Équations différentielles

Jean-Marc Ledermann Février 2013
Équations différentielles
Programmes en Visual Basic
Table des matières
Introduction 1
Champ des directions 1
Méthode d'Euler 2
Méthode de Runge 4
Méthode de Heun 4
Système d’équations différentielles 5
Courses poursuites 7
Équations différentielles du deuxième ordre 8

– 1 –
4
3
2
1
1
2
3
4
x
4
3
2
1
1
2
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y
5
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5
x
5
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2
1
1
2
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4
5
y
Introduction
Une équation différentielle met en relation une fonction   , des
dérivées de cette fonction (y', y'',...), et la variable x.
L'ordre d'une équation différentielle correspond au rang maximal des déri-
vées qui interviennent dans l'équation.
   est une équation d'ordre 1 ;
   est une équation d'ordre 2.
Une solution particulière d'une équation différentielle est une fonction
qui satisfait l'équation.
La famille des fonctions solutions est appelée solution générale de l'équa-
tion.
Exemple
L’équation    admet la famille de
fonctions     comme solu-
tion générale.
Il est facile de vérifier que la fonction
  est une solution parti-
culière dont le graphe passe par le point
.
Plutôt que de chercher des solutions générales d'équations différentielles,
on cherchera dans ce chapitre des approximations, point par point, de so-
lutions particulières dont le graphe passe par un point donné (la condition
initiale).
Champ des directions
Considérons l'équation différentielle  
À chaque point  du plan, l'équation
différentielle associe une direction de
pente y'.
Donc, pour chaque point du plan, on con-
naît la pente des fonctions solutions
  . On obtient ainsi le champ des
directions de l'équation différentielle.
En partant d'un point  on peut
tracer la courbe par approximation en
suivant le champ des directions. On ob-
tient une approximation de la solution
particulière    qui satisfait à la con-
dition initiale  .

– 2 –
Exercice
1
Une équation différentielle   étant donnée,
écrire un programme qui représente graphiquement
son champ des directions.
Méthode d'Euler
La méthode d’Euler
1
permet d’obtenir une approximation d’une solution
particulière d’une équation différentielle donnée par  .
La méthode d’Euler consiste, à partir d’un point , de suivre un petit
segment de droite de pente p donnée par l’équation différentielle
   .
Ainsi, à partir du point  on obtient
un deuxième point  avec
  et  ,
où h est un pas fixé d’avance et 
la pente en  donnée par l’équation
différentielle.
En recommençant avec  on obtient
un point  avec   et  .
En continuant ainsi, on obtient une suite de points qui approchent le graphe
de la solution particulière passant par .
Exemple
On cherche la valeur en    de la solution par-
ticulière    dont le graphe passe par le
point  de l'équation différentielle  .
En appliquant la méthode d’Euler avec un pas
   , on obtient la suite de points 
Ce dernier point donne la valeur 1 comme ap-
proximation de .
On connait la solution particulière de cette équation différentielle,
 qui prend la valeur 3,5 en   , l’approximation   est
ici très grossière, mais en prenant un pas h plus petit on obtient une meil-
leure approximation, par exemple avec    obtient le point 
Exercice
2
À l’aide d’un tableur effectuer les calculs de l’exemple ci-dessus.
1
Leonhard Euler (1707 - 1783)
𝑥𝑦
𝑥𝑦
𝑥𝑦
𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑥𝑦
A
B
E
F
C
D

– 3 –
Exercice
3
Écrire un programme qui utilise la méthode d’Euler, avec
un nombre de pas donné, pour estimer la valeur  de
la solution en    d'une équation différentielle
   dont le graphe passe par un point initial
.
Exercice
4
Compléter l’exercice 1
de sorte qu’il trace le
graphe d'une solution
particulière obtenue
par la méthode d'Euler
et passant par un point
désigné avec la souris.
Exercice
5
Pour estimer l'erreur obtenue avec la méthode d'Euler, on peut résoudre
algébriquement et numériquement une équation différentielle, par exemple
  , et comparer les résultats.
La solution particulière de l'équation différentielle    , dont le
graphe passe par le point (0;0), est la fonction  . Cette
fonction prend la valeur  en   .
L'erreur produite en    par la méthode d'Euler, pour cette équation avec
la condition initiale   et   sera donc  où  est la va-
leur obtenue par la méthode d'Euler en   .
a) Écrire un programme qui, à partir d'un nombre n de pas, affiche la diffé-
rence, en   , entre la solution exacte et la valeur obtenue par la mé-
thode d'Euler pour l'équation différentielle     avec la condition
initiale   .
b) Écrire un programme qui trace le
graphe de l'application qui ex-
prime, en fonction du nombre n
de pas, l'erreur du résultat, pour
x = 2, obtenu par la méthode d'Eu-
ler, pour l'équation différentielle
y' = x + y avec la condition initiale
y(0) = 0.