DS 4 - TS - complexes

DS 4 – Terminale S – Nombres Complexes
Dans tous les exercices, le plan complexe sera muni du repère orthonormé (O, U, V).
EXERCICE 1 :
1) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle.
z
z1 = -2 +2 i 3
z2 = 3 + 3i
z3 = 1
z4 = (z1)8. (z2)3
z2
2) Ecrire z3 sous forme algébrique.
5π
5π
3) En déduire les valeurs exactes de cos (
) et sin (
)
12
12
4) Placer précisément les points M,N,P d’affixes respectives z1, z2, z3. Expliquer la construction
EXERCICE 2 : (les parties A et B sont indépendantes)
A, B, C, M ont pour affixes respectives a = 2, b = 1 – i 3 , c = -2 – 2i , z
π
M* (z*) est l’image de M(z) par la rotation de centre O, d’angle
3
→
M’ (z’) est l’image de M* (z*) par la translation de vecteur 2 OU .
On note T la transformation qui transforme M en M’.
A. Ecriture complexe de T
1) Donner l’écriture complexe de la rotation, de la translation, et de T.
2) Prouver que T admet un seul point fixe.
3) En déduire une autre écriture complexe de T, sa nature et ses éléments caractéristiques.
B. Image d’un point
1) Déterminer l’affixe c’ de C’ = T(C).
c’
2) Ecrire sous forme algébrique
c
3) En déduire la nature et l’aire de OCC’.
4) Quel(s) est(sont) l(es) antécédent(s) de B par T ?
C. Triangle rectangle
1) Avec z = x + iy, exprimer les parties réelles et imaginaires de z’, en fonction de x et y.
2) Déterminer et tracer l’ensemble des points M tels que OMM’ est rectangle en O.
EXERCICE 3 :
A et B ont pour affixes respectives 1 et 4. f est l’application qui a tout point M ( M ≠ A) d’affixe z associe le point M’
z–4
d’affixe z’ telle que z’ = f(z) =
z–1
1) C a pour affixe i 2. Déterminer l’affixe de C’ = f(C)
2) Prouver que f admet deux points invariants (c.a.d f(M) = M), notés I et J avec Im(I) >0
3) Placer les points A, B, C, C’, I, J dans le plan complexe.
4) Quel est l’ensemble E des points M(z) qui sont tels que |z’| = 1 ? Le représenter.
5) Quel est l’ensemble F des points M(z) qui sont tels que z’ est réel ? Le représenter.
6) Quel est l’ensemble G des points M(z) qui sont tels que z’ est imaginaire pur ? Le représenter.
EXERCICE 4 :
1) Résoudre dans C les équations
(E1) z3 – 1 = 0
(E2) z² – 2zcos(θ) + 1 = 0
2) On note j →
une des solutions complexes de (E1). Etablir les résultats suivants :
a.
j = j²
b. 1 + j + j² = 0
c. Déterminer les angles du triangle formé par les points d’affixes 1, j, j²
EXERCICE 5 :
1)
2)
Prouver que pour tous complexes z et z’,
Interpréter géométriquement ce résultat.
|z + z’|² + |z – z’|² = 2|z|² + 2|z’|²
Correction
Exercice 1 :
2iπ
iπ
5iπ
iπ
2
z2 = 3 2 exp( )
z3 = 2 exp( )
z4 = 4833 23exp(- )
1) z1 = 4exp( )
3
4
12
12
3
3–1
3+1
2) z3 =
+i
3
3
5π
3–1 3 2
6– 2
3+1 3 2
6+ 2
5π
3) cos( ) =
=
sin( ) =
=
12
3
4
4
3
4
4
12
4) Construction
Construire 2 avec un triangle rectangle de côtés 1 et 1 puis 6 à l’aide de triangles rectangles de côtés 2 et 1 (=> 5
) puis 5 et 1 (=> 6) puis user et abuser du compas.
Pour diviser par 4 on construit 2 médiatrices successives.
Exercice 2 :
A.
1) Rotation :
Translation :
T:=
iπ
z* = exp( ) z
3
z’ = z* + 2
iπ
z’ = exp( ) z + 2
3
iπ
et on obtient ω = 2exp( )
3
iπ
iπ
π
iπ
3) z’ = exp( ) (z – 2exp( )) + 2exp( ) Rotation de centre d’affixe ω et d’angle .
3
3
3
3
2) On résout z’ = z
B.
1) c’ = (1 + 3)(1 – i)
3+1
c’
2)
=
i
2
c
→ →
c’ π
c’
3) Arg ( ) = = ( OC ;OC’) donc OCC’ rectangle en O | | ≠ 1 donc OCC’ non isocèle.
c
2
c
iπ
4) On résout 1 – i 3 = exp( ) z + 2
soit z = -2. L’antécédent de B est le point d’affixe -2
3
C.
1
3
3 y
1) T(x + iy) = ( x – y + 2) + i(x + )
2
2
2 2
2) On résout donc OM² + OM’² = MM’² soit |z|² + |z’|² = |z – z’|²
x² + 4x + y² = 0 (x + 2)² + y² = 4 M ∈ C(-2 ; 2)
EXERCICE 3 :
1) c’ = 2 + i 2
z–4
2) z =
zJ = 1 – i 3 ou
zI = 1 + i 3
z–1
3) E = médiatrice de [AB] privée de
A
→ →
4) F = (AB) privée de A
car (AM, BM) = 0 [π]
5) G = cercle de diamètre [AB] privé de A
→
→
car (AM, BM) =
π
[π] ABM rectangle en M
2
EXERCICE 4 :
1) 1 est racine évidente z3 – 1= (z – 1)(z² + z + 1) = 0
(il manque un « z ») z = eiθ ou z = e-iθ
π
2) Classique, les angles sont
3
EXERCICE 5 : Utiliser |z|² = z z
z = 1 ou z = j ou z = j