Géométrie du plan et de l`espace RELATIONS D`EQUIVALENCE ET

G´eom´etrie du plan et de l’espace
RELATIONS D’EQUIVALENCE ET ACTIONS DE GROUPES
1. Rappels ensemblistes
Les ensembles seront souvent not´es X, Y, . . .
On note f:X→Yune application de Xdans Y. On dit que Xest le domaine
de fou ensemble de d´epart et que Yest l’ensemble d’arriv´ee. Le sous-ensemble
f(X)⊂Yest l’image de f. Le graphe de fest le sous-ensemble de X×Y:
Graphe(f) = {(x, y)∈X×Y:y=f(x)}
D´efinition. On dit qu’une application f:X→Yest
(i) surjective si f(X) = Y; de mani`ere ´equivalente, l’´equation f(x) = yadmet
au moins une solution pour tout y∈Y;
(ii) injective si x6=x0⇒f(x)6=f(x0); de mani`ere ´equivalente, l’´equation
f(x) = yadmet au plus une solution pour y∈Y;
(iii) bijective si elle est surjective et injective ; de mani`ere ´equivalente, l’´equation
f(x) = yadmet exactement une solution pour tout y∈Y.
Axiome du choix Soit f:X→Ysurjective. Alors il existe g:Y→Xtelle que
pour tout y∈Y,f◦g(y) = y.
2. Relations d’´equivalence
D´efinition. Une relation d’´equivalence Rsur un ensemble Xest une relation
binaire (c’est-`a-dire une relation sur un couple d’´el´ements) x R y (on utilisera aussi
la notation x∼y) qui est
(i) r´eflexive, c’est-`a-dire ∀x∈X, x R x ;
(ii) sym´etrique, c’est-`a-dire x R y ⇒y R x ;
(iii) transitive, c’est-`a-dire x R y et y R z ⇒x R z ;
Le graphe de la relation d’´equivalence est le sous-ensemble de X×Xsuivant :
Graphe(R) = {(x, y)∈X×X:x R y}
La classe d’´equivalence de x∈Xest le sous-ensemble de Xsuivant :
[x] = {y∈X:y R x}
L’ensemble quotient, not´e X/R, est l’ensemble des classes d’´equivalence.
D´efinition. Une partition d’un ensemble Xest une famille (Xi)i∈Ide sous-
ensembles de Xtelle que

(i) ∀i6=j, Xi∩Xj=∅
(ii) X=Si∈IXi.
Proposition.
(i) Soit (Xi)i∈Iune partition de l’ensemble X. Alors la relation x R y si et
seulement si il existe i∈Itel que x, y ∈Xiest une relation d’´equivalence
dont les classes d’´equivalence sont les Xi.
(ii) R´eciproquement, si Rest une relation d’´equivalence sur un ensemble X, ses
classes d’´equivalence forment une partition de X;
(iii) On a donc une correspondence bijective entre relations d’´equivalence sur X
et partitions de X.
D´efinition. Soit Rest une relation d’´equivalence sur un ensemble X. On rappelle
que l’ensemble quotient, not´e X/R, est l’ensemble des classes d’´equivalence.
L’application π:X→X/R telle que π(x)=[x]est appel´ee application quotient.
Proposition.
(i) Soit f:X→Ysurjective. Alors la relation x R x0si et seulement
f(x) = f(x0)est une relation d’´equivalence dont les classes d’´equivalence
sont les images r´eciproques f−1(y)de f(appel´ees aussi fibres de f).
(ii) R´eciproquement, soit Rest une relation d’´equivalence sur un ensemble X.
Alors il existe un ensemble Yet une application f:X→Ysurjective telle
que x R x0si et seulement si f(x) = f(x0). On dit que fd´efinit R.
(iii) . Si f1:X→Y1et f2:X→Y2sont des applications surjectives
qui d´efinissent la mˆeme relation d’´equivalence R, alors il existe une bijection
g:Y1→Y2telle que f2=g◦f1.
Remarque. Soit f:X→Ysurjective o`u Xest un ensemble fini. Alors
|X|=X
y∈Y
|f−1(y)|
Proposition. Soit Rune relation d’´equivalence sur un ensemble Xet Zun
ensemble. Les propri´et´es suivantes d’une application f:X→Zsont ´equivalentes :
(i) x R y ⇒f(x) = f(y);
(ii) Il existe ˜ f:X/R →Ztelle que f=˜ f◦π, o`u π:X→X/R est l’application
quotient.
On dit alors que fest invariante par Rou que fse factorise `a travers X/R et que
˜
fest l’application induite par f.
2

3. Groupes
D´efinition. Un groupe est un ensemble Gmuni d’une op´eration
G×G→G
(g, h)7→ gh
telle que
(i) (associativit´e) Pour tous g, h, k ∈G, on a (gh)k=g(hk).
(ii) (existence d’un ´el´ement neutre) Il existe e∈Gtel que pour tout g∈Gon
ait ge =eg =g.
(iii) (existence d’un inverse) Pour tout g∈G, il existe h∈Gtel que gh =hg =
e; alors hest unique et est not´e g−1.
On dit que le groupe est commutatif (ou ab´elien) si pour tous g, h ∈G, on a
gh =hg. Il est fr´equent de noter additivement l’op´eration d’un groupe commutatif :
on ´ecrit g+hau lieu de gh. L’´el´ement neutre est alors not´e 0au lieu de e; l’inverse
de gest not´e −get appel´e oppos´e de g.
Exemples de groupes commutatifs
(R,+), (C,+), (R∗, .)
Exemples de groupes non commutatifs
Le groupe S3des permutations de {1,2,3}
Le groupe GL(2,R) des matrices dans M2(R) inversibles.
D´efinition. Soit Gun groupe (not´e multiplicativement). On dit que H⊂Gest
un sous-groupe de Gsi
(i) l’´el´ement neutre ede Gappartient `a H;
(ii) si happartient `a H, son inverse h−1appartient aussi `a H;
(iii) si get happartiennent `a H, leur produit gh appartient aussi `a H.
Exemples de sous-groupes
Z⊂Rest un sous-groupe de R.
SL(2,R)def ={A∈M2(R) : det A= 1} ⊂ GL(2,R) est un sous-groupe de
GL(2,R).
D´efinition. Soit G1, G2deux groupes et une application f:G1→G2. On dit
que fest un morphisme (de groupes) si pour tous x, y ∈G1,f(xy) = f(x)f(y).
Proposition. Soit f:G1→G2un morphisme de groupes. Alors
(i) f(G1)est un sous-groupe de G2;
(ii) Ker(f)def =f−1(e2), o`u e2est l’´el´ement neutre de G2, est un sous-groupe de
G1;
3

(iii) pour tout g∈G1et tout h∈Ker(f),ghg−1∈Ker(f).
D´efinition. On dit qu’un sous-groupe N⊂Gest normal (ou distingu´e) si pour
tout g∈Get tout n∈N,gng−1∈N.
Remarques
1) Le noyau Ker(f) d’un morphisme de groupes f:G1→G2est donc un sous-
groupe normal de G1.
2) Si Gest un groupe commutatif, tous ses sous-groupes sont normaux.
4. Actions de groupes
Notation. Etant donn´e un ensemble X, on note S(X) (ou Bij(X)) l’ensemble des
applications bijectives σ:X→X. C’est un groupe pour la composition des
applications.
D´efinition 1. Soient Gun groupe et Xun ensemble. Une action du groupe G
sur l’ensemble Xest un morphisme de groupes Φ : G→ S(X)
D´efinition 2. Soient Gun groupe et Xun ensemble. Une action `a gauche du
groupe Gsur l’ensemble Xest une application
ϕ:G×X→X
(g, x)7→ gx
telle que
(i) Pour tout x∈X, on a ex =x.
(ii) Pour tous g, h ∈Get tout x∈X, on a g(hx)=(gh)x.
On a une d´efinition analogue pour une action `a droite du groupe Gsur l’ensemble
X.
Proposition. Les d´efinitions 1 et 2 sont ´equivalentes.
La relation entre Φ : G→ S(X) et ϕ:G×X→Xest Φ(g)(x) = ϕ(g, x).
D´efinition. Soit Φ : G→ S(X)une action d’un groupe Gsur un ensemble X.
On dit que l’action est
(i) fid`ele si Φest injective ;
(ii) libre si gx =x⇒g=e;
(iii) transitive si pour tous x, y ∈X, il existe g∈Gtel que y=gx.
Proposition. Soit ϕ:G×X→Xune action d’un groupe Gsur un ensemble
X. Alors la relation
x R y ⇔ ∃g∈G:y=gx
4

est une relation d’´equivalence sur X.
D´efinition. Avec les notations de la proposition, on dit que Rest la relation
d’´equivalence orbitale de l’action. On d´efinit aussi
(i) pour x∈X, la classe d´equivalence [x] = Gx de x, aussi appel´ee orbite de
x;
(ii) X/G (quelquefois not´e G\Xpour une action `a gauche) comme l’ensemble
quotient X/R, c’est-`a-dire l’ensemble des orbites.
5. Espaces homog`enes et groupes-quotient
Soit Gun groupe. Etant donn´e un ´el´ement a∈G, on d´efinit
(i) la translation `a gauche
La:G→G
x7→ ax
(ii) la translation `a droite
Ra:G→G
x7→ xa
Proposition. Soit Gun groupe et a, b ∈G. Alors
(i) Laet Rbsont des bijections de Gsur G;
(ii) La◦Lb=Lab, Ra◦Rb=Rba, La◦Rb=Rb◦La.
Proposition.
(i) La translation `a gauche L:G→ S(G)qui `a a∈Gassocie la translation `a
gauche Laest une action de Gsur G;
(ii) Cette action est libre et transitive.
Corollaire. Tout groupe est isomorphe `a un sous-groupe du groupe des bijections
d’un ensemble.
On voit en outre que si Gest un groupe d’ordre nfini, alors Gest isomorphe `a un
sous-groupe du groupe sym´etrique Sn.
On a vu que l’action de Gsur Gpar translation `a gauche est transitive : il y a
une seule orbite. Ce n’est plus le cas si on restreint cette action `a un sous-groupe
Hde G:
D´efinition. Soit Hun sous-groupe d’un groupe G.
(i) On d´efinit l’espace homog`ene H\Gcomme l’espace des orbites de l’action
de Hsur Gpar translation `a gauche ;
5