant l’existence et les propriétés des structures alléguées,
typiquement Z ou ZF. Ce qu’établit la démonstration sémantique du lemme 3.3 correspond donc
à
(4.4)
ZF 1 p + q = r ⇒ « PA−Ind 1 S p0 + S q0 = S r0 ».
Dans l’énoncé ci-dessus, le contexte ZF est certainement suffisant, mais, inversement, on n’affirme pas qu’il soit nécessaire: une théorie des ensembles plus faible pourrait suffire, par exemple Z,
ou un fragment de celui-ci.
On a souligné le gain d’efficacité apporté par la démonstration sémantique du lemme 3.3
par rapport à la démonstration syntaxique. On voit ici que ce gain a un coup : l’amélioration
de l’efficacité est obtenue au prix d’un renforcement du contexte métamathématique, à savoir
le passage de l’arithmétique à la théorie des ensembles. Ceci est très naturel : en adoptant des
moyens de démonstrations plus puissants, on obtient des démonstrations plus rapides.
Par contre, adopter un contexte métamathématique fort affaiblit d’autant le poids d’une
démonstration en termes de pouvoir de conviction. On a déjà souligné l’impossibilité de baser
sur autre chose qu’un consensus l’adoption d’un système formel, et il paraı̂t clair que, plus
un système est faible, plus il est facile d’obtenir un consensus sur la validité des principes
qu’il utilise : par exemple, tous les mathématiciens n’acceptent pas la validité d’un énoncé
dont la démonstration utilise l’axiome du choix, et il sera certainement plus facile d’obtenir
un consensus sur la validité d’une démonstration formalisable dans ZF seul que sur celle d’une
démonstration utilisant explicitement AC. De ce point de vue, le système de Peano PA1 , voire
un fragment strict de celui-ci, est probablement un socle sur lequel le plus grand nombre pourra
s’accorder. La même remarque vaut pour le système de preuve utilisé : si la prouvabilité du
premier ordre 1 est le modèle le plus répandu, il existe des versions plus faibles, comme celles
fondées sur la logique intuitionniste où le principe du tiers exclu est omis. De ce point de vue,
un énoncé T 1 F établi dans le contexte (ZFC, 1) sera moins susceptible de recueillir un consensus que le même énoncé établi dans le contexte (PA1 , 1int ), où 1int désigne la prouvabilité
intuitionniste. Notons que la faiblesse du contexte métamathématique ne conditionne en rien
celle du système mathématique considéré : ainsi, F étant une formule ensembliste quelconque,
établir
PA1 1int « ZFC 1 F »
fait sens : ceci signifie simplement fournir une démonstration de F à partir des axiomes de ZFC
qui soit entièrement formalisable dans l’arithmétique et n’utilise que des arguments syntaxiques
de surcroı̂t licites en logique intuitionniste. Là encore, et comme on l’a dit dans la section
VII.4. Appendice: logiques du second ordre
215
précédente, l’introduction de formalismes tels que celui de (4.1) n’établit en lui-même aucun
résultat nouveau, mais, à tout le moins, il permet de mettre les choses à plat et d’expliciter la
place de chaque notion.
Une dernière remarque en faveur du cadre « théorie des ensembles + logique du premier
ordre » est la suivante. Certains mathématiciens, par exemple ceux qui travaillent sur des domaines proches de l’algorithmique ou de l’informatique théorique, peuvent n’être intéressés que
par des objets effectifs et, de ce fait, préférer l’adoption d’un cadre logique plus strict où notamment le principe du tiers exclu n’est pas posé, typiquement adopter la logique intuitionniste.
Ce point de vue est très défendable, mais, en pratique, il n’empêche pas de se placer dans le
cadre usuel de la logique du premier ordre et, à l’intérieur de ce cadre, d’analyser les preuves
pour déterminer si le tiers exclu y est utilisé ou non, à la façon dont on peut analyser si
l’axiome du choix l’est. Qu’il s’agisse des axiomes ou des règles de déduction, le cadre libéral
« théorie des ensembles + logique du premier ordre » apparaı̂t comme une sorte de cadre maximal à l’intérieur duquel d’autres cadres plus spécifiques peuvent être isolés si on le souhaite.
$
Appendice: logiques du second ordre
! On introduit les logiques du second ordre, et on montre que leur pouvoir d’expression est plus grand que celui des logiques du premier ordre,
puisqu’on peut y caractériser la structure (N, 0, S, +, ·) ou y exprimer la
finitude. Par contre, elles ne vérifient que très peu des résultats positifs
obtenus pour les logiques du premier ordre.
"
! Constatant les limitations du pouvoir d’expression des logiques du premier ordre, il est naturel
d’envisager des logiques plus riches. Un candidat naturel est la logique du second ordre, dont la
syntaxe est du même type que la logique du premier ordre, à ceci près qu’on introduit, en plus des
variables représentant les éléments du domaine de la structure qu’on veut analyser, de nouvelles
variables représentant les sous-ensembles du domaine, ou, de façon synonyme, les relations sur
le domaine : autrement dit, on s’autorise à quantifier sur les relations, donc, en particulier, sur
les sous-ensembles du domaine vus comme relations unaires. Un exemple typique de formule du
second ordre, par rapport à la signature usuelle de l’arithmétique, est l’axiome d’induction du
système de Peano
(4.5)
X ((X
X (00) ∧ ∀x
x(X
X (x
x) ⇒ X (S
S (x
x)))) ⇒ ∀x
x(X
X (x
x))),
∀X
où X représente une relation unaire. La sémantique est définie de façon naturelle, par rapport
à un contexte supposé spécifié de théorie des ensembles.
$
On note Th2 (M) l’ensemble des formules closes du second ordre satisfaites
dans une structure M.
Proposition. Tout modèle de Th2 (N, 0, S, +, ·) est isomorphe à (N, 0, S, +, ·).
Démonstration. Soit M un modèle de Th2 (N, 0, S, +, ·). A fortiori M est modèle de
Th1 (N, 0, S, +, ·), et, d’après la proposition 3.16, l’application f : n +→ S n0 est un isomorphisme
de (N, 0, S, +, ·) sur une sous-structure de M dont le domaine N• est un segment initial du
domaine de M. Or, par hypothèse, la formule (4.5) est satisfaite dans (N, 0, S, +, ·), donc aussi
dans M : en l’appliquant à N• , qui est un ensemble contenant 0 M et clos par S M , on conclut
que N• est l’intégralité du domaine de M, c’est-à-dire que M est isomorphe à (N, 0, S, +, ·).
Proposition. (ACω ) Il existe deux formules closes du second ordre dont les
modèles sont respectivement les structures finies et et les structures finies ou
dénombrables.
216
Logique (Patrick Dehornoy), VII. Logique du premier ordre
[version 2006-07]
Démonstration. En présence de ACω , un ensemble M est fini si et seulement si toute
injection de M dans M est surjective, c’est-à-dire si, pour toute fonction f : M → M on a
x, y (f (x
x)=f (yy )⇒x
x=yy ) ⇒ ∀yy ∃x
x (f (x
x)=yy ).
∀x
C’est encore dire que toute relation binaire R sur M qui est fonctionnelle, c’est-à-dire qui
satisfait G(R) :
x, y , z ((R(x
x, y ) ∧ R(x
x, z )) ⇒ y =zz ),
∀x
satisfait aussi G$ (R) :
x, y , z ((R(x
x, z ) ∧ R(yy , z ) ⇒ x =yy ) ⇒ ∀yy ∃x
x (R(x
x, y )).
∀x
X (G(X
X )⇒G$ (X
X )). Alors une structure satisfait F si et seulement si son
Soit F la formule ∀X
domaine est fini.
De même, un ensemble M est fini ou dénombrable s’il existe sur M un ordre total dont
X ) telle que H(R) est satisfaite si et
tout segment initial est fini. Or il existe une formule H(X
seulement si R est un ordre total. Soit alors F$ la formule
x ∃Y
Y (F(Y
Y ) ∧ ∀yy (Y
Y (yy )⇔X
X (yy , x )),
X (H(X
X ) ∧ ∀x
∃X
Y ) est la formule suivante, qui exprime que Y est finie,
où F(Y
Z ∀x
x, y , z (Z
Z (x
x, y )⇒(Y
Y (x
x)∧Y (yy )) ∧ (Z
Z (x
x, y )∧Z (x
x, z ))⇒yy =zz ) ⇒
∀Z
x ∀yy ∀zz ((Z
Z (x
x, z )∧Z (yy , z )⇒x
x=yy ) ⇒ ∀yy ∃x
x (Z
Z (x
x, y ))).
∀x
Alors une structure satisfait F$ si et seulement si son domaine est fini ou dénombrable.
! On verra au chapitre VIII qu’il ne peut exister de notion de preuve garantissant un théorème
de complétude raisonnable en logique du second ordre — et c’est là le point négatif principal.
Pour le moment, on se borne à remarquer le résultat suivant.
$
Proposition. Les logiques du second ordre ne satisfont ni le théorème de
compacité, ni le théorème de Lowenheim–Skolem.
Démonstration. Pour chaque entier naturel n, il existe une formule du premier ordre Fn
exprimant que le domaine a au moins n éléments. La théorie du second ordre formée par la
formule F du lemme 4.5 et de chacune des formules Fn n’est pas satisfaisable, alors que tout
sous-ensemble fini l’est. Par conséquent le théorème de compacité est en défaut.
Par ailleurs, la formule F$ du lemme 4.5 est un contre-exemple au théorème de Lowenheim–
Skolem, puisqu’elle n’a que des modèles dénombrables.
Exercices
Exercice 1. (axiomes) Montrer que, dans la liste des axiomes pour LΣ , on peut remplacer
x)⇔F(yy ) avec x et y sont libres
les axiomes pour l’égalité par les formules x = x et x = y ⇒F(x
pour z dans F(zz ).
Exercice 2. (cycle) Pour R relation binaire sur X, on dit que (a1 , ..., ak ) est un cycle de
longueur k pour R si on a à la fois a1 R a2 , ..., ak−1 R ak , et ak R a1 . Que signifie le fait de ne
pas avoir de cycle de longueur 1 ? de longueur 2? Montrer que la propriété d’avoir un cycle de
longueur finie ne peut pas s’exprimer par une formule du premier ordre en R.
Exercice 3. (pouvoir d’expression) Montrer que la propriété pour un groupe d’étre de
torsion et la propriété pour un ordre total d’être un bon ordre ne sont pas exprimables au
premier ordre. Montrer que la propriété pour un corps d’être de caractéristique zéro n’est pas
finiment exprimable au premier ordre.
VII.4. Exercices
217
Exercice 4. (définissabilité) (i) On note | la relation de divisibilité sur N; montrer que
l’entier 1 est définissable dans (N, |).
(ii) Montrer que la relation (unaire) « n est un nombre premier » est définissable dans (N, |).
(iii) Montrer que les opérations binaires pgcd et ppcm sont définissables dans (N, |).
(iv) On note S l’opération successeur de N. Montrer que S est définissable dans (N, <).
(v) Montrer que, pour tous entiers p, q, r il y a équivalence entre S(pr)S(qr) = S(S(pq)r2 )
et la disjonction r = 0 ou p + q = r. En déduire que l’addition est définissable dans (N, ×, <).
(vi) Montrer que 0 est définissable dans (Z, +), mais que 1 n’y est pas définissable.
Exercice 5. (définissabilité) Montrer que l’ordre usuel est définissable dans (Z, +, ×).
Exercice 6. (définissabilité) Montrer que l’ordre usuel des réels est définissable dans la
structure (R, +, ×). En déduire que tout réel algébrique y est définissable.
Exercice 7. (définissabilité) Montrer que la relation « x ∈ R » est définissable dans la
structure (C, +, ×, σ), où σ désigne la conjugaison. Montrer que le nombre complexe i n’est pas
définissable dans (C, +, ×, σ), mais que tout nombre complexe algébrique est définissable dans
la structure (C, +, ×, σ, i). Comment établir l’implication réciproque ?
Exercice 8. (théorie) Montrer que, pour toute structure R de type Σ, la famille Th1 (R)
est une théorie complète de LΣ . Montrer que, si, en outre, la signature Σ contient un symbole
de constante pour chaque élément du domaine de R, alors Th1 (R) est explicitement complète.
x(x
x -=
Exercice 9. (arithmétique) Soit PA0 la théorie de L{00,SS ,+
+} constituée des formules ∀x
x = S (yy ))), ∀x
x, y (S(x
x) = S(yy )⇒x
x = y ), ∀x
x(x
x + 0 = 0 + x = x ), ∀x
x, y (x
x + S (yy ) =
0 ⇔ ∃yy (x
x + y )). On définit une structure M de domaine N ∪ N × Z en posant 0 M = 0, S M (p) = p + 1,
S (x
M
S ((n, p)) = (n, p + 1), et n1 +M n2 = n1 + n2 , (n1 , p1 ) +M n2 = (n1 , n2 + p1 ), n1 +M (n2 , p2 ) =
(n2 , n1 + p2 ), (n1 , p1 ) +M (n1 , p2 ) = (n1 , p1 + p2 ), (n1 , p1 ) +M (n2 , p2 ) = (n1 + 2n2 , p1 + p2 ) pour
n1 -= n2 . Montrer que M satisfait PA0 . Vérifier que +M n’est ni commutative, ni associative,
et en déduire que la commutativité et l’associativité de l’addition ne peuvent pas se prouver à
partir de PA0 .