Travaux Dirigés I- Pression - Hydrostatique - Université Paris-Sud
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Licence 3 de Physique et Applications Université Paris-Sud 2014-15 Mécanique des fluides Travaux Dirigés I- Pression - Hydrostatique - Archimède Exercice: Barrage On étudie ici la force s’exerçant sur un barrage qui retient une hauteur H = 100 m d’eau. On supposera que le barrage a une largeur L = 500 m et que la pression au sommet du barrage est la pression atmosphérique pa . On négligera les variations de pression de l’air due à l’altitude. On utilisera le système de coordonnées cartésiennes. Dans ce système le barrage est parallèle au plan yOz et l’eau retenue par le barrage est à x < 0 (fig. 1a). La base du barrage se trouve dans le plan z = 0. - %" - %" #" !" #" !" +" $" *"." %&" ," (" )" '&" Figure 1: 1) Question de cours: a) rappeler la loi de l’hydrostatique dans un fluide à l’équilibre de densité ρ soumis à la pesanteur ~g = −g ~ez . Ecrire cette loi sous la forme d’une équation différentielle permettant de calculer la pression p dans le fluide. b) Intégrer cette équation pour exprimer la pression p en tout point du fluide à l’équilibre. On supposera que p = pa en z = H. c) En appliquant le résultat précédent, tracer l’évolution de la pression dans l’eau entre la base et le sommet du barrage. On cherche maintenant à exprimer la force de pression qui s’exerce sur le barrage. Dans toute la suite on néglige les forces de pression dues à l’air. ~ = dS ~ex le vecteur 2) a) Soit dS un élément de surface du barrage autour du point P et dS associé. Exprimer alors la force de pression dF~ qui s’exerce sur le barrage au travers de dS. b) Sur un schéma indiquer le sens de dF~ . c) Comment est défini dS dans le système de coordonnées cartésiennes ? En déduire l’expression de la force de pression totale F~ qui s’exerce sur le barrage. Calculer numériquement la norme de cette force. 3) En réalité le barrage a une section trapézoidale symétrique d’angle α = 20o (fig. 1b). a) Soit P un point en surface du barrage en contact avec l’eau, sur un schéma représen~ en P . ter le vecteur surface dS b) Exprimer puis calculer numériquement les composantes de la force de pression sur le barrage F~t . c) Quel peut être l’intérêt de cette forme de barrage ? Exercice: L’expérience de Magdebourg Soit un cube métallique d’arête a qu’on scinde en 2 morceaux égaux. Après avoir reconstitué le cube, on y fait le vide. La pression extérieure est p0 = 105 Pa. 1) Quel est l’effet du vide ? Représenter les forces de pression. 2) Calculer la force nécessaire pour séparer le cube en 2 moitiés suivant un plan vertical (a = 10 cm). 3) Mêmes questions avec une sphère métallique de même surface que le cube. 4) Mêmes questions lorsque la sphère est immergée dans l’eau à 10 m de profondeur. Exercice: Entonnoir renversé On considère un entonnoir, constitué d’un cône d’angle au sommet α et de hauteur H, prolongé par un tube de petite section. L’entonnoir est renversé et repose sur un plan horizontal. Par le tube de l’entonnoir, on verse lentement de l’eau de masse volumique ρ, jusqu’à une hauteur h (h ≤ H), dans des conditions où les lois de l’hydrostatique sont vérifiées. On choisit l’axe Oz parallèle à l’axe du tube, orienté suivant la verticale ascendante. On note F~ la résultante des forces de pression exercées sur l’entonnoir par les fluides en présence (air et eau). 1) Quels sont la direction et le sens de F~ ? Justifier votre réponse. 2) Soit dS l’élément de surface du cône compris entre les cotes z et z + dz. Etablir l’expression de dF~ , résultante des forces de pression exercées sur cet élément de surface. 3) En déduire l’expression de F~ en fonction de ρ, g, h, H et α. 4) On suppose le cône de l’entonnoir rempli d’eau (h = H). Montrer que l’entonnoir doit avoir une masse minimum Me , à exprimer en fonction de la masse de liquide Ml . Que se passe-t-il si la masse de l’entonnoir est plus petite ? Exercice: Mesure d’une pression par un tube piézométrique Soit un point M d’un liquide en équilibre dans un réservoir fermé. On fait déboucher en M un tube transparent dans lequel la surface libre du liquide se fixe à la hauteur verticale z au-dessus de M . Le niveau A atteint par le liquide dans le tube s’appelle niveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquide dans le tube est pa . Montrer que la mesure de la pression pM en M peut se faire par la mesure de la hauteur z en donnant la relation qui relie les deux variables. A.N. Quelles sont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans les deux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ = 13 600 kg/m3 ) ; le fluide est de l’eau (ρ = 1 000 kg/m3 ). Exercice: Equilibre dans un tube en U Un tube en U contient de l’eau et du mercure à l’equilibre. A partir de la surface de séparation entre les liquides, on lit les hauteurs d’eau h = 20, 4 cm et de mercure h0 = 1, 5 cm. Quelles sont la densité et la masse volumique du mercure ? Exercice: Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli L’appareil représenté sur la figure ci-contre permet de mesurer la pression p d’un fluide, un gaz par exemple, en contact avec un seul liquide (en noir sur le schéma). Exprimer la pression p en fonction de la longueur L représentée sur le schéma. Montrer que la sensibilité ∆L/∆p augmente si le liquide a une faible masse volumique (eau, alcool au lieu du mercure) et si l’angle α du tube avec l’horizontale diminue. ! ! Exercice: Répartition de pression dans l’océan Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la pression selon la loi ρ = ρ0 [1 + a(p − p0 )] où a = 10−10 Pa−1 . La profondeur est notée h. Pour h = 0, p = p0 = 105 Pa et ρ = ρ0 = 103 kg/m3 . Donner la loi p(h). Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ? A.N. : h = 1 km. Quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ? Exercice: L’atmosphère terrestre On s’intéresse ici aux propriétés de la basse atmosphère terrestre, d’altitude inférieure à 10 km (la troposphère). Le gaz atmosphérique est supposé parfait et en équilibre hydrostatique. La masse molaire de l’aire est M = 29 g. Pour décrire l’atmosphère on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère cartésien Oxyz où Oz est l’axe vertical orienté vers le haut de l’atmosphère. La pression au niveau du sol est p0 = 1 atm et l’altitude correspondante est z = 0. On suppose dans un premier temps que l’atmosphère est isotherme de température T = T0 . 1) A partir du principe hydrostatique, déterminer le profil vertical de pression p(z). On 0 : quelle est la dimension de h ? Quelle est sa signification ? Calculer h définit h = RT Mg pour T0 = 300 K. On suppose à présent que l’atmosphère est adiabatique et que p = Kργ avec γ = cp /cv et K une constante. 2) Etablir une relation entre p et T . 3) De même qu’au 1), établir l’expression de p(z). En déduire l’expression de T (z). 4) Quelle est alors l’expression du gradient de température as = dT /dz ? Exprimez-la en fonction de h. Calculer sa valeur numérique sachant que γ = 1, 4. 5) En basse atmosphère, le gradient de température dT /dz est à peu près constant égal à -7 K/km. Dans ces conditions des mouvements de convection peuvent-ils se développer ? Exercice: Principe d’Archimède On considère un glaçon de forme cubique de côté h=4 cm et flottant en équilibre dans un verre d’eau à ras bord. On notera ρg la densité du glaçon, ρe celle de l’eau et ρa celle de l’air. On a ρg /ρe ' 0,92. 1) Retrouver le principe d’Archimède (dans l’air et dans l’eau) en exprimant la condition d’équilibre du glaçon. 2) Quelle est la hauteur immergée a du glaçon ? 3) Lorsque le glaçon fond, le verre déborde-t-il ? Exercice: Corps flottant Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il ? Quelle proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachant que la masse volumique de la glace est de 900 kg/m3 et celle de l’eau salée 1 025 kg/m3 ? Que pensez-vous de l’augmentation de l’eau des océans due à la fonte des icebergs ? Exercice: Gazomètre Le gaz de ville est souvent stocké dans une enceinte appelée gazomètre que vous allez maintenant étudier. Un gazomètre est formé d’une cloche cylindrique en acier à fond plat de masse volumique ρ1 , de rayon intérieur R, de hauteur H et d’épaisseur faible e. On note V le volume de l’acier constituant la cloche. On prendra H = R. Cette cloche est renversée sur une cuve à eau de surface libre fixe. Elle est en partie immergée et contient du gaz. On donne: e = 4 mm et ρ1 = 7800 kg/m3 , densité de l’acier. 1) a) Quelles sont les forces qui agissent sur la cloche ? Représentez les sur un schéma. b) Dans la limite où e << R, montrer que le volume de la cloche s’exprime comme V = 3πR2 e. c) En étudiant l’équilibre de la cloche, exprimer la pression à l’intérieur de la cloche pi en fonction de e, ρ1 , g et p0 . 2) a) Rappeler la loi de l’hydrostatique. b) Appliquer cette loi dans l’eau pour exprimer pi . En déduire l’expression de la variation de hauteur ∆h en fonction de e, ρ1 et ρ (densité de l’eau). Calculer ∆h. c) Retrouver ce résultat en appliquant directement le principe d’Archimède à un système que vous préciserez. d) Pourquoi ∆h est-il indépendant de pi − p0 ? Exercice: Submersible On s’intéresse à l’immersion d’une boîte cubique de côté a dans de l’eau. Le cube, rigide et creux, est rempli d’air à la pression atmosphérique p0 . Chaque face du cube a une épaisseur fixe e et on notera ρs la densité du matériau constituant le cube et M sa masse. Sauf mention contraire, la densité de l’eau ρ est supposée constante et on fait l’hypothèse que l’eau est un fluide parfait. L’axe Oz est pris vertical et orienté vers le haut. 1) Enoncer le théorème d’Archimède. En déposant le cube dans l’eau, une face parallèle à la surface de l’eau, on constate qu’à l’équilibre sa face supérieure se trouve à une distance h au-dessus de la surface de l’eau de cote z = 0. z h a O e 2) a) Exprimer la poussée d’Archimède que subit le cube. b) A l’équilibre, exprimer la hauteur émergée h en fonction de M , ρ et a. A quelle condition le cube flottera-t-il ? c) Sachant que e << a, exprimer la masse M du cube en fonction de a, e et ρs . Quelle est alors la condition sur a pour que le cube flotte ? Exprimer numériquement cette condition pour ρs /ρ = 10 et e = 5 cm. 3) On suppose que le cube flotte à l’équilibre avec une hauteur émergée h = 0. On lui rajoute une masse m qui n’augmente pas son volume (par exemple en le remplissant d’eau). Que va-t-il alors se passer ? Le mouvement du cube pourra-t-il s’arrêter ? 4) Au cours du mouvement du cube, on prend maintenant en compte la variation de la densité de l’eau avec la profondeur, ρ(z) = ρ0 (1 + αz) avec ρ0 = 103 kg/m3 . a) Quel doit être le signe de α pour que le cube s’arrête ? Quelle est sa dimension ? Sachant que m + M = (1 + k)ρ0 a3 (k nombre sans dimension) exprimer la cote ze où les forces sur le cube s’équilibreront. Faire l’application numérique pour |α| = 10−6 SI et k = 10−3 . b) Cet équilibre est-il stable ? Exercice: Aréomètre Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume V surmontée d’un tube capillaire gradué de section s et de longueur l. L’ensemble est étanche et lesté de façon que, lorsque l’appareil est plongé dans l’eau pure (de masse volumique ρ0 ), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0. Si on le plonge dans un liquide de masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x. La masse volumique ρ est-elle plus grande ou plus petite que ρ0 ? Exprimer la densité d = ρ/ρ0 en fonction de x et en déduire la sensibilité de l’appareil σ = ∆z/∆d. Pour quel liquide le densimètre est-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil. A.N. : V = 10−5 m3 ; s = 10−5 m2 ; l = 12 cm. Exercice: Mouvement d’un ballon sous l’eau Soit un ballon indéformable contenant un litre d’air à la pression 2p0 (p0 = 105 Pa) et à la température T = 300 K qu’on immerge dans l’eau à la pression 2p0 (on suppose qu’à la surface de l’eau la pression est p0 ). La température dans l’eau est supposée uniforme égale à 300 K. 1) Calculer la masse d’air mb contenue dans le ballon. Quel est son rayon R0 ? A quelle profondeur h faut-il l’immerger ? 2) Représenter sur un schéma les forces de pression s’appliquant au ballon. Que vaut le module de ces forces ? On suppose que le ballon est soumis de la part de l’eau à une force de frottement fluide α~v . 3) après avoir fait le bilan des forces en présence, écrire l’équation d’évolution du ballon et la résoudre. On prendra α = 6πηR (formule de Stokes) avec η = 1.2 10−3 Pa.s. 4) Le mouvement du ballon est-il altéré par la variation de pression statique ? 5) On s’intéresse maintenant au mouvement du ballon dans le cas où il se déforme tout en restant sphérique. On supposera que la pression dans tout le ballon est égale à la pression en son centre. Dans tout ce qui suit on négligera la masse du ballon mb . a) Comment évolue le rayon du ballon alors qu’il remonte vers la surface de l’eau ? b) Déduire l’évolution du rayon du ballon R(z) de la loi des gaz parfaits. c) Calculer le rayon du ballon alors qu’il arrive à la surface de l’eau R(z = 0). Calculer la variation de vitesse du mouvement du ballon entre z = −h et z = 0. II- Cinématique des fluides. Débit. Exercice: Trajectoires et lignes de courant Un écoulement est défini par les composantes du vecteur vitesse : u = u0 , v = v0 + at, w=0 Représenter les lignes de courant et les trajectoires des particules fluides. Exercice: Rotation et déformation On considère un écoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes en coordonnées cylindriques et pour r 6= 0 : vr = 0, vϕ = Ar + B/r, vz = 0 où A et B sont deux constantes. Le mouvement se fait-il de façon isovolume ? Calculer les composantes du rotationnel et du tenseur des vitesses de déformation. Après avoir identifié les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0 et B = 0 et interpréter physiquement les résultats. Exercice: Cinématique d’un écoulement Soit un écoulement bidimensionnel, défini dans la région x > 0 et y > 0 du plan xOy par les composantes du champ de vitesses (k désigne une constante positive) : vx = −kx, vy = ky 1) a) Déterminer la nature des lignes de courant de l’écoulement. Les représenter. b) Quelles sont les trajectoires des particules fluides ? Donner l’équation horaire (x(t), y(t)) de la trajectoire de la particule qui à l’instant t = 0 est située au point M0 de coordonnées (x0 , y0 ). 2) L’écoulement est-il incompressible ? Est-il rotationnel ? (Justifier vos réponses) 3) Déterminer l’accélération ~a d’une particule fluide située à la position de coordonnées (x, y) à un instant t donné. Est-ce que ~a dépend de t ? 4) a) Déterminer les composantes du tenseur des taux de déformation. b) Comment se déforme une particule dont la forme initiale est rectangulaire, de côtés ξx et ξy parallèles aux axes Ox et Oy ? Illustrer votre réponse par un schéma représentant également quelques lignes de courant. Exercice: Conservation de la masse et de l’énergie On examine une partie fixe Ω de l’espace, constamment emplie de fluide. On note son volume V, sa surface A et m(t) la masse de fluide que Ω contient à l’instant t. 1) En faisant un bilan de masse sur le volume V, exprimer le taux de variation de la masse par rapport au temps, dm/dt. On applique ce qui précède au cas où Ω est un élément de conduite de section d’entrée A1 et de section de sortie A2 . L’écoulement sera considéré unidimensionnel en entrée et en sortie. La vitesse dans la section Ai est notée vi . 2) Quelle est alors l’expression de dm/dt? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire ? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire et incompressible ? 3) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que la quantité p/ρ+v 2 /2+gz est conservée au cours de l’écoulement (on supposera que le fluide est incompressible). 4) Généraliser ce résultat au cas où le fluide est compressible. Application au cas du gaz parfait. Exercice: Champ de vitesse Soit un fluide incompressible, de masse volumique ρ, s’écoulant dans un tuyau horizontal d’axe Ox de section circulaire, avec un rétrécissement. Le champ de vitesse est: ~v = vx~ex − αr~er où α est une constante donnée. 1) L’écoulement est-il en régime permanent ? 2) En vous aidant de l’équation de continuité (équation traduisant la conservation de la masse) d’un fluide incompressible, calculer vx (x) sachant que vx (0) = v0 . 3) Calculer le débit massique à travers l’entrée du tuyau de rayon R. Calculer le débit à la sortie du tuyau. 4) Calculer le champ d’accélération du fluide. 5) L’écoulement est-il rotationnel ou irrotationnel ? Exercice: Tourbillon On considère l’écoulement défini par le champ vitesse suivant, défini en coordonnées cylin− − driques par → v = vc → eϕ : vc (r ≤ R) = v0 r/R vc (r > R) = v0 R/r avec v0 > 0. L’axe Oz est pris vertical orienté vers le haut. On suppose que cet écoulement a une épaisseur finie h suivant Oz. 1) a) Tracer la courbe de vc (r). b) Représenter cet écoulement en traçant et en orientant quelques lignes de courant autour de l’axe vertical Oz. → − c) Cet écoulement est-il compressible ? Exprimer le vecteur tourbillon Ω de cet écoulement et donner alors l’expression de vc en fonction de Ω. d) Exprimer le moment cinétique d’une particule de fluide de masse dm, en déduire le → − moment cinétique par unité de masse de l’écoulement, J . Tracer J(r). 2) a) Rappeler la définition du débit volumique. Exprimer alors le débit Qi au travers d’une section verticale appartenant au plan y = 0 et d’extension radiale 0 ≤ r ≤ R. b) Exprimer de même le débit Qe pour R ≤ r ≤ Re et trouver α = Re /R tel que Qi = Qe . Exprimer alors les vitesses moyennes correspondantes dans les 2 régions de l’écoulement. → − − → c) Mêmes questions pour les moments cinétiques Li et Le de l’écoulement central (r ≤ R) et extérieur (R ≤ r ≤ αR). Comparer Le et Li III- Fluides parfaits et réels Exercice: La clepsydre Dans l’Antiquité, les grecs mesuraient le temps en observant la hauteur h d’eau dans un récipient (clepsydre) en train de se vider et cet exercice a pour but d’étudier ce phénomène. On suppose dans un premier temps que la clepsydre est un récipient cylindrique de section S constante avec à sa base un orifice de section s par lequel l’eau peut s’échapper à l’air libre. Cet orifice est d’abord bouché pour remplir la clepsydre jusqu’à la hauteur h0 . A t = 0 on libère l’orifice et le vidage commence. Les valeurs numériques sont: h0 = 1 m, s = 1 cm2 et S = 0, 5 m2 . On suppose que l’eau est un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent. On négligera les variations de pression dans l’air. La pression atmosphérique est p0 = 105 Pa. 1) Soient vB et vA les vitesses de l’eau au sommet de la clepsydre et dans l’orifice de sortie. Que vaut vA /vB ? 2) Exprimez vA à t = 0 et faîtes l’application numérique. 3) Exprimez vB au cours du vidage et déduisez-en h(t). Les mesures de temps seront simples si la hauteur est une fonction affine du temps, soit h = at + b (les différences de hauteur sont alors proportionnelles au temps écoulé) et on recherche la forme de clepsydre correspondante. 4) Soit D le diamètre de la clepsydre: comment doit varier D en fonction de h pour que h varie comme at + b ? Calculer alors numériquement le temps de vidage de la clepsydre. Exercice: Mesure de débit avec un Venturi incliné Une des méthodes peu couteuses employées pour la mesure du débit dans une canalisation est l’utilisation d’un tube de Venturi. On démontre ici qu’avec cet instrument il est possible - en supposant que l’écoulement (stationnaire) est unidimensionnel au moins dans les sections A0 et A1 et que le fluide circulant est sans viscosité - de calculer le débit de ce fluide, sans qu’intervienne l’inclinaison éventuelle de l’appareil. Le fluide en écoulement est une huile incompressible de masse volumique ρ = 820 kg/m3 . La section A0 d’entrée dans le Venturi est caractérisée par son diamètre D0 = 125 mm. La seconde prise de pression statique est en section A1 de diamètre D1 = 50 mm. A l’intérieur du tube en U où aboutissent les prises de pression est placé un fluide de mesure de masse volumique ρm = 13,600 g/cm3 (mercure). L’inclinaison du tube et les différentes cotes de niveaux sont repérées par rapport à une base horizontale arbitraire. En supposant qu’une ligne de courant (au moins) passe par des points voisins de chacun des orifices de prise de pression, calculer la valeur du débit volumique d’huile, lorsque la dénivellation observée dans le tube en U est ∆h = 200 mm. On prendra g = 9,81 m/s2 . Exercice: Siphon Un liquide (ρ = 103 kg/m3 ) s’écoule par un siphon formé d’un tube en U de section constante. Le haut du tube est à une hauteur h au dessus du niveau de la surface libre dans le récipient et à une hauteur h0 de l’orifice de sortie A. Le niveau du liquide (C) dans le réservoir de large section est maintenu constant grâce à l’apport de liquide par le robinet R et on supposera que v(C) = 0. 1) Exprimer la vitesse vA d’écoulement du liquide en A. 2) Déduire du résultat une condition nécessaire au fonctrionnement du siphon. Calculer vA pour h0 − h = 1 m. On prendra g = 10 m/s2 . 3) Calculer la pression en B pour h0 =1,5 m et h0 =15 m. 4) Commenter le signe de la pression en B. 5) A partir de quelle valeur limite de h0 le siphon cessera-t-il de fonctionner ? Exercice: Trompe à eau Une trompe à eau est un dispositif servant à faire le vide. Elle est en général constituée d’un réservoir ouvert de grande section dont le niveau en D est maintenu constant. L’eau s’écoule par un tube de section constante s sauf en un point B où il présente un rétrécissement et où la section est s1 = s/4. En B, le tube est mis en communication avec un récipient C initialement rempli d’air à la pression atmosphérique. En fonctionnement l’eau ne pénètre pas dans C. On étudie maintenant ce dispositif lorsque le régime permanent est établi. On supposera que l’eau est un fluide parfait et incompressible. On note p0 la pression atmosphérique et on prendra p0 = 105 Pa. On supposera que la pression en D et A est p0 . 1) Calculer les vitesses vA et vB de l’eau aux points A et B. On donne H = 50 cm, h = 10 cm, s = 1 cm2 et g = 10 m/s2 . 2) Evaluer la pression en C. Exercice: Pompe à effet Venturi On considère un tube cylindrique horizontal et de section variable dans lequel s’écoule de l’eau en régime permanent (Fig.1a). On note SA et SB les sections droites perpendiculaires à l’axe d’écoulement et passant par les points A et B. L’eau débouche ensuite dans une cavité et l’on supposera que la section de l’écoulement reste constante égale à SB . L’écoulement dans le tube d’entrée (par exemple au niveau du point A) a une vitesse v et un débit volumique Q. On notera vs la vitesse en sortie au niveau du point B. On suppose que l’eau est un fluide parfait de masse volumique constante ρ. On donne les valeurs numériques suivantes: Q = 2 litres/s, pA = p0 , SA = 10−3 m2 et α = SA /SB = 4. 1) a) Dans cet écoulement (Fig. 1a), comment se traduit la conservation de la masse ? b) Exprimer v en fonction de Q et établir la relation entre v et vs . Calculer v. 2) a) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer la différence de pression pA − pB en fonction de α, v et ρ. Lorsque la pression pB est proche de la pression de vapeur saturante de l’eau, pV = 2340 Pa, des bulles se forment et viennent perturber l’écoulement: c’est le phénomène de cavitation qu’on cherche à éviter. b) Comparer pB à pV . Montrer que pour qu’il n’y ait pas cavitation, il faut que v < vm . Exprimer et calculer vm . 3) On utilise à présent ce dispositif pour pomper de l’eau à partir d’un puits (Fig. 1b). On suppose que la surface de l’eau du puits est à une profondeur constante d et que la pression qui y règne est p0 . En régime permanent, l’eau du puits circule dans un tuyau de section constante SB jusqu’à la cavité où règne la pression pB . A la sortie du tuyau de pompage, l’eau a la vitesse ve . On supposera que l’arrivée d’eau pompée ne change pas la valeur de pB trouvée au 2). a) A l’aide du théorème de Bernoulli, exprimer ve . En déduire la profondeur maximale, dm , à laquelle on pourra prélever de l’eau. Calculer dm . b) Calculer ve pour d = 2 m. En déduire la valeur numérique du débit volumique Qe dans le tuyau de pompage. Comparer à Q et discuter. 4) Sachant que le débit Q dans le tube de section SA est établi grâce à une turbine qui fait passer l’eau d’une vitesse nulle à la vitesse v = 2 m/s à pression constante p0 , exprimer et calculer la puissance P fournie par la turbine (on utilisera le théorème de Bernoulli généralisé aux écoulements comportant des machines). Exercice: Formation d’un jet d’eau Un jet d’eau est alimenté par un réservoir. Un tuyau horizontal de diamètre D et de longueur L amène l’eau du réservoir au jet d’eau. Le trou par lequel s’échappe l’eau du jet a un diamètre d. Dans toute la suite la vitesse de l’eau au passage par ce trou est constante et on la notera v. Les dimensions du réservoir sont très grandes devant D et d. L’altitude H à laquelle se trouve la surface libre de l’eau dans le réservoir sera donc considérée comme constante. La pression qui règne au sommet du réservoir est la pression atmosphérique p0 . On négligera les variations de pression dans l’air. Le diamètre du tuyau sera négligé dans les calculs d’altitude. Données numériques: D=2 cm, L=1 km, d=3 mm et v=10 m/s. H h D d v L 1) Dans toute cette première question on néglige les forces de viscosité. a) Enoncez le théorème de Bernoulli. b) En négligeant la vitesse de l’eau dans le tube horizontal (d << D), exprimez la pression ph dans le tube horizontal pour que l’eau soit expulsée avec la vitesse v. Calculez ph − p0 . c) A quelle altitude h s’élève le jet d’eau ? (on négligera l’effet de la résistance de l’air sur jet). Calculez numériquement h. Le diamètre du jet change-t-il en fonction de l’altitude ? d) A quelle altitude H (expressions littérale et numérique) doit s’élever l’eau dans le réservoir pour imposer la vitesse v ? 2) On prend maintenant en compte les forces de viscosité dans le tuyau horizontal. a) On rappelle la loi de Poiseuille: Q= πa4 ∆P 8ηl (1) Que représentent Q, a, η, l et ∆P ? Précisez les unités utilisées pour chacune de ces grandeurs. b) Exprimez la vitesse moyenne V dans le tuyau horizontal en fonction de d, D et v. Pourquoi raisonne-t-on à l’aide d’une vitesse moyenne et comment est-elle définie ? c) Exprimez la différence de pression entre la base du réservoir et l’extrémité du tuyau horizontal où se trouve le trou laissant passer le jet d’eau. Faîtes l’application numérique. d) Calculez numériquement l’altitude H à laquelle doit maintenant se situer le niveau de l’eau dans le réservoir pour que v ait la même valeur numérique qu’au 1). Pourquoi cette valeur est-elle supérieure à celle du 1) ? Exercice: Vidage d’un réservoir au travers d’une turbine Un réservoir cylindrique de rayon Ra contient de l’eau de masse volumique ρ. Sa base est reliée par une canalisation de rayon Rb à une turbine dont l’entrée est située à une hauteur h au dessous du niveau du réservoir. L’eau s’écoule en régime permanent dans le tuyau et au travers de la turbine. On notera pb et pc les pressions à l’entrée et à la sortie de la turbine. Tant que pb > pc , la turbine maintient le débit constant. A la sortie C de la turbine, le liquide s’écoule dans un tuyau horizontal de rayon Rc et de longueur L puis sort en D. La pression dans l’air est la pression atmosphérique p0 . Données numériques: Q = 1 litre/s, Ra = 80 cm, Rb =8 cm, Rc =4 cm, h0 = 1, 50 m, L=10 m. 1) Dans toute cette première question on considérera que le fluide est parfait. a) Expliquez pourquoi on peut faire l’hypothèse vA = 0. b) En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimez les pressions pb et pc . c) Exprimez la puissance P absorbée par la turbine. rayon Ra p 0 A h Rc Turbine B Rb vb vc D C L d) Calculez numériquement les vitesses vb et vc puis pb et P pour h = h0 2) On remplace l’eau par un liquide de forte viscosité η = 1 Pa× s mais de même masse volumique. On suppose que les forces de viscosité interviennent uniquement dans le tronçon CD et que le débit reste le même qu’à la question précédente. a) On rappelle la loi de Poiseuille: πa4 ∆p 8ηl Dans le système présent, que représentent a, η, l et ∆p ? Précisez les dimensions de chacune de ces grandeurs. b) Définissez la vitesse moyenne d’écoulement vm dans le tuyau CD. Est-elle modifiée par la prise en compte des forces de viscosité ? c) L’écoulement dans CD est-il turbulent ? (on rappelle le nombre de Reynolds ) Re = ρvd η d) Exprimez alors pc et P et faîtes l’application numérique pour h = h0 . Comparez P au résultat obtenu en 1)d) et interprétez. Q= 3) On considère à présent que le niveau du réservoir baisse (va 6= 0) et on cherche à déterminer comment évoluent en fonction du temps la hauteur h, les pressions pb et pc ainsi que la puissance P absorbée par la turbine. a) Comment s’exprime la vitesse va ? b) En supposant que h = h0 à t = 0 et que le débit reste constant, exprimez h(t) et P(t). c) Quelle est la relation entre pb et pc lorsque le débit ne peut plus être maintenu par la turbine ? En déduire la hauteur h1 et le temps t1 à partir desquels le débit n’est plus régulé. Calculez les valeurs numériques de h1 et t1 . d) Que vaut la puissance absorbée P lorsque t > t1 (expressions littérale et numérique) ? e) Exprimez, après l’instant t1 et en fonction de h, le débit Q et la vitesse vc dans le tuyau CD. Exercice: Tube de Pitot et pompe Un réservoir de large diamètre contient de l’eau (densité ρ) et est relié à sa base à une canalisation cylindrique horizontale de rayon R terminée par un embout de rayon R/2 qui débouche sur l’air libre. Dans la canalisation est placé un dispositif de Pitot constitué de 2 tubes A et B. On note A (point d’arrêt) et B (prise de pression) 2 points dans l’écoulement à la base des tubes de Pitot. En leur extrémité supérieure, ces deux tubes sont ouverts à la pression atmosphérique p0 . En régime permanent l’eau s’écoule par la canalisation et on note h, a et b les hauteurs des niveaux d’eau du réservoir, du tube A et du tube B respectivement (voir figure). On supposera que l’eau est un fluide parfait, incompressible et on négligera les variations de pression dans l’air. On supposera que la vitesse hydrodynamique est constante dans toute section droite de la canalisation. %&" '" %&" #" +" -" )"#" ," #" *" %&" !(" #" %(" $" !" 1) a) Dans un tel écoulement, comment exprime-t-on la conservation de la masse ? En déduire la relation entre v et vi b) Enoncer le théorème de Bernoulli en précisant les conditions d’application. 2) On cherche dans un premier temps à exprimer la vitesse dans la canalisation, vi . Puisque B est une prise de pression, on a vB = vi . On notera pi la pression dans la canalisation. a) En utilisant le théorème de Bernoulli et en précisant à chaque fois entre quels points vous l’appliquez, exprimer en fonction de h la vitesse v de sortie du liquide en E puis en fonction de h et p0 la pression pi à l’intérieur de la canalisation. b) Quelle est la vitesse de l’eau en A ? Exprimer la pression en ce point en fonction de h et p0 . c) En appliquant le principe hydrostatique aux tubes de Pitot, exprimer les pressions aux points A et B en fonction de p0 et a puis b respectivement. d) L’utilisateur du dispositif de Pitot n’a accès qu’à la valeur de a − b. Exprimez alors en fonction de a − b les grandeurs h, vi , QV (débit volumique) et pi . e) Calculer les valeurs numériques de h, vi , QV et pi sachant que a − b = 20 cm et R = 2 cm. 3) On remplace le réservoir par une pompe qui maintient le même débit QV . L’eau est alors prélevée par la pompe à une profondeur d = 3 m dans un bassin de grand diamètre où règne la pression atmosphérique p0 et elle est ensuite refoulée dans la canalisation précédente avec les mêmes pression pi et vitesse vi . Les sections d’entrée et de sortie de la pompe sont égales à celles de la canalisation et on supposera que les lignes de courant traversent la pompe sans être trop affectées. ("!" QV $%" !" )" &'" $'" $%" !" #" d Pompe x D Exprimer la puissance P de la pompe en fonction de d et a−b. Calculer P avec les valeurs numériques de la question précédente. Exercice: Jacuzzi On s’intéresse ici au fonctionnement d’un jacuzzi alimenté par un réservoir en sous-sol à une profondeur H = 20 m (fig. 2b). On suppose que l’eau est prélevée à la pression atmosphérique pa et que le jet final débouche à l’air libre où règne également pa . On suppose que le débit QV est de 3,6 m3 /h. Le réservoir où l’eau est prélevée est suffisamment grand pour que l’on puisse négliger la vitesse à sa surface. On se place en régime permanent et on considèrera que l’eau est un fluide incompressible et parfait. On négligera toutes les pertes de charge dues à la forme de l’écoulement. -# )# '!# *# )#-*./# ' !# 34# )#*# 4# $%&'(# 12# ' !# ,#)# !"# +# )# 0"# Figure 2: 1) On commence par définir le tube délivrant le jet d’eau (fig. 2a). Pour des questions de confort, on souhaite maintenir l’énergie cinétique du jet à 0.1 Joule pour un volume d’eau de 30 cm3 . a) Quelle doit alors être la valeur de la vitesse du jet en sortie vs ? Dans toute la suite de l’exercice, on prendra vs = 2 m/s. b) Exprimer et calculer le diamètre de sortie d du jet. c) Sachant que le diamètre du tube qui amène l’eau de la pompe au point C vaut 2d, donner la relation entre vC et vs . d) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression au point C, pC , en fonction de pa , ρ et vs . Calculer pC . 2) On cherche maintenant à caractériser la pompe qui permet au jacuzzi de fonctionner. On note P la puissance mécanique fournie par la pompe au fluide. Le diamètre du tube qui amène l’eau jusqu’au jacuzzi est partout 2d sauf dans la partie finale décrite précédemment. a) Quelle est la dimension de P/QV ? b) En utilisant le théorème de Bernoulli généralisé aux écoulements incluant des machines, exprimer P en fonction de QV , vs et H. Calculer P. c) En déduire l’expression de la différence de pression ∆p entre l’entrée et la sortie de la pompe en fonction de H et vs . Comment peut-on interpréter cette expression d’un point de vue énergétique (on pourra multiplier les deux membres par le volume d’une particule fluide τ ) ? d) Sachant que ∆p est une constante caractérisant la pompe indépendamment de QV , tracer la courbe de H en fonction de QV pour la valeur de ∆p calculée précédemment. Pour quelle valeur de QV , H est-elle maximale ? Quelle est la valeur maximale de QV possible ? Pour un type de pompe donné, cette courbe permet de déterminer le débit possible pour H donné. Exercice: Eolienne On modélise ici de façon simple le fonctionnement d’une éolienne. L’éolienne est placée dans un écoulement uniforme de vitesse V . L’hélice de l’éolienne couvre une aire A. On étudie l’écoulement dans un tube de courant cylindrique représenté en tirets sur la figure. L’air en dehors du tube de courant est à une pression p0 . !" $" '$(")" !" #" '&("*)" !" %" !" &" -" ,"x +" Figure 3: Ecoulement autour de l’éolienne. La zone délimitée par les tirets est un tube de courant. Les conditions aux limites de l’écoulement sont les suivantes: • loin en amont, au point 0, la vitesse est V , la pression p0 et le tube de courant a une section droite d’aire C × A avec C < 1. • Loin en aval, au point 3, la vitesse vaut f V , avec f < 1 (car l’éolienne récupère en partie l’énergie cinétique de l’air qui la traverse). On négligera l’effet de la pesanteur et on considèrera l’air comme un fluide parfait, incompressible. On supposera les vitesses constantes dans les sections droites du tube de courant. On ne tiendra pas compte des mouvement de gyration de l’air au voisinage de l’hélice. La masse volumique de l’air sera notée ρ. 1) a) A l’aide du théorème de Bernoulli, estimer en fonction de V , ρ et C la différence de pression p1 − p0 entre les points 0, loin en amont, et 1, immédiatement avant l’hélice dans l’écoulement. b) En fonction de V , f , ρ et C, estimez de même p3 − p2 différence de pression entre les points 2, immédiatement après l’hélice dans l’écoulement et 3, loin en aval. c) Sachant que dans la section droite du point 3, l’écoulement est unidirectionnel et parallèle à Ox, montrer en utilisant l’équation d’Euler que p3 = p0 . d) En déduire p1 − p2 et l’expression de la résultante des forces de pression Fe , exercées par le tube de courant sur l’éolienne. Représentez-la sur un schéma. 2) a) En fonction du débit et des vitesses, évaluer la variation de quantité de mouvement dq de l’écoulement pendant dt au travers des sections droites 0 et 3. b) En déduire l’expression de la résultante des forces Ft subie par le fluide dans le tube de courant. Représentez-la sur un schéma. c) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au tube de courant montrer que Fe + Ft = 0 (on négligera la force sur le tube due à l’air extérieur au tube). Exprimer alors C en fonction de f . 3) a) En appliquant le théorème de Bernoulli généralisé aux écoulements incluant des machines, exprimer la puissance mécanique récupérée par l’éolienne en fonction de ρ, V , A et f . b) Exprimer la valeur du facteur f correspondant à la puissance maximale. Ce facteur dépend de la conception et du régime de fonctionnement adoptés pour l’éolienne : dessin des pales, vitesse de rotation, réglage du pas des pales, etc... c) En déduire l’expression de la puissance maximale théorique en fonction de ρ, V et A. Calculer numériquement cette puissance maximale pour ρ = 1, 3 kg/m3 , A = 15 m2 et V = 10 m/s. Exercice: Lance à incendie On s’intéresse à un écoulement cylindrique convergent. Un exemple classique est celui de la lance à incendie représentée sur la figure. L’eau passe d’abord par un tuyau de diamètre D1 avec la vitesse moyenne v1 puis par un manchon conique de longueur L et de diamètre de sortie D2 . A la sortie du manchon, l’eau débouche dans l’air à la pression atmosphérique pa et avec la vitesse moyenne v2 . On notera QV le débit volumique de cet écoulement. On suppose que l’eau a une masse volumique ρ constante et que l’écoulement est en régime permanent. On négligera les variations de pression de l’air dues aux différences de hauteur. Données numériques: D1 = 6, 5 cm, D2 = 2, 2 cm, L = 50 cm , QV = 5 l/s et η = 10−3 Pa.s. 1) a) Exprimer et calculer v2 en fonction des données du problème. En déduire v1 . b) Exprimer le nombre de Reynolds R2 à la sortie du tuyau convergent et calculezle: l’écoulement est-il turbulent ? Mêmes questions pour le nombre de Reynolds R1 de l’écoulement avant la partie conique. Dans la suite on négligera les effets de la viscosité. 2) a) Rappeler le théorème de Bernoulli ainsi que ses conditions d’application (on négligera les pertes de charge). b) Exprimer alors la pression moyenne p1 dans le tuyau de diamètre D1 . Calculer p1 . On cherche à estimer la force de recul ressentie par un pompier tenant la lance. Pour ce faire, on définit un volume de fluide ∆ pour lequel on va faire le bilan des forces. 3) a) Exprimer la force de pression F~1 exercée sur ∆ au travers de la section droite en x = 0. Même question pour la force de pression F~2 exercée sur ∆ au travers de la section droite en x = L. b) Calculer la force de pression motrice résultante F~1 + F~2 . c) On note F~p la force de pression exercée sur ∆ par les parois du manchon. Pourquoi F~p est-elle parallèle à Ox ? La force totale exercée sur le fluide dans ∆ est donc F~∆ = F~1 + F~2 + F~p . On cherche maintenant à estimer la variation de quantité de mouvement du fluide dans ∆ pendant dt. 4) a) Exprimer en fonction du débit massique la quantité de mouvement qui entre dans ∆ par unité de temps, d~q1 /dt. b) Exprimer de même la quantité de mouvement qui sort de ∆ par unité de temps, d~q2 /dt. c) En déduire alors une expression de F~∆ . Calculer F∆ . Dans quel sens la force est-elle orientée ? d) En déduire F~p et la force de recul F~r ressentie par le pompier tenant la lance. Calculer F~r . Exercice: Coude dans un écoulement On considère un écoulement comportant un coude (voir figure). Cette forme d’écoulement va induire une perte de charge pour le fluide ainsi qu’une force sur la conduite entourant le fluide qu’on cherche à décrire. On définit un volume de contrôle ∆ enceint par les sections droites S1 et S2 ainsi que par la surface latérale Sl . On supposera que l’écoulement est en régime satationnaire et que le fluide est de l’eau de masse volumique ρ = 1 kg/l. On néglige les effets de la viscosité ainsi que ceux de la pesanteur. )# %$# *# !$# (# ! l# !"# %"# '# &# 1) Après avoir expliqué pourquoi l’impulsion change dans l’écoulement, exprimer la variation d’impulsion d~q/dt du volume de contrôle fluide ∆. 2) a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à ∆, exprimer la force de pression F~s que la conduite exerce sur le fluide à l’intérieur de ∆. b) Retrouver ce résultat à partir du théorème d’Euler. c) Calculer le module de F~s ainsi que ses composantes pour p1 = 4 bars, p2 = 3.95 bars, S1 = S2 = 0, 6 m2 , v1 = 5 m/s et α = 60o . Représenter F~s sur un schéma. d) Exprimer la perte de charge induite par le coude (perte de charge singulière) sous la forme ∆p = kρv 2 /2. Calculer k et commenter. ~ des forces s’appliquant à la canalisation. Faire l’application 3) Exprimer la résultante R numérique et commenter. On prend maintenant en compte les effets de la viscosité sur une longueur L = 1 km autour du coude. On rappelle que η = 10−3 Pa.s. 4) a) En utilisant la loi de Poiseuille, exprimer la perte de charge (régulière) due à la viscosité en fonction de la pression dynamique et d’un coefficient kv à expliciter. Commenter la valeur de kv . b) Comment peut-on alors estimer la perte de charge totale dans cet écoulement ? 5) Quel serait l’effet de la pesanteur sur les résultats précédents ? Exercice: Poussée d’un moteur à réaction La figure ci-dessous représente le modèle du moteur qui sert de base à l’analyse. Le débit de masse rentrant dans le moteur est ṁa et le débit sortant est la somme du débit d’air et du débit de carburant, ṁe = ṁf + ṁa . L’énergie thermique fournie dans la chambre de combustion est transformée en énergie cinétique après le passage du gaz dans une turbine et sa détente dans la tuyère. On se place dans le système de coordonnées en translation uniforme avec le moteur: dans ce système, le moteur est au repos et le fluide situé en amont se dirige vers le moteur à la vitesse v0 . Les conditions qui règnent dans la section d’éjection du moteur sont pe , ve . En appliquant la conservation de la quantité de mouvement, exprimer la force de poussée développée par le moteur. On négligera les forces de pesanteur. Indication : considérer le volume de contrôle de fluide schématisé sur la figure; la section d’entrée est placée suffisamment en amont du moteur de telle sorte que la pression et la vitesse qui y règnent soient respectivement p0 et v0 (les conditions à l’infini amont dans l’écoulement libre) ; la section de sortie du fluide est la section de sortie du moteur. A.N. : Un turboréacteur propulse un avion à une vitesse constante de 300 m/s. Le débit d’air qui passe dans le turboréacteur est de 90 kg/s, le débit de carburant est de 2 kg/s. La vitesse d’éjection des gaz est de 620 m/s et la pression d’éjection est égale à la pression ambiante. Figure 4: Volume de contrôle pour la détermination de la poussée d’un turboréacteur. Exercice: Mesure de perméabilité On réalise le montage suivant de façon à mesurer la perméabilité k du milieu poreux P. Le fluide utilisé est de l’eau, incompressible et de viscosité η. La hauteur h est maintenue constante par un apport d’eau. L’eau et le milieu poreux sont contenus dans un tube de section circulaire constante S. La perméabilié du milieu poreux est déduite de la mesure du débit volumique QV . Valeurs numériques: η = 10−3 Pa.s, ρ = 1 kg/l, h = 50 cm, d =10 cm, S = 10 cm2 et QV = 1 cm3 /s. 1) Dans un premier temps on néglige la contribution de la pesanteur sur la hauteur d du milieu poreux. a) Rappeler la loi de Darcy. b) Exprimer alors la perméabilité k0 en fonction des données de l’expérience. Faire l’application numérique. De quel genre de milieu poreux s’agit-il ? 2) On prend maintenant en compte l’effet de la pesanteur. a) Exprimer alors la vitesse moyenne de l’eau dans le milieu poreux en fonction du terme de pesanteur et du gradient de pression. b) Calculer à nouveau k. Conclusion ? 3) a) Comment procède-t-on expérimentalement pour mesurer QV ? b) Comment peut-on faire une mesure précise de k ? Exercice: Palier lubrifié On considère un axe de rayon R = 2 cm en rotation à N = 7200 tours/min dans un palier lubrifié. On supposera que l’espacement entre l’axe et le palier est constant et égal à h = 0,04 mm. La viscosité de l’huile est 0,020 poiseuilles et sa masse volumique est ρ = 920 kg/m3 . La longueur du palier est L = 5 cm. On supposera que la distance h entre l’axe et le palier est petite devant le rayon moyen R. On suppose que la charge sur l’axe est très faible, de telle sorte que les forces de frottement associées à la viscosité sont les seules importantes. Calculer la contrainte agissant sur le fluide au niveau de l’axe, la force de frottement sur l’axe, le couple correspondant et la puissance nécessaire pour faire tourner l’axe. IV- Ecoulements Exercice: Ecoulement de Couette On considère l’écoulement laminaire et permanent d’un fluide visqueux newtonien, incompressible, entre deux plaques parallèles horizontales espacées d’une distance h. La plaque supérieure est en mouvement à la vitesse V , alors que la plaque inférieure est statique. Les deux plaques sont considérées de dimensions infinies dans les deux directions x et y. L’écoulement est unidimensionnel, parallèle à la direction x. On note η le coefficient de viscosité dynamique du fluide et ρ sa masse volumique. On étudie le régime permanent. 1) Écrire l’équation de continuité, compte tenu des hypothèses. 2) Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement. On posera, sans le démontrer, que la pression ne varie pas suivant x (plaques infinies). 3) Montrer que la pression varie sur une verticale suivant la loi hydrostatique. 4) Déterminer la distribution de vitesse entre les plaques en intégrant l’équation du mouvement et en utilisant les conditions aux limites correspondantes. 5) Considérons la situation pour laquelle le fluide est de l’huile pour moteur et h = 3 mm. La vitesse de la plaque en mouvement est V = 10 m/s. On suppose que les propriétés de l’huile sont constantes. On donne : ρ = 888,2 kg/m3 ν = η/ρ = 900 10−6 m2 /s. Déterminer les contraintes de viscosité et en déduire l’expression de la force par unité de surface nécessaire pour assurer le mouvement de la plaque supérieur Exercice: Ecoulement de Poiseuille plan On considère une géométrie idéale où le fluide incompressible de viscosité η s’écoule entre deux plans fixes parallèles distants d’une largeur 2h. On suppose en outre que le fluide est non pesant (forces de gravité négligeables) et que le mouvement est permanent (stationnaire dans le temps), rectiligne, parallèle aux plans et bidimensionnel. Conformément aux notations de la figure, on prend l’axe Ox colinéaire à celui du mouvement, la direction normale aux plans étant prise pour axe Oy. L’axe Oz, orthogonal au plan de la figure complète le trièdre orthonormé. On désigne par vx , vy et vz les composantes du vecteur vitesse dans le repère ainsi constitué et par p la pression. En raison du caractère plan et stationnaire de l’écoulement on a pour toute grandeur G le décrivant: ∂G/∂z = 0 et ∂G/∂t = 0. Le problème dynamique posé par cet écoulement se réduit donc à la détermination des quatre fonctions scalaires de (x, y): vx , vy , vz et p entre les deux plans. 1) Traduisez le caractère parallèle du mouvement et écrivez l’équation de continuité. 2) Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement (en les simplifiant au maximum compte tenu des hypothèses). 3) Comment p varie-t-elle sur une verticale (suivant y) ? De quelle variable dépend vx ? Réécrivez alors la 1re équation de Navier-Stokes sous la forme d’une égalité de deux fonctions inconnues à variables séparées. 4) En déduire la loi de variation longitudinale (suivant x) de la pression. On notera p0 la pression de référence en x = 0, et A la constante qui subsiste après l’intégration. 5) Déterminez le profil de vitesse entre les plaques en fonction de A. Que vaut la vitesse maximale en fonction de h, η et A ? Quel est le signe de A ? Que vaut la vitesse moyenne ? Exprimer A en fonction du débit volumique par unité de largeur (largeur = dimension suivant Oz). 6) Déduire des résultats précédents le tenseur des contraintes visqueuses et calculer la contrainte de cisaillement τxy en fonction de A. Que vaut en particulier le frottement τp à la paroi supérieure ? 7) Exprimer A en fonction de τp . En déduire l’expression de la perte de pression le long de l’écoulement ∂p/∂x en fonction de τp . Exercice: Ecoulement sur un plan incliné On cherche à caractériser l’écoulement d’un liquide incompressible et visqueux dans un canal de largeur L formant un angle α avec l’horizontale. On supposera que l’écoulement a une épaisseur h constante et que sa largeur L suivant Oy est très grande (on n’étudie donc pas l’écoulement sur les bords du plan incliné). On utilisera le repère cartésien représenté sur la figure. La viscosité de l’air et les variations de pression en fonction de l’altitude dans l’air seront négligées. Valeurs numériques: η = 0.5 SI, ρ = 1 kg/l, h = 1 cm, L =1 m et α = 300 . $" &" %" !" !" #" 1) On fait l’hypothèse d’un écoulement laminaire où la vitesse de l’écoulement s’écrit ~v = v(x, z) ~ex . De même, la pression dans l’écoulement sera décrite par p(x, z). a) Pourquoi la coordonnée y n’intervient-elle pas dans ces grandeurs physiques ? b) Dans un fluide incompressible, quelle condition vérifie ~v ? Utilisez-la pour montrer que v ne dépend que d’une seule coordonnée. c) Ecrire les composantes du vecteur ~g dans le repère choisi (pour vérifiez vos projections placez-vous dans le cas limite où α = 0). 2) L’écoulement étudié ici peut-être décrit par l’équation de Navier-Stokes stationnaire: ~ v = −∇p ~ + ρ~g + η∆~v . ρ (~v .∇)~ a) Rappeler les deux hypothèses sur le fluide qui ont permis d’établir cette équation. b) Comment s’appelle η ? Quelle est sa dimension ? c) Soit une surface S parallèle à xOy, rappeler l’expression du module de la force de viscosité Fv qui s’exerce au travers de S dans le fluide. ~ v dans le cas présent ? d) Que vaut le terme d’advection (~v .∇)~ d2 v ~ex : dz 2 a) écrire les projections de l’équation de Navier-Stokes suivant les 3 axes cartésiens. b) Intégrer d’abord l’équation où la vitesse n’intervient pas. Sachant que p = p0 en z = h (surface du liquide), exprimer la pression p. c) Etablir alors une équation différentielle sur v. d) Que vaut la vitesse en z = 0 ? La viscosité de l’air étant négligée, la force de viscosité dans le fluide tend vers 0 lorsque z → h: montrer alors que [dv/dz]z=h = 0. e) Intégrer l’équation du 3)c) et montrer que v = v0 (2z/h − (z/h)2 ). Exprimer la vitesse maximale v0 . Calculer v0 . Tracer la courbe de v en fonction de z. f) Exprimer le nombre de Reynolds Re de l’écoulement. Calculer Re : conclusion ? 3) Sachant que dans le cas présent ∆~v = 4) a) Rappeler la définition du débit QV dans cet écoulement. Exprimer QV en fonction de ρ, g, η, L, h et α. b) Rappeler la définition de la vitesse moyenne vm de cet écoulement et exprimez-la en fonction de v0 . On s’intéresse à la partie de l’écoulement entre x = 0 et x = d. On supposera que v = vm dans toute section droite de l’écoulement. 5) a) Représenter sur un schéma quelques lignes de courant de cet écoulement. b) Soient un point A de la section droite x = 0 et un point B de la section droite x = d, à l’aide du théorème de Bernoulli exprimer la perte de charge notée δp due à la viscosité (NB pour le terme de pesanteur on utilisera l’axe vertical Oz 0 ). c) Exprimer alors δp en fonction de QV . Exercice: Ecoulement entre 2 disques Deux disques horizontaux et parallèles sont à une distance d et ont un diamètre D tel que d << D. De l’eau, amenée par une conduite cylindrique verticale, pénètre au centre du disque par une ouverture de diamètre d. Dans la conduite, on suppose que l’écoulement a une vitesse vc uniforme et connue. La zone −d ≤ z ≤ 0 et r ≤ d/2 est perturbée à cause du changement de direction et on n’étudiera pas l’écoulement dans cette zone. Au-delà on supposera que l’eau s’écoule radialement avec une symétrie cylindrique pour enfin déboucher dans l’atmosphère. On appelle Oz l’axe de la conduite, O étant le centre du disque supérieur. On utilisera les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z). On négligera la pesanteur dans tout le problème. On supposera de plus que dans la section droite de sortie (située à r = D/2), la pression est égale à la pression atmosphérique p0 . L’eau sera considérée comme un fluide parfait, à masse volumique constante et en régime permanent. 1) On cherche dans un premier temps à exprimer le débit. a) Sur un schéma des disques vus de dessus, représentez les lignes de courant de l’écoulement. b) Quelle est la direction de ~v ? De quelle(s) coordonnée(s) dépend sa valeur algébrique v ? (on rappelle que d << D) c) A une distance r de l’axe 0z (r = HM ), définissez la section droite qui vous permettra de calculer le débit Q. Exprimez alors Q. d) En déduire, v(M ) la vitesse du fluide au point M en fonction de vc . z D O v H M r d vc d 2) On appelle pc la pression statique dans la conduite verticale. En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimez pc en fonction de vc et de p0 . 3) De même exprimez la pression p(M ) en un point M situé entre les deux plateaux et tel que d/2 < r < D/2. La comparer avec p0 . 4) On cherche maintenant à déterminer les forces de pression s’exerçant sur le plateau supérieur. a) Pour d/2 < r < D/2, exprimez la résultante des forces qui s’exercent sur le plateau supérieur de la part des fluides qui l’entourent. Y a-t-il répulsion ou attraction ? b) Pour r ≤ d/2, on admet que la pression de l’eau sur le plateau supérieur est pc + ρvc2 /2. Exprimez alors, de même qu’à la question précédente, la résultante des forces qui s’exercent sur le plateau supérieur. Exercice: Fluide en rotation On considère un récipient cylindrique de hauteur H et de rayon R qu’on remplit d’eau jusqu’à une hauteur h. On met alors ce récipient en rotation avec une vitesse angulaire ~ = Ω ~uz . On supposera l’eau incompressible et isotherme dans tout l’exercice. constante Ω L’écoulement de l’eau sera considéré comme stationnaire. Dans tout le problème, on négligera les variations de pression atmosphérique. On utilisera les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z) associées au repère tournant (~ur , ~uϕ , ~uz ). z R H h O 1) Quelles sont les grandeurs physiques qui décrivent l’état du fluide ? Au vu des symétries du problème, de quelle(s) coordonnée(s) dépendent ces grandeurs ? 2) A cause des forces de viscosité qui l’entraîne, l’eau suit le mouvement du récipient qui ~ = r~ur + z~uz . est en rotation circulaire uniforme. On repère un point M du fluide par OM a) Exprimez la vitesse ~v de l’eau en tout point M . b) Représentez sur un schéma le vecteur ~v (M ) ainsi que les trajectoires de quelques particules d’eau. 3) Afin de déterminer le champ de pression p de l’eau, on applique le principe fondamental de la dynamique (PFD) à un élément de fluide V de volume dτ qui entoure le point M (r, ϕ, z). Pour écrire le PFD, on utilisera des densités de force par unité de volume. a) Rappelez (sans la démontrer) l’expression de la densité des forces de pression qui s’exercent sur V. b) Quelles sont les forces qui s’exercent sur V suivant ~uz ? Ecrire l’équilibre correspondant et l’équation différentielle sur p associée. c) Mêmes questions pour l’équilibre suivant ~ur (on raisonnera dans le référentiel tournant). d) On obtient ainsi deux équations différentielles couplées qu’il faut intégrer successivement suivant chacune des deux variables. Exprimez alors p en fonction d’une constante d’intégration. Rappel: soit une fonction f (x, y) qui vérifie ∂f /∂x = α. La primitive de cette équation donne f (x, y) = αx + K(y) où K(y) est une fonction constante par rapport à x. e) Sachant que la pression à la surface de l’eau est partout p0 , déterminez complètement la pression p au sein du fluide (on notera z0 l’altitude de la surface de l’eau en r = 0). 4) A partir de l’expression de p, exprimez la relation entre z et r à la surface de l’eau. Tracez la courbe de z − z0 en fonction de r: quel est le nom de cette courbe ? Calculez la vitesse angulaire Ω pour laquelle l’eau commence à déborder (on donne H − z0 = 10 cm et R = 20 cm). Exercice: Effet Magnus Dans l’air, le déplacement d’un objet en rotation sur lui-même dans un fluide produit des comportements surprenants (cf. ping-pong, golf ou football). Afin de décrire simplement ces effets, on considère l’écoulement autour d’un cylindre d’axe Oz, de rayon a et de ~ = −Ω~uz hauteur h. Ce cylindre tourne autour de son axe Oz avec la vitesse angulaire Ω (Ω > 0) et est placé dans un écoulement laminaire de vitesse ~ve avec ~ve = v0~ux à l’infini (c’est-à-dire dans les zones où le cylindre ne perturbe pas l’écoulement). Dans tout ce qui suit on se place en régime permanent. On supposera que l’air est incompressible et on négligera les variations de pression dans l’air. La pression à l’infini est p0 . On admettra qu’en tout point M de l’écoulement la vitesse ~v de l’air peut s’écrire comme ~v = ~ve + ~vr où ~ve est la vitesse due à l’écoulement laminaire et ~vr celle due à la rotation du cylindre (principe de superposition). 1) Choisissez un système de coordonnées et représenter les coordonnées d’un point M quelconque sur un schéma. 2) Exprimer la vitesse ~vc en un point M de la surface du cylindre. Pourquoi ~vr n’est-elle pas nulle ? Etude qualitative: Pour les questions suivantes on se place au voisinage du cylindre et dans le plan yOz (x = 0). On supposera que dans ce plan ~ve = ~v0 . 3) Exprimer alors les vitesses ~v (A) au point A (y = a, x = z = 0) et ~v (A0 ) au point A0 (y 0 = −a, x0 = z 0 = 0). 4) En négligeant le travail des forces de viscosité, exprimer la différence de pression ∆p = p(A) − p(A0 ). 5) Quel est le signe de ∆p ? Change-t-il lorsque A et A0 parcourent la génératrice du cylindre tout en restant symétriques par rapport à xOz (x = x0 et y = −y 0 ). Représenter sur un schéma la force de pression résultante F~p qu’on appelle portance. z vr y h/2 x ve Oz ve O h/2 Figure 5: Gauche: cylindre vu de dessus, droite: cylindre vu de côté. Expression de la portance: Pour exprimer quantitativement la portance, il faut déterminer le champ de vitesse puis la pression en tout point de la surface du cylindre. On va utiliser le principe de superposition et on s’intéresse tout d’abord à l’écoulement entraîné seulement par la rotation du cylindre et de vitesse ~vr . On rappelle l’équation d’Euler: ∂~v ~ v = −∇p/ρ ~ + (~v .∇)~ ∂t où l’on a négligé la pesanteur. 6) On suppose que le cylindre est infini (h >> a). L’air étant entraîné par le cylindre, donner la direction de ~vr . En exploitant les symétries du problème, dîtes de quelle(s) variable(s) dépendent ~vr et pr la pression associée. ~ projetez l’équation d’Euler sur les 7) Après avoir rappelé les coordonnées du vecteur ∇, 3 axes de votre référentiel. En déduire une équation différentielle sur pr . 8) a) En utilisant le théorème de Bernoulli, transformez l’équation précédente en une équation différentielle sur vr . b) Déterminez alors complètement vr . On tient à présent compte de l’écoulement laminaire de vitesse ~ve dont les coordonnées obtenues à partir de l’équation d’Euler sont: 2 v0 1 − ar2 cos ϕ 2 veϕ = −v0 1 + ar2 sin ϕ ver = 9) Représentez les lignes de courant de ~ve . 10) En appliquant le théorème de Bernoulli à l’écoulement complet ~ve + ~vr , déterminer la pression p en tout point. En déduire la pression à la surface du cylindre. 11) Calculer alors la composante suivant Oy des forces de pression (la portance) s’exerçant sur une épaisseur ∆z du cylindre centrée autour de O. Que se passe-t-il lorsque Ω augmente ? 12) Calculer de même la composante suivant Ox des forces de pression (la trainée). Ce résultat était-il prévisible ? Exercice: Viscosimètre de Couette Le viscosimètre de Couette est constitué de 2 cylindres coaxiaux pouvant tourner (voir Fig.). Le liquide dont on veut mesurer la viscosité est placé entre les cylindres. Le cylindre intérieur C1 de rayon R1 est entraîné avec une vitesse angulaire Ω1 alors que le cylindre extérieur C2 de rayon intérieur R2 est maintenu fixe. On supposera le liquide incompressible et newtonien et on ne s’intéressera qu’au régime permanent. On négligera les effets de la pesanteur. On cherche à établir l’expression du couple qui va s’exercer sur C2 . Pour ce faire, on va d’abord établir l’expression du champ de vitesse en utilisant l’équation de Navier-Stokes. On utilisera les coordonnées cylindriques pour décrire l’écoulement. z R2 h !" !" R1 1) On commence par exploiter les propriétés de symétrie de l’écoulement: a) Lorsqu’on met C1 en rotation, que se passe-t-il dans le fluide ? En déduire la direction de la vitesse ~v dans le fluide. Représenter quelques lignes de courant. b) De quelle(s) variable(s) dépend ~v ? 2) En projetant l’équation de Navier-Stokes: a) établir une équation différentielle sur v valeur algébrique du vecteur vitesse. Intégrezla et utilisez les conditions limites pour déterminer complètement v en fonction des données du problème. On pourra noter α = R22 /R12 . b) Tracer la courbe de v. c) En déduire l’expression de la vitesse angulaire ω. 3) a) Exprimer la force par unité de surface (ou contrainte) σ2 qui s’exerce sur C2 . En déduire le couple Γ2 que ressent le cylindre C2 . b) Comment peut-on alors mesurer le coefficient de viscosité η du fluide ? Comment faut-il choisir α R1 et h étant fixés) pour que cette mesure soit sensible ? c) Sachant que Ω1 = 3 tours/s, R1 = 10 cm, α = 2 et h = 0, 5 m, calculer Γ2 . 4) En utilisant une autre projection de l’équation de Navier-Stokes et l’expression de la vitesse, déterminer la pression en tout point du fluide. Exercice: Écoulement laminaire dans une canalisation Soit une conduite horizontale dans laquelle circule une huile de masse volumique ρ = 800 kg/m3 et de viscosité η = 0,10 Pl. La longueur de la conduite est de 10 km et son diamètre de 100 mm. 1) Le débit à assurer étant de 20 m3 /h, quelle est la puissance à prévoir ? On considère une canalisation inclinée de 10 m de longueur où s’écoule le même fluide que précédemment. Le diamètre de la canalisation est de 20 mm et la différence de niveau entre l’entrée et la sortie est de 5 m. La pression dans la section basse 1, p1 , est maintenue égale à 3 bars, la pression dans la section haute p2 étant égale à 1,5 bars. 2) Vérifier d’abord que l’écoulement se fait bien de bas en haut (dans le sens 1→ 2), puis calculer le débit de liquide dans la canalisation ainsi que le nombre de Reynolds de l’écoulement. Exercice: Dimensionnement d’une canalisation Une conduite assure un débit liquide permanent de 50 l/s. Le fluide considéré est de l’eau. On supposera qu’il s’agit d’un liquide incompressible pour lequel ρ = 103 kg/m3 et η = 10−3 kg m−1 s−1 . Pour des écoulements turbulents en conduite hydrauliquement lisses et un nombre de Reynolds inférieur ou égal à 105, le facteur de frottement (ou coefficient de 1/4 perte de charge linéaire ) est donné par la formule de Blasius λ = 0, 316/Re Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 105 , on peut utiliser la formule de Nikuradsé √ √1 = 2 log( λRe ) − 0, 8. λ t /L avec ∆Pt la perte de charge intervenant dans où le coefficient λ est défini par λ = ρv∆P 2 m /(2D) la loi de Poiseuille. 1) Quel diamètre de conduite permettrait d’obtenir un Reynolds de 2000 ? Conclure. 2) Faire la même évaluation en supposant cette fois que le nombre de Reynolds vaut 105 . Calculer le facteur de frottement dans le cas d’une conduite hydrauliquement lisse. Déterminer la longueur de la canalisation si la variation de pression entre l’entrée et la sortie vaut 106 Pa. Conclure. 3) On envisage maintenant une conduite hydrauliquement lisse de 1 km de longueur. La variation de pression entre l’entrée et la sortie vaut 106 Pa et le débit volumique est encore de 50 l/s. Déterminer le diamètre de la canalisation. Exercice: Coefficients de répartition Les problèmes d’écoulement tridimensionnel en conduite sont ramenés, pour simplification, à des problèmes monodimensionnels selon l’abscisse x, en rapportant en chaque x des grandeurs moyennes dans la section droite d’abscisse x. Pour bien peser cette approximation très usuelle, nous allons en faire l’analyse sur un écoulement laminaire et un écoulement turbulent. On considère l’écoulement d’un fluide incompressible de viscosité η dans un conduit de section circulaire de rayon R et on envisage : (a) un écoulement unidimensionnel de vitesse uniforme v0 ; (b) un écoulement laminaire de profil de vitesse dans une section droite: v(r) = vL (1 − r2 /R2 ); (c) un écoulement correspondant à un nombre de Reynolds Re = 105 . Le profil de vitesse est bien représenté par : v(r) = vT (1 − r/R)1/n avec n = 7. Pour effectuer la comparaison, on suppose que les trois écoulements assurent le même débit massique ṁ. 1) Dans le cas d’un profil de vitesse uniforme v = v0 , exprimer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Dans le cas de l’eau (ρ = 103 kg/m3 , η = 10−3 Pa.s) et pour un débit de 1 l/s, quel est le rayon minimal qui permettra d’assurer un régime laminaire (Re < 103 ) ? Calculer la vitesse v0 correspondante. 2) Exprimer en fonction de R et Re l’épaisseur δ de la couche limite laminaire. Calculer δ/R lorsque Re = 103 . 3) Tracer v(r) dans les cas laminaire et turbulent. Comparer les profils. 4) Déterminer les valeurs de vL et vT en fonction de v0 . 5) Dans le cas du profil de vitesse uniforme, exprimer en fonction de ṁ et v0 les débits de quantité de mouvement et d’énergie cinétique. Exprimer les débits de quantité de mouvement et d’énergie cinétique pour les profils de vitesse laminaire et turbulent. 6) En déduire les coefficients de répartition de quantité de mouvement β et d’énergie cinétique α, définis respectivement par : ZZ ZZ 1 1 2 ρv dS, α= ρv 3 dS. β= ṁv̄ ṁv̄ 2 S S Exercice: Couche limite laminaire On place une plaque carrée, immobile et parallèle au plan xOy dans un écoulement d’air de vitesse à l’infini ~v = v0 ~ex (v0 > 0). Le bord amont ou bord d’attaque de la plaque est parallèle à Oy et se trouve en x = 0. Le bord aval correspond à x = L. On suppose que l’écoulement reste partout unidirectionnel parallèle à Ox. On donne: L = 1 m, v0 = 1 m/s et ν = 2, 5 10−5 SI. 1) Rappelez ce qu’est une couche limite laminaire et représentez-la sur un schéma. 2) a) Quel est le temps caractéristique d’advection (ou écoulement libre) sur une longueur x? b) Quel est la dimension du coefficient de viscosité cinématique ν ? c) Par un raisonnement aux dimensions exprimer l’épaisseur δ de la couche limite à la distance x du bord d’attaque en fonction de x et du nombre de Reynolds Re . 3) Exprimer la force F~ exercée par le fluide sur la plaque. Que devient cette expression lorsqu’on suppose que le gradient de vitesse est constant ? 4) A l’aide des données du problème, calculer: a) le nombre de Reynolds local au bord aval (bord de fuite), b) l’épaisseur de la couche limite au bord de fuite, c) la force F exercée sur la plaque. 5) De l’air s’écoule entre deux plaques parallèles de côté L = 1 m distantes de h = 4 mm. a) En régime d’écoulement visqueux, rappeler la forme du profil de vitesse entre les plaques. b) Estimez la distance d’établissement du régime visqueux à partir du bord d’attaque des plaques. c) Calculer la force s’exerçant sur une plaque et comparer à la question 4)c).
