Ch 1 Opérations sur les nombres - CDI de l`institution Jeanne d`Arc

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Ch 1 Opérations sur les nombres
I/ Nombres relatifs
Définition : Un nombre relatif est composé d’un signe + ou − et d’une valeur numérique appelée
distance à 0.
Propriété : Pour additionner deux nombres relatifs :
- s’ils sont de même signe, on conserve le signe et on additionne les distances à 0.
- s’ils sont de signes différents, on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à
0 et on soustraie à cette dernière l’autre distance à 0.
Ex :
(+4) + (+7) = +13
(−11) + (−4,3) = −15,3
(+8,2) + (−11,1) = −2,9
Propriété : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
.Ex : (−7) − (−3) = (−7) + (+3) = −4
Règle des signes : On l’applique dans le cas d’une multiplication, d’une division ou pour simplifier
une écriture.
++ ⟶ +
+− ⟶ −
−+ ⟶ −
−− ⟶ +
Propriété : Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on applique la règle des signes et on
multiplie ou divise les distances à 0.
Ex :
−4 × 6 = −24
−7 × (−15) = +105
−3
3
1
=
=
−15 15 5
Méthode :
- Pour une série de multiplications et de divisions, s’il y a un nombre pair de signes " − ", alors
le résultat est positif, sinon il est négatif.
- Pour une série d’addition et de soustractions, on simplifie le calcul avec la règle des signes
puis on calcule en regroupant entre eux les nombres positifs et négatifs.
Ex :
−7 × (−3) × 2
42
21
=−
=−
−10 × (−5) × (−2)
100
50
−11 + (−2,3) − (−4,5) + (−0,8) = −11 − 2,3 + 4,5 − 0,8 = −14,1 + 4,5 = −9,6
Définition : L’ensemble des entiers naturels correspond à l’ensemble des entiers positifs.
L’ensemble des entiers relatifs correspond à l’ensemble des entiers positifs et négatifs.
L’ensemble des nombres décimaux correspond à l’ensemble des nombres dont la valeur exacte
possède une écriture décimale finie.
Ex : −2 est un entier relatif
1
− = −0,2 est un nombre décimal
5
12
−7
n’est pas un nombre décimal
Rq : L’ensemble des nombres décimaux inclut l’ensemble des entiers relatifs qui inclut lui-même
l’ensemble des entiers naturels.
II/ Fractions
𝑎
Définition : Une fraction est le quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul, noté 𝑏 .
𝑎 est le numérateur et 𝑏 le dénominateur.
Propriétés : On ne change pas la valeur d’une fraction lorsqu’on multiplie ou divise le numérateur et le
dénominateur par un même nombre non nul.
Une fraction est dite simplifiée ou irréductible lorsqu’on ne peut plus diviser 𝑎 et 𝑏 par un même
nombre.
Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur puis on additionne
ou soustrait les numérateurs
Pour multiplier deux fractions, on multiplie entre eux les numérateurs et les dénominateurs.
Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Rq : Il ne faut pas confondre inverse et opposé.
Ex :
7
4 = 7 × 12 = 84 = 3
35 4 35 140 5
12
7
11 77 11
=7×
=
=
21
21 21
3
11
7
21 = 7 × 1 = 7 = 1
11 21 11 231 33
Rq : La position du signe " = " nous indique le calcul correspondant.
Méthode :
- Lors d’une addition ou d’une soustraction de fractions, pour réduire au même dénominateur,
on les décompose, on regarde les facteurs communs, on multiplie chaque fraction par les
facteurs manquants et on effectue le calcul.
Ex :
2
17
1
2
17
1
2×5
17 × 3
1×3×5
+
−
=
+
−
=
+
−
63 105 21 7 × 3 × 3 7 × 3 × 5 7 × 3 7 × 3 × 3 × 5 7 × 3 × 5 × 3 7 × 3 × 3 × 5
10
51
15
46
=
+
−
=
315 315 315 315
-
Pour multiplier des fractions, on décompose les numérateurs et les dénominateurs et on
simplifie par les facteurs communs.
Ex :
75 39
5×5×3
3 × 13
9
×
=
×
=
13 250
13
5 × 5 × 5 × 2 10
III/ Puissances
Définition : Soient 𝑎 et 𝑛 deux nombres, 𝑛 entier naturel.
𝑎𝑛 = ⏟
𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎.
𝑛 𝑓𝑜𝑖𝑠
𝑛 est appelé exposant.
Rq :
𝑎1 = 𝑎
𝑎0 = 1
Propriétés :
1
𝑎−𝑛 = 𝑛
𝑎
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑛−𝑚
𝑎𝑚
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
( ) = 𝑛
𝑏
𝑏
Rq : Pour pouvoir utiliser les règles de calcul, il faut avoir le même nombre ou le même exposant.
On sera parfois amené à décomposer le nombre pour pouvoir les utiliser.
Définition : Un nombre est sous forme ou écriture scientifique s’il est écrit sous la forme ±𝑎 × 10𝑛
avec 1 ≤ 𝑎 < 10 et 𝑛 entier relatif.
Ex :
1,25 × 103 est l’écriture scientifique de 1250.
−31,512 × 102 n’est pas une écriture scientifique car 31,512 ≥ 10.
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