Groupes

Groupes
1 Dé…nitions, premières propriétés
Dé…nition 1 Soit Eun ensemble, une loi de composition interne (ou l.c.i.) sur Eest une application
:EE! E
(a; b)! ab
Lorsque il existe une loi de composition interne sur Eon dit qu’il est muni d’une l.c.i. et on le
note (E; )
Dé…nition 2 Soit (G; )un ensemble muni d’une lci, on dit que Gest un groupe si les trois condi-
tions suivantes sont véri…ées :
1. La l.c.i. est associative, c’est à dire :
8f; g; h 2G; f (gh) = (fg)h
2. La l.c.i. admet un élément neutre, c’est à dire
9e2Gtel que 8g2G; g e=eg=g
3. Tout élément gde Gadmet un élément symétrique pour la loi , c’est à dire
8g2G; 9g02G; tel que gg0=g0g=e
Si de plus la loi est commutative c’est à dire
8g; h 2G; g h=hg
on dit alors que (G; )est un groupe commutatif (ou abélien).
Exemple 3 1. (Z;+) est un groupe mais pas (N;+).
2. (Q;+),(Q;),(R;+) et (R;)sont des groupes. Notons que pour la loi +l’élément neutre
est 0et que le symétrique s’apelle l’opposé alors que pour la loi l’élément neutre est 1et le
symétrique s’appelle l’inverse.
3. (R[X];+) : l’ensemble des polynômes à coe¢ cients dans Rmuni de la loi +est un groupe.
4. (Z;)n’est pas un groupe, (R[X];)non plus.
5. L’ensembles des vecteurs du plan (ou de l’espace) est un groupe pour la loi +dont l’élément
neutre est le vecteur nul.
6. (f1;1g;)est un groupe.
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7. L’ensemble F(R;R)des applications de Rdans Rmuni de la loi +est un groupe dont l’élément
neutre est la fonction nulle.
8. (Z=nZ;+) est un groupe dont l’élément neutre est _ 0.
9. ((Z=nZ);)est un groupe dont l’élément neutre est _ 1.
Tout les groupes donnés ci-dessus sont abéliens.
Proposition 4 Soit (G; )un groupe alors on a les propriétés suivantes :
1. G6=;
2. L’élément neutre est unique.
3. Tout élément de ga un symétrique unique.
Démonstration. Comme il existe au moins un élément neutre on a le premier point.
Suposons qu’il existe eet e0deux éléments neutres de G, alors
ee0=ecar e0est un élément neutre
ee0=e0car eest un élément neutre
donc e=e0.
Supposons qu’il existe un élément gayant deux symétriques g0et g00 donc gg0=eet g00 g=e
alors
g00 (gg0) = g00 e=g00
mais par associativité de on a
g00 (gg0) = (g00 g)g0=eg0=g0
et donc
g0=g00
Remarque 5 Si la loi du groupe est notée +alors on note 0l’élément neutre et xle symétrique
de xqu’on appelle alors l’opposé de x:
Si la loi du groupe est notée alors on note 1l’élément neutre et x1(ou 1
x) le symétrique de x
qu’on appelle alors l’inverse de x:
2 Sous-Groupes
Dé…nition 6 Soit (G; )un groupe et soit FGune partie de G. On dit que Fest un sous-groupe
de Gsi et seulement si (F; )est un groupe.
Proposition 7 Soit (G; )un groupe et soit FGune partie de G.Fest un sous-groupe de Gsi
et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
Dé…nition 8 Proposition 9 e2F(Fcontient l’élément neutre)
 8x; y 2F; x y2F(Fest stable par la loi )
 8x2Fle symétrique de xpar est dans F.
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Exemple 10 1. L’ensemble des nombres pairs est un sous groupe de (Z;+) ;mais pas l’ensemble
des nombres impairs.
2. Z[X]: polynômes à coe…cients dans Zest un sous-groupe de (R[X];+).
3. Soit ~u un vecteur (du plan ou de l’espace) alors l’ensemble des vecteurs colinéaires à ~u :
f~v tel que 9k2Z; ~v =k~ug
est un sous-groupe du groupe des vecteurs (du plan ou de l’espace).
3 Sous-groupes de (Z;+)
Soit n2N, on rappelle que nZest l’ensemble des multiples de n:
Proposition 11 nZest un sous-groupe de (Z;+)
Démonstration. -0 = n02nZ
- Soit x=naet y=nbdeux éléments de nZ, alors x+y=na +nb =n(a+b)2Z
-Soit x=na alors x=na =n(a)2nZ.
On va voir que la réciproque de cette proposition est vraie :
Proposition 12 Soit Gun sous-groupe de (Z;+) alors il existe un entier n2Ntel que G=nZ.
Démonstration. Si G=f0galors G= 0Z, sinon il existe un élément non nul dans Get comme
son opposé est aussi dans Gon sait qu’il existe au moins un élément positif dans G: Appelons nle
plus petit entier positif non nul appartenant à G
n= min (G\N)
Comme n2Get Gest un groupe n+n= 2n2Get 2n+n= 3n2Get ainsi de suite on voit que
nZG.
Soit gun élément de G; e¤ectuons la division euclidienne de gpar n, il existe donc qet rtels que
g=nq +r
0r < n
donc r=gnq 2Get r < n comme nest le plus petit entier positif non nul de Gon a r= 0 et
donc g=nq donc GnZ.
En conclusion on a G=nZ.
4 Intersection et réunion de sous-groupes
Proposition 13 Soit (G; +) un groupe abélien (commutatif). Soient Fet Hdeux sous-groupes de
Galors
F\Hest un sous-groupe de G
F[Hn’est pas un sous-groupe de Gen général
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Démonstration. - Notons el’élément neutre de Galors on a e2Fet e2Hdonc e2F\H.
-8x; y 2F\Halors x; y 2Fdonc x+y2Fet x; y 2Hdonc x+y2Het donc x+y2F\H.
-8x2F\Halors x2Fet x2Hdonc x2F\H.
Cela démontre que F\Hest un sous groupe de G.
Posons G=Zet F= 2Zet H= 3Z.Fet Hsont des sous-groupes de G,22Fet 32Hdonc 2
et 3sont dans F[Hmais 2+3n’est ni dans Fni dans Hdonc pas dans F[H. Donc F[Hn’est
pas un sous-groupe de G.
Exemple 14 2Z\3Z= 6Z
10Z\25Z= 50Z
Dé…nition 15 Soit (G; +) un groupe abélien (commutatif). Soient Fet Hdeux sous groupes de G
on appelle somme de Fet Het on note F+Hl’ensemble
F+H=ff+havec f2Fet h2Hg
Proposition 16 Avec les notations précédentes, F+Hest un sous-groupe de Get F+Hest le
plus petit sous-groupe contenant F[H. C’est à dire que si Kest un sous-groupe de Gqui contient
F[Halors Kcontient F+H.
Démonstration. -e=e+edonc e2F+H.
- Soient x; y 2F+Hdonc il existe f1; h1; f2; h2tels que x=f1+h1et y=f2+h2alors
x+y=f1+h1+f2+h2
comme le groupe Gest abélien on peut écrire
x+y= (f1+f2)+(h1+h2)
comme Fet Hsont des groupes f1+f22Fet h1+h22Hdonc x+y2F+H.
-Soit x2F+Hdonc il existe fet htels que x=f+hdonc x=(f+h)or comme Gest
abélien on a
f+h+ (f)+(h) = e
donc l’opposé de f+gest (f)+(h)donc x= (f)+(h)2F+H:
Donc F+Hest un sous-groupe de G.
Si f2Falors f=f+eet donc f2F+Hdonc FF+Hde même HF+Het donc
F[HF+H.
Soit Kun sous-groupe de Gtel que F[HK, on va montrer que F+HK. Soit x=f+h
un élément quelconque de F+H.f2Fdonc f2Ket h2Hdonc h2K; comme Kest un
sous-groupe on a f+h2Kdonc x2K:
Exemple 17 2Z+ 3Z=Zen e¤et tout entier ns’écrit comme somme d’un multiple de 2et
d’un multiple de 3car on a
n= 2 (n)+3n
10Z+ 25Z= 5Zcar pour tout entier non a
5n= 10 (2n) + 25 n
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