Travaux Dirigés I- Pression - Hydrostatique - Université Paris-Sud

Licence 3 de Physique et Applications 2014-15
Université Paris-Sud Mécanique des fluides
Travaux Dirigés
I- Pression - Hydrostatique - Archimède
Exercice: Barrage
On étudie ici la force s’exerçant sur un barrage qui retient une hauteur H= 100 m d’eau.
On supposera que le barrage a une largeur L= 500 m et que la pression au sommet du
barrage est la pression atmosphérique pa. On négligera les variations de pression de l’air
due à l’altitude. On utilisera le système de coordonnées cartésiennes. Dans ce système le
barrage est parallèle au plan yOz et l’eau retenue par le barrage est à x < 0(fig. 1a). La
base du barrage se trouve dans le plan z= 0.
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Figure 1:
1) Question de cours:
a) rappeler la loi de l’hydrostatique dans un fluide à l’équilibre de densité ρsoumis
à la pesanteur ~g =−g ~ez. Ecrire cette loi sous la forme d’une équation différentielle
permettant de calculer la pression pdans le fluide.
b) Intégrer cette équation pour exprimer la pression pen tout point du fluide à
l’équilibre. On supposera que p=paen z=H.
c) En appliquant le résultat précédent, tracer l’évolution de la pression dans l’eau entre
la base et le sommet du barrage.
On cherche maintenant à exprimer la force de pression qui s’exerce sur le barrage. Dans
toute la suite on néglige les forces de pression dues à l’air.
2) a) Soit dS un élément de surface du barrage autour du point Pet d~ S=dS ~exle vecteur
associé. Exprimer alors la force de pression d~ Fqui s’exerce sur le barrage au travers de
dS.
b) Sur un schéma indiquer le sens de d~ F.
c) Comment est défini dS dans le système de coordonnées cartésiennes ? En dé-
duire l’expression de la force de pression totale ~ Fqui s’exerce sur le barrage. Calculer
numériquement la norme de cette force.
3) En réalité le barrage a une section trapézoidale symétrique d’angle α= 20o(fig. 1b).
a) Soit Pun point en surface du barrage en contact avec l’eau, sur un schéma représen-
ter le vecteur surface d~ Sen P.

b) Exprimer puis calculer numériquement les composantes de la force de pression sur
le barrage ~ Ft.
c) Quel peut être l’intérêt de cette forme de barrage ?
Exercice: L’expérience de Magdebourg
Soit un cube métallique d’arête aqu’on scinde en 2 morceaux égaux. Après avoir recon-
stitué le cube, on y fait le vide. La pression extérieure est p0= 105Pa.
1) Quel est l’effet du vide ? Représenter les forces de pression.
2) Calculer la force nécessaire pour séparer le cube en 2 moitiés suivant un plan vertical
(a= 10 cm).
3) Mêmes questions avec une sphère métallique de même surface que le cube.
4) Mêmes questions lorsque la sphère est immergée dans l’eau à 10 m de profondeur.
Exercice: Entonnoir renversé
On considère un entonnoir, constitué d’un cône d’angle au sommet αet de hauteur H,
prolongé par un tube de petite section. L’entonnoir est renversé et repose sur un plan
horizontal. Par le tube de l’entonnoir, on verse lentement de l’eau de masse volumique
ρ, jusqu’à une hauteur h(h≤H), dans des conditions où les lois de l’hydrostatique
sont vérifiées. On choisit l’axe Oz parallèle à l’axe du tube, orienté suivant la verticale
ascendante. On note ~ Fla résultante des forces de pression exercées sur l’entonnoir par
les fluides en présence (air et eau).
!
1) Quels sont la direction et le sens de ~ F? Justifier votre réponse.
2) Soit dS l’élément de surface du cône compris entre les cotes zet z+dz. Etablir
l’expression de d~ F, résultante des forces de pression exercées sur cet élément de surface.
3) En déduire l’expression de ~ Fen fonction de ρ,g,h,Het α. 4) On suppose le cône de
l’entonnoir rempli d’eau (h=H). Montrer que l’entonnoir doit avoir une masse minimum
Me, à exprimer en fonction de la masse de liquide Ml. Que se passe-t-il si la masse de
l’entonnoir est plus petite ?
Exercice: Mesure d’une pression par un tube piézométrique
Soit un point Md’un liquide en équilibre dans un réservoir fermé. On fait déboucher
en Mun tube transparent dans lequel la surface libre du liquide se fixe à la hauteur
verticale zau-dessus de M. Le niveau Aatteint par le liquide dans le tube s’appelle
niveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquide
dans le tube est pa. Montrer que la mesure de la pression pMen Mpeut se faire par la
mesure de la hauteur zen donnant la relation qui relie les deux variables. A.N. Quelles
sont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans les
deux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ= 13 600 kg/m3) ; le fluide est de l’eau (ρ
= 1 000 kg/m3).

Exercice: Equilibre dans un tube en U
Un tube en U contient de l’eau et du mercure à l’equilibre. A partir de la surface de
séparation entre les liquides, on lit les hauteurs d’eau h= 20,4cm et de mercure h0= 1,5
cm. Quelles sont la densité et la masse volumique du mercure ?
Exercice: Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli
L’appareil représenté sur la figure ci-contre permet de mesurer la pression pd’un fluide,
un gaz par exemple, en contact avec un seul liquide (en noir sur le schéma). Exprimer
la pression pen fonction de la longueur Lreprésentée sur le schéma. Montrer que la
sensibilité ∆L/∆paugmente si le liquide a une faible masse volumique (eau, alcool au
lieu du mercure) et si l’angle αdu tube avec l’horizontale diminue.
!
!
Exercice: Répartition de pression dans l’océan
Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la
pression selon la loi ρ=ρ0[1 + a(p−p0)] où a= 10−10 Pa−1. La profondeur est notée h.
Pour h= 0, p=p0= 105Pa et ρ=ρ0= 103kg/m3.
Donner la loi p(h). Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ? A.N. : h= 1 km.
Quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ?
Exercice: L’atmosphère terrestre
On s’intéresse ici aux propriétés de la basse atmosphère terrestre, d’altitude inférieure
à 10 km (la troposphère). Le gaz atmosphérique est supposé parfait et en équilibre
hydrostatique. La masse molaire de l’aire est M= 29 g. Pour décrire l’atmosphère on
se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère cartésien Oxyz où
Oz est l’axe vertical orienté vers le haut de l’atmosphère. La pression au niveau du sol
est p0= 1 atm et l’altitude correspondante est z= 0.
On suppose dans un premier temps que l’atmosphère est isotherme de température T=T0.
1) A partir du principe hydrostatique, déterminer le profil vertical de pression p(z). On
définit h=RT0
Mg : quelle est la dimension de h? Quelle est sa signification ? Calculer h
pour T0= 300 K.
On suppose à présent que l’atmosphère est adiabatique et que p=Kργavec γ=cp/cvet
Kune constante.
2) Etablir une relation entre pet T.
3) De même qu’au 1), établir l’expression de p(z). En déduire l’expression de T(z).
4) Quelle est alors l’expression du gradient de température as=dT/dz ? Exprimez-la en
fonction de h. Calculer sa valeur numérique sachant que γ= 1,4.

5) En basse atmosphère, le gradient de température dT/dz est à peu près constant égal à
-7 K/km. Dans ces conditions des mouvements de convection peuvent-ils se développer ?
Exercice: Principe d’Archimède
On considère un glaçon de forme cubique de côté h=4 cm et flottant en équilibre dans un
verre d’eau à ras bord. On notera ρgla densité du glaçon, ρecelle de l’eau et ρacelle de
l’air. On a ρg/ρe'0,92.
1) Retrouver le principe d’Archimède (dans l’air et dans l’eau) en exprimant la condition
d’équilibre du glaçon.
2) Quelle est la hauteur immergée adu glaçon ?
3) Lorsque le glaçon fond, le verre déborde-t-il ?
Exercice: Corps flottant
Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il
? Quelle proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachant
que la masse volumique de la glace est de 900 kg/m3et celle de l’eau salée 1 025 kg/m3
? Que pensez-vous de l’augmentation de l’eau des océans due à la fonte des icebergs ?
Exercice: Gazomètre
Le gaz de ville est souvent stocké dans une enceinte appelée gazomètre que vous allez
maintenant étudier. Un gazomètre est formé d’une cloche cylindrique en acier à fond plat
de masse volumique ρ1, de rayon intérieur R, de hauteur Het d’épaisseur faible e. On
note Vle volume de l’acier constituant la cloche. On prendra H=R. Cette cloche est
renversée sur une cuve à eau de surface libre fixe. Elle est en partie immergée et contient
du gaz. On donne: e= 4 mm et ρ1= 7800 kg/m3, densité de l’acier.
1) a) Quelles sont les forces qui agissent sur la cloche ? Représentez les sur un schéma.
b) Dans la limite où e << R, montrer que le volume de la cloche s’exprime comme
V= 3πR2e.
c) En étudiant l’équilibre de la cloche, exprimer la pression à l’intérieur de la cloche
pien fonction de e,ρ1,get p0.
2) a) Rappeler la loi de l’hydrostatique.
b) Appliquer cette loi dans l’eau pour exprimer pi. En déduire l’expression de la
variation de hauteur ∆hen fonction de e,ρ1et ρ(densité de l’eau). Calculer ∆h.
c) Retrouver ce résultat en appliquant directement le principe d’Archimède à un sys-
tème que vous préciserez.
d) Pourquoi ∆hest-il indépendant de pi−p0?

Exercice: Submersible
On s’intéresse à l’immersion d’une boîte cubique de côté adans de l’eau. Le cube, rigide
et creux, est rempli d’air à la pression atmosphérique p0. Chaque face du cube a une
épaisseur fixe eet on notera ρsla densité du matériau constituant le cube et Msa masse.
Sauf mention contraire, la densité de l’eau ρest supposée constante et on fait l’hypothèse
que l’eau est un fluide parfait. L’axe Oz est pris vertical et orienté vers le haut.
1) Enoncer le théorème d’Archimède.
En déposant le cube dans l’eau, une face parallèle à la surface de l’eau, on constate qu’à
l’équilibre sa face supérieure se trouve à une distance hau-dessus de la surface de l’eau
de cote z= 0.
z
O
a
h
e
2) a) Exprimer la poussée d’Archimède que subit le cube.
b) A l’équilibre, exprimer la hauteur émergée hen fonction de M,ρet a. A quelle
condition le cube flottera-t-il ?
c) Sachant que e << a, exprimer la masse Mdu cube en fonction de a,eet ρs. Quelle
est alors la condition sur apour que le cube flotte ? Exprimer numériquement cette
condition pour ρs/ρ = 10 et e= 5 cm.
3) On suppose que le cube flotte à l’équilibre avec une hauteur émergée h= 0. On
lui rajoute une masse mqui n’augmente pas son volume (par exemple en le remplissant
d’eau). Que va-t-il alors se passer ? Le mouvement du cube pourra-t-il s’arrêter ?
4) Au cours du mouvement du cube, on prend maintenant en compte la variation de la
densité de l’eau avec la profondeur, ρ(z) = ρ0(1 + αz)avec ρ0= 103kg/m3.
a) Quel doit être le signe de αpour que le cube s’arrête ? Quelle est sa dimension
? Sachant que m+M= (1 + k)ρ0a3(knombre sans dimension) exprimer la cote zeoù
les forces sur le cube s’équilibreront. Faire l’application numérique pour |α|= 10−6SI et
k= 10−3.
b) Cet équilibre est-il stable ?
Exercice: Aréomètre
Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume V
surmontée d’un tube capillaire gradué de section set de longueur l. L’ensemble est
étanche et lesté de façon que, lorsque l’appareil est plongé dans l’eau pure (de masse
volumique ρ0), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0. Si on le plonge dans un liquide
de masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x. La masse volumique
ρest-elle plus grande ou plus petite que ρ0? Exprimer la densité d=ρ/ρ0en fonction de
xet en déduire la sensibilité de l’appareil σ= ∆z/∆d. Pour quel liquide le densimètre
est-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil.
A.N. : V= 10−5m3;s= 10−5m2;l= 12 cm.