Groupes

Groupes
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Dé…nitions, premières propriétés
Dé…nition 1 Soit E un ensemble, une loi de composition interne (ou l.c.i.) sur E est une application
:
E E
! E
(a; b)
! a b
Lorsque il existe une loi de composition interne
note (E; )
sur E on dit qu’il est muni d’une l.c.i. et on le
Dé…nition 2 Soit (G; ) un ensemble muni d’une lci, on dit que G est un groupe si les trois conditions suivantes sont véri…ées :
1. La l.c.i.
est associative, c’est à dire :
8f; g; h 2 G; f
2. La l.c.i.
(g h) = (f
g) h
admet un élément neutre, c’est à dire
9e 2 G tel que 8g 2 G; g e = e g = g
3. Tout élément g de G admet un élément symétrique pour la loi , c’est à dire
8g 2 G; 9g 0 2 G; tel que g g 0 = g 0 g = e
Si de plus la loi
est commutative c’est à dire
8g; h 2 G; g h = h g
on dit alors que (G; ) est un groupe commutatif (ou abélien).
Exemple 3
1. (Z; +) est un groupe mais pas (N; +).
2. (Q; +), (Q ; ), (R; +) et (R ; ) sont des groupes. Notons que pour la loi + l’élément neutre
est 0 et que le symétrique s’apelle l’opposé alors que pour la loi
l’élément neutre est 1 et le
symétrique s’appelle l’inverse.
3. (R [X] ; +) : l’ensemble des polynômes à coe¢ cients dans R muni de la loi + est un groupe.
4. (Z; ) n’est pas un groupe, (R [X] ; ) non plus.
5. L’ensembles des vecteurs du plan (ou de l’espace) est un groupe pour la loi + dont l’élément
neutre est le vecteur nul.
6. (f 1; 1g ; ) est un groupe.
7. L’ensemble F (R; R) des applications de R dans R muni de la loi + est un groupe dont l’élément
neutre est la fonction nulle.
_
8. (Z=nZ; +) est un groupe dont l’élément neutre est 0.
_
9. ((Z=nZ) ; ) est un groupe dont l’élément neutre est 1.
Tout les groupes donnés ci-dessus sont abéliens.
Proposition 4 Soit (G; ) un groupe alors on a les propriétés suivantes :
1. G 6= ;
2. L’élément neutre est unique.
3. Tout élément de g a un symétrique unique.
Démonstration. Comme il existe au moins un élément neutre on a le premier point.
Suposons qu’il existe e et e0 deux éléments neutres de G, alors
e e0 = e car e0 est un élément neutre
e e0 = e0 car e est un élément neutre
donc e = e0 .
Supposons qu’il existe un élément g ayant deux symétriques g 0 et g 00 donc g g 0 = e et g 00 g = e
alors
g 00 (g g 0 ) = g 00 e = g 00
mais par associativité de
on a
g 00 (g g 0 ) = (g 00 g) g 0 = e g 0 = g 0
et donc
g 0 = g 00
Remarque 5 Si la loi du groupe est notée + alors on note 0 l’élément neutre et x le symétrique
de x qu’on appelle alors l’opposé de x:
Si la loi du groupe est notée alors on note 1 l’élément neutre et x 1 (ou x1 ) le symétrique de x
qu’on appelle alors l’inverse de x:
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Sous-Groupes
Dé…nition 6 Soit (G; ) un groupe et soit F
de G si et seulement si (F; ) est un groupe.
G une partie de G. On dit que F est un sous-groupe
Proposition 7 Soit (G; ) un groupe et soit F G une partie de G. F est un sous-groupe de G si
et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
Dé…nition 8 Proposition 9
e 2 F (F contient l’élément neutre)
8x; y 2 F; x y 2 F (F est stable par la loi )
8x 2 F le symétrique de x par
est dans F .
Exemple 10
1. L’ensemble des nombres pairs est un sous groupe de (Z; +) ; mais pas l’ensemble
des nombres impairs.
2. Z [X] : polynômes à coe…cients dans Z est un sous-groupe de (R [X] ; +).
3. Soit ~u un vecteur (du plan ou de l’espace) alors l’ensemble des vecteurs colinéaires à ~u :
f~v tel que 9k 2 Z; ~v = k~ug
est un sous-groupe du groupe des vecteurs (du plan ou de l’espace).
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Sous-groupes de (Z; +)
Soit n 2 N, on rappelle que nZ est l’ensemble des multiples de n:
Proposition 11 nZ est un sous-groupe de (Z; +)
Démonstration. - 0 = n 0 2 nZ
- Soit x = n a et y = n b deux éléments de nZ, alors x + y = na + nb = n (a + b) 2 Z
-Soit x = na alors x = na = n ( a) 2 nZ.
On va voir que la réciproque de cette proposition est vraie :
Proposition 12 Soit G un sous-groupe de (Z; +) alors il existe un entier n 2 N tel que G = nZ.
Démonstration. Si G = f0g alors G = 0Z, sinon il existe un élément non nul dans G et comme
son opposé est aussi dans G on sait qu’il existe au moins un élément positif dans G: Appelons n le
plus petit entier positif non nul appartenant à G
n = min (G \ N )
Comme n 2 G et G est un groupe n + n = 2n 2 G et 2n + n = 3n 2 G et ainsi de suite on voit que
nZ G.
Soit g un élément de G; e¤ectuons la division euclidienne de g par n, il existe donc q et r tels que
g = nq + r
0 r<n
donc r = g nq 2 G et r < n comme n est le plus petit entier positif non nul de G on a r = 0 et
donc g = nq donc G nZ.
En conclusion on a G = nZ.
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Intersection et réunion de sous-groupes
Proposition 13 Soit (G; +) un groupe abélien (commutatif). Soient F et H deux sous-groupes de
G alors
F \ H est un sous-groupe de G
F [ H n’est pas un sous-groupe de G en général
Démonstration. - Notons e l’élément neutre de G alors on a e 2 F et e 2 H donc e 2 F \ H.
- 8x; y 2 F \ H alors x; y 2 F donc x + y 2 F et x; y 2 H donc x + y 2 H et donc x + y 2 F \ H.
- 8x 2 F \ H alors x 2 F et x 2 H donc x 2 F \ H.
Cela démontre que F \ H est un sous groupe de G.
Posons G = Z et F = 2Z et H = 3Z. F et H sont des sous-groupes de G, 2 2 F et 3 2 H donc 2
et 3 sont dans F [ H mais 2 + 3 n’est ni dans F ni dans H donc pas dans F [ H. Donc F [ H n’est
pas un sous-groupe de G.
Exemple 14
2Z \ 3Z = 6Z
10Z \ 25Z = 50Z
Dé…nition 15 Soit (G; +) un groupe abélien (commutatif). Soient F et H deux sous groupes de G
on appelle somme de F et H et on note F + H l’ensemble
F + H = ff + h avec f 2 F et h 2 Hg
Proposition 16 Avec les notations précédentes, F + H est un sous-groupe de G et F + H est le
plus petit sous-groupe contenant F [ H. C’est à dire que si K est un sous-groupe de G qui contient
F [ H alors K contient F + H.
Démonstration. - e = e + e donc e 2 F + H.
- Soient x; y 2 F + H donc il existe f1 ; h1 ; f2 ; h2 tels que x = f1 + h1 et y = f2 + h2 alors
x + y = f1 + h1 + f2 + h2
comme le groupe G est abélien on peut écrire
x + y = (f1 + f2 ) + (h1 + h2 )
comme F et H sont des groupes f1 + f2 2 F et h1 + h2 2 H donc x + y 2 F + H.
-Soit x 2 F + H donc il existe f et h tels que x = f + h donc x = (f + h) or comme G est
abélien on a
f + h + ( f ) + ( h) = e
donc l’opposé de f + g est ( f ) + ( h) donc x = ( f ) + ( h) 2 F + H:
Donc F + H est un sous-groupe de G.
Si f 2 F alors f = f + e et donc f 2 F + H donc F
F + H de même H
F + H et donc
F [ H F + H.
Soit K un sous-groupe de G tel que F [ H K, on va montrer que F + H K. Soit x = f + h
un élément quelconque de F + H. f 2 F donc f 2 K et h 2 H donc h 2 K; comme K est un
sous-groupe on a f + h 2 K donc x 2 K:
Exemple 17
2Z + 3Z = Z en e¤et tout entier n s’écrit comme somme d’un multiple de 2 et
d’un multiple de 3 car on a
n = 2 ( n) + 3 n
10Z + 25Z = 5Z car pour tout entier n on a
5n = 10
( 2n) + 25
n